2019广东省二模文科数学(含答案)
广东省2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(二)文科数学(WORD版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷(二)注意事项:1.答题前,考生须认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号,并将其贴在指定位置,然后用0.5毫米黑色字迹签字笔将自己所在的县(市、区)、学校以及自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡和试卷的指定位置,并用2B铅笔在答题卡的“考生号”处填涂考生号.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位,则复数z=i(2-i)的共轭复数=A.-1+2iB.-1-2iC.1+2iD. 1-2i2.已知集合A={x|-1<x<6},集合B={x|x2<4},则A∩(∁R B)=A.{x|-1<x<2}B.{x|-1<x≤2}C.{x|2≤x<6}D.{x|2<x<6}3.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的,且样本容量为200,则中间一组的频数为A.0.2B.0.25C.40D.504.设向量a与向量b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是A.(1,8)B.(-16,-2)C.(1,-8)D.(-16,2)5.设S n为等差数列的前n项和,若公差d=1,S9-S4=10,则S17=A.34B.36C.68D.726.某几何体的三视图如下图所示,三个视图都是半径相等的扇形,若该几何体的表面积为,则其体积为7.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为8.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递增,且为奇函数.已知f(1)=2,f(2)=3,则满足-3<f(x-3)<2的x的取值范围是A.(1,4)B.(0,5)C.(1,5)D.(0,4)9.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位: mm)进行质检,若从这批轮胎中随机选取3个,至少有2个轮胎的宽度在195±3内,则称这批轮胎基本合格.已知这批轮胎的宽度分别为195,196,190,194,200,则这批轮胎基本合格的概率为10.函数f(x)=2sin(ω≠0)的部分图象不可能为11.若函数f(x)=x3-k e x在(0,+∞)上单调递减,则k的取值范围为12.已知直线x=2a与双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线交于点P,双曲线C的左、右焦点分别为F1 ,F2,且cos∠PF2F1=-,则双曲线C的离心率为二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数f(x)=log2(x+a)的零点为-2,则a=▲.14.若x,y满足约束条件则的最大值为▲.15.在四棱锥P-ABCD中,PA与矩形ABCD所在平面垂直,AB=3,AD=,PA=,则直线PC与平面PAD所成角的正切值为▲.16.在数列中,a n+1=2(a n-n+3),a1=-1,若数列为等比数列,其中p,q为常数,则a p+q=▲.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在△ABC中,AC=3,C=120°.(1)若AB=7,求BC边的长;(2)若cos A=sin B,求△ABC的面积.18.(12分)《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”, 分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人.(1)根据题意,填写下面的2×2列联表,并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生.(ⅰ)求这11名学生中女生的人数;(ⅱ)若抽取的女生的脑力测试分数各不相同(每个人的分数都是整数),求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值.附:K2=,其中n=a+b+c+d.19.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,AC⊥AB,AC=AB=4,AA1=6,点E,F分别为CA1与AB的中点.(1)证明:EF∥平面BCC1B1.(2)求三棱锥B1-AEF的体积.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A,B两点.(1)证明:△AOB为钝角三角形.(2)若直线l与直线AB平行,直线l与抛物线C相切,切点为P,且△PAB的面积为16,求直线l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a ln x.(1)当a=-4时,求f(x)的单调区间;(2)已知a∈(1,2],b∈R,函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x.若f(x)的极小值点与g(x)的极小值点相等,证明:g(x)的极大值不大于.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcos θ=-1的垂线,垂足分别为M,N,求|PM|+|PN|的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=+-k.(1)当k=4时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若不等式f(x)≥对x∈R恒成立,求k的取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷(二)参考答案及评分标准评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.D2.C3.D4.B5.C6.A7.A8.A9.C10.B11.C12.B13.314.15.16.4017.解:(1)由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC×AC×cos C, 1分代入数据整理得BC2+3BC-40=0, 3分解得BC=5(BC=-8舍去).5分(2)由cos A=sin B及C=120°,得cos(60°-B)=sin B, 6分展开得cos B+sin B-sin B=0, 7分即sin B=cos B,tan B==, 8分所以B=30°.9分从而A=60°-B=30°,即A=B=30°,所以BC=AC=3.10分故△ABC的面积为×3×3×sin 120°=.12分评分细则:第(1)问中,只要由余弦定理得到BC=5,就给5分;第(2)问中,cos(60°-B)=sin B是关键,得到B=30°或A=30°,就给3分.18.解:(1)填写列联表如下:4分因为K2的观测值k==<2.706, 6分所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.7分(2)(ⅰ)这11名学生中,被抽到的女生人数为20×=5.9分(ⅱ)因为入围的分数不低于120分,且每个女生的测试分数各不相同,每个人的分数都是整数,所以这11名学生中女生的平均分的最小值为=122.12分评分细则:第(1)问计算得到K2的观测值k=即可得1分.19.(1)证明:如图,连接BC1.1分在三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AC1的中点.2分又因为F为AB的中点,所以EF∥BC1.3分又EF⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.5分(2)解:因为AC⊥AB,AA1⊥AC,AA1∩AB=A,所以AC⊥平面ABB1A1, 7分又AC=4,E为A1C的中点,所以E到平面ABB1A1的距离为×4=2.9分因为△AB1F的面积为×2×6=6, 10分所以==×2×6=4.12分评分细则:第(1)问中,先证面面平行,再证线面平行,也是常见的方法,阅卷时应同样给分.20.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得x2-4kx-4=0, 1分则x1x2=-4, 2分所以y1y2==1, 3分从而·=x1x2+y1y2=-3<0, 4分则∠AOB为钝角,故△AOB为钝角三角形.5分(2)解:由(1)知,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2, 6分则|AB|=y1+y2+p=4k2+4.7分由x2=4y,得y=,y'=,设P(x0,y0),则x0=k,x0=2k,y0=k2,则点P到直线y=kx+1的距离d=.9分从而△PAB的面积S=d|AB|=2(k2+1)=16, 10分解得k=±, 11分故直线l的方程为y=±x-3.12分评分细则:第(1)问中,得到x1x2,y1y2的值分别给1分;若只是得到其中一个,且得到·=-3<0 ,可以共给3分.21.(1)解:当a=-4时,f(x)=x2+3x-4ln x,定义域为(0,+∞).1分f'(x)=x+3-==.2分当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)的单调递增区间为(1,+∞); 3分当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 则f(x)的单调递减区间为(0,1).4分(2)证明:f'(x)==, 5分g'(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=.6分令p(x)=3x2+(2b+3)x-1.因为a∈(1,2],所以f(x)的极小值点为a,则g(x)的极小值点为a, 8分所以p(a)=0,即3a2+(2b+3)a-1=0,即b=, 9分此时g(x)的极大值为g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3-=a--.10分因为a∈(1,2],所以a--≤×2--=.11分故g(x)的极大值不大于.12分评分细则:第(1)问中,计算导数时未因式分解不扣分;第(2)问中,计算g(x)的导数时未因式分解扣1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x2+y2-4x-6y+12=0, 3分即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程.4分(2)由(1)可设P的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π,6分则|PM|=3+sin α, 7分又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α.8分所以|PM|+|PN|=6+sin, 9分故当α=时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+.10分评分细则:第(2)问中,亦可设P的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f(x)<0,得+<4.1分当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; 2分当-1≤x≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x≤2;3分当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<.4分故f(x)<0的解集为.5分(2)因为f(x)=+-k≥|x+1+2-x|-k=3-k, 6分所以f(x)的最小值为3-k.7分因为不等式f(x)≥对x∈R恒成立,所以3-k≥, k+3≥0，所以9分解得-3≤k≤1,则k的取值范围为[-3,1].10分评分细则:第(1)问中,先将f(x)化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分;第(2)问中,未写3-k≥0,扣1分.。
