八年级数学下册第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定(第1课时)教案(新版)湘教版
新湘教版八年级下册直角三角形数学教案
第1章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（第1课时）教学目标：1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。
2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。
3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。
4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。
教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.教学过程：一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?二、新授（一）直角三角形性质定理1请学生看图形：1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。
3、巩固练习：练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。
（3）与∠B相等的角有。
（二）直角三角形的判定定理11、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”2、利用三角形内角和定理进行推理3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理21、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片（l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
1.1第1课时 直角三角形的性质和判定课件(湘教版)
∵∠1=∠B,
∴∠B+∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形.
第1课时
直角三角形的性质和判定
【归纳总结】 从角的角度判定直角三角形的两种方法
证明三角形的一个角为90°或直角;
证明一个三角形中的两个内角的和为90°.
第1课时
直角三角形的性质和判定
目标三 能利用直角三角形斜边中线的性质进行计算
例 3 [高频考题] 如图 1-1-2,在△ABC 中,CF⊥AB
于点 F,BE⊥AC 于点 E,M 为 BC 的中点,BC=10,EF=4,则
△MEF 的周长为
14
.
图 1-1-2
第1课时
直角三角形的性质和判定
【归纳总结】 与直角三角形斜边上的中线有关的结论
如图1-1-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,则有下面
结论:①AD=BD=CD;②∠A=∠ACD;③∠B=∠BCD;
.
第1课时
直角三角形的性质和判定
反思
如图 1-1-4,在△ABC 中,D 是 AB 的中点,则 CD= AB.
上面的说法正确吗?如果不正确,请你添加一个条件,使得结
论正确.
图 1-1-4
第1课时
直角三角形的性质和判定
解:不正确,添加条件不唯一,如:∠ACB=90°.
谢 谢 观 看！
第1章 直角三角形
1.1
直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1章 直角三角形
第1课时
直角三角形的性质
和判定
目标突破
总结反思
第1课时
直角三角形的性质和判定
目标突破
目标一 会运用直角三角形两个锐角互余的关系计算角度
八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定(第1课时)教案(新版)湘教版
直角三角形的性质和判断1．知识与技术：掌握直角三角形的性质“直角三角形中，假如一个锐角等于30 度，教那么它所对的直角边等于斜边的一半”，掌握直角三角形的性质“直角三角形中，假如学一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30 度”目标 2. 过程与方法：经过自主学习的发展体验获得数学知识的感觉；3.感情态度与价值观：经过相关勾股定理的历史解说，对学生进行德育教育重点 1、要点：直角三角形的性质难 2、难点：：直角三角形性质的应用点教学察看、比较、合作、沟通、研究策略教学活动课前、课中反省一、创建情境，导入新课1 直角三角形有哪些性质？B(1)两锐角互余；（ 2 ）斜边上的中线等于斜边的一半2按要求绘图：（ 1）画∠ MON，使∠ MON=30°，C (2)在 OM上随意取点 P，过 P 作 ON的垂线 PK，垂足为 K，量一量 PO,PK的长度， PO,PK有什么关系？(3)在 OM上再取点 Q,R，分别过 Q,R 作ON的垂线 QD,RE,垂足分别为D,E，量一量M QD，OQ，它们有什么关系？量一量RE,OR，它们有什么关系？由此你发现了什么规律？直角三角形中，如果有一个锐角等于DA经过自主学习的发展体验获得数学知识的感觉POK30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
为何会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题.二、合作沟通，研究新知1 研究直角三角形中，假如有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为何等于斜边的一半。
如图， Rr △ ABC中，∠ A=30°， BC为何会等B1D于 2AB1CA剖析：要判断BC=2AB, 能够考虑取AB 的中1点，假如假如BD=BC，那么 BC=2AB，因为∠ A=30° , 因此∠ B=60° ,假如 BD=BC,则△ BDC必定是等边三角形，因此考虑判断△角形，你会判断吗？由学生达成BDC是等边三概括：直角三角形中，假如有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 课件 2024-2025学年湘教版八年级数学下册
【思维切入】ED⊥AB→∠ADE=90°,直角三角形的性质→
∠1+∠A=90°,∠1=∠2→∠2+∠A=90°→△ABC是直角三角形.
【自主解答】△ABC是直角三角形,理由如下:
∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1=∠2,
∴∠A+∠2=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC.
(1)求∠BAE的度数;
(2)若AD⊥BC于点D,∠ADF=74°,
证明:△ADF是直角三角形.
【解析】略
重点3
利用直角三角形的性质求线段之间的关系
【典例3】如图所示,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB上的中线,G是CE的
1
则AD与BC的数量关系是BC=2AD或AD= BC.
2
直角三角形的这个性质与等腰三角形的“三线合一”常结合在一起考查组成综合
性题目.
【触类旁通】
如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交CD
于点M,连接AM.
1
(1)求证:EF= AC;
2
(2)若EF⊥AC,求证:AM+DM=CB.
中点,AB=2CD,求证:DG⊥CE.
【自主解答】略
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,
75°
∠BAE=15°,则∠CDE的大小为________.
5+2思维赋能
【模型溯源】
八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定(第1课时)教案(新版)湘教版
直角三角形的性质和判定
教学目标
1．知识与技能：掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一个锐角等于3 0度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，
掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度”
2. 过程与方法：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；
3.情感态度与价值观：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育
重点难1、重点：直角三角形的性质
2、难点：：直角三角形性质的应用
点
教
学
观察、比较、合作、交流、探索
策
略
教学活动课前、课中反思
OM PO,PK
如果BD=BC,则△BDC一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC是等边三角形，你会判断吗？
由学生完成
归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？
先让学生交流，得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证明。
2 上面定理的逆定理
上面问题中，把条件“∠A=30°”与结论“BC=1 2
AB”交换，结论还成立吗？学生交流。
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第九页，编辑于星期六：七点 五十五分。
D 1.已知：∠ABC=∠ADC=90°，
E是AC中点.
