吉林省吉林2020年中考数学一模试卷解析版
14. 如图，有一张长方形纸片 ABCD，AB=4，AD=3．先将长方形纸片 ABCD 折叠，使 边 AD 落在边 AB 上，点 D 落在点 E 处，折痕为 AF；再将△AEF 沿 EF 翻折，AF 与 BC 相交于点 G，则 FG 的长为______．
中考数学一模试卷
题号 得分
一
二
三
一、选择题（本大题共 6 小题，共 12.0 分）
1. 在-4，0，-1，3 这四个数中，最大的数是（ ）A.Βιβλιοθήκη -4B. 0C. -1
2. 如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（
）
A.
总分
D. 3
B. C.
D.
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. 5a-a=5
第 1 页，共 23 页
7. 国家发改委 2 月 7 日紧急下达第二批中央预算内投资 2 亿元人民币，专项补助承担 重症感染患者救治任务的湖北多家医院重症治疗病区建设，其中数据 2 亿用科学记 数法表示为______元．
8. 分解因式：4mx2-my2=______． 9. 若方程 x|m|-2+（m+3）y2m-n=6 是关于 xy 的二元一次方程，则 m+n=______． 10. 一组数据：23，27，20，18，x，16．它们的平均数是 21，则中位数为______． 11. 疫情期间，某医疗用品店的老板以每支 x 元的单价购进一次性口罩 1000 支，加价
三、解答题（本大题共 12 小题，共 84.0 分） 15. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：
过程分别如下：
，甲、乙两位同学完成的
第 2 页，共 23 页
老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改 正． （1）我选择______同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）该同学的解 答从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
B. 2a2+2a3=4a5
C. a2b-ab2=0
4. 如图所示，直线 m∥n，∠1=63°，∠2=34°，则∠BAC 的
大小是（ ）
D. -a2-a2=-2a2
A. 73o
B. 83o
C. 77o
5. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC，CD 是⊙O 的两条弦，CD⊥AB
，连接 OD，若∠CAB=20°，则∠BOD 的度数是（ ）
17. 在这场疫情中，“新型冠状性病毒”拆散了许多家庭，也有不少人的生命戛然而止 ，令人心痛．小明为了纪念这场疫情，自己动手做了四张扑克牌，四张扑克牌的文 字分别为“武”、“汉”、“加”、“油”．小明将 4 张扑克牌翻成反面，然后搅 匀扑克牌，搅匀后从中随机抽取一张牌，记录字后然后放回去，接着抽取一张牌， 记录第二张牌上的字．请用画树状图或列表的方法，求出摸到两次“武”字的概率 ．
项目
内容
课题
测量郑州会展宾馆的高度
测量示意图
如图，在 E 点用测倾器 DE 测得楼顶 B 的仰角是 α，前进一段距 离到达 C 点用测倾器 CF 测得楼顶 B 的仰角是 β， 且点 A、B、C、D、E、F 均在同一竖直平面内
测量数据
∠α 的度数
∠β 的 度数
EC 的 长度
测倾器 DE ，CF 的 高度
40°
45° 53 米 1.5 米
…
…
请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度（参考数据： sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）
21. 钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌 ，尽量少去人员密集的场 所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强 社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎 的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020 年新型冠状病毒防治全国统一 考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取 20 名人员的答 卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据
5%卖出 700 支以后，每支比进价降低 a 元，将剩下 300 支全部卖出，则可获得利 润为___元． 12. 如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上，∠B=120°，OA=1，将菱形 OABC 绕原点 顺时针旋转 105°至 OA'B′C'的位置，则点 B'的坐标 为______．
第 3 页，共 23 页
18. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD 平分∠CAB ，延长 AC 至 E，使 CE=AC，连接 DE． 求证：△BAD≌△EAD．
19. LED 显示屏是一种平板显示器，可以显示计算机生成的动态图文画面．如图①是平 面显示的 8X8 正三角形网格的示意图，其中每个小正三角形的边长均为 1，位于 AD 中的处的输入光点 P 按②的程序移动．
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
D. 87o
6. 甲乙两地铁路线第约 500 千米，后来高铁提速，平均速度是原来火车速度的 1.8 倍 ，这样由甲到乙的行驶时间缩短了 1.5 小时；设原来火车的平均速度为 x 千米/时， 根据题意，可得方程（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程．
．
16. 为了防治“新型冠状病毒”，某市某小区购买了若干瓶消毒剂和若干支红外线测温 枪，积极号召主动接受测温和个楼道做好消毒工作．其中，每瓶消毒剂 5 元，每支 红外线测温枪 560 元，总共消费金额为 3000 元．问本次小区购买消毒剂的数量和 测温枪的数量．
（1）请在图①中画出光点 P 经过的路径； （2）求光点 P 经过的路径总长．
第 4 页，共 23 页
20. 被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“大玉米”）坐落在风景如画的如 意湖，是来郑州观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数知识后，刘明和王华 同学决定用自己学到的知识测量“大王米”的高度，他们制订了测量方案，并利用 课余时间完成了实地测量．测量项目及结果如下表：
吉林省名校调研2020年中考数学一模试卷解析版
中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.抛物线y=-x2+2的对称轴为（ ）A. x=2B. x=0C. y=2D. y=02.如图所示的几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.3.已知，关于x的一元二次方程x2+3x+m=0中，m＜0，则该方程解得情况是（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定4.若反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）A. k＜B. k＞C. k＞2D. k＜25.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（ ）A.B.C.D. 26.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）A. 2：3B. 3：2C. 4：5D. 4：9二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.sin30°+tan45°=______．8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为______．9.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的值为______．10.如图，△ABC中，P为边AB上一点．且∠ACP=∠B，若AP=2，BP=3，则AC的长为______．11.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连结AD、BC、BD、DC，若BD=CD，∠DBC=20°，则∠ABC的度数为______．12.如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为______．（杆的宽度忽略不计）13.在平面直角坐标系中，点A和点C分别在y轴和x轴的正半轴上，以OA，OC为边分别作矩形OABC，双曲线y=（x＞0）交AB于点E，AE：EB=1：3，则矩形的面积为______．14.二次函数y=2x2-4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则=______．三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）15.如图，为测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD=37°，再沿BD方向前进150m到达点C，测得∠ACD=45°，求小岛A到公路BD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是弦BC的中点，P是⊙O外一点且∠PBC=∠A，连接OE并延长交⊙O于点F，交BP于点D．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BD=8，求弦BC的长．四、解答题（本大题共10小题，共82.0分）17.解方程：x2+8x=9．18.已知y是x的反比例函数，且x=3时，y=8．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果自变量x的取值范围为3≤x≤4．求y的取值范围．19.如图，已知△ABC中，AB=AC=5，cos A=．求底边BC的长．