【高考模拟】2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷含答案解析
2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是 ．
2．设i为虚数单位，复数，则|z|= ．
3．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= ．
4． = ．
5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若=，则= ．
7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个
数是 ． 8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一
条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为 ． 9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是 ．
10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现
安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ． 11．设等差数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，公差为d．若数列
也是公差为d的等差数列，则{an}的通项公式为an= ． 12．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数（如[2.32]=2，[﹣4.76]=﹣5），对
于给定的n∈N*，定义C=，其中x∈[1，+∞），则当时，函数f（x）=C的值域是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．命题“若x=1，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ）
A．若x≠1，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=1 C．若x2﹣3x+2=0，则x≠1 D．若x2﹣3x+2≠0，则x≠1 14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E是AB的三等分点，G、N是
CD的三等分点，F、H分别是BC、MN的中点，则四棱锥A1﹣EFGH的左视图
是（ ）
A． B． C． D．
15．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足
，，则△ADP的面积为（ ） A． B． C． D．
16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，
sinA=2sinB． （Ⅰ）求△ABC的面积； （Ⅱ）求sin（2A﹣B）． 18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长
方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．
19．如图，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，两个焦点为F1
（﹣1，0）和F2（1，0）．圆O的方程为x2+y2=a2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过F1且斜率为k（k＞0）的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点（点A、P在x轴上方），当|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ的长．
20．如果函数y=f（x）的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意
x，都有f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数f（x）具有“P（a）性质”．
（1）判断函数y=cosx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（2）已知函数y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时，f（x）=（x+m）2， 求函数y=f（x）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g（x）既具有“P（0）性质”，又具有“P（2）性质”，且当﹣1≤x≤1时，g（x）=|x|，若函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个公共点，求实数p的值． 21．给定数列{an}，若满足a1=a（a＞0且a≠1），对于任意的n，m∈N*，都有
an+m=an•am，则称数列{an}为指数数列．
（1）已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为，，试判断{an}，{bn}是不是指数数列（需说明理由）； （2）若数列{an}满足：a1=2，a2=4，an+2=3an+1﹣2an，证明：{an}是指数数列； （3）若数列{an}是指数数列，（t∈N*），证明：数列{an}中任意三项都不能构成等差数列． 2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是 ．
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法． 【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期， 【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1， 化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x； ∴最小正周期T=． 故答案为
2．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．
【考点】A8：复数求模． 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：复数===﹣i， 则|z|=1． 故答案为：1．
3．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．
【考点】4R：反函数． 【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解 【解答】解：的反函数， 其反函数f﹣1（x）， 反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即． 可得：x=1， ∴f﹣1（x）=1． 故答案为1．
4． = 3 ．
【考点】8J：数列的极限． 【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．
【解答】解： ===3． 故答案为：3． 5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 30° ．
【考点】MI：直线与平面所成的角． 【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则： 其底面积：S底面积=πR2， 其侧面积：S侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R， 故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==，
∴θ=60°， 母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°． 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若=，则= ．
【考点】85：等差数列的前n项和． 【分析】=，可得3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d．
则==． 故答案为：．
7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个
数是 1 ． 【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程． 【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，
曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=， 圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r， 则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点； 故答案为：1． 8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一
条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为
． 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可． 【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）． 双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°， C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线
y=．
可得，c=2，解得a=1，b=，
所求双曲线方程为：． 故答案为：．
9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是 （1，+∞） ．
【考点】7E：其他不等式的解法． 【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之． 【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1； 故x的取值范围为（1，+∞）； 故答案为：（1，+∞）；
10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现
2017年上海市长宁区高考数学二模试卷
2017年上海市长宁区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）（2017•长宁区二模）已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）（2017•长宁区二模）已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）（2017•长宁区二模）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）（2017•长宁区二模）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．5．（4分）（2017•长宁区二模）若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．（4分）（2017•宝山区二模）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）（2017•宝山区二模）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）（2017•宝山区二模）已知函数f（x）=的反函数是f ﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）（2017•宝山区二模）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）（2017•宝山区二模）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）（2017•长宁区二模）已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．（5分）（2017•长宁区二模）对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2017•宝山区二模）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）（2017•宝山区二模）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）（2017•长宁区二模）如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．（5分）（2017•长宁区二模）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷(解析版)
2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）函数y＝的定义域是．2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为．4．（4分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t 等于．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．10．（5分）若将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的体积V的取值范围是12．（5分）对于数列{a n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T＝a n成立，则称数列{a n}是以T为周期的周期数列．设b1＝m（0＜m＜1），对任意正整数n都有若数列{b n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是．（只要求填写满足条件的一个m值即可）二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π15．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0 16．（5分）如图所示，∠BAC＝，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P 是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C，a cos A，c cos B成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c＝6，求的值．19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H＝f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f （x）＝﹣x log a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k＝1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE恒过一个定点．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）＝1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有．2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）函数y＝的定义域是[0，2]．【解答】解：要使函数有意义需2x﹣x2≥0解得0≤x≤2故答案为：[0，2]2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝2．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无数多组解，则直线ax+y﹣1＝0与直线4x+ay﹣2＝0重合，则有＝＝，解可得a＝2，故答案为：2．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．【解答】解：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t等于．