[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编3.doc
[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编3
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (12年)将长度为1 m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
2 (14年)设连续型随机变量X1与X2相互独立且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为f1(x)与f2(x)，随机变量Y1的概率密度为，随机变量Y2=则
（A）EY1＞EY2，DY1＞DY2
（B）EY1=EY2，DY1=DY2
（C）EY1=EY2，DY1＜DY2
（D）EY1=EY2，DY1＞DY2
3 (15年)设随机变量X，Y不相关，且EX=2，EY=1，DX=3，则E[X(X+Y一2)]= （A）一3．
（B）3．
（C）一5．
（D）5．
4 (16年)随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为，将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y
表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为
5 (03年)设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=,则
（A）Y～χ2(n)
（B）Y～χ2(n一1)
（C）Y～F(n，1)
（D）Y～F(1，n)
6 (05年)设X1，X2，…，X n(n≥2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，为样本均值，S2为样本方差，则
7 (13年)设随机变量X～t(n)，Y～F(1，n)，给定a(0＜α＜0．5)，常数c满足P{X ＞c)=α，则P{Y＞c2}=
（A）α．
（B）1一α．
（C）2α．
（D）1—2α．
二、填空题
8 (15年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY一Y ＜0}=_______．
9 (01年)设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X—
E(X)|≥2}≤__________
10 (03年)已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 cm，则μ的置信度为0．95的置信区间是__________．
(注：标准正态分布函数值φ(1．96)=0．975，φ(1．645)=0．95)
11 (09年)设X1，X2，…，X m为来自二项分布总体B(n，p)的简单随机样本，X和
S2分别为样本均值和样本方差．若为np2的无偏估计量，则k=_______．
12 (14年)设总体X的概率密度为其中θ是未知参
数，X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本．若是θ2的无偏估计，则c=_______
13 (16年)设x1，x2，…，x n为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值
=9．5，参数μ的置信度为0．95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为______．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14 (11年)设随机变量X与Y的概率分布分别为
且P{X2=Y2}=1． (I)求二维随机变量(X，Y)的概率分布； (Ⅱ)求Z=XY的概率分布； (Ⅲ)求X与Y的相关系数
ρXY．
15 (14年)设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=．在给定X=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)． (I)求Y的分布函数F Y(y)； (Ⅱ)求EY．
16 (15年)设随机变量X的概率密度为对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数．(I)求Y的概率分布；(Ⅱ)求EY．
17 (98年)从正态总体N(3．4，62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1．4，5．4)内的概率不小于0．95，问样本容量n至少应取多
大?
18 (01年)设总体X～N(μ，σ2)(σ＞0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，
X2n(n≥2)，其样本均值的数学期望E(Y)．
19 (05年)设X1，X2，…，X n(n＞2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，为样
本均值，记Y i=X i-，i=1，2，…，n．求：(I)Y i的方差DY i，i=1，2，…，n；(Ⅱ)Y1与Y n的协方差Cov(Y1，Y2)．
20 (97年)设总体X的概率密度为其中θ＞一1是未知参数．X1，X2，…，X n是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量．
21 (99年)设总体X的概率密度为X1，X2，…，X n 是取自总体X的简单随机样本．(1)求θ的矩估计量(2)求
22 (00年)设某种元件的使用寿命X的概率密度为其中θ＞0为未知参数．又设x1，x2，…，x n是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．
23 (02年)设总体X的概率分别为其
中θ是未知参数，利用总体X的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值．
24 (04年)设总体X的分布函数为：其中未知参数β＞1，X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本，求： (I)β的矩估计量； (Ⅱ)β的最大似然估计量．
25 (06年)设总体X的概率密度为其中θ是未知参数(0＜θ＜1)．X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，x n中小于1的个数．求θ的最大似然估计．
26 (09年)设总体X的概率密度为其中参数λ(λ＞0)未知，X1，X2，…，X n是来自总体X的简单随机样本． (I)求参数λ的矩估计量；(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量．
27 (13年)设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零．X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本．(I)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量．
28 (15年)设总体X的概率密度为其中θ为未知参数．X1，X2，…，X n为来自该总体的简单随机样本． (I)求θ的矩估计量； (Ⅱ)求θ的最大似然估计量．
29 (16年)设总体X的概率密度为其中θ∈(0，+∞)为未知参数，X1，X2，X3为来自总体X的简单随机样本，令T=max{X1，X2，
X3}． (I)求T的概率密度； (Ⅱ)确定a，使得aT为θ的无偏估计．
30 (98年)设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66．5分，标准差为15分．问在显著性水平0．05下，是否
可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程． [附表]：t分布表．P{t(n)≤t p(n)}=p。
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考研数学一之概率论与数理统计真题答案解析
2020年考研数学一选择题部分考了2道概率论与数理统计的题目，选择题第七题主要考察了事件概率的计算；选择题第8题考察了中心极限定理。
填空题部分考了1道概率论与数理统计的题目，题（14）主要考察了协方差的计算。
解答题考察了2道概率论与数理统计的题目，题（22）主要考察分布函数和正态分布的性质；题（23）主要考察了最大似然估计。
题（7）（2020年考研数学一）
分析：本题主要考察事件概率的计算和加法公式的应用。
解：由P(A-B)=P(A)-P(AB)得：
题（8）（2020年考研数学一真题）