20.2019年中国北京世园会开园期间，为了满足不同人群的游览需求，组委会倾情打造了四条趣玩路线，分别是“解密世园会”、“爱我家，爱园艺”、“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”小明一家想通过抽签的方法选择其中的两条路线进行游玩，于是他们制作了如下四张卡片，然后从四张卡片中随机抽取其中的两张若小明最钟爱的游玩路线是“园艺小清新之旅“，小明的爸爸和妈妈最钟爱的游玩路线是“解密世园会”，请用列表法或画树状图法求出：他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是多少？21.已知半圆的直径CD=12cm，如图所示，弧DE所对的圆心角∠ECD=30°，求阴影部分的周长．22.图（a）、图（b）是两张形状，大小完全相同的8×8的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．（1）以AB为一边，画一个成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；（2）以EF为一边，画△EFP，使其面积为的轴对称图形．23.如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=的图象于点A（2，-4）和点B（h，-2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的解析式；（2）连接OA、OB．求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式kx+b＞的解集．24.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α=0°时，的值为______；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE=5，AC=4，直接写出线段BE的长______．25.如图，一条顶点坐标为（-1，）的抛物线与y轴交于点C（0，5），与x轴交于点A和点B，有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E 和F（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都有在线段AC上时，连接MF，如果MF=AF，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．26.如图，在▱ABCD中，∠ABD=90°，AD=5，BD=3，点P从点A出发，沿折线AB一BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM=2，MN与BD在PQ的同侧，设点P的运动时间为t（秒）．（1）当t=5时，求线段CP的长；（2）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）；（3）当点M落在BD上时，求t的值；（4）当矩形PQMN与▱ABCD重叠部分图形为五边形时，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=-x2+2，∴该抛物线的对称轴为直线x=0，故选：B．根据题目中的抛物线y=-x2+2，可以直接写出该抛物线的对称轴．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.【答案】C【解析】解：从上边看是左右各一个矩形，左边的矩形大，故选：C．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3.【答案】B【解析】解：△=9-4m，∵m＜0，∴-4m＞0，∴△=9-4m＞0，故选：B．根据根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：∵反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，∴1-2k＜0，解得k＞，故选：B．根据反比例函数的图象和性质，由1-2k＜0即可解得答案．本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．5.【答案】C【解析】解：如图，作AH⊥x轴于H．∵A（2，1），∴OH=2，AH=1，∴OA===，∴cosα===，故选：C．如图，作AH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OA，根据三角函数的定义解决问题即可．本题考查解直角三角形，坐标由图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6.【答案】A【解析】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴=故选：A．先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．7.【答案】【解析】解：原式=+1=．故答案为：．分别把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．8.【答案】15°【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=（180°-∠BAD）=15°，故答案为：15°．先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．9.【答案】【解析】解：作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，∵AE=BE=4，∠AEB=90°，∴∠ABE=∠BAE=45°，∴sin B=sin45°=，故答案为．作AE⊥BC于E．利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题．10.【答案】【解析】解：AB=AP+BP=2+3=5，∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，∴=，∴AC2=AP•AB=2×5=10，∴AC=，故答案为：．AB=AP+BP=5，由∠ACP=∠B，∠A=∠A，得出△ACP∽△ABC，得出=，代入数值即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．11.【答案】50°【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵BD=CD，∠DBC=20°，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠A=∠C=20°，∴∠ABD=90°-∠A=70°，∴∠ABC=∠ABD-∠DBC=70°-20°=50°故答案为50°先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ADB=90°，由BD=CD，∠DBC=20°，根据等腰三角形性质可得：∠C=20°，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠A=20°，根据三角形内角和定理求得∠ABD=70°，进而即可求得∠ABC的度数．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角为90°．12.【答案】8m【解析】解：如图，由题意知∠BAO=∠C=90°，∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，∴，即=，解得：CD=8，故答案为：8m．由题意证△ABO∽△CDO，可得，即=，解之可得．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.【答案】24【解析】解：设E点坐标为（t，），∵AE：EB=1：3，∴B点坐标为（4t，），∴矩形OABC的面积=4t•=24．故答案为：24．根据反比例函数图象上点的坐标特征设E点坐标为（t，），则利用AE：EB=1：3，B 点坐标可表示为（4t，），然后根据矩形面积公式计算．本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．14.【答案】2【解析】解：∵二次函数y=2x2-4x+4=2（x-1）2+2，∴点P的坐标为（1，2），设点M的坐标为（a，2），则点N的坐标为（a，2a2-4a+4），∴===2，故答案为：2．根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算即可解答本题．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.【答案】解：过A作AE⊥CD垂足为E，设AE=x米，在Rt△ABE中，tan B=，∴BE==x，在Rt△ABE中，tan∠ACD=，∴CE==x，∵BC=BE-CE，∴x-x=150，解得：x=450．答：小岛A到公路BD的距离为450米．【解析】过A作AE⊥CD垂足为E，设AE=x米，再利用锐角三角函数关系得出BE=x，CE=x，根据BC=BE-CE，得到关于x的方程，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．16.【答案】（1）证明：如图，连接OB，∵E是弦BC的中点，∴BE=CE，OE⊥BC，==，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠PBC=∠A，∴∠BOE=∠PBC，∴∠OBE+∠PBC=90°．即BP⊥OB．∴BP是⊙O的切线（2）解：∵OB=6，BD=8，BD⊥OB．∴OD==10．∵△OBD的面积=OD•BE=OB•BD，∴BE==4.8．∴BC=2BE=9.6【解析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=CE，OE⊥BC，=，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠PBC=90°，得出∠OBD=90°即可；（2）由勾股定理求出OD，由△OBD的面积求出BE，即可得出弦BC的长．本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．17.【答案】解：x2+8x=9，x2+8x-9=0，（x+9）（x-1）=0，x+9=0或x-1=0，解得x1=-9，x2=1．【解析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18.【答案】解：（1）设反比例函数是y=（k≠0），当x=3时，y=8，代入可解得k=24．所以y=．（2）当x=3时，y=8，当x=4时，y=6，∴自变量x的取值范围为3≤x≤4．