高三数学第二轮专题讲座复习：求函数值域的常用方法及值域的应用
求函数值域的几种常用方法
求函数值域的几种常用方法函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。
求函数值域的方法可以分为几种常用的途径，包括图像法、解析法、等价关系法和数列法等。
下面将详细介绍这些方法。
一、图像法图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。
具体步骤如下：1.根据函数的定义域，确定合适的坐标系并绘制出函数的图像。
2.观察图像的上下边界，确定最小值和最大值，并将这些值确定为函数的值域的下边界和上边界。
二、解析法解析法是通过对函数进行化简和分析，找出函数的特性来确定值域。
具体步骤如下：1.根据函数的定义表达式，观察函数的性质，例如函数的奇偶性、周期性等。
2.利用函数的性质，找出函数的最小值和最大值，并将这些值确定为函数的值域的下边界和上边界。
三、等价关系法等价关系法是通过将函数与其他已知函数进行比较来确定函数的值域。
具体步骤如下：1.将函数的定义表达式进行变形，使其更容易与已知函数进行比较。
2.将函数与已知函数进行比较，找出它们的区别和相似之处。
3.根据已知函数的值域，可以确定函数的值域的下边界和上边界。
四、数列法数列法是通过构造特定的数列来逼近函数的值域。
1.根据函数的定义域，构造一个数列，使得数列中的每一个数都在函数的定义域内。
2.计算函数在数列中每一个数的值，并将这些值确定为函数的值域的一部分。
3.根据数列的性质，可以逼近函数的值域的下边界和上边界。
需要注意的是，这些方法都只能对一些简单的函数有效，对于复杂的函数，求值域可能需要借助数学分析工具、数值计算方法或者计算机模拟来进行。
此外，不同的方法可以结合使用，以增加求值域的准确性。
高中数学复习专题-函数值域的求法
学习必备 欢迎下载专题四、函数及其性质（二）函数值域的求法1.求函数值域的数学思想：（ 1）利用函数单调性求函数值域：（ 2）利用函数图像求函数值域；注意： 求函数值域时要先关注函数定义域，时刻体现“定义域优先” 原则。
2.求函数值域的方法： 观察法、判别式法、双勾函数法、换元法、平方法、分离常数法、数形结合法、单调性法、构造法。
（ 1）观察法：适合于常见的基本函数。
例 1.已知函数 f (x)e x1，g( x)x 24x3 ，若 a 、bR ，且存在有f (a)g(b) ，则b 的取值范围为（）A. [22, 22]B. (22, 22)C.[1,3]D.(1,3)kx bdx 2exf的分式函数， 适用条件须函（ 2）判别式法：适合于形如y或 yax2bx cax 2 bx c数的定义域应为 R ，即 ax 2bx c0 ，所以b 2 4ac0 。
例 2. 求函数 y2x 2 x3x 2的值域。
x 1（ 3）双勾函数法：适合于高中阶段所有的分式函数，比判别式法具有更广泛的应用。
2例 3. 求函数 y2x11x7(0 x 1) 的值域。
x 3（ 4）换元法：适合于含有根式的函数。
例 4.求函数 y2x 4 1 x 的值域。
（ 5）平方法：适合于平方变形后具有简化效果的函数。
例 5.求函数 yx 3 5 x 的值域。
学习必备欢迎下载（ 6）数形结合法：利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域。
例 6.（2014 湖北 ）已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 1(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)，若对于任意 x ∈ R ， f( x －1)≤ f(x)恒成立，2则实数 a 的取值范围为（ ） A. －1，1 B.－ 6， 6 C. －1，1 D.－3， 36 6 6 6 3 3 3 3（ 7）单调性法：确定函数在定义域上的单调性，求出函数的值域。
第04讲 求函数值域的一般方法(解析版)-高考数学二轮复习
第04讲 求函数值域的一般方法一、知识与方法1 函数的值域在函数 ()y f x = 中, 自变量 x 对应的函数值的集合 {()|}f x x ∈D 叫作函数的值域, 求值域时不但要重视对应关系的作用, 而且要特别注意定义域的制约作用. 2 注意点求函数的值域问题关键是将解析式作变形处理,通过观察或利用熟知的基本函数的 值域,逐步推出函数的值域.求函数的值域没有固定的方法和模式,解题的技巧性特别强,必须注意, 函数的图像 在求函数的值域中有十分重要的作用.二、典型例题【例 1】 （1）已知 2()26f x x x =-+, 求 ()f x 的值域; （2）已知2()26(24)f x x x x =-+, 求 ()f x 的值域; （3）已知 2()26(14)f x x x x =-+-, 求 ()f x 的值域; (4) 已知 2()26,[,1]()f x x x x a a a =-+∈+∈R , 求 ()f x 的值域; (5) 已知 2()21([0,2])f x x ax x =--∈, 求 ()f x 的值域.【分析】 求二次函数值域的基本方法是配方法;对有定义域限制的二次函数值 域问题, 可结合函数性质及其图像求出最大值、最小值、从而求出值域;含有参数的问题, 需要在不确定的因素中寻找确定的关系. 第 (4) 问, 函数关系确定,区间不定,第 (5)问,函数关系不定(动轴),区间确定,一般都可分对称轴在区间的左侧、右侧及区间内 3 种情况 分类讨论.【解析】(1) 22()26(1)5 5.()f x x x x f x =-+=-+∴ 的值域为 [5,)+∞. (2) 22()26(1)5f x x x x =-+=-+, 显然 ()f x 在 [2,4] 上单调递增.∴ 当 2x = 时, min ()6f x =; 当 4x = 时, max ()14.()f x f x =∴ 的值域为[6,14].