分析：主要利用列维-林德伯格中心极限定理来解题。
解：由列维-林德伯格中心极限定理可得：
题（14）（2020年考研数学一真题）
分析：本题主要考察协方差的计算和不定积分的计算。
Cov(X,Y)=E(XY)-EX*EY 解：由题意得EX=0，
题（22）（2020年考研数学一真题）
分析：本题主要考察利用分布函数得定义来求分布函数。
解：由分布函数得定义得
题（23）（2020年考研数学一真题）
分析：本题主要考察最大似然估计得求法。
解：
总结：总的来说，2020年考研数学一概率部分还是考察考生对基础知识点的掌握程度。
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编1.doc
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28 (08年)设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布P{X=i}= (i=一1，0，1)，Y的概率密度为fY(y)= 记Z=X+Y． (Ⅱ)求Z的概率密度fZ(z)．
29 (09年)袋中有1个红球、2个黑球与3个白球．现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．
10 (11年)设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是
（A）f1(x)f2(x)。
（B）2f2(x)F1(x)．
（C）f1(x)F2(x)．
（D）f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．
11 (12年)设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P(X＜Y)=
（A）0．
（B）1．
（C）2．
（D）3．
8 (10年)设随机变量X的分布函数F(x)= ，则P{X=1}=
9 (10年)设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[一1，3]上均匀分布的概率密度，若 为概率密度，则a，b应满足
（A）2a+3b=4．
（B）3a+2b=4．
（C）a+b=1．
（D）a+b=2．
20 (05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=________
21 (06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max{X，Y}≤1=_______
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷8.doc
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[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷8一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10分别是来自正态总体N(-1，4)和N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，分别为这两个样本的方差，则服从F(7，9)分布的统计量是( )2 设总体X～N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)相互独立．分别从X和Y中各抽取容量为9和10的简单随机样本，记它们的方差为，则这四个统计量中，方差最小者是( )3 设x1，x2，…，x n是来自总体X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的简单随机样本的观察值，则σ2的最大似然估计值为( )4 设总体X～P(λ)(λ为未知参数)，X1，X4，…，X n是来自总体X的简单随机样本，其均值与方差分别+(2-3a)S2是λ的无偏估计量，常数a应为 ( )（A）-1（B）0（C）（D）1二、填空题5 设总体X～P(λ)，X1，X2，…，X n是来自X的简单随机样本，它的均值和方差分别为和S2，则和E(S2)分别为_______6 设总体X和Y相互独立，且分别服从正态分布N(0，4)和N(0，7)，X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y14分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量的数学期望和方差分别为________7 设X1，X2，X3是来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，记U=X1+X2与V=X2+X3，则(U，V)的概率密度为_______8 设X1，X2是来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，则查表得概率等于________9 设总体X的概率密度为X1，X2，…，X n是来自X的样本，则未知参数θ的最大似然估计值为_______10 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体X～N(μ，σ2)的样本，则统计量服从的分布是_________11 设总体X～N(a，2)，Y～N(b，2)，且独立，由分别来自总体X和y的容量分别为m和n的简单随机样本得样本方差服从的分布是_________12 设总体X的密度函数为f(x；θ)=其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2，…，x n是X的一组样本值，则参数θ的最大似然估计值为________13 设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________14 设总体X～N(μ，8)，X1，X2，…，X36是来自X的简单随机样本，是它的均值．如果是未知参数μ的置信区间，则置信水平为________三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一-概率论与数理统计（一）
考研数学⼀-概率论与数理统计（⼀）考研数学⼀-概率论与数理统计(⼀)(总分：100.00，做题时间：90分钟)⼀、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设随机变量X服从正态分布N(1，σ2 )，其分布函数为F(x)，则对任意实数x，有______（分数：4.00）A.F(x)+F(-x)=1．B.F(1+x)+F(1-x)=1．√C.F(x+1)+F(x-1)=1．D.F(1-x)+F(x-1)=1．解析：[解析] 由于X～N(1，σ2 )，所以X的密度函数f(x)的图形是关于x=1对称的，⽽可知正确答案是B．2.设X～P(λ)，P 1，P 2分别为随机变量X取偶数和奇数的概率，则______（分数：4.00）A.P1=P2．B.P1＜P2．C.P1＞P2．√D.P1，P2⼤⼩关系不定．解析：[解析] 若X～P(λ)，则，其中X取偶数的概率为X取奇数的概率为于是应选C．3.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对于任意实数a，有______ A．B．C．F(-a)=F(a)．D．F(-a)=2F(a)-1．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 概率密度f(x)为偶函数，于是对于任意实数a，有F(-a)=1-F(a)成⽴；利⽤区间可加性得结合上⾯的等式，于是得应选B．4.设⼆维随机变量(X，Y)在区域D:x 2 +y 2≤9a 2 (a＞0)上服从均匀分布，p=P{X 2 +9Y 2≤9a 2 }，则A．p的值与a⽆关，且B．p的值与a⽆关，且C．p的值随a值的增⼤⽽增⼤．D．p的值随a值的增⼤⽽减⼩．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为(X，Y)在区域D：x 2 +y 2≤9a 2上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为故选B．5.设随机变量X与Y服从正态分布N(-1，2)与N(1，2)，并且X与Y不相关，aX+Y与X+by亦不相关，则______（分数：4.00）A.a-b=1．B.a-b=0．C.a+b=1．D.a+b=0．√解析：[解析] X～N(-1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)=2，D(Y)=2．⼜Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0，由协⽅差的性质有故选D．6.已知总体X的期望E(X)=0，⽅差D(X)=σ2．