y的取值范围为6≤y≤8．【解析】（1）根据反比例函数的定义设出表达式，再利用待定系数法解出系数则可；（2）分别代入x的值求得y值后即可求得y的取值范围；本题考查了反比例函数的性质及反比例函数的定义，能够利用待定系数法确定反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大．19.【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cos A=，∵cos A=，AB=5，∴AD=AB•cos A=5×=3，∴BD==4，∵AC=AB=5，∴DC=2，∴BC==2．【解析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20.【答案】解：设上述四张卡片从左到右依次用字母A，B，C，D表示，则抽取结果可以用如下树状图表示：从树状图可知，所有等可能结果有12种，其中能同时能抽中A和D的结果有2种，所以他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是．【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中A 和D的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】解：CE交半圆于F，连接OF、DF，如图，∵弧DE所对的圆心角∠ECD=30°，∴的长为=2π，∵∠DOF=2∠ECD=60°，∴的长度为=2π，∵CD为直径，∴∠CFD=90°，∴DF=CD=6，CF=DF=6，∴EF=12-6，∴阴影部分的周长=2π+2π+12-6=4π+12-6．【解析】CE交半圆于F，连接OF、DF，如图，先利用弧长公式计算出的长为2π，再根据圆周角定理得到∠DOF=60°，∠CFD=90°，然后利用弧长公式计算出的长和EF=12-6，从而得到阴影部分的周长．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了弧长公式．22.【答案】解：（1）如图所示：四边形ABCD是面积为12的平行四边形；（2）如图所示：△EFP是面积为的等腰三角形．【解析】（1）根据平行四边形的底边为4，高为3，进行画图；（2）根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图．本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形．23.【答案】解：（1）把A（2，-4）的坐标代入y=得：m=-8，∴反比例函数的解析式是y=-；把B（h，-2）的坐标代入y=-得：-2=-，解得：n=4，∴B点坐标为（4，-2），把A（2，-4）、B（4，-2）的坐标代入y=kx+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y=x-6；（2）∵y=x-6，∴当y=0时，x=0+6=6，∴OC=6，∴△AOB的面积=△AOC的面积-三角形BOC的面积=×6×4-×6×2=12-6=6；（3）由图象知，kx+b＞的解集为0＜x＜2或x＞4．【解析】（1）先把点A的坐标代入y=，求出m的值得到反比例函数解析式，再求点B的坐标，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=kx+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）先求出C点坐标，再根据△AOB的面积=△AOC的面积-三角形BOC的面积即可求解；（3）观察函数图象即可求出不等式kx+b＞的解集．本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及观察图象的能力，待定系数法求函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键．24.【答案】 7或1【解析】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=45°，∵DE∥AB，∴∠DEC=∠B=45°，∠CDE=∠A=90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C==，∵DE∥AB，∴==，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴==，又∠BCE=∠ACD=α，∴△BCE∽△ACD，∴==，即=；（3）①如图3-1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC=90°，∴∠CAE=90°，∴AE===3，∴BE=BA+AE=4+3=7；②如图3-2，当点E在线段BA上时，AE===3，∴BE=BA-AE=4-3=1，综上所述，BE的长为7或1，故答案为：7或1．（1）先证△DEC为等腰直角三角形，求出=，再通过平行线分线段成比例的性质可直接写出的值；（2）证△BCE∽△ACD，由相似三角形的性质可求出的值；（3）分两种情况讨论，一种是点E在线段BA的延长线上，一种是点E在线段BA上，可分别通过勾股定理求出AE的长，即可写出线段BE的长．本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．25.【答案】解：（1）根据题意，抛物线顶点为，设抛物线为．抛物线过点C（0，5），∴，抛物线解析式为．（2）易得：A（-5，0），B（3，0）．如图，作FD⊥AC于D，∵OA=5，OC=5，∴∠CAO=45°．设AF=m，则．在△MEF中，FM2=ME2+EF2，∴，解得（不符合题意，舍去）．∴AF=2，∴点Q的横坐标为-3．又点Q在抛物线上，∴Q（-3，4），（3）设直线AC的解析式y=kx+n，由题意，得∴直线AC的解析式y=x+5．由已知，点Q，N，F及点P，M，E横坐标分别相同．设F（t，0），E（t+1，0），N（t，t+5），M（t+1，t+6），．在矩形平移过程中，以P，Q，N，M为顶点的平行四边形有两种情况：①点Q，P在直线AC同侧时，QN=PM．∴，解得：t=-3．∴M（-2，3）．②点Q，P在直线AC异侧时，QN=MP．∴，解得∴．∴符合条件的点M是（-2，3），．【解析】（1）设抛物线为，把点（0，5）代入即可解决问题．（2）作FD⊥AC于D，设AF=m，则，列出方程求出m的值即可解决问题．（3）设F（t，0），E（t+1，0），N（t，t+5），M（t+1，t+6），．①当MN是对角线时，由QN=PM，列出方程即可解决问题．②点Q，P在直线AC异侧时，QN=MP，解方程即可．本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：（1）如图1中，在Rt△ABD中，∵∠ABD=90°，AD=5，BD=3，∴AB==4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，CD=AB=4，当t=5时，点P在BC上，PB=1，∴PC=4．（2）①如图2中，当0＜t＜4时，∵PQ∥BD，∴=，∴=，∴PQ=t．②如图3中，当5＜t＜10时，∵PQ∥BD，∴=，∴=，∴PQ=（9-t）．（3）①如图4中，当点P在线段AB上时，点M在线段BD上，∵QM∥AB，∴=，∴=，∴DQ=，∴AQ=DQ，∵PQ∥BD，∴AP=PB=2，∴t=2．②如图5中，当点P在线段BC上，点M与D重合时，易知QM=QC=2，PB=PC=，此时t=4+=．（4）①如图6中，当点P在线段AB上，重叠部分是五边形PBKMQ时，2＜t＜4．②如图7中，当点P在线段BC上，重叠部分是五边形PQDKN时，4＜t＜6.5．【解析】（1）如图1中，利用勾股定理求出AB的长，t=5时，点P在线段BC上，易知PB=1，PC=4；（2）分两种情形求解即可①如图2中，当0＜t＜4时，②如图3中，当5＜t＜10时；（3）分两种情形求解即可①如图4中，当点P在线段AB上时，点M在线段BD上，求出AP．②如图5中，当点P在线段BC上，点M与D重合时；（4）分两种情形分别求解即可①如图6中，当点P在线段AB上，重叠部分是五边形PBKMQ时，2＜t＜4．②如图7中，当点P在线段BC上，重叠部分是五边形PQDKN 时，4＜t＜6.5；本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2020年吉林省名校调研中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年吉林省名校调研中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.抛物线y=ax2+4ax−5的对称轴为()A. x=−2aB. x=4C. x=2aD. x=−22.如图，该几何体的俯视图可能是()A.B.C.D.3.已知一元二次方程x2−3x−1=0，则b2−4ac的值为()A. √13B. 5C. 7D. 134.若反比例函数y=(2k−1)x3k2−2k−1的图象位于第二、四象限，则k的值是()D. 4A. 0B. 0或1C. 0或235.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(4,3)，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为()A. 35B. 45C. 34D. 436.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为()A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：5二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.2×sin60°+tan30°=______．8.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是______．9.如图，边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，tan∠BAC=______．10.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为______ ．11.如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB，AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD=40°，则∠EOM=_______．12. 铁路道口的栏杆如图所示，AO =16.5米，CO =1.25米，当栏杆C 端下降的垂直距离(CD)为0.5米时，栏杆A 端上升的垂直距离(AB)为______米．13. 