2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 3.1.2(一) 函数的表示法(一)
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值
最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
第1课时 函数的单调性
知识点一 定义域为I的函数f(x)的单调性
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1
(3)属于同一个单调区间．
知识点二 单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
[教材解难]
1．教材P77思考 f(x)＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；
f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．
2．教材P77思考
(1)不能 例如反比例函数f(x)＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．
(2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．
[基础自测]
1．下列说法中正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－1x在定义域上是增函数；
④y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．
答案：A
2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )
A．m>12 B．m<12
2023年新教材高中人教A版数学必修第一册知识点(8页)全文
新教材高一数学必修第—册知识点
第一章 集合与常用逻辑用语
1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母表示，元素三大性质：互异性，确定性，无,,,cba
序性．
2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母表示． ,,,CBA
3集合相等：两个集合的元素一样，记作． BA,BA
4元素与集合的关系：①属于：;②不属于：． AaAa
5常用的数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集． N
NN或*
ZQR
6集合的表示方法：①列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方
法；
②描述法：把集合中全部具有共同特征的元素所组成的集合表示为的方法； )(xPx})(|{xPAx
③图示法(图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法． Venn
7集合间的根本关系：子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就BA,AB
称集合为集合的子集，记作，读作包含于；真子集：如果，但存在元素，且AAABBABxAx
，就称集合是集合
的真子集，记作，读作真包含于． ABABAB
8空集：不含任何元素的集合，用表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子
集．
9集合的根本运算：并集；交集； },|{BxAxxBA或},|{BxAxxBA且
补集(为全集，全集是含有所研究问题中涉及的全部元素)． },|{AxUxxAC
U且U
运算性质：；；；； BABBABAABAAAA
，． UCUCAACC
UUUU,,)()()()(),()()(BACBCACBACBCAC
UUUUUU
10充分条件与必要条件：一般地，“假设p，则q〞为真命题，p可以推出q，记作，称p是q的qp
充分条件，q是p的必要条件；p是q
的条件的四种类型：假设，则p是q的充分不必要qqp,p
条件；
假设，则p是q的必要充分不条件；假设，则p是q的充要条件； ppq,qqp
2020学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系练习(含解析)新人教B版必修第一册
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.
知识点一 函数的零点
1．零点的定义
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
状元随笔 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
知识点二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集 {x|xx2}
x x≠－b2a R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集 {x|x1
知识点三 函数零点的判定 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
状元随笔 定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.
[基础自测]
1．函数y＝3x－2的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A.23；23 B.23，0；23
C．－23；－23 D.－23，0；－23
解析：令3x－2＝0，则x＝23，∴函数y＝3x－2的图像与x轴的交点坐标为23，0，函数零点为23.
答案：B
2．函数f(x)＝3x－x2的定义域为( )
A．[0,3] B．(0,3)
高中数学第三章 函数概念与性质之函数的概念及表示(精练)(必修第一册)(学生版)
3.1 函数的概念
【题组一 区间】
1．(2020·三亚华侨学校高一月考)不等式0213x的解集用区间可表示为( )
A．1(,2)2 B．(0,2] C．1[,2)2 D．1(,2]2
2．(2020·全国高一课时练习)集合{|342}xx可以表示为( )
A．(2,) B．(,2) C．[2,) D．(,2]
3．(2020·全国高一课时练习)不等式20x的所有解组成的集合表示成区间是( )
A．(2,) B．[2,) C．(,2) D．(,2]
4．(2019·贵州省铜仁第一中学高一期中)集合0xx且2x用区间表示出来( )
A．0,2 B．0, C．0,22, D．2,
5．(2019·吉林辽源高一期中(理))下列四个区间能表示数集|05Axx或10x的是( )
A．((0,5)1)0,＋ B．0,51()0,＋
C．0,51[)0,＋ D．0,51()0,＋
6．(2020·全国高一课时练习)若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
7．(2020·全国高一课时练习)已知2,31aa为一个确定的区间，则a的取值范围是________.
【题组二 函数的判断】
1．(2020·三亚华侨学校高一月考)下列图象表示函数图象的是( )
A．B．
C．D．
2．(2020·全国高一)在下列图象中，函数()yfx的图象可能是( )
A． B． C． D．
3．(2020·全国高一课时练习)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是________.
【题组三 定义域】
1．(2020·浙江高一课时练习)函数22()44fxxx的定义域是( )
2020-2021学年高一上数学新教材必修一第3章：函数的概念(含答案)
第 1 页 共 7 页 2020-2021学年高一上数学新教材必修一第3章：函数的概念
一、选择题
1．已知函数f(x)＝3x，则f1a＝( )
A.1a B.3a
C．a D．3a
2．下列表示y关于x的函数的是( )
A．y＝x2 B．y2＝x
C．|y|＝x D．|y|＝|x|
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
4．函数y＝x＋1x－1的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
5．下列四组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x＋1x，则f(2)＋f(－2)的值是________．
7．已知函数f(x)＝11＋x，又知f(t)＝6，则t＝________.
8．函数y＝8x2－4x＋5的值域是________．
三、解答题
高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2第1课时函数的表示法学案含解析第一册
33.11示法学案含解析新人教A版必修第一册
- 1 - 3。1。2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
学 习 目 标 核 心 素 养
1。掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．(重点)
2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点） 1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养． 2．通过函数解析式的求法培养运算素养。
(1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
（2)如图是我国人口出生率变化曲线:
(3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离 50 100 200 300 500 33.11示法学案含解析新人教A版必修第一册
- 2 - 氰化物浓度 0.678 0。398 0.121 0.05 0。01
问题：根据初中所学知识，请判断问题（1)、(2）、（3）分别是用什么法表示函数的?
