牛莱公式使用条件
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D5_2牛莱公式
x
b
( 牛顿 - 莱布尼茨公式 )
∫a f ( x) dx 是 f ( x) 的一个原函数 , 故 x F ( x ) = ∫ f ( x ) dx + C a x 令 x = a , 得 C = F (a ) , 因此 ∫ f ( x) dx = F ( x ) − F (a) a
证: 根据定理 1,
a
是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个原函数 .
Φ ( x)
O a xξ b x 证: ∀ x , x + h ∈ [a , b] , 则有 x+h Φ ( x + h) − Φ ( x ) 1 x + h x = [∫ f (t ) d t − ∫ f (t ) d t ] h
a h a 1 x+h = ∫ f (t ) d t = f (ξ ) ( x < ξ < x + h) h x
F ′( x ) > 0
x f ( x ) ∫ f (t ) d t− f ( x) ∫ t f (t ) d t
0
( ∫0 f (t ) d t )
x
0 x
x
2
=
f ( x ) ∫ ( x − t ) f (t ) d t
( ∫ 0 f (t ) d t ) 2
Page � 6
=
f ( x ) ⋅ ( x − ξ ) f (ξ ) x
x2 2 − cos x 1 洛 e ⋅ ( − sin x ) 解: 原式 = − lim = x →0 2e 2x 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 a x − sin x lim x = c (c ≠ 0). 2 x →0 ln( 1 + t )d t ∫
b
( 牛顿 - 莱布尼茨公式 )
∫a f ( x) dx 是 f ( x) 的一个原函数 , 故 x F ( x ) = ∫ f ( x ) dx + C a x 令 x = a , 得 C = F (a ) , 因此 ∫ f ( x) dx = F ( x ) − F (a) a
证: 根据定理 1,
a
是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个原函数 .
Φ ( x)
O a xξ b x 证: ∀ x , x + h ∈ [a , b] , 则有 x+h Φ ( x + h) − Φ ( x ) 1 x + h x = [∫ f (t ) d t − ∫ f (t ) d t ] h
a h a 1 x+h = ∫ f (t ) d t = f (ξ ) ( x < ξ < x + h) h x
F ′( x ) > 0
x f ( x ) ∫ f (t ) d t− f ( x) ∫ t f (t ) d t
0
( ∫0 f (t ) d t )
x
0 x
x
2
=
f ( x ) ∫ ( x − t ) f (t ) d t
( ∫ 0 f (t ) d t ) 2
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=
f ( x ) ⋅ ( x − ξ ) f (ξ ) x
x2 2 − cos x 1 洛 e ⋅ ( − sin x ) 解: 原式 = − lim = x →0 2e 2x 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 a x − sin x lim x = c (c ≠ 0). 2 x →0 ln( 1 + t )d t ∫
牛莱公式与换元积分法与分部积分法
xd(
sin
x)
1
sin5 x
π 2
5
0
5
1 5
sin
π 2
sin 05
1. 5
注: 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以 不引入中间变量
例5 计算
e4 1 x(1 ln x) d x
解
e4
e4
1 x(1 ln x) d x 1 1 ln x d(1 ln x)
=
4ln 1 ln x e 1
1 0
201 et dt
2[e et
2e (e
1
]
0
1)
2.
练习：P120 3（11）
小结：牛—莱公式，定积分换元积 分法和分部积分法
作业：P120 3（1）、（9）、（10）
b
a
(uv)'dx
b
a
vu'dx
b
a
uv'dx,
由于
b
(uv)'dx
a
uv|ba ,
所以
b a
uv
'dx
uv|ba
b
u'vdx.
a
即
b
udv
a
uv|ba
b
vdu
a
例6
求
1 xexdx.
0
解 令u x，dv ex dx；du dx，v ex,
代入分部积分公式，得
xe 1 xexdx
b a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F(b) F(a).
上式称为牛顿-莱布尼茨公式.
