新人教版高考数学大一轮复习《复数》
(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔_a_=_c_,_b_=_-_d_
(a,b,c,d∈R).
(5)模:若复数z在复平面内对应的向量为
uur OZ
,则向量
uur OZ
的模叫做复数z=a+bi的模,记作_|_a_+_b_i_|_或_|_z_|_,
即|z|=|a+bi|= a2＋b2 (a,b∈R).
（ 1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝－b，? （ 1＋ 2i)(1－ 2i)＝c，
所以b=-2,c=3. 答案:-2 3
【状元笔记】 对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解 方法,判别式不再成立.因此求此类方程的解,一般都是 将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解.
【对点练·找规律】
uur BC
表示的复数为 ( )
A.2+8i B.2-3i
C.-4+4i D.4-4i
(2)(2018·唐山模拟)若1+ 2 i是关于x的实系数方程 x2+bx+c=0的一个虚数根,则b=________,c=________.
【解析】(1)选D.设B对应的复数为a+bi(a,b∈R),
则由题意可得
第二节 复 数(全国卷5年13考)
【知识梳理】 1.复数的有关概念 (1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫 做复数z的_实__部__,b叫做复数z的_虚__部__(i为虚数单位).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的分类:
(3)复数相等:a+bi=c+di⇔_a_=_c_且__b_=_d_(a,b,c,d∈R).
【解析】选C.因为 5 52 i 2 i，
2－i 5
( 5 )2 =(2+i)2=3+4i,
2－i
所以复数 ( 5 )2 的共轭复数是3-4i.
2－i
3.i为虚数单位,若复数(1+mi)(i+2)是纯虚数,则实数m 等于________. 【解析】因为(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i是纯虚数,所 以2-m=0,且1+2m≠0,解得m=2. 答案:2
题组二:走进教材
1.(2018·全国卷Ⅲ)(1+i)(2-i)= ( )
(源于选修2-2P110例3)
A.-3-i
B.-3+i
C.3-i
D.3+i
【解析】选D.(1+i)(2-i)=2-i2-i+2i=3+i.
2.(选修2-2P106A组T5改编 )复数z=(x+1)+(x-2)i (x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值 范围为________.
2.复数的几何意义
3.复数的四则运算 设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
【常用结论】 (1)(1±i)2=±2i; 1＋i =i;1－i =-i.
1－i 1＋i
(2) i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N*.
(3)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
【状元笔记】 复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运 算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合复 数的几何意义解答.
命题角度3 四则运算与三角、向量、方程等的综合
【典例】(1)在复平面内,O是原点,OuuAur，OuuCur，AuuBr
表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么
3－i （3－i)(3＋i） 10
=1-i,其模为 12＋（－1）2＝ 2.
答案: 2
【一题多解微课】
解决本题(2)还可以采用以下方法: 【解析】| 2－4i | | 2－4i |＝ 22＋（－4）2 ＝ 2.
3－i | 3－i | 32＋（－1）2
答案: 2
【状元笔记】 复数概念与运算的综合问题:复数的运算与复数概念的 综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为 a+bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答.
2i 3＋i
＝
2i（3－i）＝ 32－i2
2＋6i 10
＝1＋ 5
3 5
i，
所以其在复平面内
对应的点的坐标为 (1，3) ,该点在第一象限.
55
3.(2017·天津高考)已知a∈R,i为虚数单位,若 a－i
2＋i
为实数,则a的值为________.
A．3B．4C.－ 4D.－ 3
4
3
3
4
【解析】选D.因为z1=3+4i,z2=t+i, 所以z1·z2=(3t-4)+(4t+3)i, 又z1·z2是实数,所以4t+3=0,所以t=- 3 .
4
4. 若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R),z2=3-2i,则“m=1”
复数的四则运算在高考题中是必考知识点,试题常 以选择题、填空题形式出现,考查复数四则运算与复数 的相关概念、几何意义以及三角、向量、方程等知识 的综合应用.解题过程中常渗透函数与方程的思想.
