2020年7月普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国卷Ⅰ(安徽省)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2020年全国高考数学文科试卷-(Ⅰ卷含答案解析)
2020年全国高考（Ⅰ卷）文科数学1.已知合集，，则（）A、B、C、D、2.若，则（）A、0B、1C、D、23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A、B、C、D、4. 设O为正方形ABCD的中心，在O, A ,B, C, D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A、B、C、D、5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A 、B 、C 、D 、6. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A 、1B 、2C 、3D 、4 7. 设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A 、B 、C 、D 、8. 设3log 42a =，则4a-= ( )A.116B.19C.18D.169.执行下面的程序框图，则输出的n = ( )A.17B.19C.21D.2310.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=( ) A.12B.24C.30D.3211.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP =，则12PF F △的面积为( ) A.72B.3C.52D.212.已知,,A B C 为球O的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若a b ⊥，则m =____________.15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 16.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =_____________. 三、解答题17.(12分) 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为,,,A B C D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?18. (12分)∆ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c.已知150B=︒.(1)若,==，求∆ABC的面积；a b(2)若sinA C=，求C.219.(12分) 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，90∠=︒．APC(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ； (2)设DO ，求三棱锥P ABC -的体积.20. (12分)已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 21. (12分) 已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB ⋅=，P为直线6x =上的动点，PA 与E的另一交点为C，PB 与E的另一交点为D ．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD 过定点.22. (10分) [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． (1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．23. [选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像； (2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.2020年全国高考（Ⅰ卷）文科数学答案与解析1.D2.C3.C如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为'h ，则依题意有：222212'()2'h ah a h h ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'a h ah -=，化简得2'4()2()1'0h h a a --=，解得'h a . 4.A 5.D用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为ln y a b x =+. 6.B 7.C由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A 13.1 14.5 15.y=2x 16.7 17.解： (1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 18.解：(1)由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒. 解得2c =-(舍去)，2c =，从而a =∆ABC 的面积为12sin1502⨯⨯︒(2)在∆ABC 中，18030A B C C =︒--=︒-，所以()()sin sin 30sin 30A C C C C +=-+=︒+︒.故()sin 30C ︒+=. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 19.解：(1)由题设可知，PA PB PC ==.由于∆ABC 是正三角形，故可得∆PAC ≌∆PAB ，∆PAC ≌ ∆PBC. 又90APC ∠=︒，故90,90APB BPC ∠=︒∠=︒.从而,PB PA PB PC ⊥⊥，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题设可得222rl l r =-=.解得1,r l ==从而AB 由(1)可得222PA PB AB +=，故PA PB PC ===所以三棱锥P ABC -的体积为311113232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⎝⎭.20.解： (1)当1a =时，()e 2x f x x =--，则1'()e x f x =-. 当0x <时，)'(0f x <；当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2))'(e x f x a =-.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，故()f x 至多存在1个零点，不合题意. 当0a >时，由()'0f x =可得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，故当ln x a =时，()f x 取得量小值，最小值为()()ln 1ln f a a a =-+.()i 若10ea <≤，则(ln )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意.()ii 若1ea >，则(ln )0f a <.由于2(2)e 0f --=>，所以()f x 在(,ln )a -∞存在唯一零点.由(1)知，当2x >时，2e 20x -->，所以当4x >且()2ln 2x a >时，22()e e (2)x x f x a x =⋅-+ ()ln 2e2(2)2a x a x ⎛⎫>⋅+-+ ⎪⎝⎭2a =0>.故()f x 在(ln ,)a +∞存在唯一零点.从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点.综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.21.