广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试(二)文科数学(解析版)
广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二）文科数学（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，其中m是实数，则1z=()A. iB. −iC. 2iD. −2i【答案】A【解析】解：复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，故m(m−1)=0且(m−1)≠0，解得m=0，故z=−i，故1z =−1i=−1⋅ii⋅i=i．故选：A．由纯虚数的定义可得m=0，故1z =−1i，化简可得．本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．2.已知全集U=R，M={x|x<−1}，N={x|x(x+2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A. {x|−1≤x<0}B. {x|−1<x<0}C. {x|−2<x<−1}D. {x|x<−1}【答案】A【解析】解：图中阴影部分为N∩(∁U M)，∵M={x|x<−1}，∴∁U M={x|x≥−1}，又N={x|x(x+2)<0}={x|−2<x<0}，∴N∩(∁U M)={x|−1≤x<0}，故选：A．由图可得图中阴影部分为N∩(∁U M)，求解一元二次不等式，再由交集与补集的混合运算求解．本题考查利用图示法表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a6+a7+a8=()A. 63B. 45C. 39D. 27【答案】C【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S3=9，S6=36，得{6a 1+15d =363a 1+3d=9，解得a 1=1，d =2；∴a 6+a 7+a 8=3a 1+18d =3+36=39． 故选：C ．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意列方程组求出a 1、d ，再计算a 6+a 7+a 8的值．本题考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式应用问题，是基础题．4. 为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度(单位长度：cm)，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是( )A. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为： 甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37 乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47 由已知易得：甲=19+20+21+23+25+29+31+32+33+3710=27乙=10+10+14+26+27+30+44+46+46+4710=30S 甲2<S 乙2故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度， 甲种树苗比乙种树苗长得整齐． 故选：D ．本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，10高考应该会有有关内容.数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．5. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，M 是抛物线C 上的点，且MF ⊥x轴，若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，则p =( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√2【答案】B【解析】解：把x =p2代入y 2=2px 可得y =±p ，不妨设M 在第一象限， 则M(p2,p)，又A(−p 2,0)，∴直线AM 的方程为y =x +p 2，即x −y +p2=0， ∴原点O 到直线AP 的距离d =p 2√2=√2p4， ∵以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2， ∴p 24=p 28+1，解得p =2√2．故选：B ．求出直线AM 的方程，根据垂径定理列方程得出p 的值． 本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．6. 在△ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3B. −3C. 92 D. −92【答案】C【解析】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，如图，设|OC|=x ，则|OA|=√3x ，所以|AO|2+|OC|2=|AC|2即3x 2+x 2=9，解得x =32， 所以|BC|=3，所以△ABC 为等边三角形，所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×3×12=92； 故选：C ．由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系，求出OC ，得到△ABC 的形状即可求得．本题考查向量加法的平行四边形法则，向量数量积的计算公式；关键是正确判断三角形的形状．7. 已知命题p ：若a =0.20.2，b =1.20.2，c =log 1.20.2，则a <c <b ：命题q ：“x −2≥0”是“x −2>0”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是( )A. p ∧qB. p ∧(￢q)C. (￢p)∧(￢q)D. (￢p)∧q【答案】D【解析】解：命题p ：若a =0.20.2，b =1.20.2，c =log 1.20.2， 则：b =1.20.2>1，0<a =0.20.2<1，c =log 1.20.2<0， 故：b >a >c ．故命题p为假命题．命题q：“x−2≥0”是“x−2>0”的必要不充分条件，故命题q是真命题．则：(￢p)∧q为真命题．故选：D．直接利用指数和对数的性质判断出命题p为假命题，命题q为真命题，进一步利用真值表求出结果．本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的性质的应用，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，|φ|<π2)图象的一个对称中心为(π3,0)，其相邻一条对称轴方程为x=7π12，该对称轴处所对应的函数值为−1，为了得到g(x)=cos2x的图象，则只要将f(x)的图象()A. 向右平移π6个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π12个单位长度【答案】B【解析】解：根据已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象过点(π3,0)，(7π12,−1)，可得A=1，14⋅2πω=7π12−π3，解得：ω=2．再根据五点法作图可得2⋅π3+φ=π，可得：φ=π3，可得函数解析式为：f(x)=sin(2x+π3).故把f(x)=sin(2x+π3)的图象向左平移π12个单位长度，可得y=sin(2x+π3+π6)=cos2x的图象，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，诱导公式，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．9.已知数列{a n}是1为首项，2为公差的等差数列，{b n}是1为首项，2为公比的等比数列，设∁n=a bn，T n= c1+c2+⋯+∁n，(n∈N∗)，则当T n<2019时，n的最大值是()A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】解：∵{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n=2n−1，∵{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n=2n−1，∴T n=c1+c2+⋯+∁n=a b1+a b2+⋯+a bn=a1+a2+a4+⋯+a2n−1=(2×1−1)+(2×2−1)+(2×4−1)+⋯+(2×2n−1−1) =2(1+2+4+⋯+2n−1)−n=2×1−2n1−2−n=2n+1−n−2，∵T n<2019，∴2n+1−n−2<2019，解得：n≤10．则当T n<2019时，n的最大值是10．故选：B．由题设知a n=2n−1，b n=2n−1，由T n=a b1+a b2+⋯+a bn=a1+a2+a4+⋯+a2n−1=2n+1−n−2和T n<2019，得2n+1−n−2<2019，由此能求出当T n<2019时n的最大值．本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性，综合性强，难度大，易出错．10.