人教版九年级数学下册相似三角形
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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初中数学人教版九年级下册 27.2.1相似三角形的判定(课时1) 课件(共32张PPT)
1 k
B′
A C
A′ C′
探究新知
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2，都相交的平 行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度
（1）AB 与 DE 相等吗？
BC EF
l1 A
（2）任意平移
l5，BACB
归纳总结
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面
两种情况.
l1A D
l2 l3
E l4
l1
l2
E D l3
A
l4
B
C l5
B
C l5
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
探究新知
思考：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点
A E C
要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需将DE平移
到BC边上去，使BF=DE，再证明
AE AC
BF BC
就可以了.
探究新知
证明：先证明两个三角形的角分别相等 在 △ADE与 △ABC中，∠A =∠A.
平行于三角形一边的 直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的
对应线段成比例
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴. DE AD 2 1 BC AB 2 4 3
故选：C.
练习 6 如图, DC//EF//AB ,若 EG 1 , DC 6 ,则 GF 的长为 AB 2
( B)
A.2
B.3
C.4
D.1.5
解析：∵ EF//AB , ∴△DEG∽△DAB , ∴ DG EG 1 ,即点 G 为 DB 的中点,
人教版初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定(第4课时)课件 【经典初中数学课件】
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
一定需三个角对应相等吗？
相似三角形的判别方法： 两角分别相等的两个三角形相似．
如果两个三角形仅有一组角是对应相等的，那么它们是否 一定相似？
相似三角形的判别
用数学符号表示： ∵∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A A'
B
C B' C'
(两个角分别相等的两个三角形相似.)
条件 DE‖BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B＝∠ADE) (或者∠C＝∠AED)
2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
27.2.1.3++相似三角形的判定定理3+课件+++2023—-2024学年人教版数学九年级下册
A
证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°，
∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°．
B
C
D
在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°，
∴∠B =∠E，∠C =∠F．
∴△ABC∽△DEF．
E
分层设计 数学 RJ 九年级 上
F
合作探究
探究2 两直角三角形相似的判定
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8.
有一个锐角相等，或两组直角边成比例的两个直角三角
形相似.
分层设计 数学 RJ 九年级 上
合作探究
思考 我们知道，两个直角三角形全等
可以用“HL”来判定，那么满足斜边和
一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
AB
AC
A' B ' A' C '
分层设计 数学 RJ 九年级 上
合作探究
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C' 中，∠C=90°，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
B
分层设计 数学 RJ 九年级 上
C
B'
C'
合作探究
如图，在△ABC与△A′B′C′ 中，∠A=∠A′，∠B=∠B′ .
证明：△A′B′C′∽△ABC.
证明：在 △ABC 的边 AB上，截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能
不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角
证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°，
∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°．
B
C
D
在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°，
∴∠B =∠E，∠C =∠F．
∴△ABC∽△DEF．
E
分层设计 数学 RJ 九年级 上
F
合作探究
探究2 两直角三角形相似的判定
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8.
有一个锐角相等，或两组直角边成比例的两个直角三角
形相似.
分层设计 数学 RJ 九年级 上
合作探究
思考 我们知道，两个直角三角形全等
可以用“HL”来判定，那么满足斜边和
一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
AB
AC
A' B ' A' C '
分层设计 数学 RJ 九年级 上
合作探究
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C' 中，∠C=90°，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
B
分层设计 数学 RJ 九年级 上
C
B'
C'
合作探究
如图，在△ABC与△A′B′C′ 中，∠A=∠A′，∠B=∠B′ .
证明：△A′B′C′∽△ABC.
证明：在 △ABC 的边 AB上，截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能
不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角
27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 人教版九年级数学下册课件
问题：如图，某地四个乡镇A、B、C、D之间建有公路，已知AB = 14 千米， AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，BC= 42 千米，公路AB 与CD平行吗？说出你的理由.
