九年级数学上册第22章《二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质》教学课件(人教版)
问此球能否投中？
课堂小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y =a（x - h）2 +k 与抛物线 y = ax2 的区 别与联系是什么？
课后作业
教科书习题 22.1，第 5 题（2）（3），第 7题（1）．
归纳：
一般地，当 a＜0 时，抛物线 y =a（x - h）2 的对称轴 是 x = h，顶点是（h，0），开口向下，顶点是抛物线的 最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．
类比探究
抛物线 y =- 1（x + 1）2， y =- 1（x - 1）2 与抛物线
在同一直角坐标系中，画出二次函数
y =- 1（x + 1）2， y =- 1（x - 1）2 的图象，并探究它们
2
2
的图象特征和性质．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· －2
0
－2 －4.5 －8 ···
··· －8 －4.5 －2
0
－2 ···
－4
y=－ 21﹙x+1﹚2
y
1
x2
2 有什么关系？
2
2
抛物线 y =a（x - h）2与抛物线 y = ax2 有什么关系？
归纳: 当 h＞0 时，把抛物线 y = ax2 向右平移 h 个单位长
度，就得到抛物线 y =a（x - h）2 ；
当 h＜0 时，把 y = ax2 向左平移｜h｜个单位长度，
就得到抛物线 y =a（x - h）2．
归纳总结
抛物线 y =a（x - h）2 +k 有如下特点： （1）当 a＞0 时，开口向上；当 a＜0 时，开口 向下． （2）对称轴为直线 x = h． （3）顶点坐标（h，k）． 如果 a＞0，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大；如果 a＜0，当 x ＜h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的 增大而减小．
y
3
B(1，3)
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
A
∵这段抛物线经过点(3,0)
2
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y=
－
3 4
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
C(3,0)
O 123 x
当x=0时, y=2.25
∴水管长应为2.25m.
巩固练习
1. 按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）,
求该抛物线线的解析式 . （2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向
不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式.
2. 一场篮球赛中, 小明跳起投篮, 已知球出手时离地面 高20/9米, 与篮圈中心的水平距离为8米, 当球出手后水 平距离为4米时到达最大高度4米, 设篮球运行的轨迹为 抛物线, 篮圈中心距离地面3米.
抛物线 y 1 (x 1)2 1
2
y 1 x2 2
有什么关系?
y
1
平移方法1:
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
y 1 (x 1)2 1
-2
2
y
1 2
x2
向下平移 1个单位
y 1 x2 1 2
-3 -4
-5
向左平移 y 1 (x 1)2 1
-6 -7
1个单位
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一
根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线
形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度
为 3 m，水柱落地处离池 中心 3 m，水管应多长？
y/m 3 （1，3）
2
1
O 1 2 3 x/m
解: 如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是
－2 －2 －4
－6
24
y=－ 12﹙x-1﹚2
通过对二次函数 y =- 12（x + 1）2， y =- 12（x - 1）2的 探究，你能说出二次函数 y =a（x - h）2 的图象特征和
性质吗？
探究归纳
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y =a（x - h）2 的对称轴
是 x = h，顶点是（h，0），开口向上，顶点是抛物线的 最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大．
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4
-5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 (x 1)2 1
2
继续探究
你能说出 它与抛物线 y
y= 1
1（x + 1）2 -1 的图象特征和性质吗？ 2 x2 有什么关系？你能说出
2
y =a（x - h）2 +k 的图象和性质吗？
2
-8
-9
平移方法2:
-10
x=－1
y
1 2
x2
向左平移 1个单位
y
1 (x 1)2 2
向下平移 1个单位
y 1 (x 1)2 1 2
归纳: 一般地，抛物线 y =a（x - h）2 +k与 y = ax2 形状相
同，位置不同．把抛物线 y = ax2向上（下）向左（右） 平移，可以得到抛物线 y =a（x - h）2 +k ．平移的方向、 距离要根据 h，k 的值来决定．
22.1.3 二次函数y= a(x–h)²+k的图象和性质
目标重点
学习目标： 会用描点法画出二次函数 y =（x - h）2 y =（x - h）2+ k
的图象， 通过图象了解它们的图象特征和性质．
学习重点： 观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质．
回顾探究
（1）二次函数 y = ax2，y = ax2+k 的图象是什么？ （2）它们具有怎样的图象特征和性质？ （3）你是怎么研究的？
例题探究
例3. 画出函数
y
1 2
(
x
1)2
1
的图象.
指出它的开口方向、
顶点与对称轴.
