2019届高考理科数学专题 坐标系与参数方程
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程文
坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】55【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当2s =min 45d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l 45. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为 .（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ，由方程组得，由已知2tan =θ，可得，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三 极坐标 参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3＋t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)． (1)求C 和l 的极坐标方程；(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA ||OB |的最大值．解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得()ρcos θ－12＋ρ2sin 2θ＝1，化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0，所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， 所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)， 则|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β4＝12(sin βcos β＋cos 2β)＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4＋14，由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 则2β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA ||OB |取得最大值，即⎝⎛⎭⎪⎫|OA ||OB |max＝2＋14. 【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值范围．【解析】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(2sin α－2cos α)t ＋1＝0.∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－4>0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，t 1t 2＝1>0，∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|. 由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得 1|PA |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1||t 2| ＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|1＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈(2,22]．∴1|PA |＋1|AQ |∈(2,22]． 【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17 a. 【答案】（1）C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为.由解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=.从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为，故C 上的点到l 的距离为.当4a ≥-时， d 171717=8a =； 当4a <-时， d 17由题设得，所以16a =-.综上， 8a =或16a =-.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）15. 【解析】（I ）由可得C 的极坐标方程（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得于是由||10AB =得， 所以l 的斜率为153或153-. 【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)【变式探究】已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5.【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )． ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．。
2019年高考数学(理)真题模拟试题专项汇编：专题14 坐标系与参数方程
2019年08月08日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是( ) A.15 B. 25 C. 45 D. 65 答案：D解析：直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d==,故选D.二、填空题 2.设R a ∈，直线20ax y -+=和圆22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为_______.答案：34解析：圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，2=，即2244144a a a ++=+，解得34a =。
三、解答题3.平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为(11x t y t =+=+⎧⎪⎨⎪⎩为参数),以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-. 1.写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程;2.已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ,且与曲线 C 交于,?A B 两点,试求AB .1.把直线l的参数方程化为普通方程为)11y x -+,∵cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩,∴直线lcos sin 10θρθ-=, 由22cos 1cos θρθ=-,可得()221cos 2cos ρθρθ-=, ∴曲线 C 的直角坐标方程为22y x =.2.直线l 的倾斜角为π3, ∴直线l '的倾斜角也为π3,又直线l '过点()2,0M , ∴直线l '的参数方程为(2'122x t t y ⎧'⎪⎪⎨⎪'+=⎩=⎪为参数), 将其代入曲线 C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=,设点,A B 对应的参数分别为12,t t ''. 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t =-'',1243t t '='+.∴12AB t t ='-'=3==答案：解析：4.[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知直线π:sin()03l ρθ-=，在直角坐标系(原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向)中，曲线C 的参数方程为1414y t t x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．设l 与C 交于,A B 两点，求AB 的长．答案：以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴建立坐标系，。
2019年高考数学总复习8.1坐标系与参数方程习题课件文
解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为
������ 2 4
+
������ 2 16
=1.当cos α≠0来自,l的直角坐标方程为 y=tan α· x+2-tan α, 当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.
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(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程 (1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设 为t1,t2,则t1+t2=0.
2014 2015 2016 年 年 年
2017 年
2018 年
ⅠⅡⅠ ⅡⅠⅡ ⅢⅠⅡ ⅢⅠ ⅡⅢ
卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷
命题 角度 1
23
23 22 22
22 22 22
命题 角度 2
23 23 23 23 23
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极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化 高考真题体验· 对方向 1.(2018全国Ⅰ· 22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2. 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐 标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
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|������ +2| =2, 故 ������ 2 +1
4
4
2.(2018全国Ⅱ· 22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 ������ = 2cos������, ������ = 1 + ������cos������, (θ 为参数),直线 l 的参数方程为 (t 为参 ������ = 2 + ������sin������ ������ = 4sin������ 数). (1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(0,2),求l的斜率.
