2021高考数学研讨会---济南
2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析
2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新高考2卷）注意事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号。
用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。
不要在试卷上作答。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。
不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
单选题：1.复数2-i在复平面内对应的点所在的象限为（）。
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B的结果为（）。
A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（）。
A．1 B．2 C．22 D．44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，其中地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km。
将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。
地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosα)（单位：km2）。
则S占地球表面积的百分比约为（）。
A．26% B．34% C．42% D．50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）。
A．20+123 B．282 C．56√3/2 D．282√3/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ)，下列结论中不正确的是（）。
2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式［A级基础巩固］1．(2020·黄山模拟)已知x∈错误!，cos错误!＝错误!,则sin x的值为( )A．－错误!B。
错误!C.错误!D．－错误!解析:因为x∈错误!,所以x＋错误!∈错误!，由cos错误!＝错误!，得sin错误!＝错误!,所以sin x＝sin错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：B2．（2020·济南一中质检）已知tan α＝3，α∈错误!，则sin 2α＋cos(π－α）的值为( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：由tan α＝3,α∈错误!,得cos α＝错误!，则sin 2α＋cos（π－α)＝错误!－cos α＝错误!－cos α＝错误!－错误!＝错误!。
答案：A3．已知α，β都是锐角,且sin αcos β＝cos α（1＋sin β),则( ) A．3α－β＝错误!B．2α－β＝错误!C．3α＋β＝错误!D．2α＋β＝错误!解析：因为sin α cos β＝cos α（1＋sin β)，所以sin（α－β)＝cos α＝sin错误!，所以α－β＝错误!－α，即2α－β＝错误!。
答案：B4．tan 70°·cos 10°（错误!tan 20°－1)等于（)A．1 B．2C．－1 D．－2解析:tan 70°·cos 10°（错误!tan 20°－1)＝错误!·cos 10°错误!＝错误!·错误!＝错误!＝错误!＝－1。
答案：C5．(2020·青岛二中质检）已知α，β均为锐角，且sin α＝错误!，cos （α＋β)＝－错误!，则β等于( ）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!解析:因为α为锐角且sin α＝错误!，所以cos α＝错误!。
因为α,β均为锐角，所以0〈α＋β〈π.又因为cos（α＋β)＝－错误!，所以sin（α＋β）＝错误!。
2021年高考数学全国Ⅰ卷第22题评析
2021年高考已硝烟散尽，但是关于2021年高考数学全国新课标Ⅰ卷的讨论却没有停息，作为全卷压轴的导数题更是引人关注，不同的老师有不同的看法.本文拟以此题作为研究对象，首先对问题的解题思路与方法进行分析，然后对问题进行深入探究，指出其命题根源之所在．1试题已知函数f(x)=x(1-ln x)．（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）设a，b为两个不相等的正实数，且b ln a-a ln b=a-b，证明：2<1 a +1 b <e．（2021年高考数学全国新课标1卷第22题）2解法分析问题（Ⅰ）：由题意可知f′(x)=-ln x，故当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，对于问题（Ⅰ）我们不再赘述，着重分析问题（Ⅱ）．我们把问题（Ⅱ）分为1a+1b>2和1 a +1b<e两个问题，分别证明.2.1先证明左边部分：1a+1b>2．2.1.1分析一：观察可以发现b ln a-a ln b= a-b是含有两个字母a，b的轮换式，基于这一认识，我们可适当变换，将相同的变量放在等式同一侧，于是就有1a(1+ln a)=1b·(1+ln b)，再观察题干中的函数f(x)，容易确定f(1a)=f(1b)，而题目要证明2<1a+1b，这是我们数学中常见的极值点偏移问题.于是我们就可以适当的构造函数，利用函数的单调性来证明此不等式.解法一：（对称化构造）证明：由b ln a-a ln b=a-b，可得1a(1+ln a)=1b(1+ln b)，设1a=x1，1b=x2则f(x1)=f(x2)，不妨设x1<x2，又f(0)=0，f(e)=0，由（Ⅰ）知0<x1<1<x2<e.①若x2 2，x1+x2>2，即1a+1b>2必成立．②若1<x2<2，构造g(x)=f(x)-f(2-x)，1<x<2则g′(x)=f′(x) +f′(2-x)=-ln x-ln(2-x)=-ln(2x-x2)>0故g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x)>g(1)=0，故f(x2)>f(2-x2)，故f(x1)=f(x2)>f(2-x2)又0<x1<1，0<2-x2<1，而函数f(x)=x(1-ln x)在(0,1)上单调递增，故x1>2-x2，即x1+x22021年高考数学全国Ⅰ卷第22题评析山东省滕州市教育和体育局张彬277599>2，也就是1a +1b>2．注：从前面的解题过程可以看到，我们采用构造函数的方式，证明了x 1>2-x 2，从而得到x 1+x 2>2的结论.事实上，我们也可以采用构造函数的方式先证明x 2>2-x 1，从而得到x 1+x 2>2的结论.请读者自证，并体会两种方式的细微差别.2.1.2分析二：从代数层面来看，问题的实质可以认为是在等量条件f (x 1)=f (x 2)约束下，寻求二元函数G (x 1,x 2)=x 1+x 2的最值问题.能否通过减元的方式，将二元函数转化为一元函数来研究，进而寻求其最值呢？答案是肯定的！解法二：（比值代换）证明：设1a =x 1，1b=x 2则x 1(1-ln x 1)=x 2(1-ln x 2)．