在同一直角坐标系中，函数y=ax2−x+a2与y=a2x3−2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】解：当a=0时，函数y=ax2−x+a2的图象是第二，四象限的角平分线，而函数y=a2x3−2ax2+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故D符合要求；当a≠0时，函数y=ax2−x+a2图象的对称轴方程为直线x=12a，由y=a2x3−2ax2+x+a可得：y′=3a2x2−4ax+1，令y′=0，则x1=13a ，x2=1a，即x1=13a 和x2=1a为函数y=a2x3−2ax2+x+a的两个极值点，对称轴x =12a 介于x 1=13a 和x 2=1a 两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合， 故选：B ．讨论a 的值，当a =0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数ax 2−x +a2的对称轴x =12a ，利用求导函数求出函数y =a 2x 3−2ax 2+x +a 的极值点为x =13a 与x =1a ，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且∠F 1AF 2=150∘，则e 2=( )A. 7−2√3B. 7−√3C. 7+√3D. 7+2√3【答案】A【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AB ⊥BF 2， ∵∠F 1AF 2=150∘，∴∠BAF 2=30∘，设|BF 2|=x ，则|BF 1|=x +2a ，|AF 2|=2x ，|AB|=√3x ， ∴|AF 1|=|BF 1|−|AB|=x +2a −√3x ， 又|AF 2|−|AF 1|=2a ，∴2x −(x +2a −√3x)=2a ，解得x =2(√3−1)a ． ∴|BF 1|=2√3a ，|BF 2|=2(√3−1)a ，在Rt △BF 1F 2中，由勾股定理可得：12a 2+[(2√3−2)a]2=4c 2， 即(7−2√3)a 2=c 2， ∴e 2=c 2a 2=7−2√3． 故选：A ．设|BF 2|=x ，根据直角三角形的性质和双曲线的性质，用x 表示出|AF 1|，|AF 2|，根据|AF 2|−|AF 1|=2a 计算x ，再根据勾股定理列方程得出a ，c 的关系，从而求出e 2的值． 本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．12. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足0'/>，f(3)=−ln3，则不等式f(e x )+x >0的解集为()A. (e 3,+∞)B. (0,e 3)C. (ln3,+∞)D. (ln3,e 3)【答案】C【解析】解：令g(x)=f(x)+lnx ，x ∈(0,+∞)． ∵在(0,+∞)上的函数f(x)满足0'/>，∴g′(x)=f′(x)+1x=xf ′(x)+1x>0，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增， ∵g(3)=f(3)+ln3=0，∴不等式g(x)>0=g(3)的解集为：x >3． 而不等式f(e x )+x >0满足：e x >3，即x >ln3． ∴不等式f(e x )+x >0的解集为(ln3,+∞)． 故选：C ．令g(x)=f(x)+lnx ，x ∈(0,+∞).在(0,+∞)上的函数f(x)满足 0'/>，可得g′(x)=xf ′(x)+1x>0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(3)=f(3)+ln3=0，进而得出解集．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≥0y +2≥0，则z =x +y 的最小值为______．【答案】1【解析】解：画出不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≥0y +2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示；由{2x +y −4=0y=−2，解得B(3,−2)，设z =x +y ，将直线l ：z =x +y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值=3−2=1． 故答案为：1．根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z 的最小值． 本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14. 设定义在R 上的函数满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[−1,1)时，f(x)={f(2x ),−1≤x ≤0log 2x,0<x<1，则f(72)=______．【答案】−12【解析】解：定义在R 上的函数满足f(x)=f(x +2)，所以函数的周期为2， 当x ∈[−1,1)时，f(x)={f(2x ),−1≤x ≤0log 2x,0<x<1， 则f(72)=f(4−12)=f(−12)=f(2−12)=log 22−12=−12．故答案为：−12．利用函数的周期性以及分段函数，转化求解函数值即可． 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．15. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n S n+1=−a n+1(n ∈N ∗)，则a 10=______． 【答案】−190【解析】解：根据题意，数列{a n }满足S n S n+1=−a n+1，即S n S n+1=S n −S n+1， 变形可得：1Sn+1−1S n=1，又由a 1=1，则1S 1=1，则数列{1S n}为首项为1，公差为1的等差数列，则1S n=1+(n −1)=n ，则S n =1n ，则a 10=S 10−S 9=110−19=−190； 故答案为：−190．根据题意，将S n S n+1=−a n+1变形可得S n S n+1=S n −S n+1，进而可得1Sn+1−1S n=1，分析可得数列{1Sn}为首项为1，公差为1的等差数列，即可得S n =1n ，又由a 10=S 10−S 9，计算可得答案． 本题考查数列递推公式，涉及数列的前n 项和与通项的关系，属于基础题．16. 已知三棱锥D −ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC =2，且三棱锥D −ABC 的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为______． 【答案】40√103π 【解析】解：如下图所示，取AC 的中点E ，连接OE ，由于O 为AD 的中点，E 为AC 的中点，则OE//CD ，∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为△ABC外接圆圆心，且O为三棱锥D−ABC外接球的球心，所以OE⊥平面ABC，所以，CD⊥平面ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC=2，所以，AB=BC=√2，则△ABC的面积为S△ABC=12AB⋅BC=1，由锥体体积公式可得V D−ABC=13S△ABC⋅CD=13×1×CD=2，∴CD=6，所以，AD=√AC2+CD2=2√10，则球O的半径为R=12AD=√10，因此，球O的体积为43πR3=43π×(√10)3=40√103π．故答案为：40√103π．取AC的中点E，利用球心O与△ABC的外心的连线与平面ABC垂直，得到OE⊥平面ABC，再由中位线得出OE//CD，于是得出CD⊥平面ABC，根据已知条件计算出△ABC的面积，并利用锥体体积公式计算出CD，再利用勾股定理得出AD，即可得出球O的半径为R=12AD，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体的体积的计算，解决本题的关键在于理解球心与相应面的外接圆圆心的连线与相应的底面垂直这一性质，考查计算能力与推理能力，属于中等题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a+c)cosB+bcosC=0．(1)求角B的大小；(2)若a=3，点D在AC边上，且BD⊥AC，BD=15√314，求c边的长．【答案】(1)由(2a+c)cosB+bcosC=0及正弦定理，可得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sin(B+C)=0，由A+B+C=π可得sin(B+C)=sinA，所以sinA(2cosB+1)=0，因为0<A<π，sinA≠0，所以cosB=−12,B=2π3．(2)由B=2π3得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，又因为BD⊥AC，所以△ABC的面积S=acsinB=12b⋅BD，把a=3,B=2π3,BD=15√314，带入得b=75c，所以(7c5)2=c2+3c+9，解得c=5．【解析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出B的值．(2)利用三角形的边的关系及余弦定理和三角形面积公式，建立等量关系式求出c的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题型．18.《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；(2)试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；(3)已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．【答案】解：(1)被采访人恰好在第1组或第4组的概率P=4×0.07+4×0.01=0.32…………………(2分) 2)平均数M=162×0.2+166×0.28+170×0.32+174×0.12+178×0.04+182×0.04…………(3分) M=170−1.6−1.12+0.48+0.32+0.48=168.56…………………(4分)设中位数为x，则0.2+0.28+(x−168)×0.08=0.5…………………(5分)∴中位数x=0.5−0.280.08+168=168.25…………………(6分)(3)共50×0.12=6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f…………………(7分)则任选2人，可能为{a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，{a,f}，{b,c}，{b,d}，{b,e}，{b,f}，{c,d}，{c,e}，{c,f}，{d,e}，{d,f}，{e,f}，共15种，…………………(9分)其中两个全是男生的有{a,b}，{a,c}，{b,c}，共3种情况，…………………(10分)设事件A：至少有1名女性，则至少有1名女性市民的概率P(A)=1−315=45…………………(12分)【解析】(1)利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第1组或第4组的概率．(2)利用频率分布直方图能求出平均数和中位数．