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5
2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5
…
再描点，后连线.
抛物线的开口向下 对称轴是直线 x=－1 顶点是(－1, －1)
课堂小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y =a（x - h）2 +k 与抛物线 y = ax2 的区 别与联系是什么？
课后作业
教科书习题 22.1，第 5 题（2）（3），第 7题（1）．
归纳：
一般地，当 a＜0 时，抛物线 y =a（x - h）2 的对称轴 是 x = h，顶点是（h，0），开口向下，顶点是抛物线的 最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．
类比探究
抛物线 y =- 1（x + 1）2， y =- 1（x - 1）2 与抛物线
在同一直角坐标系中，画出二次函数
y =- 1（x + 1）2， y =- 1（x - 1）2 的图象，并探究它们
2
2
的图象特征和性质．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· －2
0
－2 －4.5 －8 ···
··· －8 －4.5 －2
0
－2 ···
－4
y=－ 21﹙x+1﹚2
y
1
x2
2 有什么关系？
2
2
抛物线 y =a（x - h）2与抛物线 y = ax2 有什么关系？
归纳: 当 h＞0 时，把抛物线 y = ax2 向右平移 h 个单位长
度，就得到抛物线 y =a（x - h）2 ；
当 h＜0 时，把 y = ax2 向左平移｜h｜个单位长度，
就得到抛物线 y =a（x - h）2．
归纳总结
抛物线 y =a（x - h）2 +k 有如下特点： （1）当 a＞0 时，开口向上；当 a＜0 时，开口 向下． （2）对称轴为直线 x = h． （3）顶点坐标（h，k）． 如果 a＞0，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大；如果 a＜0，当 x ＜h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的 增大而减小．
y
3
B(1，3)
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
A
∵这段抛物线经过点(3,0)
2
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y=
－
3 4
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
C(3,0)
O 123 x
当x=0时, y=2.25
∴水管长应为2.25m.
巩固练习
1. 按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）,
求该抛物线线的解析式 . （2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向
不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式.
2. 一场篮球赛中, 小明跳起投篮, 已知球出手时离地面 高20/9米, 与篮圈中心的水平距离为8米, 当球出手后水 平距离为4米时到达最大高度4米, 设篮球运行的轨迹为 抛物线, 篮圈中心距离地面3米.
抛物线 y 1 (x 1)2 1
2
y 1 x2 2
有什么关系?
y
1
平移方法1:
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
y 1 (x 1)2 1
-2
2
y
1 2
x2
向下平移 1个单位
y 1 x2 1 2
-3 -4
-5
向左平移 y 1 (x 1)2 1
-6 -7
1个单位
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一
根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线
形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度
为 3 m，水柱落地处离池 中心 3 m，水管应多长？
y/m 3 （1，3）
2
1
O 1 2 3 x/m
解: 如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是
－2 －2 －4
－6
24
y=－ 12﹙x-1﹚2
通过对二次函数 y =- 12（x + 1）2， y =- 12（x - 1）2的 探究，你能说出二次函数 y =a（x - h）2 的图象特征和
性质吗？
探究归纳
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y =a（x - h）2 的对称轴
是 x = h，顶点是（h，0），开口向上，顶点是抛物线的 最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大．
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4
-5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 (x 1)2 1
2
继续探究
你能说出 它与抛物线 y
y= 1
1（x + 1）2 -1 的图象特征和性质吗？ 2 x2 有什么关系？你能说出
2
y =a（x - h）2 +k 的图象和性质吗？
2
-8
-9
平移方法2:
-10
x=－1
y
1 2
x2
向左平移 1个单位
y
1 (x 1)2 2
向下平移 1个单位
y 1 (x 1)2 1 2
归纳: 一般地，抛物线 y =a（x - h）2 +k与 y = ax2 形状相
同，位置不同．把抛物线 y = ax2向上（下）向左（右） 平移，可以得到抛物线 y =a（x - h）2 +k ．平移的方向、 距离要根据 h，k 的值来决定．
22.1.3 二次函数y= a(x–h)²+k的图象和性质
目标重点
学习目标： 会用描点法画出二次函数 y =（x - h）2 y =（x - h）2+ k
的图象， 通过图象了解它们的图象特征和性质．
学习重点： 观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质．
回顾探究
（1）二次函数 y = ax2，y = ax2+k 的图象是什么？ （2）它们具有怎样的图象特征和性质？ （3）你是怎么研究的？
例题探究
例3. 画出函数
y
1 2
(
x
1)2
1
的图象.
