东城区2020高三二模数学试题及答案
1121
y
Ox222
xO
y121
1
11
1121
y
Ox22
xO
y121
1
1
东城区2020高三二模试题及答案 数学 2020.6 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知全集0,1,2,3,4,5U，集合0,1,2A，5B，那么UAB (A) 0,1,2 (B) 3,4,5 (C) 1,4,5 (D) 0,1,2,5
(2) 已知三个函数33,3,logxyxyyx，则
(A) 定义域都为R (B) 值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D) 都是奇函数 (3) 平面直角坐标系中，已知点,,ABC的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为 (A) (3,3) (B) (5,1) (C) (3,1) (D)
(3,3) (4) 双曲线22
2:1yCxb的渐近线与直线1x交于,AB两点，且4AB，那么双曲线C的
离心率为 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 5 (5) 已知函数()logafxxb
的图象如图所示，
那么函数()xgxab的图象可能为 (A) （B） （C） （D） (6) 已知向量(0,5)a，(4,3)b，(2,1)c，那么下列结论正确的是 (A) ab与c为共线向量 (B) ab与c垂直 (C) ab与a的夹角为钝角 (D) ab与b的夹角为锐角
(7) 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 (A) 135平方米 (B) 270平方米 (C) 540平方米 (D) 1080平方米
(8) 已知函数2()lnfxxax
，那么“0a”是“()fx在(0,)上为增函数”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (9) 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是
（A）π12 （B）π14 （C）π18 （D） 1π
(10) 函数()fx是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知,[0,],4()=,(,],242TxxfxTTTxx
()()()gxfxaaR. 给出下列四个判断：
① 对于给定的正整数n，存在aR，使得1()()0niiTiTgfnn成立; ② 当=4Ta时，对于给定的正整数n，存在(1)kkR，使得
俯视图侧（左）视图正（主）视图11
1.51()()0niiTiTgkfnn成立;
③ 当=4Tak (kZ)时，函数()()gxfx既有对称轴又有对称中心; ④ 当=4Tak (kZ)时， ()()gxfx的值只有0或4T. 其中正确判断的有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5题，每题5分，共25分。
(11) 复数1iiz的共轭复数z为_________. (12) 已知1cos23，则22πcos()2cosπ2的值为 . (13) 设,,是三个不同的平面，mn，是两条不同的直线，给出下列三个结论： ①若m，n，则mn∥； ②若m，m，则∥； ③若，，则∥. 其中，正确结论的序号为 ． 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
(14) 从下列四个条件①ac2；②π6C；③cosB24；④7b中选出三个条件，能使满足所选条件 的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）,所选三个条件下的c的值为 ____.
(15) 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件. 由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大). 配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）. 在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为_______. EA1
BCD
三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题14分） 如图①，四边形ABCD中，//ADBC，CDBC，1BCCD，2AD，E为AD
中点.
将ABE沿BE折起到1ABE的位置，如图②.
（Ⅰ）求证：平面1AEB平面1AED； （Ⅱ）若190AED，求1AC与平面1ABD所成角的正弦值.
图① 图② （17）（本小题14分） 已知{}na为等比数列，其前n项和为nS，且满足31a，3231Sa. {}nb为等差数列，其前n项和为nT，如图____，nT的图象经过A,B两个点． （Ⅰ）求nS； （Ⅱ）若存在正整数n，使得nnbS，求n的最小值. 从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
ADECB 图① 图② 图③ （18）（本小题14分） 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了,,,ABCD四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模
糊，记为,ab. 项目 计划招募人数 报名人数 A 50 100 B 60 a
C 80 b D 160 200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知1(0)40P,1(4)10P.
（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率； （Ⅱ）求a，b的值；
（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者(不包含甲)调整到项目D，试判断E如何变化(结论不要求证明).
(19) （本小题14分） 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个顶点坐标为(0,1)A，离心率为23． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线(1)(0)ykxk与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，
BA65
34
2nO
Tn
1234
3
1
21
BA12
1
34321
Tn
On
243
56
BA
65
34
2nO
Tn
12
34
3
1
21点(1,0)B，求证：点M不在以AB为直径的圆上． （20）（本小题15分） 已知()sin()xfxexaxaR.
（Ⅰ）当2a时，求证：()fx在(0)，上单调递减； （Ⅱ）若对任意0x，()1fx恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若()fx有最小值，请直接给出实数a的取值范围.
（21）（本小题14分） 设数列：12n
Aaaa：，，，，12nBbbb：，，，. 已知
01ijab，，
（,,,;,,,injn1212），定义nn数表111212122212()nn
nnnn
xxxxxxXABxxx，，其中
10ijijijabxab，，
（Ⅰ）若:1,1,1,0A，:0,1,0,0B，写出()XAB，; （Ⅱ）若AB，是不同的数列，求证：nn数表()XAB，满足“=ijjixx（,,,;,,,;1212injnij）”的充分必要条件为“1(1,2,,)kkabkn
”;
（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个, 求证：nn数表()XAB，中1的个数不大于22n
.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
数学参考答案及评分标准 2020.6
2020届北京各区高三二模数学分类汇编—集合与复数、平面向量与逻辑用语(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编 —集合与复数、平面向量与逻辑用语集合与复数1.（2020▪海淀二模）若全集U =R ，{}|1A x x =<，{}|1B x x =>-，则（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）U B A ⊆ð（D ）U A B ⊆ð2．（2020▪西城高三二模）设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B I =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--3.（2020▪东城高三二模）已知全集{}0,1,2,3,4,5=U ，集合{}0,1,2=A ，{}5=B ，那么()=U U A B ð(A){}0,1,2(B){}3,4,5(C){}1,4,5(D){}0,1,2,54.（2020▪西城高三（下）6月模拟）设全集U R =,集合{}{}2,1||A x x B x x =<=<,则集合()U A B ⋃=ð(A)(),2-∞ (B)[)2,+∞ (C)()1,2(D)()[),12,-∞⋃+∞5.（2020▪昌平高三二模）已知集合，则集合（A ）（B ）（C ）（D ）6．（2020▪丰台高三二模）集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4（B ）6（C ）7（D ）87.（2020▪房山高三二模）已知全集U =R ，集合2{|0}A x x x =->，那么集合UA =ð（A ）(,0][1,)-∞+∞U （B ）(,0)(1,)-∞+∞U （C ）(0,1)（D ）[0,1] 8．（2020▪密云高三二模）已知集合，，则在下列集合中符合条件的集合可能是A. {0,1}B.C.D.9．（2020▪西城高三二模）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限10.（2020▪朝阳高三二模）在复平面内，复数()1i i +对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限11. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设复数1z i =+,则2z=(A)2i -(B)2i(C)22i -(D)22i + 12.（2020▪昌平高三二模）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（A ） （B ）（C ）（D ）13.（2020▪海淀二模）若复数(2i)(i)a -+为纯虚数，则实数a =_______. 14.（2020▪东城高三二模）复数1iiz -=的共轭复数z 为_________. 15. （2020▪丰台高三二模）已知复数2i z =-，则z =_________.．16.（2020▪房山高三二模）若(i)(1i)13i m ++=+（m ∈R ），则m = ． 17.（2020▪密云高三二模） 已知集合．给出如下四个结论：①，且；②如果，那么；③如果，那么对于，则有；④如果，，那么．其中，正确结论的序号是__________． 平面向量与逻辑用语18.（2020▪东城高三二模）平面直角坐标系中，已知点,,A B C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD 为平行四边形，那么D 点的坐标为(A) (3,3) (B) (5,1)- (C)(3,1)- (D)(3,3)- 19.（2020▪朝阳高三二模）在平行四边形ABCD 中，2,1,3A AB AD π∠===，若,M N 分别是边,BC CD 上的点，且满足,BM CN BC CD=u u u u r u u u r u u u r u u u r 则AM AN u u u u r u u u rg 的最大值为（A ）2（B ）4（C ）5（D ）620. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设向量,a b 满足 11,2a b a b ===g ,则 ()a xb x R +∈的最小值为(C) 121.（2020▪昌平高三二模）已知向量，.若，则实数的值为（A ） （B ） （C ） （D ）22（2020▪东城高三二模）已知向量(0,5)=a ，(4,3)=-b ，(2,1)=--c ，那么下列结论正确的是(A)-a b 与c 为共线向量 (B)-a b 与c 垂直 (C)-a b 与a 的夹角为钝角 (D)-a b 与b 的夹角为锐角23．（2020▪西城高三二模）若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件24.（2020▪海淀二模）对于非零向量,a b ，“2()2+⋅=a b a a ”是“ = a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件25（2020▪东城高三二模）已知函数2()ln f x x ax =+，那么“0a >”是“()f x 在(0,)+∞上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件26.（2020▪朝阳高三二模）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <是“{}n b 为递减数列”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件27. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设{}n a 为等比数列,则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件28.（2020▪昌平高三二模）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 29.（2020▪密云高三二模）已知平面向量，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 30.（2020▪房山高三二模）“sin sin αβ≠”是“αβ≠”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件31.（2020▪昌平高三二模）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m 的值为（A ）（B ）（C ） （D ）32．（2020▪西城高三二模）设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．33.（2020▪海淀二模）已知点(2,0)A ，(1,2)B ，(2,2)C ，||||AP AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，O 为坐标原点，则||AP =u u u r_______，OP u u u r 与OA u u u r夹角的取值范围是_______.34.（2020▪朝阳高三二模）已知平面向量(,3)(1,6),a m b ==，若,a b P 则m =35.（2020▪房山高三二模）已知正方形ABCD ，若3BP PD =u u u r u u u r ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ．36.（2020▪西城高三二模）甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．2020北京各区高三二模数学分类汇编—集合与复数、平面向量与逻辑用语参考答案集合与复数1.D2.C3.B4.D5.B6.D7.D8.A9.A 10.B 11.A 12.D;13. 14. 15. 16.2 17. ①②④;平面向量与逻辑用语18.A 19.C 20.B 21.A 22.B 23.A 24.B 25.A 26.C 27.C 28.A 29.C 30.A 31.B; 32. 33.1 , 34. 35. 36. 乙，丁。
2020年北京高三二模分类汇编函数(含解析)
