数学人教版九年级上册二次函数y=ax2的图像和性质练习题
二次函数y=ax2练习题
一、填空题
1.用描点发画函数图象的步骤是 ， ， 。
2.二次函数y=ax2图象是 ，开口方向由 决定，开口大小的程度又是由谁决
定的？
3.一般地,抛物线 y=ax2的对称轴是 ,顶点坐标是 ．当 a>0时,抛物线开口
向 ,顶点是 ，抛物线的 越大,抛物线的开口越 ;当 时,抛物线开口
向 ,顶点是抛物线的 ,|a| 越大,抛物线的开口越 。
一．选择题
1.关于函数 y=ax2 的性质的叙述,错误的是( )．
A．对称轴是 y 轴 B．顶点是原点
C．当a>0 时,y 随 x的增大而增大 D． 有最大值或最小值
2.在同一坐标系中,抛物线y=ax2 的共同点是( )．
A．开口向上,对称轴是y 轴,顶点是原点
B．对称轴是y 轴,顶点是原点
C．开口向下,对称轴是 y 轴,顶点是原点
D．有最小值为 0
3.在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（ ）
A. y=12x2 B. y=-2x2 C. y=3x2 D. y=-3x2
4.下列函数中,具有过原点,且当 x>0时, y 随 x增大而减小,这两个特征的有( )．
①
y=-2x
2 ;②y=3x2;③ ; y=-5x2
④
y=-7x
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.若对任意实数x,二次函数 y=ax2的值总是非负数,则 a的取值范围是( )．
A． a>0 B． a<0 C． a=0
6.下列说法错误的是( )．
A．在二次函数 y=ax2 中,当 a>0 时,y 随 x的增大而增大
B．在二次函数 y=ax2 中,当 时 a<0 , 有最大值
C．a 越大图象开口越小, a越小图象开口越大
D．不论a 是正数还是负数,抛物线 y=ax2的顶点一定是坐标原点二．填空题
解答题
。
三．解答题
1． 已知函数y=（a-2）x2 是关于 x的二次函数，求：
（1）满足条件的a 的值；
（2） 为a何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当 为a何值时， y随 x的增大
而增大；
（3） 为a何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当 a为何值时，y 随x 的增大而减
小？
2.已知抛物线y=ax2 过点（2,4） 和原点
（1）求这个函数解析式；
（2）当x 为何值时，函数 y随 x的增大而减小。
人教版九年级数学上册二次函数的图像与性质
【a<0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
ax2 a<0
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
二次函数
最值： 【a>0】 二次函数有最小值，即当x=0时，y最小值=0，此时最 低点为（0，0）
）
A．-6 或1 B.-3或2 或-1 或-2
【练习1】已知二次函数y=7x2+13x+9,求此二次函数图象的顶点坐 标__________ _
二次函数
图像与性质 一般式
【练习2】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是 直线x=1. 以下四个判断：①b2>4ac；②4a-2b+c<0；③不等式 ax2+bx+c>0的解集是x>2；④若（ -1 ，y1），（5，y2）是抛物线 上的两点，则y1＜y2。其中正确的是（ ）
x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数有最大值，即当x=0时，y最大值=0，此时最高点为（0，0）
x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
对称轴：直线x=h(y轴)
【练习】已知函数y=（m﹣2）xm2+m-4 ﹣2是关于x的二次函数，则m=_____．
x=h
a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0
人教版九年级数学上册二次函数的图象和性质复习同步练习题
22.1 二次函数的图象和性质1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ．2．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x mm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）错误!未找到引用源。
11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2 C ．21D ．4112．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．13已知错误!未找到引用源。
是二次函数，且当错误!未找到引用源。
人教版 九年级数学 上册22.1 二次函数的图象性质 课后训练(含答案)
人教版九年级数学22.1 二次函数的图象性质课后训练一、选择题1. 下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是()A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是()A．h>0，k>0 B．h<0，k>0C．h<0，k<0 D．h>0，k<03. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若商品的售价为x元/件，则可售出(350－10x)件，那么出售该商品所赚钱数y(元)与售价x(元/件)之间的函数解析式为()A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－73504. 如图，抛物线的函数解析式是()A．y＝x2－x＋2B．y＝x2＋x＋2C．y＝－x2－x＋2D．y＝－x2＋x＋25. 抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为() A．－1，－2 B．4，－2C．－4，0 D．4，07. 如果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点坐标是(0，－4)，那么这条抛物线的解析式是()A．y＝－13x2－2x－4B．y＝－13x2＋2x－4C．y＝－13(x＋3)2－1D．y＝－x2＋6x－128. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()二、填空题9. 【2018·淮安】将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________．10. 已知二次函数y＝(x－m)2－1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________．11. 已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是.12. 函数y＝－4x2－3的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x________0时，y随x的增大而减小，当x________时，y有最________值，是________，这个函数的图象是由y＝－4x2的图象向________平移________个单位长度得到的．13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)14. 已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是________．15. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示．已知点A的坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……依次进行下去，则点A2019的坐标为________．三、解答题16. 