问题探索：(1)题目给出的五个数据结合图形可联想到什么？
D
△ABD∽△BDC，理由：三角形相似的判定定理1
当堂检测
课堂总结
归纳总结
利用三边对应成比例判断三角形相似的步骤： 1.首先按照从小到大的顺序找出对应边； 2.分别计算小、中、大三组对应边长度的比； 3.最后看三个比值是否相等，相等则相似.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
活动2：探究“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”
如图，在△ABC与△A1B1C1中，已知∠A= ∠A1, 求证：△ABC∽△A1B1C1
问题探索：∵AB=14，AD=28，BD=21，DC=31.5，BC=42
AD BD AB 2 , BC CD BD 3
28 A
∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC， 14
∴AB∥DC.
B
D
31.5 21
42
C
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
练一练
C
1.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
第二十七章 相似
27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 利用三边关系、两边
及夹角判定两三角形相似
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 2.掌握“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理，会根 据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.
27.2.2 相似三角形的性质 九年级数学下册人教版课件
AB BC CA k， A'B' B'C' C' A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
AB BC CA kA' B ' kB 'C ' kC ' A' k. A' B ' B 'C ' C ' A' A' B ' B 'C ' C ' A'
归纳：相似三角形周长的比等于相似比.
∵△ABC∽△A'B'C'
AD AB k AE AB
B/
A
D
C
A/
D/
C/
归纳
由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也 等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 2 : 3 ，对应边上的中线的比是 __2_:_3__ .
2. 相似三角形有哪些性质？ 对应角相等，对应边成比例
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度， 三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、 面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些量之间有 什么关系呢？
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并 运用其解决问题 2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其 解决问题.
2. 已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为3 : 4，若 BC 边 上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_1_6_c_m__ .
相似三角形的性质+课件+人教版数学九年级下册
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？
你能加以证明吗？
已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.
求证: ΔABC的周长
ΔA’B’C’的周长
=k
sABC sA´B´C´
=k2
A
A’
B
B’
C’
C
已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.
求证:
ΔABC的周长 ΔA’B’C’的周长
相似三角形的周长比等于相似比吗?
A B
C D
相似三角形的周长比等于相似比. E
F
已知：如图， △ABC∽△A’B’C’，它们的相似比是K，
AD、A’D’分别是高.
A
求证：S ABC : S A'B'C ' = K 2
证明： ∵△ABC∽△A’B’C’
B
DC
A’
BC = AD = K B'C' A' D'
A
D
解: ∵AD∥BC
O
∴△AOD∽△COB S△AOD:S△COB=4:9
∴OD:OB=2:3
B
C
∴S△AOD:S△AOB=2:3
∴S△AOB=6cm2 ∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2
做一做：
如图，D，E分别是AC，AB边上的点，∠ADE=∠B， AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，若AD=3，AB=5。 求：（1） AG ;
A'B' B'C' 72
C B'
又 AB=15厘米 B'C'=24厘米
C'
所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
27.2.1 相似三角形的判定 人教版九年级数学下册教学课件
边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，
AAS).类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的
判定方法呢？
互动新授
人教版数学九年级下册
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交
的平行线l3，l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段
AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
3
3
BD
BD
则
，
.
4
7
DF
BF
3.直线 a // b // c ，若AC=4，CE=6，
15
则BD=3 ，BF= 2 .
人教版数学九年级下册
课堂检测
人教版数学九年级下册
4.如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，BC，CA上，
DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6 cm，EC＝10 cm，FA－FC＝3 cm，
求FC 的长．
课堂检测
人教版数学九年级下册
解：∵DE∥AC，BE＝6 cm，EC＝10 cm，
BD BE
6 3
.
∴
DA EC 10 5
∵DF∥BC，
CF BD 3
.
FA DA 5
∴
∵FA－FC＝3 cm，∴FA＝FC＋3 cm.
∴ CF 3 .
FC 3
5
∴CF＝4.5 cm.