不妨设x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2<e ，令t =x2x 1(t >1)，由x 1(1-ln x 1)=x 2(1-ln x 2),可得(1-ln x 1)=t (1-ln t -ln x 1)，得ln x 1=1-t ln t t -1.要证明：x 1+x 2>2.只需证：ln(x 1+x 2)>ln 2.只需证：ln(x 1+tx 1)>ln 2.只需证：ln(1+t )+ln x 1>ln 2．只需证：ln(1+t )+1-t ln t t -1>ln 2.只需证：(t -1)(1-ln 2)+(t -1)ln(1+t )-t ln t >0．构造函数：g (t )=(t -1)(1-ln 2)+(t -1)ln(1+t )-t ln t ，(t >1)．则g ′(t )=ln 2-ln t +t -11+t +ln(1+t )，(t >1)．g ″(t )=t -1t (1+t )2>0，故g ′(t )在(1,+∞)上单调递增，且g ′(1)=2ln 2>0，故g ′(t )>g ′(1)=2ln 2>0.故g (t )在(1,+∞)上单调递增，且g (1)=0，故g (t )>g (1)=0.综上所述：x 1+x 2>2，也就是1a +1b>2．2.1.3分析三：基于前面的分析，已经知道设1a =x 1，1b =x 2，则x 1(1-ln x 1)=x 2(1-ln x 2),即x 1ln x 1-x 2ln x 2x 1-x 2=1，欲证明：x 1+x 2>2，只需证：x 1+x 2>2×x 1ln x 1-x 2ln x 2x 1-x 2．即x 22-2x 2ln x 2>x 21-2x 1ln x 1，这明显是函数单调性的一种体现，构造函数并证明其单调性，从而证明x 1+x 2>2是自然的思路.解法三：（构造函数）证明：设1a =x 1，1b =x 2，则x 1(1-ln x 1)=x 2(1-ln x 2)，则x 1ln x 1-x 2ln x 2x 1-x 2=1,不妨设x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2<e .欲证明：x 1+x 2>2.只需证：x 1+x 2>2×x 1ln x 1-x 2ln x 2x 1-x 2．只需证：x 22-2x 2ln x 2>x 21-2x 1ln x 1．构造函数：g (x )=x 2-2x ln x ，x ∈(0,+∞)．则g ′(x )=2x -2-2ln x =2[(x -1)-ln x ] 0．（利用了：ln x x -1）故g (x )在(0,+∞)上单调递增，又x 1<x 2，故g (x 2)>g (x 1)即x 22-2x 2ln x 2>x 21-2x 1ln x 1．综上所述：x 1+x 2>2，也就是1a +1b>2．2.2再证明右边部分：1a +1b<e ．2.2.1分析一：受2.1.1的启发，设1a=x 1，1b =x 2，欲证：1a +1b<e ，即证x 1+x 2<e ，即证x 2<e -x 1（或x 1<e -x 2），我们完全可以仿照2.1.1的方式，构造函数来进行证明.解法一（对称化构造）：证明：设1a =x 1，1b=x 2则f (x 1)=f (x 2)，不妨设x 1<x 2．则0<x 1<1<x 2<e ．构造g (x )=f (x )-f (e -x )，0<x <1．则g ′(x )=f ′(x )+f ′(e -x )=-ln(ex -x 2)．易知g ′(x )单调递减，g ′(13)>0,g ′(12)<0故∃x 0∈(13,12)，使得g ′(x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(x 0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.又f (x )在(1,+∞)上单调递减，故f (1)>f (e -1)，故g (1)=f (1)-f (e -1)>0.又lim x →0g (x )=0.故g (x )>0,即f (x )>f (e -x )（0<x <1）.故f (x 2)=f (x 1)>f (e -x 1),因为0<x 1<1<x 2<e ，故1<x 2，1<e -x 1，函数f (x )在(1,+∞)上单调递减，故x 2<e -x 1，即x 1+x 2<e ，也就是1a +1b<e ．2.2.2分析二：2.1.2中涉及到的减元思想，同样可以用来证明1a +1b<e ．解法二：（比值代换）证明：设1a =x 1，1b=x 2则x 1(1-ln x 1)=x 2(1-ln x 2).不妨设x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2<e ，令t =x2x 1(t >1).由x 1(1-ln x 1)=x 2(1-ln x 2),可得(1-ln x 1)=x2x 1(1-ln t -ln x 1)，得ln x 1=1-t ln t t -1,要证明x 1+x 2<e ，只需证ln(x 1+x 2)<1．只需证ln(x 1+tx 1)<1.只需证ln(1+t )+ln x 1<1.只需证ln(1+t )+1-t ln t t -1<1.只需证(t -1)ln(1+t )-t ln t <0.构造函数g (t )=(t -1)ln(1+t )-t ln t ，(t >1).则g ′(t )=ln(1+t )-21+t-ln t =ln(1+1t )-21+t 1t -21+t =1-tt (1+t )<0（利用了：ln(1+x ) x ）.故g (t )在(1,+∞)上单调递减，且g (1)=0，故g (t )<g (1)=0．综上所述：x 1+x 2<e ，也就是1a +1b<e ．2.2.3分析三：微积分中有一种重要思想，以直代曲.分析此函数的图像（图1），当x 2距离点(e ,0)处较近时x 1+x 2较大，此时我们可以利用点(e ,0)处的切线g (x )=e -x 来代替点(e ,0)曲线，对x 2对应的函数值进行放缩.解法三：（切线放缩）证明：设1a =x 1，1b =x 2，则x 1(1-ln x 1)=x 2(1-ln x 2)．不妨设x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2<e ,函数f (x )=x (1-ln x )在(e ,0)处的切线方程为g (x )=e -x ．不难证明若x ∈(0,e )，g (x )>f (x )．设h (x )=g (x )-f (x )=x ln x -2x +e ，x ∈(0,e )则h ′(x )=ln x -1<0，故h (x )单调递减，h (x )<h (e )=0，故g (x )>f (x )．故f (x 1)=f (x 2)<g (x 2)，即x 1-x 1ln x 1=x 2-x 2ln x 2<e -x 2，故x 1-x 1ln x 1<e -x 2，故x 1+x 2-x 1ln x 1<e ，因为x 1ln x 1<0，故x 1+x 2<e ，也就是1a +1b<e .2.2.4分析四：在处理函数中的不等关系时，我们还常常用到一些函数不等式，如e x x +1，ln x x -1(x >0)，x >sin x (x >0)等等，借助于这些不等式研究其它函数中的不等关系，常常事半功倍.解法四：（常用不等式放缩）证明：设1a =x 1，1b=x 2，则x 1(1-ln x 1)=x 2(1-ln x 2)，不妨设x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2<e .