命题角度1 四则运算与复数的相关概念的综合
【典例】(1)若复数 a＋3i 是纯虚数,则实数a= ( )
1－2i
(3)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几 何意义求解. (4)若复数z=x+yi(x,y∈R),则|z|=r,点Z在以(0,0)为 圆心,r为半径的圆上.
【对点训练】
1.已知i是虚数单位,复数z= 1 (a∈R)在复平面内对
a－i
应的点位于直线y=2x上,则a= ( )
A.2
B. 1
【解析】因为z1=3-2i,由题意知z2=-3+2i. 所以z1z2=(3-2i)(-3+2i)=-5+12i. 答案:-5+12i
Hale Waihona Puke 【规律方法】解决复数的几何意义问题主要用到方程 及不等式思想、数形结合思想 (1)已知复数对应点的位置求参数范围,可建立不等式 求解. (2)已知复数对应的点进行运算时,可建立方程待定系 数求解.
【解析】由题意可得
x
x
1 0, 2 0,
所以-1<x<2.
答案:(-1,2)
考点一 复数的概念
【题组练透】
1.已知i是虚数单位,复数(2+i)2的共轭复数的虚部
为( )
A.4i
B.-4
C.3
D.4
【解析】选B.因为(2+i)2=4+4i+i2=3+4i,所以复数 (2+i)2的共轭复数为3-4i,虚部为-4.
C.-2
D.- 1
2
2
【解析】选B.z= 1 ＝ a＋i ＝ a ＋ 1 i，
a－i a2＋1 a2＋1 a2＋1
其对应的点的坐标为
(
a
a， 2＋1 a
21＋1)，
又该点位于直线y=2x上,所以a= 1 .
2
2.若复数z满足|z-i|≤ 2 (i为虚数单位),则z在复平 面内所对应的图形的面积为________.
2.(2018·莆田模拟)已知复数z满足zi=-2-i(i为虚数
单位),则|z|= ( )
A. 2
B. 3
C.2
D. 5
【解析】选D.因为zi=-2-i,所以z=-1+2i, 所以|z|= 5 .
3.已知t∈R,i为虚数单位,复数z1=3+4i,z2=t+i, 且z1·z2是实数,则t等于 ( )
1.(2018·黄山模拟)设i是虚数单位,若z=cos θ +
isin θ ,且其对应的点位于复平面内的第二象限,
则θ 位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.因为z=cos θ+isin θ对应的点的
坐标为(cos θ,sin θ),
且点(cos
θ,sin
θ)位于第二象限,所以
命题角度2 四则运算与复数几何意义的综合
【典例】(1)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示
复数z,则 z 表示的复数对应的点是 ( )
1 i
A.E
B.F
C.G
D.H
(2)已知复数z满足 z =|2-i|,则z的共轭复数对应的
1 i
点位于复平面内的 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
uur uur uuur AB＝OB－OA，
即1+5i=a+bi-(-2+i)=a+2+(b-1)i,
所以a+2=1,b-1=5,
所以a=-1,b=6,故B对应的复数为-1+6i.
那么
uur BC
表示的复数为3+2i-(-1+6i)=4-4i.
(2)因为实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个虚根 为1+ 2 i,所以其共轭复数1- 2 i也是方程的根, 由根与系数的关系知,
【解析】(1)选D.由题图可知复数z=3+i,
所以 z 3 i （3 i)(1－i）
1 i 1 i （1 i)(1－i）
= 4－2i =2-i,对应点的坐标为(2,-1),
2
所以表示复数的点为H.