（1）求证：ED=EB. A
（2）求证：∠EBD=∠EDB .
E
C
（3）图中有哪些等腰三角形？
B
第十页，编辑于星期六：七点 五十五分。
【解析】∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点， ∴DE=AE=CE，BE=AE=CE， ∴DE=BE， ∴∠EBD=∠EDB， ∴等腰三角形有△ADE，△DEC，△ABE，△BEC,△BDE.
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1课时
第一页，编辑于星期六：七点 五十五分。
1.掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理. 2.掌握直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 3.掌握利用添辅助线证明有关几何问题的方法.
第二页，编辑于星期六：七点 五十五分。
1.什么叫直角三角形？ 2.直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形 的性质外，还具备哪些性质?
∴ DE=DF.
第八页，编辑于星期六：七点 五十五分。
【跟踪训练】
A 1. 在△ABC中， ∠ACB=90°，CE是AB
边上的中线，那么与CE相等的线段有 E
_A_E_，__B__E，与∠A相等的角有__∠__A_C__E，
若∠A=35°，那么∠ECB= ___5_5_°__.
C
B
2.在直角三角形中，若斜边及其中线之和为6，那么 该三角形的斜边长为______4__．
第十一页，编辑于星期六：七点 五十五分。
2.已知：在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的高，M是BC 的中点.求证：MD=ME.
第十二页，编辑于星期六：七点 五十五分。
湘教版八年级下册数学教案：1.1直角三角形性质和判定(I)
课题直角三角形性质和判定（1）课时安排2课时教学目标1、了解直角三角形定义，掌握符号语言表示法。
2、探讨直角三角形性质，掌握“两锐角互余”和“斜边上中线等于斜边一半”的性质。
3、能用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形。
4、培养逆向思维。
重点直角三角形性质和判定的探索、理解和应用。
难点直角三角形性质“斜边上中线等于斜边一半”的理解和应用。
教学过程复习导入出示问题：①三角形有怎样的性质？（边、角）②直角三角形ABC，角C为90度，用符号语言表述是怎样？学生回答，全班交流。
引入课题：直角三角形性质和判定（1）。
自学指导提出问题，学生带着问题自学教材P2～P3内容：1、直角三角形的角有怎样的性质？2、直角三角形的斜边上中线有怎样的性质？3、用角判定直角三角形的方法是什么？完成学法P1“课前预习”1、⑴；2、⑴⑵。
合作交流讲述：1、直角三角形性质：角的性质：“直角三角形两锐角互余”。
斜边上中线性质：“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”。
2、直角三角形判定：“有两个角互余的三角形是直角三角形”注意：数学语言的表述（图形语言和符号语言）。
应用：教材P4 例1（直角三角形的判定定理）。
学法P1 例2（直角三角形斜边上中线性质应用）注意：语言的规范，格式的统一。
练习：教材P4“练习”T1、T2（学生板演）。
小结归纳1、直角三角的性质。
2、直角三角形的判定。
3、注意事项。
4、数学思想。
作业布置必做：教材习题1.1A组P7 T1；T2。
选做：学法P1 “课堂探究”：探究一、变式1和探究二、变式2。
板书设计反思回顾直角三角形（1）课件展示1、角的性质2、斜边中线3、符号语言应用：例1例2学生板演课题直角三角形性质和判定（2）课时安排2课时教学目标1、掌握“直角三角形中若一锐角为30度，则其所对直角边等于斜边一半”和“直角三角形中一直角边等于斜边一半，则其所对叫为30度”的性质。
2、能用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形。
湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》教案
湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》教案1．1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)一、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．二、合作探究探究点一：直角三角形两锐角互余如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于()A．110°B．100°C．80°D．70°解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键． 探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAF ＝∠F ，∠EDC ＝∠E ，求证：△EOF 是直角三角形．解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF 是直角三角形，只需证∠E ＋∠F ＝90°即可，而∠E ＝12(180°－∠BCD )，∠F ＝12(180°－∠ABC )，由AB ∥CD 可知∠ABC ＋∠BCD ＝180°，即问题得证． 证明：∵∠BAF ＝∠F ，∠BAF ＋∠F ＋∠ABF ＝180°，∴∠F ＝12(180°－∠ABF )．同理，∠E ＝12(180°－∠ECD )．∴∠E ＋∠F ＝180°－12(∠ABF ＋∠ECD )．∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠ECD ＝180°.∴∠E ＋∠F ＝180°－12×180°＝90°，∴△EOF 是直角三角形． 方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长；(2)求证：EF 垂直平分AD .解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝AE ＝12AB ，DF ＝AF ＝12AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝12×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 是AD 的垂直平分线上的点，F 是AD 的垂直平分线上的点，∴EF 垂直平分AD .方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．探究点四：直角三角形性质的综合运用 【类型一】 利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，交BC于F ，交AB 于点E .求证：FC ＝2BF .解析：根据EF 是AB 的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF ，得到△AFB 为等腰三角形．又可求得∠B ＝∠C ＝∠BAF ＝30°，进而求得∠F AC ＝90°.取CF 的中点M ，连接AM ，就可以利用直角三角形的性质进行证明．证明：如图，取CF 的中点M ，连接AF 、AM .∵EF 是AB 的垂直平分线，∴AF ＝BF .∴∠BAF＝∠B .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠BAF ＝∠C ＝12(180°－120°)＝30°.∴∠F AC ＝∠BAC －∠BAF ＝90°.在Rt △AFC 中，∠C ＝30°，M 为CF 的中点，∴∠AFM ＝60°，AM ＝12FC ＝FM .∴△AFM 为等边三角形．∴AF ＝AM ＝12FC .又∵BF ＝AF ，∴BF ＝12FC ，即FC ＝2BF .方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．【类型二】 利用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A 、B 、C 、D 处，球放在EF 的中点O 处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．解析：游戏是否公平就是判断点A 、B 、C 、D 到点O 的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF ，且O 为斜边EF 的中点．连接OA 、OB 、OC 、OD .根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝12EF ，即点A 、B 、C 、D到O 的距离相等．由此可得出结论：游戏公平．方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题． 【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的数量关系；(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM .请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．解析：(1)由于△ABC 是直角三角形，O 是BC 的中点，得OA ＝OB ＝OC ＝12BC ；(2)由于OA 是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO ＝∠B ＝∠45°，OA ＝OB ，又AN ＝MB ，所以△AON ≌△BOM ，所以ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB ，于是有∠NOM ＝∠AOB ＝90°，所以△OMN 是等腰直角三角形．