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题坐标系与参数方程热点难点突破文
坐标系与参数方程1．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝2B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2解析 先将极坐标化成直角坐标表示，⎝⎛⎭⎪⎫2，π2化为(0，2)，过(0，2)且平行于x 轴的直线为y ＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D. 答案 D2．在直角坐标系xOy 中，已知点C (－3，－3)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－5π6.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 3．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________． 答案 2312．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2，23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋（3）2＝2. 答案 213．在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 曲线C 1的直角坐标方程为x ＋2y －2a ＝0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2， 若曲线C 1，C 2有公共点，则有圆心到直线的距离|2－2a |1＋22≤2，即|a －1|≤5， ∴1－5≤a ≤1＋5，即实数a 的取值范围是[1－5，1＋5]． 答案 [1－5，1＋5]14．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，曲线C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．15．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，则yx 的取值范围是________．解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝1， 圆心为(－2，0)，半径为1. 设yx＝k ，则直线y ＝kx ，即kx －y ＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝1，即|2k |＝k 2＋1，平方得4k 2＝k 2＋1，k 2＝13，解得k ＝±33，由图形知k 的取值范围是－33≤k ≤33， 即y x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)将C 1的方程化为普通方程；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π3，求曲线C 1与C 2的交点的极坐标．解 (1)C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)设C 1的圆心为A ，∵原点O 在圆上， 设C 1与C 2相交于O ，B ，取线段OB 的中点C ， ∵直线OB 倾斜角为π3，OA ＝2，∴OC ＝1，从而OB ＝2，∴O ，B 的极坐标分别为O (0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.17．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |的值．18．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 解 (1)y 2＝2ax ，y ＝x －2.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝2ax ，得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， 即a 2＋3a －4＝0.解得a ＝1或a ＝－4(舍去)． 19．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin αy ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)． (1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．解 (1)由x ＝3cos α＋sin α得x 2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1， 所以曲线M 可化为y ＝x 2－1，x ∈[－2,2]，由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 可化为x ＋y ＝t .(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点(2,3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t ，y ＝x 2－1，得x 2＋x －1－t ＝0，由Δ＝1＋4(1＋t )＝0，解得t ＝－54.即|OP ||OQ |的取值范围是[2,3]．。
三年高考(2019-2021)数学(理)试题分项汇编——专题18 坐标系与参数方程(教师版)
专题18 坐标系与参数方程1．【2021·全国高考真题（理）】在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=+【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】 （1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x -=-，即140kx y k -+-=，由圆心到直线的距离等于11=，解得k =330y -+-=330y +--=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.2．【2021年全国高考甲卷数学（理）试题】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足2AP AM =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y -+=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点. 【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）设(),P x y ，设)Mθθ，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得. 【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)Mθθ2AP AM =，())()1,22cos x y θθθθ∴-=-=+-，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3-，3222-<-∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解.3．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin kkx t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】（1）当k =1时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆．（2）当k =4时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数t 得1C1=． 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=．由1,41630x y -+=⎪⎩解得1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11(,)44．5．【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程． 【解析】（1）1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤．由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t=+-，所以224x y -=． 故2C 的普通方程为224x y -=．（2）由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 的直角坐标为53(,)22． 设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x ，由题意得220059()24x x =-+，解得01710x =． 因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 6．【2020年高考全国III 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t ty t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【解析】（1）因为t ≠1，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为（0，12）； 由2230t t -+=得t =2，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-．故||AB =（2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为1412x y+=-，将cos sin x y ρθρθ==，代入，得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=． 7．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θ≤<π）． （1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【解析】（1）由1cos 23ρπ=，得14ρ=；24sin 26ρπ==，又（0，0）（即（0，6π））也在圆C 上， 因此22ρ=或0．（2）由cos 2,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得4sin cos 2θθ=，所以sin21θ=．因为0ρ≥，0 2θ≤<π，所以4θπ=，ρ所以公共点的极坐标为)4π．8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2． 【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-． l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π3,6⎫⎪⎭或π3,3⎫⎪⎭或2π3,3⎫⎪⎭或5π3,6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．11．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB = （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．。
2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十七坐标系与参数方程讲义理(选修4_4)