解: (1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<.由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139t y x =+. 直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233t y x =-. 可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++.代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =.故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 22.解：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，. 23. .解：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，， ()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2020年高考全国一卷文科数学试卷及答案
2020年高考全国一卷文科数学试卷及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.选择题用铅笔在答题卡上涂黑对应的选项，非选择题在答题卡上作答。
3.考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知集合A={x|x-3x-4<0}，B={-4,1,3,5}，则2∈哪个集合？A。
{-4,1}B。
{1,5}C。
{3,5}D。
{1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|等于多少？A。
1B。
2C。
3D。
23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状为正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为多少？4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为多少？A。
1B。
2C。
1/2D。
45/5255.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi,yi）(i=1,2,…,20)得到下面的散点图：根据散点图，选择在10℃至40℃之间最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型。
A。
y=a+bxB。
y=a+bx^2C。
y=a+be^xD。
y=a+blnx6.已知圆的直线被圆所截得的弦的长度最小值为x2+y2-6x=0，过点(1,2)，则最小值等于多少？A。
1B。
2C。
3D。
48.若alog3 4=2，则4的值为多少？A。
-aB。
1/2C。
1/4D。
1/9.执行右侧程序框图后，输出的n等于多少？A。
17B。
19C。
21D。
2310.设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8等于多少？A。
12B。
24C。
30D。
3211.A、B、C为球O的球面上的三个点，O1为△ABC的外接圆，则若O1的面积为4π，且AB=BC=AC=OO1，求球O 的半径。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(安徽卷)
2021年普通高等学校招生全国统一考试安徽文科数学本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部,第一卷第1至|第2页,第二卷第3至|第4页.全卷总分值150分,考试时间120分钟. 考生考前须知:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡反面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第一卷时,每题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第二卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.第一卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.(2021安徽,文1)设i 是虚数单位,那么复数(1 -i)(1 +2i) = ( ) A .3 +3i B . -1 +3i C .3 +i D . -1 +i 答案:C解析:由复数的乘法运算法那么,得(1 -i)(1 +2i) =1 -i +2i -2i 2 =1 +i +2 =3 +i,因此选C . 2.(2021安徽,文2)设全集U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2},B ={2,3,4},那么A ∩(∁U B ) =( ) A .{1,2,5,6} B .{1} C .{2} D .{1,2,3,4} 答案:B解析:由题意得∁U B ={1,5,6},那么A ∩(∁U B ) ={1},因此选B . 3.(2021安徽,文3)设p :x<3,q : -1<x<3,那么p 是q 成立的 ( ) A .充分必要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 答案:C解析:由q : -1<x<3可以得到p :x<3,即q ⇒p ,而由p 成立不一定得到q 成立,即p q ,因此p 是q 成立的必要不充分条件.4.(2021安徽,文4)以下函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( )A .y =ln xB .y =x 2+1 C .y =sin x D .y =cos x 答案:D解析:y =ln x 既不是奇函数也不是偶函数;y =x 2 +1是偶函数,但不存在零点,不满足要求;y =sin x 是奇函数不满足要求;y =cos x 是偶函数,由其图象可知有无数个零点.应选D .5.(2021安徽,文5)x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y -4≤0,y ≥1,那么z = -2x +y 的最|大值是( )A . -1B . -2C . -5D .1 答案:A解析:作出约束条件的可行域如图阴影局部所示,平移直线l 0:y =2x ,可得在点A (1,1)处z 取得最|大值,最|大值为 -1.6.(2021安徽,文6)以下双曲线中,渐近线方程为y =±2x 的是( )A .x 2 -y 24 =1 B .x 24 -y 2 =1C .x 2 -y 22=1 D .x 22-y 2=1 答案:A解析:双曲线x 2 -y 24 =1的渐近线方程为y =±2x ,双曲线x 24 -y 2 =1的渐近线方程为y =±12x ,双曲线x 2 -y 22=1的渐近线方程为y =±√2x ,双曲线x 22-y 2 =1的渐近线方程为y =±√22x ,因此A 正确. 7.(2021安徽,文7)执行如下图的程序框图(算法流程图),输出的n 为( )A .3B .4C .5D .6答案:B解析:当a =1,n =1时,进入循环,a =1 +11+1=32,n =2;此时|a -1.414|>0.005,继续循环,a =1 +11+32=1 +25=75,n =3;此时|a -1.414|>0.005,继续循环,a =1 +11+75=1 +512=1712,n =4;此时|a -1.414|≈0.003<0.005,退出循环,因此n 的值为4.8.(2021安徽,文8)直线3x +4y =b 与圆x 2 +y 2 -2x -2y +1 =0相切,那么b 的值是( ) A . -2或12 B .2或 -12 C . -2或 -12 D .2或12 答案:D解析:由题意,知圆的标准方程为(x -1)2 +(y -1)2 =1,其圆心为(1,1),半径为1,那么圆心到直线3x +4y =b 的距离d =|7-b |5=1,所以b =2或b =12.9.