【解答】解：∵z1＝3+4i，z2＝t+i，∴＝（3+4i）（t﹣i）＝3t+4+（4t﹣3）i，∵是实数，∴4t﹣3＝0，得t＝．故答案为：．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．【解答】解：∵函数f（x）（a＞0且a≠1）是R上的减函数，∴0＜a＜1，且3a﹣0≥a0+1＝2，∴≤a＜1．故答案为：．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，，联立方程组，解得B（3，2），化目标函数z＝﹣2x+y为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z＝﹣2×3+2＝﹣4．故答案为：﹣4．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是[3，7]．【解答】解：∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，∴圆心C（4，3），半径r＝2；设点P（a，b）在圆C上，则＝（a+m，b），＝（a﹣m，b）；∵∠APB＝90°，∴（a+m）（a﹣m）+b2＝0；即m2＝a2+b2；∴|OP|＝，∴|OP|的最大值是|OC|+r＝5+2＝7，最小值是|OC|﹣r＝5﹣2＝3；∴m的取值范围是[3，7]．故答案为[3，7]．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．【解答】解：∵向量，，∥，∴cos（+α）•4﹣1•1＝0，求得cos（+α）＝，即sin（﹣﹣α）＝，即sin（﹣α）＝，∴＝1﹣2＝1﹣2•＝，故答案为：．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．【解答】解：∵任何三点不共线，∴共有＝56个三角形．8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率为＝，故答案为．10．（5分）若将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．【解答】解：∵将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为：f（x）＝|sin[ω（x+）﹣]|＝|sin[ωx+（﹣）]|，∵当﹣＝时，即ω＝6k+时，f（x）＝|sin（ωx+）|＝|﹣cos（ωx）|＝|cos（ωx）|，f（x）为偶函数．∵ω＞0，∴当k＝0时，ω有最小值．故答案为：．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的体积V的取值范围是（0，]【解答】解：∵AP+AC＝4，∴AP•AC≤（）2＝4，设∠P AC＝θ，则0＜θ＜π，∴S△P AC＝AP•AC•sinθ≤2sinθ≤2，∴0＜S△P AC≤2．∵AB⊥AC，AB⊥AP，∴AB⊥平面P AC，∴V＝S△P AC•AB＝S△P AC，∴0＜V≤．故答案为：．12．（5分）对于数列{a n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T＝a n成立，则称数列{a n}是以T为周期的周期数列．设b1＝m（0＜m＜1），对任意正整数n都有若数列{b n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是﹣1．（只要求填写满足条件的一个m值即可）【解答】解：取m＝﹣1＝b1，则b2＝＝，b3＝，b4＝+1，b5＝，b6＝﹣1，满足b n+5＝b n．故答案为：﹣1．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选：A．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S＝4π×12+π×12×2+2π×1×3＝12π故选：D．15．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0【解答】解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线距离为b，所以有：a+c＝2b，由4x±3y＝0得，取a＝3，b＝4，则c＝5，满足a+c＝2b．故选：C．16．（5分）如图所示，∠BAC＝，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P 是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：连接MA，MD，则∠MAD＝，MD⊥AD，∵AD＝1，∴MD＝，MA＝2，∵点P是圆M及其内部任意一点，∴2﹣≤AP≤2+，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，当AP取得最大值时，以AP为对角线，以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA1PB1，则△APB1和△AP A1是等边三角形，∴AB1＝AA1＝AP＝2+，∴x＝y＝2+，∴x+y的最大值为4+2，同理可求出x+y的最小值为4﹣2．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．【解答】解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知A（0，0，0），D（0，1，2），E（﹣2，0，1），F（﹣1，1，0），故，…（4分）由，可知，即AE⊥DF．…（6分）（2）设是平面DEF的一个法向量，又，故由解得故．…（9分）设AE与平面DEF所成角为θ，则，…（12分）所以AE与平面DEF所成角为，点A到平面DEF的距离为．…（14分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C，a cos A，c cos B成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c＝6，求的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由b cos C，a cos A，c cos B成等差数列，可得b cos C+c cos B＝2a cos A，…（2分）故sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos A，所以sin（B+C）＝2sin A cos A，…（4分）又A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sin A，故sin A＝2sin A cos A，又由A∈（0，π），可知sin A≠0，故，所以．…（6分）（另法：利用b cos C+c cos B＝a求解）（2）在△ABC中，由余弦定理得，…（8分）即b2+c2﹣bc＝18，故（b+c）2﹣3bc＝18，又b+c＝6，故bc＝6，…（10分）所以＝…（12分）＝c2+b2+bc＝（b+c）2﹣bc＝30，故．…（14分）19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H＝f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f （x）＝﹣x log a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k＝1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．【解答】解：（1）由，可得，解之得a＝2．…（2分）由32种情形等可能，故，…（4分）所以，答：“谁被选中”的信息熵为5．…（6分）（2）A n获得冠军的概率为，…（8分）当k＝1，2，…，n﹣1时，，又，故，…（11分），以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为．…（14分）20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE恒过一个定点．【解答】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP＝﹣1，又A点坐标为（﹣a，0），故，可得a＝1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x﹣y+1＝0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）＝当，即时，S△APQ取最大值．故S△APQ的最大值为．…（10分）（3）直线AD方程为y＝k1（x+1），代入x2+3y2＝1，可得，，又x A＝﹣1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y＝0，可得．故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E＝﹣x D，y E＝y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x＝ty+s，将其代入x2+3y2＝1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣1＝0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s＝﹣2或﹣1，又DE不过A点，即s≠﹣1，故s＝﹣2．所以DE的方程为x＝ty﹣2，故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）＝1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有．【解答】解：（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故是“L函数”．…（2分）对于函数，当t＝s＝1时，，故不是“L函数”．…（4分）（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…（6分）由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，即3t（3s﹣1）﹣（3s﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a•3﹣s﹣t（3s﹣1）（3t﹣1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…（9分）综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（10分）（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s＝t，可知f（2s）＞2f（s），即，…（12分）故对于正整数k与正数s，都有，…（14分）对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）＝1，所以，…（16分）同理，故．…（18分）。
上海市浦东新区2017届高考数学二模试卷
2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y |0≤y ＜4}，则A ∩B= ．2．若直线l 的参数方程为，t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是 ．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ．4．抛物线的焦点和准线的距离是 ．5．已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x ﹣y= ．6．若三个数a 1，a 2，a 3的方差为1，则3a 1+2，3a 2+2，3a 3+2的方差为 ． 7．已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是 ．8．函数，的单调递减区间是 ．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则= ．10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 ．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 ．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 ．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或016．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．18．（14分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19．（18分）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．20．（16分）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．21．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f （0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；（3）证明：f（x）是奇函数．2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=[2，4）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：由≥0，解得x≥2或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），集合B={y|0≤y＜4}=[0，4），则A∩B=[2，4），故答案为：[2，4），【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是1．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，∴直线l在y轴上的截距是1．故答案为1．【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：由题意，底面的半径r=2，∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，故答案为：8π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．4．抛物线的焦点和准线的距离是2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】首先将化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p=4，然后根据公式得到焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：化抛物线为标准方程形式：x2=4y∴抛物线开口向上，满足2p=4∵=1，焦点为（0，）∴抛物线的焦点坐标为（0，1）又∵抛物线准线方程为y=﹣，即y=﹣1∴抛物线的焦点和准线的距离为d=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题以一个二次函数图象的抛物线为例，着重考查了抛物线的焦点和准线等基本概念，属于基础题．5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y=5．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得3x﹣y=5．【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，两式相加得：3x﹣y=5，∴3x﹣y=5，故答案为：5．【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为9．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可．【解答】解：∵三个数a1，a2，a3的方差为1，设三个数的平均数是，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的平均数是3+2有1=∴3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差是+]==9故答案为：9．【点评】本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是0.98．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率．