几个重要不等式
几个著名不等式
几个著名不等式
五 节 不
柯西、均值、 柯西、均值、 排序、 排序、Jensen不等式 不等式
柯西不等式
设a1 , a 2 ,..., a n 是任意实数，则
2 2 2 2 2 （a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn） ≤ (a12 + a 2 + ... + a n )(b12 + b2 + ... + bn ),
Jensen不等式 不等式
设 f ( x )是定义在开区间（ a , b）的函数， 如果对任意 x1、 x 2 ∈ ( a , b ), 有
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) f( ) ≤ 2 2
则称 f ( x )是（ a , b）内的下凸函数。
当且仅当 x1 = x 2时等号成立，则称 f ( x )为严格下凸函数。
要证 n a 1 a 2 ... a n ≤ a 1 + a 2 + ... + a n . n
设 f ( x ) = ln x , 则 f ( x ) 为上凸函数，
a 1 + a 2 + ... + a n ln a 1 + ln a 2 + .... + ln a n 则 ln( )≥ n n
ln( a 1 a 2 ... a n ) = n 由函数单调性得证
2 2 由a i 不全为零，得 ( a12 + a 2 + ... + a n ) > 0, 而且 f ( x ) ≥ 0
2 )当 a i 不全为零时，
⇒∆≤0
例题 6 设实数 x 、 y 满足 3 x 2 + 2 y 2 ≤ 6 , 求 p = 2 x + y 的最大值。
高三理科数学第一轮复习选修4-5§2：几个重要不等式的证明及其应用
选修4-5：不等式选讲 §2：几个重要不等式的证明及其应用
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2021年高中数学第二章几个重要的不等式一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5202109302154
利用柯西不等式证明不等式
【点评】 利用柯西不等式证明不等式的关键是根据待证 不等式的结构特征，对其进行代数式的恒等变形，通过“拆分”“ 拼”“合”等构造两组实数，使其满足柯西不等式的结构后证明之 ．
利用柯西不等式求最值
【点评】 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函 数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的 条件.
2021年高中数学第二章 几个重要的不等式一般 形式的柯西不等式课件
北师大版选修 4_5202109302154
2020/9/10
学习目标
重点难点
1.熟悉一般形式的柯西不等 1.重点是利用柯西不等式解
式，理解柯西不等式的证 决函数的最值、不等式证
明．
明问题．
2．会用柯西不等式解决函 2．难点是利用柯西不等式 数的最值、不等式等问题. 时，拼凑出适合的结构.
2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋ 3c2＋6d2＝5，试求实数a的取值范围．
1．应用柯西不等式的注意事项 (1)利用柯西不等式证明不等式或求值等时，一般不能直接 应用柯西不等式，需要对数学式子的形式进行变形，拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用． (2)熟练掌握柯西不等式的一般形式，并能敏感地发现待求 或待证式子与柯西不等式的关系，把数或字母的顺序对比柯西 不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后 应用解题．
阅读教材P29～P30“一般形式的柯西不等式”的有关内容，完 成下列问题：
1．一般形式的柯西不等式 定理2：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数， 则有 ________________________________________共_线________
高一基本不等式知识点总结
高一基本不等式知识点总结基本不等式是高中数学中的重要内容，它在解决最值问题、证明不等式以及优化问题中有着广泛的应用。
在高一阶段，我们主要学习了以下几种基本不等式：1. 算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：对于任意非负实数a和b，有\(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\)，当且仅当a=b时取等号。
这个不等式说明了两个非负数的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列\(a_1, a_2, ..., a_n\)和\(b_1, b_2, ..., b_n\)，有\((a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)\geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2\)。
这个不等式在处理向量和序列问题时非常有用。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有\(|a+b| \leq |a| + |b|\)。
这个不等式说明了两个数的和的绝对值不会超过它们绝对值的和。
4. 绝对值不等式：对于任意实数a和b，有\(|a| - |b| \leq |a-b| \leq |a| + |b|\)。
这个不等式描述了两个数的差的绝对值与它们绝对值之间的关系。
5. 伯努利不等式：对于任意实数x > -1和任意正整数n，有\((1+x)^n \geq 1+nx\)。
当x=0时等号成立。
这个不等式在处理指数增长问题时非常有用。
6. 均值不等式：对于任意正实数a和b，有\(\frac{a+b}{2} \geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a=b时取等号。
这个不等式是AM-GM不等式的特例，但它在处理两个变量的最值问题时更为直观。
掌握这些基本不等式，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
在实际应用中，我们需要注意不等式成立的条件，以及如何灵活运用这些不等式来简化问题。
53几个重要的不等式
5．3几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。
正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。
这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。
除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。
这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。
1． 柯西（Cauchy ）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了形如22222)())((bd ac d c b a +≥++的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy ）发现的，故而一般称之为柯西不等式。
柯西不等式有着丰富的几何背景。
可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。
请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。
如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理2222⋅-+=OP OQ OP PQ2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。
例1．已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax （1） 证明：由柯西不等式，.1))(()(22222=++≤+y x b a by ax 所以（1）成立。
关于矩阵秩的几个重要不等式
关于矩阵秩的几个重要不等式矩阵秩是线性代数中重要的概念，也是其他诸多领域研究的基础。
矩阵秩不仅仅可以用来测量矩阵的复杂性，还可以提供一些重要的不等式，可以用来确定矩阵中特定元素的精确位置，这在很多工程和科学应用中是非常重要的。
