复变函数第5讲详解
复变函数课堂教学法索复变函数课堂教学法索论文
复变函数论课堂教学法的几点探索复变函数论课堂教学法的几点探索复变函数论是高等学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，是数学分析的后继课程.它的理论和方法已深刻渗透到代数学、解析数论、微分方程、计算数学等数学的各个分支，同时在物理的流体力学、热力学和其他的科学领域及科学技术中都有广泛应用.所以，无论从知识结构的承前启后，还是从能力的培养方面，复变函数论的学习都起着十分重要的作用.然而，由于改革的需要，复变函数论课程的总课时减少，如何在有限的课时内科学合理地安排教学内容，提高教学质量，使学生既掌握理论知识，又学会学习方法，培养创新和自主学习的能力，是教师面对的一个亟待解决的问题.下面几种教学法是笔者在复变函数论课堂教学中的有益探索.一、善于运用类比教学复变函数是数学分析的后继课程，是数学分析的继续和发展.复变函数中许多概念和定理都与数学分析相应理论类似，但又有发展.在讲授中，要指出联系，强调区别，采用类比的方式讲解相关内容是复变函数教学的重要方法之一.例如，复变函数中，初等函数的定义方式和概念的形式与数学分析中的定义有很大的不同，性质也出现许多相异的地方.例如：实分析中指数函数是单调递增的函数，复数域上指数函数是以2πi 为基本周期的周期函数；实分析中正、余弦函数是有界的，而复数域上正、余弦函数是无界函数；特别是复数域上的对数函数、幂函数、反三角函数和反双曲函数均为多值函数，这一点增加了复变函数研究的复杂性和难度.在教学中，引导学生比较实、复分析中概念、定理的异同点，使得学生不断思考，积极创造，用这种方法建构知识体系，完善知识结构，这样既能夯实实分析基础，又能在复变函数学习中达到事半功倍的效果.二、开展研究性教学研究性学习是一种研讨式学习，是指教师以课程内容和学生的学识积累为基础，引导学生创造性地运用知识的能力，自主地发现问题、研究问题和解决问题，在研讨中积累知识、培养能力和锻炼思维的新型教学模式.下面以复变函数论第六章第一节“留数”的学习为例，设计了研究性教学，过程如下：1教师：前面我们学习了复积分理论，掌握了一些计算复积分的公式和定理，利用所学知识能解决一些复积分的计算，但是在理论与实际问题中常遇到这样的积分：①∫|z| =1ez-1z7dz，②∫|z| =2z51+z6dz.看到这两个积分，学生回忆以前所学的知识，发现它们都不满足前面学习过的柯西积分定理和柯西积分公式的条件，因此都不能直接用已学知识来计算.2于是学生开始提出一些问题.甲：如何计算被积函数在积分周线内有本质奇点的复积分？乙：如果被积函数在积分周线内的不解析点是阶数较高的极点，有没有简单的方法计算复积分？丙：如果被积函数在扩充复平面上有有限个不解析点，而且在积分周线内的不解析点又比较多，这样的复积分如何计算？教师：这一节我们一起来研究解决上述问题，即第六章第一节“留数”.3下面进行分组探讨，让各小组代表发言，阐明研究方案.小组1：留数的定义及留数定理、留数的求法小组2：无穷远点留数的定义及求法小组3：上述积分的计算.4教师：通过留数定义、定理的学习，意味着我们可以用它解决数学问题：计算积分∫|z| =21(z+i)10(z-1)(z-3)dz.问题1：被积函数在扩充复平面上的孤立奇点有几个？分别是什么类型的？学生：z=-i是10阶极点，z=1和3都是1阶极点，还有无穷远点是孤立奇点.问题2：被积函数在|z|=2内有1个10阶极点，留数不易直接求，应该怎么办？学生：通过定理，把求周线内部奇点的留数转化为求周线外部奇点的留数，因此可以求出无穷远点的留数，进而求出复积分.5价通过这节课的讨论，大家互相合作，共同探究，能够积极主动地学习、思考、辨析、迁移和醒悟，实现了从定义、定理学习到应用的完整过程，同学们的潜能得到开发.这对培养学生的发散性思维、求异思维、创造性思维大有益处.三、教师精讲与学生自学相结合复变函数中有一些较难理解的内容和较难证明的定理，如采用限制辐角或割破复平面的方法来分出初等多值函数中根式函数与对数函数的单值解析分支、柯西定理的古莎证明等，都是一些重要而较难理解和证明的内容，对这部分知识教师要在认真备课的基础上向学生精讲.对一些容易理解的内容，如复数、复平面上点集、导数的定义和求导公式等，这些内容与数学分析中的内容几乎是一样的，如果再讲，既浪费了时间，学生听起来也不会感兴趣.教师在课堂上可以作一些指导性的提示，让学生自己阅读，培养他们的阅读能力和自学能力.总之，合理地安排教学内容，给学生自学的机会，要把“教学生学会”变为“教学生会学”，既减少了学生学习这门课程的困难，又科学合理地利用了课时.总之，复变函数论的课堂教学改革是一个不断探索与实践的过程，需要教师全身心地投入，不断尝试与总结，才能做好复变函数的教学工作，切实培养学生的探究能力和自主学习的能力.利用上面的方法，笔者所教数学本科专业2008～2011级的学生都对复变函数课程表现出了很大的兴趣，取得了很好的教学效果。