专题十七坐标系与参数方程卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值纵向把握趋势考题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、曲线方程的求解及点到直线距离的应用．预计2019年会以直线与圆为载体考查直线与圆参数方程和极坐标方程的应用考题主要涉及直角坐标方程与参数方程和极坐标方程的互化、轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题、直线与圆位置关系的应用，难度适中．预计2019年会以极坐标或参数方程为载体，考查直线与圆的方程及性质横向把握重点1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2.全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用极坐标方程及应用[由题知法]1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r 2＝0.20几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ，半径为a ：ρ＝2a sin θ.(a ，π2)2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M 且平行于极轴：ρsin θ＝b .(b ，π2) (2019届高三·广州七校第一次联考)已知曲线C 的参数方程为Error!(α为参[典例]数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝，l 2：θ＝，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点A ，B ，求△AOB π6π3的面积．[解] (1)∵曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.将Error!代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(2)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ，由Error!得|OA |＝2＋1.3同理可得|OB |＝2＋.3又∠AOB ＝，π6∴S △AOB ＝|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝.128＋534∴△AOB 的面积为.8＋534[类题通法]1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用．(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[应用通关]1．(2019届高三·南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为Error!(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ，直(θ＋π3)线l 的直角坐标方程为y ＝x .33(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；(2)已知直线l 分别与曲线C 1、曲线C 2相交于异于极点的A ，B 两点，若A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．解：(1)由曲线C 1的参数方程为Error!(θ为参数)，得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.易知直线l 过原点，且倾斜角为，π6故直线l 的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．π6(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 的极坐标方程为θ＝，π6将θ＝代入C 1的极坐标方程得ρ1＝1，π6将θ＝代入C 2的极坐标方程得ρ2＝4，π6∴|ρ2－ρ1|＝3.2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以＝2，故k ＝－|－k ＋2|k 2＋1或k ＝0.43经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．43当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以＝2，故k ＝0|k ＋2|k 2＋1或k ＝.43经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝时，l 2与C 2没有公共点．43综上，所求C 1的方程为y ＝－|x |＋2.43参数方程及应用[由题知法]常见的几种曲线的普通方程和参数方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x－x 0)Error!(t 为参数)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2Error!(φ为参数)抛物线y 2＝2pxError!(t 为参数) 已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，圆C 的参数方程为Error!(α[典例]为参数)．(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于，求实数m 的取值范围；2(2)若点A 的坐标为(2,0)，动点P 在圆C 上，试求线段PA 的中点Q 的轨迹方程．[解] (1)由直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，得直线l 的普通方程为y ＝mx ，由圆C 的参数方程为Error!(α为参数)，得圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.则圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝，1m 2＋1故相交弦长为2 ，1－1m 2＋1所以2 ≥，1－1m 2＋12解得m ≤－1或m ≥1.所以实数m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)设P (cos α，1＋sin α)，Q(x ，y )，则x ＝(cos α＋2)，y ＝(1＋sin α)，1212消去α，整理可得线段PA 的中点Q 的轨迹方程为(x －1)2＋2＝.(y －12)14[类题通法]1．参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t ·＝1；1t②2－2＝4；(t ＋1t )(t －1t )③2＋2＝1.(2t 1＋t 2)(1－t 21＋t 2)2．与参数方程有关问题的求解方法(1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为Error!(t 为参数)，|t |等于直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的距离．若直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为(t 1＋t 2)．12(2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝x 24y 216tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－，4 2cos α＋sin α1＋3cos 2α故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos＝－.(θ＋π4)2(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值．解：(1)由Error!消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos ＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，(θ＋π4)2所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ，(2，π2)设点P 的坐标为(－5＋cos t,3＋sin t )，22则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝.|－6＋2cos (t ＋π4)|2所以d min ＝＝2，又|AB |＝2.4222所以△PAB 面积的最小值是S ＝×2×2＝4.1222极坐标方程与参数方程的综合问题[由题知法] (2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点[典例](1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝.8cos θ1－cos 2θ(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若α＝，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．π4[解] (1)由题意可得直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．∵曲线C 的极坐标方程为ρ＝，8cos θ1－cos 2θ∴ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)法一：当α＝时，直线l 的参数方程为π4Error!(t 为参数)，代入y 2＝8x 可得t 2－8t －16＝0，2设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝－16，2∴|AB |＝|t 1－t 2|＝＝8. t 1＋t 2 2－4t 1t 23又点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin ＝，π422∴S △AOB ＝×|AB |×d ＝×8×＝2.12123226法二：当α＝时，直线l 的方程为y ＝x －1，π4设M (1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得y 2－8y －8＝0，则y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8，∴S △AOB ＝|OM ||y 1－y 2|＝×1×＝×＝×41212 y 1＋y 2 2－4y 1y 21282－4× －8 12＝2.66[类题通法] 解极坐标方程与参数方程综合问题的策略(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[应用通关]1．(2018·合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(θ为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值．解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1.设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)，由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1.∵|MC 2|＝ 3cos θ－1 2＋4sin 2θ＝，5cos 2θ－6cos θ＋5∴当cos θ＝时，|MC 2|min ＝，35455∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝－1.4552．