外推原理与求积法

Richardson外推加速法

2012-2013（1）专业课程实践论文

Richardson外推加速法

张译鹤 0818180120 R数学08-1班

黄曼 0818180219 R数学08-2班

一、算法理论

Richardson外推法用以低阶公式产生高精度收敛效果进而改善序列收敛效率，它是在20世纪前期由英国数学家，物理学家，气象学家Lewis Fry

Richardson提出的。在数值分析领域，Richardson外推法有很多实际应用，如隆贝格积分方法，是在梯形公式的基础上应用Richardson外推法导出的；还有用于求解常微分方程的Bulirsch–Stoer算。

李查逊外推加速法基于如下原理定理设

baCxf, ，则成立

kkhahahahaIhT2634221

式中系数 ,2,1kak 与h无关

按上式有

.16424221hahaIhT

这里的ka与将要出现的kk,等均为与h无关的系数

将以上两个式子做线性组合：

,31-2341hThThT

则：

8362411hhhIhT

若令 hThThT112151-21516 则可以从余项展开式中消去误差的主要部分4h项，从而得到

82612hrhrIhT

这样构造出的hT ，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值I的逼近阶为六阶，如此继续下去，每加速一次，如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶。

将hThT0按公式hThThTmmmmmm1-1-1-41-21-44

经过,2,1mm次加速后，余项便取下列形式：

222121mmmhhIhT

这就是Richardson外推加速法。

二、算法框图

数值计算方法期末总结

导言

数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。

一、数值逼近

数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。数值逼近可以分为插值和外推。插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。

在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

二、插值与外推

插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。

常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。

三、数值微积分

数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。

在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。

四、线性方程组解法

线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。直接法是通过变换线性方程组的系数矩阵，将其化为一个三角矩阵，进而直接求解方程组。常用的直接法有高斯消元法、列主元高斯消元法、LU分解和Cholesky分解等。直接法的优点是精度高，但当方程组规模较大时，计算量较大。

【最新精选】数值代数-理查森外推法

实验四

一、实验名称

理查森外推算法

二、实验目的与要求：实验目的：掌握理查森外推算法。实验要求：1. 给出理查森外推算法思路， 2. 用C语言实现算法，运行环境为Microsoft Visual C++。三、算法思路：

1. 假设函数)(xf泰勒展开式可表示为0)()(!1)(kkkxfhkhxf 和0)()()1(!1)(kkkkxfhkhxf，将两式相减，消去偶数项，则

0)12(12)()!12(2)()(kkkxfhkhxfhxf，整理得到下式

1)12(2')()!12(1)]()([21)(kkkxfhkhxfhxfhxf，记L

表示)('xf，)(h表示微分形式)]()([21hxfhxfh，则

有4422)(Lhahah （1）用h/2代替h，有16/4/)2/(L4422hahah （2），由（1）（2）两式子有16/4/)(31)2/(34L6644hahahh推广这种

方法，就是理查森外推法了。

2. 理查森外推法公式)2/()0,(nhnD , Mn0, 用下列公式计算)1,1(141)1,(144),(knDknDknDkkk，k=1,2,„,M，n=k,k+1,„，M。则有)(),(2khOLknD，当n和k足够大时D(n,k)可充分接近)('xf。 3. 上机算法 input h , M

for n=0 to M do

D(n , 0) )2/(nh end do

for k=1 to M do for n=k to M do

)14/()]1,1()1,([)1,(),(kknDknDknDknD

end do

end do output D(n , k) )0,0(nkMn 四、实验题目：

五、问题的解：编写程序（程序见后面附录），输出结果如下：

计算方法课程知识点.