如图，过双曲线y =3x 上的A 、B 两点分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、E 、D 、F ，AC 、BF 相交于点G ，矩形ADFG 和矩形BECG 的面积分别为S 1、S 2，若S 阴影=1，则S 1+S 2=________．14. 已知点P 1(−1,y 1)，P 2(3,y 2)，P 3(5,y 3)均在二次函数y =−x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 ．三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）15. 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上．请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．(参考数值：tan31∘≈35，sin31∘≈12)16.如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．四、解答题（本大题共10小题，共82.0分）17.解方程：(1)x2−4x=0；(2)4x2−25=0；(3)2x(x−3)+x=3．18.已知函数y=(m−2)x m2−3，若y是x的反比例函数，求m的值．解：∵y是x的反比例函数，∴m2−3=−1，解得m=±√2．以上解答过程正确吗？若不正确，请改正．19.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D.AC=10，cos∠A=4，求BC5的长．20.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为1，2，3.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率．21.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，AD⏜=CD⏜，求：∠BCD的度数．22.如图是两张10×10的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.请在方格纸中分别画出符合要求的格点四边形(格点四边形是指四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)：(1)请在图1中，画出一个面积为24，且它是中心对称图形不是轴对称图形．(2)请在图2中，画出一个周长为24，且既是中心对称图形也是轴对称图形．(x>0)的图象交于Ａ(m,6)，Ｂ(3,n)两点．23.如图，一次函数y=−2x+8与反比例函数y=kx(1)求反比例函数的解析式>0的解集．(2)根据图象直接写出关于x的不等式−2x+8−kx24.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，且DB=DE．(1)如图1，若α=90°，则CE的值是______；AD(2)若α=120°，将△BDE绕点B按顺时针旋转到如图2所示的位置，求CE的值；AD(3)对于任意角α，将△BDE绕点B旋转到如图3所示的位置，直接写出CE的值为______.(用含αAD的式子表示)x2+bx+c(b,c为常数)与y轴相交于点C，经过点C作直线CD//x轴，交抛物线于25.抛物线y=12点D，将直线CD向上平移t个单位长度，交抛物线于点A和B(A在B的左侧)，直线AB与抛物线的对称轴l交于点E．(Ⅰ)当b=−2，c=1时，求抛物线顶点P的坐标；(Ⅱ)若∠ACB=90°，求t的值；(Ⅲ)在(2)的条件下，当以点A，D，C，E为顶点的四边形为平行四边形时，求b的值．26.如图，△ABC是等边三角形，AB=6.动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右作矩形PDEF，且PA=PF，点M为AC中点，连接PM.设矩形PDEF与△ABC重叠部分的面积为S，点P运动的时间为t(t>0)秒．(1)填空：PD=______(用含t的代数式表示)．(2)当点F落在BC上时，求t的值．(3)求S与t之间的函数关系式．(4)直接写出直线PM将矩形PDEF分成两部分的面积比为1：3时t的值．【答案与解析】1.答案：D解析：【试题解析】解：∵抛物线y=ax2+4ax−5，=−2．∴对称轴为：x=−4a2a故选D．根据抛物线的解析式，即可得解．本题考查二次函数的性质，解题的关键是知道求对称轴的公式．2.答案：A解析：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：的俯视图可能是，故选A．3.答案：D解析：解：由题意可知：△=b2−4ac=9−4×1×(−1)=13故选：D．根据根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．4.答案：A解析：本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质：①y=kx，当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.先根据反比例函数的定义列出方程求出k的可能取值，再根据图象经过的象限确定k的取值范围，进而得出k的值．解：依题意有3k2−2k−1=−1，解得k=0或k=23，又因为函数图象位于第二、四象限，所以2k−1<0，即k<12，而23>12，故k=23舍去，所以k的值是0．故选A．5.答案：C解析：解析：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO=∠PNO=90°，∵x轴⊥y轴，∴∠MON=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形MONP是矩形，∴PM=ON，PN=OM，∵P(4,3)，∴ON=PM=4，PN=3，∴tanα=PNON =34，故选：C．过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键．6.答案：C解析：解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7.答案：4√33解析：本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值，可得答案．解：原式=2×√32+√33=4√33故答案为：4√33．8.答案：70°解析：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据旋转的性质得∠AOC=∠BOD=40°，OA=OC，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠A=12(180°−40°)=70°解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∴∠AOC=40°，OA=OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠A=12(180°−40°)=70°，故答案为：70°．9.答案：35解析：本题考查了锐角三角函数定义，能构造直角三角形是解此题的关键．过C作CF⊥AB于F，求出AF和CF的长，再解直角三角形求出即可．解：过C作CF⊥AB于F，则∠CFB=90°，由图中可知：AF=5，CF=3，所以tan∠BAC=CFAF =35，故答案为35．10.答案：165解析：解：∵在△ABC与△ACD中，∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，∵AB=5，AC=4，∴45=AD4，解得AD=165．故答案为：16．5先根据相似三角形的判定定理得出△ACD∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出AD的长．本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACD∽△ABC是解答此题的关键．11.答案：80°解析：本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接EM，根据等腰三角形的性质得到AM⊥BC，进而求出∠AME=50°，于是得到结论．解：连接EM，∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，∴∠AME=∠AMD=90°−∠BMD=50°∴∠EAM=40°，∴∠EOM=2∠EAM=80°，故答案为80°．12.答案：6.6解析：本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，利用相似三角形的性质解答即可．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则AOCO =ABCD，即16.51.25=AB0.5，解得：AB=6.6米，故答案为：6.6．13.答案：4解析：解：∵过双曲线y=3x上的A、B两点分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、E，∴S1+S阴影=S2+S阴影=3，∵S阴影=1，∴S1=S2=2，∴S1+S2=4，故答案为4．根据反比例函数系数k的几何意义得出S1+S阴影=S2+S阴影=3，从而得出S1=S2=2，即可求得S1+S2=4．本题考查了反比例函数y=kx系数k的几何意义，即反比例函数图象上的点分别向x轴、y轴作垂线，构成的矩形的面积S=|k|．14.答案：y1=y2>y3解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x=1，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y 1，y 2，y 3的大小关系．解：因为y=−x2+2x+c=−(x−1)2+c+1，所以该函数图象开口向下，对称轴为直线x=1，因为|1−5|>|1−3|=|1−(−1)|，所以y1=y2>y3．15.答案：解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x米，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BD=CD=x米．在Rt△ACD中，∠DAC=31°，AB=20米，AD=AB+BD=(20+x)米，CD=x米，∵tan∠DAC=CDAD，∴x20+x =35，解得x=30，经检验x=30是原方程的解，且符合题意．答：这条河的宽度为30米．