由x 1(1-ln x 1)=x 2(1-ln x 2)，可得x 1ln e x 1=x 2ln e x 2．而x 2ln e x 2<x 2(e x 2-1)=e -x 2（利用到：ln x x -1）.x 1<x 1ln e x 1．故x 1<e -x 2，即x 1+x 2<e ，也就是1a +1b<e ．3问题根源如图2，二次函数图像是比较典型的轴对称，当x 1和x 2对应的函数值相等时，显然有x 1+x 2=2x 0（x 0是二次函数的一个极值点）．但是二次函数仅是我们的研究对象中的一种特殊函数，其图像是轴对称图形.大部分函数不是这个情况.比如本题中涉及到的函数，观察其图像（图3）可以发现：在yxO x 1x 2f (x )=x (1-ln x )g (x )=e -x 图1极值点x 0的左侧，函数单调递增，增长速度较快；在极值点x 0的右侧，函数单调递减，减少速度较慢；此时必然造成极值点x 0处于x 1，x 2的中点的右侧，这种情况，我们称为：极值点右偏.在这种情况下，显然x 1+x 2>2x 0，对于我们研究的函数f (x )=x (1-ln x )来讲，极值点x 0=1，所以有x 1+x 2>2.同样我们可以分析：当x 2距离极值点x 0=1较近时，x 1距离极值点x 0=1也较近，此时x 1+x 2的值与2比较接近；而当x 2距离点(e ,0)较近时，x 1距离点(0,0)较近，此时x 1+x 2的值与e 比较接近.且x 2由x 0向点(e ,0)运动的速度显然要比x 1向点(0,0)动的速度要快，这就不难理解为什么有x 1+x 2<e 了.基于以上分析，我们认为2<x 1+x 2<e ，即2<1a +1b<e 的根源就在于函数f (x )=x (1-ln x )在其极值点x 0=1左右两边的变化速度不一致造成的.当然，我们分析的是函数图像开口向下的情况，此种情况下函数中极值点右偏的情况与左偏类似，不再赘述.函数图像开口向上的情况下，也存在极值点偏移的情况，也不再一一分析.4小结基于以上分析，笔者认为2021年高考数学全国新课标1卷第22题，题干部分没有冗繁的文字描述，十分简洁，能让考生把注意力很快集中到数学问题的本质上.试题的第一问，考查利用导数判断函数单调性的方法，立足基础，起点低、入口宽，面向全体学生，注重通性通法和对数学思想的考查，淡化了特殊方法、技巧解题，这对高中数学的教学有积极的导向作用.试题的第二问，需对条件b ln a -a ln b =a -b 进行转化，发现f (1a )=f (1b)，才可以认清问题的实质是“极值点偏移”问题.在保持高考试题稳定的基础上，问题的情境有创新.在b ln a -a ln b =a -b 条件下，要求考生完成不等式2<1a +1b<e 的证明，凸显了本题对考生的数学抽象、逻辑推理，数学建模、数学运算等核心素养的考查，可以使不同层次的学生有不同的表现，很好的体现了高考试题服务选拔的功能.Ox 1x 0x 2xyxx 2x 0x 1O y e图2图3。
2021-2022年高考数学专题-排列组合
2．【高考全国Ⅰ卷理数
8】
x
y2 x
x
y5 的展开式中
x3 y3 的系数为
（）
A． 5
B．10
C．15
D． 20
【答案】C
【思路导引】求得 (x
y)5 展开式的通项公式为 Tr1
C5r x5r yr（ r N
且r
5
），即可求得
x
y2 x
与 (x
y)5
展开式的乘积为 C5r x6r yr 或 C5r x4r yr2 形式，对 r 分别赋值为 3，1 即可求得 x3 y3 的系数，问题得解．
【解析】 (1
1 x2
T1 C90 ( 2)9 16 2 ；若展开式的系数为有理数，则 r = 1,3,5,7,9 ，有 T2 ,T4 ,T6 ,T8 ,T10 共 5 个项．故答
案为：16 2 ， 5 ．
【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计 算要细心，确保结果正确． 7．(2016 年全国 II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加
3．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4 的展开式中 x3 的系数为
A．12
B．16
C．20
D．24
【答案】A
【解析】由题意得 x3 的系数为 C34 2C14 4 8 12 ，故选 A．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
4．【高考全国Ⅱ卷理数 14】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至
2021年高考数学试卷含解析(新高考II)
C. 5,6
【答案】B
【解析】∁ UB = 1,5,6 ,A ∩ ∁ UB = 1,6 , 选 B
D. 1,3
(
)
3. 抛物线 y2 ＝ 2pxp > 0 的焦点到直线 y ＝ x + 1 的距离为 2, 则 p =
A. 1
B. 2
C. 2 2
D. 4
【答案】B
(
)
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果 . 在卫星导航系统中, 地球静止同步卫星的轨
B. ω(2n + 3) = ω(n) + 1 D. ω(2n - 1) = n
【答案】ACD 【解析】令 n = a0 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 则 2n = 0 ∙ 20 + a0 ⋅ 21 + a1 ⋅ 22 +⋯+ak-1 ⋅ 2k + ak ∙ 2k+1,ω(2n) = 0 + a0 + a1 +⋯+ak = ω(n),A 正确 . 下证明 : 若 n 为偶数 n ∈ N * , 则 ω(n + 1) = ω(n) + 1. 证明 : 因为 n 为偶数, 所以 n = 0 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 则 n + 1 = 1 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 所以 ω(n) = 0 + a1 +⋯+ak,ω(n + 1) = 1 + a1 +⋯+ak = ωn + 1. 选项 B, 取 n = 2 可排除 . 或者 ω(2n + 3) = ω2n + 1 + 1 = ω2n + 1 + 1 = ωn + 1 + 1, 不能保 证与 ω(n) + 1 恒等 .B 错误 . 选项 C,ω(8n + 5) = ω(8n + 4 + 1) = ω(8n + 4) + 1 = ω(2n + 1) + 1 = ω(2n) + 2 = ω(n) + 2;ω(4n + 3) = ω(4n + 2) + 1 = ω(2n + 1) + 1 = ω(n) + 2.C 正确 . 选项 D, ∵ 2n - 1 = 20 + 21 + 22 +⋯+2n-1, ∴ ω(2n - 1) = n. 或者, 当 n ≥ 2 时,ω(2n+1 - 1) = ω22n - 1 + 1 = ω22n - 1 + 1 = ω(2n - 1) + 1. 又 ∵ ω(3) = 2,ω(1) = 1, ∴ ω(3) = ω(1) + 1. 即对 ∀ n ∈ N * 有 ω(2n+1 - 1) = ω(2n - 1) + 1, ∴ ω(2n - 1) 为首项为 1, 公差为 1 的等差数列 . ∴ ω(2n - 1) = n.D 正确 . 故选 ACD.