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
微积分基本公式牛顿—莱布尼茨公式
七、设
f
( x)
1 2
sin
x
, 当0
x
时，
0 ，当x 0或x 时，
求（x)
x
f (t )dt 在( , )内的表达式 .
0
八、设 f ( x)在 a , b 上连续且 f ( x) 0 ,
x
x dt
F ( x) f (t)dt
,证明：
a
b f (t)
（1）、F ' ( x) 2 ;
证 已知F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，
又
( x)
x
a
f
(t )dt 也是
f
( x)的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
令 x a F(a) (a) C,
(a)
aaLeabharlann f(t )dt0
F(a) C,
F ( x)
x
a
f
(t )dt
C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
上的定积分等于它的任意一个原函数在区间sincoscossindxxdx原式xdxdx四小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
;
x x e 2t 2 dt 0
1
x2 (1 cos t 2 )dt
2、 lim 0
.
x0
5
x2
五、设 f ( x) 为连续函数，证明:
x
f (t )( x t )dt
牛顿莱布尼茨公式例题
牛顿莱布尼茨公式例题
牛顿-莱布尼茨公式（又称牛莱公式，Leibniz integral rule），是微积分中的重要公式之一。
该公式描述了求导与积分的关系，也称为积分运算中的链式法则。
以下是牛顿-莱布尼茨公式的例题。
例题：计算 $F(x)=\int_{x^2}^{1}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$ 在$x=1$ 处的导数。
解题步骤：
Step 1：根据牛顿-莱布尼茨公式，$F(x)$ 的导数为被积函数 $\frac{\cos t}{\sqrt{t}}$ 在积分区间 $[x^2,1]$ 上的值，乘以 $x$ 的导数 $2x$，即
$F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{x^2}^{1}\frac{\cos
t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t=\frac{\cos 1}{\sqrt{1}}\cdot2x-\frac{\cos
x^2}{\sqrt{x^2}}\cdot2x$
Step 2：化简上式，得到
$F'(1)=\cos 1-2\cos 1=-\cos 1$
因此，$F(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $-\cos 1$。
注：此题需要注意整除问题，即 $\sqrt{t}$ 在该积分中必须作为分母，以避免 $\sqrt{t}$ 在积分下限处为零。
高数数学课件-D5_2牛莱公式
v0 36(kmh ) 33 616000(0m 0s)10(ms)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
v(t)v0at105t
当汽车停住时, v(t)0, 即1 05t0,得 t 2(s)
故在这段时间内汽车所走的距离为
2
s 0v(t)dt
02(105t)dt 1t05 2t202
x 0时 tan x ~ x
lim
x0
x 2x
3
x 2
1
2x
sin x ~ x
lim 2x2 0
x0
1 2
x
所以 = o( ) .
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3.
求
In
π2sin2nxdx的递推公式(n为正整数) 0 sinx
.
解: 由于 In10 π2si2 sn (n ix n 1)xdx,因此
x
f(x)0(xt)
x
0
f
(t)dt
f(t)dt
2
f (x) (x)f()x0
x
0
f
(t)dt 2
(0x)
F(x)在 （ 0， )内为单调.增函数
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三、牛顿 – 莱布尼茨公式
定理2. 设 F(x)是连续 f(x)在 函 [a,b]数 上的一
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 其他变限积分求导:
d dx
b
x
f
(t)dt
f(x)
d (x)
dx a
f
(t)dt
9-02 牛顿-莱布尼兹公式
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注 意 当a b 时， a f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立.
b
例1 求
0 (2 cos x sin x 1)dx .
