14.1.1.2直角三角形的三边关系
华师大版第14章勾股定理电子教材(课本)
第14章勾股定理
§14.1勾股定理
1. 直角三角形三边的关系
2. 直角三角形的判定
阅读材料 勾股定理史话
美丽的勾股树
§14.2勾股定理的应用
小结
复习题
课题学习 勾股定理的“无字证明”
第14章勾股定理
还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．
那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．
§14.1 勾股定理
1. 直角三角形三边的关系
本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．
试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表： 三角尺 直角边a 直角边b 斜边c 关系
1
2
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．
图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R的面积．即
AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，
图14.1.1
这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
试一试
观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝ 平方厘米；
正方形Q的面积＝ 平方厘米；
（每一小方格表示1平方厘米）
图14.1.2
正方形R的面积＝ 平方厘米．
我们发现，正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是 ．
由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系 ．
直角三角形三边的关系教案公开课
2 14.1.1直角三角形三边关系——勾股定理（1）
一、教学目标：
1．体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理并用它解决与实际生活相关的问题。
2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。
3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
二、教学重点、难点：
重点：探索和验证勾股定理的过程；
难点：通过面积计算探索勾股定理。
三、教学方法及学法指导：
采用合作探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。
四、教具准备
多媒体课件 三角形纸片 直尺
五、教学过程：
(一)、创设情境，导入课题
师：同学们，如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？
引导生观察归纳：电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+AB的长
师：大家想不想以最快的速度得出AB的长呢？本节课开始，老师和大家一起研究直角三角形的一条重要性质。（板书课题 14.1.1直角三角形三边关系——勾股定理）
(二)、合作互动，探究新知
1、互动1. 图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中画出的三个正方形P、Q、R, 观察图形，并填空：
⑴正方形P的面积为 1 2cm，
正方形Q 的面积为 1 2cm，
正方形R的面积为 2 2cm。
⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？
⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗？你能发现等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流。
生：在等腰直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 RQPCBA
直角三角形的三边关系定理解析
直角三角形的三边关系定理解析
一、直角三角形的定义
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角，即90度。
二、三边关系定理
直角三角形的三边关系定理是指直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
三、三边关系定理的证明
1. 勾股定理的证明
a. 设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c。
b. 构造直角三角形ABC，其中∠C为直角，AC=a，BC=b。
c. 在三角形ABC中，过点A作AD垂直于BC，交BC于点D。
d. 根据直角三角形的性质，得到∠ADB也为直角。
e. 根据勾股定理，得到AB²=AD²+BD²。
f. 因为AD=BC=b，BD=a，所以AB²=a²+b²。
g. 因此，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 逆定理的证明
a. 设三角形ABC的两边AB和AC的平方和等于BC的平方，即AB²+AC²=BC²。
b. 过点A作AD垂直于BC，交BC于点D。
c. 根据勾股定理的逆定理，得到∠ADB为直角。
d. 因此，三角形ABC为直角三角形。
四、三边关系定理的应用
1. 计算直角三角形的边长
a. 已知两直角边的长度，可以通过三边关系定理计算斜边的长度。
b. 已知斜边和一锐角边的长度，可以通过三边关系定理计算另一锐角边的长度。 2. 证明几何题
a. 在解决几何问题时，如果已知三角形是直角三角形，可以通过三边关系定理来证明。
b. 在解决几何问题时，如果需要证明一个三角形是直角三角形，可以通过三边关系定理来证明。
五、特殊情况
1. 等腰直角三角形
a. 等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其中两直角边相等。
b. 在等腰直角三角形中，斜边的长度是直角边长度的√2倍。
2. 直角三角形中的直角边和斜边的关系
a. 在直角三角形中，斜边的长度大于任何一条直角边的长度。
b. 在直角三角形中，直角边的长度大于斜边与另一条直角边之差。
直角三角形的三边关系定理是数学中的一个重要定理，它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系。通过理解这一定理，我们可以更好地解决与直角三角形相关的问题。
14章
14.1.1直角三角形三边关系 第一课时
学习目标：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．会应用勾股定理解决实际问题
教学过程：
自主学习：自学108-110，完成探究2和3
1. 勾股定理：____________________________________________.
