3.2.3直线的一般式方程 PPT课件
3.2.3 直线的一般式方程
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注意:在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一 般式方程,化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了;其他 形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化;一般式方程化为其 他形式的方程时,要注意限制条件,它们有如下的转化关系:
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
解:(1)方法一:设直线l的斜率为k,
因为l与直线3x+4y+1=0平行,
所以
k=−
3.
4
又因为
l
经过点(1,2),可得所求直线的方程为
y-2=−
3 4
(������
−
1),
即 3x+4y-11=0.
方法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为
(2)当
C≠0
时,方程两边同除以-C,得
������������ -������
+
������������ -������
=
1;
(3)化为截距式
������ -������������
+
������ -������������
=
1.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的,而两点式和点斜式不
唯一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.
=
������(������轴上的截距),
此时斜率不存在.
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知识拓展1.当AB>0时,k<0,倾斜角α为钝角;当AB<0时,k>0,倾斜角α 为锐角;当A=0,B≠0时,k=0,倾斜角α=0°;当B=0,A≠0时,k不存在,倾 斜角α=90°.
高中数学 3-2-3 直线方程的一般式课件 新人教A版必修2
A，B，C为系 数 垂直于x轴
任何情况
特殊 直线
且过点(a,0) 垂直于y轴且过
斜率不存在
y＝b(x轴：y＝0)
点(0，b)
斜率k＝0
设直线l的方程为(m2－2m)x＋2my＋6－m＝0，已知l在y轴 上的截距为2，试确定m的值．
[解析]
直线l在y轴上的截距为2，即x＝0时，y＝2，所以
m－6 2m ＝2，解得m＝－2. [点评] 求截距的方法：
解法2：设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0， 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0， ∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0. 设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0， 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0， ∴λ＝－2.∴所求直线为4x－3y－2＝0.
规律总结：1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax ＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为 Bx－Ay＋m＝0. 2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0 若l1⊥l2则：A1A2＋B1B2＝0；若A1A2＋B1B2＝0则l1⊥l2. 若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，反之若A1B2－A2B1＝0，则l1 ∥l2或l1与l2重合．
(2009· 安徽高考)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0 垂直，则l的方程是( A．3x＋2y－1＝0 ) B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
[答案] A
[解析]
由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的
3 3 斜率是－ ，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－ (x＋1)，即 2 2 3x＋2y－1＝0.
直线的一般式方程
A.C=0,B>0
B.C=0,B>0,A>0
C.C=0,AB<0
D.C=0,AB>0
【解析】选D.直线过原点,则C=0,又过第二、四象 限,所以斜率为负值,即 A 0 ,
B
所以C=0,AB>0.
4.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和 Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点， 求实数m的取值范围. 解：如图所示，直线l:x+my+m=0过定点 A(0，-1)，当m≠0时，
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我们共学习了哪几种直线方程的形式?
yy0k(xx0)
点斜式
y kxb
斜截式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
x y 1把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为0） 叫做直线的一般式方程，简称一般式. 一般式适用于任意一条直线.
(1)求实数m的范围.(2)若该直线的斜率k=1,求实数
m的值.
【解析】(1) 由
m2－3m
解2 得0, m=2,
m 2 0,
若方程表示直线，则m2-3m+2与m-2不能同时为
0，
故m≠2(.m23m2) 1,
m2
(2)由
解得m=0.
例.如果直线l经过点P(2,1),且与两坐标轴围成 的三角形面积为S.若这样的直线l有且只有2条, 求S的取值范围.
-4·4S<0,解得0<S<4.
1.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为0） 2.直线方程的一般式与特殊式的互化. 3.两条直线平行与垂直的判定.