解：(1)连接AO .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，∴OA ＝12BC ＝OB ＝OC ，即OA ＝OB ＝OC ；(2)△OMN 是等腰直角三角形．理由如下：∵AC ＝BA ，OC ＝OB ，∠BAC ＝90°，∴OA＝OB ，∠NAO ＝12∠CAB ＝∠B ＝45°，AO ⊥BC ，又AN ＝BM ，∴△AON ≌△BOM ，∴ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB ，∴∠NOA ＋∠AOM ＝∠MOB ＋∠AOM ，∴∠NOM ＝∠AOB ＝90°，∴△MON 是等腰直角三角形．方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．三、板书设计1．直角三角形的性质性质一：直角三角形的两锐角互余；性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2．直角三角形的判定方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形．通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用1．理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；(重点)2．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题．(难点)一、情境导入用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．二、合作探究探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm ，那么腰上的高是________cm ，这个三角形的面积是________cm 2.解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD ⊥AC ，AB ＝4cm ，所以BD ＝2cm ，S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×4×2＝4(cm 2)．故答案为2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°如图所示，在四边形ACBD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，且AC ＝12BC ，求∠DAC 的度数．解析：根据题意得∠CBA ＝30°，由平行得∠BAD ＝30°，进而可得出结论．解：∵AB ⊥AC ，∴∠CAB ＝90°.∵AC ＝12B BC ，∴∠CBA ＝30°.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝30°，∴∠CAD ＝∠CAB ＋∠BAD ＝120°.方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解．探究点三：含30°锐角的直角三角形性质的应用如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B 在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C 处，观测到海岛B 在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B 在北偏西30°方向；当船到达C 处时恰与海岛B 相距20海里．请你确定轮船到达C 处和D 处的时间．解析：根据题意得出∠BAC ，∠BCD ，∠BDA 的度数，根据直角三角形的性质求出BC 、AC 、CD 的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．解：由题意得∠BCD ＝90°－30°＝60°，∠BDC ＝90°－30°＝60°.∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴△BCD 为等边三角形．在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°－60°＝30°，∠BDC ＝60°，∴∠ABD ＝90°，即△ABD 为直角三角形，∴∠ABC ＝30°.∵BC ＝20海里，∴CD ＝BD ＝20海里．又∵BD ＝12AD ，∴AD ＝40海里．∴AC ＝AD －CD ＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A 处到C 处的时间为2010＝2(h)，从A 处到D 处的时间为4010＝4(h)．∴轮船到达C 处的时间为13时30分，到达D 处的时间为15时30分． 方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．三、板书设计1．含30°锐角的直角三角形的性质(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.1．2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12(cm)；(2)∵S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013(cm)．方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理与等腰三角形的综合如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于D 、F点，BD＝62，AE⊥BC于E，求AE的长．解析：欲求AE，需与BD联系，连接AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝BD.可证△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的长．解：如图所示，连接AD.∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝62，∴∠BAD ＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE.由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，∴2AE2＝(62)2，∴AE＝622＝6.方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．探究点二：勾股定理与图形的面积探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝12c2＋12(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即12B b2＋12B a b＝12B c2＋12B a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的应用3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.第2课时勾股定理的实际应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．勾股定理的正确使用．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理在实际生活中的应用【类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC ＝5米，BC ＝13米，即可求得AB 的值，6秒后根据BC 、AC 长度即可求得AB 的值，然后解答即可．解：在Rt △ABC 中，BC ＝13米，AC ＝5米，则AB ＝BC 2－AC 2＝12米，6秒后，BC ＝13－0.5×6＝10米，则AB ＝BC 2－AC 2＝53米，则船向岸边移动距离为(12－53)米．方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．【类型二】 含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A 市测得沙尘暴中心在A 市的正西方向300km 的B 处，以107km/h 的速度向南偏东60°的BF 方向移动，距沙尘暴中心200km 的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A 市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A 市受沙尘暴影响的时间．解析：过点A 作AC ⊥BF 于C ，然后求出∠ABC ＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC ＝12AB ，从而判断出A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，此时AD ＝200km ，利用勾股定理列式求出CD 的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．解：如图，过点A 作AC ⊥BF 于C ，由题意得，∠ABC ＝90°－60°＝30°，∴AC ＝12AB ＝12×300＝150(km)，∵150＜200，∴A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，则AD＝200km.由勾股定理得，CD ＝AD 2－AC 2＝2002－1502＝507 (km)，∴受影响的距离为2CD ＝1007km ，受影响的时间位1007÷107＝10(h)．