(3)共50×0.12=6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率．本题考查概率、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD=60∘，AB⊥BC，AB=BC=√2．(1)若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；(2)求六面体ABCEF的体积．【答案】证明：(1)连接MD，FD．∵四边形BDEF为菱形，且∠FBD=60∘，∴△DBF为等边三角形．∵M为BF的中点，∴DM⊥BF．∵AB⊥BC，AB=BC=√2，又D是AC的中点，∴BD⊥AC．∵平面BDEF∩平面ABC=BD，平面ABC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BDEF．又BF⊂平面BDEF，∴AC⊥BF．由DM⊥BF，AC⊥BF，DM∩AC=D，∴BF⊥平面AMC．(2)S菱形BDEF =2⋅12⋅BD⋅BF⋅sin60∘=√32．已证AC⊥平面BDEF，则V 四棱锥C−BDEF =13S 菱形BDEF ⋅CD =13×√32×1=√36． ∴V 六面体ABCEF =2V 四棱锥C−BDEF =√33． 【解析】(1)直接利用转换关系，利用相面垂直的判定求出结论． (2)利用分割法求出几何体的体积．本题考查的知识要点：线面垂直的判定的应用，几何体的体积公式的应用．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，离心率为√22，△ABF 1的面积为√2−12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，求△MNF 2内切圆半径的最大值． 【答案】解：(1)依题意有{ ca =√22a 2=b 2+c 212(a −c)b =√2−12解得{a =√2b =1c =1.， 故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设△F 2MN 的内切圆半径为r ，△F 2MN 的周长为|MF 1|+|MF 2|+|NF 1|+|NF 2|=4a =4√2，所以S △F 2MN =12×4a ⋅r =2√2r ．根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x =my −1，由{x 22+y 2=1x =my +1，得(m 2+2)y 2−2my −1=0，△=(2m)2+4(m 2+2)>0，m ∈R ， 由韦达定理得y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=−1m 2+2，∴S △F 2MN =12|F 1F 2||y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√2√m 2+1m 2+2，令t =√m 2+1，则t ≥1，∴S △F 2MN =2√2tt 2+1=2√2t+1t．令f(t)=t +1t ，则当t ≥1时，f′(t)=1−1t 2>0，f(t)单调递增， ∴f(t)≥f(1)=2，S △F 2MN ≤√2，即当t =1，m =0时，S △F 2MN 的最大值为√2，此时2√2r max =√2，r max =12． ∴△F 2MN 内切圆半径的最大值为12．【解析】(1)根据题意列方程组求出a ，b 的值得出椭圆方程；(2)根据根与系数的关系求出△MNF 2的最大值，再根据内切圆的性质表示出△MNF 2的面积，从而得出内切圆的最大半径．本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，用半径表示出三角形的面积是解题的关键，属于中档题．21. 已知函数f(x)=e x −a(x +1)，a ∈R ．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)设g(x)=f(x)+ae x ，且A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)(x 1≠x 2)是曲线y =g(x)上的任意两点，若对任意的a ≤−1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围． 【答案】解：(1)由题知定义域为(−∞,+∞)，，a ∈R ，…………………(1分)①当a ≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，即增区间为(−∞,+∞)； 则f(x)无极值；…………………(2分) ②当a >0时，的解为x =lna ，当x ∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，∴f(x)的减区间为(−∞,lna)；当x ∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的增区间为(lna,+∞).…………………(4分) 则f(x)极小值为f(lna)=a −a(lna +1)=−alna ，无极大值； …………………(5分) (2)设x 1，x 2是任意的两实数，且x 1<x 2， 由题设知，g(x 2)−g(x 1)x 2−x 1>m ，故g(x 2)−mx 2>g(x 1)−mx 1，∴不妨令函数F(x)=g(x)−mx ，…………………(8分) 则F(x)在(−∞,+∞)上单调递增，恒成立，∴对任意的a ≤−1，x ∈R ，恒成立，∴m ≤(g′(x))min .…………………(10分)又当a ≤−1时，g′(x)=e x −a −a ex ≥2√e x (−ae x )−a =−a +2√−a =(√−a +1)2−1≥3， 故m ≤3.…………………(12分)【解析】(1)由题意求出函数的定义域，并且求出原函数的导函数，可得当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；当a >0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，得到函数的单调性，从而得到函数的极值；(2)设x 1，x 2是任意的两实数，且x 1<x 2，由题设知，g(x 2)−g(x 1)x 2−x 1>m ，得到g(x 2)−mx 2>g(x 1)−mx 1，构造函数F(x)=g(x)−mx ，可得F(x)在(−∞,+∞)上单调递增，得到恒成立，分离参数后利用基本不等式求出的最小值，则m 的取值范围可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，是中档题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =1+sinαx=1+cosα(α为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√22t(t ∈R)．(1)求曲线C 1的普通方程及曲线C 2的直角坐标方程；(2)若π≤α≤2π，当曲线C 1与曲线C 2有两个公共点时，求t 的取值范围． 【答案】解：(1)由{y =1+sinαx=1+cosα，得{y −1=sinαx−1=cosα， 两式平方相加得：(x −1)2+(y −1)2=1；由ρcos(θ−π4)=√22t ，得ρcosθcos π4+ρsinθsin π4=√22t ，∴√22x +√22y =√22t ，即x +y =t ；(2)由π≤α≤2π，得曲线C 1：(x −1)2+(y −1)2=1(y ≤0)． 作出曲线C 1与曲线C 2的图象如图：由图可知，当曲线C 1与曲线C 2有两个公共点时，实数t 的取值范围为(−√2,−1]．【解析】(1)把已知参数方程移向平方即可得到普通方程，展开两角差的余弦，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ求得曲线C 2的直角坐标方程；(2)画出两曲线的图形，数形结合即可求得t 的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．23. 已知函数f(x)=|2x|+|2x +3|+m(m ∈R)．(1)当m =−2时，求不等式f(x)≤3的解集；(2)若∀x ∈(−∞,0)，都有f(x)≥x +2x 恒成立，求m 的取值范围．【答案】解：(1)当m =−2时，f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={4x +1,x ≥01,−32<x <0−4x −5,x ≤−32…(2分) 当{x ≥04x+1≤3，解得0≤x ≤12； 当−32 <x <0, 1≤3恒成立 当{−4x −5≤3x ≤−32解得−2≤x ≤−32 此不等式的解集为[−2 ,12]………………………………………(5分) (2)当x ∈(−∞,0)时f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={3+m,(−32<x <0)−4x −3+m,(x ≤−32)．当−32<x <0时，不等式化为3+m ≥x +2x 由x +2x =−[(−x)+(−2x )]≤−2√(−x)(−2x)=−2√2 当且仅当−x =−2x 即x =−√2时等号成立.∴m +3≥−2√2，∴m ≥−3−2√2……………………………(7分) 当x ≤−32时，不等式化为−4x −3+m ≥x +2x .∴m ≥5x +2x +3令y =5x +2x +3，x ∈(−∞,−32]∵y′=5−2x 2>0,x ∈(−∞,−32], ∴y =5x +2x +3在(−∞,−32]上是增函数． ∴当x =−32时，y =5x +2x +3取到最大值为−356∴m ≥−356………………(9分)综上m ≥−3−2√2………………………………………………(10分)【解析】(1)f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={4x +1,x ≥01,−32<x <0−4x −5,x ≤−32，分段解不等式即可． (2)f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={3+m,(−32<x <0)−4x −3+m,(x ≤−32).当−32<x <0时，不等式化为3+m ≥x +2x，当x ≤−32时，不等式化为−4x −3+m ≥x +2x ．m ≥5x +2x +3，利用恒成立求得m 的取值范围． 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2019年广东省广州市天河区高2019届高2016级文科数学二模试卷