3.2.3 直线的一般式方程
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想一想： 1．一般式方程 (1)定义：关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的 一般式方程，简称一般式． A (2)斜率：直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)，当 B≠0 时，其斜率是－ ，在 y 轴 B C 上的截距是－ ；当 B＝0 时，这条直线垂直于 x 轴，没有斜率． B 2．二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的全 体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条 直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．(同解方程视为同一方程)
由直线的斜率与截距判定两直线平行与垂直时，应注意斜率存在和不存在两 种情况的讨论．
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一般式的综合应用 【例 3】 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围．
截距式 一般式
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知识要点三：直线 l1：A1 x＋B1 y＋C1＝0，直线 l2：A2 x＋B2 y＋C2＝0 平行与垂直的判断 1．根据直线方程的一般式判断两直线平行 (1)当 B1≠0，B2≠0 时， A1 C1 A2 C2 k1 ＝－ ，b1＝－ ，k 2＝－ ，b2＝－ . B1 B1 B2 B2 A1 A2 C1 C2 当 l1∥l2 时， － ＝－ 且－ ≠－ (否则， 两直线重合)， A1 B2 －A2 B1＝0， B1 C2 即 且 B1 B2 B1 B2 －B2 C1≠0. C1 C2 (2)当 B1＝0，B2＝0 时，x1＝－ ，x2＝－ . A1 A2 ∵l1∥l2， C1 C2 ∴－ ≠－ ，即 A1 C2 －A2 C1≠0. A1 A2 综上所述：l1∥l2 ⇔A1 B2－A2 B1＝0 且 B1 C2－B2 C1≠0(或 A1 C2－A2 C1≠0)．
直线的一般式方程
(A) A·B>0,A·C>0
(B) A·B>0,A·C<0
(C) A·B<0,A·C>0
(D) A·B<0,A·C<0
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是( )
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
例题分析
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出
直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
y
. B
.
A
O
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；舟山出海捕鱼 舟山出海捕鱼
；
、相互照见即简易得多、笔直得多。哪像今人这般诡秘周折？ 什么叫“天地作合”？ ? 《诗经》里慢慢找。懂得天地，方懂男女。 最后，我想对孩子说一句：多闻草木少识人。 ? 这年头，名人的繁殖速度比细菌还快，都急疯了。 ? 草木润性，尘沸乱心。这个信息爆炸和绿色稀疏 的年代，即便“少识”，业已识多；即便“多闻”，亦然寡闻。 生命的舞鞋 偶尔，在路边的鞋店里，你会遇见一些特殊的顾客，他（她）是一位拄着双拐或摇着轮椅的不幸的人，空荡荡的裤管暗示他们已经失去了一条左腿或一条右腿……或许，一开始你并未多虑什么，只是用同情和尊 敬的目光轻轻地掠过那些受伤的躯体。可冷不丁，一个清冷的念头升了起来：在其一生中，会有多少永不曾穿用过的鞋子啊！而那只永远多余的鞋子又将在他们敏感脆弱的心灵中占据什么样的位置？ 这个念头久久折磨并感动着你。虽思忖不出更多的理性的意义，但觉得有一种清洌的生 命之美隐含在其中。 我曾亲眼目睹一位豆蔻少女，由双亲陪着将一辆轮椅摇进了鞋店。全家人兴致勃勃地围着柜台指点个不停，请老板把一只只精美的盒子打开、浏览，再换一只，打开……约半小时光景，他们在这不足十二平米的店铺里已研究了不下十双鞋子。奇怪的是，那少女总嫌 左鞋的质地不够完美而遗憾的摇头，在常人看来，这不免显得赘余，因为这命运已经注定她永无可能将这只实际的鞋子穿在脚上……但她和家人却挑剔得如此仔细、专注，笃诚的神情让人联想到收藏家。 一团美丽的小小的谜，像睫毛上的雾，不是么？直到后来—— 那天，我应邀到一位 朋友的朋友家参加一个晚会。到了才发现，晚会的女主人——那位弹奏出美妙琴声的典雅女子竟是位残疾人。她就那样怡静地坐在琴台后，披一袭水样的黑裙，不时回眸冲客人微笑着致意…… 那是一支名叫《在水一方》的曲子，我躲在最远的一处沙发上用心听着，惟觉得她身上有一股 月光般的清洁和摄人魂魄的力量……朋友告诉我，她曾是位小有名气的舞蹈演员，跳芭蕾舞的，在国内比赛中获过奖，四年前，她在旅游登山时遇上了滚石，失去了一条左腿。我愣住了，这灾难对一个靠足尖支撑生命的艺术女子而言，难道不比死亡更残酷吗？