(2)选D.因为 z ＝| 2－i |＝ 5，
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)
第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
高考数学一轮复习复数精品课件文新人教A版34页文档
高考数学一轮复习复数精品课件文新 人教A版
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
2022届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.4 复数
§12.4 复 数1．复数的有关概念 (1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：满足条件(a ，b 为实数) 复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0 a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面对量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )1．(2022·课标全国Ⅰ)(1＋i )3(1－i )2等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D解析 方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i＝－2＋2i －2i＝1－ii＝－1－i.故选D.方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－1－i. 2．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i答案 C解析 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.3．(2021·四川)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，由图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D答案 B解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B. 4．(2021·广东)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 由题意知x ＋y i ＝3＋4i i ＝4－3i ，所以|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.题型一 复数的概念例1 (1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．i C.25D ．0(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件思维点拨 (1)若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则b ＝0时，z ∈R ；b ≠0时，z 是虚数；a ＝0且b ≠0时，z 是纯虚数． (2)直接依据复数相等的条件求解． 答案 (1)A (2)A解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．思维升华 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义动身，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)(2021·安徽)设i 是虚数单位．若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2022·浙江)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)D (2)A 解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二 复数的运算例2 计算：(1)3(1＋i )2i －1＝________；(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 思维点拨 复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算． 答案 (1)3－3i (2)－1＋i 解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1。
高考数学第一轮基础复习课件 112 复数的概念与运算 新人教B版
复数的实部与虚部
[例 1] (2011·甘肃第一次高考诊断 )如果复数 z＝ 21－＋bii(b∈R)的实部和虚部互为相反数，则 b 的值等于
() A．0
B．1
C．2
D．3
分析：为了得到复数 z 的实部与虚部，应先将 z 分母 实数化，化为 z＝m＋ni(m、n∈R)的形式．m＋ni 的实数 化因子为 m－ni.
答案：D
(2011·山东理，2)复数 z＝22－ ＋ii(i 为虚数单位)在复平
面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵z＝22－ ＋ii＝2－5 i2＝4－45i－1＝35－45i. ∴z 在复平面内对应的点为 (35，－45)，故选 D.
答案：D
复数的模
b∈R)，则 a＋b 的值是( )
A．0
B.12
C．1
D．2
[答案] C
[解析] ∵a＋bi＝21＋ ＋ii＝21＋ ＋ii11－ －ii＝3－2 i，a，b∈ R，
∴a＝32，b＝－12，∴a＋b＝1.
二、填空题 3．复数 z1＝2－i，z2＝4＋3i 在复平面内的对应点分 别为 A、B，线段 AB 的中点为 P，则点 P 对应复数的共 轭复数为________．
答案：1
复数的分类
[例 2] (2010·广东罗湖区调研)若复数(a2－4a＋3)＋
(a－1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( )
A．1
B．3C．1 或 3D．－1解析：由条件知aa2－－14≠a＋0 3＝0 ，∴a＝3. 答案：B
点评：掌握复数分类的充要性是解此类题的关键. 复 数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相 互转化，为解决实际问题提供了一条重要思路.
高考数学一轮复习 基础知识 复数 新人教A版