已知二次函数y＝－2x2，y＝－2(x－2)2，y＝－2(x－2)2＋2，请回答下列问题：(1)写出抛物线y＝－2(x－2)2＋2的顶点坐标、开口方向和对称轴；(2)将抛物线y＝－2x2分别通过怎样的平移可以得到抛物线y＝－2(x－2)2和y＝－2(x－2)2＋2?(3)如果要得到抛物线y＝－2(x－2020)2－2021，应将y＝－2(x－2)2怎样平移？17. 画出函数y＝－x2的图象，并回答问题．解：(1)列表(请完成下面的填空)：x …－2－1－0.500.512…y …－0.250－0.25－1－4…(2)描点、连线；(3)由函数图象可以看出，当x＜0时，y随着x的增大而________．(填“增大”或“减小”)18. 如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)点Q(m，n)在该二次函数的图象上：①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．人教版九年级数学22.1 二次函数的图象性质课后训练-答案一、选择题1. 【答案】C[解析] (1)∵二次函数y＝x2－x的二次项系数为1＞0，∴图象开口向上，可见A选项错误；(2)∵对称轴为直线x＝－b2a＝12，可见B选项错误；(3)∵原点(0，0)满足二次函数解析式y＝x2－x，∴抛物线经过原点，可见C选项正确；(4)∵抛物线的开口向上，∴图象在对称轴右侧部分是上升的，可见D选项错误．综上所述，选C.2. 【答案】A[解析] ∵抛物线y＝－2(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，由图象可知，抛物线的顶点在第一象限，∴h＞0，k>0.3. 【答案】B4. 【答案】D[解析] 先设出函数解析式，然后把(0，2)，(－1，0)，(2，0)分别代入函数解析式，列出方程组，求出各系数即可．5. 【答案】A[解析] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)．∵－b2a＝－－22＝1＞0，4ac－b24a＝4（m2＋2）－44＝m2＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A.6. 【答案】D7. 【答案】B[解析] 设这条抛物线的解析式是y＝a(x－3)2－1. ∵抛物线与y轴的交点坐标是(0，－4)，∴－4＝9a－1，解得a＝－1 3，∴y＝－13(x－3)2－1，即y＝－13x2＋2x－4.故选B.8. 【答案】D[解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.二、填空题9. 【答案】y ＝x 2＋2 [解析] 二次函数y ＝x 2－1的图象向上平移3个单位长度，平移后的纵坐标增加3，即y ＝x 2－1＋3＝x 2＋2.10. 【答案】m≥1[解析] 抛物线的对称轴为直线x ＝m.∵a ＝1＞0， ∴抛物线开口向上，∴当x ＜m 时，y 的值随x 值的增大而减小， 而x ＜1时，y 的值随x 值的增大而减小， ∴m≥1.11. 【答案】[解析]∵抛物线y=ax 2+4ax +4a +1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，∴=-=-2.∵线段AB 的长不大于4，∴4a +1≥3，∴a ≥， ∴a 2+a +1的最小值为:2++1=.12. 【答案】下y 轴 (0，－3) ＞ ＝0 大 －3 下 313. 【答案】8a[解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ，∴BD ＝BC ＝2， ∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ， ∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.14. 【答案】0 [解析]依题意可知已知两点关于y 轴对称，∴x 1与x 2互为相反数，即x 1＋x 2＝0.当x ＝0时，y ＝a·02＝0.15. 【答案】(－1010，10102)[解析] 由点A 的坐标可得直线OA 的解析式为y＝x.由AA 1∥x 轴可得A 1(－1，1)，又因为A 1A 2∥OA ，可得直线A 1A 2的解析式为y ＝x ＋2，进而得其与抛物线的交点A 2的坐标为(2，4)，依次类推得A 3(－2，4)，A 4(3，9)，A 5(－3，9)，…，A 2019(－2019＋12，10102)，即A 2019(－1010，10102)． 三、解答题16. 【答案】解：(1)抛物线y ＝－2(x －2)2＋2的顶点坐标为(2，2)，开口向下，对称轴为直线x ＝2.(2)y ＝－2x 2的顶点坐标为(0，0)，y ＝－2(x －2)2的顶点坐标为(2，0)，y ＝－2(x －2)2＋2的顶点坐标为(2，2)，所以抛物线y ＝－2x 2向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝－2(x －2)2，抛物线y ＝－2x 2向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线y ＝－2(x －2)2＋2(平移方法不唯一)． (3)∵抛物线y ＝－2(x －2020)2－2021的顶点坐标为(2020，－2021)，∴应将y ＝－2(x －2)2向右平移2018个单位长度，再向下平移2021个单位长度(平移方法不唯一)．17. 【答案】解：(1)－4 －1 (2)如图：(3)增大18. 【答案】解：(1)把点P(－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3中， 得a ＝2，∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2， ∴图象的顶点坐标为(－1，2)． (2)①当m ＝2时，n ＝11. ②点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11.。
人教版初中数学九年级上册课后提升训练试卷(22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c第的图象和性质)
2020年秋绵阳南山双语学校初中数学（人教版）九年级上册第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c第的图象和性质1.(2020湖北十堰丹江口期中)关于抛物线y=x2-2x-1,下列说法中错误的是 ( )A.开口方向向上B.对称轴是直线x=1C.当x>1时,y随x的增大而减小D.顶点坐标为(1,-2)2.(2019吉林四平铁西期中)二次函数y=-2x2-3x+1的图象大致是 ( )3.(2020重庆八中月考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-2,0),对称轴为直线x=1,下列结论中正确的是 ( ) A.abc>0 B.b=2aC.9a+3b+c<0D.8a+c=04.(2020天津和平期中)抛物线的顶点为(1,-4),与y轴交于点(0,-3),则该抛物线的解析式为 ()A.y=x2-2x-3B.y=x2+2x-3C.y=x2-2x+3D.y=2x2-3x-35.(2020浙江嘉兴秀洲期中)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-4,0)、B(-1,0)和C(-2,-2),则下列说法正确的是 ()A.抛物线的开口向下B.当x>-3时,y随x的增大而增大C.二次函数的最小值是-2D.抛物线的对称轴是直线x=- 526.(2020天津和平期中)二次函数y=x2+bx+c(b,c是常数)中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:下列结论正确的是 ( )A.当x=2时,y有最大值1B.当x<2时,y随x的增大而增大C.点(5,9)在该函数的图象上D.若A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,则当m>3/2 时,y1<y27.(2019天津南开期中)函数y=ax2+ax+a(a≠0)的图象可能是下列图象中的 ( )8.