【解答】解：射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率：p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.98． 故答案为：0.98．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．8．函数，的单调递减区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】函数=﹣sin （x ﹣），将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】解：由函数=﹣sin （x ﹣），令x ﹣，k ∈Z得： +2kπ≤x ≤，∵，当k=0时，可得单调递减区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则=．【考点】8J ：数列的极限．【分析】先表示出S n ，a n ，即可求出极限的值．【解答】解：由于数列{a n }是公差为2的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则S n =na 1+n （n ﹣1）•2=n （n +a 1﹣1）， a n =a 1+（n ﹣1）•2=2n +a 1﹣2，则==．故答案为：．【点评】本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 6 ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f （x ）和g （x ）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f （x ）+f （2﹣x ）=0，②f （x ）﹣f （﹣2﹣x ）=0， ∴f （x ）图象的对称中心为（1，0），f （x ）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f （x ）和g （x ）的部分图象，如图所示，据此可知f （x ）与g （x ）的图象在[﹣3，3]上有6个交点． 故答案为：6．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 16 ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），可得a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），∴a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．根据a n +1=a n ，可得数列{a n }为等比数列，公比为．取a 9=a 1×，a 1＞0．又a 9=，∴=28，解得a 1=24=16． ∴a 1的最大值是16． 故答案为：16．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 5 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由向量投影的定义可得当++与共线时，取得最大值，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：||+|2|+3||=||+2||+3||，其几何意义为在的投影的绝对值与在上投影的绝对值的2倍与在上投影的绝对值的倍的3和，当++与共线时，取得最大值．∵•==，∴=﹣∴（||+|2|+3||）2=||2+4||2+9||2+4||+6||+12||=1+4+9+2+3+6=25，max故||+|2|+3||的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，即可得出结论．【解答】解：|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，因此在复平面上，满足|z+i|+|z﹣i|=2的复数z对应的点Z的集合表示的是：线段，∴复数在平面上对应的图形是线段．故选：D．【点评】本题考查了复平面上的两点间的距离公式及其复数的几何意义、点的集合，属于基础题．14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的直观图得到三视图．【解答】解：由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；关键放置的位置得到C；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或0【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】推导出cot==，由此能求出结果．【解答】解：∵cot===，2sinx=1+cosx，∴当cosx=﹣1时，sinx=0，无解；当cosx≠﹣1时，cot==2．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、降幂公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．16．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，根据a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），可得可得q的取值范围，再利用a4=a3q，即可得出．【解答】解：设公比为q，则∵a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），∴∴③÷②：1＜q＜4④③÷①：或q＞⑤由④⑤可得：＜q＜4∴a4=a3q，∴a4∈．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）（2017•浦东新区二模）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；L*：球面距离及相关计算．【分析】（1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）由题意，cos∠COD==，∴∠COD=，∴D，C两点在球O上的球面距离为；（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（，，），∴平面ABC的法向量为=（，，），∵=（0，﹣，﹣），∴直线CD与平面ABC所成角的正弦=||=，∴直线CD与平面ABC所成角的大小为．【点评】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2017•浦东新区二模）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB，利用基本不等式的性质即可得出最大值．方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．可得S2=+，即可比较出S1与S2的大小关系．【解答】解：（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos≥2ab+ab，可得ab，当且仅当时取等号．S=absin≤=．∴当且仅当时，养殖场△POQ的面积最大，（平方千米）（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB≤=，当且仅当x=时取等号．∴（平方千米），方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．∴S2=+≈0.144（平方千米）∴S1＜S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好．【点评】本题考查了基本不等式的性质、三角形面积计算公式、余弦定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（18分）（2017•浦东新区二模）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．【考点】KM：直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）求出与直线l平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，P到渐近线的距离d==，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=；（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x2+8mx+4m2+12=0，△=64m2﹣4（4m2+12）=0，可得m=±1，与直线l：y=x+2的距离分别为或，即d=或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．20．（16分）（2017•浦东新区二模）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】（1）数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：，可得a n+1+1=+1=≠0，即可证明．（2）正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，．b n===…==．又b1=10，利用指数的运算性质可得数列{b n}的前n项积T n=．（3）α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），可得β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n}的通项=βn﹣1×=．【解答】（1）解：数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：∵，∴2a n+1+1=+1=≠0，∴数列{2a n+1}是“2级创新数列”．（2）解：∵正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，∴．∴b n====…==．又b 1=10，∴数列{b n }的前n 项积T n =b n b n ﹣1•…•b 1==．（3）证明：α，β是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实根（α＞β）， ∴β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n }的通项=βn ﹣1×=βn ﹣1×=．∴c n +2=．c n +1+c n =+．∴c n +2﹣（c n +1+c n ）==0．∴c n +2=c n +1+c n ．【点评】本题考查了数列递推关系、指数的运算性质、一元二次风吹草动根与系数的关系、作差法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•浦东新区二模）对于定义域为R 的函数g （x ），若函数sin [g （x ）]是奇函数，则称g （x ）为正弦奇函数．已知f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0．（1）已知g （x ）是正弦奇函数，证明：“u 0为方程sin [g （x ）]=1的解”的充要条件是“﹣u 0为方程sin [g （x ）]=﹣1的解”；（2）若f （a ）=，f （b ）=﹣，求a +b 的值；（3）证明：f （x ）是奇函数． 【考点】3P ：抽象函数及其应用．【分析】（1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；（2）由f （x ）是单调递增的正弦奇函数，f （a ）=，f （b ）=﹣，可得a ，b互为相反数，进而得到答案．（3）根据f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0得到：f （﹣x）=﹣f（x），可得结论．【解答】证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，故sin[g（x）]是奇函数，当：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u0）]=1，则sin[g（﹣u0）]=﹣1，即“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；当：“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”时，sin[g（﹣u0）]=﹣1，则sin[g（u0）]=1，即“u0为方程sin[g（x）]=1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；综上可得：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；解：（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=，f（b）=﹣，则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1﹣1=0，则a=﹣b，则a+b=0证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．故sin[f（﹣x）]+sin[f（x）]=0，即sin[f（﹣x）]=﹣sin[f（x）]=sin[﹣f（x）]，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，充要条件，难度中档．。
2017年上海市青浦区高考数学二模试卷
2017年上海市青浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．5．（4分）若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．（5分）对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
2017年上海市宝山区高考数学二模试卷含详解
2017年上海市宝山区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-4题每小题4分，第7-12小题，每小题4分，共60分）1．（4分）若集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足i•z=1+i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程y=3x，则a=．5．（4分）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为．6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）设向量=（x，y），=（x﹣y），P为曲线•=1（x＞0）上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．12．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为．二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2两侧，且P到l1，l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1，l2上，|+|=8，则•的最大值为（）A．15B．12C．10D．916．（5分）若存在t∈R与正数m，使F（t﹣m）=F（t+m）成立，则称“函数F （x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，设f（x）=（x＞0），若对于任意t∈（，），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是（）A．（0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．[1，4]三、解答题（本题共5题，70分）17．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小；（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．18．（14分）已知抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．19．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D（m＜n），同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”．