高中数学第十五章 复数考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．§15. 复 数 知识要点1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-.⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（φφ=-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）. ④），（2121202z z a a z z z z ππ=---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012πλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012πλλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ.3. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn 43421②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有③n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2 若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg .注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值.②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-==-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω)sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，rb r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）. ②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r )]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+。
人教版高中数学1-2复数复习小结课件
深入探究 2、复数的减法
思考？ 复数是否有减法？如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足
（c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数 a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
请同两个学复们数推相导减复就数是把的实减部法与法实则部。、虚部与虚部分别相减，
即
事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
由此(a ，b得i) (cx=adi－) c，(a cy)=b(b－ dd )i
所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
即：（a+bi） － （c+di）= (a － c)+(b － d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的
那么|z+i+1|的最小值是（ ）
• A.1 B. 2 C.2 D. 5
y
ox
思想方法—数形结合
方法与技能
• 掌握一些常见曲线的复数方程， 充分运用复数的几何意义解题， 就可以快速准确的解答有关问题。
(1) z z 0 r (2) z z 1 z z 2
(3) z z 1 z z 2 2a
bi)
b2
(a
9a a2 b2
)
(b
9b a2 b2
)i
z 9 R, b 9b 0
z
a2 b2
又 b 0, a2 b2 9 0
即a2 b2 9 | z | 3
• 解法2 z 9 R z 9 z 9
z
z
z
z 9 z 9 (z z)(z z 9) 0
高考数学一轮专项复习讲义(通用版)-复数(含解析)
复数复习要点1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．一复数的有关概念1．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模复数z ＝a ＋b i 在复平面中的对应向量为向量OZ →，向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．二复数的几何意义1．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．2．复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )．三复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i(c ＋d i≠0)．常/用/结/论1．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.若ω＝－12＋32i ，则有ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0,1＋ω＋ω＝0，ωn 也有周期性.ω3k ＝1，ω3k ＋1＝ω，ω3k ＋2＝ω.(k ∈N )ω2＝ω.2．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )，i 4n ＋i n 具有周期性．i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )．3．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，|z1z 2|＝|z 1||z 2|，|z n|＝|z |n.复数模的性质.再如：|z 1|－|z 2|≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|.1．判断下列结论是否正确．(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i 等．()(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．()(4)复数z ＝－1＋2i 的共轭复数的对应点在第四象限．()2．(2023·全国甲卷，文)51＋i 32＋i2－i＝()A ．－1B ．1C ．1－i D ．1＋i解析：51＋i 32＋i2－i＝51－i 5＝1－i ，故选C.答案：C3．(多选)(2024·湖南永州模拟)设复数z ＝－12－32i 的共轭复数为z ，则下列结论正确的有()A.z ＝cos 2π3＋isin2π3B.zz 2＝12C.|z z|＝1D ．z 3＋z 3＝2解析：由题意可知z ＝－12＋32i ＝cos 2π3＋isin 2π3，所以A 正确；因为z z2＝－12＋32i －12－＝－12＋32i －12＋32i ＝1，所以B 错误；因为|z z|＝|－12＋32i ||－12－32i |＝11＝1，所以C 正确；因为z 3＋z 3＝(z ＋z )(z 2－z z ＋z 2)＝(z ＋z )[(z ＋z )2－3z z ]＝(－1)×[(－1)2－3×1]＝2，所以D 正确．故选ACD.答案：ACD4．(2023·天津卷)已知i 是虚数单位，化简5＋14i2＋3i的结果为________．解析：由题意可得5＋14i2＋3i＝5＋14i 2－3i 2＋3i2－3i＝52＋13i13＝4＋i.答案：4＋i题型有关复数相关概念的理解典例1已知m ∈R ，复数z ＝mm －2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．解：(1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，只强调虚部为零，显然也有陷阱！