(2019重庆中考)抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是 ()A.直线x=2B.直线x=-2C.直线x=1D.直线x=-19.(2019辽宁葫芦岛中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象大致是 ( )10.(2019四川遂宁中考)二次函数y=x2-ax+b的图象如图所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确的是 ()A.a=4B.当b=-4时,顶点的坐标为(2,-8)C.当x=-1时,b>-5D.当x>3时,y随x的增大而增大11.(2020独家原创试题)已知A(a,m),B(b,n)是抛物线y=x2-2x-2 020上的两点,且a<b<1.若k=a-b,c=m-n,则一次函数y=kx+c的图象经过的象限是 ()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限12.(2019江苏徐州铜山二模)二次函数y=x2+2x+2的图象先向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,则平移后二次函数图象的顶点坐标是.13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,bc)在第象限.14.(2020山东青岛莱西期中)顶点为(-6,0),开口向下,形状与函数x2的图象相同的抛物线的表达式是. y= 1215.(2019北京西城期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系:则a+b+c= .16.(2020重庆巴南期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:若一次函数y=bx+ac的图象不经过第m象限,则m=17.(2020湖北孝感孝南期中)如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过(-1,0),对称轴为x=1,则下列三个结论:①abc<0;②10a+3b+c>0;③am2+bm+a≥0,其中正确的结论为(填序号).18.(2019福建莆田秀屿月考)若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最小值为-8且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同,则此函数关系式为.19.(2020北京三十九中期中)把抛物线y=-x2+4x-3先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,则变换后的抛物线解析式是.20.(2019福建龙岩上杭月考)如图,二次函数图象过A,B,C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC.(1)求点C的坐标;(2)求二次函数的解析式.21.(2019山东淄博临淄期中)已知二次函数y=ax2+bx+c中,y与x的部分对应值如下表:(1)求这个二次函数的解析式;(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标.参考答案1.答案 C∵a=1>0,∴开口方向向上,故A说法正确;对称轴是故B说法正确;当x>1时,y随x的增大而增大,故C说法错误;y=x2-2x-1=(x-1)2-2,顶点坐标为(1,-2),故D说法正确.故选C.2.答案 B因为a=-2<0,所以抛物线y=-2x2-3x+1开口向下,故C、D不符合题意;抛物线y=-2x2-3x+1的对称轴是直线故A不符合题意.故选B.3.答案 D ∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线对称轴为直线x=1,∴-b/2a =1,∴b=-2a>0,故B错误;∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴abc<0,故A错误;∵对称轴为直线x=1,又点(-2,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(4,0),∴当x=3时,y=9a+3b+c>0,故C错误;∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0),∴4a-2b+c=0,∵b=-2a,∴4a+4a+c=0,即8a+c=0,故D正确.故选D.4.答案 A 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,将(0,-3)代入y=a(x-1)2-4,得-3=a(0-1)2-4,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.故选A.5.答案 D ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-4,0)、B(-1,0)和C(-2,-2),∴a>0,∴抛物线开口向上,故A错误;对称轴为直线y随x的增大而增大,故B错误,D正确;∴函数的最小值小于-2,故C错误.故选D.6.答案 D 观察表格知,函数的图象经过点(1,2)和(3,2),∴对称轴为x=2.∵函数图象开口向上且经过点(2,1),∴x=2时,y有最小值1,故A错误.易知当x<2时,y随x的增大而减小,故B错误.∵对称轴是直线x=2,点(-1,10)关于x=2的对称点是(5,10),∴点(5,10)在该函数的图象上,点(5,9)不在该函数的图象上,故C错误.∵当m>3/2 时,|2-m|<|m+1-2|,∴y1<y2,故D正确.故选D.7.答案 C 在函数y=ax2+ax+a(a≠0)中,当a<0时,该函数图象开口向下,顶点在y轴左侧,抛物线与y轴的负半轴相交,故C正确、D错误;当a>0时,该函数图象开口向上,顶点在y轴左侧,抛物线与y轴的正半轴相交,故A、B错误.故选C.8.答案 C9.答案 D10.答案 C 由题意得,对称轴为直线x=2,∴a=4,故A正确;当b=-4时,y=x2-4x-4=(x-2)2-8,∴顶点的坐标为(2,-8),故B正确;当x=-1时,由图象知此时y<0,即1+4+b<0,∴b<-5,故C不正确;∵对称轴为直线x=2且图象开口向上,∴当x>3时,y随x的增大而增大,故D正确.故选C.11.答案 B y=x2-2x-2 020=(x-1)2-2 021,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,当x<1时,y随x的增大而减小.∵A(a,m),B(b,n)是抛物线y=x2-2x-2 020上的两点,且a<b<1,∴m>n.∵k=a-b<0,c=m-n>0,∴一次函数y=kx+c 的图象经过的象限是第一、二、四象限.故选B.12.答案(2,3)∵y=x2+2x+2=(x+1)2+1,顶点为(-1,1),∴将图象向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,平移后的二次函数图象的顶点坐标为(2,3).13.答案一14.解析设所求的抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,∵顶x2点为(-6,0),∴h=-6,k=0,又∵开口向下,形状与函数y= 12 ,∴抛物线的表达式为的图象相同,∴a=-1215.答案-1.5∵x=3时,y=2.5;x=5时,y=2.5,∴抛物线的对称轴为直线x=4,∴x=1和x=7的函数值相等,而x=7时,y=-1.5,∴x=1时,y=a+b+c=-1.5.16.答案 3解析由表中的数据可知抛物线开口向上,顶点为(1,3),与y轴的交点为(0,4),∴b<0,∴ac>0,∴函数y=bx+ac的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,∴m=3.17.答案②③解析①观察图象可知,a>0,b<0,c<0,∴abc>0.∴①错误.②观察图象可知,当x=3时,y=0,即9a+3b+c=0,∵a>0,∴10a+3b+c>0.