2019年广东省广州市天河区高2016级数学二模试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数,其中m 是实数,则1(z = )A.iB.i -C.2iD.2i -2.(5分)已知全集U R =,{|1}M x x =<-,{|(2)0}N x x x =+<,则图中阴影部分表示的集合是( )A.{|10}x x -<…B.{|10}x x -<<C.{|21}x x -<<-D.{|1}x x <-3.(5分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,636S =,则678(a a a ++= ) A.63B.45C.39D.274.(5分)为保证树苗的质量,林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测,现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度(单位长度：)cm ,其茎叶图如图所示,则下列描述正确的是( )A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,甲种树苗比乙种树苗长得整齐B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,乙种树苗比甲种树苗长得整齐C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,乙种树苗比甲种树苗长得整齐D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,甲种树苗比乙种树苗长得整齐 5.(5分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A ,M 是抛物线C 上的点,且MF x ⊥轴,若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2,则(p = )A.2B. C.4D.6.(5分)在ABC ∆中,||3||AB AC AB AC +=-,||||3AB AC ==,则(CB CA = ) A.3B.3-C.92D.92-7.(5分)已知命题p ：若0.20.2a =,0.21.2b =, 1.2log 0.2c =,则a c b <<：命题q ：“20x -…”是“20x ->”的必要不充分条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ⌝∧8.(5分)若函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0A >,||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π,0),其相邻一条对称轴方程为712x π=,该对称轴处所对应的函数值为1-,为了得到()cos 2g x x =的图象,则只要将()f x 的图象( )A.向右平移6π个单位长度 B.向左平移12π个单位长度C.向左平移6π个单位长度D.向右平移12π个单位长度9.(5分)已知数列{}n a 是1为首项,2为公差的等差数列,{}n b 是1为首项,2为公比的等比数列,设n n b a =ð,12n n T c c =++⋯+ð,(*)n N ∈,则当2019n T <时,n 的最大值是( ) A.9B.10C.11D.1210.(5分)在同一直角坐标系中,函数22ay ax x =-+与2322()y a x ax x a a R =-++∈的图象不可能的是( )A. B.C. D.11.(5分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为e ,过点1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ,B 两点,若20AB BF =,且12150F AF ∠=︒,则2(e = )A.7-B.7C.7+D.7+12.(5分)定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()10xf x '+>,f (3)3ln =-,则不等式()0x f e x +>的解集为( ) A.3(e ,)+∞B.3(0,)eC.(3,)ln +∞D.3(3,)ln e二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分13.(5分)已知实数x ,y 满足不等式组35024020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩………,则z x y =+的最小值为 . 14.(5分)设定义在R 上的函数满足()(2)f x f x =+,当[1x ∈-,1)时,2,01()(2),10x log x x f x f x <<⎧=⎨-⎩剟,则7()2f = . 15.(5分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,11a =,11(*)n n n S S a n N ++=-∈,则10a = .16.(5分)已知三棱锥D ABC -的体积为2,ABC ∆是等腰直角三角形,其斜边2AC =,且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是AD 的中点,则球O 的体积为 .三、解答题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第17题～21题为必考题每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知(2)cos cos 0a c B b C ++=. (Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若3a =,点D 在AC边上且,BD AC BD ⊥=求c . 18.(12分)《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”,弘扬传统文化,某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况,发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间,将测试结果按如下方式分成六组：第1组[160,164),第2组[164,168),⋯,第6组[180,184),如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访,求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；(2)试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；(3)已知第4组市民中有3名男性,组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至少有1名女性市民的概率.19.(12分)如图,D 是AC 的中点,四边形B D E F 是菱形,平面B D E F ⊥平面ABC ,60FBD ∠=︒,AB BC ⊥,AB BC =(1)若点M 是线段BF 的中点,证明：BF ⊥平面AMC ； (2)求六面体ABCEF 的体积.20.(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,左顶点为A ,上顶点为B ,,1ABF ∆. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,求2MNF ∆内切圆半径的最大值. 21.(12分)已知函数()(1)x f x e a x =-+,a R ∈. (1)求函数()f x 的单调区间和极值； (2)设()()xag x f x e =+,且1(A x ,1)y 、2(B x ,212)()y x x ≠是曲线()y g x =上的任意两点,若对任意的1a -…,直线AB 的斜率恒大于常数m ,求m 的取值范围. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos (1sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数),以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为cos()()4t R πρθ-∈. (1)求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；(2)若2παπ剟,当曲线1C 与曲线2C 有两个公共点时,求t 的取值范围.[选修45：不等式选讲]23.已知函数()|2||23|f x x x m=+++,m R∈. (Ⅰ)当2m=-时,求不等式()3f x…的解集；(Ⅱ)(,0)x∀∈-∞,都有2()f x xx+…恒成立,求m的取值范围.2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2019年广州二模文科数学试题及答案WORD
高考数学精品复习资料2019.5试卷类型：A20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）20xx ．4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是图1俯视图侧视图正视图 A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14 B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12fθ=，求sin 2θ的值.17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FE DC BA表2 18．（本小题满分14分） 如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12fθ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分 解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分 两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，M O H F E D C B A则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名.…………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分 ∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE . ……………4分 （2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥.OH FEDCBA∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =, ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BCFH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 （3）解：连接EC ， 在Rt △BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-，……………11分 两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分当0x >时,12xx +≥=当且仅当12x x=, 即2x=时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211l n 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。