（1）求证：函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”；（2）已知f（x）=2+﹣（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．20．（16分）数列{a n}中，已知a1=1，a2=a，a n+1=k（a n+a n+2）对任意n∈N*都成立，数列{a n}的前n项和为S n．（这里a，k均为实数）（1）若{a n}是等差数列，求S n；（2）若a=1，k=﹣，求S n；（3）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）设T⊊R，若存在常数M＞0，使得对任意t∈T，均有|t|≤M，则称T为有界集合，同时称M为集合T的上界．（1）设A1={y|y=，x∈R}，A2={x|sinx＞}，试判断A1、A2是否为有界集合，并说明理由；（2）已知f（x）=x2+u，记f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x））（n=2，3，…），若m∈R，u∈[，+∞），且B={f n（m）|n∈N*}为有界集合，求u的值及m 的取值范围；（3）设a，b，c均为正数，将（a﹣b）2、（b﹣c）2、（c﹣a）2中的最小值记为d，是否存在正数λ∈（0，1），使得λ为有界集合C={y|，a、b、c均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-4题每小题4分，第7-12小题，每小题4分，共60分）1．（4分）若集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）已知复数z满足i•z=1+i（i为虚数单位），则|z|=1．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由i•z=1+i，得=，则|z|=．故答案为：1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据行列式的计算法则，化简f（x），求出f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）==sin2x﹣cos2x=﹣cos2x；∴f（x）的最小正周期是：T==π．故答案为：π．【点评】本题考查了行列式的运算与三角函数的化简问题，是基础题．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程y=3x，则a=3．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=3，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线﹣=1，则其渐近线方程为y=±x，又由题意，双曲线﹣=1的一条渐近线方程y=3x，则有=3，解可得a=3；故答案为：3．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用标准方程表示出渐近线方程．5．（4分）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】由圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，知该圆柱的高h=4，底面周长2πr=4，底面半径r=，由此能求出该圆柱的体积．【解答】解：∵圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，∴该圆柱的高h=4，底面周长2πr=4，底面半径r=，∴该圆柱的体积V=．故答案为：．【点评】本题考查圆柱的体积的求法，解题时要认真审题，注意圆柱的侧面展开图的灵活运用．6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是3．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可【解答】解：由已知不等式组得到平面区域如图：目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，此直线经过图中B时在y轴截距最大，由得到B（1，1），所以z的最大值为2+1=3；故答案为：3．【点评】本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是2．【考点】QJ：直线的参数方程；QL：椭圆的参数方程．【专题】17：选作题；34：方程思想；4G：演绎法；5S：坐标系和参数方程．【分析】直线与曲线的参数方程，化为普通方程，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与曲线（θ为参数），普通方程分别为x+y﹣1=0，=1，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，△=（﹣18）2﹣4×13×（﹣27）＞0，∴交点个数是2，故答案为：2．【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，考查方程思想，比较基础．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=﹣1．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，x≤0，2x=，求出x，即可得出结论．【解答】解：由题意，x≤0，2x=，∴x=﹣1，∴f﹣1（）=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查分段函数，考查反函数，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分析可得，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…C n1，进而可求得则T n，代入，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…C n1，则T n=1+C21+C31+…+C n1=1+2+3+…+n=；则，故答案为．【点评】本题考查二项式的系数性质、数列求和与极限的计算，有一定难度，要灵活运用这几方面知识．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=0.03．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出p的值．【解答】解：∵生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，∴由题意得：（1﹣0.01）（1﹣p）=0.9603，解得p=0.03．故答案为：0.03．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．11．（5分）设向量=（x，y），=（x﹣y），P为曲线•=1（x＞0）上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出•得出双曲线x2﹣y2=1（x＞0），根据双曲线的渐近线与直线x﹣y+1=0平行，转化为λ的最大值是直线x﹣y+1=0与渐近线的距离，求出即可．【解答】解：向量=（x，y），=（x﹣y），∴•=x2﹣y2=1（x＞0），又双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，由点P到直线x﹣y+1=0的距离大于λ恒成立，∴λ的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即λ的最大值为=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的性质与应用问题，也考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题．12．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为512．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】利用归纳推理求出n的最大值分别为2，3，4时的排列个数，然后推出本题的结果．【解答】解：如果n=2时，满足题意的排列个数是2，即1，2或2，1；即21．如果n的最大值为3，则排列个数为4；分别为：1，2，3；2，1，3；1，3，2；3，2，1；4个．即22．如果n的最大值为4，则满足题意的排列个数为8；分别为：1，2，3，4；2，1，3，4；2，1，4，3；1，3，2，4；1，2，4，3，；3，1，2，4；1，4，3，2；4，3，2，1；共8个，即23．如果n的最大值为5，则满足题意的排列个数为16；分别为：1，2，3，4，5；2，1，3，4，5；2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；2，1，5，4，3；1，2，4，3，5；1，2，3，5，4；1，2，5，4，3；1，3，2，4，5；1，3，2，5，4；1，4，3，2，5；1，5，4，3，2；3，2，1，4，5；3，2，1，5，4；4，3，2，1，5；5，4，3，2，1；即24．…所以：设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为：29=512．故答案为：512．【点评】本题考查排列组合的数据应用，归纳推理的应用，解题的关键是：1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的理解，本题是难题．二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】由a＞1且b＞3，⇒a+b＞4；反之不成立，例如取a=﹣1，b=6．即可判断出结论．【解答】解：由a＞1且b＞3，⇒a+b＞4；反之不成立，例如取a=﹣1，b=6．∴“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【专题】15：综合题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A 在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．【解答】解：由题意知，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，则从上向下投影时，点P的影子落在对角线AC上，故△PAC在下底面上的射影是线段AC，是第一个图形；当从前向后投影时，点P的影子应落在侧面CDC1D1的中心上，A点的影子落在D 上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形；当从左向右投影时，点P的影子应落在侧面BCB1C1的中心上，A点的影子落在B 上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形．故选：C．【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．15．（5分）如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2两侧，且P到l1，l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1，l2上，|+|=8，则•的最大值为（）A．15B．12C．10D．9【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量、，根据|+|=8求出•的解析式，再求其最大值．【解答】解：由点P位于两平行直线l1，l2的同侧，且A到l1，l2的距离分别为1，3，可得平行线l1、l2间的距离为2；以直线l2为x轴，以过点P且与直线l2垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示：由题意可得点P（0，﹣1），直线l1的方程为y=2，设点M（a，0）、点N（b，2），∴=（a，1）、=（b，3），∴+=（a+b，4）；∵|+|=8，∴（a+b）2+16=64，∴a+b=4，或a+b=﹣4；当a+b=4时，•=ab+3=a（4﹣a）+3=﹣a2+4a+3，它的最大值为﹣+4×2+3=15；当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣4﹣a）+3=﹣a2﹣4a+3，它的最大值为﹣﹣4×（﹣2）+3=15；综上可得，的最大值为15．故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，是综合题．16．（5分）若存在t∈R与正数m，使F（t﹣m）=F（t+m）成立，则称“函数F （x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，设f（x）=（x＞0），若对于任意t∈（，），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是（）A．（0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．[1，4]【考点】3T：函数的值．【专题】23：新定义；35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】哟题意可得代入函数式，化简整理，可得λ=t2﹣m2有解，结合函数f（x）可得λ＞0（否则单调），求得m的范围，即可得到所求范围．【解答】解：若对于任意t∈（，），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则对于任意t∈（，），=有解，即=有解，即1=有解，即λ=t2﹣m2有解，∵f（x）=（x＞0）具有对称性，故λ＞0，即有m＜t，即有0＜m≤，由于t∈（，），故t2﹣m2∈（0，2]．故选：A．【点评】本题考查新定义的理解和运用，注意运用对勾函数的性质，以及恒成立思想的运用，不等式的性质，属于中档题．三、解答题（本题共5题，70分）17．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小；（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5G：空间角．【分析】建立如图所示的坐标系，利用向量方法，即可求出所求角．【解答】解：（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则E（1，2，0），F（0，1，1），A（2，0，0），A1（2，0，2），∴=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，2），∴异面直线EF与AA1所成角的余弦值为|=，∴异面直线EF与AA1所成角的大小为arccos；（2）平面AA1B1B的法向量为（1，0，0），∴直线EF与平面AA1B1B所成角的正弦值为||=，∴直线EF与平面AA1B1B所成角的大小为arcsin．【点评】本题考查空间角，考查向量方法的运用，正确求出向量的坐标是关键．18．（14分）已知抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知p=2，求得抛物线方程，当直线斜率存在时，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）利用点到直线的距离公式及二次函数的性质即可求得|PT|的最小值，求得d（t）的解析式．【解答】解：（1）由题意可知：准线方程x=﹣1，则﹣=﹣1，则p=2，∴抛物线的标准方程为：y2=4x，证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为x=t，代入y2=4x得，A（t，2），B （t，﹣2），则•=t2﹣4t，则若直线l的斜率存在，设其斜率为（k≠0），则l的方程为x=my+t，联立，整理得：y2﹣4ky﹣4t=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=﹣4t，x1x2=（my1+t）（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=t2．•=x1x2+y1y2=t2﹣4t，综上，•的值t2﹣4t与直线l倾斜角的大小无关；（2）设P（x，2），则丨PT丨2=（x﹣t）2+（2﹣0）2=x2﹣2（t﹣2）x+t2，（x＞0），由二次函数的性质可知：当对称轴x=t﹣2＜0，即0＜t＜2时，当x=0时，丨PT 丨取最小值，最小值为t，当t﹣2≥0时，即x=t﹣2时，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值为2，d（t）的解析式，d（t）=．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．19．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D（m＜n），同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”．