2. 在直角三角形ABC中，角C是90°，AB=c,BC=a,AC=b可得，a=________,b=_______, c=_______
合作探究：
一、探索勾股定理
探索一：测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺直角边a、直角边b、斜边c关系
三角尺 直角边a
直角边b 斜边c 关系
1
2
请你猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系
巩固练习：1.做一做求下列图形中表示边的未知数的值
2.将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米） x
144 81 6
2
x 17
x
15
小结
这节课主要探索了勾股定理，
(1)勾股定理的内容:
_______________________________________________________________________________________________
(2)勾股定理公式的几个变形
AB=_____________
BC=_____________
AC=_____________
达标测评：
1.在RT△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠B=90
(1)已知a=6,b=10,求c (2)已知a=24,c=25,求b
2.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC的周长
八年级数学《直角三角形三边的关系》参考教案
1 / 7 14.1.1 直角三角形三边的关系
【教学目标】
一、知识目标
1.在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
3.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。
二、能力目标
1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。
2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。
3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。
三、情感态度目标
学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
【重点难点】
重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点：灵活运用勾股定理。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。
【课时安排】2课时。
【教学设计】
第一课时 勾股定理
【本课目标】
1．在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
【教学过程】
1.情境导入
以国际数学家大会的会徽和地转反映的直角三角形边的关系引入勾股定理。
2 / 7 2.自学指导：
（1）、阅读教材108-109页，探索勾股定理的推导过程。
（2）、找出勾股定理的内容？
3.合作探究
（1）整体感知
由观察课本中图14.1.1和图14.1.2入手得出勾股定理；通过做一做的动手操作证实勾股定理；通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性；通过对本课本第111页例1的求解巩固勾股定理。
（2）四边互动
互动1：
师：你们能数出图14.1.1中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看.
生：根据图形进行操作．
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积。
师生共同归纳：RQPSSS ,即两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形三边关系教案_教案：《14.1.1直角三角形三边的关系》
直角三角形三边关系教案_教案：《14.1.1直角三角形三边的关系》
教 案 原创教案：《14.1.1直角三角形三边的关系》 一、教学内容 华东师大版14.1.1直角 三角形三边的关系 二、教学目标 1．知识与技能：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题；
2．思想与方法：在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力；
3．情感、态度、价值观：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情． 教学分析 三、重点难点 1．探索和验证勾股定理过程． 2．通过面积计算探索勾股定理． 四、教学方法及教学手段 采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识． 五、教学过程 （一）激趣导入 多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题． （二）合作互动 1．小组讨论 活动一：动脑想一想 观察下图正方形大小，图中每一小方格表示，你能发现图中正
方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？ （1）正方形P的面积为 ， 正方形Q 的面积为 ， 正方形R的面积为 ． （2）你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？ 活动二：
其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？ （你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示） （1）正方形P的面积为 ， 正方形Q的面积为 ， 正方形R的面积为 ． （2）正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？ （3）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 试一试：
14.1.1 直角三角形的三边关系教学设计
1 14.1.1
直角三角形的三边关系（1）
学习目标：
1.体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理．
2．通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力．
3. 通过问题的发现解决，使学生有成就感、培养学生的合作精神．
学习重点：探索勾股定理的过程
学习难点: 会运用勾股定理解决相关问题
【一】复习回顾
1、你会求图（1）中正方形ABCD的面积吗？答：
2、你能求出图（2）中的正方形的面积吗？
3、你能求出图（3）中的四边形ABCD的面积吗？图（4）中的四边形ABCD的面积呢？
4、直角三角形的性质：
【二】自学互助 探索勾股定理
1. 根据右图，小组讨论完成下列问题：
（1） 两个小正方形P、Q的面积与大正方形R的面积存在
着怎样的关系___________________
(2) 正方形P的面积：SP=AC2
正方形Q的面积：SQ= _____________
正方形R的面积：SR= _____________
这时，（1）中的关系又可表示为_______________
(3) Rt△ABC是什么样的直角三角形?