方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．探究点二：勾股定理在几何图形中的应用 【类型一】 利用勾股定理解决最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解：分三种情况比较最短距离：如图①(将正面与上面展开)所示，AM＝102＋（20＋5）2＝529，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM＝（20＋10）2＋52＝537(cm).537＞25，∴最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【类型二】运用勾股定理与方程解决有关计算问题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD 边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()A．1.5 B．2C．2.25 D．2.5解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.5＋1 B．－5＋1C.5－1D.5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．三、板书设计1．勾股定理在实际生活中的应用2．勾股定理在几何图形中的应用就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高.第3课时勾股定理的逆定理1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．(难点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】勾股数判断下列几组数中，一定是勾股数的是()A．1，2， 3 B．8，15，17C．7，14，15 D.35，45，1解析：选项A不是，因为2和3不是正整数；选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152；选项D不是，因为35与45不是正整数．故选B.方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．【类型二】判断三角形的形状已知a，b，c为△ABC的三边，且满足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.试判断△ABC 的形状．解析：可先确定a，b，c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断．解：由平方数的非负性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，c＝25.又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．方法总结：此题主要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a，b，c的值．该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握．【类型三】利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题在如图的方格中，△ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于()A．130°B．135°C．140°D．145°解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故选B.方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等．【类型四】运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12×6×8＋12×10×24＝144.方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．探究点二：勾股定理逆定理的实际应用如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海．解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知，△ABE和△EBC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，由S△ABC＝12AB·BC＝12AC·BE，得BE＝6013(海里)，由CE2＋BE2＝BC2，即CE2＋(6013)2＝122，得CE＝14413(海里)，∴14413÷13＝144169≈0.85(h)＝51(min)，9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形．三、板书设计1．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高.1．3直角三角形全等的判定1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；(重点)2．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．(难点)一、情境导入前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定还有其他的方法吗？二、合作探究探究点一：运用“HL”判定直角三角形全等如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC.求证：F A＝FC.解析：要利用“等角对等边”证明F A＝FC，需先证∠F AC＝∠FCA，此结论可由三角形全等得到．证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA中⎩⎪⎨⎪⎧EC＝AD，CA＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠F AC＝∠FCA，∴F A＝FC.方法总结：在运用HL判定两个直角三角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．探究点二：直角三角形判定方法的灵活应用【类型一】解决线段相等问题已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE＝DF.解析：根据已知条件证明现有的Rt △ABC 与Rt △BAD 全等，得出线段和角相等，再证Rt △ACE 和Rt △BDF 全等，从而解决问题．证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，BC ＝AD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴AC ＝BD ，∠CAB ＝∠DBA ，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠DFB ＝90°，在△CAE 和△DBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CEA ＝∠DFB ＝90°，∠CAE ＝∠DBF ，AC ＝BD ，∴△CAE ≌△DBF (AAS)，∴CE ＝DF .方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL ”．【类型二】 灵活选用判定方法解决线段和差问题已知，如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在DE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：BD ＝DE ＋CE .解析：先证△ABD ≌△ACE ，再根据等量代换得出结论．证明：∵BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝∠CAE ＋∠BAD ，∴∠ABD ＝∠CAE ，又∵AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∵AE ＝AD ＋DE ，∴BD ＝CE ＋DE .方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．探究点三：利用尺规作直角三角形已知：线段a ，如图．求作：Rt △ABC ，使BC ＝a ，AB ＝32a ，∠C ＝90°.解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再作出斜边即可．解：作法：如图所示，(1)作l2⊥l1于点C；(2)在l1上截取CB＝a；(3)以点B为圆心，以32a的长为半径画弧，交l2于点A；(4)连接AB，Rt△ABC 即为所求．方法总结：尺规作图时，应养成先画草图的习惯，再根据草图分析作图的先后顺序．三、板书设计1．斜边、直角边定理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”)2．直角三角形判定方法的灵活应用使用“HL”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的动手操作能力.1．4角平分线的性质1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)一、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等【类型一】利用角平分线的性质求线段长。
湘教版 八年级数学下册 第1章 直角三角形 新教案设计