广东省东莞市2019届高三第二学期第二次统考(省二模)模拟考试文科数学试题 (1)
东莞市2019届高三第二学期第二次统考（省二模）模拟考试文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 2019.4 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}2|2A x x x =+-<0，集合{}|B x x =>0，则集合A B =UA ．{}|0x x <<1B ．{}|1x x <C ．{}|2x x -<<1D ．{}|2x x >- 2．若复数z 满足()()52=++i i z （其中i 为虚数单位），则z 等于A ．i 22+B ．i -22+C ．i 2-2D ．i -2-2 3．已知数列{}na 为等差数列，94=a，98-a a =，则=1aA ．21B ．19C ．17D ．154．设变量x ，y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数42z x y =+的最大值为A ．12B ．10C ．8D ．65．已知1sin ,cos 11a aa a-==-++θθ，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 A. 12-B. 2-C. 34-D. 43- 6．曲线2+=x xy 在点)1,1(--处的切线方程为 A ．12+=x y B ．12-=x y C ．22--=x yD ．22+-=x y7．若函数()sin()(0)6f x x πωω=->图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f (x)的一个单调递增区间为A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡33-ππ，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡36-ππ，C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡63-ππ，D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡326ππ，8．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A ．πB ．2πC ．4πD ．16π9．欧拉三角形定义如下：ABC △的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC △的欧拉三角形.已知ABC △中，3,2AB AC BC ===，ABC △的垂心为P ，,,AP BP CP 的中点分别为111,,A B C ，111A B C △即为ABC △的欧拉三角形，往ABC △中随机投掷一点，该点落在11PA B △或11PB C △内的概率为 A ．19B ．18 C ．532 D ．96400为PQ 的中点，且00，则y x 的取值范围是 A ．1[,)3+∞ B ．1(,0)(0,)3-∞U C ．11(,)23- D ．11(,0)(0,]23-U 12．已知函数()2||f x x =-，若关于x 的不等式2()x x f x m ≥--的解集中仅有1个整数，则实数m 的取值范围为A ．[3,1)--B ．(3,1)--C ．[2,1)--D ．(2,1)--二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知单位向量a r 与单位向量b r 的夹角为0120，则2a b -r r =.14．若a x f x+-=121)(是奇函数，则=a ．15．已知数列{}n a 满足119a =-，181n n n a a a +=+()n N *∈，则{}n a 中最大项的值为16．已知矩形ABCD ，1=AB ，2=AD ，E 为AD 中点，现分别沿BE 、CE 将三角形ABE 和三角形DCE 翻折，使A 、D 点重合，记为P 点，则几何体P —BCE 外接球的表面积为 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2a b C -=． （1）求B ∠的值；（2）若4a =，cos C =，求ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，º160BAA ∠=，E 是棱1BB 的中点，=1CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：11CB A EF//面；（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求三棱锥1C AA B -的体积 19．（本小题满分12分）某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率。
广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试(二)文科数学试题(解析版)
广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二）文科数学（解析版）一、选择题。
1.若复数是纯虚数，其中m是实数，则（）A. iB.C. 2iD.【答案】A【解析】因为复数是纯虚数，所以，则m=0，所以，则.2.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过韦恩图，可知所求集合为，求解出集合，利用集合运算知识求解即可。
【详解】由，即图中阴影部分表示的集合为：又本题正确选项：【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题。
3.设等差数列的前n项和为，若，，则( )A. 63B. 45C. 39D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列方程组求出、d，再计算的值．【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得，；．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．4.为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度单位长度：，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（）A. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．【点睛】茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．5.已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则( )A. 2B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】求出直线AM的方程，根据垂径定理列方程得出p的值．【详解】把代入可得，不妨设M在第一象限，则，又，直线AM的方程为，即，原点O到直线AP的距离，以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，，解得．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
2019广州二模文科数学试题及答案WORD
图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 AC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FED C BA表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列.（1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）M OH FE D CB (1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分OHFE D C B A ∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =.∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分 即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414nn n -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时, 12xx +≥=当且仅当12x x =,即x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-.……………3分① 当0∆≤, 即a -≤时, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分②当0∆>, 即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln 44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -， 则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =， ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。
(完整word版)2019广东省广州市二模数学文科word精校版