个人业绩综述材料
个人业绩综述材料一、自然状况及主要经历（1）该同志1962年10月出生于湖北省天门县，政治面貌为中国民主建国会会员．是中国教育学会数学教育发展中心“中小学数学”杂志社高中数学理事、中国教育学会考试专业委员会理事、海南省数学会理事、海口市专业技术拔尖人才、海口市骨干教师．（2）该同志的学历：大学本科，毕业于北京师范大学数学与应用数学专业．（3）该同志在1985-1996任湖北省江汉油田三机厂中学高中数学教师（1993年聘为一级教师、其间任班主任7年，教务处副主任3年），在1996-1997由湖北省教委安排支边任新疆塔里木油田中学高中数学一级教师、班主任，在1997-1999任龙尾山中学高中数学一级教师、实验班的班主任，一级教师的任期内年度考核均为优秀．．．．；在1999-2005任海南国科园实验学校高中数学高级教师（2001年聘为高级）、班主任，在2005-2006年任海师附中任数学高级教师、数学学科带头人（其间做班主任一年，备课组长一年）．2007-现在任省重点海南华侨中学高中数学教师、数学教研副组长兼任高三备课组长．在2004——2009期间连续6年的年度考核均为优秀．．．．．（4）该同志现任海南华侨中学数学教研组副组长、高三数学备课组长．（5）该同志2001年9月被海南省劳动从事厅评定为中学数学高级教师．（6）该同志2008年7月被海口市人民政府和中共海口市市委授予“海口市专业技术拔尖人才”称号．◇政治思想与师德品质——该同志坚持党的基本路线，热爱并忠诚于祖国，忠诚于人民的教育事业，全面贯彻执行国家的教育方针，坚持素质教育思想，一贯模范履行教师职责和做教师的公共责任，秉行“学为人师，行为世范”的校训，教书育人，为人师表，为人诚信，具有崇高的职业道德和无私奉献精神；教书育人有突出贡献，在海口市、海南省数学界威望较高，是试题创作、考试评价方面的专家．——该同志具有中学高级教师职务；精通业务，治学严谨，对所从事专业学科具有系统的、坚实的理论知识和丰富的教学经验和深厚的学术功底，及时把握现代知识更新动向和本学科的学术发展动态，在数学学科教学领域和学术领域里处于引领地位．二、从事专业技术工作的主要业绩◇教育部课程研究所“十一五”科研规划的子课题研究——该同志负责承担的教育部课程研究所“十一五”科研规划课题《新课程课堂教学与创新思维的构建》子课题《新课程模块试题创作研究》参与“数学教育交流站”的资料建设和在线交流，并把其成果写成了十本书由华东师范大学出版社出版发行，为课改做出了突出贡献，该子课题于2008年12月28日顺利结题．——该同志负责承担的教育部课程研究所“十一五”科研规划课题《新课程课堂教学与创新思维的构建》子课题《校本课程开发研究》参与“数学教育交流站”的资料建设和在线交流，并完成了课程申报书（课程纲要）和教材的编写工作，为课改做出了突出贡献，该子课题于2008年12月28日顺利结题．——该同志负责承担的教育部课程研究所“十一五”科研规划课题《新课程课堂教学与创新思维的构建》子课题《考试性质研究》参与“数学教育交流站”的资料建设和在线交流，并把其成果写成了论文分别在《数学通报》上发表论文两篇，在《考试研究》发表论文三篇．为课改做出了突出贡献，该子课题于2008年12月28日顺利结题．——该同志负责承担的教育部课程研究所“十一五”科研规划课题《新课程课堂教学与创新思维的构建》子课题《高中数学研讨教学法研究》参与“数学教育交流站”的资料建设和在线交流，该教学法在湖北省实验多年并被华中师范大学伍家德教授推广，1995年由华中师范大学出版社出版了36万字的专著《高中数学研讨学习法》，该教学方法在2006底教育部教材研究在海口市召开的研讨会作了专题介绍．现在选取海南华侨中学的高三（3）、（4），高二（12）、（14）班作课题实验，为课改做出了突出贡献，该子课题于2008年12月28日顺利结题．◇教学业绩（可查阅/jiaoxue/jingsai.doc）（可查阅/index/1142644.jspx?articleId=7888904）该同志获得中国数学会颁发全国高中数学联合竞赛优秀教练员．2）高考教学主要成绩该同志分别在2001、2002、2003、2004年担任高三数学教学，数学成绩过800分的学生有8人次，其中曾彪（2004）（数学单科成绩861分）．2007年任侨中高三数学教师所带的高三（1）班数学成绩第一名．现任海南华侨中学高三重点班高三（3）、（4）班的数学教学和年级培优工作．◇教研工作1）积极参与省教培院的教学研究工作——参与《海南省07年高考数学科考试说明》的制定、修订工作；——参与并主编了选修1-1学生指导用书的工作（海南出版社）和教师用书（电子版）；——参与教研院新课程培训工作、青年数学教师说课评比和选拔工作；——作为教育十一五重点课题“新课程课堂教学和创新思维的建构”的“新课标配套试题研究”等4个子课题个人承担负责人，与罗才忠老师合写了必修、选修十本教材配套书（华东师大出版社）；——参加了07年高考说明的专家论证工作；——参加了07年高三备考培训班的培训讲座；——2006年8月，在海南省新教材培训工作中，分别在高一数学教师“岗前”培训班、高二数学教师“跟进班”作关于“新教材的配套试卷的制作”的专题讲座；——承担“海南、宁夏07年高考联合模拟试卷”的制作、校稿和审稿；——参加海南省07届高三数学调研试卷的命题工作，并且是试卷命题组的主要成员；——参加海口市07、08年适应考试的命题工作提供了09年多数试题；——负责海南省2008年、2009年高三综合检测题的制作（理、文试题（一）、（二））；——负责07、08、09年高考阅卷与评价、分析工作，对试卷评价论文《2007高普通高校统一招生考试数学试题（理）（海南、宁夏）的评价与分析报告》一文在《考试研究》杂志第6期上发表，并获得中国教育学会考试专业委员会2007年一等奖．和蔡芙蓉合写的论文《海南省2008年普通高等学校招生全国统一考试（理科）试题分析》一文发表在《考试研究》第5期上发表，并获得中国考试专业委员会2008年一等奖．和蔡芙蓉合写的论文《海南省2009年普通高等学校招生全国统一考试数学学科试题分析》一文发表在《考试研究》第5期上发表，并获得中国考试专业委员会2009年二等奖；——该同志负责2009年10月21日，组织了以“海南华侨中学与全省高中数学教师交流平台”为名的网上在线研讨交流活动．2）积极参加市教育研究的教研工作——参与市高三中心备课组的调研命题与教学研究工作；——2008年2月根据市教院安排授受了济南市学科带头人杨育红、张健、张秀珍三位的跟班学习，2009年2月根据市教院安排接受了济南市学科带头人刘新利跟班学习；——07年高考解析几何试题分析2008年4月海口市高中数学教师暨与济南市学科带头人交流活动报告——高考数学试题中递推数列解题模式研究2009年4月海口市高中数学教师暨与济南市学科带头人交流活动报告——教材和试题中题目的变式设计与研究（此次报告省、市电视台做了报道）2009年2月分别在全市数学教师、全国22次高中课程改革研讨会作报告——中学数学教师怎样写论文2009年10月在海口市高中数学教师研讨会作报告3)积极参与新课程改革交流与学术活动——2005年11月参加数学专业委员会第12届年会，在会上作了优秀论文交流发言；——2005年12月接受人教出版社的邀请，在教材修订会就选修·数学·1-1中的问题作专题发言，有相当多的建议被人教社采纳，现在仍然是人教社教材修订指定成员；——应邀参加2006年11月28日～12月3日在海口召开的“全国人教A版普通高中数学课程标准实验教材经验交流会”，在会上代表安徽、海南两省作大会交流发言，发言的观点、成果受到同行和专家的充分肯定．——积极参加博客网络教研活动，并常在成长博客发表教学论文、交流教学经验和模块教学测试试卷．——2008年11参加中国教育学会考试专业委员会青岛暨学术交流活动中，被邀请做论文交流，题目为《海南省2008年普通高等学校招生全国统一考试数学科试卷分析》．——2009年11月24日在海南省中学数学专业会年会上作获奖论文《在新课程背景下数学变式问题的设计的实践与研究》汇报报告．◇教学水平与教育教学研究能力——该同志是学者型的教师．教学方法独特，教学深受学生的爱戴和同事的认可，实施的研讨法教学既有理论研究又有实践经验，课堂教学气氛活跃，教学效果有效实用．——该同志践行课程改革的实事求是，为课程改革做了大量的研究工作，2007年8月担任海南省远程研修的海口市数学班主任，为提高教师专业水平做了一些有益的工作．课改之初，研究了新课程的配套试题分别在华东师范大学出版社出版发行，《考试报》等中学生报刊发表了大量新课程配套的试题和论文．——该同志学术水平在全省处于引领水平，在全国也有一定的知名度．在基础理论研究、解题思想方法、考试试题研究、考试分析与评价等方面做了大量的研究工作．其成果分别在《数学通报》2篇（国家级核心刊物）、《中小数学》3篇（教育部主管刊物）、《中学数学》（中学数学知名刊物）1篇、《考试研究》3篇（中国教育学会考试定点刊物）、《新课程实验与研究》1篇、《试教通讯》1篇（人民出版社、教育部教材研究所主办）．个人出版36万字专著《高中数学研讨学习法》（武汉：华中师范大学出版社）．——该同志在2009年2月，有全国300多名重点中学校长参加的全国22次高中课程改革研讨会上作学术报告《教材和试题中题目的变式设计与研究》受到了全国多名知名校长的肯定（此次报告省、市电视台做了报道）．◇指导教师进行教学、教研能力——受市教院委托，2008年4月接受了济南市学科带头人杨育红、张健、张秀珍的为期一周的跟班听课学习和学术交流活动；2009年4月接受了济南市学科带头人刘新利的为期一周的跟班听课学习和学术交流活动；——在海师附属中学期间，作为海师附中学科带头人，备课组长在2006年下半年指导青年教师王小莉、王艳、翁立娜（师徒关系）、吴多耀、苏伟完成了人教社·数学A 版·选修1—1教学研究工作，其研究成果获得教育部课程教材研究所的论文一等奖；——2009年，指导徒弟孙元勋参加省、市青年教师优质课比赛，获得市优质课一等奖，省优质课二等奖．