解得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(2)当z 为纯虚数时，则有0，，严格概念，写出条件方程．解得m ＝0或m ＝2.(3)当z 对应的点位于复平面的第二象限时，解得m<－3或1<m<2.第二象限时，实部、虚部满足的条件不等式组．关于复数的概念的易错点复数z＝a＋b i(a，b∈R)＝0，≠0，做题时容易忽略b≠0，从而造成错误.对点练1(1)(2023·全国甲卷，理)若i为虚数单位，复数(a＋i)(1－a i)＝2，则a＝() A．－1B．0C．1D．2(2)设复数z满足z－1z＋1为纯虚数，则|z|＝()A．1 B.2C.3D．2解析：(1)(a＋i)(1－a i)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，a＝2，－a2＝0，解得a＝1，故选C.(2)因为z－1z＋1为纯虚数，所以可设z－1z＋1＝b i(b≠0)，则z＝1＋b i1－b i，方法一：由题意可得z＝1＋b i21－b i1＋b i＝1－b21＋b2＋2b1＋b2i，所以|z|＝1－b221＋b22＋2b21＋b22＝1＋2b2＋b41＋b22＝1，故选A.方法二：|z|＝|1＋b i1－b i|＝|1＋b i||1－b i|＝1＋b21＋－b2＝1，故选A.答案：(1)C(2)A题型复数运算的多维研讨维度1复数的基本运算典例2(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知z＝1－i2＋2i，则z－z＝()A．－i B．iC．0D．1(2)－23＋i 1＋23i ＋022＝________.解析：(1)z ＝1－i2＋2i ＝1－i 221＋i1－i＝1－2i ＋i 221－i 2＝－2i 4＝－12i ，则z ＝12i ，∴z －z＝－12i －12i ＝－i ，故选A.先化简z 的形式，明确实部、虚部．(2)i ＋i 3＝0.体会(1－i )n 的运算技巧，应先计算(1－i )2＝－2i ，即(1－i )2n ＝(－2i )n ＝(－2)n ·i n .这样使运算简便一些！故答案为0.复数代数形式的运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意：i 2＝－1)，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母实数化．(3)复数的模注意正确应用公式|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．对点练2(1)(2023·全国乙卷，文)|2＋i 2＋2i 3|＝()A ．1B ．2C.5D ．5(2)(2023·全国乙卷，理)设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5，则z ＝()A ．1－2iB ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i 解析：(1)|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝1＋－22＝ 5.故选C.(2)因为z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5＝2＋i 1＋－1＋i ＝2＋i i ＝2＋iii2＝－(2＋i)i ＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故选B.答案：(1)C (2)B 维度2复数的综合运算典例3(多选)(2024·浙江杭州期末)已知非零复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，O 为坐标原点，则()A ．当|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|时，OZ 1→·OZ 2→＝0利用向量视角来理解．B ．当|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|时，z 1·z 2＝0C ．若|z 1＋z 2|＝|z 1|＋|z 2|，则存在实数t ，仍然可用向量视角，即OZ 1→与OZ 2→同向时，等号成立．使得z 2＝tz 1D ．若|z 1＋1|＝|z 2＋1|，则|z 1|＝|z 2|数形结合的角度：z 1，z 2到点(－1,0)的距离相等．解析：对于A ，|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，即|OZ 1→＋OZ 2→|＝|OZ 1→－OZ 2→|，两边平方可得OZ 1→·OZ 2→＝0，故A 正确；对于B ，取z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，而z 1·z 2≠0，故B 错误；对于C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＋|z 2|即|OZ 1→＋OZ 2→|＝|OZ 1→|＋|OZ 2→|，两边平方可得OZ 1→·OZ 2→＝|OZ 1→|·|OZ 2→|，故cos 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝OZ 1→·OZ 2→|OZ 1→||OZ 2→|＝1，夹角θ＝0，OZ 1→，OZ 2→方向相同．故OZ 1→∥OZ 2→，因此存在实数t ，使得z 2＝tz 1，故C 正确；对于D ，取z 1＝2i ，z 2＝1＋i ，则|z 1＋1|＝|z 2＋1|，但|z 1|≠|z 2|，故D 错误．故选AC.复数的模与共轭复数的运算性质(1)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|；(2)|z 1z 2|＝|z 1||z 2|；(3)|z |＝|z |；(4)z ·z ＝|z |2.对点练3(1)设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z＝()A ．iB ．－iC ．±1D ．±i(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由|abc d |所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i，z 3＝z 2，则当|z 1z 2z 3z 4|＝12－i 时，z 4＝________.解析：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，a ＝4，2＋b 2＝8，＝2，＝±2.当z ＝2＋2i 时，z z ＝－i ；当z ＝2－2i 时，z z＝i.(2)依题意知，|z 1z 2z 3z 4|＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i＝2＋i1＋i2＝1＋3i2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i ＝3－i1－i2＝1－2i.答案：(1)D(2)1－2i题型复数的几何意义典例4(1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)0,3＋2i ，－2＋4i 在复平面内对应的点为平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C .