X 1，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，其均值为，则下⾯可以作为σ2⽆偏估计量的是______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于E(X)=0，D(X)=E(X 2 )=σ2，则所以选择C．对于A，B选项，由E(S 2 )=σ2，知均不是σ2的⽆偏估计量．7.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独⽴，则根据⾟钦⼤数定律，当n→∞时，于其数学期望，只要{X n，n≥1}满⾜______（分数：4.00）A.有相同的数学期望．B.服从同⼀离散型分布．C.服从同⼀泊松分布．√D.服从同⼀连续型分布．解析：[解析] ⾟钦⼤数定律的应⽤条件为：“独⽴同分布且数学期望存在”，选项A缺少同分布条件，选项B、D虽然服从同⼀分布但不能保证期望存在，只有C符合该条件．故选C．8.设X 1，X 2，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，是样本均值，C为任意常数，则______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析故选C．9.设总体X服从正态分布N(0，σ2 )，X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，统计量从F分布，则i等于______（分数：4.00）A.4．B.2．√C.3．D.5．解析：[解析] 因为X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，故独⽴同分布于N(0，σ2 )因此，则有⼜与相互独⽴，故故选B．10.在假设检验中，如果待检验的原假设为H 0，那么犯第⼆类错误是指______（分数：4.00）A.H0成⽴，接受H0．B.H0不成⽴，接受H0．√C.H0成⽴，拒绝H0．D.H0不成⽴，拒绝H0．解析：[解析] 直接应⽤“犯第⼆类错误”=“取伪”=“H 0不成⽴，接受H 0”的定义，选择B．⼆、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.每次从1，2，3，4，5中任取⼀个数，且取后放回，⽤b i表⽰第i次取出的数(i=1，2，3)，三维列向量b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T，三阶⽅阵，求线性⽅程组Ax=b有解的概率．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对增⼴矩阵作初等⾏变换有于是Ax=b有解的充要条件是，即b 3 -2b 2 +b 1 =0，其中b 1，b 2，b 3相互独⽴，且分布律相同：，k=1，2，3，4，5，i=1，2，3．所以Ax=b有解的概率为甲、⼄两个⼈投球，甲先投，当有任⼀⼈投进之后便获胜，⽐赛结束．设甲、⼄命中率分别为p 1，p 2，0＜p 1，p 2＜1．求：（分数：6.00）(1).甲、⼄投球次数X 1与X 2的分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：每次投篮是相互独⽴的与其他⼏次⽆关．事件X 1 =n表⽰“甲投了n次”，即“甲、⼄各⾃在前n-1次没有投进，在第n次时甲投进或⼄投进”，所以P{X 1 -n}=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2，…其中：q i =1-p i，i=1，2．事件“X 2=m”表⽰“⼄投了m次”，即“甲、⼄前m-1次均没有投进，甲在第m次也没有投进，⼄在第m 次投进”，或“甲、⼄前m次均没有投进，甲在第m+1次投进”．特殊地，当m=0时，表⽰甲第⼀次就投中，所以P{X 2 =m}=(q 1 q 2 ) m-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) m-1，m=1，2，…(2).若使甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则p 1，p 2满⾜什么条件?（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设事件A表⽰“甲获胜”，则总投篮次数为奇数．当X 1 +X 2 =2n-1时，意味着甲、⼄前n-1次都未投进，甲在第n次投进，于是有P{X 1 +X 2 =2n-1}=p 1 (q 1 q 2 ) n-1，则若甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则12.设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，⼜求Y的概率密度f Y (y)与分布函数F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解法⼀：应⽤单调函数公式法先求Y的概率密度f Y (y)．由于X在(0，1)内取值所以的值域为(0，+∞)，且y=g(x)在(0，1)单调．因此其反函数在(0，+∞)内单调可导，其导数h"(y)=2e -2y，在其定义域(0，+∞)内恒不为零．⼜因为X的概率密度所以Y的概率密度因此可见Y服从参数为2的指数分布，其分布函数为解法⼆：⽤分布函数法先求出Y的分布函数F Y (y)．当y≤0时，F Y (y)=0；当y＞0时，0＜x=1-e -2y＜1，最后⼀步是由于X服从(0，1)上的均匀分布．故所求Y的分布函数为将F Y (y)对y求导，得设随机变量(X，Y)的概率密度为试求：（分数：6.00）(1).(X，Y)的分布函数；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：①当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0，故F(x，y)=0．②当0＜x≤1，0＜y≤2时，③当0＜x≤1，y＞2时，④当x＞1，0＜Y≤2时，⑤当x＞1，y＞2时，综上所述，分布函数为(2).(X，Y)的边缘分布密度；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当0≤x≤1时，当0≤y≤2时，(3).概率P{X+Y＞1}，P{Y＞X} 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，如下图所⽰，所以设(X，Y)服从D={(x，y)|y≥0，x 2 +y 2≤1}上的均匀分布，定义（分数：6.00）(1).求(U，V)的联合分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由题设可知，故(U，V)的可能值为(0，0)，(0，-1)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)．则(U．V)的联合分布律为(2).求关于V的边缘分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由(U，V)的联合分布律得V的边缘分布律为(3).求在U=1的条件下V的分布律．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，所以所以所求V的分布律为13.设随机变量X的概率密度为，求随机变量 F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：记如下图所⽰，φ(x)在[0，+∞)内最⼩值为-1，⽆最⼤值，在[0，+∞)左端点处的值为0．y=-1，0将y轴分成(-∞，-1)，[-1，0)，[0，+∞)三个区间．当y∈(-∞，-1)时，F Y (y)=0．当y∈[-1，0)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴上的投影与[0，+∞)的交集为F Y (y)=f X (x)在上的积分为当y∈[0，+∞)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴的投影与[0，+∞)的交集为，此时F Y (y)=f X (x)在上的积分为综上所述，y的分布函数为设随机变量X在区间(0，2)上随机取值，在X=x(1＜x＜2)条件下，随机变量Y在区间(1，x)上服从均匀分布．（分数：6.00）(1).求(X，Y)的联合概率密度，并问X与Y是否独⽴；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：根据题设X在(0,2)上服从均匀分布，其密度函数为⽽变量Y，在X=x(1＜-x＜2)的条件下，在区间(1，x)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度⼜所以由于f X (x)f Y(y)≠f(x，y)，所以X与Y不独⽴．(2).求P{3Y≤2X}；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，(3).