2020北京高三二模数学汇编：函数一．选择题（共16小题）1．（2020•海淀区校级三模）已知函数f（x）的图象沿x轴向左平移2个单位后与函数y＝2x的图象关于x轴对称，若f（x0）＝﹣1，则x0＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣log23 D．log232．（2020•怀柔区二模）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2（a＞0且a≠1），若g（2）＝a，则函数f（x2+2x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．（2020•东城区二模）已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．4．（2020•房山区二模）已知函数f（x）＝lg|1+x|+lg|1﹣x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（1，+∞）上是增函数B．是奇函数，且在（1，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（1，+∞）上是增函数D．是偶函数，且在（1，+∞）上是减函数5．（2020•东城区二模）已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数6．（2020•西城区二模）函数f（x）＝x﹣是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R7．（2020•丰台区二模）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数D．是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数8．（2020•密云区二模）已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且f（5）＝3f（3）+4，则f（4）＝（）A．16 B．8 C．4 D．29．（2020•海淀区二模）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1| C．y＝cos x D．y＝lnx10．（2020•密云区二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x|x| D．y＝ln|x|11．（2020•密云区二模）已知函数f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有＞0；②f（x+8）＝f（x）；③y＝f（x+4）是偶函数；若a＝f（﹣7），b＝f（11），c＝f（2020），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a12．（2020•平谷区二模）在下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．B．f（x）＝ln|x|C．f（x）＝2x+2﹣x D．f（x）＝x cos x13．（2020•顺义区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣x2B．C．y＝cos x D．14．（2020•朝阳区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．[0，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）15．（2020•丰台区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2]C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）16．（2020•海淀区校级三模）如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y＝2x﹣x2﹣1 B．C．y＝（x2﹣2x）e x D．2020北京高三二模数学汇编：函数参考答案一．选择题（共16小题）1．【分析】将函数y＝2x的图象逆向变换（即先关于x对称，再向右平移2个单位）可得到f（x）的解析式，再结合指数的运算法则，求解即可．【解答】解：函数y＝2x的图象关于x轴对称的函数为y＝﹣2x，将其向右平移3个单位，得到f（x）＝﹣2x﹣2，∵f（x6）＝﹣1，∴＝﹣18﹣2＝0，∴x2＝2．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换，熟练掌握函数图象的平移与对称变换原则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．2．【分析】由已知可求f（x），g（x），然后结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解．【解答】解：因为奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣a x+a﹣x+2＝﹣f（x）+g（x），联立可得f（x）＝a x﹣a﹣x，g（x）＝6，因为g（2）＝a，所以a＝2，f（x）＝2x﹣2﹣x，故f（x）在R上单调递增，因为y＝x2+2x的单调递增区间（﹣4，+∞），根据复合函数的单调性可知，函数f（x2+2x）的单调递增区间为（﹣4，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，函数的性质，要熟悉复合函数单调性的判断方法，属于中档试题．3．【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y ＝a x+b的图象单调递增，且由y＝a x的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．【解答】解：结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝a x+b的图象单调递增，且由y＝a x的图象向下平移超过1个单位，结合选项可知，D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象变换的简单应用，属于基础试题．4．【分析】结合奇偶函数的定义先判断f（﹣x）与f（x）的关系，然后结合x＞1时函数的解析式及复合函数的单调性即可判断．【解答】解：f（﹣x）＝lg|1﹣x|+lg|1+x|＝f（x），故f（x）为偶函数，当x＞7时，f（x）＝lg（1+x）+lg（x﹣1）＝lg（x3﹣1）单调递增，故选：C．【点评】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．5．【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．【解答】解：函数y＝log3x的定义域为（0，+∞）；函数y＝7x的值域是（0，+∞）；函数y＝3x和y＝log4x是非奇非偶函数，即D错误，故选：C．【点评】本题考查指数、对数和幂函数的图象与性质，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．6．【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x﹣，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝1+，在区间（﹣∞，+∞）上都是增函数；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意分析函数的定义域，属于基础题．7．【分析】根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得f（x）为（﹣1，1）上的减函数；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），解可得﹣1＜x＜1，5）；设任意x∈（﹣1，1），则函数f（x）为奇函数；f（x）＝ln（8﹣x）﹣ln（1+x）＝ln，其导数f′（x）＝，在区间（﹣1，1）上，则f（x）为（﹣8；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．8．【分析】根据关系式得到f（4）＝2f（3）且f（5）＝2f（4），进而求得结论．【解答】解：因为函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），所以：f（4）＝4f（3）且f（5）＝2f（4），又f（5）＝3f（3）+8，即2f（4）＝3×f（4）+4；则f（4）＝8；故选：B．【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，属于基础题目．9．【分析】由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解．【解答】解：A：y＝x2为偶函数，且值域[0，符合题意；B：y＝|x﹣5|为非奇非偶函数，不符合题意；C：y＝cos x的值域[﹣1，1]；D：y＝lnx为非奇非偶函数，且值域R．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10．【分析】分别结合奇偶性及定义域对各选项中的函数进行检验即可判断．【解答】解：A：y＝sin x为奇函数，不符合题意；B：y＝cos x的定义域R且为偶函数，符合题意；C：y＝x|x|为奇函数，不符合题意；D：y＝ln|x|的定义域{x|x≠0}，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及定义域的判断，属于基础试题．11．【分析】根据函数对称性和单调性之间的关系，结合函数的周期进行转化即可得到结论．【解答】解：由①对任意的x1，x2∈[3，8]1≠x7，都有＞0可得f（x）在[7，由②f（x+8）＝f（x）可得函数的周期T＝8，由③y＝f（x+5）是偶函数可得f（x）关于x＝4对称，故a＝f（﹣7）＝f（1）＝f（7），b＝f（11）＝f（3）＝f（5），则f（7）＞f（5）＞f（4），即a＞b＞c．故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．12．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、值域，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝，+∞），+∞）；对于B，f（x）＝ln|x|＝，符合题意；对于C，f（x）＝4x+2﹣x，有f（﹣x）＝2﹣x+3x＝f（x），为偶函数x+2﹣x≥2，其值域为[2，不符合题意；对于D，f（x）＝x cos x，不是偶函数；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数值域的计算，注意常见函数的奇偶性以及值域，属于基础题．13．【分析】由二次函数的图象及性质，直接可以判断选项A符合题意．【解答】解：二次函数f（x）＝﹣x2为开口向下的抛物线，且对称轴为x＝0，其在（2，又f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x），故函数f（x）＝﹣x3为定义在R上的偶函数．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．14．【分析】根据函数f（x）的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可．【解答】解：函数，∴，解得x＞0且x≠2，∴f（x）的定义域为（0，1）∪（5．故选：B．【点评】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．15．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由x2﹣2x＞4，得x＜0或x＞2．∴函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．16．【分析】根据函数解析式得出当x＜0时，y＝2x﹣x2﹣1有负值，y＝有无数个零点，y＝，的图象在x轴上方，无零点，可以得出答案．【解答】解：根据函数的图象得出：当x＜0时，y＝2x﹣x5﹣1有负值，故A不正确，y＝有无数个零点，y＝，y′＝，y′＝＝2y′＝＞4y′＝＜2故（0，1），e）上单调递减，+∞）单调递增，x＝e时，y＝e＞2，∴y＝的图象在（1，在（0，间断．故D不正确，排除A，B，D故选：C．【点评】本题考查了运用函数的图象解决函数解析式的判断问题，整体把握图象，看单调性，零点，对称性．。
山东省2020届高三数学二模试卷
山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。
2020届北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线1.（2020▪海淀二模）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（A ）4（B ）6（C ）8（D ）102．（2020▪西城高三二模）抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =-（C ）1y =（D ）1y =-3．（2020▪西城高三二模）若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞4.（2020▪东城高三二模）双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C的离心率为(C) 2 5.（2020▪朝阳高三二模）圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（A ）22(1)1y +-=（x-1） （B ）22(1)1y ++=（x+1） （C ）22(1)2y +-=（x-1） （D ）22(1)2y ++=（x+1） 6.（2020▪朝阳高三二模）直线l 过抛物线22x y=的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点1122(,),(,).A x yB x y 若123x x +=，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5（C ）6 （D ）87. （2020▪西城高三（下）6月模拟）焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(A)24x y =(B)24y x =(C)28x y =(D)28y x =8. （2020▪西城高三（下）6月模拟）圆224210x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于(A)2(B)(C)(D)49.（2020▪昌平高三二模）已知点是双曲线的一条渐近线上一点，是双曲线的右焦点，若△的面积为，则点的横．坐标为（A ） （B ） （C ） （D ）10．（2020▪丰台高三二模）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A ）2（B ）2（C ）22（D ）411.（2020▪房山高三二模）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点(1,3)，则该双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2（D ）512.（2020▪密云高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为A. B. C. D.13．（2020▪密云高三二模）已知圆，若点P 在圆上，并且点P 到直线的距离为，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．414.（2020▪海淀二模）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）15. （2020▪丰台高三二模）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为_______.16．（2020▪丰台高三二模）已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是116π其中正确的有__________．17．（2020▪西城高三二模）若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．18.（2020▪朝阳高三二模）已知双曲线C 的焦点为12(0,2),(0,2),F F -实轴长为2，则双曲线C 的离心率是；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12,FQ F Q ⊥则12QF F V 的面积为19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）能说明“若()20m n +≠,则方程2212mn yx+=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_______ 20.（2020▪昌平高三二模）已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和其准线都相切，则点到其顶点的距离为_______ .21.（2020▪昌平高三二模）曲线C :,点在曲线上．给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②曲线上的点的横坐标的取值范围是；③若,，则存在点,使△的面积大于.其中，所有正确结论的序号是________．22.（2020▪房山高三二模）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ．23.（2020▪房山高三二模）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，||1MF =，则点M 的横坐标是_______，△MOF （O 为坐标原点）的面积为 ． 24．（2020▪密云高三二模）抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为_______.25.（2020▪海淀二模）（本小题共15分）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.26．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．27.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上．28.（2020▪朝阳高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆C 经过点 （I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,,A B 与直线1x =交于点Q ,设,(,),AP PB AQ QB R λμλμ==∈u u u r u u u r u u u r u u u r求证：λμ+为定值.29. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10yE a b x a b+=>>经过点()0,1C ,离心率为2.O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设,A B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点(不在坐标轴上),直线CD 交x 轴于点,P Q 为直线AD 上一点,且OP OQ 4=u u u r u u u rg ,求证:,,C B Q 三点共线.30.