求：①AO →，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③B 点对应的复数．(1)解析：(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i ＋3＝6＋8i ，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.(2)解：①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.平行四边形对边对应的向量相等，对应复数相等．②∵CA →＝OA →－OC →，∴对角线CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.借用向量减法运算！③∵OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，类比实数与数轴上的点、复数与复平面内的点，都属于一一对应关系，实现数与形的对应统一，让抽象的数可视化、形象化．每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．对点练4(1)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z 1＝－2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为A ，复数z 2满足|z 2－1＋i|＝2，z 2在复平面内对应的点B 为(x ，y )，则下列结论正确的有()A ．复数z 1的虚部为iB ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4C ．|z 1－z 2|的最大值为13＋2D ．|z 1＋z 2|的最小值为13－2(2)(2020·全国Ⅱ卷，理)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.解析：(1)由z 1＝－2＋i ，知虚部为1，故A 错误；因为|z 2－1＋i|＝2，z 2在复平面内对应的点B 为(x ，y )，则|(x －1)＋(y ＋1)i|＝2，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，故B 正确；由题意知，点B 在以(1，－1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，|AB |＝|z 1－z 2|，所以|z 1－z 2|max ＝－2－12＋1＋12＋2＝13＋2，故C 正确；|z 1＋z 2|＝|(－2＋x )＋(1＋y )i|＝x －22＋y ＋12表示点B 与定点(2，－1)的距离，易知点(2，－1)在圆内，所以|z 1＋z 2|min ＝2－2－12＋－1＋12＝1，故D 错误．故选BC.(2)方法一：设z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则由|z 1|＝|z 2|＝2，得x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝4.因为z 1＋z 2＝x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)i ＝3＋i ，所以|z 1＋z 2|2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＋2x 1x 2＋2y 1y 2＝8＋2x 1x 2＋2y 1y 2＝(3)2＋12＝4，所以2x 1x 2＋2y 1y 2＝－4，所以|z 1－z 2|＝|x 1－x 2＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22－2x 1x 2－2y 1y 2＝8＋4＝2 3.方法二：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则1|2＝a 2＋b 2＝4，2|2＝3－a2＋1－b 2＝4，b 2＝4，＋b ＝2，所以|z1－z2|2＝(2a－3)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(3a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝23.方法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(3，1)，求|a－b|.因为(a ＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝23，即|z1－z2|＝23.方法四：设z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，z1＋z2＝z＝3＋i，则z在复平面上对应的点为P(3，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2×32×2＝23.答案：(1)BC(2)23。
高考数学一轮复习 11.3复数课件
2.如果复数 m2 是 i 纯虚数,那么实数m等于 ( )
1 mi
A.-1 B.0 C.0或1 D.0或-1
答案 D
m=2 i
1 mi
=(m2 1,令i)m(m122+mmi)=0,m得2 m m=10或m(12-1m. 3)i
经检验满足题意.故选D.
3.已知复数z= 1 ,则 z·i在复平面内对应的点位于 ( )
(3)复数的加减法的几何意义
a.复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量 Ouu、Zur1 不OuuZ共uur2 线,则复数z1+z2是以OZ1、OZ2为两 邻边的平行四边形的对角线OZ表示的向量 O=uuZur +OuuZu所r1 对OuuZu应ur2 的复数. b.复数减法的几何意义 若复数z1,z2对应的向量分别为 Ouu,Zur1 ,则OuuZu复ur2 数z1-z2是向量 所对Zuu应2uZur1的复 数.
1 i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B z= 1, i= z +1 i , z·i=- 1 +1 i.
2 22
22
实部为- 1 ,虚部为1
2
2
,对应点为
1 2
,
12,在 第二象限,故选B.
4.i是虚数单位,则 2i3=
.
1 i
答案 -1-i
解析
2i3 2i (2i)(1 i)
则x+y=2a,xy=a2+b2,
代入(x+y)2-3xyi=4-6i,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
根据复数相等得
4a2 3(a2
4, b
人教a版高考数学(理)一轮课件：11.5复数的概念及运算
2 +
������������ -������������
2
������ 2 +������
i(c+d i≠0).
(2)复数的加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (3)复数的乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意 z1,z2,z3∈C,有 z1· z2=z2· z1,(z1· z2)· z3=z1· (z2· z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
-6±4i 2
)
=-3± 2i,选项 A 正确.