记Z=X-Y，求Z的概率密度f Z (z)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：已知(x，y)～f(x，y)，则Z=X-Y的取值范围为0＜Z＜1．当0＜z＜1时，Z=X-Y的分布函数为则故设随机变量X与Y相互独⽴，X的概率分布为，Y的概率密度函数为Z=X+Y．求：（分数：6.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(2).Z的概率密度函数．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：F Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X=-1，Y≤z+1}+P{X=0，Y≤z}+P{X=1，Y≤z-1}．因为X与Y相互独⽴，故①当z+1＜0(z-1＜-2)，即z＜-1时，f Y (y)=0，从⽽F Z (z)=0；②当0≤z+1＜1(-2≤z-1＜-1)，即-1≤z＜0时，③当-1≤z-1＜0(1≤z+1＜2)，即0≤z＜1时，④当0≤z-1＜1(2≤z+1＜3)，即1≤z＜2时，⑤当1≤z-1(3≤z+1)，即z≥2时，综上故设⼆维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为U=X+Y，V=X-Y．求：（分数：6.00）(1).U的分布函数F 1 (u)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当u＜0时，F 1 (u)=0；当u≥0时，故U的分布函数F 1 (u)为(2).V的分布函数F 2 (v)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当v＜0时，F 2 (v)=0；当v≥0时，故V的分布函数F 2 (v)为(3).P{U≤u，V≥v}(u＞v＞0)，并判断U与V是否独⽴．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()当u＞0，v＞0时，P{U≤u}P{V≥v}=F 1(u)·[1-F 2 (v)]=e -2v (1-e -u ) 2≠P{U≤u，V≥v}，从⽽可知，U与V不独⽴．设⼆维随机变量(X，Y)在矩形区域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}上服从⼆维均匀分布，随机变量求：（分数：6.00）(1).U和V的联合概率分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(U，V)的可能取值为(-1,-1)，(-1,1)，(1,-1,)，(1,1)，如下图．依题意知，X与Y的联合概率密度为则有同理类似地可以计算出其他P ij的值：(2).讨论U和V的相关性和独⽴性．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：从(U，V)的联合分布与边缘分布可以计算出所以E(UV)=E(U)·E(V)，U与V不相关；⼜因为P{U=u，V=v}=P{U=u}·P{V=v}，所以U与V相互独⽴．。
《概率论与数理统计》考研历年真题汇总集及答案（版）
山东科技大学2009—2010学年第 二 学期《概率论与数理统计》（A 卷）考试试卷班级班级 姓名姓名 学号学号一、填空题（每题5分，共15分）分） 1、设(),31=A P ()21=B A P ，且B A ,互不相容，则()_____________=B P .2、设()()4.0,10~,6,0~21b X U X ，且21,X X 相互独立，则=-)2(21X X D . 3、设nXX X ,,,21为总体),(~2s m N X 的一个样本，则~)(122å=-ni i X s m ____________.二、选择题（每题每题55分，共分，共151515分分）1、设总体)4,(~m N X ，n X X X ,,,21是来自总体X 的容量为n 的样本，则均值m 的置信水平为a -1的置信区间为（）的置信区间为（） （A ）)2(a z n X ±(B) )2(2a z n X ±(C) ))1((-±n t n S X a (D) ))1((2-±n t n S X a 2、设随机变量),2(~2s N X ，若3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P （）（）（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.6 （D ）0.83、设921,,,X X X 相互独立，且)9,,2,1(,1)(,1)( ===i X D X E i i ，对于0>"e ，有（），有（）（A ）2911}|1{|-=-³<-åee i i X P （B ）2911}|9{|-=-³<-åe e i i X P（C ）29191}|1{|-=-³<-åee i i X P （D ）29191}|9{|-=-³<-åe e i i X P 三、解答下列各题（共（共424242分）分）1、（10分）某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，分）某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，97%97%97%的患者检验结果为阳性，的患者检验结果为阳性，的患者检验结果为阳性，95%95%的未患病者检验结果为阴性，设该病的发病率为0.4%.0.4%.（（1）求某人检验结果为阳性的概率；）求某人检验结果为阳性的概率； （2）现有某人检验结果为阳性，求其患病的概率）现有某人检验结果为阳性，求其患病的概率. .题号题号 一 二 三 四 五 总得分评卷人评卷人审核人审核人得分得分2、（12分）设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为îíì>>=+-其他,00,0,)()2(y x cex f y x ，求：（1）常数c ；（2）Y X ,是否相互独立；（3）)|(x y fXY ；（4）(1)P X Y +£.3、（10分）二维随机变量(,)X Y 有如下的概率分布有如下的概率分布YX-1 01 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0.0 0.1 30.00.30.1（1）求)(),(Y E X E ，)(),(Y D X D ；（2）XY r ；（3）设,)(2Y X Z -=求)(Z E . 4、（10分）设X 的概率密度+¥<<¥-+=x x x f ,)1(1)(2p ，求31x Y -=的概率密度的概率密度. .四、解答下列各题（共20分）分）1、（10分）已知随机变量X 的概率密度为îíì>=+-其他,0,)()1(Cx xC x f q qq ，其中0>C 为已知，为已知， 其中1>q 为未知参数，n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，求q 的矩估计量与最大似然估计量的矩估计量与最大似然估计量. . 2、（10分）某种内服药品有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均值为22的正态分布的正态分布..现研制这种新药品，测试了10名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：1818，，2727，，2323，，1515，，1818，，1515，，1818，，2020，，1717，，8 问能否肯定新药的副作用小？)05.0(=a （附表：2622.2)9(025.0=t，8331.0)9(05.0=t，96.1025.0=z，65.105.0=z）五、证明题（8分）设n X X X ,,,21 是总体),(~2s m N X 的简单随机样本，样本方差的简单随机样本，样本方差,)(11212å=--=n i i X X n S 证明12)(42-=n S D s .。
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷60.doc