《复变函数》教学设计的几点体会
项 目。
责 任编 辑 ： 墨 洋 李
意与中学 内容的衍接， 当复习。 适 在课堂上对复 变函数、 映射等概念侧重介绍 ， 而对复数及 代数 运算让学生课后阅读 ，或在课堂上抽一定 时间 指导学生阅读。对复变 函数的极限、 连续性 ， 引 导学 生将其转化为二个实二元函数的极 限与连 续性 ； 函数解析性是学生初次接触 的内容， 有一 定难度 ， 它又是后续几章的基础， 须用一些时 必 间详细讲解。 关于复变 函数的积分 ， 学生们 常常 认为复积分与实积分完全不相同，理解上发生 些混乱 ， 对积分问题的处理上更是感到无从 下手 。学生在修完高等数 学时对实积分 的概念 已有 了清楚 的理解 ，对积分 的计算有 了相 当数 量的训练 。此时复变函数课完全可 以借助 已有 的知识来讲复积分 ， 在教学 中， 以在 比较复积 可 分与实积分差异之处 的同时适 当的突出并利用 它们的相似点 ，利用 已学会 的实积分来 弄懂复 积分。 复积分与实积分的基本思想是一致的 ， 利 用和依托实积分的学 习来讨论复积分 ，自然畅 通， 易教易学。 而且会 加强学生对数学知识整体
成一个 良好 的课堂秩序 ， 从而提高课堂效果。 总之 ， 与学的关系是以学为主 ， 教 教是服务 于学 ， 于学 ， 启发 促进于学。 在教学 活动 中， 教师 应具有主导作用 ， 以讲导思 、 要 以学促思 、 指导 得当 ， 限的教学时间里 ， 在有 发挥应有的作用 。
参 考 文 献
’
的研究、 复积分 、 洛朗级数 、 留数作为重点内容。 很多内容通过对 比、 总结 ， 注意异同 ， 使学生 巩 固加深对知识的理解 ， 从而达到异中见同、 类 触 旁通 、 条理分 明、 重点 突出 ， 达到事半功倍 的效 果。另外 ， 挖掘教材中例题与习题的潜力 ， 新 用 知识新方法解决以往的例题 、 习题 ， 从而加强 了 新 旧知识 的联系 ， 还可找出一些规律。 学生也 从 中领悟到随着问题 的解决 ， 就会产 生新 的理论 、 新 的方法 。 ４讲授内容论 理透彻 ，主次分明 ， 重点 突 出， 板书整齐。 对重要内容以及易出错的地方要 详细 、 反复讲。对新概念 、 思想 、 方法 ， 的速度 讲 要慢些 ， 引起学生注意 。 对学生 已经知道或可 以 略的， 讲的速度可以快些。不论快慢 ， 都要使学 生听清楚。丰富的讲课 内容 ， 精彩 的语言表达 ， 辅之 以姿 式助讲课等会吸引学生 的注意力 ， 造
1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
复变函数(2.2.5)--总复习第二章解析函数
解
( ) 1 + i = e (1-i)
= e ( 1-i) Ln( 1+i)
(
1-
i
)
� � �ln
2+
i � � �p4
+
2 kp
�� � �� �
= e� � �ln
2
+
p 4
+
2 kp
� � �+ i
� � �-
ln
2
+
p 4
+
2 kp
� � �
=
2e
p 4
+
2kp
���cos
�p ��4
-
具有无穷多值，在除去原点和负实轴的平面上处处解析
且
(
Lnz
)
ﾶ=
1 z
.
( 3) ab = ebLna 是多值的，在除去原点和负实轴的平面上
处处解析；
( ) 整幂次幂 zn 是单值解析的，且zn ﾶ= nzn-1.
( 4) sin z =
e iz
- e-iz 2i
;
cosቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz =
e
iz
+e 2
- iz
证 argf(z)=C 证证 tan(argf(z))=u/v=tanC=k 证证证证 v=ku. k=0 证证证证证证证证 . k ﾶ 0 证证 vx = kux = kv y , v y = kuy = -kvx .
( ) 1 + k 2 vx = 0 � vx = 0, ux = 0. � f ﾶ( z) = 0
( 3) f ( z) = sin xchy + i cos xshy.