4 .(2012·山东卷,1 )若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( ) A .3+5i B.3- 5i C.-3+5i D.-3-5i 【答案】A 【解析】设 z=a+b i,a ,b∈R,则 z(2-i)=(a+b i)(2-i)=(2a+b )+(2b-a )i,于是有 2������ + ������ = 11, ������ = 3, 解得 2������-������ = 7, ������ = 5. 故 z=3+5i,应选 A .
2 .复数的几何意义 复数 z=a+b i 与复平面内的点 Z(a ,b )(a ,b∈R)与平面向量������������是一一对应 的关系.
3 .复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 V 设 z1=a+b i,z2=c+d i(a ,b ,c,d ∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d )i; ②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d )i; ③乘法:z1· z2=(a+b i)(c+d i)=(ac-bd )+(ad+bc)i; ④除法: 1 =
新高考一轮复习人教版 数系的扩充与复数的引入 作业
专题十二 数系的扩充与复数的引入基础篇 固本夯基考点一 复数的概念与几何意义1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1−i-1+2i,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B2.(2022届辽宁六校期初联考,2)复数z 满足z(1+i)=2021-i(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A.1011 B.1011i C.-1011 D.-1011i 答案 C3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,2)已知i 是虚数单位,则复数z=2(1−i)2的共轭复数为( )A.2iB.-2iC.iD.-i 答案 D4.(2022届湘豫名校8月联考,3)已知复数z 在复平面内对应的点在直线y=-x 上,且|z|=√2,则z(1+i)=( ) A.2 B.-2 C.±2 D.2i 答案 C5.(2022届山东日照开学校际联考,4)若复数z 满足|z-2-3i|=5,则复数z 的共轭复数不可能为 ( ) A.5+2i B.-2-6iC.5-7i D.2-8i 答案 A6.(2022届湖南岳阳一中入学考,2)已知复数z 1=21+i,z 2=a+i(a ∈R),若z 1,z 2在复平面内对应的向量分别为OZ ⃗⃗⃗⃗ 1,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),且|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则a=( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3 答案 C7.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2−i1+i,则下列说法正确的是( ) A.z 的模为√102B.z 的虚部为-32i C.z 的共轭复数为-12-32iD.z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 答案 A8.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z 满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z 对应的点的轨迹为( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形 答案 A9.(多选)(2022届湖北九师联盟10月质检,10)设z 1,z 2是复数,则( ) A.z 1−z 2=z 1-z 2 B.若z 1z 2∈R,则z 1=z 2 C.若|z 1-z 2|=0,则z 1=z 2D.若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0答案 AC10.(2020课标Ⅲ理,2,5分)复数11−3i的虚部是( ) A.-310 B.-110C.110 D.31011.(2021北京朝阳一模,2)如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等,那么b=() A.-2 B.1C.2D.4答案A12.(2021石家庄二模,1)已知i为虚数单位,复数z=1−i 2 0211−i2 018,则z的虚部为()A.1 2B.-12i C.-12D.12i答案C13.(2019课标Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C14.(2020浙江,2,4分)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2答案C15.(2021河北唐山三模,2)已知i是虚数单位,a∈R,若复数a−i1−2i为纯虚数,则a=()A.-2B.2C.-12D. 1 2答案A16.(2021广东珠海一模,2)设i是虚数单位,复数z1=i2021,复数z2=|4−3i|4+3i,则z1+z2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限17.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i答案B18.(2021新高考Ⅱ,1,5分)在复平面内,复数2−i对应的点位于()1−3iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A-(iz)2在复平面内对应的点在() 19.(2021湖北九师联盟质检,2)设复数z=1+i(i是虚数单位),则复数zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A20.(2019课标Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C21.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.√2D.2答案C22.(2021河北唐山二模,5)设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A.1B.√3C.√5D.323.(2017课标Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案B24.