是的，朋友感触地说，她绝 望过、痛不欲生过、也曾偷偷服下过安眠药……可她毕竟挺过来了，现在她活得很出色，除了每天教学生练琴，还坚持写作，刚出了本散文集，很值得一读。 怀着好奇和钦佩的心情，我提出参观一下主人的书房。迎面墙上有一幅放大的黑白剧照，那是她在全国比赛中演出《天鹅湖》的 情景……最后，我驻足在一排栗色的工艺橱前，透过浅蓝的挡板玻璃，我看到十几双洁白纤巧的专用舞鞋，灵秀极了，被主人拼列成几组优美的几何图，翩然欲飞的神态……旁边还附有“年、月”等字样的纸卡，显然这都是她当初训练或比赛用过的。令人惊奇的是，在下方橱格里，还躺 着些极普通的鞋子，和常人用的并无二致，可它们仅有单只，准确地说，是左鞋，全是新的，是一只只从未穿过的左鞋…… 见我隐隐发怔的样子，女主人微笑着解释道：“我用不着，就留下了，算个纪念吧。” 眼前霍然一亮，我兴奋得有些颤抖，啊，找到啦！我终于找到它们啦！这些 神秘的永不曾穿用的鞋子，它们并没有像所担心的那样莫名其妙地失踪或遭遗弃，而是一直被很好地珍藏着，像其主人那样真实有力地生活在这个世界上。千真万确，它们即在眼前啊！ 猛想起日前遇见的残疾少女和她的家人，那萦绕于怀的疑窦倏然澄明了：那些鞋子的真正价值并非形 式上的实用，而是出于精神的完整和对美之对称的需要，对一个有追求有尊严的生命来说，它们是永不可或缺和漠视的啊！正像这位可敬的女演员，虽然失去了一条极有价值的腿，但却赋予了人生更丰厚的美和价值，她的生命并没有掉队…… 临别时，女主人送了我一本她自己的书。书 的封面正好是那幅感人的《天鹅湖》，空白处有一段醒目的作者手记—— “人生真正的道路是一条简陋的绳索。倘若你能优雅地走在上面，你要微笑，你要感激生命给予你这么多……而一旦你不幸被它绊倒，跌出了眼泪，当你爬起来重新上路时，你仍要始终不渝地微笑，你仍要感激生 命给了你这么多……” 消逝的“放学路上” ? 1 “小呀么小儿郎，背着那书包上学堂。不怕太阳晒，也不怕那风雨狂；只怕先生骂我懒呀，没有学问呀无脸见爹娘。” 30年前的儿歌倏然苏醒，当我经过一所小学的时候。 下午四点半，方才还空荡荡的小街，像迅速充胀的救生圈，被各 式私车和眼巴巴的家长塞满了。 开闸了，小人儿鱼贯而出，大人们蜂拥而上。一瞬间，无数的昵称像蝉鸣般绽放，在空中结成一团热云。这个激动人心的场面，只能用“失物招领”来形容。 就在这时，那首歌突然跃出了记忆，一字不差。 我觉得像被什么拍了下肩，它就在耳畔奏响了。 这支叫《读书郎》的儿歌，陪伴了我整个童年和红领巾季节。那会儿，它几乎是我每天上学路上的喉咙伴奏，或叫脑海音乐罢。偏爱有个理由：它不像其他歌那么“正”，念书不是为“四个现代化”或“革命接班人”，而是“先生”和“爹娘” 我觉得新鲜，莫名的亲切。哼唱时，我觉 得自己就是歌里的小儿郎。甚至想，要是老师变成“先生”该多好啊。好在哪，不知道。 那个黄昏，当它突然奏响时，我感觉后背爬上了一只书包，情不自禁，竟有股蹦蹦跳跳的念头 从前，上学或放学路上的孩子，就是一群没纪律的麻雀。 无人护驾，无人押送，叽叽喳喳，兴高采烈， 玩透了、玩饿了再回家。 回头想，童年最大的快乐就是在路上，尤其放学路上。 那是三教九流、七行八作、形形色色、千奇百怪的大戏台，那是面孔、语言、腔调、扮相、故事的孵化器，那是一个孩子独闯世界的第一步，乃其精神发育的露天课堂、人生历练的风雨操场我孩提时代几乎 所有的趣人趣事趣闻，都是放学路上邂逅的。那是个最值得想象和期待的空间，每天充满新奇与陌生，充满未知的可能性，我作文里那些真实或瞎编的“一件有意义的事”，皆上演在其中。它的每一条巷子和拐角，每一只流浪狗和墙头猫，那烧饼铺、裁缝店、竹器行、小磨坊，那打锡壶 的小炉灶、卖冰糖葫芦的吆喝、爆米花的香味、弹棉弓的铮铮响，还有谁家出墙的杏子最甜、谁家树上新筑了鸟窝都会在某一时分与我发生联系。 对成长来说，这是最肥沃的土壤。 很难想象，若抽掉“放学路上”这个页码，童年还剩下什么呢？ 于我而言，啥都没了，连日记都不会写。 那个黄昏，我突然替眼前的孩子惋惜 他们不会再有“放学路上”了。 他们被装进一只只豪华笼子，直接运回了家，像贵重行李。 2 为何会丢失“放学路上”呢？ 我以为，除城市膨胀让路程变遥远、为脚力所不及外，更重要的是“路途”变了，此路已非彼路。具体说，即“传统街区” 的消逝那温暖而有趣的沿途，那细节充沛、滋养脚步的空间，消逝了。 何谓传统街区？它是怎样的情形呢？ “城市应是孩子嬉戏玩耍的小街，是拐角处开到半夜的点心店，是列成一排的锁匠鞋匠，是二楼窗口探出头凝视远方的白发老奶奶街道要短，要很容易出现拐角。”这是简·雅各 布斯在《美国大城市的死与生》中的话，我以为是对传统街区最传神的描述。 这样的街区生趣盎然、信息肥沃、故事量大，能为童年生长提供最充分的乐趣、最周到的服务和养分，而且它是安全的，家长和教育者放心。为何现在保险箱里的儿童，其事故风险却高于自由放养的年代？雅 各布斯在这部伟大的书里，回忆了多年前的一个下午 “从二楼的窗户望去，街上正发生的一幕引起她的注意：一个男人试图让一个八九岁的小女孩跟自己走，他一边极力哄劝，一边装出凶恶的样子；小女孩靠在墙上，很固执，就像孩子抵抗时的那种模样我心里正盘算着如何干预，但很 快发现没必要。从肉店里出来一位妇女，站在离男人不远的地方，叉着胳膊，脸上露出坚定的神色。同时，旁边店里的科尔纳基亚和女婿也走了出来，稳稳站在另一边 锁匠、水果店主、洗衣店老板都 出来了，楼上很多窗户也打开了。