∴②正确.③∵对称轴为x=1,∴b=-2a,∴am2+bm+a=am2-2am+a=a(m-1)2≥0,∴am2+bm+a≥0.∴③正确.18.答案y=2x2+8x或y=2x2-8x函数y =a (x -h )2+k 的图象经过原点,把(0,0)代入解析式,得ah 2+k =0,∵最小值为-8,∴函数图象的开口向上,a >0,顶点的纵坐标k =-8,又∵形状与抛物线y =-2x 2-2x +3相同,∴二次项系数a =2,把a =2,k =-8代入ah 2+k =0中,得h =±2,∴函数解析式是y =2(x +2)2-8或y =2(x -2)2-8,即y =2x 2+8x 或y =2x 2-8x .19. 答案 y =-x 2-2x -2 ∵抛物线y =-x 2+4x -3=-(x -2)2+1,∴顶点坐标为(2,1),将顶点向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的点是(-1,-1),则变换后的抛物线解析式为y =-(x +1)2-1=-x 2-2x -2.20. 解析 (1)∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(4,0),∴AB =4-(-1)=5,∵AB =OC ,∴OC =5,∴点C 的坐标为(0,5).(2)解法一:设过点A ,B ,C 的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c , 把A (-1,0),B (4,0),C (0,5)分别代入y =ax 2+bx +c 中,得 解得 -0,1640,5,a b c a b c c +=⎧⎪++=⎨⎪=⎩5-,415,45,a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩所以二次函数的解析式为解法二:设过点A ,B 的抛物线的解析式为y =a (x +1)(x -4), 把点C (0,5)代入,得5=a (0+1)(0-4),所以二次函数的解析式为21. 解 (1)把(0,1),(1,-2),(2,1)代入y =ax 2+bx +c 中,得 解得 所以二次函数解析式为y =3x 2-6x +1.(2)由(1)知抛物线解析式为y =3x 2-6x +1,即y =3(x 2-2x )+1=3(x 2-2x +1-1)+1=3(x -1)2-2,所以抛物线的顶点坐标为(1,-2).1,-2,421,c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩3,-6,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩。
九年级数学：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质训练题含答案
第22章 二次函数 22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质同步训练题1. 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(2，－1)D ．(－2,1)2．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1、x 2、x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 13. 抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则( )A ．b ＞0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＜0，c ＞05. 对于二次函数y ＝2(x ＋1)(x －3)，下列说法正确的是( ) A ．图象的开口向下B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小C ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线x ＝－16. 将二次函数y ＝x 2＋2x －1的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是( ) A ．y ＝(x ＋3)2－2 B ．y ＝(x ＋3)2＋2 C ．y ＝(x －1)2＋2D ．y ＝(x －1)2－27. 把抛物线y ＝12x 2＋2x －1的对称轴是 ，顶点坐标为 .8. 当x ＝ 时，二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最小值．9. 已知下列函数：①y ＝x 2；②y ＝－x 2；③y ＝(x －1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y ＝x 2＋2x －3的图象的有 (填写所有正确选项的序号)． 10. 二次函数 y ＝－2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为 . 11．抛物线y ＝x 2－x ＋m ，若其顶点在x 轴上，则m ＝ .12．已知函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的部分图象如图所示，则c ＝ ，当x 1 时，y 随x 的增大而减小．13. 已知抛物线y ＝12x 2＋2x －52.(1)求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值； (2)求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标．14. 已知二次函数y ＝－12x 2＋x ＋32，解答下列问题：(1)将这个二次函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)写出这个二次函数的顶点坐标和对称轴；(3)画出该二次函数的图象；(4)当x取何值时，函数有最大(或最小)值？其值是多少？15. 如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A、B且过点C(5,4)．(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．16. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A的坐标是(－2,4)，过点A作AB⊥y 轴，垂足为B，连接OA.(1)求△OAB的面积；(2)若抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A.①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围．参考答案：1---6 BAABC D7. 直线x ＝－2 (－2，－3) 8. 1 9. ①③ 10. －4 11. 1412. 3 ＞13. 解：(1)∵y ＝12x 2＋2x －52＝12(x ＋2)2－92，∴顶点坐标为(－2，－92)，对称轴为直线x ＝－2；因为二次项系数大于0，所以函数有最小值－92；(2)令y ＝0，则12x 2＋2x －52＝0，解得x 1＝－5，x 2＝1.所以该抛物线与x 轴的交点坐标为(－5,0)和(1,0)；令x ＝0，则y ＝－52，所以该抛物线与y 轴的交点坐标为(0，－52)．14. 解：(1)y ＝－12(x 2－2x －3)＝－12(x －1)2＋2；(2)顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线x ＝1； (3)图象略；(4)∵a ＝－12＜0，∴图象开口向下，∴当x ＝1时，y 有最大值为2.15. 解：(1)把点C(5,4)代入抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a ，得25a －25a ＋4a ＝4，解得a ＝1，∴该二次函数的解析式为y ＝ x 2－5x ＋4，∵y ＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，∴顶点坐标为P(52，－94)； (2)(答案不唯一，合理即正确)如：先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数的解析式为y ＝(x －52＋3)2－94＋4＝(x ＋12)2＋74，即y ＝x 2＋x ＋2.16. 解：(1)∵点A(－2,4)，AB ⊥y 轴，∴B(0,4)．∴AB ＝2，OB ＝4，∴S △OAB ＝12AB·OB＝12×2×4＝4； (2)①把点A(－2，4)代入y ＝－x 2－2x ＋c ，得4＝－(－2)2－2×(－2)＋c ，解得c ＝4.②由①得，抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋4.配方，得y ＝－x 2－2x ＋4＝－(x ＋1)2＋5.设抛物线的顶点为D ，则D(－1,5)．过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 的延长线交OA 于F ，如图．∵AB 关于对称轴对称．则E 是AB 的中点，进而可得F 是OA 的中点．∴E(－1,4)，F(－1,2)．∴DE ＝5－4＝1，DF ＝5－2＝3.∴m 的取值范围为1＜m ＜3.。
