八年级数学沪科版 第19章 四边形19.1.1 认识多边形习题课件19.1 多边形内角和 第1课时
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点拨：
设这个多边形的边数是n.根据题意，得 1 n(n－3)＝
2n，解得n＝7.
2
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知识点 3 多边形的内角和
8．(中考·云南)一个五边形的内角和是( A ) A．540° B．450° C．360° D．180°
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9．一个多边形除去一个内角外，其余内角之和为257°，
则这一内角等于( ) C
返回
知识点 2 多边形的对角线
4．七边形的对角线共有( D ) A．11条 B．12条 C．13条
直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求
解．七边形的对角线的条数7＝ (7 3) ＝14.故选D. 2
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5．从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们 将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( ) C A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
12．如图，分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完 成下列问题：
解：画图略．
(1) 试 写 出 用 n 边 形 的 边 数 n 表 示 对 角 线 总 条 数 S 的 式 子 ：
__S_＝___1_n__(n_－__3_)_； (2)从十五2边形的一个顶点可以引出________条对角线，十
返回
14．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数； (2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，
试求出∠C的度数；
(3)如图③，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求 出∠BEC的度数．
解 ： (1) ∵ ∠ A ＋ ∠ B ＋ ∠ C ＋ ∠ D ＝ 360° ， ∠ A ＝ 140° ， ∠D＝80°，∠B＝∠C，
第19章 四边形
19.1 多边形内角和 第1课时 多边形及其内角和
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1．在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 _首__尾__顺__次___相接组成的封闭图形叫做多边形．组成 多边形的线段叫做多边形的边，相邻两边的公共端 点叫做多边形的顶点．多边形中相邻两边组成的角 叫做多边形的内角，简称多边形的角．
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11．(中考·聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多 边形，那么这个多边形的内角和是_1_8_0_°__或__3_6_0_°__或__5_4_0．°
点拨 12题 返回
点拨： 一个正方形被截掉一个角后，可能得到如图所示的多边形： ∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.
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∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，
∴∠EBC＝ 1 ∠ABC，∠BCE＝ 1 ∠BCD.
∴∠E＝180°2 －∠EBC－∠BCE2＝180°－ 1 (∠ABC＋
∠BCD)＝180°－ ×140°＝110°.
1
2
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返回
构造基础图形法 15．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的
度数．
A．90° B．105° C．103°
D．120°
点拨 10题 返回
点拨：
根据题意，得(n－2)·180°＝257°，得n＝3 77 ，则 多边形的边数是4，因为四边形的内角和是316800°，所
以这一内角等于360°－257°＝103°.故选C.
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10．(n＋1)边形的内角和比n边形的内角和大__1_8_0_°___.
(1)证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠BCD＝∠EDC＝90°， ∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC，
即∠BCA＝∠EDA， ∵BC＝ED，∴△ABC≌△AED. (2)解：∵△ABC≌△AED，∠B＝140°， ∴∠E＝140°， ∵五边形内角和为540°， ∴∠BAE＝540°－∠BCD－∠EDC－∠B－∠E＝ 540°－90°－90°－140°－140°＝80°.
∴∠C＝(360°－∠A－∠D)÷2＝70°. (2)∵BE∥AD， ∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＋∠A＝180°.
∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°. 又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°. ∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80° ＝60°. (3)∵∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°， ∴∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D＝360°－140° －80°＝140°.
点拨 6题 返回
点拨： 从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，它们把 n边形分成(n－2)个三角形，所以x＝3，y＝4.
返回
6．(巢湖期中)已知过一个多边形的某一顶点共可作2 015 条对角线，则这个多边形的边数是___2_0_1_8__．
返回
7．(南陵月考)已知一个多边形的对角线条数正好等于它 的边数的2倍，则这个多边形的边数是___7_____．
五边形共有________条对角线； 12
(3)如果一个多边形90对角线的条数与它的边数相等，求这个 多边形的边数．
解：(3)设这个多边形的边数为n，
则 n(n－31)＝n， 解得n＝5或2n＝0(舍去)．
故这个多边形的边数是5.
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13． (中 考 ·温 州 )如 图 ， 在五 边形 ABCDE中 ， ∠ BCD＝ ∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD. (1)求证：△ABC≌△AED； (2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
2．多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的 _对__角__线___ .