指出它的开口方向、
顶点与对称轴.
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5
2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5
…
再描点，后连线.
抛物线的开口向下 对称轴是直线 x=－1 顶点是(－1, －1)
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九年级上册数学(人教版)课件：22.第2课时 二次函数y=a
14．已知二次函数 y＝－2(x＋h)2，当 x<－3 时，y 随 x 的增大而增大；当
x>－3 时，y 随 x 的增大而减小，则当 x＝1 时，y 的值为( D )
A．－12
B．12
C．32
D．－32
15．在同一直角坐标系中，抛物线 y＝b(x－a)2 与直线 y＝ax＋b 的图象可 能是( D )
5．抛物线 y＝－12(x－3)2 的开口向_下___，顶点坐标是 (3，0) ，对 称轴是 直线大，当 x＞___3_时， y 的值随 x 的增大而减小．
6．已知抛物线 y＝a(x－h)2 的顶点坐标为(2，0)，直线 y＝x＋1 与抛物 1
16．已知二次函数y＝－(x－k)2的图象上，当x＞5时，y随x的增大而减
小，则k的取值范围是
k≤5 .
17．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，y有最大值，且此抛物线的形 状与y＝4x2相同．
(1)求此抛物线的解析式； (2)当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)∵当x＝2时，抛物线y＝a(x－h)2有最大值，∴h＝2，且a＜0.又 ∵抛物线y＝a(x－h)2的形状与y＝4x2的形状相同，∴a＝－4，∴抛物线 的解析式为y＝－4(x－2)2；
线交于 A，B 两点，其中点 A 在 y 轴上，则 a＝_4___，h＝__2__．
7．已知二次函数 y＝－12(x＋3)2. (1)画出该函数的图象，并确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
解：图象略，开口向下，顶点坐标为(－3，0)，对称轴为直线x＝－3；
(2)当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 随 x 的增大 而减小？ 解：当x＜－3时，y随x的增大而增大，当x＞－3时，y随x的增大而减小．
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
九年级-上册-第二十二章
目录
CONTENTS
课前导入
知识讲解
课堂练习
小结反思
课前导入
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
二次函数的图像和性质
课前导入
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
4
知识讲解
难点突破
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
x=h (h,k)
知识讲解
难点突破
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）
顶点坐标： (h,k)
对称轴： x=h
最值
a>0时，最小值y=k a<0时，最大值y=k
知识讲解
难点突破ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0） 增减性
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）
开口方向 顶点坐标 对称轴
最值 增减性
(h,k) x=h y=k
知识讲解
难点突破
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0） 开口方向
a>0,开口向上，并向上无限延伸 a<0,开口向下，并向下无限延伸
开口大小 |a|越大，开口越小 |a|越小，开口越大
x>h时，即在对称轴的右 侧，y随x的增大而增大 a>0 x<h时，即在对称轴的左 侧，y随x的增大而减小
x>h时，即在对称轴的右 侧，y随x的增大而减小 a<0 x<h时，即在对称轴的左 侧，y随x的增大而增大
目录
CONTENTS
课前导入
知识讲解
课堂练习
小结反思
课前导入
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
二次函数的图像和性质
课前导入
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
4
知识讲解
难点突破
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
x=h (h,k)
知识讲解
难点突破
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）
顶点坐标： (h,k)
对称轴： x=h
最值
a>0时，最小值y=k a<0时，最大值y=k
知识讲解
难点突破ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0） 增减性
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）
开口方向 顶点坐标 对称轴
最值 增减性
(h,k) x=h y=k
知识讲解
难点突破
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象和性质
二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0） 开口方向
a>0,开口向上，并向上无限延伸 a<0,开口向下，并向下无限延伸
开口大小 |a|越大，开口越小 |a|越小，开口越大
x>h时，即在对称轴的右 侧，y随x的增大而增大 a>0 x<h时，即在对称轴的左 侧，y随x的增大而减小
x>h时，即在对称轴的右 侧，y随x的增大而减小 a<0 x<h时，即在对称轴的左 侧，y随x的增大而增大
人教版九年级数学上册第22章第1节《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》优质课件第3课时
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
【学习目标】 1．会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的 图象． 2．掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移 规律． 3．依据具体问题情境建立二次函数y＝a(x－h)2＋k 模型来解决实际问题． 【学习重点】 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质． 【学习难点】 1．二次函数y＝a(x－h)＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之 间的平移关系． 2．通过对图象的观察，分析规律，归纳性质．
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由 二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的 解析式.