(3) 22()26(1)5,[1,4]f x x x x x =-+=-+∈-. 当 1x = 时, 有 mn ()f x =(1)5f =又 (1)9,(4)14,f f -==∴ 当 4x = 时, max ()14.()f x f x =∴ 的值域为[5,14].(4) 22()26(1)5f x x x x =-+=-+. 函数的对称轴为 1x =.1． 若 11a +, 即 0,()a f x 在 [,1]a a + 上单调递减.当 x a = 时,2max ()26f x a a =-+; 当 1x a =+ 时, 22man ()(1)2(1)6f x a a a =+-++= 5+2． 若 1,211,a a ⎧⎪⎨⎪+>⎩ 即 102a <. 当 x a = 时, 2max ()26f x a a =-+; 当 1x = 时, man ()f x 5=3． 若 112a <, 当 1x = 时, min ()5f x =; 当 1x a =+ 时, 2max ()5f x a =+.4．. 若 1,()a f x > 在 [,1]a a + 上单调递增.当 x a = 时 2min ()26f x a a =-+, 当 1x a =+ 时,2max ()5f x a =+. 综上所述, 当 0a 时, ()f x 的值域为 225,26a a a ⎡⎤+-+⎣⎦; 当102a< 时, ()f x 的值域为 25,26a a ⎡⎤-+⎣⎦; 当 112a < 时, ()f x 的值域为 25,5a ⎡⎤+⎣⎦; 当 1a > 时, ()f x 的值域为 2226,5a a a ⎡⎤-++⎣⎦. (5) 由已知可知, 函数 ()f x 的对称轴为 x a =,1． 当 0a < 时, min max ()(0)1,()(2)44134f x f f x f a a ==-==--=-, ∴()f x 的值域为 [1,34]a --;2． 当 01a 时,()2min max ()()1,()(2)34f x f a a f x f a ==-+==-, ∴()f x 的值域为 ()21,34a a ⎡⎤-+-⎣⎦; 3． 当 12a < 时,()2min max ()()1,()(0)1f x f a a f x f ==-+==-, ∴()f x 的值域为 ()21,1a ⎡⎤-+-⎣⎦; 4． 当 2a > 时, min max ()(2)34,()(0)1f x f a f x f ==-==-, ∴()f x 的值域为 [34,1]a --.【例 2】 求下列函数的值域.(1)y =; (2) y x =- (3) 5y =;(4)2222x x y x -+=-+ (5) 221x y x -=+; (6) y =(7)3y x =+; (8) |1||4|y x x =-++;(9) y =【分析】求函数的值域是一个比较复杂的问题, 解题方法很多, 本例通过 9 小 题对一些简单函数的值域的求法作一个初步介绍,每道题用何种方法求解都一一标明. 求 函数值域的基本方法有观察法、换元法、单调性法、配方法、判别式法、分离常数法、基本不 等式法、数形结合法等,或多种基本方法配合使用,读者可从中总结出一些规律性的解题思路.【解析】(1) (观察法)所给解析式结构简单, 可直接看出其单调性或某一部分的范围,然后结 合不等式知识求出值域,这种一般不需要复杂计算的方法称为观察法. ∵110,111.0 1.11x x ∴++∴<∴++ 函数的值域为(0,1].（2）解法一、(換元法)设(0)t t =, 则 22x t =-. ∴242(0)y t t t =--+, 可得函数的值域 (,2]y ∈-∞.解法二、（单调性法：函数 12,y x y ==-在 (,2]-∞ 上均单调递增,2422,y --=∴ 函数的值域为 (,2]-∞.（3）(配方法)配方, 得 25.(2)66.5 6.y x y =++∴+∴ 函数 的值域为 [5)++∞.(4) (判别式法)函数的定义域是 R ,由2222x x y x -+=-+, 得 2(1)220y x x y +-++=. 当 1y ≠- 时, 把(1)视为关于 x 的一元二次方程.再根据(1)有实根, 判别式 0∆, 得 14(1)(22)0y y -++. 解得2111)44y y ---+≠-. 当 1y =- 时,由(1)得 0x =. 由 0(x =∈R函数的定义域)可知, 1y =- 应该是函数的值域中的元素. ∴1144y ⎡∈---+⎢⎣⎦（5）（分离常数法) 222221111111x x y x x x ---+===-+++. 2221111,01,11011x x x +∴<∴-<-++故函数的值域为 (1,0]-.(6) (单调性法)函数的定义域满足 230,3320,x x x x -⎧⇒⎨-+⎩.令 1y =, 任取 123x x >.10,y =>∴ 在 [3,)+∞ 上单调递增. 令2y =由 232u x x =-+, 对称轴 32x =, 开口向上, 知 2y 在[3,)+∞ 上也单调递增.从而知y 在定义域 [3,)+∞ 上是单调递增函数. ∴2.y∴ 函数的值域为 )+∞.（7）（换元法结合基本不等式法)设 0)t t =, 由 20x + 且30x +≠ 知函数 定义域为 2x -, 则 222.1tx t y t =-∴=+. 当 0t =, 即2x =- 时, y 取得最小值 0;当 0t >, 即 2x >- 时,1111212y t t tt==+⋅, 当且仅当 1t = 即 1x =-时, y 取得最大值 12, 故函数的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(8) (数形结合法) |1||4|y x x =-++=23(4)5(41)23(1)x x x x x ---⎧⎪-<<⎨⎪+⎩如图 18- 所示, ∴ 5.y ∴ 函数值域为 [5,)+∞.