（1）求证：函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”；（2）已知f（x）=2+﹣（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．【考点】34：函数的值域；3H：函数的最值及其几何意义．【专题】15：综合题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数单调性的定义以及“保值函数”的定义判断即可；（2）由f（x）的定义域和值域都是[m，n]，问题等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根，根据根的判别式判断即可；【解答】解：（1）证明：g（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，x∈[0，1]时，g（x）∈[﹣1，0]，根据函数g（x）不是定义域[0，1]上的“保值函数”．（2））由f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，因此m，n是方程2+﹣=x的两个不相等的实数根，等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根，即△=（2a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞或a＜﹣．【点评】本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于综合题．20．（16分）数列{a n}中，已知a1=1，a2=a，a n+1=k（a n+a n+2）对任意n∈N*都成立，数列{a n}的前n项和为S n．（这里a，k均为实数）（1）若{a n}是等差数列，求S n；（2）若a=1，k=﹣，求S n；（3）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】15：综合题；33：函数思想；4C：分类法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知求得公差，再由等差数列前n项和求得答案；=k（a n+a n+2），可得a n+2+a n+1=﹣（a n+1+a n），a n+3+a n+2=﹣（2）把k=﹣代入a n+1+a n+1）=a n+1+a n，然后分n为奇数和偶数求得S n；（a n+2（3）设数列{a n}是等比数列，则它的公比q==a，得到为等差中项，a m为等差中项，然后分若a m+1为等差中项三类求解得答案．和a m+2【解答】解：（1）∵a1=1，a2=a，且a n+1=k（a n+a n+2），∴1+n（a﹣1）=k[1+（n﹣1）（a﹣1）+1+（n+1）（a﹣1）]，解得k=．=；（2）由a=1，k=﹣，得，+a n+1=﹣（a n+1+a n），a n+3+a n+2=﹣（a n+2+a n+1）=a n+1+a n，∴a n+2当n是偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+…+a n﹣1+a n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）=（a1+a2）=n．当n是奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+…+a n﹣1+a n=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）=a1+（a2+a3）=a1+[﹣（a1+a2）]=1﹣（n﹣1）=2﹣n，n=1也适合上式，综上可得，S n=；（3）设数列{a n}是等比数列，则它的公比q==a，∴，为等差中项，则2a m+1=a m+a m+2，①若a m+1即2a m=a m﹣1+a m+1，解得：a=1，不合题意；②若a m为等差中项，则2a m=a m+1+a m+2，即2a m﹣1=a m+a m+1，化简得：a2+a﹣2=0，解得a=﹣2（舍1）；k==﹣；为等差中项，则2a m+2=a m+1+a m，③若a m+2即2a m+1=a m+a m﹣1，化简得：2a2﹣a﹣1=0，解得a=﹣；k==﹣．综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，k=﹣．【点评】本题考查数列递推式，考查满足条件的实数值的求法，考查数列的前n 项和公式的求法，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用，是中档题．21．（18分）设T⊊R，若存在常数M＞0，使得对任意t∈T，均有|t|≤M，则称T为有界集合，同时称M为集合T的上界．（1）设A1={y|y=，x∈R}，A2={x|sinx＞}，试判断A1、A2是否为有界集合，并说明理由；（2）已知f（x）=x2+u，记f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x））（n=2，3，…），若m∈R，u∈[，+∞），且B={f n（m）|n∈N*}为有界集合，求u的值及m 的取值范围；（3）设a，b，c均为正数，将（a﹣b）2、（b﹣c）2、（c﹣a）2中的最小值记为d，是否存在正数λ∈（0，1），使得λ为有界集合C={y|，a、b、c均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】23：新定义；32：分类讨论；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用不等式和函数的单调性求出集合A1、A2表示的区间，从而得出结论；（2）判断f n（m）的单调性，利用不等式的传递性和不等式恒成立得出μ，对m 与的大小关系进行讨论，判断集合B的有界性；（3）设c＜b＜a，对a﹣b，b﹣c的大小关系进行讨论，利用不等式的性质得出d与a2+b2+c2的关系，从而得出集合C的上界．【解答】解：（1）y==1﹣＜1，又y=在R上是增函数，且x→﹣∞时，y→﹣1，∴||＜1，∴A1={y|y=，x∈R}是有界集合，上界为1；由sinx得2kπ+＜x＜2kπ+，即A2={x|2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}，∴对任意一个t∈A2，都有一个t1=t+2π∈A2，故A2不是有界集合．（2）f n（x）﹣f n﹣1（x）=f n﹣12（x）﹣f n﹣1（x）+μ=（f n﹣1（x）﹣）2+μ﹣≥0，∴f n（x）≥f n﹣1（x），又f1（x）=x2+u≥，∴f n（x）≥，∵B={f n（m）|n∈N*}为有界集合，∴存在常数M使得f n（m）≤M，又f n（m）=f n（m）﹣f n﹣1（m）+f n﹣1（m）﹣f n﹣2（m）+f n﹣2（m）+…+f2（m）﹣f1（m）+f1（m）=（f n﹣1（m）﹣）2+μ﹣+（f n﹣2（m）﹣）2+μ﹣+…+（f1（m）﹣）2+μ﹣+m2+μ=（f n﹣1（m）﹣）2+（f n﹣2（m）﹣）2+…+（f1（m）﹣）2+m2+n（μ﹣）+μ≥n（μ﹣）+μ，∴n（μ﹣）+μ≤M恒成立，又μ≥，∴μ=，∴f（x）=x2+．设m=，（i）若λ＞0，则f1（m）﹣m=m2+﹣m=（）2+﹣（）=λ2＞0，∴f1（m）＞m，∴f n（m）＞f n﹣1（m）＞f n﹣2（m）＞…＞f2（m）＞f1（m）＞m，令g（x）=f（x）﹣x=（x﹣）2，则g（x）在（，+∞）上单调递增，∴f（f n（m））﹣f n﹣1（m）＞f（m）﹣m=λ2，﹣1即f n（m）＞f n﹣1（m）+λ2＞f n﹣2（m）+2λ2＞…＞f1（m）+（n﹣1）λ2=m2++（n ﹣1）λ2．∵f n（m）≤M恒成立，∴λ2=0，矛盾．（ii）若λ=0，由（i）可知f n（m）=f n﹣1（m）=f n﹣2（m）=…＞=f2（m）=f1（m）=m=，显然B={f n（m）|n∈N*}={}为有界集合，符合题意；（iii）若λ＜0，同理可得f1（m）﹣m=m2+﹣m=（）2+﹣（）=λ2，∴f1（m）=m+λ2=+λ2，若f1（m）即+λ2，解得λ＜﹣1或λ＞0（舍），由（i）知m不可能大于，故λ＜﹣1不成立．若λ=﹣1，则m=﹣，f n（m）=f n﹣1（m）=f n﹣2（m）=…＞=f2（m）=f1（m）=m2+=，由（ii）可知符合题意；若﹣1＜λ＜0，则λ2+λ=（）2﹣∈（﹣，0），∴f1（m）=m+λ2=∈（，），∴存在λ1∈（﹣1，0）使得f1（m）=+λ1，存在λ2∈（﹣1，0）使得f2（m）=+λ2，以此类推，存在λn∈（﹣1，0），使得f n（m）=，此时，＜f1（m）＜f2（m）＜f3（m）＜…＜f n（m）＜，显然B═{f n（m）|n∈N*}为有界集合，符合题意．综上，λ∈[﹣1，0]，∴m的范围是[﹣，]．（3）假设c＜b＜a，（i）若b=，则d=（）2，此时，a2+b2+c2=a2+c2+（）2=（a﹣c）2+（）2+3ac=5d+3ac，∴=﹣×=﹣×=，而=∈（0，1），∴y==∈（0，）．∴λmin=．（ii）若a﹣b≥b﹣c，即a≥2b﹣c时，d=（b﹣c）2，此时5d﹣（a2+b2+c2）=5（b﹣c）2﹣（a2+b2+c2）≤5（b﹣c）2﹣（2b﹣c）2﹣b2﹣c2=﹣6bc+3c2＜0，∴＜，（iii）若a﹣b≤b﹣c，即0＜a＜2b﹣c＜2b时，d=（a﹣b）2，此时5d﹣（a2+b2+c2）=5（a﹣b）2﹣（a2+b2+c2）=4a2﹣10ab+4b2﹣c2=2（a﹣2b）（2a﹣b）﹣c2＜0，∴＜，综上，0＜y＜，∴存在λ=，使得λ为有界集合C={y|，a、b、c均为正数}的上界．【点评】本题考查了对新定义的理解与应用，函数最值计算与不等式的应用，分类讨论思想，属于难题．。
年上海长宁区嘉定区高三数学模试卷含答案解析
年上海长宁区嘉定区高三数学模试卷含答案解析GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n﹣1，其中a≠1，常数r∈N；+1（1）求证：a n﹣a n是一个定值；+2（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；a n+T（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a= 3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：66．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时， =4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得： =2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f （x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x 上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O 为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：812．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13 cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos （cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，===则V A﹣BCD=．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M （），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．解得，∴．（II）由．又．由．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y 得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．20．已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．21．已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n﹣1，其中a≠1，常数r∈N；+1（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar ﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．2017年4月18日。
2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷解析版
2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、填空题〔共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕1．〔4分〕设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．〔4分〕函数y=sin〔ωx﹣〕〔ω＞0〕的最小正周期是π，则ω=．3．〔4分〕设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．〔4分〕假设函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a的反函数的图象经过点〔4，1〕，则实数a=．5．〔4分〕已知〔a+3b〕n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．〔4分〕甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．假设圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．假设数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n〔n∈N*〕，则〔〕=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①假设函数f〔x〕既是奇函数又是偶函数，则f〔x〕的值域为{0}；②假设函数f〔x〕是偶函数，则f〔|x|〕=f〔x〕；③假设函数f〔x〕在其定义域内不是单调函数，则f〔x〕不存在反函数；④假设函数f〔x〕存在反函数f﹣1〔x〕，且f﹣1〔x〕与f〔x〕不完全相同，则f〔x〕与f﹣1〔x〕图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．〔写出所有真命题的序号〕11．设向量=〔1，﹣2〕，=〔a，﹣1〕，=〔﹣b，0〕，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，假设A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．“x＜2”是“x2＜4”的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．假设无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的选项是〔〕A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出以下命题：〔1〕存在实数α使．〔2〕直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．〔3〕y=cos〔cosx〕〔x∈R〕的值域是[cos1，1]．〔4〕假设α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为〔〕A．〔1〕〔2〕B．〔2〕〔3〕C．〔3〕〔4〕D．〔1〕〔4〕16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，] B．[3，+∞〕C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题〔共5小题，总分值76分〕17．〔14分〕如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；〔1〕求三棱锥A﹣BCD的体积；〔2〕设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．18．〔14分〕在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．〔I〕求角A的大小；〔II〕假设a=，b+c=3，求b和c的值．19．