男人并未留意到这些，但他已被包围了，没人会让他 把小女孩弄走结果，大家感到很抱歉，小女孩是那个男人的女儿。” 这就是老街的能量和涵义，这就是它的神奇和美感。 在表面的松散与杂乱之下，它有一种无形的篦梳秩序和维护系统，凭借它，生活是温情、安定和慈祥的。它并不过多搜索别人的隐私，但当疑点和危机出现时，所有 眼睛都倏然睁开，所有脚步都会及时赶到。 其实，这很像中国人的一个词，一个生态关键词：“街坊”。 这样的背景下，一个孩子独自上学或放学，需要被忧虑吗？ 自由，源于安全与信赖。若整个社区都给人以“家”的亲切和熟悉，那一个孩子，无论怎样穿梭和游走，结果都是快乐 地、收获颇丰地回到家里。而路上所有的插曲，包括挨骂的那些顽皮、冒险和出格，都是世界给他的礼物，都是对成长的奖励和爱抚。 在雅各布斯看来，城市人彼此之间最深刻的关系，“莫过于共享一个地理位置”。她反对仅把公共设施和住房作为衡量生活的指标，认为一个理想社区 应丰富人与人间的交流，促进公共关系的繁育，而非把生活一块块切开，以“独立”和“私人”的名义封闭化、决裂化。 这个视角，对人类有着重大的精神意义。顺着她的思路往下走，你很快即发现：我们通常讲的“家园”“故乡” 这些饱含体温与感情的地点词汇，其全部基础皆在于 某种良好的人际关系、熟悉的街区内容、有安全感的共同生活所谓“家园”，并非一个单纯的物理空间，而是一个和地点联手的精神概念，代表一群人对生活属地的集体认同和相互依赖。 单纯的个体是没有“故乡”的，单纯的门户是无“家”可言的。 就像水，孤独的一滴构不成“水” 之涵义，它只能叫“液体”。 3 我越来越觉得如今孩子尤其大城市孩子，正面临一个危险：失去“家”“故乡”这些精神地点。 有位朋友，儿子6岁时搬了次家，10岁时又搬了次家，原因很简单，又购置了更大的房子。我问，儿子还记不记得从前的家？带之回去过吗？他主动要求过吗？
模板直线的一般式方程ppt课件-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版.ppt
x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A.、.分割B.. 不同时为0。
10
形成新知
直线方程一般式
点斜式,斜截式,两点式,截距式四种方程都可以化成
Ax+By+C=0(其中A,B,C是常数,A,B不全为0)的形式. Ax+By+C=0叫做方程的一般式.
A（- 6,0），B(0，3),过A、B两点作直线即得（如图）
.y B
.
A
O
x
..分割..
19
跟踪训练
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角
为450，则m的值是
（ B）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为 3，则m的值是_____-_6____
垂直
k1k2 1
A1A2 B1B2 0
相交
k1 k2
..分割..
A1B2 A2B1 0
28
..分割..
29
课堂小结
（1）直线方程的一般形式，可以表示任何 一条直线
（2）几种直线方程的互化
（3）根据不同的已知条件利用相应直线方程 求出其解析式
..分割..
30
..分割..
31
名称 已知条件
标准方程Βιβλιοθήκη 使用范围斜率k和y轴
斜截式 上的截距b
y kx b
不包括y轴及平行 于y轴的直线
点斜式
斜率k和一点
P0 ( x0 , y0 )
y
第三章 3.2.3 直线的一般式方程
3．2.3 直线的一般式方程 学习目标 1.掌握直线的一般式方程；2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线；3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一 直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？答案 能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 答案 一定．思考3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？答案 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0得，y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B，在y 轴上截距为－C B 的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0得x ＝－C A，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．知识点二类型一 直线一般式的性质例1 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________.(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.答案 (1)－53(2)－2 解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3， ∴2m －6m 2－2m －3＝－3， 得m ＝－53或m ＝3(舍去)． ∴m ＝－53. (2)由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练1 (1)若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足________．