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[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷60一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条件是（A）E(X－Y)＝0．（B）D(X—Y)＝0．（C）E(X2－Y2)＝0．（D）E[X(Y－EY)]＝0．2 设A1，A2是两个随机事件，随机变量X i＝(i＝1，2)，已知X1与X2不相关，则（A）X1与X2不一定独立．（B）A1与A2一定独立．（C）A1与A2不一定独立．（D）A1与A2一定不独立．二、填空题3 每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字0，三张卡片都写有数字1，另两张卡片上分别写有数字2与9．将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为2001911的概率是_______．4 设A、B、C是三个随机事件，A C，B C，P(A)＝0．7，P(A－C)＝0．4，P(AB)＝0．5，则P(AB)＝_______．5 设A、B是两个随机事件，0＜P(B)＜1，AB＝，则P(A｜)＋P(｜B)＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6 将3个球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1，2，3的概率．7 将一颗正六面体的骰子连续掷两次，B、C分别表示第一次和第二次掷出的点数，求抛物线y＝χ2＋Bχ＋C与χ轴没有交点的概率p．8 随机地向半圆Ω＝{(χ，y)：0＜y＜}内投掷一点(r＞0)，事件A表示“掷点与原点连线和χ轴正方向夹角小于，π／6”，求P(A)．9 设A、B是两个随机事件，P(A)＝0．4，P(B｜A)＋P()＝1，P(A∪B)＝0．7，求P()．10 某批产品优质品率为80％，每个检验员将优质品判断为优质品的概率是90％，而将非优质品错判为优质品的概率是20％，为了提高检验信度，每个产品均由3人组成的检查组，每人各自独立进行检验1次，规定3人中至少有2名检验员认定为优质品的产品才能确认为优质品．假设各检验员检验水平相同．求一件被判断为优质品的产品确实真是优质品的概率．11 甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为0．7，乙为0．6，试求二人试验成功次数相同的概率．12 一条旅游巴士观光线共设10个站，若一辆车上载有30位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这10个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，规定旅游车只在有乘客下车时才停车．求：(Ⅰ)这辆车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下在第i站停车的概率；(Ⅱ)判断事件“第i站不停车”与“第i站不停车”是否相互独立．13 设离散型随机变量X的概率分布为 P{X＝n}＝a2p n，n＝0，1，2，…，试确定a 与p的取值范围．14 设钢管内径服从正态分布N(μ，σ2)，规定内径在98到102之间的为合格品；超过102的为废品，不足98的是次品，已知该批产品的次品率为15．9％，内径超过101的产品在总产品中占2．28％，求整批产品的合格率．15 设连续型随机变量X的分布函数为求使得｜F(a)－｜达到最小的正整数n．16 假定某街道有n个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为1：2．今有一汽车沿该街道行驶，若以X表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求X的分布律．17 设1000件产品中有150件次品，从中一次抽取3件，求：最多取到1件次品的概率．18 一大批种子的发芽率是99．8％，从中随机地选取1000粒进行试验，求这1000粒种子中发芽数目X的概率分布并计算恰好只有一粒种子未发芽的概率．19 一批玻璃杯整箱出售，每箱装有12只，其中含有0个，1个，2个次品的概率分别是0．6，0．2，0．2．一顾客需买该产品5箱，他的购买方法是：任取一箱，打开后任取3只进行检查，若无次品就买下该箱，若有次品则退回另取一箱检查，求他需要检查的箱数X的概率分布及检查箱数不超过6箱的概率β．20 连续进行射击直到第二次击中目标为止，假定每次射击的命中率为p(0＜p＜1)，X1表示首次击中目标所需进行的射击次数，X2表示从首次击中到第二次击中目标所进行的射击次数；Y表示第二次击中目标所需进行的射击总次数，求X1，X2，Y的概率分布．21 在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0＜p1，p2＜1)．求： (Ⅰ)甲攻擂次数X1的概率分布； (Ⅱ)乙攻擂次数X2的概率分布； (Ⅲ)擂主丙对甲、乙二人守擂总次数X3的概率分布． (Ⅳ)假设乙对丙的胜率p2是1／4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率．22 设一条生产线调试后启动时立即烧坏的概率为0．001，但它一旦启动，则无故障工作的时间服从参数为0．01的指数分布．若随机变量X表示生产线无故障工作的时间，求X的分布函数F(χ)以及P{X＞100}．23 设离散型随机变量X的概率分布为P{X＝n}＝，n＝1，2，…，求Y＝tan的分布函数．24 将一枚均匀的硬币接连掷5次．(Ⅰ)求正面出现次数X的概率分布；(Ⅱ)在反面至少出现一次的条件下，求正面与反面出现次数之比Y的概率分布．25 若随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，求随机变量Y＝X lnX的概率密度函数．26 设随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，Y＝X2，求Y的概率密度f Y(y)．27 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y＝e X，求Y的概率密度．28 设随机变量U服从标准正态分布N(0，1)，随机变量求：(Ⅰ)X与Y的联合分布； (Ⅱ)X与Y的相关系数ρXY．29 设随机变量X与Y同分布，X～，并且P{XY＝0}＝1．求(X，Y)的联合概率分布与X＋Y的概率分布．30 已知(X，Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(χ，y)，并问X与Y是否独立?为什么? (Ⅱ)求条件概率密度f X｜Y(χ｜y)，f Y｜X(y｜χ)及条件概率P{X＋Y＞1｜X＜}； (Ⅲ)记Z1＝Y－X，求证Z1服从参数λ＝1的指数分布，并计算Z2＝X＋Y的概率密度．31 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其分布参数μ1＝μ2＝0，σ12＝σ22＝1，ρ＝／2．求证： (Ⅰ)关于X的边缘分布是正态分布； (Ⅱ)在X＝χ条件下，关于Y的条件分布也是正态分布．32 设随机变量X1与X2是关于χ的一元二次方程χ2＋Y1χ＋Y2＝0的两个根，并且X1与X2相互独立都服从参数为的0－1分布． (Ⅰ)求随机变量Y1与Y2的联合分布； (Ⅱ)求DY1，DY2，cov(Y1，Y2)； (Ⅲ)若U＝Y1＋Y2，V＝Y1－Y2，求DU，DV，cov(U，V)．33 设随机变量X与Y独立，其中X服从参数p＝0．7的0－1分布，Y服从参数λ＝1的指数分布，令U＝X－Y，求U的分布函数G(u)．34 设二维随机变量(U，V)的联合概率密度为 f(u，v)＝．求证：(Ⅰ)X＝U＋V服从正态分布； (Ⅱ)Y＝U2＋V2服从指数分布．35 设随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0＜χ＜2．0＜y＜2}上服从均匀分布， (Ⅰ)求U＝(X＋Y)2的概率密度； (Ⅱ)求V＝max(X，Y)的概率密度； (Ⅲ)求W＝XY的概率密度．36 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为令随机变量U＝－X，V＝X＋Y，W＝X－Y，求： (Ⅰ)U的分布函数F1(u)； (Ⅱ)V的分布函数F2(v)； (Ⅲ)W的分布函数F3(w)； (Ⅳ)PV≤v，W≥w}(v＞w＞0)．37 设二维随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0≤χ≤2，0≤y≤1}上服从二维均匀分布，随机变量 (Ⅰ)求U和V的联合概率分布； (Ⅱ)讨论U和V的相关性与独立性．。
考研数学概率论和数理统计第一章测试题(卷)(含答案解析)