(2021安徽,文9)一个四面体的三视图如下图,那么该四面体的外表积是( )A .1 +√3B .1 +2√2C .2 +√3D .2√2答案:C 解析:由三视图可得该四面体的直观图如下图,平面ABD ⊥平面BCD ,△ABD 与△BCD 为全等的等腰直角三角形,AB =AD =BC =CD =√2.取BD 的中点O ,连接AO ,CO ,那么AO ⊥CO ,AO =CO =1.由勾股定理得AC =√2,因此△ABC 与△ACD 为全等的正三角形,由三角形面积公式得S △ABC =S △ACD =√32,S △ABD =S △BCD =1,所以四面体的外表积为2 +√3.10.(2021安徽,文10)函数f (x ) =ax 3 +bx 2 +cx +d 的图象如下图,那么以下结论成立的是( )A .a>0,b<0,c>0,d>0B .a>0,b<0,c<0,d>0C .a<0,b<0,c>0,d>0D .a>0,b>0,c>0,d<0答案:A解析:由图象可知f (0) =d>0,f'(x ) =3ax 2 +2bx +c ,x 1,x 2为方程3ax 2 +2bx +c =0的两根,因此x 1 +x 2 = -2b 3a ,x 1·x 2 =c 3a.由图象可知x ∈( -∞,x 1)时,f'(x )>0,所以a>0.而由图象知x 1,x 2均为正数,所以 -2b3a >0,c3a>0,由此可得b<0,c>0,应选A .第二卷(非选择题 共100分)考生考前须知:请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二、填空题:本大题共5小题,每题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.(2021安徽,文11)lg 52+2lg 2 -(12)-1 = . 答案: -1解析:根据对数的运算法那么知,lg 52+2lg 2 -(12)-1 =lg 5 -lg 2 +2lg 2 -2 =lg 5 +lg 2 -2 =lg 10 -2 = -1. 12.(2021安徽,文12)在△ABC 中,AB =√6,∠A =75°,∠B =45°,那么AC = . 答案:2解析:由三角形内角和定理,得∠C =60°,根据正弦定理,得AB sinC=ACsinB,所以AC =√22√6√32=2. 13.(2021安徽,文13)数列{a n }中,a 1 =1,a n =a n -1 +12(n ≥2),那么数列{a n }的前9项和等于 . 答案:27 解析:由条件得a n -a n -1 =12(n ≥2),所以数列{a n }是以1为首|项,12为公差的等差数列,由等差数列前n 项和公式得S 9 =9×1 +9×82×12=27. 14.(2021安徽,文14)在平面直角坐标系xOy 中,假设直线y =2a 与函数y =|x -a| -1的图象只有一个交点,那么a 的值为 . 答案: -12解析:在同一坐标系画出y =2a 和y =|x -a| -1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,那么2a = -1,a = -12.15.(2021安徽,文15)△ABC 是边长为2的等边三角形,向量a ,b 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +b ,那么以下结论中正确的选项是 .(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量;②b 为单位向量;③a ⊥b ;④b ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑤(4a +b )⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:①④⑤解析:在正三角形ABC 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2,所以|a | =1,①正确;由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +b ,得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,因此④正确,②不正确;由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,知a 与b 的夹角为120°,所以③不正确;因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,所以(4a +b )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ·b +b 2 =4×1×2×(-12) +22 =0,所以(4a +b )⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗ .故⑤正确. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题总分值12分)(2021安徽,文16)函数f (x ) =(sin x +cos x )2 +cos 2x. (1)求f (x )的最|小正周期;(2)求f (x )在区间[0,π2]上的最|大值和最|小值.解:(1)因为f (x ) =sin 2x +cos 2x +2sin x cos x +cos 2x =1 +sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4) +1,所以函数f (x )的最|小正周期为T =2π2=π. (2)由(1)的计算结果知,f (x ) =√2sin (2x +π4) +1.当x ∈[0,π2]时,2x +π4∈[π4,5π4], 由正弦函数y =sin x 在[π4,5π4]上的图象知,当2x +π4=π2,即x =π8时,f (x )取最|大值√2 +1;当2x +π4=5π4,即x =π2时,f (x )取最|小值0.综上,f (x )在[0,π2]上的最|大值为√2 +1,最|小值为0.17.(本小题总分值12分)(2021安徽,文17)某企业为了解下属某部门对本企业职工的效劳情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如下图),其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率. 解:(1)因为(0.004 +a +0.018 +0.022×2 +0.028)×10 =1,所以a =0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022 +0.018)×10 =0.4, 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10 =3(人),记为A 1,A 2,A 3; 受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10 =2(人),记为B 1,B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,A 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B 1,B 2},故所求的概率为p =110.18.(本小题总分值12分)(2021安徽,文18)数列{a n }是递增的等比数列,且a 1 +a 4 =9,a 2a 3 =8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =an+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)由题设知a 1·a 4 =a 2·a 3 =8,又a 1 +a 4 =9,可解得{a 1=1,a 4=8或{a 1=8,a 4=1(舍去).由a 4 =a 1q 3得公比q =2,故a n =a 1q n -1 =2n -1.