答案 a ≠－2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5a ＋6＝0，a 2＋2a ＝0，得a ＝－2， ∵方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，∴a ≠－2.(2)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，①若l 在两坐标轴上的截距相等，求a ；②若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 ①令x ＝0，则y ＝a －2，令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1， ∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2＝a －2a ＋1， 得a ＝2或a ＝0.②由①知，在x 轴上截距为a －2a ＋1， 在y 轴上的截距为a －2，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a －2a ＋1≥0，a －2≤0，得a <－1或a ＝2.类型二 判断两条直线的位置关系例2 判断下列直线的位置关系：(1)l 1：2x －3y ＋4＝0，l 2：3y －2x ＋4＝0；(2)l 1：2x －3y ＋4＝0，l 2：－4x ＋6y －8＝0；(3)l 1：(－a －1)x ＋y ＝5，l 2：2x ＋(2a ＋2)y ＋4＝0.解 (1)直线l 2的方程可写为－2x ＋3y ＋4＝0，由题意知2－2＝－33≠44，∴l 1∥l 2. (2)由题意知2－4＝－36＝4－8， ∴l 1与l 2重合．(3)由题意知，当a ＝－1时，l 1：y ＝5，l 2：x ＋2＝0，∴l 1⊥l 2.当a ≠－1时，－a －12≠12a ＋2， 故l 1不平行于l 2，又(－a －1)×2＋(2a ＋2)×1＝0，∴l 1⊥l 2，综上l 1⊥l 2.反思与感悟 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 跟踪训练2 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.类型三 求平行、垂直的直线方程例3 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)， 由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x－3y＋13＝0.方法二(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.反思与感悟一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练3已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．解(1)将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直线方程为4x－3y－2＝0.1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0答案 D解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0， 直线在y 轴上的截距c b<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限．3．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，(1)若l 1∥l 2，则m ＝________.(2)若l 1⊥l 2，则m ＝________.答案 (1)－1 (2)12解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m (m －2)＝0，2m 2≠6×3， 得m ＝－1.(2)由题意知1×(m －2)＋m ×3＝0，得m ＝12. 4．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程．解 由题意，设l 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，将点(1,2)代入l 的方程3＋4×2＋C ＝0得C ＝－11，∴直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0.1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误．1．若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6 答案 B解析 令y ＝0，则x ＝2m m ＋2， 由题意知，2m m ＋2＝3， 得m ＝－6.2．