首先，对任意有限实矩阵，其秩最大可达到该矩阵维数的较小者。
这一不等式是由埃及学派成员济曼和卡特尔提出的。
它表明，任何矩阵的维数至少可以用它的秩来表示，而不会产生多余的项。
例如，维数可以表示为n×n实矩阵的秩最大为n。
其次，对于任意n×m矩阵A，他的秩不会超过min（m，n）。
这一不等式是由瓦西里科普洛夫于1908年提出的，也是矩阵秩的基本定义。
这一不等式暗示了：当n≤m时，满秩矩阵的秩最大为n；当n ＞m时，满秩矩阵的秩最大为m。
同样的，如果矩阵的维数n≤m，则秩最大可达n，如果维数n＞m，则秩最大可达m。
此外，对任意n阶矩阵A，必有至少一个 n×n子矩阵是满秩矩阵，而且该子矩阵的秩必然等于n。
这一不等式是由瓦西里科普洛夫于1908年提出的，也是矩阵秩的基本定义。
因此，按照科普洛夫定理，任何n阶矩阵都存在至少一个满秩矩阵，且其秩必定等于n。
另外，对任意n×m矩阵A，其主子式的总和的秩的和不会超过m+n。
这一不等式是由洛克菲勒斯教授在1949年提出的，该定理以马尔科夫的名字著称。
他证明了任何有限实矩阵的主子式的总和的秩的和不会超过m+n。
因此，假设矩阵A有m行n列，那么它的主子式的总和的秩最大可达m+n。
最后，对任意矩阵A，它的秩最多只能达到它的行数与列数之和。
这一不等式是由詹姆斯波尔斯阿克特尔在1969年提出的，他提出了一些矩阵分解的概念，以证明该定理。
因此，任何有限实矩阵的秩最多只能达到它的行数与列数之和，超过此限制的结果就无意义了。
以上就是关于矩阵秩的几个重要不等式的内容，它们在线性代数中扮演了重要的角色，也可以用来解决各种工程和科学问题。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
第7讲 基本不等式(知识点串讲)(解析版)
解得x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值．]
练习、(2019·山东济宁月考)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()
A． B．
C． D．
【答案】B[∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 ＝ .当且仅当x＝1－x，即x＝ 时，“＝”成立．]
练习、(2019·广东梅州月考)设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则 的最小值是________.
【答案】3[∵a－2b＋3c＝0，∴b＝ ，∴ ＝ ≥ ＝3，当且仅当a＝3c时取“＝”．]
【知识梳理】
6、用基本不等式求实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解(1)由题设，得S＝(x－8) ＝－2x－ ＋916，x∈(8，450)．
(2)因为8<x<450，
所以2x＋ ≥2 ＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【考点精炼】
考点四、基本不等式的实际应用
例4、(2019·山东聊城月考)某化工企业2018年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
高一数学基本不等式
高一数学基本不等式有哪几个?
高中数学基本不等式常用的有六个，在以后学习的过程中还要积累一些常见的不等式。
1.基本不等式a^2+b^2≧2ab
对于任意的实数a,b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。
证明的过程：因为（a-b）^2≧0，展开的a^2+b^2-2ab≧0，将2ab右移就得到了公式a^2+b^2≧2ab。
它的几何意义就是一个正方形的面积大于等于这个正方形内四个全等的直角三角形的面积和。
2.基本不等式√ab≦(a+b)/2
这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a=b时等号成立。
证明过程：要证(a+b)/2≧√ab，只需要证a+b≧2√ab，只需证（√a-√b）^2≧0，显然（√a-√b）^ 2≧0是成立的。
它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。
3.b/a+a/b≧2
这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a=b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。
证明的过程：b/a+a/b=(a^2+b^2)/ab≧2，只需证a^2+b^2≧2ab即可。
4.基本不等式的拓展公式：a^3+b^3+c^3≧3abc，a，b，c均为正数。
5.（a+b+c）/3≧³√abc，a，b，c均为正数，当且仅当a=b=c时等号成立。
6.柯西不等式。
高中数学不等式知识点
1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）；⑤（平方法则）⑥（开方法则）⑦（倒数法则）2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）. 变形公式：②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.3、几个著名不等式平均不等式：，，当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；①舍去或加上一些项，如②将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,规律：根据指数函数的性质转化.9、对数不等式的解法⑴当时,⑵当时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：①②③④规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
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几个重要不等式
一、平均值不等式
设a1,a2,…, an是n个正实数，则，当且仅当a1=a
2=…=an
时取等号
1.二维平均值不等式的变形
(1)对实数a,b有a2+b2³2ab (2)对正实数a,b有
(3)对b>0，有， (4)对ab2>0有，
(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0,有
(7) 对a>0,有 (8)对实数a，b有
a2³2ab-b2
(9) 对实数a，b及l¹0，有
二、例题选讲
例1.证明柯西不等式
证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取
代入(9)得有
两边平方得
法二、，即二次式不等式恒成立
则判别式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：
(1)
(2)
证明：(1)左=[]
=
³
(2)由知
同理：
相加得：左³
例3.求证：
证明：法一、取，有
a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b)
相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0
所以
法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a
2
2
+…+
an2)(12+12+…+12)
=(a12+ a22+…+ an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明：
证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,
则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)
1-a1=a2+a3+…+an+1³n
1-a2=a1+a3+…+an+1³n
…………………………………………
1-an+1=a1+a1+…+an³n
相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1
例5.对于正整数n，求证：
证明：法一、
>
法二、左=
=
例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证：
(1)
(2)
证明：(1)
相乘左边³=(n2+1)n
证明(2)
左边= -n+2(
= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](
³ -n+2×n