(9) (配方化简后用观察法) 22(11)(11)11y x x x =-++--=-++21,2|11|2,12x x x x ⎧-⎪--=⎨<⎪⎩∴ 函数的值域为 [2,)+∞. 【例 3】 求下列函数的值域:(1) 21((3,4))31x y x x -=∈+; (2)222x y x x =-++; (3) 22223([2,4])1x x y x x x -+=∈-+; (4) ()213log 1227y x x =--; (5) ()()3441022x x x xy --=+-+; (6) ()231(11)y x x x =+--<<.【分析】 函数法转化为解不等式;第(2)问,分类讨论并运用配方法,也可以运用三角換元法;第(3) 问, 分离常数后运用配方法; 第(4)问,是二次函数与对数函数的复合,运用复合函数单调性讨论而得;第（5）问,換元后运用配方法; 第 (6)问，平方后运用判别式法.【解析】 (1) (反函数法) ∵11321,(3,4).342323y y yx y x x x yy +++=-∴=∈∴<<--. ∵17,213y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）解法一、(分类讨论法)当 0x = 时, 0y =; 当 0x > 时,21221y x x =-++.由 10x > 知1.10y =>∴-<<;当 0x < 时,y ==1112,0222y x ⎛+∴< ⎝综上所述, 函数的值域为 (-.解法二、（三角换元法) ∵2222(1)1x x x ++=++, 故可设 1tan x θ+=. ,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,于是tan 1cos sin sec 4y θπθθθθ-⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭. 由 3,444πππθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ 知 cos ,(42y πθ⎛⎤⎛⎫+∈-∴∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.(3) (配方法)22112211324y x x x =+=+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭, 2213111[2,4],[3,13],,.241331324112,2133x x x y ⎛⎫⎡⎤∈∴-+∈∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦(4) (单调性法) 由 212270x x -->, 可得所给函数的定义域为 (3,9). 又函数()213log 1227y x x =-- 是由 21227u x x =-- 与13log y u= 复合而成的复合函数,并且 221227(6)9(39)u x x x x =--=--+<<. 故 09u <. 于是由13log ,09y u u =< 可得 2y -, 因此, 所求函数的值域为 [2,)y ∈-+∞.（5）(换元法、配方法)令 22.20,2xxxt t -=+>∴. 则()244222x x x x--+=+-=()22225432,321031063. 2.1439t y t t t t t t y ⎛⎫-∴=--=--=--∴- ⎪⎝⎭即函数值域为 [14,)-+∞.(6) (函数与方程)原函数移项得11)y x x -=-<<.两边平方, 得()222231y yx x x -+=-. 整理得 224230x yx y -+-=. ①设22()423g x x yx y =-+-. 依题知方程(1)在区间 (1,1)- 内有实根. 注意到 22(1)(1)0,(1)(1)0g y g y -=+=-, 且等号不能同时成立.∴ 只需满足条件 ()22(2)443114y y y⎧∆=--⨯-⎪⎨-<<⎪⎩解得2 2.y -∴ 函数值域为 [2,2]-.三、易错警示【例 1】 求函数y x =-的值域. 错解 : 令t =则 22211111,(1)1122222x t y t t t =-+∴=--+=-++.∴ 函数y x =的值域为 (,1]-∞.【分析】上述解法犯了知识性错误,忽视了t =中 0t , 从而导致函数换元后定义域错误. 【解析】正解一、令t =∵0t 时12y⋯∴ 函数y x =-的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.正解二、函数的定义域为12x. 函数在定义域范围内单调递增. ∴当12x =时,max 12y = ∴函数y x =-的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【例 2】 求函数211122y x x x ⎛⎫=⎪+-⎝⎭ 的值域.错解 : 由211122y x x x ⎛⎫=⎪+-⎝⎭ 变形为 2120yx yx y -+-=. 当 0y =时,方程 2120yx yx y -+-= 无解;当 0y ≠ 时, ∵1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 方程 2120yx yx y -+-= 应有实数解， ∴2()4(12)0y y y ∆=---, 解得 0y < 或 49y.故所求函数的值域为4(,0),9⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】上述解法犯了知识性错误,事实上,当 1y = 即 2112x x =+- 时, 解得1,12x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 所以 1y ≠, 错误的原因是忽视判别式法求函数值域的条件, 本题 由于定义域被限制为 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 不能用判别式法去求值域,否则就会解得错误的结果. 