人教版数学九年级上册 22.1.2二次函数y=a(x-h)^2 同步练习
22.1.2二次函数()2h x a y -=的图象和性质同步练习 一、选择题1．抛物线12-=x y 的顶点坐标为( )A ．(1，0)B ．(−1，0)C ．(0，−1)D ．(2，3)2．抛物线()4232+--=x y 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为( ) A ．开口向下，对称轴2-=x ，顶点坐标(−2，4) B ．开口向上，对称轴2=x ，顶点坐标(2，4)C ．开口向上，对称轴2=x ，顶点坐标(2，−4)D ．开口向下，对称轴2=x ，顶点坐标(2，4)3．抛物线()52342-+=--m x y m m 的顶点在x 轴下方，则( )A ．5=mB ．1-=mC ．15-==m m 或D ．15=-=m m 或4．把抛物线221x y =向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得抛物线为( ) A ．()22212++=x x y B ．()12212-+=x x y C ．()12212--=x x y D ．()12212+-=x x y 5．二次函数()2122+-=x y 的图象可由22x y =的图象( )得到. A ．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度B ．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度6．将抛物线12--=x y 向上平移2个单位得到抛物线的表达式（ ）A ．2x y -=B ．22--=x yC ．12+-=x yD ．12+=x y 7．抛物线b x y +=2与抛物线22-=ax y 的形状相同，只是位置不同，则b a 、值分别是（ ） A ．2,1-≠=b a B ．2,1≠=b a C ．2,1-≠±=b a D ．2,1≠±=b a 8. 二次函数2ax y =与一次函数a ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ） A.B. C. D. 9. 函数b ax y +=2与b ax y +=在同一坐标系里的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 10. 已知二次函数()k x y +-=213的图象上有三点A(2，y 1)，B(2，y 2)，C(−5，y 3)，则321y y y 、、的大小关系为( )A ．321y y y >>B ．312y y y >>C ．213y y y >>D ．123y y y >>二、填空题1、抛物线()232+=x y 的开口 ；顶点坐标为 ；对称轴是_________；当3->x 时，y 随x 的增大而 ；当3-=x 时，y 有最 值是_________．2、函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数取得最 值，最 值y = .3、若抛物线()21+=x m y 过点（1，－4），则m ＝__________．4、抛物线()224-=x y 与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标为 ． 5、把抛物线23x y =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为 ，再向上平移4个单位得到的抛物线的表达式为 .6、将抛物线()2131--=x y 向左平移2个单位后得到的抛物线解析式为 . 7、二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是 .8、抛物线()2n x m y +=向左平移2个单位后，得到的函数关系式是()244--=x y ，则m ＝ ，n ＝ ．9、二次函数2)2(31+=x y ，若y 恒大于0，则自变量x 的取值范围是 . 10、把抛物线22y x =向左平移使顶点坐标是（-1，0），则所得抛物线的表达式为 .11、写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22x y -=都相同的二次函数解析式_________________．12、一条抛物线的对称轴是1x =，且与x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是 .（任写一个）三、解答题1、已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式.2、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA OC =，试求该抛物线的解析式.3、将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-，且新抛物线经过点()1,3，求a 的值.4、如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，直线L ：y x m =-与y 轴的交点为B ，其中0>m .（1）写出抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含m 的式子表示）；（2）若点A 在直线L 上，求∠ABO 的大小.5、如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m 时，水面宽AB 为6m ，当水位上升0.5m 时：（1）求抛物线的解析式。
人教版九年级上册数学作业课件 第22章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
解：(1)对称轴是直线 x＝－1，顶点(－1，72 )，y 最大＝72
(2)对称轴是直线 x＝－3，顶点(－3，－18)，y 最小＝－18
14．(2020·仙桃)把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度， 再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C2的函数关系式； (2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由； (3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1， y2的大小．
解：(1)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∵把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先 向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，∴C2： y＝(x＋1－4)2＋2－5，即y＝(x－3)2－3，∴抛物线C2的函数关系式为y ＝(x－3)2－3