复变函数课程教学纲要
《复变函数》课程教学纲要一、课程概述（一）课程学时与学分课程代码：1302，开课专业：数学与应用数学（师范）专业，第5学期开课;课程总学时68学时，4学分。
（二）课程性质复变函数论是数学专业的一门重要的专业基础课。
它是数学分析、高等代数等课程的进一步延伸,又是近代分析学的基础。
它的思想方法是许多后续课程得以展开的保证。
属于院专业必修课。
（三）教学目的开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为掌握复变函数在自然科学中的广泛应用奠定良好的数学基础。
（四）本课程与其他课程的联系与分工本课程是在学生学习了数学分析、高等代数及其概率论与数理统计的基础上开设的,并在之后开设离散数学,数值分析等进一步的数学课程的本科学习中起到基础和工具的作用,是学习数学和应用数学专业的必备课程。
二、课程教学的基本内容与要求（一）教学要求复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
（二）课程总学时数与课程学时分配1、总学时: 174=68(学时)2、学时分配表章次内容学时引言复变函数论的基本思想 1第一章复数与复变函数8第二章解析函数9第三章复变函数的积分9第四章解析函数的幂级数表示法9第五章解析函数的洛朗展开与孤立奇点9第六章留数理论及其应用7第七章共形映射9第八章解析延拓7合计68（三）教学内容绪论复变函数论的基本思想第一章复数与复变函数（一）教学目的及要求1、理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2、理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。
3、进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。
复变函数第二章(第四讲)
对数的表达式
Lnz ln z iArgz ln z i(argz 2k ), k Z。
证明
令w u iv z re i e
u iv i
那么
re u ln r , v 2k , k Z。
w Lnz ln r i ( 2k )， k Z。
zi 例1 求 Im(e );
Im(e iz ) Im(e y ix ) e y sinx。
例2
求e
1 (1 i ) 4
1 1 i 4
;
e
24 e (cos i sin ) e 1 i 。 4 4 2
4
例3 解方程e 1。
z
z 2k i
幂函数的性质
单值性和多值性 ① 当 n(n为整数 时 )
w=zn 在整个复平面上或去掉原点的复平 面是单值解析函数. 1 ② 当 ( n为 正 整 数时 ) n
e
1 Lnz n
e
1 (ln n
z i arg z 2 ki )
e
1 ln n
z
e
i
a rgz 2 k n
正弦与余弦函数的性质
(1) sinz及 cos z是单值函数；
( 2) sinz及 cos z在复平面 上处处解析，且 C (sinz )' cos z , (cosz )' sinz; iz iz e e (sin z ) 2i
证明 :
1 iz e iz e iz ( ie ie iz ) cos z。 2i 2 (3) 三角恒等式 : sin(z z 2 ) sinz cos z2 sinz2 cos z1 , 1 1 cos(z z 2 ) cosz1 cos z2 sinz1 sinz2 ; 1
北航复变函数与积分变换新大纲
复变函数与积分变换课程教学大纲课程编号：09J70360课程中文名称：复变函数与积分变换课程英文名称： Functions of a Complex Variable and Integral Transforms开课学期：春、秋季学分/学时：2.5/40先修课程：数学分析/高等数学，课程名称，数学分析/高等数学，线性代数建议后续课程：傅立叶变换适用专业/开课对象：工科，2年级本科生团队负责人：责任教授：执笔人：滕岩梅核准院长：一、课程的性质、目的和任务《复变函数与积分变换》是工科院校最重要的基础课之一，是工科电气、电子、通讯、自动化、勘查、测绘等许多专业的必修课，也是物理、力学、石油工程等专业一些后继课程的必要基础，其内容丰富，实用性强。
复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时被公认是最丰饶的数学分支和抽象科学中最和谐的理论之一。
二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域。
复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如电磁学、热学、流体力学、弹性理论中的平面问题的有力工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。
积分变换主要是傅立叶变换和拉普拉斯变换，它是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。
积分变换的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而且在自然科学和工程技术领域中均有着广泛的应用，已经成为不可缺少的运算工具。
通过对该课程的学习，既为后继专业课程的学习奠定了基础，亦为数学应用开拓了空间，同时对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力、数学建模能力尤为重要。
学习本课程必须先修高等数学课程。
二、课程内容、基本要求及学时分配第一章复数（5学时）1．复数及其代数运算；复数的几何表示；复数的乘幂与方根；2．区域；曲线；复球面。
基本要求：1．掌握复数的三种表示式及运算。
2．了解区域，单连域，多连域的概念。
3．了解复球面与无穷远点。
第二讲：复变函数1.3; 1.4; 2.1
1.3.2 平面曲线
1. 简单闭曲线 若存在满足 t1 ， t 2 且 t1 t 2 的 t1与t 2 ，使 z(t1 ) z(t 2 ) ,则称此曲线C有重 点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约 当（Jordan）曲线；除 z ( ) z ( )外无其它 重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如， z cost i sin t (0 t 2 )
2 2
y 1 y 1
法2
z 1 i z zlim lim 1i i z 1 i z lim z 1 i
z 1i
（2） 设
z x iy，则 z x iy ，得
zz z z 1 ( z 1)( z 1) lim lim z 1 z 1 z 1 z 1
2. 聚点：如果点 z 的任何邻域中都含有平面点集 E 中无穷多个点，那么称 z 为 E 的聚点
3. 内点： 若 z 属于 E ，且存在 z 的某一邻域完全
含于 E ，则称 z 为 E 的内点。
4. 开集 若集合 E 中的每一个点均为 E 的内点，
则称 E 为开集.