3．n边形的内角和等于__(n_－__2_)_·_1_8_0_°(n为不小于3的整数)．
知识点 1 多边形
1．下列图形中，不是多边形的是( C )
返回
2．下列图形不是凸多边形的是( D )
返回
3．(含山月考)如图，多边形任意相邻两边互相垂直，则 这个多边形的周长为__2_m_＋__2_n_．
解：如图，连接BF. ∵∠A＋∠G＋∠AOG＝180°，∠1＋ ∠2＋∠BOF＝180°，∠AOG＝∠BOF， ∴∠A＋∠G＝∠1＋∠2. ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＝∠FBC ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠BFE＝(5－2)×180°＝540°.
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点拨：
设这个多边形的边数是n.根据题意，得 1 n(n－3)＝
2n，解得n＝7.
2
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知识点 3 多边形的内角和
8．(中考·云南)一个五边形的内角和是( A ) A．540° B．450° C．360° D．180°
返回
9．一个多边形除去一个内角外，其余内角之和为257°，
则这一内角等于( ) C
返回
知识点 2 多边形的对角线
4．七边形的对角线共有( D ) A．11条 B．12条 C．13条
直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求
解．七边形的对角线的条数7＝ (7 3) ＝14.故选D. 2
返回
5．从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们 将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( ) C A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
12．如图，分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完 成下列问题：
解：画图略．
(1) 试 写 出 用 n 边 形 的 边 数 n 表 示 对 角 线 总 条 数 S 的 式 子 ：
__S_＝___1_n__(n_－__3_)_； (2)从十五2边形的一个顶点可以引出________条对角线，十
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14．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数； (2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，
试求出∠C的度数；
(3)如图③，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求 出∠BEC的度数．
解 ： (1) ∵ ∠ A ＋ ∠ B ＋ ∠ C ＋ ∠ D ＝ 360° ， ∠ A ＝ 140° ， ∠D＝80°，∠B＝∠C，
第19章 四边形
19.1 多边形内角和 第1课时 多边形及其内角和
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1．在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 _首__尾__顺__次___相接组成的封闭图形叫做多边形．组成 多边形的线段叫做多边形的边，相邻两边的公共端 点叫做多边形的顶点．多边形中相邻两边组成的角 叫做多边形的内角，简称多边形的角．
返回
11．(中考·聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多 边形，那么这个多边形的内角和是_1_8_0_°__或__3_6_0_°__或__5_4_0．°
点拨 12题 返回
点拨： 一个正方形被截掉一个角后，可能得到如图所示的多边形： ∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.
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∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，
∴∠EBC＝ 1 ∠ABC，∠BCE＝ 1 ∠BCD.
∴∠E＝180°2 －∠EBC－∠BCE2＝180°－ 1 (∠ABC＋
∠BCD)＝180°－ ×140°＝110°.
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构造基础图形法 15．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的
度数．
A．90° B．105° C．103°
D．120°
点拨 10题 返回
点拨：
根据题意，得(n－2)·180°＝257°，得n＝3 77 ，则 多边形的边数是4，因为四边形的内角和是316800°，所
以这一内角等于360°－257°＝103°.故选C.
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10．(n＋1)边形的内角和比n边形的内角和大__1_8_0_°___.
(1)证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠BCD＝∠EDC＝90°， ∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC，
即∠BCA＝∠EDA， ∵BC＝ED，∴△ABC≌△AED. (2)解：∵△ABC≌△AED，∠B＝140°， ∴∠E＝140°， ∵五边形内角和为540°， ∴∠BAE＝540°－∠BCD－∠EDC－∠B－∠E＝ 540°－90°－90°－140°－140°＝80°.
∴∠C＝(360°－∠A－∠D)÷2＝70°. (2)∵BE∥AD， ∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＋∠A＝180°.
∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°. 又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°. ∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80° ＝60°. (3)∵∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°， ∴∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D＝360°－140° －80°＝140°.
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点拨： 从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，它们把 n边形分成(n－2)个三角形，所以x＝3，y＝4.
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6．(巢湖期中)已知过一个多边形的某一顶点共可作2 015 条对角线，则这个多边形的边数是___2_0_1_8__．
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7．(南陵月考)已知一个多边形的对角线条数正好等于它 的边数的2倍，则这个多边形的边数是___7_____．
五边形共有________条对角线； 12
(3)如果一个多边形90对角线的条数与它的边数相等，求这个 多边形的边数．
解：(3)设这个多边形的边数为n，
则 n(n－31)＝n， 解得n＝5或2n＝0(舍去)．
故这个多边形的边数是5.
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13． (中 考 ·温 州 )如 图 ， 在五 边形 ABCDE中 ， ∠ BCD＝ ∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD. (1)求证：△ABC≌△AED； (2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
2．多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的 _对__角__线___ .