【解析】正确的解法如下:2221199,1,2,222244x x x x x x ⎡⎤⎛⎫∈+-=--+∴+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∴2411922x x +-,即 4192y, 故所求函数的值域为 41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、难题攻略【例】 设函数 2()4,(),()2(),()(),(),g x x x g x g x x x f x g x x x g x ++<⎧=-∈=⎨-⎩R 则 ()f x的值域是（ ）.A. 9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B. [0,)+∞ C. 9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【分析】先把 ()f x 具体化, 由题设分析可得分段函数,且每一段都是区间上的 二次函数形式, 运用配方法求区间上的函数值域.【解析】 2()2,()g x x x g x =-< 就是 22x x <-, 即 (1)(2)0x x +->, 解得1x <- 或 2x >. 同理, 由 ()x g x 可得 12x -.()4,(),()(),(),g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩就是 ()4,(),()(),(),g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩ 就是f x ={x 2+x +2(x <−1,x >2)x 2−x −2(−1≤x ≤2)或由(2()21f x x x x =++<-或2x > ), 得2()(1)122f x >--+=, ① 由 2()2(12)f x x x x =---, 得 9()04f x -.②综上, ()f x 的值域是9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦. 故选 D .五、强化训练1. 已知函数221x ax by x x -+=++ 的值域为 (1,2], 则 a = b ⋅= 【解析】原函数可化为方程2(1)()0y x y a x y b -+++-=.∵21,,()4(1)()0y x y a y y b ≠∈∴∆=+---R ,即2232(22)40y a b y a b -++-+. 由题意,1,2y y ==是方程2232(22)40y a b y a b -++-+=的两根.由韦达定理得222(22)3,2450731,4604423a b a b a b a b a b ++⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⇒=-=⎨⎨-+=-+⎩⎪=⎪⎩.2. 求函数()f x =的值域.【解析】函数()f x 的定义域由2211047(2)3x x x x x ++=++++确定,即定义域为[1,)-+∞.当1x =-时,()0f x =,当10x +>时,可令10x t +=>. 故2221114424447(1)32462x t t t t x x t t t t t t t⎛⎫+===+⋅= ⎪ ⎪++++++⎝⎭++ 故原函数的值域为⎡⎢⎣.3. 已知函数 ()f x 满足 112()0f x f x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭, 求 ()f x 的值域.【解析】112()f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,① 以x 替代11,2()f f x x xx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭② ①2⨯+②,得22123().()3f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+∴=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,③ 求③的值域可用判别式法: 令212320.3y x x yx x x ⎛⎫=-+⇒++=∈ ⎪⎝⎭R 且0x ≠,故2809y ∆⇒, 223y∴数.322y -∴()f x的值域为,,33⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭也可用基本不等式: 当0x >时,∵2122222,33x x x x ⎛⎫+∴-+-⎪⎝⎭.即223y -. 当0x <时,20.()22x x x ⎛⎫->-+-⎪⎝⎭,则212222 2.33x x x x ⎛⎫+-∴-+ ⎪⎝⎭.即223y. ∴()f x 的值域为,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭. 4. 已知函数 ()fx 的值域是 34,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求 ()()g xf x =的值域.【解析】21111()[12()]2222g x fx =--=- 211]12=-+由34(),89f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11,.()32g x ⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦的值域是77,98⎡⎤⎢⎥⎣⎦.5. 