〔14分〕某地要建造一个边长为2〔单位：km〕的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为〔1，2〕，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD 内作一次函数y=kx+b〔k＞0〕的图象，与线段DB交于点N〔点N不与点D重合〕，且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：〔1〕求证：b=﹣；〔2〕设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S〔t〕，并求S的最大值．20．〔16分〕已知函数f〔x〕=9x﹣2a•3x+3：〔1〕假设a=1，x∈[0，1]时，求f〔x〕的值域；〔2〕当x∈[﹣1，1]时，求f〔x〕的最小值h〔a〕；〔3〕是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①n＞m＞3；②当h〔a〕的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，假设存在，求出m、n的值，假设不存在，请说明理由．21．〔18分〕已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n﹣1，其中a≠1，常数r∈N；+1〔1〕求证：a n﹣a n是一个定值；+2〔2〕假设数列{a n}是一个周期数列〔存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n 成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；〔3〕假设数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1〔n∈N*〕，问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？假设是，请说明理由，假设不是，请举出反例．2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题〔共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=〔1，3〕，集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】此题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin〔ωx﹣〕〔ω＞0〕的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin〔ωx﹣〕〔ω＞0〕，∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】此题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．假设函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a的反函数的图象经过点〔4，1〕，则实数a= 3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a过〔1，4〕，代入求得a的值．【解答】解：函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a的反函数的图象经过点〔4，1〕，即函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a的图象经过点〔1，4〕，∴4=log2〔1+1〕+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】此题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知〔a+3b〕n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】此题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决此题的关键，属中档题．7．假设圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】此题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．此题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．假设数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n〔n∈N*〕，则〔〕=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n〔n∈N*〕，∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=〔n﹣1〕2+3〔n﹣1〕，可得：=2n+2，∴a n=4〔n+1〕2．=4〔n+1〕．∴〔〕==2．故答案为：2．【点评】此题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】此题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①假设函数f〔x〕既是奇函数又是偶函数，则f〔x〕的值域为{0}；②假设函数f〔x〕是偶函数，则f〔|x|〕=f〔x〕；③假设函数f〔x〕在其定义域内不是单调函数，则f〔x〕不存在反函数；④假设函数f〔x〕存在反函数f﹣1〔x〕，且f﹣1〔x〕与f〔x〕不完全相同，则f 〔x〕与f﹣1〔x〕图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．〔写出所有真命题的序号〕【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f〔x〕既是奇函数又是偶函数，则f〔x〕=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①假设函数f〔x〕既是奇函数又是偶函数，则f〔x〕=0，为常数函数，所以f〔x〕的值域是{0}，所以①正确．②假设函数为偶函数，则f〔﹣x〕=f〔x〕，所以f〔|x|〕=f〔x〕成立，所以②正确．③因为函数f〔x〕=在定义域上不单调，但函数f〔x〕存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比方函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1〔x≤0〕的交点坐标有〔﹣1，0〕，〔0，1〕，显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】此题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=〔1，﹣2〕，=〔a，﹣1〕，=〔﹣b，0〕，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，假设A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=〔+〕〔2a+b〕，利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=〔1，﹣2〕，=〔a，﹣1〕，=〔﹣b，0〕，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=〔a﹣1，1〕，=﹣=〔﹣b﹣1，2〕，∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=〔+〕〔2a+b〕=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】此题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体外表上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如下图，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】此题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，表达了转化〔空间问题转化为平面问题，化曲为直〕的思想方法．二、选择题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．“x＜2”是“x2＜4”的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】此题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．假设无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的选项是〔〕A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】此题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出以下命题：〔1〕存在实数α使．〔2〕直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．〔3〕y=cos〔cosx〕〔x∈R〕的值域是[cos1，1]．〔4〕假设α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为〔〕A．〔1〕〔2〕B．〔2〕〔3〕C．〔3〕〔4〕D．〔1〕〔4〕【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】〔1〕利用辅助角公式将可判断〔1〕；〔2〕根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断〔2〕；〔3〕根据余弦函数的性质可求出y=cos〔cosx〕〔x∈R〕的最大值与最小值，从而可判断〔3〕的正误；〔4〕用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断〔4〕．【解答】解：〔1〕∵，∴〔1〕错误；〔2〕∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴〔2〕正确；〔3〕根据余弦函数的性质可得y=cos〔cosx〕的最大值为y max=cos0=1，y min=cos 〔cos1〕，其值域是[cos1，1]，〔3〕正确；〔4〕不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，〔4〕错误；故选B．【点评】此题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，] B．[3，+∞〕C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f〔y〕=+，利用基本不等式可求得f〔y〕min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f〔y〕=+，则asinx+1﹣sin2x≤f〔y〕min，当y＞0时，f〔y〕=+≥2=3〔当且仅当y=6时取“=”〕，f〔y〕min=3；当y＜0时，f〔y〕=+≤﹣2=﹣3〔当且仅当y=﹣6时取“=”〕，f〔y〕max=﹣3，f〔y〕min不存在；综上所述，f〔y〕min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①假设sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g〔t〕=t+〔0＜t≤1〕，则a≤g〔t〕min．由于g′〔t〕=1﹣＜0，所以，g〔t〕=t+在区间〔0，1]上单调递减，因此，g〔t〕min=g〔1〕=3，所以a≤3；②假设sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③假设sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】此题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f〔y〕=+，求得f〔y〕min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题〔共5小题，总分值76分〕17．〔14分〕〔2017•上海一模〕如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；〔1〕求三棱锥A﹣BCD的体积；〔2〕设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】〔1〕由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD 的体积．〔2〕以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：〔1〕如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，===则V A﹣BCD=．〔2〕以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A〔0，2，2〕，D〔2，0，0〕，C〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，M〔〕，=〔2，﹣2，﹣2〕，=〔〕，设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】此题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．〔14分〕〔2017•上海一模〕在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．〔I〕求角A的大小；〔II〕假设a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．〔I〕在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos〔B+C〕]﹣4cos2A+2=7，【分析】解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．〔II〕由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值．【解答】解：〔I〕在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos〔B+C〕]﹣4cos2A+2=7，〔1分〕又∵cos〔B+C〕=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．〔4分〕解得，∴．〔6分〕〔II〕由．〔8分〕又．〔10分〕由．〔12分〕【点评】此题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．〔14分〕〔2017•上海一模〕某地要建造一个边长为2〔单位：km〕的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为〔1，2〕，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b〔k＞0〕的图象，与线段DB交于点N〔点N不与点D重合〕，且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：〔1〕求证：b=﹣；〔2〕设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S〔t〕，并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】〔1〕根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y 得△=0即可证明b=﹣；〔2〕写出点P的坐标〔t，2t2〕，代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S〔t〕，利用基本不等式求出S 的最大值．【解答】〔1〕证明：函数y=ax2过点D〔1，2〕，代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=〔﹣k〕2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；〔2〕解：设点P的横坐标为t，则P〔t，2t2〕；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M〔，0〕；令y=2，解得x=+，∴N〔+，2〕；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S〔t〕=2×2﹣×2×[+〔+〕]=4﹣〔t+〕；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】此题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．