(2)动点P(a，－6)不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关 系式为：y＝(x－3)2－3，∴函数的最小值为－3，∵－6＜－3，∴动点
＝－12 x2＋2x，∴PD＋BD＝－12 x2＋2x＋54 x＝－12 (x－143 )2＋13629 ，∵54 ＜
x＜4，－12
＜0，∴当 x＝143
时，PD＋BD 有最大值为13629
，此时，点
13 P( 4
，
－5372 )
(3)设平移后的抛物线 L′解析式为 y＝12 (x－m)2－13221 ，联立方程组可得
(1)求直线 AB 的解析式及抛物线顶点的坐标； (2)如图 1，点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为 C，PC 交 AB 于点 D，求 PD＋BD 的最大值，并求出此时点 P 的坐标；
(3)如图 2，将抛物线 L：y＝12 x2－54 x－3 向右平移得到抛物线 L′，直线 AB 与 抛物线 L′交于 M，N 两点，若点 A 是线段 MN 的中点，求抛物线 L′的解析式．
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
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增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
人教版版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习(word版含答案)
人教版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+13．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x24．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝时,y ＝（m 2﹣1）是二次函数．7．（仙游县期中）若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数,则m 满足 ． 8．如果函数y ＝（m +1）x+2是二次函数,那么m ＝ ．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a 1 a 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时,列出了如下表格：x … 1 2 3 4 … y ＝ax 2+bx +c…﹣13…那么该二次函数在x ＝0时,y ＝ ．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？参考答案一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义,可得答案．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数,故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数,故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项,故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数,故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义,形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数,要先化简再判断．2．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+1【考点】二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】整理成一般形式,根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1,属于一次函数,故本选项错误；B、该函数是反比例函数,故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1,属于一次函数,故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义,故本选项正确．故选：D．【点评】考查了二次函数的定义：一般地,形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）也叫做二次函数的一般形式．3．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣x2是二次函数；B、y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6,是二次函数；C、y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2,是二次函数；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4,是一次函数；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．4．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点；一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0,c）,∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C；当a＞0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D；当a＜0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0,b＜0,于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限,即可得到结论．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b＜0,∴一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝2时,y＝（m2﹣1）是二次函数．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,再解出m的值即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,解得：m＝2,故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是注意二次函数的二次项系数不为零．7．（仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数,则m满足m≠﹣1．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0,再解不等式即可．【解答】解：由题意得：m+1≠0,解得：m≠﹣1,故答案为：m≠﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．8．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数,那么m＝2．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数,∴m2﹣m＝2,（m﹣2）（m+1）＝0,解得：m1＝2,m2＝﹣1,∴m≠﹣1,故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确得出m的方程是解题关键．