指导徒弟林五虚参加教育部教材研究所、省、市教育学会论文比赛获得全国一等奖和省一等奖；——2009年2月，作为数学科组长兼备课组长指导青年教师马莉承担了，有全国300多名知名中学校长参加的第22次高中课程改革研讨会的优质展示课《组合数》，马老师获得了成功，并受到高度肯定；——2009年，作为数学科组长兼备课组长指导青年教师黄玲玲的优质课《几何概型》的全过程，她的课获得市、省、全国的一等奖；——2009年12月，作为数学科组长指导青年教师张红的优质课《导数几何意义》获得海口市青年教师优质课一等奖的第一名，继续指导她参加下一步参加省、国的优质课比赛；——近五年一直指导着青年教师林五虚、孙元勋、李玉玲、古其远、吴维宝、刘中维、徐香、马莉、黄玲玲、李诲等人参与“十一五”课题研究，通过他们的课题实验，由该同志负责的4个子课题顺利结题了，并且以黄玲玲、马莉为主编必修一、必修二的教辅资料也由华东师范大学出版社出版发行．◇公开出版的专著、编著、发表论文、试题个人专著[1]《高中数学研讨学习法》．武汉：华中师范大学出版社，1995.1，360千字，个人独著，书号为7562214687ISBN---．与他人合作编著[2]《高中新课程同步学习手册·数学·（配人教版选修1－1）》．海口：海南出版社，2006.8，120千字，任本册主编，书号为7544315592/616---．ISBN G[3]《数学新高考复习设计·下册,文科》．北京：人民教育出版社，2006.8，独自编写了第1、第2和第3单元,任编委,书号ISBN7-107-19884-x/G634.603．[4]《数学新高考复习设计·下册,理科》．北京：人民教育出版社，2006.8，独自编写了第1、第2和第3单元．任编委, 书号ISBN7-107-19923-4/G634.603．[5]《普通高中数学课程标准必修课程配套测试卷·数学1》．上海：华东师范大学出版社，2006，6，罗才忠\李红庆．书号ISBN7-5617-4775-6/G634.605．[6]《普通高中数学课程标准必修课程配套测试卷·数学2》．上海：华东师范大学出版社，2006，6，李红庆\罗才．书号ISBN7-5617-4776-4/G634.605．[7]《普通高中数学课程标准必修课程配套测试卷·数学3》．上海：华东师范大学出版社，2006，6，罗才忠\李红庆．书号ISBN7-5617-4777-2/G634.605．[8]《普通高中数学课程标准必修课程配套测试卷·数学4》．上海：华东师范大学出版社，2006，6，李红庆\罗才忠．书号ISBN7-5617-4778-0/G634.605．[9]《普通高中数学课程标准必修课程配套测试卷·数学5》．上海：华东师范大学出版社，2006，6，罗才忠\李红庆．书号ISBN7-5617-4779-9/G634.605．[10]《普通高中数学课程标准选修课程配套测试卷·数学1-1》．上海：华东师范大学出版社，2006，8，罗才忠\李红庆．书号ISBN7-5617-4931-7/G634.605．[11]《普通高中数学课程标准选修课程配套测试卷·数学1-2》．上海：华东师范大学出版社，2006，8，李红庆\罗才忠．书号ISBN7-5617-4932-5/G634.605．[12]《普通高中数学课程标准选修课程配套测试卷·数学2-1》．上海：华东师范大学出版社，2006，8，罗才忠\李红庆．书号ISBN7-5617-4933-3/G634.605．[13]《普通高中数学课程标准选修课程配套测试卷·数学2-2》．上海：华东师范大学出版社，2006，8，李红庆\罗才忠．书号ISBN7-5617-4934-1/G634.605．[14]《普通高中数学课程标准选修课程配套测试卷·数学2-3》．上海：华东师范大学出版社，2006，8，罗才忠 \李红庆．书号ISBN7-5617-4935-X/G634.605．公开发表在杂志上的论文[15] 《“沿袭”与“创新”永远是高考命题的主旋转律》．北京：《数学通报》2008．3．独著．[16]《一览庐山真面目方知身在此山中》．北京：《数学通报》2009．8．独著．[17] 《关于数学解题中“由等式发现方程的根”——关于“方程的根的含义”的几点思考》．武汉：《中学数学》2009．11．独著．[18] 《谈高考数学试题中递推数列解题模式研究》．北京：《中小学数学》2008．11．独著．[19] 《犹抱琵琶半遮面——谈高考试题解答的真实与谎言》．北京：《中小学数学》2009．1-2．独著．[20] 《太阳高度角——数学教师亟待注入的一杯水》．北京：《中小学数学》2008．1-2．独著．[21]《普通高中课程标准实验教科书教学的困惑、反思、领悟、对策》．海口：《新课程实验与研究》，2005.11－12，独著．[22] 《海南省2007年高考数学试题分析与评价报告》．南京：《考试研究》2007．6．独著．[23] 《海南省2008年普通高等学校统一考试数学科（理科）试题分析》．南京：《考试研究》2008．5．与蔡芙蓉合著．[24] 《海南省2009年普通高等学校招生全国统一考试数学学科试题分析》．南京：《考试研究》．2009．5．与蔡芙蓉合著．[25]《领悟教材精髓、调整教学心态、转变教学方法》．北京：人教出版社和教材研究所刊物《试教通讯》（数学·A版专辑），2006.4，独著．发表在数学报纸上的论文[25] 《在新课标下递推数列的探究》．海口：《考试报》（教师版）2005.12.16，独著．[26] 《关于四种命题的几点思考》．郑州：《数学周刊》2006.5，独著．[27] 《2007年高考数学压轴题型预测(文)》．海口：《考试报》2007.3，独著．[28] 《2007年高考数学压轴题型预测(上)(下)》．海口：《考试报》2007.3，独著．[29] 《几何证明选讲解法探究》．海口：《考试报》2007.3，与蔡芙蓉合著．[30] 《2007年高考数学客观题点通》．海口：《考试报》2007.9，独著．[31] 《统计案例考点分析》．海口：《考试报》2006.12，独著．[32] 《《框图》复习要点》．海口：《考试报》2006.12，独著．[33] 《诱导公式在解题中的应用》．北京：《课程导报》2007.6，独著．[34] 《离散数学中一个古老而前沿的话题》．海口：《考试报》2006.9，独著．[35] 《跳伞中的排列问题》．北京：《课程导报》2006.9，独著．[36] 《利用导数求函数的最值》．海口：《考试报》．2007．12．[37] 《2007年高考数学主观题评析》．海口：《考试报》．2007．12．[38] 《独立性检验的基本思想及初步应用导学》．郑州：《中学生学习报》．2008．1．独著．[39] 《回归分析的基本思想及初步应用导学》．郑州：《中学生学习报》．2008．1．独著．[40]《2008年高考（理）数学压轴题预测》．海口．《考试报》．2008．4．与郑由禄合著．[41] 《2008年高考（文）数学压轴题预测》．海口．《考试报》．2008．4．与郑由禄合著．[42]《生活中的算法程序问题》．北京．《课程导报》．2009．2．独著．[43]《流程图易错点剖析》．郑州．《中学生学习报》．2009．4．独著．[44]《几何证明选讲典例解法探究》．武汉．《考试指南报》．2009．4．与蔡芙蓉合著．[45]《概率备考复习要点》．武汉．《考试指南报》．2009．11．独著．[46]《平面解析几何专题重要考点透视》沈阳。
2021山东春季高考数学真题(含答案)
2021山东春季高考数学真题（含答案）山东省2021年普通高校招生（春季）考试数学问题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。
满分120分，考试时间120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.本考试允许使用函数计算器。
对于使用计算器的问题，除非对问题有具体要求，否则最终结果精确到0.01。
卷一（选择题，共60分）一、多项选择题（这道主题有20个子题，每个子题有3分，总共60分。
在每个子题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）B2,3?， 1.已知集合a？？1,3?，然后是a？B等于（）a.?b.?1,2,3?c.?1,2?d.?3?[答：]B[分析]因为a？？1,3?, B2,3?, 那是一个？B1,2,3?. 2.如果集合a和B已知，那么“a？B”是（）a.充分不必要条件b.必要不充分条件c、充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】b【解析】?a?b?a?b，又a?b?a?b或a?b，?“a?b”是“a?b”的必要不充分条件.3.不等式x?2?3的解集是（）A.5.1.B5,1? C1.5.D1,5?【答案】a【解析】x?2?3x?2?3?x?1，即不等式的解集为x?2??3?x??5,?51,.4.奇数函数y？F十、哪里0如果屏幕上的图像如图所示，则该函数位于，0上的图像可能是（）第4题图gd21gd22gd23gd24gd25【答案】d【解析】因为已知是奇函数，根据奇函数的性质是关于原点对称，根据选项只能选d.5.如果实数a>0，则以下等式成立（）a.??2??2?4b.2a?3??210?2c.??2a3??1?1??1d.?a4??A.4.在【答案】d【分析】A？？2.110? 3.B中的2a？23，C？？2.1.因此，D选项是正确的。
4A6已知序列？一是等比序列，其中A3？2，a6？16，那么序列的公共比率Q等于（）a.14b。
【高考数学考点突破】分类讨论思想(2020-2021)