〔16分〕〔2017•上海一模〕已知函数f〔x〕=9x﹣2a•3x+3：〔1〕假设a=1，x∈[0，1]时，求f〔x〕的值域；〔2〕当x∈[﹣1，1]时，求f〔x〕的最小值h〔a〕；〔3〕是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①n＞m＞3；②当h〔a〕的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，假设存在，求出m、n的值，假设不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】〔1〕设t=3x，则φ〔t〕=t2﹣2at+3=〔t﹣a〕2+3﹣a2，φ〔t〕的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f〔x〕的值域；〔2〕由函数φ〔t〕的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h〔a〕的表达式可求；〔3〕假设满足题意的m，n存在，函数h〔a〕在〔3，+∞〕上是减函数，求出h〔a〕的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：〔1〕∵函数f〔x〕=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ〔t〕=t2﹣2at+3=〔t﹣a〕2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ〔t〕=〔t﹣1〕2+2在[1，3]递增，∴φ〔t〕∈[φ〔1〕，φ〔3〕]，∴函数f〔x〕的值域是：[2，6]；〔Ⅱ〕∵函数φ〔t〕的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h〔a〕=φ〔〕=﹣；当≤a≤3时，y min=h〔a〕=φ〔a〕=3﹣a2；当a＞3时，y min=h〔a〕=φ〔3〕=12﹣6a．故h〔a〕=；〔Ⅲ〕假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h〔a〕=12﹣6a，∴函数h〔a〕在〔3，+∞〕上是减函数．又∵h〔a〕的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6〔n﹣m〕=〔n﹣m〕•〔m+n〕，又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】此题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．〔18分〕〔2017•上海一模〕已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；〔1〕求证：a n+2﹣a n是一个定值；〔2〕假设数列{a n}是一个周期数列〔存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n 成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；〔3〕假设数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1〔n∈N*〕，问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？假设是，请说明理由，假设不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】〔1〕由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1〔a n+2﹣a n〕，由此能够证明a n+2﹣a n为定值．〔2〕当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．〔3〕因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2〔r+〕，化简2a2﹣ar ﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】〔1〕证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1〔a n+2﹣a n〕，∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．〔2〕解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，〔3〕解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2〔r+〕，化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时〔k﹣r〕〔k+r〕=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1〔n∈N*〕，a n=1时，不符合，舍去．a n=时，假设2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】此题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2017年高考数学全国二卷完整解析与答案(无水印精编版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2-2． 设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A I ,则=B A ．{}3 1-， B. {}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1， 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种理科数学试题 第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S A ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．33210．已知直三棱柱111C B A ABC -中，ο120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23 B ．515 C ．510 D ． 33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(+⋅的最小值是A ．2-B ．23-C ．34- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年上海市虹口区高考数学二模试卷(解析版)
2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B＝．2．（4分）复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则＝．4．（4分）若方程组无解，则实数a＝．5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a＝．6．（4分）已知双曲线，它的渐近线方程是y＝±2x，则a的值为．7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a＝2，b＝3，c＝4，则＝．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．（5分）函数f（x）＝，如果方程f（x）＝b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4＝．10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．（5分）在直角△ABC中，，AB＝1，AC＝2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．（5分）无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．（5分）已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能16．（5分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分76分）17．（14分）如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC ＝4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．（14分）已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）＝．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）＝m在（﹣，）有解．19．（14分）已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M 及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a＝2，b＝时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．（18分）对于定义域为R的函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1＝2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y＝f（x）＝A sin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B＝{2，3，4}．【解答】解：A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}＝{x|1＜x＜5}，则A∩B＝{2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．2．（4分）复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【解答】解：复数＝＝﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则＝4．【解答】解：由题意，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝n+＝n2，∴＝＝4，故答案为：4．4．（4分）若方程组无解，则实数a＝±2．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y＝3与直线2x+2y＝2平行，则有a×a＝2×2，且a×2≠2×3，即a2＝4，a≠3，解可得a＝±2，故答案为：±2．5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a＝1．【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1＝x r a7﹣r，令r＝6，则＝7，解得a＝1．故答案为：1．6．（4分）已知双曲线，它的渐近线方程是y＝±2x，则a的值为2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y＝±ax，又有其渐近线方程是y＝±2x，则有a＝2；故答案为：2．7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a＝2，b＝3，c＝4，则＝．【解答】解：在△ABC中，∵a＝2，b＝3，c＝4，∴cos A＝＝，可得：sin A＝＝，cos B＝＝，sin B＝＝，∴＝＝＝．另法：＝＝＝＝．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5]．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值＝5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．9．（5分）函数f（x）＝，如果方程f（x）＝b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4＝4．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，方程f（x）＝b有四个不同的实数解，等价为y＝f（x）和y＝b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2＝0，x3+x4＝4，则x1+x2+x3+x4＝4．故答案为：4．10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V＝＝根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS＝h，则＝．∴h＝．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S＝．故答案为11．（5分）在直角△ABC中，，AB＝1，AC＝2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ＝，∴当θ＝时，λ+2μ最大值为，故答案为：12．（5分）无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【解答】解：a10＝S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102＝10×9＝90种，若S10＝S9，则有a10＝0，根据分类计数原理可得，共有90+1＝91种，故答案为：91二、选择题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2＝ac成立，若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．（5分）已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能【解答】解：函数，f（﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．16．（5分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5＝0的距离为d，则d＝，则a2+b2＞4，故③正确；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a＝0，b＝时，＝，又直线3x﹣4y+5＝0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）17．（14分）如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC ＝4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则＝＝，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB＝AC＝4，AB⊥AC，∴，，DE＝AA1＝4，∴S△DEF＝＝4，由E为线段BC的中点，且AB＝AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．18．（14分）已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）＝．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）＝m在（﹣，）有解．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…（4分）∴f（x）＝…（7分）（2）设，令t＝tan x，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y＝f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…（11分）又设，则，由此函数是奇函数得f（x）＝﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…（13分）综上所述，y＝f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…（14分）19．（14分）已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2＝0，解得q＝2或q＝1（舍去）．