5.连通集： 若 E 中任意两点，都可用完全属于 E 的折线
z z0
的充分必要条件为:
x x0 y y0
lim u ( x, y ) u0
且
x x0
y y 0பைடு நூலகம்
lim v( x, y ) v0
复变函数的极限四则运算法则： lim g ( z ) B ，则 设 lim f ( z ) A ，z z z z0 (1) lim[ f ( z ) g ( z )] lim f ( z ) lim g ( z ) A B
《复变函数》第一讲
1. 乘积与商
定理1 定理 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
课程简介
课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(四版) 复变函数》
西安交通大学高等数学教研室 编
总 学 时 教师姓名
54学时
__张广亮 张广亮__ 张广亮
对
复变函数（自变量为复数的函数） 象 复变函数（自变量为复数的函数）
研究复变数之间的相互依赖关系， 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 具体地就是复数域上的微积分。 复数与复变函数、解析函数、 主要内容 复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等。 共形映射等。
3.共轭复数 共轭复数
的共轭复数. 定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数 •共轭复数的性质
(1) ( z1 ± z 2 ) = z1 ± z 2
( z1 z 2 ) = z1 z 2
(conjugate)
《高等数学》与《复变函数》之关系探讨5页word
《高等数学》与《复变函数》之关系探讨《复变函数》是自然科学与工程技术中常用的数学工具，它是微分方程、奇异积分方程、计算数学和概率论等数学分支的主要解析方法，又是空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科进行几何定性研究的重要方法。
在培养学生的知识结构体系、解决问题的实际能力、具备良好的思维品质、具备创新精神等方面起着至关重要的作用。
因此，学好《复变函数》课程对于在校大学生和科学技术工作者是十分重要的，教学质量的高低、教学效果的好坏直接影响到学生对这门课程以及后续课程的学习。
作为高校的一门基础理论课程，《高等数学》占据着无与伦比的重要地位，它所蕴含的数学理念和数学方法深深影响着后续数学类课程和其他专业课程的学习，尤其对于与实变函数有着密切联系的复变函数而言更是如此。
《复变函数》是《高等数学》的后续课程，是在实变函数的基础上延伸出来的一门课程，它们的联系是很紧密的，复变函数中的许多理论、概念和方法是实变函数在复数域的推广，所以它的许多概念和性质与《高等数学》中所学习的内容既有相同之处也有不同之处，它们的区别就在于前者是研究复数域上的函数，尤其是解析函数的性态，后者是研究实数域上的函数性态，这样我们在学习《复变函数》课程中就需要对比着《高等数学》的课程内容来进行学习了。
由于《高等数学》中涉及到的新的概念比较多，许多学生对于这些概念没有具体化的认识，比如极限的ε-δ概念、定积分的概念等，我们需要的也不仅仅是学生了解这个概念就行了，而是要让学生应该能够完全理解这些概念的本质，了解其所蕴含的本质含义，进而能够抓住其精髓，从而进一步地把实变函数的概念、性质等推广到复变函数上来，抓住其本质后就能够具体地了解哪些性质是与实变函数相同的，不需要再重新掌握；而哪些性质并不是其本质性质，需要重新给定义一下。
而在进行《高等数学》教学过程中，有同学问到很多类似的问题，这些问题用高等数学知识是没有办法解释的，也举不出有效又简单的实例，但是如果用《复变函数》的结果去解释，学生就很容易接受了，所以我们是否可以认为，在大学时期的《高等数学》教学中可以把《复变函数》穿插在《高等数学》教学中去讲授呢？尤其是针对一些采取了《高等数学》分级教学的学校，对于那些对数学要求较高的院系，一般是在大学一年级学习一年《高等数学》，在大学二年级开设《复变函数》，但是讲解《复变函数》的时候，学生的《高等数学》知识都忘得差不多了，有近一小半的课堂时间是在给学生复习《高等数学》的知识，这样就大大降低了课时的利用率，那么应该如何把《高等数学》的教学内容与《复变函数》内容更有效地结合起来就成了现在需要解决的问题。