数列综合单元测试 Word版 含答案

5.5 数列综合 考向归纳 考向1等差数列与等比数列的综合应用 1．已知{an}为等差数列且公差d≠0，其首项a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( ) A．－110 B．－90 C．90 D．110 【解析】 由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝(a7)2， 即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2， 化简可得2a1d＋20d2＝0， 由a1＝20，d≠0，解得d＝－2.

则S10＝10a1＋10×92×(－2)＝110. 【答案】 D 2．设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝( ) A．15 B．60 C．63 D．72 【解析】 数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列， 则an＝3＋(n－1)×1＝n＋2， {bn}是以1为首项，2为公比的等比数列， 则bn＝2n－1，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝b3＋b4＋b5＋b6 ＝22＋23＋24＋25＝60. 【答案】 B 3．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列(bn＞0)，且a1＝b1＝2，a3

＋b3＝16，S4＋b3＝34.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记Tn为数列{anbn}的前n项和，求Tn. 【解】 (1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由已知q＞0，∵a1＝b1＝2，a3＋b3＝16，S4＋b3＝34.∴{ 2＋2d＋2q2＝16，8＋6d＋2q2＝34

⇒{ d＝3，q＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1，bn＝b1qn－1＝2n.(2)Tn＝2×2＋5×22＋…＋(3n－1)×2n，2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－1)×2n＋1， 两式相减得－Tn＝4＋3×22＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝4＋121－2n－11－2－(3n－1)×2n＋

1＝－8－(3n－4)2n＋1.

∴Tn＝(3n－4)2n＋1＋8.

等差数列、等比数列综合问题的解题策略 1．分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为先出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． 2．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． 考向2数列的实际应用 1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年 ，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)． 【解】 (1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，

a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4 500－52d， … an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d.

(2)由(1)得an＝32an－1－d＝3232an－2－d－d ＝322an－2－32d－d ＝… ＝32n－1a1－d1＋32＋322＋…＋32n－2 整理得an＝32n－1(3 000－d)－2d32n－1－1 ＝32n－1(3 000－3d)＋2d. 由题意，am＝4 000，即32m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000. 解得d＝32m－2×1 00032m－1＝1 0003m－2m＋13m－2m. 故该企业每年上缴资金d的值为1 0003m－2m＋13m－2m时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．

解答数列实际应用问题的步骤 1．确定模型类型理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型，基本特征见下表 数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少 等比数列 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 简单递推 数列 指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{an}满足an＋1＝1.2an－a 2.准确求解模型解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确． 3．给出问题的回答实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这一点． [变式训练] 1.现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________. 【解析】 设对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a26＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，∴(a1＋5d)2＝a1(an

－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，∴an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝

38，解得n＝16. 【答案】 16 考向3数列与其他知识的交汇问题 ●命题角度1 数列与函数的交汇问题 1．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(3＋x)＝f(x)，f(2)＝－5，数列{an}满足a1＝－1，且Sn＝2an＋n(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a4)＋f(a5)＝________. 【解析】 ∵函数f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，又∵f(3＋x)＝f(x)， ∴f(x)是以3为周期的周期函数，∴f(2)＝f(－1)＝－5， ∵a1＝－1，且Sn＝2an＋n，∴a2＝－3， ∴a3＝－7，a4＝－15，∴a5＝－31， ∴f(a4)＋f(a5)＝f(－15)＋f(－31)＝f(0)＋f(－1)＝0＋f(2)＝－5. 【答案】 －5 2．(2014·四川高考)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求数列

an

bn

的前n项和Tn.

【解】 (1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7， 有2a8＝4×2a7＝2a7＋2. 解得d＝a8－a7＝2.

所以Sn＝na1＋nn－12d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在x轴上的截距为a2－1ln 2.

由题意知，a2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，从而an＝n，bn＝2n，anbn＝n2n.

所以Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n， 2Tn＝11＋22＋322＋…＋n2n－1. 因此，2Tn－Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n ＝2－12n－1－n2n＝2n＋1－n－22n 所以Tn＝2n＋1－n－22n. ●命题角度2 数列与不等式的交汇问题 3．(2014·广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式；

(3)证明对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1anan＋1<13. 【解】 (1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)． (2)由S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0. 又已知各项均为正数，故Sn＝n2＋n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n， 当n＝1时，a1＝2也满足上式， 所以an＝2n，n∈N*. (3)证明k∈N*,4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0， ∴4k2＋2k≥3k2＋3k，

∴1akak＋1＝12k2k＋1＝14k2＋2k≤13k2＋3k

＝131k－1k＋1. ∴1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1anan＋1 ≤13

11－12＋12－13＋…＋1n－1

n＋1

＝131－1n＋1<13. ∴不等式成立．

数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 1．数列与函数的交汇问题 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决． 2．数列与不等式的交汇问题