∴．（2）b n＝log a a n＝（n﹣5）log a2．∴数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴T n＝﹣4n log a2+log a2＝•log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min＝T4＝T5＝﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max＝T4＝T5＝﹣10log a2．20．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M 及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a＝2，b＝时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2＝1…（3分）（2）由，得a＝2．又，得．…（5分）∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•＝（x0，y0）（，）＝+＝x02+，由于，的取值范围是[，2]（8分）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）＝0；有①…（10分）由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2＝0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2＝2m2，…（12分）3+4k2＞0，则m2＞0，△＝48m2＞0，又点O到直线y＝kx+m的距离，丨AB丨＝＝×＝×，∴…（14分）2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x＝m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2＝0，得，解得m2＝2，从而，S△OAB＝丨AB丨×d＝丨m丨丨y1﹣y2丨＝，综上：△OAB的面积是定值．…（16分）21．（18分）对于定义域为R的函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1＝2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y＝f（x）＝A sin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}＝f（f（3））＝f（﹣1）＝2．（2）由题意，x1＝2，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，即x n+1＝f（x n）∴x2＝f（x1）＝f（2）＝0，x3＝f（x2）＝3，x4＝f（x3）＝﹣1，x5＝f（x4）＝2∴x5＝x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n＝4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）＝sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ＝0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ＝0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A＝0．∴A＝2．b＝1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T＝＝6，f（6）＝f（0）＝3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝6，∴①当n＝2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）＝f（1）+f（2）+…+f（6k）＝k[f（1）+f（2）+…+f（6）]＝6k＝3n．②当n＝2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）＝f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）＝k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5＝6k﹣5＝3n﹣2．。
2022年上海市嘉定区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2022年上海市嘉定区高考数学二模试卷1. 已知集合，，则______.2. 不等式的解为______.3. 若等差数列满足，则______.4. 已知函数，它的反函数为，则______.5. 在展开式中，的系数为______结果用数值表示6. 若实数x、y满足，则的最大值为______.7. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为______.8. 若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为a，则实数a的值为______.9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的概率为______结果用最简分数表示10. 已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，若函数在上的最小值为3，则实数a的值为______.11. 已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点A为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为若，则椭圆的普通方程为______.12. 已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______.13. 已知复数为虚数单位，则“z为纯虚数”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 若、，且，则ab的最小值为( )A. 16B. 4C.D.15.在中，，若，则( )A. 3B.C. 2D.16. 在正方体中，E、F分别是线段AB、上的动点，且直线EF 与所成的角为，则下列直线中与EF所成的角必为的是( )A.CD B. BD C. D.17. 如图，圆锥的底面半径，高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求：该圆锥的表面积；直线CD与平面PAB所成角的大小结果用反三角函数值表示18. 设常数，函数若函数是偶函数，求实数a的值；若对任意求实数a的取值范围．19. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设当时，求的面积；求灯杆BC与灯柱AB长度之和米关于的函数解析式，并求当为何值时，L取得最小值．20. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于x轴的直线与双曲线C交于M、N两点．求双曲线C的标准方程；若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；设P、Q是直线上关于x轴对称的两点，求证：直线PM与QN的交点必在直线上．21. 若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具有“性质M”．判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；①1，2，4，3；②2，4，8，设，若数列具有“性质M”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；已知数列具有“性质M”．若存在数列，使得数列是连续k个正整数1，2，⋅⋅⋅，k的一个排列，且，求k的所有可能的值．答案和解析1.【答案】【解析】解：集合，，故答案为：利用交集定义、不等式性质直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】【解析】解：不等式等价于，所以，所以不等式的解集为故答案为：不等式等价于，解之即可．本题考查分式不等式的解法，将其转化为一元二次不等式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】8【解析】解：是等差数列，，故答案为：由是等差数列可得，从而即可求出的值．本题考查等差数列的性质，考查学生基本的运算能力，属于基础题．4.【答案】2【解析】解：由题意令，解得，根据反函数的定义可得，故答案为：令，解得，再根据反函数的定义即可求解．本题考查了反函数的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．5.【答案】60【解析】解：展开式中含的项为，所以的系数为60，故答案为：根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】6【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为故答案为：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】2【解析】解：根据题意知，直三棱柱的底面三角形是底面边长为2，高为1的直角三角形，底面面积为，且直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的体积为故答案为：根据题意求出直三棱柱的底面三角形面积，再求三棱柱的体积即可．本题考查了利用三视图求简单几何体的体积应用问题，是基础题．8.【答案】1【解析】解：由题意得，解得或，当时，显然不符合题意，故故答案为：由已知结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等比数列求和公式的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件总数为，而这5个数的中位数是6的基本事件数为，故这5个不同的数的中位数为6的概率为故答案为：首先利用组合求出基本事件总数以及这5个不同的数的中位数为6的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式求解即可．本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．10.【答案】3【解析】解：因为是定义域为R的奇函数，且当时，当时，，则所以，因为函数在上的最小值为3，当时，在上单调递增，当时，函数取得最小值，解得舍，当时，函数在上单调递增，当时，函数取得最小值，解得，当时，根据对勾函数的性质可知，当时，函数取得最小值，解得舍，综上，故答案为：由已知结合奇函数定义先求出当时的函数解析式，然后结合基本函数的单调性对a进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求．本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了函数的单调性在函数最值求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．11.【答案】【解析】解：根据题意，椭圆为参数，，，其普通方程为，若其焦点分别、，则，则有，①点A为椭圆的上顶点，则A的坐标为，又由，而，则，，又由，且A、B、三点共线，则B的坐标为，又由，则有，②联立①②，解可得：，；故椭圆的方程为；故答案为：根据题意，由椭圆的焦点坐标可得，即可得，结合椭圆的性质可得、的长，分析可得B的坐标，进而可得，两式联立解可得a、b的值，即可得答案．本题考查椭圆的性质，涉及椭圆的参数方程，属于中档题．12.【答案】【解析】解：函数，其中，，恒成立，，，，，结合的范围，可得或①当时，，由，且，可得在区间上恰有3个零点，，，即，即，即综合可得，②当时，，由，且，可得在区间上恰有3个零点，，，即，即综合可得，此时，综上，结合①②可得，，故答案为：由题意，利用正弦函数的周期性、零点和最值，分类讨论，求得的范围．本题主要考查了正弦函数的周期性、零点和最值，属中档题．13.【答案】B【解析】解：当时，为纯虚数，反之，若z为纯虚数，则，解得或，“z为纯虚数”是“”的必要非充分条件，故选：由复数为虚数单位是纯虚数求得值，再结合充分必要条件的判定得答案．本题考查复数的基本概念，考查充分必要条件的判断，是基础题．14.【答案】A【解析】解：，，，当且仅当，即，时取等号，解得，当且仅当，时等号成立，的最小值为故选：根据基本不等式即可得出，然后即可求出ab的最小值．本题考查了基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】B【解析】解：中，，，所以，所以，因为，所以，解得故选：用向量、表示出向量和，再利用求出的值．本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题．16.【答案】C【解析】解：连接交于N，过A作交于H，过N作于M，、F分别是线段AB、上的动点，在平面内，易证平面，，又，所以平面，，则为直线EF与所成的角，又直线EF与所成的角为，，设正方体的棱长为1，则可得，，又，，在中，，又，故直线与EF所成的角必为，故选：连接交于N，过A作交于H，过N作于M，，计算可得，可知直线与EF所成的角必为本题考查异面直线所成的角，属中档题．17.【答案】解：圆锥的底面半径，高，圆锥的母线长，该圆锥的表面积为：由题意OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，平面PAB的法向量为，设直线CD与平面PAB所成角为，则，直线CD与平面PAB所成角的大小为【解析】求出圆锥的母线长，由此能求出该圆锥的表面积．由题意OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，以OC，OB，OP所在直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD与平面PAB所成角的大小．本题考查圆锥结构特征、圆锥的表面积、线面角、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：因为函数为偶函数，所以，即，整理得，所以：对任意整理得，因为，所以，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，所以，所以a的取值范围为【解析】由已知结合偶函数的定义即可求解a：由已知不等式恒成立先进行分离参数，然后结合二次函数的性质及指数函数性质可求．本题主要考查了函数的奇偶性的定义及不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：当时，，，又，，为边长为24的等边三角形，的面积为在中，，，，由正弦定理得，，解得，在中，，，，，由正弦定理得，，，，，，，当，即时，L取得最小值【解析】当时，，，所用为边长为24的等边三角形，进而求出的面积．在中，，，，由正弦定理求出AC，再在在中由正弦定理可得，，进而求出L关于的函数解析式，再结合三角函数的性质即可求出L的最小值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了正弦定理得应用，以及三角函数的性质，属于中档题．20.【答案】解：由题意得，解得，所以双曲线C的标准方程为；设，因为M是线段AN的中点，所以，则得，解得，，所以所求点N的坐标为或；证明：由题意可设直线MN的方程为，联立方程组，消去y，并整理得，设，，由一元二次方程根与系数的关系，得，又设，，则得直线PM的方程为，直线QN的方程为，两个方程相减得①，因为，把它代入①得，所以，因此直线PM与QN的交点在直线上．【解析】由题意得，解得，即可求解；设，因为M是线段AN的中点，所以，代入双曲线方程即可求解；由题意可设直线MN的方程为，与双曲线方程联立后整理即可得证．本题考查了双曲线的性质，属于中档题．21.【答案】解：，该数列不具有“性质M”；，该数列具有“性质M”；证明：充分性，若数列是常数列，则即，或又数列且各项互不相同，，数列为等差数列；必要性，若数列为等差数列，则，即，数列为常数列；数列是连续k个正整数1，2，⋅⋅⋅，k的一个排列，当时，，，不符合题意；当时，数列3，2，4，1满足，，符合题意；当时，数列2，3，4，5，1满足，符合题意；当时，令，则，且，的取值有以下三种可能①，②，③，当时，，由知，，，是公差为1或的等差数列，若公差为1时，由得或，，不合题意，不合题意；若公差为，同上述方法可得不符合题意；当满足②，③时，同理可证不符合题意，故：或【解析】按照题目给出的定义：数列具有“性质M”直接判断；根据充要条件的概念直接证明；根据条件可知，，⋅⋅⋅逐渐增大，且最小值为1，分情况可求之．本题考查了给出新定义求解问题，数列的通项公式，充要条件等知识，综合性较强，是难题．。