提示：解析法、图象法和列表法．
函数的表示法
思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?
提示：不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此,图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝错误!列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段．
1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”)
（1)任何一个函数都可以用解析法表示． ( ）
(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．33.11示法学案含解析新人教A版必修第一册
- 3 - （ ）
[答案] (1)× (2)×
2．已知函数f(x）由下表给出，则f（3）等于 ( ）
x 1≤x<2 2 2
f(x) 1 2 3
A。1 B．2
3.1.2 函数的表示法(解析版)高一数学同步讲义(新教材人教A版必修第一册)
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原创 3.1.2 函数的表示法
一、知识点归纳
知识点1.函数的表示法
1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．
2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
知识点2. 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝ 1，－2≤x≤0，x，0
知识点3.三种表示方法的优缺点比较
优点 缺点
解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图象直观形象地表示出函数的变化情况，有利只能近似地求出自变量所对应的函数值，
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原创 法 于通过图象研究函数的某些性质 有时误差较大
二、题型分析
题型一 函数表示法
【例1】已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋bx.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．
(1)写出函数t的解析式；
(2)用列表法表示此函数；
(3)画出函数t的图象．
【解析】(1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28，列出方程组 2a＋b2＝100，14a＋b14＝28.解得 a＝1，b＝196.
所以t＝x＋196x.又因为x≤20，x为正整数，
所以函数的定义域是{x|0＜x≤20，x∈N*}．
高中数学新教材必修第一册《3.1.2函数的表示法》导学案
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高中数学新教材必修第一册《3.1.2函数的表示法》导学案
学习目标
1. 了解函数的表示方法；
2. 掌握函数解析式的多种求法.
预习导学
1. 函数的三种表示方法： 、 、
2. 函数的三种表示法对比：
函数的表示法 优点 缺点
法
法
法
课堂讲义
一、重难点：函数解析式的多种求法
方法1：待定系数法求函数解析式
.)(14))(()(.1的解析式，求满足如果一次函数例xfxxffxf
变式训练：
1.()(1)()29,()fxfxfxxfx已知是一次函数，且满足3求的解析式
2.()(0)0,(1)()2,()fxffxfxxfx已知是二次函数，且满足求的解析式
方法2：换元法（或配凑法）求函数解析式
2
例2.
方法3：构造方程组法求函数解析式
例3. ()()+2(-)=1,()fxfxfxxfx若满足关系式求的解析式
变式训练：1()3()+2()4,()fxfxfxfxx设满足求的解析式
二、规律总结：
求函数解析式的常用方法：
1. 待定系数法：
2. 换元法：
3. 配凑法：
4. 构造方程组法：
三、课堂小结：
这节课主要学习了哪些内容？
四、作业：
变式训练：已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x)的解析式; 已知f(x－1)=x2-4x+2,求f(x)的解析式;
高中数学3.1.2函数的表示法第2课时分段函数人教A版必修第一册
- 1 - 第2课时 分段函数
[A 基础达标]
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
解析：选B.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x>1，则f(f(3))＝( )
A.15 B．3
C.23 D.139
解析：选D.f(3)＝23，f(f(3))＝f23＝232＋1＝49＋1＝139.
3．(2019·广东深圳中学期中考试)已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，x2，0
A.3 B．9
C．－1或1 D．－3或3
解析：选A.依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0
4．函数f(x)＝x2－2|x|的图象是( )
解析：选C.f(x)＝x2－2x，x≥0，x2＋2x，x<0，分段画出，应选C.
5．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则ff13等于 ( )
A．－13 B.13
C．－23 D.23 - 2 - 解析：选B.由题图可知，函数f(x)的解析式为
f(x)＝x－1，0
所以f13＝13－1＝－23，
所以ff13＝f－23＝－23＋1＝13.
6．已知f(n)＝n－3，n≥10，f（f（n＋5）），n<10，则f(8)＝________．
解析：因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13))．因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
2020_2021学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法课时作业新人教A版必修第一册
课时作业(十二) 函数的表示法
[练基础]
1．(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )
A．f(x)＝ x2＋1，1
B．f(x)＝ x＋1，x∈R，x2，x≥2.
C．f(x)＝ 2x＋3，1≤x≤5，x2，x≤1.
D．f(x)＝ x2＋3，x<0，x－1，x≥5.
2．已知f(x－1)＝1x＋1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝11＋x B．f(x)＝1＋xx
C．f(x)＝1x＋2 D．f(x)＝1＋x
3．函数y＝x2|x|的图象的大致形状是(
)
4．已知函数f(x)＝3x－1，若f(g(x))＝2x＋3，则函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝23x＋43 B．g(x)＝23x－43
C．g(x)＝43x＋23 D．g(x)＝43x－23 5．已知f(x)＝ x，－1≤x≤1，1－x，x>1或x<－1.若f(x)≥14，则x的取值范围为________．
6．已知函数f(x)＝ x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2
(1)求f(－5)，f(－3)，ff－52的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[提能力]
7．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
8．用函数M(x)表示函数f(x)和g(x)中的较大者，记为：M(x)＝max{f(x)，g(x)}．若f(x)＝|x|，g(x)＝1x2，则M(x)的大致图象为( )
9．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
[战疑难]
10．已知函数f(x)对任意正实数a，b都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．