已知 , ,m αβ 都是实数, 2,4m m αβαβ++==, 求 22a β+ 的最小值. 【解析】222221117()2(2)2416m m m αβαβαβ⎛⎫+=+-=-+=-- ⎪⎝⎭. 而,αβ是关于x 的方程2204m x mx +-+=的两个实根, 于是2(2)0m m ∆=-+,解得2m 或1m -.∴当1m =-时,22αβ+取得最小值12. 6. 实数 ,x y 满足 2232x xy y -+=, 求 22m x y =+ 的值域.【解析】令,x u v y u v =+=-,代人条件式中,得()2222()3()2u v u v u v +--+-=.化简得2222225 2.55u v u v +-=∴=. ∴()()222222224()()226226255x y u v u v u v v ⎛⎫+=++-=+=-⨯-= ⎪⎝⎭. ∴22x y +的值域是4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
高三数学下册《函数值域》知识点讲解
高三数学下册《函数值域》知识点讲解高三数学下册《函数值域》知识点讲解(1)配方法:若函数为一元二次函数，则可以用这种方法求值域，关键在于正确化成完全平方式。
(2)换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。
(3)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数x，则常用此法。
通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△0，确定y的范围，即原函数的值域(4)不等式法：借助于重要不等式a+bab(a0)求函数的值域。
用不等式法求值域时，要注意均值不等式的'使用条件一正，二定，三相等。
(5)反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。
(6)单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p0)的单调性：增区间为(-,-p)的左开右闭区间和(p,+)的左闭右开区间，减区间为(-p,0)和(0,p)(7)数形结合法：分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。
练习题：1．函数y＝x＋1x的定义域为________．解析：利用解不等式组的方法求解．要使函数有意义，需x＋1≥0，x≠0，解得x≥－1，x≠0.∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．答案：{x|x≥－1且x≠0}2．函数f(x)＝11－2x的定义域是________解析：由1－2x>0x<12.答案：xx<123．已知f(x)＝3x＋2，x<1，x2＋ax，x≥1.若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.解析：∵f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a.∴4＋2a＝4a;a＝2.答案：2。
高考数学复习点拨：求函数值域的常用方法
求函数值域的常用方法山东 周超下面例析求函数值域的几种常用方法． 一、直接法（观察法）适用于较简单的函数，从解析式观察，利用如2000x x ，≥≥等，直接得出它的值域．例1 求函数21y x =+，{}12345x ∈，，，，的值域． 解:由21y x =+,{}12345x ∈，，，，，则{}357911y ∈，，，，．所以函数的值域为{}357911，，，，．二、配方法适用于解析式中含有二次三项式的函数，同时要注意闭区间内的值域．例2 求函数[)246(15)y x x x =-+∈，的值域．解：配方，得2(2)2y x =-+，又[)15x ∈，，结合图象，知函数的值域是[)211，．三、分离常数法适用于分式型函数,且分子、分母是同次，这时通过多项式的除法,分离出常数,使问题简化．例3求函数22211x y x -=+的值域．解：分离常数,得222213211x y x x -==-++．由211x+≥，得23031x <+≤，即有12y -<≤． 所以函数的值域是[)12-，．四、换元法某些无理函数等,可通过换元法转化为有理函数再求解． 例4求函数y x =解:设t =则21(0)2t x t +=≥，于是2211(1)22t y t t +=+=+． 又0t ≥，得12y ≥．所以函数的值域是12⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞． 五、图象法所谓图象法,就是利用函数图象的直观性，求得函数值域的方法．例5 求函数12y x x =++-的值域．解：将原函数的解析式中的绝对值去掉，得211312212x x y x x x -+-⎧⎪=-<⎨⎪->⎩，，，，，，≤≤ 作出图象(如右图）,所以函数的值域是[)3+，∞x。
值域求值域的方法大全及习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、 求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
高中函数求值域的九种方法和例题讲解
高中函数值域和定义域的大小,是常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
求函数值域的几种方法PPT课件
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演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
y
x2
1
2x
x2 2x
1 y
,
1 y
1 .