（2020▪昌平高三二模）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且．过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．31. （2020▪丰台高三二模）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 4.过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.32.（2020▪房山高三二模）（本小题14分）．已知椭圆C的两个顶点分别为(2,0)B，焦点在x轴上，离心率为1A ，(2,0)2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求OM的取值范围．33.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线参考答案1.B2.D3.A4.D5.A6.A7.D8.B9.A 10.D 11.C 12.A 13.C;14. 15. 16. ②③④ 17. 18. ；19. 答案不唯一. 如， 20. 21. ①② 22. 3 23. ；24.25.（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩， 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直. 设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++. 即222814(,)4141k k C k k --++.又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+. 由1,2.y kx y =+⎧⎨=⎩得1,2.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以点M 的坐标为1(,2)k.所以22131k k k+==. 所以1213344k k k k ⋅=-⋅=-. 26．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =，……………3分 从而223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-u u u r ，(3,3)FQ =u u u r ，故0FP FQ ⋅=u u u r u u u r ，即90PFQ ∠=o ．…………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠．………………7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．………………8分由题意，知0∆>恒成立， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………9分MPAF NxyOQ直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--．………………10分 令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -．………………11分 同理可得222(4,)2y Q x -．………………12分所以112(3,)2y FP x =-u u u r ，222(3,)2y FQ x =-u u u r ．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--u u u r u u u r212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k kk k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=o ．综上，90PFQ ∠=o .………………14分 27.（本小题14分）（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca c b解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-=，所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>． 所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=．因为线段PQ 的中点为M , 所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B , 所以00(,1)AM x y =+uuu r，00(1,)BM x y =-uuur ．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuur2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>， 所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分 28.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c a b c a 得22=b ，24=a ．所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ． 由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ． 由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得<<k ．设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k .因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k22228064881612-+--=+k k k k 0=，所以0λμ+=.……………14分29．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得，.………………2分又因为，………………3分 所以，.故椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ），.设，则.………………6分所以直线的方程为，………………7分令，得点的坐标为.………………8分设，由，得（显然）.……9分 直线的方程为，………………10分将代入，得，即. ………………11分故直线的斜率存在，且……12分.…………13分又因为直线的斜率，所以，即三点共线.………………14分30.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得解得…………….3分即椭圆的方程为．…………….5分（Ⅱ）法一由题意，直线的斜率存在.当时，直线的方程为.代入椭圆方程有.则.所以所以…………….8分当时，则直线的方程为．由，得.…………….9分设，，则．…………10分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分法二设直线的斜率为，则直线的方程为．…………….6分由，得.…………….7分设，，则．…………….9分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分31.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=．………3分（Ⅱ)设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,． 联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞．………7分 （Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,,所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,. 同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,， 所以121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)121kk k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)．………14分32.（本小题14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 依题意，2a =，12c a =.得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -. 点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩ 得42x m ny m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m. 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m⋅=. OM ==== 由204m <<， 所以，OM 的取值范围是()2,+∞.33.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得解得所以椭圆的方程为，离心率．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为．设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．方法二（1）当直线垂直于轴时解得与的坐标为．由点，易证．（2）当直线斜率存在时设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．。
2023.5北京东城区 高三二模数学 答案
北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准2023.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）A （5）D （6）C（7）B（8）C（9）C（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）π12（13）0m =(答案不唯一)（14）717（15）①③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin b A a B =，由题设得sin cos02Ba B a -=，2sincos cos 0222B B Ba a -=，因为022B π<<，所以cos 0.2Ba ≠所以1sin22B =.26B π=,3B π=.………………6分（Ⅱ）选条件①：sin sin 2sin .A CB +=因为3,3b B π==，sin sin 2sin .A C B +=由正弦定理得26a c b +==，由余弦定理得2229()3a c ac a c ac =+-=+-，解得9ac =.所以1sin 24ABC S ac B ==△．由9,6,ac a c =⎧⎨+=⎩解得3a =.………13分选条件②：c =已知,3,3,3B b c π===由正弦定理得1sin sin 2c C B b ==，因为c b <，所以6C π=,2A π=.223.a b c =+=所以13322ABC S bc ==△．（17）（共14分）解：（I ）由题设知.AB AC ⊥因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC 平面ABD AB =，，所以AC ⊥平面ABD ．因为BE ⊂平面ABD ，所以AC ⊥BE .因为ABD △为等边三角形，E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE .因为AC AD A =，所以BE ⊥平面ACD ．所以BE CD ⊥.………………6分（II ）设AEADλ=，[0,1]λ∈.取AB 的中点O ，BC 的中点F ，连接OD ，OF ，则OD ⊥AB ，OF AC .由（I ）知AC ⊥平面ABD ，所以OF ⊥平面ABD ，所以OF ⊥AB ，OF ⊥OD .如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,2,0)C -，3)D ．所以(2,0,0)BA =- ，3)AD = ，(2,2,0)BC =- ，(1,3)CD =-，(3)BE BA AE BA AD λλλ=+=+=-.设平面BCE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,(2)30.x y x z λλ-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令3x λ=，则3y λ=，2z λ=-.于是(33,2)λλλ=-n .因为直线CD 和平面BCE所成角的正弦值为10，所以||10|cos ,|10||||CD CD CD ⋅<>==n n n ，整理得2826110λλ-+=，解得12λ=或114λ=.因为[0,1]λ∈，所以12λ=，即12AE AD =.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为4.7………3分（Ⅱ）（i）随机变量X 可能的取值为0，1，2．这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-.2793(0)7C P X ===；2762(1)7C P X ===；2762(2)7C P X ===．则随机变量X 的分布列为：X 012P372727X 的数学期望32260127777EX =⨯+⨯+⨯=．………11分（ii）DX DY <.………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)，所以24p =，即2p =．故抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-.所以112 1.2OFM S =⨯⨯=△………………6分（Ⅱ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠．由24, y x y kx m⎧=⎪⎨=+⎪⎩得222(24)0k x km x m +-+=．由0∆>有10km ->．设1111(,),(,),A x yB x y 则12242km x x k -+=，2122m x x k =．设AB 的中点为00(,)N x y ，则120222x x kmx k+-==.N 到准线的距离20221k km d x k -+=+=，12AB x =-==依题意有2ABd =，222k km k -+=，整理得2220k km m ++=，解得0k m +=，满足0∆>．所以直线(0)y kx m k =+≠过定点(1,0)．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )2x f x x x '=+-，(0)1f '=-，(0)0f =.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.………………5分（Ⅱ）令()()e (sin cos )2x g x f x x x '==+-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，(1)e(sin1cos1)20g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121ef -=->，所以()()max sin112ef x f =-=-.………………11分（Ⅲ）满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e xf x x a +>恒成立等价于sin ex xa x <-恒成立.令()sin e xx x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx-≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，1()e x x h x -'=，()h x '与()h x 的情况如下：x (0,1)1(1,)+∞()h x '-0+()h x 1e-所以min 1()(1).eh x h ==-当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1[,0)e-.因为sin [1,1]x ∈-，所以()x ϕ的最小值小于1-且大于2-．所以a 的最大整数值为2-.………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）由题设知(5){478}A =，，，(5)=3s .………………4分（Ⅱ）依题意()1(12)i s a i n ≥=，，， ，则有11.()i s a ≤因此12111.()()()n n s a s a s a +++≤ 又因为12111()()()n n s a s a s a +++=，所以() 1.i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.………………9分（Ⅲ）依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ≠时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，.同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .………………15分。
2020年北京各区高三二模数学分类汇编---创新问题