解析：本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，锐角三角函数的定义等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．河宽就是点C到AB的距离，因此过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据AB=AD−BD=20，通过解两个直角三角形分别表示AD、BD的方程求解．16.答案：解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，AB=3，则AM=12∵AB//CD，∴点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，OM=√OA2−AM2=4，∴ON=MN−OM=3，在Rt△CON中，CN=√OC2−ON2=4，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=8．解析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理求出OM，根据题意求出ON，根据勾股定理、垂径定理计算即可．本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．17.答案：解：(1)x(x−4)=0；x=0或x−4=0；所以x1=0，x2=4；(2)(2x+5)(2x−5)=0，2x+5=0或2x−5=0，所以x1=−2.5，x2=2.5；(3)将方程整理得2x(x−3)+(x−3)=0；(x−3)⋅(2x+1)=0；x−3=0或2x+1=0；所以x1=3，x2=−1．2解析：本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．(1)利用因式分解法解方程；(2)利用因式分解法解方程；(3)先变形为2x(x−3)+(x−3)=0，然后利用因式分解法解方程．18.答案：解：不正确．改正如下：∵y是x的反比例函数，∴m2−3=−1且m−2≠0，解得．m=±√2．解析：本题主要考查反比例函数的知识，解答本题的关键是知道反比例函数的特点．19.答案：解：∵AC=AB，AB=10，∴AC=10．在Rt△ABD中∵cos∠A=ADAB =45，∴AD=8，∴DC=2．∴BD=√AB2−AD2=6．∴BC=√BD2+DC2=2√10．解析：本题考查了勾股定理，属于基础题．先在Rt△ABD中利用cos∠A的定义可计算出AD的长，再利用勾股定理解答即可．20.答案：解：画树状图得：则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种，所以两次取出的小球标号相同的概率为13．解析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同时的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.答案：解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=70°，∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠D=180°−∠B=110°，∵AD⏜=CD⏜，∴∠DAC=∠DCA=1(180°−110°)=35°，2∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．解析：连结BC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用互余可计算出∠B=70°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠D=180°−∠B=110°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧AD=弧CD得到∠DAC=∠DCA=35°，然后得到∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．22.答案：解：(1)如图1所示：(2)如图2所示：．解析：(1)利用平行四边形的性质结合其面积求法得出答案；(2)利用矩形的性质结合其面积求法得出答案．此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的性质，正确把握相关性质是解题关键．23.答案：解：(1)把A(m,6)，B(3,n)两点分别代入y=−2x+8得6=−2m+8，n=−2×3+8，解得m=1，n=2，∴A点坐标为(1,6)，B点坐标为(3,2)，把A(1,6)代入y=k求得k=1×6=6，x∴反比例函数解析式为y=6；x>0的解集为1<x<3．(2)不等式−2x+8−kx解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力．(1)把A(m,6)，B(3,n)两点分别代入y=−2x+8可求出m、n的值，确定A点坐标为(1,6)，B点坐标为(3,2)，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；(2)观察函数图象得到当1<x<3，一次函数的图象在反比例函数的图象上方．24.答案：解：(1)√2；(2)如图2，∵AB=AC，DE=BD，∴△ABC和△BDE都是等腰三角形，且∠BDE=∠BAC=120°，∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，∴△ABC∽△DBE，∴ABBC =BCBE，∴ABBC =DBBE，∵∠1+∠CBD=∠3+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，∴△CBE∽△ABD，∴CEAD =BEBD，过点D作DM⊥BE于M，∴∠BDM=12∠BDE=60°，BE=2BM，在Rt△BDM中，sin∠BDM=BMBD，∴sin60°=BMBD =√32，∴CEAD =BEBD=2BMBD=√3；(3)2sinα2解析：解：(1)如图1，过点E作EF⊥AC于F，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵DE=BD，∴∠DEB=∠B=45°，∴∠ADE=∠BDE=90°，∵∠A=∠AFE=90°，∴四边形ADEF是矩形，∴AD=EF，∵∠EFC=90°，∠C=45°，∴∠CEF=∠C=45°，∴EF=CF，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CE=√2EF=√2AD，∴CEAD=√2；故答案为：√2；(2)见答案；(3)如图3，∵AB=AC，DE=BD，∴△ABC和△BDE都是等腰三角形，且∠BDE=∠BAC=α，∴∠ABC=∠2=∠DBE=∠4，∴△ABC∽△DBE，∴ABBC =BCBE，∴ABBC =DBBE，∵∠ABC−∠CBD=∠DBE−∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，∴△CBE∽△ABD，∴CEAD =BEBD，过点D作DM⊥BE于M，∴∠BDM=12∠BDE=12α，BE=2BM，在Rt△BDM中，sin∠BDM=BMBD，∴sinα2=BMBD，∴CEAD =BEBD=2BMBD=2sinα2．故答案为：2sinα2．(1)先判断出∠B=∠C=45°，进而判断出∠DEB=∠B=45°，即：∠ADE=∠BDE=90°，再判断出AD=EF，最后用勾股定理即可得出结论；(2)先判断出∠1=∠2=∠3=∠4=30°，进而判断出ABBC =BCBE，再判断出∠ABD=∠CBE，进而得出△CBE∽△ABD，即：CEAD =BEBD，最后构造直角三角形，利用三角函数即可得出结论；(3)同(2)的方法即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，判断出△CBE∽△ABD是解本题的关键．25.答案：解：(Ⅰ)把b=−2，c=1代入y=12x2+bx+c，得到y=12x2−2x+1=12(x−2)2−1，∴抛物线的顶点P的坐标为(2,−1)．(Ⅱ)如图，∵∠ACB=90°，AE=EB，∴CE=12AB，由12x2+bx+c=c+t，解得x=−b±√b2+2t，∴A(−b−√b2+2t,c+t)，B(−b+√b2+2t,c+t)，∴AB=2√b2+2t，∵E(−b,c+t)，C(0,c)，∴CE=√b2+t2∴√b2+t2=√b2+2t，解得t=2或0(舍弃)，∴t=2．(Ⅲ)由题意CD=AE，∵A(−b−√b2+2t,c+t)，E(−b,c+t)，且点A中点E的左侧，∴AE=√b2+2t，∵C(0,c)，D(−2b,c)，∴CD=|−2b|，∴√b2+2t=|−2b|，∴3b2=2t，∵t=2，∴b=±2√3．3解析：(Ⅰ)把b=−2，c=1代入抛物线的解析式，利用配方法求出顶点坐标即可；(Ⅱ)当∠ACB=90°，根据AE=CE，构建方程即可解决问题；(Ⅲ)根据AE=CD，构建方程即可解决问题；本题考查二次函数综合题、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．26.答案：(1)√3t;(2)当点F与落在BC上时，如图1，PA=PF=2t，∴PB=6−2t，∵四边形PDEF是矩形，∴PF//AC，∴∠BPF=∠A=60°，∵∠B=60°，∴△BPF是等边三角形，∴PB=PF，即6−2t=2t，t=3；2(3)分三种情况：①当0<t≤3时，如图2，矩形PDEF与△ABC重叠部分是矩形PDEF，2=PD⋅PF=√3t⋅2t=2√3t2；∴S=S矩形PDEF当E与C重合时，如图3，PF=DC=2t，∵AC=AD+CD=6，∴t+2t=6，t=2；<t≤2时，如图4，矩形PDEF与△ABC重叠部分是五边形PDEHG，②当32∵PB=PG=6−2t，PF=PA=2t，∴GF=PF−PG=2t−(6−2t)=4t−6，Rt △GHF 中，∠GHF =30°，∴FH =√3(4t −6)， ∴S =S 矩形PDEF −S △GFH =2√3t 2−12GF ⋅FH =2√3t2−12⋅(4t −6)⋅√3(4t −6)=−6√3t 2+24√3t −18√3；③当2<t ≤3时，如图5，矩形PDEF 与△ABC 重叠部分是四边形PDCG ，∴S =12(PG +CD)⋅PD =12(6−2t +6−t)⋅√3t =−3√32t 2+6√3t ； 综上，S 与t 之间的函数关系式为：{ S =2√3t 2(0<t ≤32)S =−6√3t 2+24√3t −18√3(32<t ≤2)S =−3√32t 2+6√3t(2<t ≤3) (4)如图6，当S △PFG ：S 矩形PDEF =1：4时，12PF⋅FG PF⋅EF =14， ∴EF =2FG ，即FG =EG ，∵M 是AC 的中点，∴AM =3，∵PF//EM ，∴△PFG∽△MEG ，∴PF EM =FG EG =1， ∴2t 3−3t =1，t =35；如图7，当S △PDM ：S 矩形PDEF =1：4时，12PD⋅DM PD⋅PF =14， ∴PF =DE =2DM ，即DM =EM =t ，∵M 是AC 的中点，∴AM =3，∴AD +DM =3，即2t =3，t =32，综上，t 的值是35秒或32秒．