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}60|{<<∈=x x A N ，}8,6,4,2{=B ，则=B A I （ ）A ．}5,3,1,0{B ．}6,4,2,0{C ．}5,3,1{D ．}6,4,2{2．已知复数)2()3(i i m z +-+=在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．)32,(-∞C ．)1,32(D ．),1()32,(+∞-∞Y3．某公司生产C B A ,,三种不同型号的轿车，产量之比依次为4:3:2，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则=n （ ）A ．96B ．72C ．48D ．36 4．执行如图所示的程序框图，则输出z 的值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（ ）A ．109 B ．107 C ．103 D ．1016．函数)||,0)(sin(2πϕωϕω<>+=x y 的部分图像如图所示，则函数的解析式为（ ）A ．)661sin(2π+=x yB ．)631sin(2π-=x yC ．)331cos(2π+=x yD ．)361cos(2π-=x y7．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列等式中一定成立的是（ ）A ．n n n S S S 32=+B ．n n n S S S 322=C ．n n n n S S S S 2222-+=D ．)(32222n n n n n S S S S S +=+8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为035=±y x ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．362 B ．334 C ．534 D ．34 9．一个圆锥的体积为6π，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（ ） A ．33B ．22C ．36D ．210．设c b a ≥≥，且1是一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根，则ac的取值范围为（ ） A ．]0,2[-B ．]0,21[-C ．]21,2[--D ．]21,1[--11．在三棱锥ABC P -中，3,1,2======BC AC AB PC PB PA ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．π8B ．π316C ．34π D ．π2733212．己知函数a ex e x f x+-=)(与xx x g 1ln )(+=的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．),[+∞-eB ．),1[+∞-C ．]1,(--∞D ．],(e --∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13．已知向量)1,2(),1,1(=-=b a ，向量b a c +=2，则=||c．14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的71是较小的两份之和，则最小一份的量为 ． 15．若函数x a x x x f ln 1)(2++-=在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是．16．己知点P 在直线012=-+y x 上，点Q 在直线032=++y x ，PQ 的中点为),(00y x M ，且7100≤-≤-x y ，则x y 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知ABB A B A cos tan cos tan )tan (tan 2+=+ （1）求cba +的值； （2）若3,2π==C c ，求ABC ∆的面积．18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，︒=∠90APD ，且PD PA =，PB AD =．（1）求证：PB AD ⊥；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i ）求x ；（ii ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．（2）若y 关于x 的线性回归方程为x b y ˆ56.1ˆ+=，求b ˆ的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量． 附：参考数据：27=y ，8.13527101=∑=i i i y x ，236381012=∑=i ix ，6.77591012=∑=i i y ，56.643≈，18.542935≈．参考公式：相关系数))()()(()()())((212212112121y n y x n x yx n yx y yx x y yx x r ni i n i i ni ii ni ini ini ii---=----=∑∑∑∑∑∑======回归方程x b a yˆˆˆ+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()∑∑==---=ni ini iix x y yx x b 121ˆ，x by a ˆ-=20．从抛物线x y 362=上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足2=． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线)(1R ∈+=m my x 与轨迹C 交于B A ,两点，T 为C 上异于B A ,的任意一点，直线BT AT ,分别与直线1-=x 交于E D ,两点，以DE 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数a x ax x x x f 74ln )1()(2+-++=．（1）若21=a ，求函数)(x f 的所有零点； （2）若21≥a ，证明函数)(x f 不存在极值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题目积分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=αt y αt x sin 3cos 2（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为8cos 22+=θρρ． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且24||=AB ，求直线l 的倾斜角． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 己知函数a x x f --=|12|)(．（1）当1=a 时，解不等式1)(+>x x f ； （2）若存在实数x ，使得)1(21)(+<x f x f 成立，求实数a 的取值范围．。
广东省湛江市2019年普通高考测试(二)文科数学试题(解析版)
湛江市2019年普通高考测试（二）文科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．【详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故选：D．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．2.已知集合，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合B，求出A∩B，从而可确定它的子集个数.【详解】∵，∴∴所以该集合的子集个数为22＝4．故选：C．【点睛】本题考查了集合运算问题与子集个数问题，是基础题目．3.现有甲班三名学生，乙班两名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则选取的名学生来自于不同班级的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：从这名学生中选名学生参加某项活动，基本事件总数n10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m4，∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P．故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.平行四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据向量的数量积求出，然后把，用，表示，代入结合已知即可求解【详解】解：平行四边形ABCD中，，∴2，∵，∴，，则（）•（）＝3故选：B．【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查计算能力与转化能力．5.有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性.这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：附：据此表，可得（）A. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足B. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过C. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足D. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过【答案】A【解析】【分析】由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论.【详解】由表中数据，计算K20.3367＜0.455，∴认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足；故选：A【点睛】本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路．6.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵．∴sin A cos B＝4sin C cos A﹣sin B cos A即sin A cos B+sin B cos A＝4cos A sin C∴sin C＝4cos A sin C∵0＜C＜π，sin C≠0．∴1＝4cos A，即cos A，那么．故选：C【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．7.设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，为双曲线的右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于两点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由离心率可知，联立方程求出两点的坐标，进而可得结果.【详解】∵离心率，∴不妨设圆与y x相交且点M的坐标为（，）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣，﹣），联立，得M（a，2a），N（﹣a，﹣2a），又A（a，0），∴，∴，∴故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，b的关系．8.已知实数是给定的常数，函数的图像不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令m=0,排除D,对函数求导，确定其极值点的正负即可判断【详解】当m=0,C符合题意，当m≠0>0,设的两根为则<0,则两个极值点异号，则D不合题意，故选:D【点睛】本题考查函数图像的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题9.