2020年北京各区高三二模数学分类汇编-----创新问题一、选填问题：1．（2020海淀二模）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）.根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（A ）9 （B ）10（C ）11（D ）12答案 C2.（2020东城二模） 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ②当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④当=4T a k (∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T.其中正确判断的有(A)1个(B)2个(C) 3个(D)4个 答案 C3.（2020西城二模）佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功 效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目. 图1的▱ ABCD 由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得图2所示的六面 体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱 AB 与 CD 所在直线的位置关系为( A)平行 ( B)相交 ( C)异面且垂直 ( D)异面且不垂直 答案B4.（2020海淀二模）已知函数1,0,()|ln |,0.ax x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩给出下列三个结论：①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的序号是_______.答案②③5.（2020东城二模）配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为_______. 答案 56.（2020密云二模）10.已知函数()f x 的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，且，都有；②； ③是偶函数；若，，(2020)c f =，则，，的大小关系正确的是 A ．a b c <<B ．C ．D ．答案 D5.（2020丰台二模） 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名 （C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D ）丙至少有一场比赛获得第三名答案C6.（2020昌平二模）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m 的值为（A ）35 （B ）30 （C ）25 （D ）20 答案B7.（2020昌平二模）曲线C :3=,点P 在曲线C 上．给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②曲线C 上的点的横坐标的取值范围是[2,2]-； ③若(1,0)A -,(1,0)B ，则存在点P ,使△PAB 的面积大于32. 其中，所有正确结论的序号是________． 答案①②8.（2020丰台二模）已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则3CD =④白色“水滴”图形的面积是116π其中正确的有__________． 答案②③④9. （2020密云二模） 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________． 答案①②④10. （2020朝阳二模）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m（m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ；②()3=xf x ；③3()log =f x x ；④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是 （A ）①③（B ）①④ （C ）②③（D ）②④ 答案A11. （2020朝阳二模）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为out inout100%C C C η-=⨯，其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ），in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点i j A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值(1,2,1,2,3,4)==i j ．该研究小组得到以下结论：① 在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高； ② 在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；③ 在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；④ 在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低． 其中，所有正确结论的序号是________．答案②④12.（2020西城二模）已知函数 f ( x )的定义域为R,满足 f ( x +2) =2 f ( x ) ,且当 x ∈( 0, 2]时,()23x f x =-. 有以下三个结论:① f (-1)=12—② 当 11,42a ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,方程 f ( x )= a 在区间[-4,4]上有三个不同的实根; ③ 函数 f ( x )有无穷多个零点,且存在一个零点 b ∈Z. 其中,所有正确结论的序号是 ______. 答案① ②13. （2020房山二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θo ，空气的温度是0C θo，经过t 分钟后物体的温度C θo可由公式010()e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C o的物体，放在20C o 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C o ，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈） （A ）0.6 （B ）0.5 （C ）0.4（D ）0.3答案D（第15题图）14. （2020房山二模）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配 送，那么整个5月他不用去配送的天数是 （A ）12 （B ）13 （C ）14（D ）15答案B15. （2020房山二模）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,,22,.a b a b a b b a a b -⎧*=⎨-<⎩≥给出下列三个结论：①存在实数a ，b ，c 使得a b b c c a *+**≥成立； ②函数()sin cos f x x x =*的值域为[0,2]； ③不等式2(1)1x x *-*≤的解集是[1,)+∞．答案 ①③二、解答题部分：16.（2020西城21）西城二模答案解：（Ⅰ）存在表1，使得,100i j b i j =--；不存在表1，使得,i j b 等于2j i -+. ……… 3分 （Ⅱ）因为对于任意的1,2,,391,2,,20i j ==L L ；，都有,1,1i j i j b b +-≥， 所以1,202,201b b -≥，2,203,201b b -≥，L ，39,2040,201b b -≥， 所以1,202,202,203,2039,2040,20(39b b b b b b ---L )+()++()≥，即1,2040,203940b b +=≥. ……………… 6分 又因为对于1,2,,401,2,,19m n ==L L ；，都有,,12m n m n b n +-≥， 所以1,11,22b b -≥，1,21,32b b -≥，L ，1,191,202b b -≥， 所以1,11,21,21,31,191,20(38b b b b b b ---L )+()++()≥， 所以1,11,2038403878b b ++=≥≥.即1,178b ≥. ……………… 8分 （Ⅲ）当表1如下图时：其中，每行恰好有1个0和19个1；每列恰好有2个0和38个1；因此每行的和均为19. 符合题意. 重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20；后2行各数均为0，因此39k ≥. ……………… 10分以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含,1,2,20,,,r r r a a a L ）.假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数. 则表2的前39行中至多含有表1中的4019760⨯=个数， 这与表2中前39行中共有3920780⨯=个数矛盾.所以表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数.……………… 12分其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j r j b b a ≤≤1,2,20j =L （，）， 所以,1,2,20,1,2,2019i i i r r r a b b b a a ++++++L L ≤≤. 所以39k ≤.综上，39k =. ……………… 14分17.（2020丰台二模）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由；（Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L{}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅰ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）答案：解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数， 当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+. ………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ， 使得1210121+2+2++2+2++20101i i ki i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ， 由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能， 所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i ki i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L1210121+2+2++2+2++2i i k i i k εεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L1001111001111110111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j jj j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅰ）{}*21k n n k =-∈N ,. ………14分18（2020密云二模）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．答案：（Ⅰ）解：因为(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，所以1(,)[(00|00|)(11|11|)(11|11|)]22M αα=++-+++-+++-=，1(,)[(00|00|)(10|10|)(11|11|)]22M αβ=++-+++-+++-=．（Ⅱ）证明：当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，设12341234(,,,)(,,,)x x x x y y y y αβ==，，有12341234(,)(,)M x x x x M y y y y ααββ=+++=+++，．对于任意的,i i x y ，1,2,3,4i =，当i i x y ≥时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y x ++-=++-=， 当i i x y ≤时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y y ++-=+--=． 即1(||)max{,}2i i i i i i x y x y x y ++-=． 所以，有11223344(,)max{,}max{,}max{,}max{,}M x y x y x y x y αβ=+++． 又因为,{0,1}i i x y ∈，所以max{,}i i i i x y x y ≤+，1,2,3,4i =，当且仅当0i i x y =时等号成立． 所以，11223344max{,}max{,}max{,}max{,}x y x y x y x y +++11223344()()()()x y x y x y x y ≤+++++++ 12341234()()x x x x y y y y =+++++++，即(,)(,)(,)M M M αβααββ≤+，当且仅当0i i x y =（1,2,3,4i =）时等号成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，若(,)(,)(,)M M M αβααββ=+，则0i i x y =，1,2,3,,i n =L 成立． 所以，考虑设012312{(,,,,)|,0}n n A x x x x x x x =====L L ，11231{(,,,,)|1,{0,1},2,3,,}n i A x x x x x x i n ==∈=L L ，对于任意的2,3,,k n =L ，123123121{(,,,,)|(,,,,),0,1}k n n k k A x x x x x x x x A x x x x -=∈=====L L L ．所以01n A A A A =U UL U ．假设满足条件的集合B 中元素个数不少于2n +， 则至少存在两个元素在某个集合k A （1,2,,1k n =-L ）中， 不妨设为123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，则1k k x y ==． 与假设矛盾，所以满足条件的集合B 中元素个数不多于1n +． 取0(0,0,0)e =L ；对于1,2,,1k n =-L ，取123(,,,,)k n k e x x x x A =∈L ，且10k n x x +===L ；n n e A ∈． 令01{,,,}n B e e e =L ，则集合B 满足条件，且元素个数为1n +．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．20. （2020海淀二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点.对任意的点(,)P x y ，定义||||||||OP x y =+. 任取点1122(,),(,)A x y B x y ，记1221'(,),'(,)A x y B x y ，若此时2222||||||||||'||||'||OA OB OA OB +≥+ 成立，则称点,A B 相关.（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；①(2,1),(3,2)A B -； ②(4,3),C -(2,4)D .（Ⅱ）给定*n ∈N ，3n ≥，点集{(,)|,,,}n x y n x n n y n x y Ω=-≤≤-≤≤∈Z .(ⅰ)求集合n Ω中与点(1,1)A 相关的点的个数；(ⅱ)若n S ⊆Ω，且对于任意的,A B S ∈，点,A B 相关，求S 中元素个数的最大值. 答案解：（Ⅰ）①由题知'(2,2),'(3,1)A B -，进而有2222||||||||(2+1)(32)34OA OB +=++=， 2222||'||||'||(2+2)(31)32OA OB +=++=，所以2222||||||||||'||||'||OA OB OA OB +≥+. 所以,A B 两点相关；②由题知'(4,4),'(2,3)C D -，进而有2222||||||||=4+3)(24)85OC OD +++=（， 2222||'||||'||4+4)(23)89OC OD +=++=（，所以2222||||||||||'||||'||OC OD OC OD +<+，所以,C D 两点不相关.（Ⅱ）(ⅰ)设(1,1)A 的相关点为(,)B x y ，,x y ∈Z ，,n x n n y n -≤≤-≤≤,由题意，'(1,)A y ，'(,1)B x .因为点,A B 相关，则222242||||12||12||x y x y y y x x +++≥+++++. 所以||||||||10x y x y --+≥. 所以(||1)(||1)0x y --≥. 