解析：解：(1)由题意得：PA =2t ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =60°，∵PD ⊥AC ，∴∠PDA =90°，∠APD =30°，∴AD =t ，PD =√3t ；故答案为：√3t ；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．(1)根据动点P的运动时间和速度得：AP=2t，根据直角三角形30°的性质可得AD=t，由勾股定理计算PD的长；(2)如图1，根据平行线的性质得：∠BPF=∠B=60°，可知△BPF也是等边三角形，则PB=PF=PA，列方程可得结论；(3)分三种情况：①当0<t≤3时，如图2，矩形PDEF与△ABC重叠部分是矩形PDEF，2<t≤2时，如图4，矩形PDEF与△ABC重叠部分是五边形PDEHG，②当32③当2<t≤3时，如图5，矩形PDEF与△ABC重叠部分是四边形PDCG，分别根据重叠部分的形状求面积；(4)分两种情况：直线PM将矩形PDEF分成两部分的面积比为1：3时，所构成的直角三角形的面积：矩形的面积=1：4，如图6和7，根据面积比分别计算FG和EF的关系，DM与DE的关系，可得结论．本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、矩形的性质、动点运动等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，学会用分类讨论是思想思考问题，属于中考压轴题．。
2020年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷 解析版
2020年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在﹣2，0，﹣1，2这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．22．（3分）2020年4月1日，意大利外长在众议院接受问询时表示，自新冠肺炎疫情暴发以来，意大利总计从海外获得3000万只口罩，其中2200万只来自中国．将2200万用科学记数法表示为（）A．22×106B．2.2×106C．2.2×107D．0.22×1073．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，此立体图形的左视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为（）A．5B．13C．D．5．（3分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠BED 的大小为（）A．80°B．100°C．110°D．105°7．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO 的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．3sinα米C．米D．3cosα米8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（）A．24B．12C．6D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：＝．10．（3分）分解因式：2a﹣2ab＝．11．（3分）不等式7﹣5x≤2的解集是．12．（3分）如图，OA∥CB，OC∥AB．若∠1＝50°，则∠2的大小为度．13．（3分）如图，AB＝4．分别以点A、B为圆心，AB长为半径画圆弧，两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以AB长为半径画圆弧交AC的延长线于点D，连结BD、BC，则△ABD的面积是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a是常数，且a＞0）与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结AC，将线段AC绕点A 顺时针旋转90°，得到线段AD，连结BD．当BD最短时，a的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．16．（6分）小明和小红两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有2个红球，1个白球，除颜色外其余均相同．小明从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；小红再从布袋中随机摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功．用画树状图（或列表）的方法，求两人挑战成功的概率．17．（6分）为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩．已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍．如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．18．（7分）如图，在⊙O中，AB是直径，AP是过点A的切线，点C在⊙O上，点D在AP 上，且AC＝CD，延长DC交AB于点E．（1）求证：CA＝CE．（2）若⊙O的半径为5，∠AEC＝50°，求的长．（结果保留π）19．（7分）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如表统计表．使用次数（次）012345人数（人）11152328203（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的众数是（次）．（2）求这天部分出行学生平均每人使用共享单车的次数．（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC．所画△ABC的面积为．（2）在图②中以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形ABD．（3）在图③中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，其面积为．21．（8分）一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h后两车相遇．图中折线AB﹣BC表示两车之间的路程y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的路程是km，轿车的速度是km/h．（2）求直线BC所对应的函数表达式（3）在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）之间的函数图象．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图②，点F在边CB上，连结EF．若，则EF与AC的关系为．（2）如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线CA﹣AB以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）求点A与BC之间的距离．（2）当BP＝2AQ时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）当线段PQ与△ABC的某条边垂直时，直接写出t的值．24．（12分）已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣1时，①求此函数图象与y轴交点坐标．②当函数y的值随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为．（2）若已知函数经过点（1，5），求k的值，并直接写出当﹣2≤x≤0时函数y的取值范围．（3）要使已知函数y的取值范围内同时含有±2和±4这四个值，直接写出k的取值范围．2020年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在﹣2，0，﹣1，2这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．2【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．【解答】解：﹣2＜﹣1＜0＜2，故选：A．2．（3分）2020年4月1日，意大利外长在众议院接受问询时表示，自新冠肺炎疫情暴发以来，意大利总计从海外获得3000万只口罩，其中2200万只来自中国．将2200万用科学记数法表示为（）A．22×106B．2.2×106C．2.2×107D．0.22×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2200万＝22000000＝2.2×107．故选：C．3．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，此立体图形的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看，所得到的图形即可．【解答】解：该几何体的左视图为故选：D．4．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为（）A．5B．13C．D．【分析】直接利用b2﹣4ac的值即可．【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝32﹣4×1×（﹣1）＝13．故选：B．5．（3分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题的等量关系是：木长+4.5＝绳长；×绳长+1＝木长，据此可列方程组即可．【解答】解：设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意可得，，故选：A．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠BED 的大小为（）A．80°B．100°C．110°D．105°【分析】由圆周角定理推知∠A＝∠D＝50°，再根据三角形内角和定理求得即可．