1 y
1
0
,
即
y
y
1
0
.
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
❖ 4. 利用反函数的定义域求函数的值域
若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就是 原函数的值域 .
例5 求函数 y 解：由 y 2x
3x
2x 3x
3 1
3 1
3
的值域 .
注：对于分式函 xy y 2数x ， 3如果它的分
子和分母都是 x
x
y3 3y2
,
y 2 . 的一次式，一般 3 用这种方法求值
所以函数的值域为 y y R , 且域y比 (x) 在某一区间上是单调的，
且函数在两个端点处的函数值（或左、右极限） 为 a、b，则 a、b 就是这个函数的最大、最小 值（或上、下确界，a，b也可能是 ∞）.
例6 求函数 y x 1 x 1 的值域 .
解：显然此函数的定义域为 [1，+∞）.
当 x 1 时，函数单调递增 .
又因 f (1) 2 , 函数值域为 2 ， .
当 u 0+ 时，y +∞ . 函数 y x(2 x)
高中数学复习专题讲座：求函数值域的常用方法及值域的应用
5cm5cm8cm8cm6、题目 高中数学复习专题讲座：求函数值域的常用方法及值域的应用 高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析证明S (λ)在区间［43,32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =λ1022代入上式得 S =5000+4410 (8λ+λ5),当8λ=λ5,即λ=85(85<1)时S 取得最小值此时高 x =λ4840=88 cm, 宽 λx =85×88=55 cm 如果λ∈［43,32］，可设32≤λ1<λ2≤43, 则由S 的表达式得)58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S又21λλ≥8532>,故8－215λλ>0, ∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［43,32］内单调递增 从而对于λ∈［43,32］,当λ=32时，S (λ)取得最小值 答 画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［43,32］,当λ=32时，所用纸张面积最小 例2已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围命题意图 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托 本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析 考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决 技巧与方法 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得(1)解 当a =21时，f (x )=x +x21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27 (2)解法一 在区间［1，+∞)上，f (x )=xa x x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3解法二 f (x )=x +xa+2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3例3设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +11-m ) (1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值(3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1(1)证明 先将f (x )变形 f (x )=log 3［(x －2m )2+m +11-m ］,当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +11-m >0恒成立，故f (x )的定义域为R反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +11-m >0,令Δ＜0,即16m 2－4(4m 2+m +11-m )＜0,解得m >1,故m ∈M(2)解析 设u =x 2－4mx +4m 2+m +11-m ,∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小而u =(x －2m )2+m +11-m ,显然，当x =m 时，u 取最小值为m +11-m ,此时f (2m )=log 3(m +11-m )为最小值(3)证明 当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+ 11-m +1≥3,当且仅当m =2时等号成立∴log 3(m +11-m )≥log 33=1学生巩固练习1 函数y =x 2+x 1 (x ≤－21)的值域是( )A (－∞,－47]B ［－47,+∞)C ［2233,+∞)D (－∞,－3223］2 函数y =x +x 21-的值域是( )A (－∞,1]B (－∞,－1]C RD ［1,+∞)3 一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(20V )2千米 ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)4 设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根，当m =_________时，x 12+x 22有最小值_________5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x －21x 2(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位 百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数f (x )=lg ［(a 2－1)x 2+(a +1)x +1］(1)若f (x )的定义域为(－∞,+∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞,+∞),求实数a 的取值范围 7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8 在Rt △ABC 中，∠C =90°，以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S 1，△ABC 的内切圆面积为S 2，记ABCABC +=x(1)求函数f (x )=21S S 的解析式并求f (x )的定义域 (2)求函数f (x )的最小值参考答案1 解析 ∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x 1在(－∞,－21）上是减函数，∴y =x 2+x 1在x ∈(－∞,－21)上为减函数, ∴y =x 2+x 1 (x ≤－21)的值域为［－47，+∞)答案 B2 解析 令x 21-=t (t ≥0),则x 212t -∵y =212t -+t =－21 (t －1)2+1≤1∴值域为(－∞,1]答案 A3 解析 t =V 400+16×(20V )2/V =V 400+40016V≥216=8 答案 84 解析 由韦达定理知 x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=m 