当0x =时,{}||0,1y ∈,则(1,1)A 相关点的个数共3个;当||1x =时,则(1,1)A 相关点的个数共42n +个;当||2x ≥时,||1y ≥，则(1,1)A 相关点的个数共4(1)n n -个. 所以满足条件点B 共有24(1)42345n n n n -+++=+(个). (ⅱ)集合S 中元素个数的最大值为81n -.{(0,0),(0,1),(1,1),(1,),(2,),,(,)}S n n n n =±±±±±±±±±L L 符合题意下证：集合S 中元素个数不超过81n -. 设1122(,),(,)A x y B x y ，若点,A B 相关，则2222111122222||||2||||x y x y x y x y +++++2222121221212||||2||||x y x y x y x y ≥+++++.则11221221||||||||x y x y x y x y +≥+. 所以1212(||||)(||||)0x x y y --≥.设集合S 中共有m 个元素，分别为(,)i i i A x y ，1i m ≤≤，*i N ∈， 不妨设12||||||m x x x ≤≤L ，而且满足当1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 下证：12||||||m y y y ≤≤≤L . 若1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 若1||||i i x x +<，则必有1||||i i y y +≤.记，11||||||||i i i i i d x y x y ++=+--，11i m ≤≤-，*i ∈N ， 显然，数列{}i d 至多连续3项为0，必有1231i i i i d d d d ++++++≥，假设81m n >-，则1281123481()21n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥-L L . 而12818181||||||||21n n n d d d x x y y n -+++=-+-≥-L , 因此，必有10x =或10y =.可得，12,d d 不可能同时为0，则121d d +≥.所以1281123481()()2n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥L L . 必有88||||n n x y n ==，110x y ==. 所以，11d =，230d d ==.因此22||||1x y +=，33||||1x y +=，44||||1x y +=. 若2||1x =，则234,,{(1,0),(1,0)}A A A ∈-，矛盾. 同理，2||1y =，矛盾. 因此，假设不成立. 所以81m n ≤-.所以集合S 中元素个数的最大值为81n -.22.（2020房山二模）知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 且元素均为正整数，若能够将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P A B C =U U ，A B =∅I ，A C =∅I ，B C =∅I ，其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，且满足12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，1,2,,k n =L ，则称集合P 为“完美集合”．（Ⅰ）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（Ⅱ）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（Ⅲ）设集合{|13,}P x x n n =∈*N ≤≤，证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()n ∈*N ． 答案（Ⅰ）将P 分为集合{1},{2},{3}满足条件，是完美集合．将Q 分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则111a b c +=，222a b c +=Q 中所有元素之和为21，1221210.510.5c c ÷==+=，不符合要求；（Ⅱ）若集合{1,4}A =，{3,5}B =，根据完美集合的概念知集合{6,7}C =，若集合{1,5}A =，{3,6}B =，根据完美集合的概念知集合{4,11}C =，若集合{1,3}A =，{4,6}B =，根据完美集合的概念知集合{5,9}C =， 故x 的一个可能值为7,9,11中任一个； （Ⅲ）证明：P 中所有元素之和为 3(31)1232n n n ++++=L 111222n n n a b c a b c a b c =++++++++L1212()n n c c c c -=++++L∵3n c n =∴1213(31)34n n n c c c n -+=++++L ∴1219(1)4n n n c c c --=+++L ，等号右边为正整数，则等式左边9(1)n n -可以被4整除， ∴4n k =或14n k -=()n ∈*N ，即4n k =或41n k =+()n ∈*N ．23.（2020昌平二模）已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项，顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足,125,n a n n n =≤≤∈*N .（Ⅰ）判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列⑴：；数列⑵：．（Ⅱ）数列的子列长度为，且为完全数列，证明：的最大值为6；（Ⅲ）数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．23.（2020东城二模）设数列：12n A a a a ：，，，L ，12n B b b b ：，，，L .已知{}01i j a b ∈，，（,,,;,,,i n j n ==L L 1212），定义n n ⨯数表111212122212()n n n n nn x x x x x x X A B x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，L LM M M M L ，其中10i j ij i j a b x a b =⎧=⎨≠⎩，，（Ⅰ）若:1,1,1,0A ，:0,1,0,0B ，写出()X A B ，;（Ⅱ）若A B ，是不同的数列，求证：n n ⨯数表()X A B ，满足“=ij ji x x （,,,;,,,;1212==≠L L i n j n i j ）”的充分必要条件为“1(1,2,,)+==k k a b k n L ”;{}n a {}n a 1i 2i ⋯m i 12()m i i i <<⋯<{}k b k k i b a =1k m ≤≤{}k b {}n a m {}n a {}n a {}n a {}n a {}n a {}n a 3,5,7,9,112,4,8,16{}n a {}k b m {}k b m {}n a {}k b 5m ={}k b 1234511111b b b b b ++++（Ⅲ）若数列A 与B 中的1共有n 个, 求证：n n ⨯数表()X A B ，中1的个数不大于22n .答案解：（Ⅰ）数列⑴不是的完全数列；数列⑵是的完全数列． …………….2分 理由如下：数列⑴：中，因为，所以数列⑴不是的完全数列； 数列⑵：中，所有项的和都不相等，数列⑵是的完全数列．….4分（Ⅱ）假设数列长度为，不妨设，各项为．考虑数列的长度为的所有子列，一共有个．记数列的长度为的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为，最大值为. 所以，12122524232221115A b b b b =++++++=++． 所以其中必有两个子列的所有项之和相同．所以假设不成立． 再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意.所以子列的最大长度为6． …………….9分 （Ⅲ）数列的子列长度，且为完全数列，且各项为．所以，由题意得，这5项中任意项之和不小于． 即对于任意的，有，即.对于任意的， ，设（），则数列的前项和．下面证明：． 因为 {}n a {}n a 3,5,7,9,113+9=5+7=12{}n a 2,4,8,16{}n a {}k b 7m ≥7m =1237b b b b <<<<L {}k b 2,3,,7L 7217120--={}k b 2,3,,7L a A 12a b b =+{}k b {}n a {}k b 5m ={}k b 1235b b b b <<<<L i (15)i ≤≤21i -15i ≤≤1221i i b b b +++-L ≥1121242i i b b b -+++++++L L ≥15i ≤≤112(1)(2)(20i i b b b --+-++L -)≥12i i i c b -=-(1,2,3,4,5)i ={}i c j 0j D ≥(1,2,3,4,5)j =12345111111111124816b b b b b ++++++++≤123451111111111)(24816b b b b b ++++-++++()12345111111111(1)()()()(24816b b b b b =-+-+-+-+-)351241234541612824816b b b b b b b b b b -----=++++， 所以，当且仅当 时，等号成立．所以的最大值为． …………….14分24. （2020朝阳二模）设集合1234{,,,}=A a a a a ，其中1a ，2a ，3a ，4a 是正整数，记1234=+++A S a a a a ．对于i a ，∈j a A (14)≤<≤i j ，若存在整数k ，满足()+=i j A k a a S ，则称+i j a a 整除A S ，设A n 是满足+i j a a 整除A S 的数对(,)(<)i j i j 的个数．（Ⅰ）若{1,2,4,8}=A ，{1,5,7,11}=B ，写出A n ，B n 的值； （Ⅱ）求A n 的最大值；（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ． 答案解：（Ⅰ）2=A n ；4=B n ．……………4分 （Ⅱ）不妨设12340<<<<a a a a ．因为1234243411()22=+++<+<+<A A S a a a a a a a a S ，所以24+a a ，34+a a 不能整除A S ． 因为(,)i j 最多有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)六种情况， 而(2,4)，(3,4)不满足题意，所以624≤-=A n ．当{1,5,7,11}=A 时，4=A n ，所以A n 的最大值为4．……………9分 （Ⅲ）假设12340<=<<<a a a a a ．由（Ⅱ）可知，当A n 取到最大值4时，12+a a ，13+a a ，14+a a ，23+a a 均能整除A S ． 因为14231max{,}2≤++<A A S a a a a S ，故14231=max{,}2++A S a a a a ， 所以1423+=+a a a a ．设12=+u a a ，13=+v a a ，则u ，v 是2312()2(2)=+=+-A S a a u v a 的因数， 所以v 是12(2)-u a 的因数，且u 是12(2)-v a 的因数． 因为<u v ，所以12(2)22-<<u a u v ， 因为v 是12(2)-u a 的因数，所以124=-v u a ．3243541211234524816D D D D D D D D D b b b b b ----=++++5123412233445511111111()()()()022********D D D D D b b b b b b b b b =-+-+-+-+≥123451111111113112481616b b b b b ++++++++=≤12i i b -=(1,2,3,4,5)i =1234511111b b b b b ++++3116因为u 是112(2)412-=-v a u a 的因数，所以u 是112a 的因数．因为124<=-u v u a ，所以14>u a ，所以166u a a ==，或11212u a a ==． 故1111{,5,7,11}=A a a a a ，或1111{,11,19,29}=A a a a a ．所以当A n 取到最大值4时，{,5,7,11}=A a a a a ，或{,11,19,29}=A a a a a ．……………14分。
2020届广东省东莞市高三二模数学(文)试题解析
2020届广东省东莞市高三二模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|3A x x x =<，{}1,1,2,3B =-，则AB =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}1,2,3答案：B先求得集合{}|03A x x =<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 解：由题意，集合{}{}{}2|3|(3)0|03A x x x x x x x x =<=-<=<<，又有{}1,1,2,3B =-，则A B ={}1,2.故选：B . 点评：本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知复数1234+=+iz i，i 为虚数单位，则||z ＝（ ） A ．15BC ．12D．2答案：B利用复数模的性质z z =，以及乘除法的模的性质计算． 解：12123434i i z z i i ++=====++．故选：B ． 点评：本题考查求复数的模，利用模的性质求解更加方便简捷． 复数模的性质：z z =，1212z z z z =，1122z z z z =． 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )ABC ．3πD ．4π答案：A由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积． 解：2π的扇形，其面积11(222S l r π=⋅=⋅=.点评：本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足346a a +=，529a =，则7S =（ ） A ．352B ．21C ．492D ．28答案：C设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得341512562289a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得1121a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，71761497721222S a d ⨯=+=⨯+=. 故选：C. 点评：本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本量的求解，考查计算能力，属于基础题.5．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．710答案：D可知轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：由题意可知，轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，从这批轮胎中随机选取3个，所有的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,190,200、()195,194,200、()196,190,194、()196,190,200、()196,194,200、()190,194,200，其中，事件“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,194,200、()196,190,194、()196,194,200，共7个，因此，这批轮胎基本合格的概率为710P =. 故选：D. 点评：本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．324B ．233C 2D ．22答案：A求得圆锥的高，可得矩形ABCD 的对角线长，即有AC ，BD 的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．解：解：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>.由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为24y x =±，由24=ba，得离心率222223214+===+=c a b bea a a.故选：A.点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．7．已知α为锐角，3cos5α=，则tan42πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．13B．12C．2 D．3答案：A由3cos 5α=计算出tan 2α，再将tan 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭用两角差的正切公式拆开，代入求值即可. 解： 解：3cos 5α=，22cos 2cos112sin 22ααα=-=-，且α为锐角cos2α∴=sin 2α=sin12tan 22cos 2ααα∴=== 1tantan11422tan 14231tan tan 11422παπαπα--⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭++⨯ 故选：A 点评：本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题. 8．