中南大学现代远程教育课程考试复习试题

中南大学现代远程教育课程考试复习试题

离散数学

一、 判断正误（正确写T ，错误写F ）

1、A,B 是集合，则命题A ?B 和A ∈B 可能同时成立。 （ F ）

2、集合A 上的二元关系不是对称的，就是反对称的。 （ F ）

3、关系R={│i,j ∈I,且i.j ≥0}是集合I 上的等价关系。 （ T ）

4、（Q →P ）∧（┐P →Q ）?P 是永真式。 （ T ）

5、若A:张明和李红都是三好学生，则┐A ：张明和李红都不是三好学生（F ）

6、(()())()()X P X Q X XP X XQ X ?∨??∨? （ F ）

7、若有n 个人，每个人恰恰有三个朋友，则n 必为偶数。 （ T ）

8、阶大于1的树是二部图。 （ T ） 9、6阶群的非平凡子群中一定没有是4阶的 （ F ）

10、一个群可以有多个等幂元 （ T ）

二、填空题：

1、集合A={φ，{a}}的幂集ρ(A)为 { φ，{φ}，{{a}},{φ,{a}}}

2、某班有学生50人,有26人在第一次考试中得优,有21人在第二次考试中得优,有17人两次考试都没有得优,那么两次考试都得优的学生人数是___14___

3、给P 、Q 指派T ，R 和S 指派F ，则（P ?R ）∧（┐Q →S ）的值为： F 。

4、设P:我生病，Q:我去学校，命题“我虽然生病但我去学校”的符号化形式 为：P P Q ∨?→。

5、设集合A 只有3个元素,则在A 上可定义_332

2-___种不同的自反关系。

6、若{1，2，3，4，5}上的二元关系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>},则R 的定义域D(R)={1,2,4},R 的值域R(R)={1,1,2}。

7、设A={1，2，3}，则有 2 个不同的从A 到A 的满射函数f 使f(1)=3。 8、7阶的群有 2 个不同的子群。

9、设S 是非空有限集，代数系统（P （B ），∪，∩）中，P （B ）对∪运算的单位元是 φ ， P （B ）对∩运算的单位元是 B 。

10、n 阶二叉树有（n+1）/2 条边，有（n+1）/2 个叶结点。

三、计算题：

1、 求合式公式P ∨(?P →(Q ∨(?Q →R)))的主合取范式和主析取范式

解：P ∨(?P →(Q ∨(?Q →R)))

?P ∨(P ∨(Q ∨Q ∨R))

?P ∨Q ∨R （主合取范式）

记为：π（0）

所以主析取范式为：∑（1，2，3，4，5，6，7） ?（?P ∧?Q ∧R ）∨（?P ∧Q ∧?R ）∨（?P ∧Q ∧R ）

∨（P ∧?Q ∧?R ）∨（P ∧?Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧?R ）∨（P ∧Q ∧R ）

2、 设A={1,2,3,4,5,6}，R 为A 上的整除关系，试求：

（a ） 画出R 的哈斯图。

（b ） 求A 的极大元、极小元、最大元和最小元。

（c ） 求子集A1={2,3,6}的上界、下界、最小上界、最大上界。

解：（a ）

（b ）A 的极大元为6，极小元为1，A 无最大元，A 的最小元为1。

（C ）子集A1={2，3，6}的上界为6，下界为1，最小上界为6，最大下界不存在。

3、根据简单有向图的邻接矩阵，如何确定它是否是有向树？如果它是有向树，如何确定它的根和叶？

解：如果邻接矩阵对角线元素均为0，有一列元素全为0，其余列的元素之和为1，这时再由邻接矩阵求出可达性矩阵。如有一行除对角线元素外各元素为1，则简单有向图是有向树。

有向树的邻接矩阵中，元素全为0的列所对应的结点是根。元素全为0的行所对应的结点均为叶。

4、有理数集Q 中的*定义如下：a*b=a+b-ab

(1) 〈Q,*〉是半群吗？是可交换的吗？并说明理由。

(2) 求〈Q,*〉的单位元。

解：（1）?a ，b,c ∈Q,因a*(b*c)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-bc-ca+abc

(a*b)*c=(a+b-ab)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-bc-ca+abc

所以 a*(b*c)=(a*b)*c,满足结合律，所以是半群。因对于?a ，b ∈Q, 都有a*b=b*a ，故*是可交换的。所以〈Q,*〉是可交换半群。

（2） 设e 为单位元，则应有：?a ∈Q,a*e=e*a=a,即a+e-ae=a,即e=ae ,由a 的

任意性，知e=0. 所以单位元为0。

四、证明题

1、 将下列命题符号化：并给出形式证明。

5

所有的主持人都很有风度。张华是个学生并且是个节目主持人。因此有些学生很有风度。

（设论域为所有人的集合。S(X):X是学生，P(X)：X是节目主持人，D(X):X有风度）解：前提：(()())

X P X D X

?→

(()())

X S X P X

?∧

结论：(()())

X S X D X

?∧

形式证明如下：步骤断言规则

1 (()())

X S X P X

?∧ P

2 S(a)∧P(a) T,1,ES

3 (()())

X P X D X

?→ P

4 P(a)→D(a) T,3,US

5 D(a) T,2,4,I4

6 S(a)∧D(a) T,2,5,合取式

7 (()())

X S a D a

?∧ T,6,EG

2、设f是从A到B的一个函数，定义A上的关系R如下：aRb,当且仅当f(a)=f(b),

证明：R是A上的等价关系。

证明：（a）R是自反的。因为A的每一元素都在∏的某块B中，所以，对每一a∈A,aRa

(b)R是对称的。因为aRb,那么有某块B∈∏,使A∈B,和b∈B,所以bRa。

（d）R是传递的。因为aRb和bRc,那么存在B1∈∏和B2∈∏,使a,b∈B,和b,c ∈B2即b∈B1 B2，由划分的定义，要么B1 B2=φ，要么B1=B2,因此c

∈B1，aRc。

综上所述，R是A上的等价关系。

3、证明：在n个顶点的简单无向图中，至少有两个顶点的次数相同。

证明：设G为n阶简单无向图，对于G中的任意结点v,d

G

(v)≥(n-1)/2，

假设各个顶点的次数均不相同，则G至少有两个分支，且必有一个分支G

l

中的结点数

n l ≤n/2.对于G

l

中的任意结点v,d

G

(v)=d

Gl

(v)≤n

l

-1≤(n-2)/2,这与题设d

G

(v)≥(n-1)/2矛

盾。因此G至少有两个顶点的次数相同。