【解答】解：如图，∵∠A＝50°，∴∠D＝∠A＝50°．又∵∠B＝30°，∴∠BED＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，故选：B．7．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO 的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．3sinα米C．米D．3cosα米【分析】根据直角三角形的解法解答即可．【解答】解：栏杆A端升高的高度＝AO•sin∠AOA′＝3sinα（米），故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，求得AB．再设B点的横坐标为t，则E点坐标（t+2，2），根据点B、E在反比例函数y＝的图象上，列出t的方程，即可求出k．【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，∴正方形ADEF的边长为2，∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t+2，2），∵点B、E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6t＝2（t+2），解得t＝1，k＝6．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：＝．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：＝3﹣＝2．故答案为：2．10．（3分）分解因式：2a﹣2ab＝2a（1﹣b）．【分析】直接提公因式2a即可．【解答】解：原式＝2a•1﹣2a•b＝2a（1﹣b），故答案为：2a（1﹣b）．11．（3分）不等式7﹣5x≤2的解集是x≥1．【分析】移项，合并同类项即可求解．【解答】解：7﹣5x≤2，移项得：﹣5x≤2﹣7，则﹣5x≤﹣5．所以x≥1，故答案是：x≥1．12．（3分）如图，OA∥CB，OC∥AB．若∠1＝50°，则∠2的大小为130度．【分析】根据平行线的性质先求出∠O的大小，再根据平行线的性质先求出∠2的大小．【解答】解：∵OC∥AB，∠1＝50°，∴∠O＝50°，∵OA∥CB，∴∠2＝130°．故答案为：130．13．（3分）如图，AB＝4．分别以点A、B为圆心，AB长为半径画圆弧，两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以AB长为半径画圆弧交AC的延长线于点D，连结BD、BC，则△ABD的面积是8．【分析】根据作图过程可得AB＝AC＝BC＝CD＝4，所以三角形ABC是等边三角形，△ABD是直角三角形，进而可求BD的长，最后求出三角形ABD的面积．【解答】解：根据作图过程可知：AB＝AC＝BC＝4，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BC＝CD∴∠D＝∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，∴BD＝4，∴S△ABD＝AB•BD＝4×4＝8．故答案为：8．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a是常数，且a＞0）与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结AC，将线段AC绕点A 顺时针旋转90°，得到线段AD，连结BD．当BD最短时，a的值为．【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，令y＝0得关于x的方程，解得x的值，则可知点A、点B的坐标及OA、OB的长，再证明△ACO≌△DAE（AAS），从而可用含a的式子表示出DE和BE的长，然后在Rt△BDE中，由勾股定理得出关于a的不等式，则可得a的最小值．【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°，令y＝0得：ax2﹣4ax+3a＝0，解得：x1＝1，x2＝3．∴OA＝1，OB＝3，令x＝0，得：C（0，3a）．∵旋转，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAE＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠DAE＝∠ACO，在△ACO和△DAE中，∴△ACO≌△DAE（AAS）．∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝3a，∴BE＝AE﹣AB＝3a﹣2，∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＝BE2+DE2＝（3a﹣2）2+1≥1．当3a﹣2＝0，即a＝时，BD取得最小值．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：（3x﹣1）2﹣x（9x+2）＝9x2﹣6x+1﹣9x2﹣2x＝﹣8x+1，当x＝时，原式＝﹣8×+1＝﹣3+1＝﹣2．16．（6分）小明和小红两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有2个红球，1个白球，除颜色外其余均相同．小明从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；小红再从布袋中随机摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功．用画树状图（或列表）的方法，求两人挑战成功的概率．【分析】用列表法列举出所有等可能出现的结果，从中找出颜色相同的结果数，进而求出概率．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：由表可知，共有9种等可能出现的结果，其中颜色相同的有5种，∴两人挑战成功的概率为．17．（6分）为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩．已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍．如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．【分析】设甲车间每天生产这种防护型口罩x万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩2x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两车间各自生产600万只防护型口罩时乙车间比甲车间少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲车间每天生产这种防护型口罩x万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩2x万只，依题意，得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意．答：甲车间每天生产这种防护型口罩50万只．18．（7分）如图，在⊙O中，AB是直径，AP是过点A的切线，点C在⊙O上，点D在AP 上，且AC＝CD，延长DC交AB于点E．（1）求证：CA＝CE．（2）若⊙O的半径为5，∠AEC＝50°，求的长．（结果保留π）【分析】（1）由切线的性质可得∠BAD＝90°，根据等角的余角相等可证得∠CAE＝∠AEC，从而根据等角对等边可得结论；（2）连接OC，先求得∠AOC＝80°．再利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AP是过点A的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠AED+∠EDA＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠CAE＝∠AEC，∴CA＝CE．（2）连接OC，∵∠AEC＝50°，∠CAE＝∠AEC，∴∠EAC＝50°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠EAC＝50°，∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠EAC＝80°．∴的长为：＝．19．（7分）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如表统计表．使用次数（次）012345人数（人）11152328203（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的众数是3（次）．（2）求这天部分出行学生平均每人使用共享单车的次数．（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？【分析】（1）根据众数的定义求解可得；（2）根据加权平均数的公式列式计算即可；（3）用总人数乘以样本中使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生所占比例即可得．【解答】解：（1）∵使用次数为3次的有28人，次数最多，∴众数为3次，故答案为：3；（2）总人数为11+15+23+28+20+3＝100，（0×11+1×15+2×23+3×28+4×20+5×3）÷100＝2.4（次），答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车2.4次；（3）1500×＝765（人），答：估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有765人．20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC．所画△ABC的面积为．（2）在图②中以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形ABD．（3）在图③中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，其面积为．【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形即可；（2）根据等腰三角形的性质和进行的性质画出图形即可；（3）根据等腰直角三角形的性质和平行线等分线段定理画出图形即可．【解答】解：（1）如图①所示，△ABC即为所求，△ABC的面积为＝，故答案为：；（2）如图②所示，△ABD即为所求；（3）如图③所示，△ABE即为所求．