第1章直角三角形1．1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”两个定理．2．掌握直角三角形斜边上的中线的性质．3．利用直角三角形的性质和判定证明有关几何问题．阅读教材P2～4，完成预习内容．(一)知识探究1．如图，在Rt△ABC中．(1)若∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°.所以∠A＋∠B＝90°．(2)若∠A＋∠B＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠C＋90°＝180°.所以∠C＝90°．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为斜边AB的中线．若CD＝4 cm，则AB＝8__cm．小结：1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(二)自学反馈1．已知Rt△ABC，若∠C＝90°，∠A＝60°，则∠B＝30°．2．已知△ABC，若∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有AE，BE，若∠A＝35°，则∠ECB＝55°．活动1 小组讨论例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么(1)与∠B互余的角有∠A，∠BCD；(2)与∠A相等的角有∠BCD；(3)与∠B相等的角有∠ACD．例2 △ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形利用三角形的内角和是180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，又因为∠A＋∠B＝∠C，等量代换得到2∠C＝180°，从而得出∠C＝90°，所以选B.例3 如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点．(1)求证：ED ＝EB ；(2)求证：∠EBD＝∠EDB；(3)图中有哪些等腰三角形？解：(1)∵证明：∠ABC＝∠ADC＝90°，E 是AC 中点，∴DE ＝BE ＝12AC. (2)证明：由(1)得DE ＝BE ，∴∠EBD ＝∠EDB.(3)△ADE，△CDE ，△AEB ，△CEB ，△DEB.活动2 跟踪训练1．在△ABC 中，如果∠A＝12∠B＝13∠C，那么△ABC 是什么三角形？ 解：设∠A＝x ，那么∠B＝2x ，∠C ＝3x.根据题意得x ＋2x ＋3x ＝180°.解得x ＝30°.∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．2．已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C，AD 是∠BAC 的平分线，E ，F 分别AB ，AC 的中点，求证：DE ＝DF.解：∵∠B＝∠C，AD 是∠BAC 的平分线，∴AB ＝AC ，∠ADB ＝∠ADC＝90°.∵E ，F 分别AB ，AC 的中点，∴ED ＝12AB ，DF ＝＝12AC. ∴DE ＝DF.活动3 课堂小结1．直角三角形的性质与判定．2．直角三角形斜边上的中线的性质．第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用1．掌握含30°角的直角三角形的相关性质．2．利用直角三角形的相关性质解决实际问题．阅读教材P4～6，完成预习内容．(一)知识探究1．在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．(二)自学反馈1．在Rt △ABC 中，若∠C＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，则BC ＝2．2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝12AB ，则∠A＝30°． 3．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？解：∠B＝60°，∠A ＝30°，AB ＝2BC.活动1 小组讨论例1 如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这样的大树在折断前的高度为(B)A．10米B．15米C．25米D．30米例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D为AB上的中点．请求出图中其他角的度数，找出相等的线段．解：∠ACD＝30°，∠ADC ＝120°，∠BDC ＝∠BCD＝∠B＝60°；DC ＝BC ＝BD ＝AD.例3 如图，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD ⊥AB.求证：AD ＝14AB.证明：∵∠ACB＝90°，∠B ＝30°，∴AC ＝12AB.∵CD⊥AB，∴∠CDB ＝90°. ∴∠DCB ＝60°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝90°，∴AD ＝12AC ＝14AB.抓住含30°角的直角三角形的性质，把握30°角所对的直角边与斜边的关系．活动2 跟踪训练1．如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6 m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为30°，则拉线AB的长度为12__m．2．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠A EF，过点F作FP⊥EP，垂足为P，若∠PEF ＝30°.(1)请求出∠PFC的度数；(2)与EF相等的线段有哪些？请证明．解：(1)∠PFC＝60°.(2)EF＝AF＝AE.证明：∵EP平分∠AEF，FP⊥EP，∠PEF＝30°，∴∠AFE＝∠AEF＝60°.∵∠AFE＋∠AEF＋∠EAF＝180°，∴∠EAF＝60°.∴△AEF为等边三角形．∴EF＝AF＝AE.活动3 课堂小结含30°角的直角三角形中存在线段的比例关系是证明线段倍数关系的重要途径．1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理1．了解勾股定理的发现过程．2．掌握勾股定理的内容，并能进行相关计算．3．会用面积法证明勾股定理．阅读教材P9～11，完成预习内容．(一)知识探究如图是两个相同的直角三角形拼成的梯形ABCD，直角三角形的三边长分别是a，b，c.(1)请用不同的方法求梯形的面积； 解：方法一：根据梯形面积公式可知：S 梯形ABCD ＝12(a ＋b)(a ＋b)＝12(a 2＋2ab ＋b 2)＝12a 2＋ab ＋12b 2；方法二：S 梯形ABCD ＝S △ABE ＋S △ADE ＋S △CDE ＝12ab ＋12c 2＋12ab ＝ab ＋12c 2.(2)由上述结果可知：a 2＋b 2＝c 2．小结：直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2. (二)自学反馈1．在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 2．在直角三角形中，两直角边分别为3，4，那么斜边为5．3．在直角三角形中，斜边为10，一直角边为6，则另一直角边为8．活动1 小组讨论例1 探究勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A ，B ，C ，A ′，B ′，C ′的面积．解：S A ＝4，S B ＝9，S C ＝52－4×12×(2×3)＝13，∴S A ＋S B ＝S C .S A ′＝9；S B ′＝25；S C ′＝82－4×12×(5×3)＝34，∴S A ′＋S B ′＝S C ′.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．例2 在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，∠C ＝90°. (1)已知a ＝3，b ＝4.则c ＝5． (2)已知c ＝25，b ＝15.则a ＝20．(3)已知c ＝19，a ＝13.则b (结果保留根号) (4)已知a∶b＝3∶4，c ＝15，则b ＝12．利用方程的思想求直角三角形有关线段的长．活动2 跟踪训练 1．完成下列填空．(1)直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为5．(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则 (3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，则AC∶BC∶AB AB ＝8，则AC AB ＝8，CD ⊥AB 于D ，则CD ＝4． 2．等边△ABC 的边长为a ，求等边△ABC 的高AD 和面积．解：作AD⊥BC 于BC 交于点D. ∵△ABC 为等边三角形， ∴AD 平分BC ，BD ＝12a.在Rt △ABD 中，AD 2＝a 2－(12a)2＝34a 2，∴AD ＝32a ，S ＝12·a·32a ＝34a 2. 活动3 课堂小结1．勾股定理的推导及内容． 2．勾股定理的简单运用．第2课时勾股定理的实际应用1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．2．在运用勾股定理解决实际问题过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值．阅读教材P12～13，完成预习内容．(一)知识探究1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2.2的线段是直角边为正整数1，1的直角三角形的斜边．3.13的线段是直角边为正整数3，2的直角三角形的斜边．(二)自学反馈1．