“A”字型
“X”字型.
课后作业
人教版数学九年级下册
1.如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ B ）
A．EG=4GC
B．EG=3GC
AAS).类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的
判定方法呢？
互动新授
人教版数学九年级下册
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交
的平行线l3，l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段
AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
3
3
BD
BD
则
，
.
4
7
DF
BF
3.直线 a // b // c ，若AC=4，CE=6，
15
则BD=3 ，BF= 2 .
人教版数学九年级下册
课堂检测
人教版数学九年级下册
4.如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，BC，CA上，
DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6 cm，EC＝10 cm，FA－FC＝3 cm，
求FC 的长．
课堂检测
人教版数学九年级下册
解：∵DE∥AC，BE＝6 cm，EC＝10 cm，
BD BE
6 3
.
∴
DA EC 10 5
∵DF∥BC，
CF BD 3
.
FA DA 5
∴
∵FA－FC＝3 cm，∴FA＝FC＋3 cm.
∴ CF 3 .
FC 3
5
∴CF＝4.5 cm.
“A”字型
“X”字型.
课后作业
人教版数学九年级下册
1.如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ B ）
A．EG=4GC
B．EG=3GC
人教版九级数学下《相似三角形的性质》教学课件
相似三角形的面积比
相似三角形的面积比可以帮助我们计算不规则 图形的面积。
相似三角形的高线、中线和中位线的比
相似三角形的比例关系可以帮助我们求解三角 形的高线、中线和中位线之间的比例。
相似三角形的倒数关系
通过相似三角形的倒数关系，我们可以求解未 知边长的比例。
习题练习
1
基础练习
通过基础练习巩固对相似三角形的理解。
应用练习
2
通过应用练习，将相似三角形的知识应
用到实际问题中。
3
思考题
在思考题中深入思考相似三角形的性质 和应用。
总结与展望
在这份课件中，我们学习了相似三角形的定义、性质、判定方法以及应用。 希望通过这些知识的学习，你对相似三角形有了更深入的理解。继续努力学 习数学，探索更多数学的奥秘吧！
相似三角形的性质
欢迎来到《相似三角形的性质》教学课件！在这个课件中，我们将一起探索 相似三角形的定义、性质、判定方法以及应用。让我们开始吧！
相似三角形的定义
1 相似三角形
相似三角形是指具有相同形状但可能具有不同大小的三角形。
相似三角形的性质
1 对应角相等
相似三角形的对应角相等，即相等角的一对 顶点将三角形的形状保持不变。
2 对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即对应边的长 度之比保持不变。相似三源自形的判定方法1 AA判定法
如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
2 AAA判定法
如果两个三角形的三个对应角相等，则这两个三角形相似。
相似三角形的应用
比例定理
通过相似三角形的比例定理，我们可以计算未 知长度。
人教版九年级数学下册1相似三角形应用举例
不到右边较高的树的顶端C 了?
探
索
新
知
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视
线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点
A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域
Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
相似三角形应用举例
学
习
目
标
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量
的物体的高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化
为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决
问题的能力. (难点)
0 1 . 课 前 导 入
0 2 . 探 索 新 知
∴ BO
FD
3
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.
探
索
新
知
方法总结：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一
时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
探
索
新
知
小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时
测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼
因此，河宽大约为 90 m.
探
索
新
知
方法总结：
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相
似三角形求解.
探
索
新
知
如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看
探
索
新
知
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视
线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点
A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域
Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
相似三角形应用举例
学
习
目
标
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量
的物体的高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化
为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决
问题的能力. (难点)
0 1 . 课 前 导 入
0 2 . 探 索 新 知
∴ BO
FD
3
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.
探
索
新
知
方法总结：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一
时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
探
索
新
知
小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时
测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼
因此，河宽大约为 90 m.
探
索
新
知
方法总结：
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相
似三角形求解.
探
索
新
知
如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看