考研数学概率论与数理统计第一章测试题（含答案）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.对于任意二事件A 和B ，与B BA不等价．．．的是（）(A)B A (B)A B(C)BA (D)BA 2.设事件A 与事件B 互不相容，则（）(A)0)(B A P (B))()()(B P A P AB P (C))(1)(B P A P (D)1)(B AP 3.对于任意二事件A 和B ，则以下选项必然成立的是（）(A)若AB ，则B A,一定独立 (B)若AB ，则B A,有可能独立(C)若AB ，则B A,一定独立 (D)若AB，则B A,一定不独立4.设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）(A)A 与B 互不相容(B)A 与B 相容(C))()()(B P A P AB P (D))()(A P B AP 5.设B A,为任意两个事件，且B A ，0)(B P ，则下列选项必然成立的是（）(A))|()(B A P A P (B))|()(B A P A P (C))|()(B A P A P (D))|()(B A P A P 6.设B A,为两个随机事件，且0)(B P ，1)|(B A P ，则必有（）(A))()(A P B A P (B))()(B P B A P (C))()(A P B A P (D))()(B P B AP 7.已知1)(0B P ，且)|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P ，则下列选项成立的是（）(A))|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P (B))()()(2121B A P B A P B A BA P (C))|()|()(2121B A P B A P A A P (D))|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P 8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A {掷第一次出现正面}，2A {掷第二次出现正面}，3A {正、反面各出现一次}，4A {正面出现两次}，则事件（）(A)321,,A A A 相互独立 (B)432,,A A A 相互独立(C)321,,A A A 两两独立 (D)432,,A A A 两两独立9.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p （10p ），则此人第4射击恰好第2次命中目标的概率为（）(A)2)1(3p p (B)2)1(6p p (C)22)1(3p p (D)22)1(6p p 10.设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)()(0C P AC P ，则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是（）(A)B A与C (B)AC 与C (C)B A与C (D)AB 与C二、填空题（每小题2分，共14分）1.“C B A ,,三个事件中至少有两个发生”，这一事件可以表示为___2.若事件B A ，满足1BP A P ，则A 与B 一定____________3.在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于21的概率为4.在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
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考研真题一1.在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,电炉就断电,以E表示事件"电炉断电",设为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件E等于( ).数三、四考研题2.设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是( ).(A)A与BC独立;(C)AB与AC独立;(B)AB与独立与独立.00数四考研题01数四考研题3.对于任意二事件A和B,与不等价的是( ).设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1,证明是事件A与B独立的充分必要条件.5.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:掷第一次出现正面},则事件( ).(A)A1,A2,A3相互独立;(C)A1,A2,A3两两独立;6.对于任意两个事件A和B( ).(A)若则A,B一定独立;(C)若则A,B一定独立;(B)A2,A3,A4相互独立;(D)A2,A3,A4两两独立.03数四考研题02数四考研题掷第二次出现正面正、反面各出现一次正面出现两次},03数三考研题(B)若则A,B有可能独立;(D)若则A,B一定不独立.7.从数1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从中任取一个数, 记为Y, 则三、四考研题.1.考研真题二1.设随机变量X的概率密度为,其它以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数,则94数三考研题2.假设随机变量X的概率密度为,其它现在对X进行n次独立重复观测,以Vn表示观测值不大于0.1的次数.试求随机变量Vn的概率分布.94数四考研题3.设随机变量X服从正态分布2),则随的增大,概率95数三、四考研题(A)单调增大;(B)单调减少;(C)保持不变;(D)增减不定.4.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂,以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求:(1)全部能出厂的概率(2)其中恰好有两件不能出厂的概率其中至少有两件不能出厂的概率95数三、四考研题5.假设随机变量X服从参数为2的指数分布,证明在区间(0,1)上服从均匀分布.95数四考研题6.一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件,第i个零件是不合格品的概率p1以X表示3个零件中合格品的个数,则96数四考研题.3.7.假设随机变量X的绝对值不大于4;在事件出现的条件下,X在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,试求X的分布函数97数三考研题8.设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布.若59,则数四考研题9.假设随机变量X的绝对值不大于4;在事件出现的条件下,X在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求(1)X的分布函数取负值的概率p.97数四考研题10.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( ).5;.98数三、四考研题11.设随机变量X的概率密度为其它若k使得3,则k的取值范围是__________.00数三考研题12.设随机变量X的概率密度为,其它F(x)是X的分布函数,求随机变量的分布函数.03数三、四考研题.4.则这两个数之差的绝对值小于12的07数三、四考研题.5. 考研真题三1.随机变量X和Y的联合分布是正方形上的均匀分布,试求随机变量的概率密度p(u).01数三考研题2.假设一设备开机后故障工作的时间X服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX)为5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机,试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).02数三考研题3.设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y),求随机变量的概率密度g(u).03数三考研题4.设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,在的条件下,随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布,求:(1)随机变量X和Y的联合概率密度;(2)Y的概率密度;(3)概率数四考研题5.设二维随机变量(X,Y)的概率分布XY0100.4a1b0.1若随机事件}与相互独立, 则数三考研题6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其它..6.13.在区间(0,1)中随机地取两个数,概率为____________.求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y);的概率密度fZ(z);数三、四考研题7.设二维随机变量(X,Y)的概率分布XY0100.4a1b0.1已知随机事件与相互独立, 则( ).05数四考研题设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0, 3]上的均匀分布,则数三考研题9.随机变量x的概率密度为06数三、四考研题其它令为二维随机变量(X ,Y)的分布函数,求:(1) Y的概率密度设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为( ).07数三、四考研题(A)fX(x); (B)fY(y); (C)fX(x)fY(y); (D)fX(x)f.Y(y)11.