该二次函数的解析式为：y=5(x+1)2+3
课堂小结
图象特点
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
当a>0,开口向上； 当a<0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 (x 4)2 2 3
当堂练习
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上 向下 向上 向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
【学习目标】 1．会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的 图象． 2．掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移 规律． 3．依据具体问题情境建立二次函数y＝a(x－h)2＋k 模型来解决实际问题． 【学习重点】 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质． 【学习难点】 1．二次函数y＝a(x－h)＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之 间的平移关系． 2．通过对图象的观察，分析规律，归纳性质．
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由 二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的 解析式.
该二次函数的解析式为：y=5(x+1)2+3
课堂小结
图象特点
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
当a>0,开口向上； 当a<0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 (x 4)2 2 3
当堂练习
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上 向下 向上 向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=a(x-h)2的图像与性质最新课件
4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的 形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称 轴。
(1)yx26x9
(2)y1x22x2 2
谢谢
出它们的开口方向,
2
对称轴及顶点.
1
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
y 1(x2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1(x2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线 x=0 2个单位
直线x=2
归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)对称轴是x=h;
y
x
(2)顶点是(h,0).
（3）抛物线y=a(x－h)2可 以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到.
h>0，向右平移; h<0，向左平移
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
y 1 x2 3 2
y 3(x5)2 4
y 1(x6)2 2
2、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）
（-1，0）．求该抛物线线的解析式． （2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，
但开口方向不同，顶点坐标是（1，0） 的抛物线解析式．
（3）已知二次函数图象的顶点在x轴上， 且图象经过点（2，-2）与（-1，-8）．求 此函数解析式．
人教版九年级数学上册课件：22.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质共18张
2
y 2 x 2
向上
对称轴
直线x=3
2
3
2
y x 1
4
向上
直线x=2
向下
直线x=1
顶点坐标
( 3, 0 )
(2, 0 )
( 1, 0)
4.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（xh）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若抛物线y= a（x-4）2的顶
-2
2
4
－2
-3
y ax h
－4
2
-4
y
1
( x 1) 2
2
y
1
y x2
2
－6
1
( x 1) 2
2
探究 二
二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
a的符号
a>0
a<0
向上
直线x=h
（h,0）
向下
直线x=h
（h,0）
h>0
图
象
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
•
说出下列二次 函数图像的开口方向、对称
2.二次函数 = ( −
3
, 0)
________.
2
(
− ，可将抛物线 =
B.向下平移4个单位
D.向左平移4个单位
(
C
3
) 图象的对称轴是直线_x ___，顶点是
2
)
3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
y 2 x 3
开口方向
三、探究新知，合作交流
y 2 x 2
向上
对称轴
直线x=3
2
3
2
y x 1
4
向上
直线x=2
向下
直线x=1
顶点坐标
( 3, 0 )
(2, 0 )
( 1, 0)
4.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（xh）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若抛物线y= a（x-4）2的顶
-2
2
4
－2
-3
y ax h
－4
2
-4
y
1
( x 1) 2
2
y
1
y x2
2
－6
1
( x 1) 2
2
探究 二
二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
a的符号
a>0
a<0
向上
直线x=h
（h,0）
向下
直线x=h
（h,0）
h>0
图
象
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
•
说出下列二次 函数图像的开口方向、对称
2.二次函数 = ( −
3
, 0)
________.
2
(
− ，可将抛物线 =
B.向下平移4个单位
D.向左平移4个单位
(
C
3
) 图象的对称轴是直线_x ___，顶点是
2
)
3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
y 2 x 3
开口方向
三、探究新知，合作交流
人教版(2012)九年级上册数学第22章《二次函数y=a(x-h)2的图象和性质》教学课件
是 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 .
2.二次函数y=2(x-
3 2
)2图象的对称轴是直线__x__32___，顶点是__(_32_,_0_) __.
3 .若（- 5
4
则y1 ，y2
，，yy31的）大（小- 14关，系y为2）_（__y_11_4＞3_，_y_2y_3＞_）__y为_3 _二_.次函数y=(x-2)2图象上的三点，
1 2
﹙x+1﹚2
－6
24
y=－
1 2
﹙x-1﹚2
根据所画图象，填写下表：
解析式 开口
y 1 x2 2
y 1 (xபைடு நூலகம்1)2 2
对称轴
顶点
y最值
增减性
y 1 (x 1)2 2
二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,0）
（h,0）
最值 增减性
当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0
当x＜h时，y随x的增 当x＞h时，y随x的增 大而减小；x＞h时， 大而减小；x＜h时，y y随x的增大而增大. 随x的增大而增大.