3．n边形的内角和等于__(n_－__2_)_·_1_8_0_°(n为不小于3的整数)．
知识点 1 多边形
1．下列图形中，不是多边形的是( C )
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2．下列图形不是凸多边形的是( D )
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3．(含山月考)如图，多边形任意相邻两边互相垂直，则 这个多边形的周长为__2_m_＋__2_n_．
解：如图，连接BF. ∵∠A＋∠G＋∠AOG＝180°，∠1＋ ∠2＋∠BOF＝180°，∠AOG＝∠BOF， ∴∠A＋∠G＝∠1＋∠2. ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＝∠FBC ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠BFE＝(5－2)×180°＝540°.
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沪科版八年级下册数学：19.1 多边形内角和 (共25张PPT)
活动2：请利用下图探求四边形ABCD的内角和。
转化 思路：多边形
C
三角形．
D
２×180 °＝360°
A
B
把四边形问题转化为三角形,体现了转化的思想,
即把未知转化为已知,把复杂转化为简单.
还有其他方法吗？
C D
O
A
B
4×180°－360°=360°。
结论：任意四边形的内角和是360 ０
你能用以上方法求出五边形的内角和吗？
180° ×3
3
4…
180° ×4
…
n-3 n-2 (n-2) ×180°
定理： n边形的内角和等于(n－2)．180°
还有什么方法求多边形的内角和？
D
A
B
C
D
E
A
F C
A B
E D
C B
该图中n边形共有n个三角形，故所有三角 形内角和为n×180 °，但每个图中都有一个 以红圈圈住的周角360 °，因此
可表示为：五边形ABCDE或五边形DCBAE等。
A
内角
顶点
E
B
边
C
D
对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
1 5
2
4 3
多边形的外角：多边形的边与它邻边的 延长线组成的角。
A 凸四边形
D
凹四边形
H
G
B
C
整个图形都在任意
一条边所在直线的 同一侧．
E
F
四边形不都在任意一 条边所在直线的同一 侧．
n边形的内角和为 n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °
知识应用 1、求十边形的内角和的度数。
沪科版八年级数学下册第19章四边形PPT课件全套
2021/5/20
总结
对于正多边形的识别，各条边都相等，各个角都相等， 这两个条件缺一不可．
2021/5/20
例3 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10 条对角线，则它是( A ) A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形
2021/5/20
导引：如图，从n边形的一个顶点出发作对角线时，与 该顶点本身及其相邻的两个顶点不能作，与其 余的(n－3)个顶点每个顶点相连都可以作一条 对角线，故从n边形的一个顶点出发共可以引(n －3)条对角线，所以n－3＝10，所以n＝13.
2021/5/20
例4 下列说法：(1)等腰三角形是正多边形；(2)等边三
角形是正多边形；(3)长方形是正多边形；(4)正方
形是正多边形．其中正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2021/5/20
导引：紧扣正多边形的定义识别： (1)等腰三角形的底边与腰不一定相等，所以不一 定是正多边形； (2)等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是 正多边形； (3)长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等， 所以不一定是正多边形； (4)正方形的四条边相等，四个角相等，是正多边 形
2021/5/20
总结
当已知多边形从一个顶点出发的对角线条数求边数时， 用公式n－3等于对角线条数去求；当已知一个多边形 的对2 线总条数去求；当已知多边形从一个顶点出发将多边 形分成的三角形个数求边数时，用公式n－2等于三角 形个数去求．
2021/5/20
2021/5/20
总结
理解多边形的定义需注意： (1)线段必须“不在同一直线上”且条数要不少于3条； (2)必须是“平面图形”； (3)线段首尾顺次相接．
总结
对于正多边形的识别，各条边都相等，各个角都相等， 这两个条件缺一不可．
2021/5/20
例3 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10 条对角线，则它是( A ) A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形
2021/5/20
导引：如图，从n边形的一个顶点出发作对角线时，与 该顶点本身及其相邻的两个顶点不能作，与其 余的(n－3)个顶点每个顶点相连都可以作一条 对角线，故从n边形的一个顶点出发共可以引(n －3)条对角线，所以n－3＝10，所以n＝13.