2
2
解
原式 2 sin x cos x x 0
3 . 2
例 2 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
如果据此使用N —L公式，那就有 1 1 1 1 x 2 dx arctan x 1 2 ，
1 1
咋回事呢？
1 1 1 1 x2 dx arctan x 1 2
1
1 1 x 2 1 arctan = , 2 2 x 1 1 x 1 x
1 1 1 1 lim dx ln 2 0 1 x n i 1 1 i n n n
例5
2 n 1 2 求极限 1. lim 2 2 ; n n 1 n 2 n n 2 n 1 2. lim 2 2 2 2 2 n n 1 n 2 n n2
x 1 dx ln 1 x 2 0 1 x2 2
1
1
0
1 ln 2 2
问题 2 的极限值比问题 1 的极限小一些， 与我们的感觉相吻合。
例6
0
1 dx ? 2 1 3 cos x
解：
1 sec x dx dx 2 1 3 cos2 x sec x 3 d tan x 1 tan x arctan C 2 tan x 4 2 2
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
高等数学课件：5-2牛顿-莱布尼茨公式 微积分基本定理
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1] 上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
例6
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
Hale Waihona Puke 1 et2 dtcos x
x2
sin x ecos2 x
第二节 牛顿-莱布尼茨公式 微积分基本定理
微积分基本定理的重要意义
Newton-Leibniz公式(微积分基本定理)在微 积分学中占有极为重要的地位,它第一次在定积分 (和式的极限)计算和微分的逆运算(求导数的原函数 过程)这两个似乎毫不相干的概念之间发现了内在 联系,并且建立了精确的数学关系,从根本上超越了 自公元前三世纪至公元十七世纪中叶以来几乎一直 沿用的阿基米德(Archimedes,287-212B.C.)时代的 "分割求和"的方法(method of exhaustion),从而把 定积分的计算极为简便地转化为求原函数的运算, 因此,微积分基本定理在微积分学的理论发展和实 际应用中都有极为重大的贡献和意义.
高职高等数学 第五章 定积分第二节 牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式
沈
解 F ( x)
'
x cos(3t 1)dt cos(3t 1)dt cos(3 x 1) . x 0 2 x dy 【例 3】设 y 1 t 3 dt ，求 . 1 dx 解 积分上限是 x 的函数，所以变上限定积分是 x 的复合函数，由复合函数的求导法则 ' ' x2 dy x2 2 3 1 t dt 1 t dt ( x 2 )' 2 x 1 x6 dx 1 1 x2 0
2
4 3
2 1 2 0
1 x dx x 1 x dx
2
(2) (4)
0 2
1 dx 1 ex
2
1
0
xe x dx
设 ( x)
x 0
sin t dt ,求 ( x) .
2
'
小结: 学习了变上限定积分和牛顿-莱布尼兹公式，牛顿-莱布尼茨公式揭示了微分学和积 分学的内在联系，应会熟练应用. 作业:P101-1(2),(4),(6),(9)
2 3 ； 24 8
1 1
1
0
1 x
dx
2 2
x 1 x
2
0
dx
2 2 0
1 1 x2
dx
2 1 22 1 1 2 2 d (1 x ) dx 0 2 0 1 x2 1 x2
1
【例 7】 计算
2 2 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
sin x sin 3 xdx .
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牛莱公式使用条件
牛莱公式是一种用于计算正态分布的概率密度函数的公式。
它可以被用于许多不同的统计学应用中，例如用于假设检验、置信区间的计算以及回归分析等。
然而，要正确使用牛莱公式，需要遵守一些特定的条件。
首先，使用牛莱公式的前提是数据必须服从正态分布。
这意味着数据的分布应该是对称的，并且符合高斯分布的形式。
如果数据不服从正态分布，就不能使用牛莱公式进行计算。
其次，使用牛莱公式需要知道均值和标准差的值。
这些值可以通过样本数据的平均值和标准差来估计。
但是，在样本数据较少的情况下，这种估计可能会有偏差。
因此，为了保证牛莱公式的准确性，需要确保样本数据数量足够大。
最后，使用牛莱公式计算概率密度时，需要注意定积分的求解方法。
通常使用数值积分方法或表格查找方法进行计算。
确保选择适当的计算方法，以保证计算结果的准确性和可靠性。
总之，牛莱公式是一种非常有用的工具，可以帮助我们在统计学中进行各种计算。
但是，正确使用牛莱公式需要遵守一些特定的条件，以确保计算结果的准确性。
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