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为07数三、四考研题其它,.7.(Ⅰ)求Ⅱ)求的概率密度fz(z)..8.考研真题四1.设随机变量X在区间上服从均匀分布;随机变量若若若则方差00数三、四考研题2.设A,B是二随机事件;随机变量若A出现若A不出现若B出现;.若B不出现.试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.00数三、四考研题3.设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f1其中和都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为113和它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零,方差都是1.(1)求随机变量X和Y的密度函数f1(x)和f2(y),及X和Y的相关系数可以直接利用二维正态密度的性质).(2)问X和Y是否独立?为什么?00数四考研题4.设随机变量X和Y的数学期望分别为和2,方差分别为1和4,而相关系数为则根据切比雪夫不等式P01数三考研题5.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977..9.其中是标准正态分布函数.)01数三、四考研题6.设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式01数四考研题7.设随机变量X和Y的联合分布是以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的方差.01数四考研题8.设随机变量X和Y的联合概率分布为概YX0.080.320.20则X2和Y2的协方差02数三考研题9.假设随机变量U在区间上服从均匀分布,随机变量若若若若试求:(1)X和Y的联合概率分布;02数三考研题10.设随机变量X和Y的联合概率分布为概YX0.180.1510.080.320.20则X和Y的相关系数02数四考研题11.设随机变量相互独立则根据列维林德伯格中心极限定理,当n充分大时,Sn近似服从正态分布,只要02数四考研题(A)有相同的数学期望;(B)有相同的方差;(C)服从同一指数分布;(D)服从同一离散型分布..10.12.设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则( ).(A)X与Y一定独立;(B)(X,Y)服从二维正态分布;(C)X与Y未必独立;服从一维正态分布.03数四考研题13.设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若则Y与Z的相关系数为____________.03数三考研题14.设总体X服从参数为2的指数分布为来自总体Xn的简单随机样本,则当时1X2依概率收敛于__________.i03数三考研题15.设随机变量X和Y的相关系数为则E(X03数四考研题16.对于任意两个事件A和称做事件A和B的相关系数.(1)证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零;(2)利用随机变量相关系数的基本性质,证明数四考研题17.设随机变量X服从参数为的指数分布,则04数三考研题18.设A,B为两个随机事件,且,令发生,发生不发生,不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(2)X与Y的相关系数的概率分布.04数三、四考研题.11.19.设随机变量X服从参数为的指数分布,则04数四考研题20.设随机变量X独立同分布,且其方差为令随机变量1则( ).04数四考研题nn;21.设为独立同分布的随机变量列, 且均服从参数为的指数分布, 记为标准正态分布函数,则( ).05数四考研题22.设为独立同分布的随机变量, 且均服从N(0,1),记1nXi,求(1)Yi的方差(2)Y1与Yn的协方差05数四考研题23.设总体X的概率密度为x2e为总体的简单随机样本, 其样本方差S2, 则E(S2)=__________.06数三考研题24. 设随机变量X服从正态分布服从正态分布且则( )06数三、四考研题(A)(B)(C)(D)25. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为06数四考研题XY00.1c其中a,b,c为常数,且x的数学期望记求:(1)a,b,c的值；(2)Z的概率分布；26.设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为07数四考研题X12P记求(Ⅰ)(U,V)的概率分布;(Ⅱ)U与V的协方差Cov(U,V)..13.考研真题五1.设是来自正态总体的简单随机样本,X是样本均值,记nn1n2则服从自由度为的t分布的随机变量是( ).94数三考研题;s4/n.2.设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),而和分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量9服从_______分布,参数为_______. 97数三考研题3.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,则当时,统计量X 服从分布,其自由度为________. 98数三考研题4.在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同 服从正态分布N(a,0.22).若以Xn 表示n 次称量结果的算术平均值,则为使n 的最小值应不小于自然数_________. 99数三考研题 5.设是来自正态总体X 的简单随机样本, .14.9证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布.99数三考研题6.设总体X 服从正态分布N(0,22),而是来自总体X 的简单随机样本,则随机变量 2服从_________分布,参数为___________.01数三考研题7.设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布,则( ).02数三考研题服从正态分布服从分布; (C)X2和Y2都服从分布;(D)X2/Y2服从F 分布.8.设随机变量X 服从正态分布N(0,1),对给定的数满足若则x 等于( ).04数三、四考研题229.设总体X服从正态分布总体Y服从正态分布和分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则数三考研题10.设随机变量X的分布函数为,.15.其中参数设为来自总体X的简单随机样本,(1)当时,求未知参数的矩估计量;(2)当时,求未知参数的最大似然估计量;(3)当时,求未知参数的最大似然估计量.04数三考研题.16.考研真题六1.设由来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值则未知参数的置信度为0.95的置信区间是_______.96数三考研题2.假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知服从正态分布(1)求X的数学期望EX(记EX为b);(2)求的置信度为0.95的置信区间;(3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.00数三考研题3.设总体X的概率密度为,若若而是来自总体X的简单随机样本,则未知参数的矩估计量为_______.02数三考研题4.设一批零件的长度服从正态分布其中均未知. 现从中随机抽取16个零件, 测得样本均值样本标准差则的置信度为0.90的置信区间是( ).05数三考研题;;.5.设为来自总体的简单随机样本, 其样本均值为,记.17.(1)求Yi的方差求Y1与Yn的协方差cov(Y1,Yn);(3)若是的无偏估计量, 求常数c.05数三考研题设总体X的概率密度为其中是未知其它参数为来自总体的随机样本,记N为样本值x1, 中小于1的个数, 求的最大似然估计.06数三考研题7.设总体X的概率密度为0,其它其中参数未知是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.(Ⅰ)求参数的矩估计量;(Ⅱ)判断4X2是否为的无偏估计量,并说明理由.07数三考研题.18.,其中参数的t检验使95数三考研题.19. 考研真题答案考研真题一1.C.2.A.3.D.5.C.6.B.7.13/48.8.C.考研真题二1.9/64.2.Cmn(0.01)m(0.99)若若若若若若若若若考研真题三其它其它其它其它其它.20.考研真题七1.设是来自正态总体的简单随机样本n1n22和未知,记则假设用统计量;(3)34.其它7.B.8.1983;(3)14.其它11.(Ⅰ)724;(Ⅱ0,其它考研真题四1.89.23.(1)f1e22e;(2)不独立.4.1/12.5.98.6.1/12.7.1/18.9.(1)(2)2.11/21/410.0.11.C.12.C.13.0.9.14.1/2.15.6.17.1.18.(1)XY01;Z0102/31/12(2)15;(3)2P2/31/41/12.11/61/1219.1/e.20.C.21.C.22.(1);12..21.23.2.24.A.1210.10.50.30; (3)0.4.P0.V26.(Ⅰ)U121;(Ⅱ) 4081.241考研真题五1.B.2.t;9.3.1/20,1/100,2.4.16.210.(1)n;(2)n;考研真题六1.(4.412,5.588n3.4.C.5.(1)n.6.N. 7.(Ⅰ)12;(Ⅱ)不是.考研真题七1.XQ.22.。