难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值.［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由S n =4(1–n 21），得 221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立. 当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得 23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立.当c =3时，因为S 1=2，S 2=3， 所以当k =1，k =2时，c ＜Sk因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2 所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS cS k k 成立.［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||bbx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x aby -+-= 由x –a ≠0，得ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0 若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD ∴COACOACOA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵xy COA ||tan =)1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a ) 以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x aby -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan kk-=-=θθθ 又tan2θ=–b ∴–b =212k k- ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x abkx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x kkkx a --=+ ③ 又xyk =，代入③，有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a =1时，④表示抛物线弧段.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nnnn n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种 二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ；（3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ； （3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解. 当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 2.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. （2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增.从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种. 答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0}, 由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2； 由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22） 三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根. 若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0. 将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得01)1()1(20=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）. 若x 0=–21，则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾.又由A ∩B ≠∅,∴x 0=1x ，即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1 ∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x ,y )，则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程. （1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线； （2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()(即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1 记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1 ∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,…… 由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b1. 因b ≠1，得∑==nk n x 1(x k –x k –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n （2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知 f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知 当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b ); 当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1∵ba b a x b x f 4)2()(22+--= ∴ba b a f 4)2(2=≤1∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性： 对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1) 即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1. 因为b ＞1，可以推出f (b 1)≤1即a ·b1–1≤1， ∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1 即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1 即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1 即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.。
山东省济南市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析
A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B． 年以来，国家财政性教育经费的支出占 比例持续 年保持在 以上
【详解】
设 ，在 中，由余弦定理得 ，
则 ，从而 ，
由正弦定理得 ，即 ，
从而 ，
在 中，由余弦定理得： ，
则 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
12．如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（）
A． B． C． D．
【分析】
(1)运用分层抽样，结合总场次为100，可求得 的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;
(2) ①由公式可计算 的值，进而可求 与 的回归直线方程；
②求出 ，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时 的值.
【详解】
解：（1）抽样比为 ，所以 分别是，6，7，8，5
所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和为 ；若对 均满足 ，求整数 的最大值；
（3）是否存在数列 满足等式 成立，若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由．
【答案】（2） ， （2） ， 的最大整数是2．（3）存在，
【解析】
【分析】