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
图象的画法
描点法 平移法
平移关系
图象的特征
开口方向
a>0,开口向上 a<0,开口向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h,0）
○
拓展提高
如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的 顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为L，求L与t之间函数关系式．
人教版初三数学上册二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质
4
当x=-1时，有最小值为-2，
2
当x<-1时，y随x的增大而减小
-4 -2 O 2 4
x
当x>-1时，y随x的增大而增大。
-2
抛物线y=a(x－h)2+k的图象与性质:
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当x<h时，
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y1(x1)21 -2
2
-3
y
1 2
x2
向下平移 1个单位 y
1 2
x2
1
-4 -5 -6
向左平移 y1(x1)21
1个单位
2
-7
-8 -9
平移方法2:
-1x0=－1
y
1 2
x
2
向左平移 1个单位 y
12(x1)2向1个下单平位移
y1(x1)2 2
1
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
y=ax2 向|上k|(个下单)平位移y=ax2+k
向左(右)平移 |h|个单位
y=a(x－h)2+k
简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，
括号内左加右减.二次项系数a不变.
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同. 把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物 线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的 值来决定.
人教版数学九年级上册22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-课件
y1(x1)2 1 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y1(x1)2 1
-10
2
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
y
y= 2（x+1）2-2 开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2)
8 6
4 2
-4 -2 O 2 4
x
-2
知识要点
二次函数y=a（x-h)2 +k的特点
a＞0时，开口 向上 a＜0时，开口 向下 对称轴是 直线x=h
, 最低 点是顶点; , 最 高 点是顶点; ， 顶点坐标是 (h,k) .
顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y1(x4)2 2 3
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
探究归纳
例1 画出函数
y1(x1)2 1的图像.指出它的开口 2
方向、顶点与对称轴.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/152021/8/152021/8/158/15/2021 1:17:53 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/152021/8/152021/8/15Aug-2115-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/152021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021
人教版九年级数学上册22.1.3 《二次函数y=a(x-h)2+k的》课件
开口方向 向上 向上
对称轴 y轴 x=2
顶点坐标 (0,0) (2,0)
想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？
试一试：画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12
2
2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
···
y 1 x 12 ···
y
21 x 12
第2课时 二次函数y=a（x-h)2的图象和性质
学习目标
情境引入
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(难点） 3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.
导入新课
复习引入
问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _(_0_，__2_)__( _0_,0__)(__0_,-_2_)____
(5)顶点都是最_高___点，函数都有最_大___值，从上而下 最大值分别为_y_=_2____、_y_=_0____﹑_y_=__-2____ (6) 函数的增减性都相同： ___对__称__轴__左__侧__y_随__x_增__大__而__增__大_ _对__称__轴__右__侧__y_随__x_增__大__而__减__小______
时，y随x的增大而 时，y随x的增大而
增大.
增大.
练一练
若抛物线y＝3(x＋ 2)2的图象上的三个点，A(－3 2 ， y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为 ____y_2＜__y_3_＜__y_1 ____．
解析：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2，a＝ 3＞0，∴x＜－ 2时，y随x的增大而减小；x＞－ 2 时， y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3 2，y1)，∴点 A在抛物线上的对称点A′的坐标为( 2，y1)．∵－1＜0 ＜ 2 ，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.
《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT优质教学课件
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )
A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=(x+1)2 D.y=(x-1)2
解析:抛物线y= x2+1的顶点坐标是(0,1);抛 物线y= x2-1的顶点坐标是(0,-1);抛物线 y=(x+1)2的顶点坐标为(-1,0);抛物线y=(x-
x
新知探究
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k 开口方向
对称轴 顶点坐标
最值
增减性
a＞0
a＜0
向上
向下
y轴（x=0）
y轴（x=0）
（0,k）
（0,k）
当x=0时，y最小值=k
当x＜0时，y随x的 增大而减小；x＞0 时，y随x的增大而
增大.
当x=0时，y最大值=k
当x＞0时，y随x的 增大而减小；x＜0 时，y随x的增大而
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方 向、对称轴和顶点各是什么？
2… 9… 7…
y y = 2x2+1
8 6 4 2
-4 -2 O 2 4 x -1
新知探究
三条抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
开口方向
y = 2x2+1 上 y = 2x2 -1 上
对称轴
y轴 y轴
y y = 2x2+ห้องสมุดไป่ตู้ y = 2x2 -1