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答(A)A．一定不会B．可能会C．一定会 D．以上答案都不对2．如图，要制作底边BC的长为44 cm，顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至少需要结果保留根号的形式)3．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10米．4．小军发现学校旗杆上端的绳子垂直到地面还多了1米，他把绳子斜着拉直，使下端刚好触地．此时绳子下端距旗杆底部5 m，那么旗杆的高度为多少 m?解：如图，设旗杆的高AB为x m，则绳子AC的长为(x＋1) m.在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.答：旗杆的高度为12 m.活动1 小组讨论例1如图，在垂直于地面的墙上距离地面2 m的A点处斜放一个长为2.5 m的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑0.5 m到了A′点处，则梯子在地面上滑出的距离BB′的长度为(B)A．0.4 m B．0.5 m C．0.6 m D．0.7 m例2 印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：设湖水深为x尺，则红莲总长为(x＋0.5)尺，根据题意，得x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3.75.答：湖水深3.75尺．活动2 跟踪训练1．如图，有一个圆柱，它的高等于16 cm，底面半径等于4 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处食物，需要爬行的最短路程是(π取3)(B)A．12 cm B．20 cm C．25 cm D．30 cm2．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5 000米，飞机每小时飞行多少千米？解：540千米．求速度，要把20秒换算成小时，20秒＝1180小时．3．小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你能解释这是为什么吗？解：582＋462＝5 480；742＝5 476，荧屏对角线大约为74厘米．售货员没有搞错．我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度．活动3 课堂小结利用勾股定理实际问题时，要学会找出直角三角形中的边角关系，利用勾股定理的公式进行计算．第3课时勾股定理的逆定理1．理解勾股定理的逆定理的内容．2．理解勾股数的定义．2．能灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题．阅读教材P14～15，完成预习内容．(一)知识探究如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．小结：1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2；那么这个三角形是直角三角形．2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数称为勾股数．(二)自学反馈下面以a，b，c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a＝25，b＝20，c＝15；解：是；∠A＝90°.(2)a＝13，b＝2，c＝15；解：不是．(3)a＝1，b＝2，c＝3；解：是；∠B＝90°.(4)a∶b∶c＝3∶4∶5解：是；∠C＝90°.根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方．大边对的是大角，即大边对的角是直角．活动1 小组讨论例1 以下各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A ．5，6，7B ．10，8，4C ．7，25，24D ．9，17，15例2 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a ，b ，c 为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：对．∵a 2＋b 2＝(2m)2＋(m 2－1)2＝4m 2＋m 4－2m 2＋1＝m 4＋2m 2＋1＝(m 2＋1)2，而c 2＝(m 2＋1)2，∴a 2＋b 2＝c 2，即a ，b ，c 是勾股数．m ＝2时，勾股数为4，3，5；m ＝3时，勾股数为6，8，10；m ＝4时，勾股数为8，15，17.例3 如图所示，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷尺，测得AD ＝3 m ，AB ＝4 m ，BC ＝12 m ，CD ＝13 m ，且∠BAD＝90°，求四边形ABCD 的面积．解：连接BD.∵在△ABD 中，AD ＝3 m ，AB ＝4 m ，∠BAD ＝90°，∴由勾股定理，得BD ＝AD 2＋AB 2＝32＋42＝5 (m)．∵在△BCD 中，BD ＝5 m ，BC ＝12 m ，CD ＝13 m ，∴BD 2＋BC 2＝CD 2.∴△BCD 是直角三角形．∴四边形ABCD 的面积为S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×4＋12×5×12＝36()．活动2 跟踪训练1．如图所示，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10B．11C．12D．132．以下面各组正数为边长，能组成直角三角形的是(C)A．a－1，2a，a＋1 B．a－1，2，a＋1C．a－1，2a，a＋1 D．a－1，2a，a＋1a－b＝0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．3．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2＋b2－c2)2＋||4．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”、“海天号”轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿什么方向航行吗？解：根据题意，画图如下：PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2.∴∠QPR＝90°.由“远航号”沿东北方向航向可知，∠QPS＝45°，所以∠SPR＝45°，即“海天号”沿西北方向航行．活动3 课堂小结1．勾股定理的逆定理．2．勾股数．3．勾股定理及其逆定理的应用：(1)判断三角形的形状；(2)用于求角度；(3)用于求边长；(4)用于求面积；(5)用于证垂直.1.3 直角三角形全等的判定1．理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．2．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”定理(即“HL”)．阅读教材P19～20，完成预习内容．(一)知识探究1．判定两直角三角形全等的特殊方法指的是直角边、斜边(HL)．2．直角三角形全等的判定方法有SSS、ASA、SAS、AAS、HL(用简写)．(二)自学反馈1．如图，E，B，F，C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌△DFE，全等的根据是HL．2．2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；解：全等．理由：可用AAS证明其全等．(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；解：全等．理由；可用AAS或ASA证明其全等．(3)一个锐角和斜边对应相等；解：全等．理由；可用AAS证明其全等．(4)两直角边对应相等；解：全等．理由：可用SAS证明其全等．(5)一条直角边和斜边对应相等．解：全等．理由：可用HL证明其全等．3．下列说法正确的是(C)A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个三角形是直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．活动1 小组讨论例1已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB＝DC；(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ABD与Rt△CDB中，∵AD＝CB，BD＝DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．∴AB＝DC.(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB，∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.善于发现隐藏条件“公共边”．例2 已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.证明：连接CD.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵AC＝BD，DC＝CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)．∴AD＝BC.活动2 跟踪训练1．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝BA，ED＝AC.求证：ED⊥AC.证明：∵AE⊥AB，BC ⊥AB ，AE ＝BA ，ED ＝AC ，∴Rt △AED ≌Rt △BAC(HL)．∴∠E ＝∠CAB.∵∠E ＋∠EDA＝90°，∴∠CAB ＋∠EDA＝90°，∴∠DFA ＝90°.∴ED ⊥AC.2．已知，如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝CB ，DE ＝BF.求证：AB∥DC.证明：∵DE⊥AC，BF ⊥AC ，AD ＝CB ，DE ＝BF ，∴Rt △AED ≌Rt △CFB.∴AE ＝CF.∴AF ＝CE.在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CE ，∠AFB ＝CED ＝90°，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(SAS)．∴∠BAF ＝∠DCE.∴AB ∥DC.活动3 课堂小结1．“HL”是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．2．证明两个直角三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质与判定1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定，熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题．阅读教材P22～24，完成预习内容．(一)知识探究(1)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．(二)自学反馈1．如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE＝8，则PF的长(C) A．4 B．6 C．8 D．102．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为(C)A．60° B．45° C．30° D．75°活动1 小组讨论例1 如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长多少？解：过点D作DE⊥AB于E，∵点D到AB的距离等于5 cm，∴DE＝5 cm.∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝5 cm.∵BD＝2CD，∴BD＝2×5＝10 (cm)．∴BC＝CD＋BD＝5＋10＝15 (cm)．角平分线的性质是证明线段相等的另一途径，通常能使证明过程简略．其前提条件有两条，角平分线和垂直．例2 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF.证明：在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.先利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线互相重合证得AD为顶角的平分线，然后运用角平分线的性质证DE＝DF.例3 如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F.求证：点F在∠BAC的平分线上．证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，∵BF，CF是∠CBD和∠BCE的平分线，∴FG＝FM，FH＝FM.∴FG＝FH.∴点F在∠BAC的平分线上．活动2 跟踪训练1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点2．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE ＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是(A)A．①②④ B．①②③C．②③④D．①③3．如图，已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，且PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB于D，E，F三点．求证：PD＝PE＝PF.证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，∴PF＝PD.同理证得PE＝PD.∴PD＝PE＝PF.角平线的性质是证线段相等的另一途径．活动3 课堂小结1．角平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．第2课时角平分线的性质与判定的运用灵活运用角平分线的性质和判定解决问题．阅读教材P24～25，完成预习内容．(一)知识探究1．由教材P24“动脑筋”和P25例2可知，角平分线的性质是可用于证明线段之间的数量关系．2．由P25的“动脑筋”可知：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三边的距离相等．(二)自学反馈1．到三角形三边距离相等的点是(C)A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．不能确定2．如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有(D)A．一处B．二处C．三处D．四处3．如图，已知AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC于点E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于(C)A．50° B．60° C．70° D．80°活动1 小组讨论例1 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.证明：过点D 作DM⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N. ∵S △DCE ＝12CE·DN，S △DBF ＝12BF·DM，S △DCE ＝S △DBF ，∴12CE·DN＝12BF·DM. ∵CE ＝BF ， ∴DN ＝DM.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.例2 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC.求证：AE 是∠DAB 的平分线．证明：过点E 作EH⊥AB 于点H ，反向延长EH 交DC 的延长线于点G ，过点E 作EF⊥AD 于点F. ∵AB ∥CD ，EH ⊥AB ， ∴EG ⊥DC ，∠GCE ＝∠B. ∵点E 是BC 的中点， ∴CE ＝BE.在△CGE 和△BHE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GCE＝∠B，CE ＝EB ，∠CEB ＝∠BEH， ∴△CGE ≌△BHE(ASA)．∵DE 平分∠ADC，∴GE ＝EF.∴EF ＝EH.∴AE 是∠DAB 的平分线．活动2 跟踪训练1．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于(C)A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶52．如图，OD 平分∠AOB，OA ＝OB ，P 是OD 上一点，PM ⊥BD 于点M ，PN ⊥AD 于点N.求证：PM ＝PN.证明：∵OD 平分∠AOB，∴∠1＝∠2.在△OBD 和△OAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OA ，∠1＝∠2，OD ＝OD ，∴△OBD ≌△OAD(SAS)．∴∠3＝∠4.∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，3．如图，四边形ABDC 中，∠D ＝∠B＝90°，点O 为BD 的中点，且OA 平分∠BAC.求证：(1)OC 平分∠ACD；(2)OA⊥OC.证明：(1)过点O 作OE⊥AC 于E ，∵∠B ＝90°，OA 平分∠BAC，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD ，∴OE ＝OD.又∵∠D＝90°，∴OC 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ，∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL)．∴∠AOB ＝∠AOE.同理：∠COD＝∠COE.∴∠AOC ＝∠AOE＋∠COE＝12×180°＝90°. ∴OA ⊥OC.活动3 课堂小结角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，做角的平分线或过角的平分线上一点做角两边的垂线段是常用辅助线之一．。
湘教版八年级数学下册《直角三角形的性质和判定(Ⅱ)》教案