(2)S n =a 1(1-q n )1-q =2n -1, 又b n =a n+1S n S n+1=S n+1-S nS n S n+1=1S n−1S n+1,所以T n =b 1 +b 2 +… +b n =(1S 1-1S 2)+(1S 2-1S 3) +… +(1S n -1S n+1)=1S 1−1S n+1=1 -12n+1-1.19.(本小题总分值13分)(2021安徽,文19)如图,三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,PA =1,AB =1,AC =2,∠BAC =60°. (1)求三棱锥P -ABC 的体积;(2)证明:在线段PC 上,存在点M ,使得AC ⊥BM ,并求PMMC的值. (1)解:由题设AB =1,AC =2,∠BAC =60°,可得S △ABC =12·AB ·AC ·sin 60° =√32.由PA ⊥平面ABC ,可知PA 是三棱锥P -ABC 的高,又PA =1,所以三棱锥P -ABC 的体积 V =13·S △ABC ·PA =√36. (2)证明:在平面ABC 内,过点B 作BN ⊥AC ,垂足为N.在平面PAC 内,过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ,连接BM.由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ,所以MN ⊥AC.由于BN ∩MN =N ,故AC ⊥平面MBN.又BM ⊂平面MBN ,所以AC ⊥BM.在直角△BAN 中,AN =AB ·cos ∠BAC =12,从而NC =AC -AN =32.由MN ∥PA ,得PM MC=AN NC=13.20.(本小题总分值13分)(2021安徽,文20)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b2 =1(a>b>0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a ,0),点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足|BM| =2|MA|,直线OM 的斜率为√510. (1)求E 的离心率e ;(2)设点C 的坐标为(0, -b ),N 为线段AC 的中点,证明:MN ⊥AB. (1)解:由题设条件知,点M 的坐标为(23a ,13b),又k OM =√510,从而b2a=√510.进而a =√5b ,c =√a 2-b 2 =2b ,故e =c a=2√55. (2)证明:由N 是AC 的中点知,点N 的坐标为(a 2,-b2),可得NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 6,5b6). 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( -a ,b ),从而有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -16a 2 +56b 2 =16(5b 2 -a 2). 由(1)的计算结果可知a 2 =5b 2,所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故MN ⊥AB. 21.(本小题总分值13分)(2021安徽,文21)函数f (x ) =ax(x+r )2(a>0,r>0).(1)求f (x )的定义域,并讨论f (x )的单调性;(2)假设ar=400,求f (x )在(0, +∞)内的极值.解:(1)由题意知x ≠ -r ,所求的定义域为( -∞, -r )∪( -r , +∞).f (x ) =ax (x+r )2=axx 2+2rx+r 2,f'(x ) =a (x 2+2rx+r 2)-ax (2x+2r )(x 2+2rx+r 2)2=a (r -x )(x+r )(x+r )4,所以当x< -r 或x>r 时,f'(x )<0.当 -r<x<r 时,f'(x )>0.因此,f (x )的单调递减区间为( -∞, -r ),(r , +∞);f (x )的单调递增区间为( -r ,r ).(2)由(1)的解答可知f'(r ) =0,f (x )在(0,r )上单调递增,在(r , +∞)上单调递减.因此,x =r 是f (x )的极大值点.所以f (x )在(0, +∞)内的极大值为f (r ) =ar (2r )2=a 4r=4004=100.。
2020年全国卷Ⅰ高考文科数学试题及答案(完整版)
（ 一）必考题:共60分. 17．（ 12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来 产品(单位:件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定:对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品 等级，整理如下: 甲分厂产品等级 频数分布表等级 A B C D 频数40202020乙分厂产品等级 频数分布表等级 A B C D 频数28173421（ 1）分别估计甲、乙两分厂加工出来 一件产品为A 级品 概率；（ 2）分别求甲、乙两分厂加工出来 100件产品 平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 18．（ 12分）内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.ABC △（ 1）若a =c ，b =2，求 面积； 37ABC △（ 2）若sin A +sin C =，求C . 32219．（ 12分）如图，为圆锥 顶点，是圆锥底面 圆心，是底面 内接正三角形，为上一点， D O ABC △P DO ∠APC =90°．加油！你一定行！真题在手 何必模拟认真刷题 必过 加油由数据知乙分厂加工出来 100件产品利润 频数分布表为利润 70 30 0 −70 频数 28 17 3421因此乙分厂加工出来 100件产品 平均利润为.70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=比较甲乙两分厂加工 产品 平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 18．解:（ 1）由题设及余弦定理得，22228323cos150c c c =+-⨯⨯︒解得（ 舍去），，从而.2c =-2c =23a = 面积为．ABC △1232sin15032⨯⨯⨯︒=（ 2）在中，，所以ABC △18030A B C C =︒--=︒-，sin 3sin sin(30)3sin sin(30)A C C C C +=︒-+=︒+故. 2sin(30)2C ︒+=而，所以，故. 030C ︒<<︒3045C ︒+=︒15C =︒19．解:（ 1）由题设可知，PA =PB = PC ．由于△ABC 是正三角形，故可得△PAC ≌△PAB ． △PAC ≌△PBC ．又∠APC =90°，故∠APB =90°，∠BPC =90°．从而PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC ． （ 2）设圆锥 底面半径为r ，母线长为l ． 由题设可得rl =，． 3222l r -=解得r =1，l =，3从而．由（ 1）可得，故． 3AB =222PA PB AB +=62PA PB PC ===所以三棱锥P -ABC 体积为．3111166()323228PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=加油！你一定行！真题在手 何必模拟认真刷题 必过 加油所以 方程为．E 2219x y +=（ 2）设．1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t 若，设直线 方程为，由题意可知． 0t ≠CD x my n =+33n -<<由于直线 方程为，所以．PA (3)9ty x =+11(3)9t y x =+直线 方程为，所以．