2－22+m =(m －41)2－1617,又x 1,x 2为实根，∴Δ≥0 ∴m ≤－1或m ≥2，y =(m －41)2－1617在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数，又抛物线y开口向上且以m =41为对称轴 故m =1时，y min =21答案 －1 215 解 (1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－21x 2+4 75x －0 5,当x =－ab2=4 75(百台）时，y max =1078125(万元），当x >5(百台）时，y ＜12－0 25×5=10 75(万元），所以当生产475台时，利润最大(3）要使企业不亏本，即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或解得5≥x ≥4 75－5625.21≈0 1(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本6 解 (1）依题意(a 2－1）x 2+(a +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即， ∴a ＜－1或a >35又a =－1时，f (x )=0满足题意，a =1时不合题意故a ≤－1或a >为35所求(2）依题意只要t =(a 2－1)x 2+(a +1)x +1能取到(0，+∞）上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时，t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意，∴1≤a ≤35为所求 7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，由题意得 x +y +z =360 ① 120413121=++z y x② x >0,y >0,z ≥60 ③假定每周总产值为S 千元，则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下，为求目标函数S 的最大值，由①②消去z ,得y =360－3x ④ 将④代入①得 x +(360－3x )+z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30 ⑥再将④⑤代入S 中，得S =4x +3(360－3x )+2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知，当x =30时，产值S 最大，最大值为 S =－30+1080=1050(千元）得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元8 解 (1）如图所示 设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab,∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a c ab -+=+ππ,∴f (x )=221)()(4c b a c b a ab S S -++=①又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ，得f (x 1)(22-+x x x在Rt △ABC 中，有a =c sin A ,b =c cos A (0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin(A +4π) ∴1＜x ≤2 (2)f (x )=]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈(0, 2－1),y =2(t +t2)+6在(0，2－1]上是减函数，∴当x =(2－1)+1=2时，f (x )的最小值为62+8abCBcA课前后备注。
2025届高三数学二轮复习专题三角换元求范围及值域
2024年高考总复习之三角换元求范围及值域换元是通过换元将原来比较困难的、非标准的形式转化为简洁的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。
三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。
一般状况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用供应了线索。
1.详细表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式c bx ax ++2总是可以转化为22x k -、x k +2或22k x -的形式，其中x 为变量，k 为特别数.2.二元二次曲线(二元二次方程)或者多元变量的最值问题，也可以转换成利用三角换元的方法进行求解。
例如：1),0(3),0(222222=+->=+>=+y xy x t t y x a a y x ， )0(222>=++a a z y x 等，均可以用三角换元来解决。
【典例精析】（三角换元与不等式）（2024年4月温州二模）已知实数y x ,满意y x y y x +=+-2,14)2(22则的最大值 为 .【解析之三角换元】由于， ∴令)2,0(,sin 2cos 2πθθθ∈⎩⎨⎧==-y y x ，则原式2cos sin 2≤+=+θθy x 备注：1、本题由于R y x ∈,，因而)2,0(πθ∈2、此处,2cos sin ≤+θθ可利用柯西不等式干脆得到，也可用三角函数的协助角公式.3、其他解法不在此处赘述.14)2(22=+-y y x【举一反三 1】若()R y x y xy x ∈=-+,7222，则22y x +的最小值为 . 【解析之三角换元】,sin cos ,222⎩⎨⎧==∴=+θθr y r x r y x 令 原式7sin sin cos 2cos 722222222=-+⇒=-+θθθθr r r y xy x 化简得：22cos 2sin 7cos sin 2sin cos 222≤+==+-θθθθθθr故2272≥r 【举一反三 2】实数y x ,满意1,1x y ≥≥，且2222(log )(log )log ()log ()a a a a x y ax ay +=+当1a >时，则log ()a xy 的取值范围是 .【解析之三角换元】本题干脆求解较为困难，若令log ,log ,a a u x v y ==由1,1x y ≥≥可得0,0u v ≥≥，于是问题转化为：“已知0,0u v ≥≥，且22(1)(1)4,u v -+-=求u v +的取值范围”， 令[]12cos ,12sin ,0,2u v θθθπ=+=+∈，则 22cos 2sin u v θθ+=++2)4πθ=++由0,0u v ≥≥得11cos ,sin 22θθ≥-≥- ∴ 211,6312412ππππθθπ-≤≤≤+≤∴当sin()14πθ+=时，max ()2u v +=+当sin()sin 412ππθ+=或11sin 12π时，min ()1u v +=∴12u v ≤+≤+故log ()a xy的取值范围是1⎡++⎣。