2.试一试：(小组共同完成)
如右图，如果每一个小方格面积1平方厘米那么可以得到：
正方形P的面积=_________平方厘米
正方形Q的面积=_________平方厘米
正方形R的面积=_________平方厘米
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是______________
由此，我们得出直角三角形ABC的三边长度之间
存在什么样的关系？
问题：分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC,测量斜边的长度,然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
武穴市师院附中八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系教案新版华东师大版
1 第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
【基本目标】
1.体验勾股定理的探索.
2.会用勾股定理求直角三角形的边长.
【教学重点】
用勾股定理求直角三角形的边长.
【教学难点】
用拼图法证明勾股定理.
一、创设情景，导入新课
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
二、师生互动，探究新知
1.勾股定理的证明.
【活动】
方法一：
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明. 2
【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.
【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.求直角三角形的边长.
【活动】出示习题：
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=____；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是____.
【答案】（1）13（2）15（3）10或27
【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按8为直角边或斜边.最后教师板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，
直角三角形三边的关系教案
——勾股定理（1）
一、教学目标：
1．体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理用它解决身边与实际生活相关问题。
2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。
3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
二、教学重点、难点：
重点：探索和验证勾股定理过程；
难点：通过面积计算探索勾股定理。
三、教学方法及学法指导：
采用合作探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。
四、教具准备
多媒体课 三角形纸片
五、教学过程：
（一）．自学导纲
1、创设情境，导入课题
师：同学们，在电网改造中，电力工人为了让如图示的电线杆更加稳固，可以采用什么方法？请大家帮他想想办法。
生1：埋的更深一些。
生2：斜拉一根钢丝……
师：大家真聪明，能想出这么多方法。如果采用了
生2的方案，你的依据的什么？
生：三角形的稳定性。
师：如图示，电杆、钢丝、地面围成了什么图形？
生：直角三角形
师：在施工时，还要知道什么？
生：钢丝的长度。即AB的长。
师：大家想不想以最快的速度得出AB的长呢？本节课开始，老师和大家一起研究直角三角形的一条重要性质。（板书课题 ——勾股定理）
2．出示导纲，学生自学 A
B C 8米
3米 完成导纲知识性问题
1、直角三角形的定义是：
2、直角三角形有什么性质？
3、画直角三角形ABC，∠C为直角。
(二)、合作互动，探究新知
1、互动1：Rt△ABC中，∠C＝900，（1）a=3,b=4,c=5 (2) a=5,b=12,c=13
完成下表要求：一二大组完成（1）三四大组完成（2）
《直角三角形三边的关系》教学设计
14.1勾股定理
1.直角三角形三边的关系
第1课时 探索直角三角形三边的关系
教学目标：
知识技能：
1.经历用画直角三角形探索勾股定理的过程，进一步理解掌握勾股定理。
2.了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的应用。
过程与方法：
经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想
情感态度价值观：
1.通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值.
2. 通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；对比介绍我国古代和西方数学家有关勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．
教学重点：勾股定理
教学难点：勾股定理的探索
教学准备：多媒体课件
教学过程：
引入：由2002年的国际数学家大会上会标，引出弦图，这节课我就带领大家一起探索勾股定理．
一、预习反馈
1.检查预习情况
请在小组内讨论交流预习内容，核对练习答案，解决预习过程中存在的问题。（说说进度、方法和效果、有没有不清楚的地方）
2.出示学习目标
二、小组质疑
1. 学生分组展示自己的学习成果，接受其他同学和老师的评价、提问和挑战。
2. 如果出现共性的且不能解决的问题教师给予适时点拨。
探索新知 探究1
A、 B 、 C 的面积有什么关系？
A+B=C
直角三角形三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
探究2
A、 B 、 C 的面积有什么关系？
有什么方法求C？（割补法）
法一：
（单位面积）25143214CS
法二：
（单位面积）—254321472CS
大胆挑战
在方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”对这个直角三角形是否成立．