已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ） AB ．2C ．2ln 2D ．ln 2答案：D先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果. 解：()f x 为偶函数，则()()(1)0x xx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D 点评：本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.9．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230--=OA OB OC 则（ ） A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AO =-+ C ．123OA AB AC =- D ．123OA AB AO =--答案：A由向量的线性运算化简． 解：∵161230--=OA OB OC ，∴1612()3()0OA OA AB OA AC -+-+=，整理得123OA AB AC =+．故选：A ． 点评：本题考查向量的线性运算，解题关键是把,OB OC 用,,OA AB AC 表示．10．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（ ）A B ．4C ．3D ．2答案：D由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cos b C =，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26a c ==，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值． 解： 解：3c =，2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，由正弦定理sin sin bcBC ,可得2sin cos sin b c C C C=,可得6cos b C =，cos cos 6b C c B +=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得6sin cos sin cos 2B C C B R+=， 又()sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=，可得6sin 2sin 62A R A R=⇒=， 可得26a c ==，22223636cos 926s cos 26co C Ca b c C ab ∴+-⨯+-==⨯，可得23cos 4C =，c a <，则C 为锐角，解得cos 2C =．故选：D ． 点评：本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.11．在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π答案：D如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值． 解：解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F 则由AH ＝233⨯=可得AE 23=AH 233=，EH 13=AH 3= 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60° 所以OE ＝1，则R ＝OA 22213AE EO =+=则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D点评：本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 12．已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,]2e -∞ B ．(,]2e -∞-C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：A根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，转化为(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数，得到2xea x≤在(0,)+∞上恒成立，再构造新函数()xe g x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 解：根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 可得函数()f x 在区间(,0)-∞为单调递减函数， 由||2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=---=，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，所以函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，当(0,)x ∈+∞时，函数2()x f x e ax =-，可得()2x f x e ax '=-，根据函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即20xe ax -≥在(0,)+∞上恒成立，可转化为2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，则()2(1)x e x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为(1)g e =， 所以2(1)a g e ≤=，解得2e a ≤，即实数a 的取值范围是(,]2e-∞. 故选：A . 点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.答案：3根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过()1,1B 点时，z 最大，代入求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求2z x y =+的最大值等价于求解直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值 由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩得：()1,1B max 213z ∴=+= 本题正确结果：3 点评：本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在y 轴截距最大值的问题，属于常规题型.14．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 答案：12或2由214a =，378S =，可得：11174448q q ++=，化简解出即可得出．解： 解：由214a =，378S =， ∴11174448q q ++=，化为：22520q q -+=． 解得12q =或2． 故答案为：12或2． 点评：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．若非零向量a 、b 满足4b a =，()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为_____． 答案：3π 设a 与b 的夹角为θ，由()2a b a -⊥得出()20a b a -⋅=，结合平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，再结合角θ的取值范围可求得角θ的值，即可得解. 解：设a 与b 的夹角为θ，4b a =，()2a b a -⊥，则()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即2222cos 24cos 0a a b a a θθ-⋅=-=，可得1cos 2θ=，0θπ≤≤，3πθ∴=.因此，a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 点评：本题考查利用平面向量垂直求夹角，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.16．在三棱锥A BCD -中，,2,AB AD AB AD BC CD ⊥====锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________.答案：8:3π根据题意，当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.此时取BD 的中点O ，由,2,23AB AD AB AD ⊥==，得4BD =，OA=2，同理根据22BC CD ==，且222BC CD BD +=，由直角三角形中线定理可得2OC =，从而得到外接圆半径R =2，再分别利用体积公式求解. 解： 如图所示：当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大. 取BD 的中点O ，因为,2,23AB AD AB AD ⊥==， 所以4BD =，OA=2， 22BC CD ==，222BC CD BD +=，2OC =，外接圆半径R =2， V 球343233R ππ==，11432232323A BCD V -=⨯⨯⨯=， 三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为83π故答案为：8:3π点评：本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121n n n n a b b ++=+．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和．答案：（1）2n n a =；（2）222nn +-. （1）分别令1n =、2n =可分别求得2a 、3a ，进而可求得等比数列{}n a 的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式；（2）由已知条件得出数列{}2nn b 是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列{}2n nb 的通项公式，进一步可求得数列{}nb 的通项公式，然后利用错位相减法可求得数列{}n b 的前n 项和． 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+． 当1n =时，则221212a b b =+=，即2122a =，可得24a =；当2n =时，则332413a b b =+=，即3338a =，可得38a =.322a q a ∴==，212aa q==，111222n n n n a a q --∴==⨯=； （2）1121n n n n a b b ++=+，即11221n n n n b b ++=+，11221n n n n b b ++∴-=，且121b =，所以，数列{}2nn b 是以1为首项，以1为公差的等差数列，则()2111nn b n n =+-⨯=，2n n n b ∴=. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n nnS =++++，① 231112122222n n n n nS +-∴=++++，② ①-②得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，222n nn S +∴=-. 点评：本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18．已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==．（1）求证：平面⊥BDF 平面BCF ；（2）求点B 到平面ECD 的距离． 答案：（1）证明见解析；（22.（1）由FC ⊥平面ABCD ，可得BD FC ⊥，并推导出BD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出BD ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）计算出三棱锥E BCD -的体积，并计算出ECD 的面积，利用等体积法可计算出点B 到平面ECD 的距离． 解： （1）//FC EA 且AE ⊥面ABCD ，FC ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD FC ∴⊥，AB AD ⊥且2AB AD ==，由勾股定理得222BD AB AD =+=45ABD ∠=，//AB CD ，45BDC ∴∠=，由余弦定理得2222cos 458BC BD CD BD CD =+-⋅=，22BC ∴=222BC BD CD ∴+=，90CBD ∴∠=，BC BD ∴⊥，FCBC C =，BD ∴⊥平面BCF ，BD ⊂平面BDF ，平面BCF ⊥平面BDF ；（2）AE平面ABCD ，BC BD ⊥，且22BC BD ==142BCD S BC BD ∴=⋅=△， 11842333E BCDBCD V S AE -∴=⋅=⨯⨯=△， AE 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AE ∴⊥，AD AB ⊥，//AB CD ，CD AD ∴⊥，AE AD A =，CD平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，CD DE ∴⊥，又2222DE AE AD =+=，114224222CDE S CD DE ∴=⋅=⨯⨯=△， 设点B 到平面ECD 的距离为h ，则B CDEE BCD V V --=，即1833CDE S h ⋅=，8242CDEh S∴===.因此，点B 到平面ECD 的距离为2. 点评：本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(]15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]15,30以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．质量指标值 频数(]15,202 (]20,258（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为2,30451,1530t y t <≤⎧=⎨<≤⎩．若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为70%、55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）471. （1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的优质品率；（2）根据题中所给的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表，可得出结论；（3）根据新设备所生产的优质品率，分别计算出1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可收回成本. 解：（1）估计新设备所生产的产品优质品率为302515100%70%100++⨯=，估计旧设备所生产的产品优质品率为()50.060.030.02100%55%⨯++⨯=； （2）根据题中所给数据可得到如下22⨯列联表：()22220030557045 4.8 3.84110075125K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯， 因此，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”； （3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7，∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700⨯=件优质产品，有300件合格品，则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为700230011700⨯+⨯=（元）， 8000001700471÷≈（天），因此，估计至少需要471天方可收回成本. 点评：本题考查理由频率分布直方图和频数分布表求频率，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查学生的数据处理能力与计算能力，属于基础题. 20．已知点()0,0O 、点()4,0P -及抛物线2:4C y x =．（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程； （2）问x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点A 、B ，且点M 到直线AP 、BP 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1）240x y ++=或240x y -+=；（2）存在，且点M 的坐标为()4,0. （1）要使得OPQ ∠最大，则过P 的直线与抛物线相切，设过点P 的直线方程为4x my =-，与抛物线的方程联立，由0∆=求得m 的值，由此可得出直线l 的方程；（2）由题意可知，直线AP 、BP 的斜率互为相反数，设点(),0M m ，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式求得实数m 的值，由此可得出结论. 解：（1）如下图所示，当过点P 的直线l 与抛物线相切时，即当点Q 为切点时，OPQ ∠最大.