2021/5/20
例4 下列说法：(1)等腰三角形是正多边形；(2)等边三
角形是正多边形；(3)长方形是正多边形；(4)正方
形是正多边形．其中正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2021/5/20
导引：紧扣正多边形的定义识别： (1)等腰三角形的底边与腰不一定相等，所以不一 定是正多边形； (2)等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是 正多边形； (3)长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等， 所以不一定是正多边形； (4)正方形的四条边相等，四个角相等，是正多边 形
2021/5/20
总结
当已知多边形从一个顶点出发的对角线条数求边数时， 用公式n－3等于对角线条数去求；当已知一个多边形 的对2 线总条数去求；当已知多边形从一个顶点出发将多边 形分成的三角形个数求边数时，用公式n－2等于三角 形个数去求．
2021/5/20
2021/5/20
总结
理解多边形的定义需注意： (1)线段必须“不在同一直线上”且条数要不少于3条； (2)必须是“平面图形”； (3)线段首尾顺次相接．
沪科版八年级下册数学：19.1 多边形内角和 (共25张PPT)
牛刀小试：
1、 边形内角和是四边形内角和
的2倍。
2、一个五边形的三个内角是直角，
另两个内角都是n°，则n=
。
3、多边形的边数每增加1，内角和增
加多少度？
4、小明在计算多边形的内角和时求得 的度数是1000°，他的答案正确吗？ 为什么？
5、已知四边形4个内角的度数比是1︰2 ︰3︰4，那么这个四边形中最大角的 度数是 135° 。
180° ×3
3
4…
180° ×4
…
n-3 n-2 (n-2) ×180°
定理： n边形的内角和等于(n－2)．180°
还有什么方法求多边形的内角和？
D
A
B
C
D
E
A
F C
A B
E D
C B
该图中n边形共有n个三角形，故所有三角 形内角和为n×180 °，但每个图中都有一个 以红圈圈住的周角360 °，因此
§19.1多边形内角和
(第一课时）
观察下列图案
生活中的平面图形
这些图案你抽象出什么几何图形？
三角形
四边形
生活中的平面图形
六边形
生活中的平面图形
八边形
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
请仿照三角形的定义给出多边形的定义。
在平面内，由若干条不在同一条直线上 的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫 做多边形。
注：初中数学中的多边形，一般都指凸多边 形．
回顾：三角形的内角和是_1_8__0_°．
正方形、长方形的内角和是_3_6_0_°．
？ 猜想：任意四边形的内角和是__3_6_0_°
活动1：任意画一个四边形，用量角器量出 它的四个内角的度数，计算内角和。
沪科版八年级下册数学课件 19-1 多边形内角和
E
A
A
F
B
DB
E
C
C
D
内角和为180° ×3 = 540°.内角和为180° ×4 = 720°.
由特殊到一般
边数 三角形
图形
从多边形的一顶点 引出的对角线条数
分割出三角 形的个数
多边形内角和
0
1
1×180º=180º
四边形
1
2
2×180º=360º
五边形
2
3
3×180º=540º
六边形 ······ n 边形
内角= (n 2)180 ，外角= 3 6 0
n
n
具有不稳定性
谢谢 大家
D A
B
•
E
C
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
∴四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
D
A
•
E
B C
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
中国第一奇村诸葛八卦村 美国国防部大楼——五角大楼
一 多边形的定义及相关概念
问题1 什么是三角形？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成 的图形叫做三角形. 问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念， 你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由若干条不在同一 条直线上的线段首尾顺次相接 组成的封闭图形叫做多边形.
是（ A ）
A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形
沪科版数学八年级下册 19.1.1 多边形内角和 课件(共15张PPT)
引导探究
可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
A
内角
多
边
顶点
E
形
的
外角
相B
关
概
1
念边
2D
C
对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段.
引导探究
还可以从哪儿取点 对多边形进行分割？
多边形
从一个点出 发引对角线 的条数 分割成三角 形的个数 内角和
三 四 五边 六边形 … 角边 形 形形
01 2
1.下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ B ） A.540° B.580° C.1800° D.900°
2.一个四边形的四个内角之比是1:2:3:4,那么 这四个角分别为 36°，72°，108°，1.44°
3.求八边形的内角和的度数．
4.一个多边形的内角和等于1080°，求此多边形的边 数.
引导探究
1.多边形的定义：
在__平_面__内__，由若干条_不_在__同__一__直__线_上的线段
首__尾__顺__次__相_接__组成的_封__闭__图_形___叫做多边形．
An
A5
A1 这是凸多边形还是凹多边形？
A2
A4 A3
引导探究
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
D
D
B
C
凸多边形
B 凹多边形 C
我们现在研究的是如左图所示的多边形 ，也就是所谓的凸多边形
通过本节课的学习，你有什么收获？
引导探究
5、过四边形的一个顶点有 1 条对角线，四边 形共有 2 条对角线.
6、过五边形的一个顶点有 2 条对角线，五边 形共有 5 条对角线.