（2）由 可得 （ ），然后把这两个等式相减，化简得 ，公差为2，因为 ， ， 为等比数列，所以 ，化简计算得， ，从而得到数列 的通项公式，再计算出 ， ， ，从而可求出数列 的通项公式；
2021版新高考数学(山东专用)一轮学案：第二章第十一讲导数的概念及运算
第十一讲 导数的概念及运算ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，把式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，还可以表示为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．导数的概念(1)f (x )在x ＝x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作：y ′|x ＝x 0或f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时，f ′(x )即为f (x )的导函数，简称导数，即y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝0(C 为常数)；(2)(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *) (3)(sin x )′＝cos_x ;_ (4)(cos x )′＝－sin_x ； (5)(a x )′＝a x ln_a ;_ (6)(e x )′＝e x ； (7)(log a x )′＝1x ln a ； (8)(ln x )′＝1x .4．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ). (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ). 特别地：[C ·f (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数) (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．知识点二 导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).重要结论1．[1f (x )]′＝－f ′(x )f 2(x ).2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是( ABC )A ．在曲线y ＝f (x )上某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义相同B ．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线C ．(sin π3)′＝cos π3D ．[ln(－x )]′＝1x[解析] 对于A ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线，点P 在曲线上，而过点P (x 0，y 0)的切线，点P 可以在曲线外．对于B ，如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．对于C ，(sin π3)′＝0，D 正确；故选A 、B 、C ．题组二 走进教材2．(选修2－2P 18A T4改编)计算： (1)(x 4－3x 3＋1)′＝4x 3－9x 2； (2)(x e x )′＝e x ＋x e x ； (3)(sin x ·cos x )′＝cos2x ； (4)(1ln x )′＝－1x ln x.3．(选修2－2P 18A T5改编)已知函数f (x )＝2xf ′(1)＋x ln x ，则f ′(1)＝( C ) A ．e B ．1 C ．－1D ．－e[解析] f ′(x )＝2f ′(1)＋ln x ＋1， 当x ＝1时，f ′(1)＝2f ′(1)＋1， ∴f ′(1)＝－1，故选C ． 题组三 考题再现4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x .[解析] 因为y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x ，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .5．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是(e,1).[解析] 设A (x 0，ln x 0)，又y ′＝1x ，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x－x 0)，将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)，化简得ln x 0＝ex 0，解得x 0＝e ，则点A的坐标是(e,1)．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 导数的基本运算——师生共研例1 (1)求下列函数的导数． ①y ＝ln x ＋1x ；②y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； ③y ＝x －sin x 2cos x2；④y ＝cos x e x ；⑤y ＝ln 1－2x 2； ⑥y ＝e 2x cos3x .(2)若函数f (x )＝ln x －f ′(1)x 2＋3x －4，则f ′(3)＝－143.[分析] ①直接求导；②③化简后再求导；④利用商的导数运算法则求解；⑤⑥用复合函数求导法则求导．(2)先求出f ′(1)得出导函数的解析式，再把x ＝3代入导函数解析式得f ′(3)． [解析] (1)①y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x )′＝1x －1x 2.②因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3. 另解：y ′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′ ＝4x (3x ＋1)＋3(2x 2－1)＝12x 2＋4x ＋6x 2－3 ＝18x 2＋4x －3.③因为y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，所以y ′＝(x －12sin x )′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .④y ′＝(cos xe x )′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.⑤y ＝ln 1－2x 2＝12ln(1－2x 2)，令u ＝1－2x 2，则y ＝ln 1－2x 2由y ＝12ln u 与u ＝1－2x 2复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(12ln u )′·(1－2x 2)′＝12u ·(－4x )＝－2x 1－2x 2.⑥y ′＝(e 2x )′cos3x ＋e 2x (cos3x )′＝2e 2x ·cos3x －3e 2x sin3x ＝e 2x (2cos3x －3sin3x )．(2)对f (x )求导，得f ′(x )＝1x －2f ′(1)x ＋3，所f ′(1)＝1－2f ′(1)＋3，解得f ′(1)＝43，所以f ′(x )＝1x －83x ＋3，将x ＝3代入f ′(x )，可得f ′(3)＝－143.名师点拨 ☞导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．〔变式训练1〕 (1)填空①若y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝3x 2＋12x ＋11； ②若y ＝e x ln x ，则y ′＝e x (1x ＋ln x )；③若y ＝tan x ，则y ′＝1cos 2x； ④若y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x ，则y ′＝(3－x 2)e 2－x ；⑤若y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1，则y ′＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x ＋1).(2)f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0＝1.(3)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝－2. (4)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝2.[解析] (1)①y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，所以y ′＝3x 2＋12x ＋11. ②y ′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x (1x＋ln x )．