当直线l 与x 轴重合时，则点P 与点Q 重合，不合乎题意； 当直线l 与x 轴不重合时，可设直线l 的方程为4x my =-，联立244x my y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得24160y my -+=，则216640m ∆=-=，解得2m =±. 因此，当OPQ ∠最大时，直线l 的方程为240x y ++=或240x y -+=； （2）假设存在这样的点M 满足条件，设点(),0M m ，因为点M 到直线AP 、BP 的距离相等，则MP 为APB ∠的角平分线，所以APM BPM ∠=∠，可得0AP BP k k +=，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ty m --=，由韦达定理得124y y t +=，124y y m =-.()()()()1221121212444444AP BP y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++()()()()()()()()122112121212442404545y ty m y ty m ty y m y y x x x x ++++++++===++++，()()1212240ty y m y y ∴+++=，即()()24440t m t m ⨯-++=，整理得()1640t m -=，由题意可知，等式()1640t m -=对任意的t R ∈恒成立，所以，4m =. 因此，在x 轴上存在点()4,0M ，使得点M 到直线AP 、BP 的距离相等. 点评：本题考查利用直线与抛物线相切求直线方程，同时也考查了抛物线中存在定点满足条件，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．答案：（1）见解析；（2）1[,)e+∞. （1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭()1xb x e lnx =-- 由题意，()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >，记()()1xh x b x e lnx =--，则()1xh x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增， （i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭点评：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积．答案：（1）()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）35. （1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12ρρ=，将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12ρρ=代入等式，化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积. 解：（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，2OP OQ ⋅=，12ρρ∴=，可得12ρρ=.将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=， 将12ρρ=代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得24cos sin 1θθρρ-=，即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得22cos 4sin 0ρρθρθ-+=， 化为直角坐标方程得22240x y x y +-+=，即()()22125x y -++=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22125x y -++=（去掉原点）； （2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线，曲线2C 是以点()1,2P -，圆心P 到直线MN 的距离为d =，MN ∴===， 原点到直线MN 的距离为h =因此，OMN 的面积为1132255OMN S MN h =⋅=⨯=△.点评：本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．答案：（1）5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|1}k k ≤-. （1）当1k =时，去绝对值，把()f x 写成分段函数，不等式()1f x ≤等价于3个不等式组，解即得；（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立.分2x -≤和2x >-两种情况解不等式，求实数k 的取值范围． 解：（1）1k =，1()|1||3|22f x x x ∴=-++-． 35,3,221(),31,2233, 1.22x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩由()1f x ≤得3,351,22x x <-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或31,11,22x x -≤≤⎧⎪⎨-+≤⎪⎩或1,33 1.22x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩ 解得x ∈∅或11x -≤≤或513x <≤， ∴不等式()1f x 的解集为5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立当2x -≤时，1|||3|022x k x x -++≥≥+恒成立；当2x >-时，1|||3|22x k x x -++≥+恒成立3||22x x k x +⇔-+≥+恒成立, 即1||2x x k +-≥恒成立， 当21x -<≤-时，1||2x x k +-≥显然恒成立， 当1x >-时，1||2x x k +-≥恒成立12x x k +⇔-≥或12x x k +-≤-恒成立， 即21x k ≥+或2132x k ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立． 211k ∴+≤-，解得1k ≤-，∴实数k 的取值范围为{|1}k k ≤-． 点评：本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.。
北京市东城区2020届高三数学下学期综合练习(二模)试题理
北京市东城区2020 届高三数学放学期综合练习（二模）试题理本试卷共 4 页，共 150 分。
考试时长120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
（ 1）已知会合A { 2,1,0,1,2}, B{ x x2x 2 0}，则 AI e R B(A) { 2}(B){0，1}(C){2,1,2}(D){ 1,0 ,1,2}（ 2）履行以下图的程序框图，输入a2,b 5 ，那么输出的 a,b 的值分别为（A）7，3（B）3，3（C）5，3（D）5，2uuurm uuur（ 3）已知向量a与b不共线，且ABa1)，AC na b. 若A, B, C三点共线，b (m则实数 m, n 知足的条件为(A)m n1(B) (C)mn1(D)m n1 mn1（4）鲁班锁发源于中国古代建筑中开创的榫卯构造，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作 . 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下列图是此中一个构件的三视图（单位：mm ），则此构件的体积为（ A）34000mm3（ B）33000mm3（ C）32000mm 3（ D）30000mm3（ 5）已知S n是等差数列a n的前n项和，则“S n na n对n 2恒成立”是“ a3 a4”的(A) 充足而不用要条件(B)必需而不充足条件(C)充足必需条件(D)既不充足也不用要条件（ 6）教室的图书角摆放了一些阅念书目，此中有 3 真同样的论语、 6 本互不同样的近代文学名著，现从这 9 本书中选出 3 本，则不一样的选法种数为(A) 84(B) 42(C)41(D)35（ 7）已知正方体ABCD A1 B1C1D1的棱长为 2 ，P是底面ABCD上的动点，P A≥ PC1，则知足条件的点 P 组成的图形的面积等于1(B)(C)47(A)(D)2442（ 8）在交通工程学中，常作以下定义：交通流量 Q （辆/小时）：单位时间内经过某一道路横断面的车辆数；车流速度 V （千米/小时）：单位时间内车流均匀行驶的距离；车流密度 K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬时所存在的车辆数.一般的，V 和 K 知足一个线性关系：V =v0 (1K ) （此中v0,k0是正数），则以下说法正确的选项是k0(A)跟着车流密度的增大，车流速度在渐渐增大(B)跟着车流密度的增大，交通流量在渐渐增大(C)跟着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大(D)跟着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
2020届北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数1.（2020▪海淀二模）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =（D ）ln y x =2．（2020▪西城高三二模）下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）y x x = （C ）1y x -=（D）y =3．（2020▪西城高三二模）设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >>（B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>4．（2020▪西城高三二模）设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦5.（2020▪东城高三二模）已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A)定义域都为R (B)值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D)都是奇函数 6. （2020▪东城高三二模）已知函数()log a f x x b =+的 图象如图所示，那么函数()xg x a b =+的图象可能为(A) （B ） （C ） （D ）7．（2020▪密云高三二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A. B. C. D.8. （2020▪密云高三二模）已知，则下列各不等式中一定成立的是A ．B ．C ．D ．9.（2020▪密云高三二模）已知函数满足，且，则A ．16B ．8C ．4D ． 210.（2020▪朝阳高三二模）函数ln ()1xf x x =-的定义域为 （A ）∞（0，+） （B ）⋃∞（0，1）（1，+） （C ）∞[0，+）（D ）⋃∞[0，1）（1，+）11.（2020▪朝阳高三二模）若,,a b c R ∈且a b c >>，则下列不等式一定成立的是(A)22ac bc > (B)222a b c >> (C)2a c b +>(D)a c b c ->-12.（2020▪朝阳高三二模）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3;f x x =②()3xf x =③3()log f x x =④()tan f x x =其中，在其定义域上具有性质m ψ的函数的序号是 （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④13. （2020▪西城高三（下）6月模拟）函数()1f x x x=-是 (A)奇函数,且值域为()0,+∞(B)奇函数,且值域为R (C)偶函数,且值域为()0,+∞(D)偶函数,且值域为R14. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设,,a b c 为非零实数,且a b c >>,则(A)a b b c ->-(B)111a b c<<(C)2a b c +>(D)以上三个选项都不对15.（2020▪昌平高三二模）设，则（A ）（B ）（C ）（D ）16.（2020▪昌平高三二模）点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为（A ） （B ） （C ） （D ）17.（2020▪丰台高三二模）函数()f x =的定义域为（A ）(02), （B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞,, （D ）(0][2)-∞+∞,,18．（2020▪丰台高三二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数19.（2020▪房山高三二模）函数2()e x f x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）320.（2020▪房山高三二模）已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x（A ）是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数 （B ）是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数 （C ）是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数（D ）是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数 21. （2020▪密云高三二模）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且 ，都有 ；② ； ③ 是偶函数；若 ，，，则 ，， 的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．22.（2020▪东城高三二模） 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ②当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④当=4T a k(∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T . 其中正确判断的有(A)1个(B)2个(C) 3个(D)4个23.（2020▪房山高三二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ，空气的温度是0C θ，经过t分钟后物体的温度C θ可由公式010()e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C 的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C ，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈）（A ）0.6 （B ）0.5 （C ）0.4 （D ）0.324.（2020▪海淀二模）已知函数1,0,()|ln |,0.ax x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩给出下列三个结论：① 当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的序号是_______.25.（2020▪东城高三二模） 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为_______.26.（2020▪朝阳高三二模）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为100%out inoutC C C η-=⨯其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L 某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示，图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值（i=1,2,j=1,2,3,4）该研究小组得到以下结论:①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低. 其中，所有正确结论的序号是.注:本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.27.（2020▪西城高三（下）6月模拟）已知函数()f x 的定义域为R ,满足()()22f x f x +=,且当(]0,2x ∈时,()23x f x =-.有以下三个结论: ①()112f -=-②当1142a ⎥∈⎛⎤ ⎝⎦，时,方程()f x a =在区间[]4,4-上有三个不同的实根;③函数()f x 有无穷多个零点,且存在一个零点b Z ∈. 其中,所有正确结论的序号是.28.（2020▪房山高三二模）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,,22,.a b a b a b b a a b -⎧*=⎨-<⎩≥给出下列三个结论：①存在实数a ，b ，c 使得a b b c c a *+**≥成立； ②函数()sin cos f x x x =*的值域为[0,2]； ③不等式2(1)1x x *-*≤的解集是[1,)+∞． 