第1章直角三角形1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1课时勾股定理【知识与技能】1.让学生体验勾股定理的探索过程.2.掌握勾股定理.3.学会用勾股定理解决简单的几何问题.【过程与方法】经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，来了解勾股定理.【情感态度】了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信.【教学重点】勾股定理【教学难点】勾股定理的应用一、创设情境，导入新课问题向学生展示国际数学大会（ICM——2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路.可以首次提出勾股定理.【教学说明】激发学生爱好数学的情感和学习勾股定理的兴趣，调动他们的积极性.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证做一做：教材第9页“做一做”【教学说明】通过测量，学生自主探究，对于直角三角形这一性质有个初步了解.议一议：教材第9页“议一议”【教学说明】引导学生计算，让学生进一步体会探索勾股定理的过程，并对勾股定理拓展应用，进一步体会数形结合的思想.想一想：教材第10页“探究”【教学说明】通过拼图活动，充分调动学生的思维，进一步激发学生的求知欲望，同时加深了学生对新知识的理解.例：教材第11页例1【教学说明】学生初步运用勾股定理解决问题，能够学以致用.三、运用新知，深化理解1.若Rt△ABC中，∠C=90°，且c=37，a=12，则b的值为（）A.50B.35C.34D.262.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A.4B.8C.10D.123.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB 于D，求CD的长.4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2.求证：AB=BC.【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用，对于有困难的学生教师给予点拨，及时调整教学中的缺漏并加以强化，在完成上述题目后，学生自主完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.B 2.C3.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∴由勾股定理有AC2=AB2-BC2=52-32=16，∴AC=4.又∵S△ABC=1/2AB·CD=1/2AC·BC,∴CD=AC·BC/AB=12/5(cm)4.证明：连接AC，∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2.∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2.∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴AB=BC.四、师生互动，课堂小结本节课你学到了什么知识？同学们还存在哪些困惑？【教学说明】让学生畅所欲言，使学生概括能力、语言表达能力进一步得到提高，完善了学生对知识的梳理.1.布置作业：习题1.2中的第1、4题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用【知识与技能】1.勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形有更深刻的认识和理解.2.掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理.【过程与方法】1.放手学生从多角度地了解勾股定理.2.提高学生亲自动手的能力.【情感态度】1.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值.2.尽可能的给学生提供有关勾股定理的材料，给予交流的机会，并在与他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验.【教学重点】应用勾股定理有关知识解决有关问题.【教学难点】灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题.一、创设情境，导入新课问题勾股定理的内容是什么？它揭示了直角三角形三边之间的关系，今后我们来看看这个定理的应用.【教学说明】教师创设问题，有针对性地复习了勾股定理，对本节课的应用勾股定理解决实际的问题打下了坚实的基础.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的应用思考教材第12页“动脑筋”【教学说明】提出问题，提供学生参与数学活动的时间与空间，调动学生的观察能动性，引导学生建立数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力.例：教材第12页例2【教学说明】以古代的数学问题为背景，一方面及时巩固勾股定理的运用，另一方面让学生感受到数学文化.三、运用新知，深化理解1.直角三角形中已知其中的两条边长是4和5，则第三条边等于（）A.3B.41C.3或41D.无法确定2.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，∠B=90°.①已知a=5,b=12，求c;②已知a=20,c=29,求b.3.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所能走的最短路线的长度.【教学说明】由学生独立完成，以加深对知识的理解和运用，便于了解学生掌握情况，给有困难的学生给予指导，及时纠正他们出现的错误，并改正强化，在完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.C3.解：将曲面沿AB展开，如图，过C作CE⊥AB于E，在Rt△ECF 中，∠E=90°，EF=18-1-1=16（cm），CE=1/2×60=30（cm），由勾股定理，得CF=223016+=34（cm）+=22CE EF四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，给同学们谈谈你的收获是什么？你认为自己还在哪些问题上存在疑问?与大家共同交流.【教学说明】学生自已总结归纳加深印象.引导学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.1.布置作业：习题1.2中的第5、9题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第3课时勾股定理的逆定理【知识与技能】1.探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理.2.会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形.3.通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.【过程与方法】通过“创设情境——实验验证——理论释意——应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣.【情感态度】1.通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受.2.通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.【教学重点】理解和应用直角三角形的判定方法.【教学难点】理解勾股定理的逆定理.一、创设情境，导入新课问题据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.【教学说明】利用古埃及人画直角的方法，让学生体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课所研究的问题，既进行了数学史的教育，又锻炼了学生观察探究的能力，激发了他们渴求知识的欲望，教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的逆定理的证明探究教材第14页“探究”【教学说明】让学生有充分的探究、讨论的空间，体会逆定理的发生、发展、形成的过程，让学生亲身体验成功的喜悦，再次感受到数形结合的思想方法的应用.勾股定理的应用例：教材第15页例3、例4 【教学说明】加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步的应用逆定理.三、运用新知，深化理解1.下列命题中是假命题的是（）A.△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，则△ABC是直角三角形C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为__________，此三角形的形状为________.3.若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定这个三角形的形状.4.探险队里的A组由驻地出发，以12km/h的速度前进，同时，B 组也由驻地出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2小时后同时停下来，这时A、B两组相距30km，那么A、B两组行驶的方向成直角吗？说明理由.【教学说明】由学生自主完成，考验学生学习过程中存在的问题，适时给予引导、点拨，并有针对性地加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1. C 2. 6，8，10；直角三角形3.∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),当a2-b2=0时，即（a+b）(a-b)=0，因为a>0,b>0，所以a+b≠0,a-b=0,即a=b，此时为等腰三角形，当a2-b2≠0时，则有c2=a2+b2,根据勾股定理的逆定理此时为直角三角形.综上可得这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.4.∵（12×2）2+（9×2）2=30∴A，B两组行驶方向成直角.四、师生互动，课堂小结通过学习，你能判断一个三角形是否为直角三角形吗？还有哪些困惑？请与同学们共同操作.1.布置作业：习题1.2中的第2、8题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.。