PB (3)3ty x =-22(3)3t y x =-可得．12213(3)(3)y x y x -=+由于，故，可得， 222219x y +=2222(3)(3)9x x y +-=-121227(3)(3)y y x x =-++即．①221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=将代入得．x my n =+2219x y +=222(9)290m y mny n +++-=所以． 212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++代入①式得． 2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=解得（ 舍去），． 3n =-32n =故直线 方程为，即直线过定点． CD 32x my =+CD 3(,0)2若，则直线 方程为，过点．0t =CD 0y =3(,0)2综上，直线过定点．CD 3(,0)222．解:当k =1时，消去参数t 得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1 圆．1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩221x y +=1C （ 2）当k =4时，消去参数t 得 直角坐标方程为． 414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩1C 1x y += 直角坐标方程为．2C 41630x y -+=由解得．1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故与 公共点 直角坐标为．1C 2C 11(,)44加油！你一定行！真题在手 何必模拟认真刷题 必过 加油711全卷完1.考试顺利祝福语经典句子 1、相信自己吧！坚持就是胜利！祝考试顺利，榜上有名！ 2、愿全国所有的考生都能以平常的心态参加考试，发挥自己的水平，考上理想的学校。
2020年高考文科数学全国卷1试题解析(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷I）文科数学试题解析一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2-3x-4≤0}，B={-4,1,3,5}，且A∩B=( )A．{-4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}解析：A={x|-1≤x≤4}，∴A∩B={1,3}，故选D2．若z=1+2i+i3，则|z|=( )A．0 B．1 C2D．2解析：z=1+i，∴|z2 C3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A．514B．512C．514D．512解析：设四棱锥的高为h，底面边长为2a，侧面三角形的高为m，依题h2=am，且h2+a2=m2，联立消去h得m2-am -a2=0，152 hm±∴=，舍去负号，故选C. 4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A．15B．25C．12D．45解析：任取三点有：O-A-B,C,D，O-B-C,D，O-C-D，A-B-C,D，A-C-D，B-C-D，共有10种。
其中3点共线的有2种，故选A.5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i. y i)(i=1,2,···,20)得到散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A ．y=a+bxB ．y=a+bx 2C ．y=a+be xD ．y=a+b ln x解析：根据散点图可排除A ．B ．C ．故选D.6．已知圆x 2+y 2-6x =0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：依题圆心为C (3,0)，半径r =3，过点A (1,2)的最短弦是垂直AC 的弦. 又AC 2，由勾股关系可得最短弦长=2，故选B. 7．设函数f (x )=cos(ωx +6π)在[-π,π]的图像大致如下图， 则f (x )的最小正周期为( ) A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 解析：依图49π-是(-π,0)的一个零点。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(安徽卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（安徽卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分l50分，考试时间l20分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：S 表示底面积，h 表示底面上的高 如果事件A 与B 互斥，那么 棱柱体积V=ShP(A+B)=P(A)+P(B ） 棱锥体积V=13Sh第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．（1）若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则A B I =(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)1．【答案】C【命题意图】此题主要考查集合和不等式的基础知识，基本的运算能力【解析】：对于A ()1,=-+∞，()(),3,1,3B A B =-∞∴⋂=-，宜选C（2）已知21i =-，则i(13i -)= (A)3i - (B)3i + (C)3i -- (D)3i -+2．【答案】B【命题意图】此题主要考查复数的基础知识和考生对于复数化简的能力【解析】：2(13)33i i i i i -=-=+（3）设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是 (A)a b = (B)22a b =g (C)//a b (D)a b -与b 垂直3．【答案】D【命题意图】此题主要考查向量的坐标运算知识和运用向量判断位置关系的能力【解析】：因为()111,0244a b a b b ⋅=-⋅=-=r r r r r ，因此a b -r r 与b r 垂直 （4）过点（1，0）且与直线022=--y x 平行的直线方程是（A ）012=--y x （B ）012=+-y x（C ）022=-+y x （D ）012=-+y x（5）设数列}{n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（A ）15 （B ）16 （C ）49 （D ）645．【答案】A【命题意图】此题主要考查数列的基础知识，数列中的某一项的求解方法【解析】：对于22228(1),8715n a n n a =--=-=（6）设0>abc ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象可能是6．【答案】D【命题意图】此题主要考查函数的图象和性质和考查学生看图识图的能力【解析】：对于A 中的图可得00,020a b abc a c <⎧⎪⎪-<∴<⎨⎪<⎪⎩，对于B 中的图可得00,020a b abc a c <⎧⎪⎪->∴<⎨⎪>⎪⎩，对于C 中的图可得00,020a b abc a c >⎧⎪⎪-<∴<⎨⎪<⎪⎩，对于D 中的图可得00,020a b abc ac >⎧⎪⎪->∴>⎨⎪<⎪⎩ （7）设,)52(,)52(,)53(525352===c b a 则a ，b ，c 的大小关系 是（A ）b c a >> （B ）c b a >>（C ）b a c >> （D ）a c b >>7．