过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，将x ＝－1，y ＝3代入2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3．已知直线(2＋m －m 2)x －(4－m 2)y ＋m 2－4＝0的斜率不存在，则m 的值是( )A ．1 B.34 C ．－2 D ．2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝0，2＋m －m 2≠0，解得m ＝－2. 4．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1D ．－3，－1答案 D解析 原方程可化为x 1a ＋y 1b＝1，∴1b ＝－1，∴b ＝－1.又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°，∴a ＝－3，故选D.5．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 A解析 可设与直线x －2y －2＝0平行的直线的方程为x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入x －2y ＋c ＝0，得c ＝－1.故所求直线方程是x －2y －1＝0.6．若ac <0，bc <0，则直线ax ＋by ＋c ＝0的图形只能是( )答案 C解析 令y ＝0，得x ＝－c a， ∵ac <0，∴－c a >0.令x ＝0，得y ＝－c b， ∵bc <0，∴－c b>0， ∴与x 轴、y 轴截距均为正值，故选C.7．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝________.答案 －23解析 由题意知，斜率存在，倾斜角为45°，即k ＝1，∴2a 2－7a ＋3a 2－9＝－1，且a 2－9≠0， 解得a ＝－23. 9．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．答案 ±3解析 由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0得，x ＝－c 4， 令x ＝0，得y ＝－c 3， 则S △＝12|－c 4·(－c 3)|＝6， 得c 2＝122，c ＝±12，∴在x 轴上的截距为－c 4＝±3. 10．若直线mx －y ＋(2m ＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．答案 (－2,1)解析 由y ＝mx ＋2m ＋1，得y －1＝m (x ＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．11．若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 的取值范围是________． 答案 a ≠±1解析 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0,0)点，而x ＋ay ＝3不过(0,0)点，只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1.三、解答题12．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线，(1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2. (2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 13．已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．解 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)，因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )， 由⎩⎨⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝－145，n ＝－85，所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。
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题型一 直线的两点式方程 【例 1】 已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． [思路探索] 首先判定是否满足直线方程两点式的条件，若满 足，则应用公式求解；若不满足，则根据具体条件写出方程．
上的截距 距
a、b 且 式
ab≠0
ax＋by＝1 ab≠0
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想一想：方程2x－3y＝1 和2x＋3y＝－1 都是直线的截距式方程吗？ 提示 都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个：一是中 间必须用“＋”号连接；二是等号右边为 1.