(2021辽宁丹东二模,3)在复平面内,O为坐标原点,复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为()A.-√32B.-12C.12D.√32答案B25.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则|z|=()A.4B.2C.√2D.1答案B26.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=√3-i,则()A.|z|=2B.|z|=4C.z的共轭复数z=√3+iD.z2=4-2√3i答案AC27.(多选)(2021山东德州二模,9)已知复数z1=2−1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是()A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1C.z 14=4D.满足|z|=|z 1|的复数z 对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上 答案 AB28.(多选)(2021江苏无锡二模,9)设复数z=a+bi,a ∈R,b ∈R(i 为虚数单位),则下列说法正确的是( ) A.若a=0,b=1,则∑k=12 021z k =iB.若a=-12,b=-√32,则z 2=zC.“z ∈R ”的充要条件是“z=|z|”D.若a=cos θ,b=sin θ(0<θ<π),则复数z 在复平面上对应的点在第一或第二象限 答案 AB29.(2021江苏常州一模,14)已知复数z 对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:z+z =2;乙:z-z =2√3i;丙:z ·z =4;:z =z 22.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z= . 答案 1+i30.(2021辽宁抚顺二模,14)已知|z+√5i|+|z-√5i|=6,则复数z 在复平面内所对应的点P(x,y)的轨迹方程为 .答案 y 29+x 24=1考点二 复数的运算1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z 满足z=2i−1+i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.12D.√22答案 B2.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z +i)=( )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C3.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2−i=()1+2iA.1B.-1C.iD.-i答案D4.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C5.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C6.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A7.(2020课标Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案D,则|z|=()8.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=3−i1+2iA.2B.√3C.√2D.1答案C9.(2019北京,文2,理1,5分)已知复数z=2+i,则z·z=()A.√3B.√5C.3D.5 答案 D10.(2021上海,1,4分)已知z 1=1+i,z 2=2+3i,则z 1+z 2= . 答案 3+4i11.(2018天津文(理),9,5分)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i= . 答案 4-i12.(2021福建厦门三模)若复数z=a+bi(a,b ∈R,i 为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数:z= . 答案 1+i(答案不唯一)综合篇 知能转换考法 复数代数形式的四则运算的解题方法1.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),3)已知i 是虚数单位,z 为复数,2+1i=z(3+i),则在复平面内z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D2.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(z )2 020+(z z)2 021的虚部为( )A.iB.-iC.1D.-1 答案 D3.(2022届广东深圳光明第一次调研,2)已知z=2−i2+i,则z =( ) A.45+35i B.45-35i C.35+45i D.35-45i4.(2022届广东深圳龙岗一中期中,3)已知复数z 满足z(2+i)=|3+4i|(其中i 为虚数单位),则复数z =( ) A.2-i B.-2+i C.2+i D.-2-i 答案 C5.(多选)(2022届山东烟台莱州一中开学考,12)1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下公式:e i θ=cos θ+isin θ,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数学中的天桥”,据欧拉公式,则( ) A.e πi 2=i B.|e πi4|=1C.(1−√3i 2)3=1 D.cos π4=e πi 4+e −πi42答案 ABD6.(2021浙江,2,4分)已知a ∈R,(1+ai)i=3+i(i 为虚数单位),则a=( ) A.-1 B.1 C.-3 D.3 答案 C7.(2020课标Ⅰ理,1,5分)若z=1+i,则|z 2-2z|= ( ) A.0 B.1 C.√2 D.2 答案 D8.(2021广东肇庆二模,2)在复平面内,复数z =5i3−4i(i 为虚数单位),则z 对应的点的坐标为 ( ) A.(3,4) B.(-4,3) C.(45,−35) D.(−45,−35) 答案 D9.(2017天津文(理),9,5分)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a−i2+i为实数,则a 的值为 .10.(2020课标Ⅱ理,15,5分)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i,则|z 1-z 2|= . 答案 2√311.(2021天津一中5月模拟,13)若复数z=(1+i)23+4i,则z= .答案 8+6i25。