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1＞a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【考点】二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口,开口向下,则a2＜a1＜0,故答案为：＞．【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．10．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时,列出了如下表格：x…12 3 4…y＝…0﹣1 0 3 …ax2+bx+c那么该二次函数在x＝0时,y＝3．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值,确定二次函数的对称轴,利用抛物线的对称性找到当x＝0时,y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,∴对称轴为x＝2,∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值,∵当x＝4时,y＝3,∴当x＝0时,y＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质,利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？【考点】一次函数的定义；二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】（1）根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程和不等式,根据解方程和不等式,可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零,可得不等式,根据不等式,可得答案．【解答】解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0,∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．【考点】二次函数的定义．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0,再解即可．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,∴m2+2m﹣1＝2,解得m＝1或﹣3,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m＝﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时,x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4,∴对称轴是过点（2,4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点,连线．（3）由图象可知,当y＜0时,x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y＜0时,x的取值．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7．【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1,故答案为：x＞3或x＜1；③图象如右图所示,当﹣1＜x＜1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,当x＜﹣1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0,由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1,故答案为：+,﹣,x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2,故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7,故答案为：x＞9或x＜8且x≠7【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,写出相应的不等式的解集．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？【考点】二次函数的图象．【专题】常规题型．【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；（2）找出函数图象位于x轴上方时,自变量x的范围即可．【解答】解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时,y＞0．【点评】本题主要考查的是二次函数的图形,数形结合是解题的关键．。
人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步训练(含答案)
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练一、选择题1. 二次函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是()A．其图象开口都向上B．其图象的对称轴都是y轴C．其图象都有最高点D．y随x的增大而增大2. 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数解析式是()A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋83. 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A. x1＝0，x2＝6B. x1＝1，x2＝7C. x1＝1，x2＝－7D. x1＝－1，x2＝74. 已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是()A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1 D．b≤15. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x＝1D. 抛物线与x轴有两个交点6. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度7. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为() A．－1，－2 B．4，－2C．－4，0 D．4，08. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)、B(x1＋n，m)两点，则m、n的关系为()A. m＝12n B. m＝14n C. m＝12n2 D. m＝14n2二、填空题9. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．10. 已知抛物线y＝2(x－1)2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且1＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是________．11. 抛物线y＝－8x2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x＞0时，y随x的增大而________，当x＜0时，y随x的增大而________．12. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．14. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题17. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；(3)若直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．19. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边CA与边MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，△ABC沿MN方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当点A与点N重合时，停止运动．设运动的时间为t s，运动过程中△ABC与正方形MNPQ重叠部分的面积为S cm2.(1)试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(2)当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是多少？20. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】A[解析] ∵x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1.将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A.3. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.4. 【答案】D [解析] 先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x ＝b ，且当x ＞b 时，y 的值随x 值的增大而减小．因为当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，所以b≤1.5. 【答案】D【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．6. 【答案】D [解析] A ．将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x ＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位长度得到函数y ＝(x －3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x 2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝x 2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.7. 【答案】D8. 【答案】D【解析】因为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2－4c ＝0，即c ＝b 24，由题意知，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴12AB＝|n|2＝－b 2－x 1，b ＝－|n|－2x 1, ∴c ＝（－|n|－2x 1）24＝|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，∵A(x 1，m)在y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴m ＝x 21＋bx 1＋c ，∴ m ＝x 21＋(－|n|－2x 1)· x 1＋|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，化简整理得m ＝14n 2，故选D .二、填空题9. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.10. 【答案】y 1<y 2[解析] ∵抛物线的解析式是y ＝2(x －1)2，∴其对称轴是直线x ＝1，抛物线的开口向上， ∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大．又∵抛物线y ＝2(x －1)2上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且1＜x 1＜x 2，∴y 1<y 2.11. 【答案】下y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b ＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .13. 【答案】0 【解析】设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x 轴的一个交点是P(4，0)，∴与x 轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c ＝0.14. 【答案】y ＝－3(x －2)215. 【答案】(－2，0)【解析】如解图，过D 作DM ⊥x 轴于点M ，∴M(m ，0)，又B(m ＋2，0)，∴MB ＝2，由C(0，c)，D(m ，c)知：OC ＝DM ，即点C 、D 关于对称轴对称，故点O 、M 也关于对称轴对称，∴OA ＝MB ＝2，∴A(－2，0)．16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)，∴4a ＝－8，解得a ＝－2，∴此抛物线的解析式为y ＝－2x 2.(2)当x ＝－1时，y ＝－2，∴点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y ＝－6代入y ＝－2x 2，得－2x 2＝－6，解得x ＝±3，∴抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．18. 【答案】解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得： ⎩⎨⎧6＝a·（－2）2＋b·（－2）＋22＝a·22＋b·2＋2，(1分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1，(2分)∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(3分)(2)抛物线解析式化为顶点式：y ＝12(x －1)2＋32，则抛物线顶点D(1，32)，(4分) 如解图①所示，过点B 、D 、C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点M 、N 、H ，则有：S △BCD ＝S 梯形BMHC －S 梯形BMND －S 梯形DNHC ＝12(6＋2) ×4－12(6＋32)×3－12(32＋2) ×1 ＝3.(6分)解图①解图② (3)如解图②所示，连接BC ，∵直线BC 斜率k BC ＝2－62－（－2）＝－1＜－12，∴过点C 作直线MN 与直线y ＝－12x 平行，设直线MN 的解析式为y ＝－12x ＋b 1，代入C(2，2)， ∴b 1＝3.(7分)作直线EF 与抛物线相切，且与直线y ＝－12x 平行， 设直线EF 的解析式为y ＝－12x ＋b 2，联立抛物线解析式得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2－x ＋2y ＝－12x ＋b 2， ∴x 2－x ＋4－2b 2＝ 0， ∵直线EF 与抛物线相切，∴b 2－4ac ＝0，即(－1)2－4(4－2b 2)＝0，(9分)∴b 2＝158，(11分) ∴158＜b ≤3.(12分)注：斜率知识为高中知识，但常渗透于中考压轴题，与二次函数相结合考查，做题时注意其性质的应用．19. 【答案】解：(1)设AB 与MQ 交于点R.∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形MNPQ 是正方形， ∴△AMR 是等腰直角三角形． 由题意知，AM ＝MR ＝t ，∴S ＝S △AMR ＝12t·t ＝12t 2(0≤t≤10)．(2)当MA ＝2 cm ，即t ＝2时，重叠部分的面积是12×2×2＝2(cm 2)．20. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2， 所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)。