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规律方法 求与截距有关的直线方程时，可用截距式求解，但 截距式方程不表示垂直于坐标轴或过原点的直线，因而要特别 注意这些特殊情况．当所求的直线方程与截距有关时，也可设 出点斜式或斜截式方程，求出截距，利用截距的关系求出斜率， 再写出方程．
(3)如果将直线两点式转化为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)， 此时只要直线上已知两点不重合，都可以用它表示出来(即这个
变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．
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§3.2.3 直线方程的一般式
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的 还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转
化为一般式．
无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一 般式。
2．直线方程的一般式转化为其他形式的步骤： 一般式化斜截式的步骤：
①移项：By＝－Ax－C； A C ②当 B≠0 时，得斜截式：y＝－Bx－B.
结论：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0 (或A1C2－A2C1≠0)． A1 B1 C1
C2 A1 A2 (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. ( )( ) 1 B1 B2
？
能否统一写成:
x ？
y
？
0
直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都 可用一般式表示．
说明：直线与二元一次方程的关系 (1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关 于x，y的二元一次方程表示． (2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
第三章
§3.2.3 直线方程的一般式
●课标展示 1．掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义． 2．掌握一般式与其它形式的互化． 3．了解二元一方程的四种特殊形式
形式
已知条件
点P(x0，y0)和斜 点斜式 率k 斜截式 斜率k和在y轴上 的截距b
适用范围 与x轴不垂 y－y0＝k(x－x0) 直的直线
变式 2．直线 3x－2y－4＝0 的截距式方程为( D ) 4x y A． － ＝1 3 2 3x y C． － ＝1 4 －2 x y B． － ＝1 1 1 3 2 D． y ＋ ＝1 －2
3.2.3直线的一般式方程1
4 x 3 y 12 0 x y 1 化为截距式，得到: 3 4
2 把直线 l 的一般式方程 x 2 y 6 0 化成斜截 式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距， 并画出图形.
解：将原方程移项，得 2 y x 6 ， 两边除以 2 ，得斜截式
４．截距式不能表示垂直于坐标轴的直线和经 过原点的直线． 共同点：
y 这四种直线方程都可以表示成关于 x， 的 二元一次方程。
问题㈠：平面直角坐标系中的每一条直线都可以 y 用一个关于 x ， 的二元一次方程表示吗？
问题㈠的探究：
在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角 .
⑴ 当倾斜角 90 时，直线存在斜率 k ，在其上任取
y 问题㈡：每一个关于 x ，的二元一次方程都表示 一条直线吗？
问题㈡的探究：
对于任意一个二元一次方程:
Ax By C 0 ( A ， 不同时为零) B A C ⑴当 B 0 ,方程可变形为: y x B B
A C 它表示过点 (0, ) , 斜率为 的直线. B B
3.2.3直线的一般式方程
一、复习引入：
直线方程有哪几种形式？
直线名称 已知条件 直
线
方
程
Hale Waihona Puke 适用 范围点 P0 ( x0 , y0 ) 点斜式 斜率 k y y0 k ( x x0 ) 斜率 k y kx b 斜截式 截距 b 点 P ( x1 , y1 ) 两点式 点P1( x , y ) 2 2 2 截距 a 截距式 截距 b
y
1 y x3 2
6
3
O
x
1 因此,直线 l 的斜率 k ，它在 y 轴上的截距是 3 ， 2 令 y 0, 可得 x 6 , 即直线l 在 x轴上的截距是6 .