(2018·陕西质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为Error!(t ＞0，α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ＝3.2(θ＋π4)(1)当t ＝1时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围．解：(1)由ρsin ＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3，2(θ＋π4)把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －3＝0，当t ＝1时，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1，∴曲线C 为圆，且圆心为O ，半径r ＝1，则点O 到直线l 的距离d ＝＝，|0＋0－3|2322∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋.322(2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对任意的α∈R ，t cos α＋sin α－3＜0恒成立，即cos(α－φ)＜3恒成立，t 2＋1(其中tan φ＝1t)∴ ＜3，t 2＋1又t ＞0，∴0＜t ＜2.2∴实数t 的取值范围为(0,2)．2[专题跟踪检测](对应配套卷P207)1．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为Error!(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．2(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝时，l 与⊙O 交于两点．π2当α≠时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －.π22l 与⊙O 交于两点需满足<1，21＋k 2解得k <－1或k >1，即α∈或α∈.(π2，3π4)(π4，π2)综上，α的取值范围是.(π4，3π4)(2)l 的参数方程为Error!（t 为参数，<α<）.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，π43π4t P ，则t P ＝，且t A ，t B 满足t 2－2t sin α＋1＝0.t A ＋t B22于是t A ＋t B ＝2sin α，t P ＝sin α.22又点P 的坐标(x ，y )满足Error!所以点P 的轨迹的参数方程是Error!（α为参数，<α<）.π43π42．(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为Error!(t 为参数)，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程和交点A 的坐标(非坐标原点)；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为B (非坐标原点)，求△π4OAB 的最大面积．解：(1)由Error!(t 为参数)，得曲线C 1的普通方程为y ＝x tan α，故曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2)2＋y 2＝4，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.故交点A 的坐标为(4cos α，α)(也可写出直角坐标)．(2)由题意知，点B 的极坐标为.(22，π4)∴S △OAB＝＝|12×22×4cos α×sin (π4－α)|，|22sin (2α－π4)－2|当sin ＝－1时，(S △OAB )max＝2＋2，(2α－π4)2故△OAB 的最大面积是2＋2.23．(2018·辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈.[0，2π](1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：Error!(t 为参数)的距离最短，写出D 点的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ，可得ρ2＝2ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)由直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，消去t 得l 的普通方程为x ＋y －5＝0，3由(1)得曲线C 的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l 的距离为＝2＞1，|1－5|1＋3所以曲线C 与l 相离．因为点D 在曲线C 上，所以可设D (cos α，1＋sin α)，则点D 到直线l 的距离d ＝＝，|3cos α＋1＋sin α－5|2|2sin (α＋π3)－4|2当sin ＝1时，点D 到直线l 的距离d 最短，此时α＝，故点D 的直角坐标为(α＋π3)π6.(32，32)4．(2019届高三·昆明调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A (2,1)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|P Q|2＝|AP |·|A Q|，求直线l 的斜率k .解：(1)直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3＝0，由Δ＝(4cos α)2－4×3＞0，得cos 2α＞，34则t 1＋t 2＝－4cos α，t 1·t 2＝3，由参数的几何意义知，|AP |＝|t 1|，|A Q|＝|t 2|，|P Q|＝|t 1－t 2|，由题意知，(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，则(t 1＋t 2)2＝5t 1·t 2，得(－4cos α)2＝5×3，解得cos 2α＝，满足cos 2α＞，151634所以sin 2α＝，tan 2α＝，116115所以直线l 的斜率k ＝tan α＝±.15155．已知曲线C ：Error!(α为参数)和定点A (0，)，F 1，F 2是此曲线的左、右焦点，3以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AF 2的极坐标方程；(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，求||MF 1|－|NF 1||的值．解：(1)曲线C ：Error!可化为＋＝1，x 24y 23故曲线C 为椭圆，则焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)．所以经过点A (0，)和F 2(1,0)的直线AF 2的方程为x ＋＝1，即x ＋y －＝0，3y333所以直线AF 2的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝.33(2)由(1)知，直线AF 2的斜率为－，因为l ⊥AF 2，所以直线l 的斜率为，即倾斜角333为30°，所以直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，代入椭圆C 的方程中，得13t 2－12t －36＝0.3则t 1＋t 2＝.12313因为点M ，N 在点F 1的两侧，所以||MF 1|－|NF 1||＝|t 1＋t 2|＝.123136．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ＜π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求(π6≤β≤π3)|OA ||OB |的取值范围．解：(1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立Error!得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ＜π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝，得cos θ＝±，1412当cos θ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，12π33(23，π3)当cos θ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，122π33(23，2π3)∴C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，，.(23，π3)(23，2π3)(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β，代入C 2的极坐标方程中，得ρ2＝，sin βcos 2β∴＝＝4cos 2β.|OA ||OB |4sin βsin βcos 2β∵≤β≤，∴1≤4cos 2β≤3，π6π3∴的取值范围为[1,3]．|OA ||OB |7．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：Error!(α为参数，t ＞0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos (θ－π4)＝.2(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为＋，求t 的值．622解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，(θ－π4)2所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为Error!(α为参数，t ＞0)，所以曲线C 的普通方程为＋y 2＝1(t ＞0)，x 2t2由Error!消去x ，得(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)＜0，又t ＞0，所以0＜t ＜，3故t 的取值范围为(0，)．3(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离d ＝，|t cos α＋sin α－2|2故d 的最大值为，t 2＋1＋22由题设得＝＋，t 2＋1＋22622解得t ＝±.2又t ＞0，所以t ＝.28．(2019届高三·成都诊断)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.3(π2，π)(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.由ρ＝2，得sin θ＝，332∵θ∈，∴θ＝.(π2，π)2π3(2)易知直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0，33∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.33又射线OA 的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，2π3联立Error!解得ρ＝4.3∴点B 的极坐标为，(43，2π3)∴|AB |＝|ρB －ρA |＝4－2＝2.333。
专题22 坐标系与参数方程-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
设 Q(, ) 为l上除P的任意一点．
在 Rt△OPQ 中， cos( ) | OP | 2 ， 3
经检验，点 P(2, ) 在曲线 cos( ) 2 上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，