其中正确结论的序号是________．29.（2020▪昌平高三二模） 已知，则的最小值为_________ .30.（2020▪海淀二模）（本小题共14分）已知函数()e (sin cos )x f x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.31．（2020▪西城高三二模）（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．32.（2020▪东城高三二模）（本小题15分）已知()sin ()xf x e x ax a =++∈R .（Ⅰ）当2a =-时，求证：()f x 在(0)-∞，上单调递减； （Ⅱ）若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若()f x 有最小值，请直接给出实数a 的取值范围.33.（2020▪朝阳高三二模）(本小题15分)已知函数()()2f x sinx xcosx ax a R =--∈.(I)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. (i)求a 的值;(ii)证明:函数()f x 在区间(0)π，内有唯一极值点; (II)当1a ≤时，证明对任意()0()0x f x π∈>，，.34. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分15分)设函数()f x axlnx =,其中a R ∈.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的极值;(Ⅲ)证明:()2xxf x ee>-35.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）已知函数 （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（II ）求函数的单调区间； （III ）当时，比较与的大小.36.（2020▪丰台高三二模）（本小题共15分）已知函数1()e xx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.37.（2020▪房山高三二模）（本小题15分）已知函数cos ()e1sin xx f x x=++． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅲ）求证：当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥．38.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）设函数 ，试判断函数是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当时，写出与的大小关系．2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数参考答案1.A2.B3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.B 10.B 11.D 12.A 13.B 14.C 15.B 16.C 17.C 18.B 19.B 20.C 21.D 22.C 23.D 24. ②③ 25.5 26. ②④ 27. ① ② 28. ①③ 29.5 30.（本小题共14分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )+e (cos sin )x xf x x x x x '=+-2e cos x x =.令()0,f x '>得22()22k x k k πππ-<<π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为(2,2)22k k πππ-π+()k ∈Z .（Ⅱ）证明：要证曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程'()2f x =在区间(0,)2π上有且只有一个解.令()f x '2e cos 2x x ==，得e cos 1x x =.设c (1)e os xg x x =-，则()e cos e sin sin()4x x x g x x x x π'=-=-.当(0,)2x π∈时，令()0g x '=，得4x π=.当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：所以()g x 在(0,)4上单调增，在(,)42上单调减. 因为0(0)g =,所以当(0,]4x π∈时，()0g x >； 又1(0)2g π=-<，所以当(,)42x ππ∈时，()g x 有且只有一个零点. 所以当(0,)2x π∈时，c (1)e os x g x x =-有且只有一个零点. 即方程2()f x '=，(0,)2x π∈有且只有一个解. 所以曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线. 31．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-，………………2分解得0a =.验证知0a =符合题意.………………4分（Ⅱ）()e sin x f x x '=-.………………6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，………………7分则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数. 故()(0)2f x f >=，即()2f x >.………………9分（Ⅲ）由()e cos 0x f x a x =+=，得cos e xx a =-. 设函数cos ()e xx h x =-，[0,π]x ∈，………………10分 则sin cos ()e xx x h x +'=.………………11分令()0h x '=，得3π4x =. 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减.………………13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=， 所以当3ππ4[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--.………………15分 32.（本小题15分）（Ⅰ）解：'()cos xf x e x a =++,对于2a =-，当0x <时，1,cos 1x e x <≤，所以'()cos 20x f x e x =+-<.所以()f x 在(),0-∞上单调递减.………………………………4分（Ⅱ）解：当0x =时，()11f x =≥，对于R ∈a ，命题成立，当0x >时，设()cos =++x g x e x a ，则'()sin x g x e x =-.因为1,sin 1>≤x e x ，所以'()sin 11=0x g x e x =->-，()g x 在()0,+∞上单调递增.又(0)2=+g a ，所以()2>+g x a .所以'()f x 在()0,+∞上单调递增，且'()2>+f x a .① 当2a ≥-时，'()0>f x ，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.因为(0)1f =，所以()1>f x 恒成立.② 当2a <-时，'(0)20f a =+<，因为'()f x 在[0,)+∞上单调递增，又当ln(2)=-x a 时，'()2cos 2cos 0=-+++=+>f x a x a x ，所以存在0(0,)x ∈+∞，对于0(0,)∈x x ，'()0f x <恒成立.所以()f x 在()00,x 上单调递减，所以当0(0,)∈x x 时，()(0)1<=f x f ，不合题意.综上，当2a ≥-时，对于0x ≥，()1f x ≥恒成立.………………………………13分（Ⅲ）解：0a <.………………………………15分33.（本小题15分）解：（Ⅰ）（ⅰ）因为()2sin cos =--f x x x x ax ，所以()2cos (cos sin )cos sin '=---=+-f x x x x x a x x x a ．因为曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1，所以(0)1'=f ，即11-=a ，故0=a ．经检验，符合题意．……………4分（ⅱ)由（ⅰ）可知()2sin cos =-f x x x x ，()cos sin '=+f x x x x ．设()()'=g x f x ，则()cos '=g x x x ．令()0'=g x ，又)π(0,∈x ，得2π=x ． 当(0,)2π∈x 时，()0'>g x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<g x ， 所以()g x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减． 又(0)1=g ，ππ()22=g ，(π)1=-g ， 因此，当π(0,]2∈x 时，()(0)0>>g x g ，即()0'>f x ，此时()f x 在区间π(0,]2上无极值点； 当π(,π)2∈x 时，()0=g x 有唯一解0x ，即()0'=f x 有唯一解0x ， 且易知当0π(,)2∈x x 时，()0'>f x ，当0(,π)∈x x 时，()0'<f x ， 故此时()f x 在区间π(,π)2内有唯一极大值点0x ． 综上可知，函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点．……………10分（Ⅱ）因为()cos sin '=+-f x x x x a ，设()()'=h x f x ，则()cos '=h x x x ．令()0'=h x ，又(0,π)∈x ，得π2=x ．且当π(0,)2∈x 时，()0'>h x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<h x ， 所以()'f x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减． 当1≤a 时，(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，()1'π=--f a ． （1）当()10'π=--≥f a ，即1≤-a 时，()0'≥f x ．此时函数()f x 在(0,π)内单调递增，()(0)0>=f x f ；（2）当()10'π=--<f a ，即11-<≤a 时，因为(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，所以，在π(0,)2内()0'≥f x 恒成立，而在区间π(,π)2内()'f x 有且只有一个零点，记为1x ， 则函数()f x 在1(0,)x 内单调递增，在1(,π)x 内单调递减．又因为(0)0=f ，()(1)0π=-π≥f a ，所以此时()0>f x ．由（1）（2）可知，当1≤a 时，对任意(0,π)∈x ，总有()0>f x ．……………15分34．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由，得，………………2分 则，. 所以曲线在点处的切线为.………………4分 将点代入切线方程，得.………………5分 （Ⅱ）由题意，得，. 令，得.………………7分随着变化，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗所以函数在上单调递减，在上单调递增.………………9分 所以函数存在极小值，且极小值为；函数不存在极大值. ………………10分（Ⅲ）“”等价于“”.………………11分 由（Ⅱ），得（当且仅当时等号成立）.①所以.故只要证明即可（需验证等号不同时成立）.………………12分设，，则.………………13分因为当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以（当且仅当时等号成立）.②因为①②两个不等式中的等号不同时成立，所以当时，.………………15分35.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，因为，…………….1分所以.…………….2分所以曲线在点处的切线方程为.…………….4分（II）定义域为.因为①当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….5分②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….6分③当时，令，则或.…………….7分所以当时，或；当时，.…………….8分所以函数在和上单调递增，在上单调递减.…………….9分综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）法一：由（Ⅱ）可知，（1）当时，函数在上单调递增；所以当时，因为，所以.…………….10分（2）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.①当，即时，.所以当时，函数在上单调递减，上单调递增，所以.…………….11分②当，即时，.由上可知，因为，设.因为，所以在上单调递增.所以.所以所以.…………….13分③当，即时，.因为函数在上单调递减，所以当时，.所以.综上可知，当时，.…………….14分（III）法二：因为，①当时，因为，所以.所以.……………10分②当时，因为，所以.所以..11分设.因为，所以当时，或，当时，.…………….12分所以在上单调递减，在上单调递增.……………13分所以.所以当时，.…………….14分36.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()e xxf x+=，定义域R，所以'()e x xf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值.………5分 （Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()e e e x x x x xg x x x x --+=-=.由0x >得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即.………9分 （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意.令， . 当时，若，，则在上是减函数.所以时，，不合题意.e 10x->'()0g x >()g x [0)∞,+(0)x ∈∞,+()(0)0g x g >=21()12f x x >-+12a ≤-221()121f x x ax >-+≥+221()()11ex x h x f x ax ax +=--=--1'()2(2)e e x x x x ax x a h =--=-+102a -<<1(0ln())2x a ∈-，'()0h x <()h x 1[0ln()]2a -，1(0ln())2x a ∈-，()(0)0h x h <=当时，则在上是减函数，所以，不合题意.综上所述，实数的取值范围.………15分 37.（本小题15分）解：（Ⅰ）由sin 1x ≠-，得π2π()2x k k ≠-+∈Z 所以()f x 的定义域为π{|2π()}2x x k k ≠-+∈Z （Ⅱ）0cos 0(0)e 21sin 0f =+=+ 22sin (1sin )cos 1()e e (1sin )1sin x x x x x f x x x-+-'=+=-+++（π2π()2x k k ≠-+∈Z ） (0)0f '=所以，曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为2y = （Ⅲ）法一：由1()e 1sin x f x x'=-++， 令1()e 1sin x g x x =-++，则2cos ()e (1sin )x x g x x '=++ 当ππ(,)22x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在ππ(,)22-上单调递增，且(0)0g = 所以当π(,0)2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当π(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 0a ≥'()0h x <()h x (0)∞,+()(0)0h x h <=a 1(]2-∞-,法二：1()e 1sin x f x x'=-++ 当0x =时，01(0)e 01sin 0f '=-+=+； 当(,0)2x π∈-时，sin (1,0),x ∈-1sin (0,1),x +∈11(1,),(,1),1sin 1sin x x -∈+∞∈-∞-++ 2e (e ,1)x π-∈，所以当(,0)2x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(0,)2x π∈时，sin (0,1),x ∈11111sin (1,2),(,1),(1,),1sin 21sin 2x x x -+∈∈∈--++ 2e (1,e )x π∈，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 38.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当时，，所以，因此．又因为，所以切点为． 所以切线方程为． （Ⅱ）解：．所以．因为，所以． （1）当，即时 因为，所以，故．此时函数在上单调递增．所以函数不存在最小值．（2）当，即时令，因为，所以．与在上的变化情况如下：−0 +所以当时，有极小值，也是最小值，并且．综上所述，当时，函数不存在最小值；当时，函数有最小值．（Ⅲ）解：当时，．。