【答案】A【命题意图】此题主要考查指数函数和幂函数的单调性和运用函数单调性判断数大小的能力【解析】223555322555a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （8）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-+,0,062,062y y x y x 则目标函数y x z +=的最大值是（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）88．【答案】C【命题意图】此题主要考查线性规则中的线性区域和目标函数的求解方法【解析】对于目标函数过线性区域上点()6,0时z 值最大，max 6z =（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A ）372 （C ）292（B ）360 （D ）2809．【答案】B【命题意图】此题主要考查此题主要考查几何体的三视图的基础知识，考查了考生运用三视图还原直观图的能力（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，一页从该正方形四个顶点中任意选择连个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A ）318 （A ）418 （A ）518 （A ）61810．【答案】C【命题意图】此题主要考查概率的基础知识和运用例举法计数的能力【解析】基本事件有6636⨯=种，而符合两直线互垂直的有10种情况，即符合条件的概率为518数 学(文科)(安徽卷)第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上大体无效。
数学(文)2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝A.{－4，1}B.{1，5}C.{3，5}D.{1，3}2.若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝A.0B.1C.2D.23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514B.512C.514D.5124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为A.15B.25C.12D.455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y ＝a ＋bxB.y ＝a ＋bx 2C.y ＝a ＋be xD.y ＝a ＋blnx6.已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.47.设函数f(x)＝cos(ωx ＋6π)在[－π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π 8.设alog 34＝2，则4－a ＝A.116B.19C.18D.169.执行右图的程序框图，则输出的n ＝A.17B.19C.21D.2310.设{a n}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝A.12B.24C.30D.3211.设F1，F2是双曲线C：2213yx-=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为A.72B.3C.52D.212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招全国生统一考试文科数学(全国卷Ⅰ)(含答案)
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190cm
5．函数f(x)= 在[-π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生
7．tan255°=
A．-2- B．-2+ C．2- D．2+
8．已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a-b） b，则a与b的夹角为
A． B． C． D．
9．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入
A．A= B．A= C．A= D．A=
10．双曲线C： 的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
所以 在 存在唯一零点.
（2）由题设知 ，可得a≤0.
由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，所以，当 时， .
又当 时，ax≤0，故 .
因此，a的取值范围是 .
21．解：（1）因为 过点 ，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线 上，且 关于坐标原点O对称，所以M在直线 上，故可设 .
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷1,参考版解析)
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O 为圆心，
OA 为半径作圆.
(I)证明：直线 AB 与 O 相切； (II)点 C,D 在⊙O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB∥CD.
1 （A） 3
1
1
5
（B） 2 （C） 3 （D） 6
【答案】A 【解析】 试题分析：将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有 6 种种法，其中红
1 色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种，故概率为 3 ，选 A.. （4）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a 5 ， c 2 ， cos A 2 ，则 b=
283π，则它的表面积是
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 【答案】A
（8）若 a>b>0，0<c<1，则 （A）logac<logbc （B）logca<logcb （C）ac<bc （D）ca>cb 【答案】B 【解析】
试题分析：对于选项
loga
A：
c
1gc lg a
,
logb
600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
元。
【答案】 216000
二元一次不等式组①等价于
3x y 300,
150xx33yy
900, 600,
x 0,
y 0.
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.
2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国Ⅰ卷(含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷文科数学一、选择题1.若1i z =+,则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51-51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( ) 5 B.23 C.135 10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===,则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( )A.2a b >B.2a b <C.2a b >D.2a b <13.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B ⋂=( ) A.{4,1}-B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}14.若312i i z =++，则||z =( ) A.0B.1C.2D.215.