第 1 页共 2 页 1

计算方法课程知识点、技能点和能力点

第一章误差

1.理解数值计算的概念，了解误差来源以及舍入误差、截断误差的定义。

2.掌握绝对误差、相对误差、有效数字的定义和相互关系。理解误差分析的一些基本原则和算法的稳定性概念。

第二章一元非线性方程的解法

1.了解确定方程的有根区间的方法，会用二分法求方程的近似根。

2. 熟练掌握迭代法求方程根的算法，理解其收敛性定理，会判断迭代序列的收敛性。

3. 熟练掌握牛顿法求根的算法及其局部收敛性定理。

4. 了解加速迭代法求方程根的算法。

第三章线性代数计算方法

1.理解高斯消去法原理，掌握用高斯消去法和列主元消去法求解方程组的算法，并会计算行列式的值。

2.会用直接三角分解法解AX=b。

(1) 用Doolittle分解法求方程组的解。

(2) 用矩阵乘法进行A的LU分解。

(3) A为三对角阵时掌握追赶法计算公式。

(4) A为对称正定时掌握分解法解方程组。

3.熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

4.掌握解线性方程组的迭代法的构造和迭代法收敛的充要条件，会判断具体迭代法是否收敛，掌握迭代矩阵范数判别迭代法收敛的充分条件。

5.掌握Jacobi迭代、Gauss-seidel迭代和SOR迭代法解线性方程组的计算公式、迭代矩阵表达式、收敛的充要条件。

第四章插值法

1.掌握插值多项式存在唯一性条件，并由此条件求插值多项式，计算函数近似值及误差估计。

2.熟练掌握Lagrange和Newton均差插值公式及其余项表达式，掌握分段线性插值和二次插值。

3.掌握等距节点的Newton前插及后插差分公式，利用插分定义及插分构造Newton插分多项式。

4. 会求三次样条插值函数，理解曲线拟合法思想。

第五章数值积分

1.掌握求积公式代数精度的定义，会用定义确定求积公式的系数和节点，会判断求积公式的代数精度。

2.理解Newton-Cotes公式解决数值积分思想，熟练掌握梯形公式和Simpson公式及其余项，复合梯形公式和复合Simpson公式及其余项，并会进行误差估计。

-数值微积分

第五章数值微积分

一、内容分析与教学建议

本章内容是数值微积分。数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson外推法求数值微分。数值积分包括：常见的Newton-Cotes求积公式，如：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式；复化求积公式；Romberg求积公式和Gauss型求积公式等内容。

（一）数值微分

1、利用Taylor展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor公式的余项估计误差；由于当步长h很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。

2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。借助第二章的Lagrange插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。常用的有三点公式和五点公式。

3、阐明用三次样条函数()sx求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()sx的性质知：只要()fx的4阶导数连续，则当步长0h时，()sx收敛到()fx，()sx收敛到()fx，()sx收敛到()fx. 因此，用三次样条函数()sx求数值微分，效果是很好的。指出其缺点是：需要解方程组，当h很小时，计算量较大。

4、讲解用Richardson外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。

（二）数值积分的一般概念

1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。

2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。

3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。

（三）等距节点的求积公式

1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式——Newton-Cotes公式以及Cotes系数。

数值代数-理查森外推法知识分享

数值代数- 理查森外推法

实验四

一、实验名称

理查森外推算法

二、实验目的与要求：

实验目的：掌握理查森外推算法。

实验要求： 1. 给出理查森外推算法思路，

2. 用 C 语言实现算法，运行环境为 Microsoft

Visual C++ 。

三、算法思路：

1. 假设函数 f (x) 泰勒展开式可表示为 f ( x h) 1 h k f ( k ) ( x ) 和

k 0 k!

f (x h) 1 ( 1)k hk f (k ) (x) ，将两式相减，消去偶数项，则

k 0 k!

f (x h) f (x h)

0 (2k 2 h2k 1 f (2k 1) (x) ，整理得到下式

k 1)!

f ' ( x) 1 [ f (x h) f ( x h)] 1 h2k f ( 2k 1) ( x) ，记 L

2h k 1 (2k 1)!

表示 f ' ( x) ， (h) 表示微分形式 1 [ f ( x h) f (x h)] ，则

2h

有 L (h) a2h2 a4h4 （1）用 h/2 代替 h，有

L (h/ 2) a2h2 / 4 a4h4 /16 （2），由（ 1）（ 2）

两式子有 L 4 (h/ 2) 1 (h) a4h4 / 4 a6h6 /16 推广

3 3 这种方法，就是理查森外推法了。

2. 理查森外推法公式 D(n,0) (h / 2n ) , 0 n M , 用下列公

4k D(n, k 1 D(n 1, k 1) ，

式计算 D(n, k) 1)

4k 1 4k 1

k=1,2, ,M ，n=k,k+1, ，M 。则有 D(n,k) L O(h2k ) ，

当 n 和 k 足够大时 D(n,k)可充分接近 f ' (x) 。

《计算方法引论》实验题目4

实验四数值积分--Romberg积分法

实验目的:

1、了解逐次分半法的基本原理和方法；

2、了解Richardson外推法的基本原理和方法；

3、在1、2的基础上理解Romberg积分法的基本原理和方法并编程实现；

实验内容(自己填写相关公式和原理，以下仅作参考，个别符号与书中不一致)

考虑积分

()()baIffxdx

欲求其近似值，可以采用如下公式：

（复化）梯形公式 110[()()]2niiihTfxfx

2()12baEhf [,]ab

（复化）辛卜生公式 11102[()4()()]6niiiihSfxfxfx

4(4)()1802bahEf [,]ab

（复化）柯特斯公式 111042[7()32()12()90niiiihCfxfxfx

31432()7()]iifxfx

6(6)2()()9454bahEf [,]ab

这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系

121021()22nnniihTTfx

因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。为此，记0,kT为将区间[,]ab进行2k等份的复化梯形积分结果，1,kT为将区间[,]ab进行2k等份的复化辛卜生积分结果，2,kT为将区间[,]ab进行2k等份的复化柯

特斯积分结果。根据李查逊（Richardson）外推加速方法，可得到

（完整版）数值分析教案.doc

§1 插值型数值求积公式

教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精

度；2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它

们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；

4.了解外推原理。

教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们

代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。

教学时数12 学时

教学过程

1． 1 一般求积公式及其代数精度

设(x) 是 ( a, b) 上的权函数， f ( x) 是 [ a, b] 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积

分

b

(x) f ( x) dx

a

的最一般方法是用 f (x) 在节点 a x0 x1 x n b 上函数值的某种线性组合来近似

b n

(x) f ( x) dx A i f ( x i )

a

i 0

其中 A i ,i 0, , n 是独立于函数 f ( x) 的常数，称为积分系数，而节点x i , i 0,1, , n 称为求积节点。

我们也可将（ 1． 2）写成带余项的形式

b n

(x) f ( x) dx A i f ( x i ) R[ f ]

a

i0

（1．2）和（ 1． 3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以

包含函数 f ( x) 在某些点的低阶导数值。

在（ 1.3）中余项R[ x] 也称为求积公式的截断误差。

一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度

的概念。

定义 1 若求积公式（ 1.2）对任意不高于m次的代数多项式都精确成立，而对 x m 1 不能精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。

一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。

龙贝格求积算法

龙贝格求积算法（Romberg Integration Algorithm）是用于数值积分的一种高效的迭代方法。它通过连续的二分、四分、八分等等区间的方式，逐渐逼近最终的积分值，从而提高计算的精度。

该算法的基本思想是利用Richardson外推技术，结合复合梯形法则，逐渐缩小区间并增加采样点数，以得到更精确的积分值。下面我们来介绍龙贝格求积算法的步骤：

1. 将积分区间[a, b]进行二分，得到初始的两个子区间；

2. 对每个子区间应用复合梯形公式进行数值积分，可以得到初始的近似积分值；

3. 利用Richardson外推技术，对不同精度的积分值进行线性组合，得到更高精度的积分值；

4. 重复步骤2和3，将积分区间不断地二分，并逐步增加采样点数，直到达到所需的精度要求。

龙贝格求积算法的主要优点是在保持高精度的能够有效减少计算量。该算法还可以通过预先计算一些常见函数在一些固定的点上的值，以进一步提高计算速度。

总结起来，龙贝格求积算法通过利用复合梯形法则和Richardson外推技术，逐渐逼近积分值的精确结果。它是一种高效且精确的数值积分方法，广泛应用于科学计算和工程领域。

复化中矩形公式及外推加速算法

复化中矩形公式及外推加速算法........................................1

1 引言.............................................................1

1.1 问题背景...................................................1

1.2 数值求积的基本思想.........................................2

2 复化求积法及其复化中矩形公式.....................................3

2.1 复化求积法.................................................3

2.2 复化中矩形公式.............................................3

2.2.1 复化中矩形公式的形式..................................3

2.2.2 复化中矩形公式的几何意义..............................3

3 中矩形公式的余项展开式...........................................4

3.1 泰勒中值定理...............................................4

3.2 中矩形法的余项展开式.......................................4

4 外推加速法.......................................................7

4.1 外推法的基本思想...........................................7