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编11.doc
[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编11一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y＝．则（A）Y～χ2(n)（B）Y～χ2(n－1)（C）Y～F(n，1)（D）Y～F(1，n)2 设X1，X2，…，X n(n≥2)为来自总体N(0．1)的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则（A）n～N(0，1)（B）nS2～χ2(n)（C）～t(n－1)（D）～F(1，n－1)3 设随机变量X～t(n)，Y～F(1．n)，给定α(0＜α＜0．5)．常数c满足P{X＞c}＝α．则P{Y＞c2}＝（A）α．（B）1－α．（C）2α．（D）1－2α．4 设X1，X2，…，X n(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（A）(X i－μ)2服从χ2分布．（B）2(X n－X1)2服从χ2分布．（C）服从χ2分布．（D）n(－μ)2服从χ2分布．5 设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，χ1，χ2，…，χn是来自总体X的简单随机样本，据此样本检验假设：H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0，则（A）如果在检验水平α＝0．05下拒绝H0，那么在检验水平α＝0．01下必拒绝H0．（B）如果在检验水平α＝0．05下拒绝H0，那么在检验水平α＝0．01下必接受H0．（C）如果在检验水平α＝0．05下接受H0，那么在检验水平α＝0．01下必拒绝H0．（D）如果在检验水平α＝0．05下接受H0，那么在检验水平α＝0．01下必接受H0．二、填空题6 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{｜X－E(X)｜≥2}≤_______．7 已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则μ的置信度为0．95的置信区间是_______．(注：标准正态分布函数值Ф(1．96)＝0．975，Ф(1．645)＝0．95)8 设X1，X2，…，X m为来自二项分布总体B(n，p)的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差．若＋kS2为np2的无偏估计量，则k＝_______．9 设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本．若c X i2是θ2的无偏估计，则c ＝_______．10 设χ1，χ2，…，χn为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值＝9．5，参数μ的置信度为0．95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一-概率论与数理统计假设检验.doc
考研数学一-概率论与数理统计假设检验(总分：23.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：12.00)1.在假设检验中，显著性水平α是（分数：1.00）A.第一类错误概率．B.第一类错误概率的上界．C.第二类错误概率．D.第二类错误概率的上界．2.在假设检验中，显著性水平α的意义是（分数：1.00）A.原假设H0成立，经检验被拒绝的概率．B.原假设H0成立，经检验被接受的概率．C.原假设H0不成立，经检验被拒绝的概率．D.原假设H0不成立，经检验被接受的概率3.对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平α=0.05下接受H0：μ=μ0，H1：μ＞μ0，则在显著性水平α=0.01下（分数：1.00）A.必接受H0．B.必拒绝H0，接受H1．C.可能接受也可能拒绝H0．D.拒绝H0，可能接受也可能拒绝H1．4.在假设检验中，如果待检验的原假设为H0，那么犯第二类错误是指（分数：1.00）A.H0成立，接受H0．B.H0不成立，接受H0．C.H0成立，拒绝H0．D.H0不成立，拒绝H0．5.假设总体X服从正态分布N(μ，1)，关于总体X的数学期望μ有两个假设H0：p=0；H1：μ=1．已知X1，…，X9是来自总体X uα表示标准正态分布上α分位数，H0的4个否定域分别取为1.00）A.B.C.D.6.假设某种元件寿命(单位：千小时)原来服从正态分布N(5，0.32)，现采用新工艺加工，所得的产品寿命服从正态分布N(μ，0.32)．为检验这种工艺是否提高元件的使用寿命，为此需要做统计检验，如果检验者对新工艺持保守态度，将元件寿命没有提高作为原假设H0，那么原假设，备择假设应该是（分数：1.00）A.H0：μ=5；H1：μ≠5．B.H0：μ=5；H1：μ＞5．C.H0：μ=5；H1：μ＜5．D.H0：μ≤5；H1：μ＞5．7.对取显著性水平为α的假设检验问题，犯第一类错误(弃真)的概率为p，则（分数：1.00）A.p≤1-α．B.p≥1-α．C.p≤α．D.p≥α．8.假设总体X H0：μ=μ0；H1：μ＞μ0．如果取H0的否定域为(x1，…，x n)C 1.00）A.B.C.D.9.自动装袋机装出的物品每袋重量服从正态分布N(μ，σ2)，规定每袋重量的方差不超过a．为了检验自动装袋机的生产是否正常，对它生产的产品进行抽样检查，取零假设H0：σ2≤a，显著性水平α=0.05，则下列说法正确的是（分数：1.00）A.如果生产正常，则检验结果也认为生产是正常的概率为95%．B.如果生产不正常，则检验结果也认为生产是不正常的概率为95%．C.如果检验结果认为生产正常，则生产确实正常的概率为95%．D.如果检验结果认为生产不正常，则生产确实不正常的概率为95%．10.假设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均为未知参数，则下列统计假设中属于简单假设的是（分数：1.00）A.H0：μ：0，σ＞1．B.H0：μ=0，σ=1．C.H0：μ＜3，σ=1．D.H0：0＜μ＜3．11.设X1，…，X n是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ和σ2未知，样本均值与方差分S2，则假设H0：μ=μ0选用的检验统计量为1.00）A.B.C.D.12.在产品质量检验时，原假设H0：产品合格．为了使次品混入正品的可能性很小，则在样本容量n固定的条件下，显著性水平α(0＜α＜1)（分数：1.00）A.应取大些．B.应取小些．C.应取定数．D.可以取(0，1)中的任意数．二、填空题(总题数：4，分数：6.00)13.假设总体Xσ0=0.3．基于来自总体X的容量为9的简单随机样本，2.00）填空项1:__________________14.假设总体X～N(μ，1)，关于总体X的数学期望μ的假设H0：μ=0；基于来自总体X的容量为9的简单1.00）填空项1:__________________15.假设总体X～N(μ，σ2)，且X1，X2，…，X n是来自总体X的简单随机样本，设1.00）填空项1:__________________16.已知总体X服从正态分布N(μ，1)，关于期望μ的待检假设H0：μ=0，H1：μ=1．已知X1，…，X9是来自总体X H0的否定域为 2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：1，分数：5.00)17.某工厂生产零件长度X服从正态分布N(μ，σ2)，根据其精度要求，零件长度标准差不得超过0.9，现从该产品中取出19个样本，测得样本标准差S=1.2．问在显著性水平α=0.01下能否认为这批零件标准差显著偏大．如果α=0.05，结论又如何α 5.00）__________________________________________________________________________________________。