在 Rt△OAP 中，| OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
进行极坐标和直角坐标的互化． 4．能在极坐标系中给出简单图形的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解
用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义． 5．了解参数方程，了解参数的意义． 6．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 【命题规律】 参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标 方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决． 【答题模板】 1．平面直角坐标系中的伸缩变换
【母题来源三】【2017 年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4．
（1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | OM | | OP | 16 ，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标
由题设知 | OP |
,| OM
|
1
4 cos
．
由| OM | | OP | 16 得 C2 的极坐标方程 4cos ( 0) ．
因此 C2 的直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4(x 0) ．
2019年高考数学真题专题18 坐标系与参数方程
专题18 坐标系与参数方程1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l 的直角坐标方程为23110x y ++=；（2）7．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l 的直角坐标方程为23110x y ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到l 的距离为π4cos 11|2cos 23sin 11|377ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）023ρ=，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 233ρπ==． 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC ，曲线3M 是弧»CD． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos 3θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin 3θ=，解得π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos 3θ-=，解得5π6θ=． 综上，P 的极坐标为π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫⎪⎝⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（1）5；（2）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B （2，2π）， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【答案】（1）2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．；（2）1C 的方程为4||23y x =-+． 【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，所以2|2|21k k -+=+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，所以2|2|21k k +=+，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=，l 的直角坐标方程为1x =；（2）l 的斜率为2-．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点()02-，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）α的取值范围是(,)44π3π．；（2）点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【解析】（1）O e 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O e 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为2y kx =-．l 与O e 交于两点当且仅当22||11k<+，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l 的参数方程为cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=．于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,2sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 8．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为ρ=4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为23． 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB==．因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1-=a，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a=或16a=-．【解析】（1）曲线C的普通方程为2219xy+=．当1a=-时，直线l的普通方程为430x y+-=．由22430,19x yxy+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,xy=⎧⎨=⎩或21,2524.25xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C与l的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-．（2）直线l的普通方程为440x y a+--=，故C上的点(3cos,sin)θθ到l的距离为|3cos4sin4|17adθθ+--=．当4a ≥-时，d 的最大值为917a +． 由题设得91717a +=，所以8a =； 当4a <-时，d 的最大值为117a -+． 由题设得11717a -+=，所以16a =-． 综上，8a =或16a =-．【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值． 【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）23+．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>， 由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=． 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>． 因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠． （2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>，由题设知2,4cos B OA ρα==，于是OAB △的面积S =13sin 4cos |sin()|2|sin(2)|2 3.2332B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=--≤+当12απ=-时，S 取得最大值23+，所以OAB △面积的最大值为23+． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。
(福建专用)2019高考数学一轮复习-坐标系与参数方程课件 理 新人教A版
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 3
求平面图形面积的最值
关闭
(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
4
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ
.
1=
例3(2017全国Ⅱ,理22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x
cos
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.
2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴
重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可
以互化.
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练 2(2017 安徽淮南一模)在平面直角坐标中,以坐标原点
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方
√2
关闭
= -2 + 2 ,
θ(a>0)可得 ρl 的参数方程为θ.所以曲线 C 的普通方
程为 ρsin θ=2acos θ(a>0),直线
(t 为参
√2
= -4 + 2
程为 y2=2ax;
(1)由 ρsin22θ=2acos
2sin2θ=2aρcos
√2
数),直线 l 与曲线 C 相交于
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.(
)
(2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程
.(
)
(3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为
2019年高考数学理科数学 坐标系与参数方程分类汇编
2019年高考数学理科数学坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l 的距离226543d ==+，故选D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l 的直角坐标方程为23110x +=；（27．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l 的直角坐标方程为23110x y ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos 3sin 110ρθρθ++=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）023ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 233ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．。