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5cm5cm8cm8cm高三数学第二轮专题讲座复习：求函数值域的常用方法及值域的应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析 证明S (λ)在区间［43,32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =λ1022代入上式得 S =5000+4410 (8λ+λ5),当8λ=λ5,即λ=85(85<1)时S 取得最小值 此时高 x =λ4840=88cm, 宽 λx =85×88=55 cm 如果λ∈［43,32］，可设32≤λ1<λ2≤43,则由S 的表达式得)58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S又21λλ≥8532>,故8－215λλ>0,∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［43,32］内单调递增 从而对于λ∈［43,32］,当λ=32时，S (λ)取得最小值答 画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［43,32］,当λ=32时，所用纸张面积最小 例2已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围命题意图 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托 本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析 考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决 技巧与方法 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得(1)解 当a =21时，f (x )=x +x21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数， ∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f 27(2)解法一 在区间［1，+∞)上， f (x )=xax x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3解法二 f (x )=x +xa+2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正； 当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3例3设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +11-m ) (1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值(3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1(1)证明 先将f (x )变形 f (x )=log 3［(x －2m )2+m +11-m ］, 当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +11-m >0恒成立，故f (x )的定义域为R 反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +11-m >0,令Δ＜0,即16m 2－4(4m 2+m +11-m )＜0,解得m >1,故m ∈M(2)解析 设u =x 2－4mx +4m 2+m +11-m ,∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小 而u =(x －2m )2+m +11-m ,显然，当x =m时，u 取最小值为m +11-m ,此时f (2m )=log 3(m +11-m )为最小值(3)证明 当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+ 11-m +1≥3,当且仅当m =2时等号成立∴log 3(m +11-m )≥log 33=1学生巩固练习1 函数y =x 2+x1 (x ≤－21)的值域是( )A (－∞,－47]B ［－47,+∞) C ［2233,+∞) D (－∞,－3223］2 函数y =x +x 21-的值域是( )A (－∞,1]B (－∞,－1]C RD ［1,+∞)3 一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(20V )2千米 ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)4 设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根，当m =_________时，x 12+x 22有最小值_________5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x －21x 2(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位 百台)(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数f (x )=lg ［(a 2－1)x 2+(a +1)x +1］(1)若f (x )的定义域为(－∞,+∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞,+∞),求实数a 的取值范围 参考答案1 解析 ∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x1在(－∞,－21）上是减函数，∴y =x 2+x 1在x ∈(－∞,－21)上为减函数,∴y =x 2+x1 (x ≤－21)的值域为［－47，+∞)答案 B2令x 21-=t (t ≥0), ∵y =212t -+t =－21(t －1)2+1≤1∴值域为(－∞,1 答案 A3 解析 t =V 400+16×(20V )2/V =V 400+40016V≥216=8 答案 8解析 由韦达定理知 x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m ,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=m 2－22+m =(m －41)2－1617, 又x 1,x 2为实根，∴Δ≥0 ∴m ≤－1或m ≥2，y =(m －41)2－1617在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数，又抛物线y开口向上且以m =41为对称轴 故m =1时， y min 21 答案 －1 215 解 (1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x ) 之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－21x 2+4 75x －0 5,当x =－ab 2=4 75(百台）时，y max =10 78125(万元），当x >5(百台）时，y ＜12－0 25×5=10 75(万元），所以当生产475台时，利润最大(3）要使企业不亏本，即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或 解得5≥x ≥4 75－5625.21≈0 1(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本6 解 (1）依题意(a 2－1）x 2+(a +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即，∴a ＜－1或a 35 又a =－1时，f (x )=0满足题意，a =1时不合题意 故a ≤－1或a >为35所求 (2）依题意只要t =(a 2－1)x 2+(a +1)x +1能取到(0，+∞）上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时，t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意，∴1≤a ≤35为所求。