在三棱锥中面分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【详解】∵∴，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴，设，则，∵，∴，解得∴∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选：B【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．10.把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可．【详解】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．11.设椭圆的右焦点为，经过原点的直线与椭圆相交于点，若，椭圆的离心率为，则的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义及离心率，可得a，c的值，利用余弦定理可得，进而利用面积公式得到结果.【详解】设椭圆的左焦点为,由椭圆的对称性可知，∴，∴，又，∴，由余弦定理可得，，故∴=故选：C【点睛】本题考查了椭圆的定义与几何性质，考查了余弦定理及面积公式，属于中档题．12.函数对于任意实数，都有与成立，并且当时，.则方程的根的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程的根的个数.【详解】对任意实数x都有f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x），由于f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x）∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为．方程的根的个数即函数图象与直线的交点个数，当时，，当时，函数图象与直线无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．【答案】【解析】【分析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可【详解】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题14.若实数满足不等式组，且的最小为，则实数______．【答案】【解析】【分析】画出可行域，由z的几何意义确定其最小值，列m的方程求解即可【详解】画出可行域如图阴影部分所示：当过A 时取得最小值，联立得A,则，解m=故答案为【点睛】本题考查线性规划，z的几何意义，数形结合思想，确定取得最小值的最优解是关键，是中档题15.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的共有_____个．【答案】【解析】【分析】由题设a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,得3m=5n+1，对m讨论求解即可【详解】由题设a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,则3m=5n+1当m=5k,n不存在；当m=5k+1，n不存在当m=5k+2,n=3k+1，满足题意当m=5k+3,n不存；当m=5k+4,n不存在；故2≤a=15k+8≤2019,解则k=0,1,2…134,共135个故答案为：135【点睛】本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．16.圆锥的底面半径为，母线长为.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，利用相似性表示h＝，从而得到，利用导数知识求最值即可.【详解】设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，根据相似性可得：，解得：h＝x，（其中0＜x＜2）．∴此正四棱柱体积为：令，解得：易得：在上递增，在上递减，所以此正四棱柱体积的最大值为【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】 （1）当时，，检验成立即可求解；（2）由=裂项相消求和即可 【详解】（1）当时，当时，满足上式，（2）由可得【点睛】本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题 18.四棱锥中，底面是菱形，.（1）求证：；（2）若是的中点，求点到平面的距离.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】(1)要证转证平面，即证；(2)由（1）可知，平面.可得平面平面设点到平面的距离为，则由于，得点到平面的距离为.【详解】（1）证明：由于四边形是菱形，，所以是正三角形.设的中点为，连接，如图所示，则又，所以.又相交于，所以平面又平面，所以.（2）由（1）可知，平面.可得解：由（1）可知，平面.又，所以平面.又平面，所以平面平面设点到平面的距离为，则由于，得点到平面的距离为.由于平面，所以两点到平面的距离均为.所以点到直线的距离就是.设的中心为，则平面.，在中，在中，，所以.由，得点到直线距离为，即，得所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到平面的距离，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：参考公式：回归直线的方程是：，其中，.（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）； （2）从这个家庭中随机抽取个，求月支出都少于万元的概率. 【答案】（1）（2）【解析】 【分析】 (1)由题意得到，，进而得到从而得到月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程；(2) 从个家庭中抽取个，共包含15种情况，其中月支出都少于万元的基本事件共10 种，从而得到结果. 【详解】解：（1）,故月支出关于月收入的线性回归方程是：（2）若从个家庭中抽取个，则基本事件为，共种，月支出都少于万元的基本事件为，共种，则月支出都少于万元的概率.【点睛】本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查古典概型概率公式，考查计算能力，属于中档题．20.已知定点，横坐标不小于的动点在轴上的射影为，若.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点不在直线上，并且直线与曲线相交于两个不同点.问是否存在常数使得当的值变化时，直线斜率之和是一个定值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)利用抛物线定义，即可得到动点的轨迹的方程；(2)设，则，利用韦达定理即可得到结果.【详解】（1）设点在直线上的射影是，则由于的横坐标不小于，所以，又所以即点到的距离与到直线的距离相等，所以的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线. 即的方程是（2）由于在曲线上，可设，则的斜率的斜率所以又曲线与直线相交于两点，所以，于是联立方程，得，所以.∴=1-，此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意.【点睛】此题考查了定义法求轨迹方程，综合考查了直线与圆锥曲线方程联立，解决更为复杂的存在探究问题，难度中档．21.函数，其中常数.（1）求的最小值；（2）若，讨论的零点的个数.【答案】（1）-1（2）见解析【解析】【分析】(1)导数为，研究单调性即可得到的最小值；(2)在其定义域上的导数是，对a分类讨论，数形结合即可明确的零点的个数. 【详解】解：（1）在定义域上的导数为.所以当时，；当时，.所以的单调递减区间是，单调增区间是.所以的最小值是.（2）在其定义域上的导数是①当时，由（1）可得在上是增函数，此时由，可得函数有唯一的零点.②当时，并且对于负数，有又因为，所以，即所以在区间上存在负数，使得，则在上是增函数；在区间上是减函数.则.所以在上，有且仅有个零点；在区间上，并且是增函数.所以存在正数，使得在上，是减函数；在上，是增函数.于是有所以在上，恰有唯一的零点.所以当时，在上恰有三个不同的零点.综上所述，当时，有唯一的零点；当时，有三个不同的零点.【点睛】本题考查了函数的最值与函数零点的个数判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于中档题．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，点，直线（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标与普通的互化求解即可；（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），与椭圆联立，利用t的几何意义求解即可【详解】（1）又曲线的直角坐标方程为：（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），代入曲线方程，得.恒成立【点睛】本题考查极坐标与普通方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，考查计算能力，计算的值注意判断的正负是关键，是中档题23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意恒成立，求实数的最小值，并求当取最小值时的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值化简解不等式即可；（2）恒成立，即恒成立，即，由绝对值三角不等式求即可求解【详解】（1）当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得.综上可得，原不等式的解集为.（2）若恒成立，则恒成立，又最小值为.此时解得.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题。
2019届广东省东莞市高三第二次调研考试文科数学试题(world版)
东莞市2019届高三第二次调研考试 文科数学试题 第1页 共5页 2019届广东省东莞市高三第二次调研考试 文科数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟
★祝你考试顺利★
注意事项： 1、考试范围：高考考查范围。 2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合24Axx，0,1,2,4B，则AB A．0,1 B．0,1,2 C．1,2 D．0,1,2,4 东莞市2019届高三第二次调研考试 文科数学试题 第2页 共5页
2．已知复数iiz21，其中i为虚数单位，则z A．310 B．35 C．510D．55 3．有24名投资者想到某地投资，他们年龄的茎叶图如图所示，先将他们的年龄
从小到大编号为1-24号，再用系统抽样方法抽出6名投资者，邀请他们到实地进行考察.其中年龄不超过55岁的人数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.在矩形ABCD中,4AB,22AD,以A,B为焦点的双曲线经过C,D两点,则此双曲线的离心率为