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.51- B.51- C.51+ D.51+ 16.设O 为正方形ABCD 的中心,在,,,,O A B C D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为( ) A.15B.25C.12D.4517.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.e x y a b =+D.ln y a b x =+18.已知圆2260x y x +-=，过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A.1B.2C.3D.419.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π220.设3log 42a =，则4a -= ( ) A.116B.19C.18D.1621.执行下面的程序框图，则输出的n = ( )A.17B.19C.21D.2322.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=( ) A.12B.24C.30D.3223.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为( ) A.72B.3C.52D.224.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题25.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.26.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=___________.27.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.28.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.29.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为__________.30.设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若a b ⊥，则m =____________.31.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.32.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =_____________. 三、解答题33.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.34.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B PC E --的余弦值.35.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.36.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 37.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 38.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 39.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.40.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为,,,A B C D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD频数 40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表 等级 ABCD频数28 17 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?41.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知150B =︒. (1)若3,27a c b ==，求ABC 的面积； (2)若2sin 3sin A C +=，求C . 42.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)设2DO =3π，求三棱锥P ABC -的体积. 43.已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.44.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a +=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点.45.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 46.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D 解析：2.答案：B 解析：3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为'h ，则依题意有：222212'()2'h ah a h h ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'a h ah -=，化简得2'4()2()1'0h h a a --=，解得5'1h a +=.4.答案：C解析：设点A 的坐标为()x y ，，由点A 到y 轴的距离为9可得9x =，由点A 到C 的焦点的距离为12，可得122px +=，解得6p =. 5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为ln y a b x =+. 6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x =-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 解析： 13.答案：D解析：由2340x x --<解得14x -<<, 所以{}|14A x x =-<<,又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B ⋂=, 故选：D.14.答案：C解析：因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+,所以22112z =+=． 故选：C ． 15.答案：C解析：如图,设,CD a PE b ==,则22224a PO PE OEb =-=-, 由题意212PO ab =,即22142a b ab -=,化简得24()210b b a a -⋅-=, 解得15b a +=(负值舍去). 故选：C.16.答案：A解析：如图,从,,,,O A B C D 5个点中任取3个有 {,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法,3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况, 由古典概型的概率计算公式知, 取到3点共线的概率为21105=. 故选：A.17.答案：D解析：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D. 18.答案：B解析：圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3， 设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为229||982CP -=-=. 故选：B. 19.