③y ＝tan x ＝sin x cos x ，∴y ′＝cos x ·cos x －(－sin x )sin x cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x . ④y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′ ＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)·(－e 2－x ) ＝(3－x 2)e 2－x .⑤y ′＝[ln (2x ＋3)]′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2＋1)－2x ln (2x ＋3)(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.(2)f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ·1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得x 0＝1.故填1.(3)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，因为f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，所以f ′(－1)＝－2.故填－2. (4)解法一：令t ＝e x ，故x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，所以f ′(1)＝2.解法二：f ′(e x )＝1＋e x ，f ′(1)＝f ′(e 0)＝1＋e 0＝2.故填2.考点二 导数的几何意义——多维探究角度1 求曲线的切线方程例2 已知曲线f (x )＝x 3－x ，则(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为2x －y －2＝0；(2)曲线过点(1,0)的切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0；(3)曲线平行于直线5x －y ＋1＝0的切线方程为5x －y －42＝0或5x －y ＋42＝0. [分析] (1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得； (2)由于在点P 处的切线平行于直线5x －y ＋1＝0，则在点P 处的切线斜率为5. [解析] f ′(x )＝3x 2－1.(1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2. ∴所求切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)设切点为P (x 0，x 30－x 0)，则k 切＝f ′(x 0)＝3x 20－1， ∴所求切线方程为y －x 30＋x 0＝(3x 20－1)(x －x 0)， 又切线过点(1,0)，∴－x 30＋x 0＝(3x 20－1)(1－x 0) 解得x 0＝1或－12.故所求切线方程为y ＝2(x －1)或y －38＝－14(x ＋12)即2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0.(3)设切点坐标为(x 0，x 30－x 0)，则k 切＝3x 20－1＝5解得x 0＝±2，故切点为(2，2)或(－2，－2)所以所求切线方程为y －2＝5(x －2)或y ＋2＝5(x ＋2)即5x －y －42＝0或5x －y ＋42＝0.名师点拨 ☞求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程和求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．(2)在点P 处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 注：也可利用f ′(x 1)＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝k 切求切点坐标(x 1，y 1)，有几组解就有几条切线．角度2 求切点坐标例3 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为( A )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[解析] 对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1,1)．故选A ．角度3 求参数的值(或范围)例4 (2019·全国卷Ⅲ，5分)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( D )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1[解析] 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′| x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( C ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0(2)(角度1)过点(1，－1)的曲线y ＝x 3－2x 的切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. (3)(角度2)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( C )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)(4)(角度3)(2018·课标Ⅲ，14)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝－3.[解析] (1)依题意得y ′＝2cos x －sin x ，y ′| x ＝π＝(2cos x －sin x )| x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0，故选C ．(2)设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. (3)由题意知y ′＝3x＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，故点P 0的坐标是(1,3)．(4)本题考查导数的综合应用．设f (x )＝(ax ＋1)e x ，则f ′(x )＝(ax ＋a ＋1)e x ，所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升两曲线的公共切线问题例5 (2020·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝( C )A ．1B ．12C ．1－ln 2D ．1－2ln 2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)．化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.故选C ．[引申]本例中两曲线公切线方程为y ＝2x ＋1－ln_2. [解析] k ＝1x 1＝2，∴公切线方程为y ＝2x ＋1－ln 2.名师点拨 ☞同时和曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )都相切的直线称为两曲线的公共切线．设直线与曲线y ＝f (x )切于(x 1，f (x 1))与曲线y ＝g (x )切于(x 2，g (x 2))，则切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，即y ＝f ′(x 1)x ＋f (x 1)－f ′(x 1)x 1同理y ＝g ′(x 2)x ＋g (x 2)－g ′(x 2)x 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 1)＝g ′(x 2)f (x 1)－f ′(x 1)x 1＝g (x 2)－g ′(x 2)x 2，解出x 1、x 2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数．〔变式训练3〕若曲线y ＝x ＋ln x 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1存在过点(0，－1)的公切线，则a ＝8. [解析] 设直线l 与曲线C ：y ＝x ＋ln x 切于P (x 0，x 0＋ln x 0)，则k 切＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 0.∴1＋1x 0＝x 0＋ln x 0＋1x 0，解得x 0＝1，∴切线l 的方程为y ＝2x －1.又直线l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切．∴方程2x －1＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1即ax 2＋ax ＋2＝0的判别式Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8或0(舍去)．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。