答案：C解析：由图可得：函数图象过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4ππcos 096ω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4πππ962ω-⋅+=-，解得：32ω=，所以函数()f x 的最小正周期为2π2π4π332T ω===， 故选：C. 20.答案：B解析：由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =， 所以有149a-=，故选：B. 21.答案：C解析：依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =． 故选：C. 22.答案：D解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D. 23.答案：B解析：由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以222121212214||||||||2||||162||||PF PF P P F PF PF PF F PF =-=+-=-， 解得12||||6PF PF =，所以12121||||32F F P S PF PF ==△， 故选：B. 24.答案：A解析：设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得2π4π,2r r =∴=，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据圆截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积24π64πS R ==.故选：A.25.答案：1 解析： 26.3解析： 27.答案：2 解析： 28.答案：14-解析： 29.答案：1解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1． 30.答案：5解析：由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， 所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5. 31.答案：2y x =解析：设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 32.答案：7解析：2(1)31n n n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.33.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3nn n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.34.答案：(1)见解析；.解析：(1)设DO a =，由题设可得,,PO AO AB a =，2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得312(0,1,0),(0,1,0),,0,2E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 所以312,,0,0,1,22EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,310.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 可取32⎛= ⎝m . 由(1)知2AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记n AP =, 则25cos ,||||⋅==⋅n m n m n m所以二面角B PC E --. 35.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.36.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.37.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤. 综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.38.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.39.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.40.答案：(1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 解析：41.答案：(1)由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒.解得2c =-(舍去)，2c =，从而a =.ABC 的面积为12sin1502⨯⨯︒=(2)在ABC 中，18030A B C C =︒--=︒-，所以 ()()sin sin 30sin 30A C C C C +=-+=︒+︒.故()sin 30C ︒+=. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 解析：42.答案：(1)由题设可知，PA PB PC ==.由于ABC 是正三角形，故可得PAC PAB ≅，PAC PBC ≅. 又90APC ∠=︒，故90,90APB BPC ∠=︒∠=︒.从而,PB PA PB PC ⊥⊥，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题设可得222rl l r =-=.解得1,r l ==.从而3AB =.由(1)可得222PA PB AB +=，故6PA PB PC ===. 所以三棱锥P ABC -的体积为31111663232PA PB PC ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.解析：43.答案：(1)当1a =时，()e 2x f x x =--，则1'()e x f x =-. 当0x <时，)'(0f x <；当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2))'(e x f x a =-.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，故()f x 至多存在1个零点，不合题意.当0a >时，由()'0f x =可得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，故当ln x a =时，()f x 取得量小值，最小值为()()ln 1ln f a a a =-+.()i 若10ea <≤，则(ln )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意.()ii 若1ea >，则(ln )0f a <.由于2(2)e 0f --=>，所以()f x 在(,ln )a -∞存在唯一零点.由(1)知，当2x >时，2e 20x -->，所以当4x >且()2ln 2x a >时，22()e e (2)x x f x a x =⋅-+ ()ln 2e2(2)2a x a x ⎛⎫>⋅+-+ ⎪⎝⎭2a =0>.故()f x 在(ln ,)a +∞存在唯一零点.从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点. 综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解析：44.答案：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解析：45.答案：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.解析：46.答案：(1)由题设知 13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：。