21．（8分）一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h后两车相遇．图中折线AB﹣BC表示两车之间的路程y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的路程是150km，轿车的速度是75km/h．（2）求直线BC所对应的函数表达式（3）在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）之间的函数图象．【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所表示的函数表达式；（3）根据题意和函数图象可以中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图象．【解答】解：（1）由题意可得，甲乙两地之间的距离是150km，轿车的速度是；（150﹣50×1.8）÷0.8＝75（km/h），故答案为：150，75；（2）点B的纵坐标是：150﹣50×1＝100，∴点B的坐标为（1，100），设线段BC所表示的函数表达式是y＝kx+b，，解得，∴线段BC所表示的函数表达式是y＝﹣125x+225；（3）货车到达乙地用的时间为：150÷50＝3（小时），轿车到达甲地用的时间为：150÷75＝2（小时），因为货车提前1小时出发，所以它们同时到达目的地，货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图象如右图所示．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图②，点F在边CB上，连结EF．若，则EF与AC的关系为EF∥AC，EF＝AC．（2）如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为﹣≤BH≤+．【分析】定理证明：如图①中，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF，利用全等三角形的性质证明四边形BDFC是平行四边形即可解决问题．定理应用：（1）如图②中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．直接应用三角形的中位线定理解决问题即可．（2）如图③中，延长CB到T，连接AT，TE′．由三角形的中位线定理可知BH＝TE′，求出TE′的取值范围即可解决问题．【解答】解：定理证明：如图①中，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB，又∵AD＝BD，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC．定理应用：（1）如图②中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝AC，EF∥MN，EF＝MN，∴EF∥AC，EF＝AC．故答案为：EF∥AC，EF＝AC．（2）如图③中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝＝＝2，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴2﹣3≤TE′≤2+3，∴﹣≤BH≤+．故答案为：﹣≤BH≤+．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线CA﹣AB以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）求点A与BC之间的距离．（2）当BP＝2AQ时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）当线段PQ与△ABC的某条边垂直时，直接写出t的值．【分析】（1）如图1中，作AD⊥BC于D．利用等腰三角形的三线合一以及勾股定理求解即可．（2）如图2，3中，分点Q在线段AC或线段AB上两种情形分别构建方程求解即可．（3）如图2，3中分点Q在线段AC或线段AB上两种情形分别求解即可．（4）分两种情形：①点Q在线段AC上，考虑PQ⊥AC或PQ⊥求解，②点Q在线段AB上，考虑PQ⊥AB求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作AD⊥BC于D．∴AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，答：点A与BC之间的距离为4．（2）如图2中，当点Q在线段AC上时，∵BP＝2AQ，∴2t＝2（5﹣5t），∴t＝．如图3中，当点Q在线段AB上时，∵BP＝2AQ，∴2t＝2×[5（t﹣1）﹣5]，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．（3）①如图2中，当0＜t≤1时，作QH⊥BC于H，则QH＝CQ•sin C＝4t，S＝•BP•QH＝×2t×4t＝4t2．②当1＜t≤2时，S＝•BP•AD＝×2t×4＝4t．③如图3中，当2＜t＜3时，作QH⊥BC于H，则QH＝BQ•sin B＝[10﹣5（t﹣1）]＝12﹣4t，∴S＝•BP•QH＝×2t×（12﹣4t）＝﹣4t2+12t．综上所述，S＝．（4）①点Q在AC上，当PQ⊥AC时，由cos C＝＝，可得＝，解得t＝，当Q⊥BC时，由cos C＝＝，可得＝，解得t＝＞1不符合题意舍弃．当t＝1.5时，点Q与A重合，点P与D重合，此时PQ⊥BC．②点Q在AB上，当PQ⊥AB时，由cos B＝，可得＝，∴＝，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或1.5或．24．（12分）已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣1时，①求此函数图象与y轴交点坐标．②当函数y的值随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为x≤﹣1或x≥1．（2）若已知函数经过点（1，5），求k的值，并直接写出当﹣2≤x≤0时函数y的取值范围．（3）要使已知函数y的取值范围内同时含有±2和±4这四个值，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①把k＝﹣1代入函数关系式，令x＝0求出y的值即可得到结论；②把①中的函数关系式配方成顶点式即可求出结论；（2）根据题意分k＜1和k≥1两种情况求出k的值，再根据当﹣2≤x≤0时求出函数y的取值范围；（3）画出函数图象，运用数形结合法求解即可．【解答】解：（1）当k＝﹣1时，，①当x＝0时，y＝3，∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）；②，x≤﹣1时，y随x的增大而增大；x＞﹣1时，当x≥1时，y随x的增大而增大；综上所述，当x≤﹣1或x≥1时，y随x的增大而增大；故答案为：x≤﹣1或x≥1．（2）当k＜1时，1+2k+k2﹣2k＝5，∴k2＝4，∴k＝﹣2．∴，当x＝﹣2时，y＝﹣4；当﹣2≤x≤0时，y＝（x﹣2）2+4，∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝2，∴当﹣2＜x≤0时，8≤y＜20；②当k≥1时，k2﹣4k+6＝0无实数解；综上：当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是y＝﹣4或8≤y＜20；（3）由题意得，，当k≤0时，则y＝﹣（x﹣k）2+2k（x≤2k），最大值2k≥﹣2，即k≥﹣1，∴﹣1≤k≤0；当0＜k＜2时，即2k＜4，则当x＞k时，y＝（x+k）2﹣2k（x＞k），最小值＜4即可；将x＝k，y＝4代入得4k2﹣2k＝4，解得，，（舍去），∴；当k≥2时，y＝﹣（x﹣k）2+2k（x≤k）最大值2k≥2，如图，此时，图象左右两边最大值不小于4，∴k≥2，综上，或k≥2．。
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣12．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×1033．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．10．因式分解：m2﹣4m+4＝．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为米/分，无人机在40米的高度上飞行了分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．2．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×103【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．10的指数n＝原来的整数位数﹣1．解：42000＝4.2×104，故选：B．3．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．【分析】找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．解：各选项中只有选项D从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，1，故选：D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的基本性质，移项后再除以2，不等号的方向不变．解：移项，得2x≤2，系数化为1，得x≤1，不等式的解集在数轴上表示如下：．故选：D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得，故选：C．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选：C．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．【分析】作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝32°，AB＝50×16＝800（米），sin∠BAC＝，∴BC＝sin∠BAC•AB＝800•sin32°．故选：A．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），进而可得出结论．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，∴S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），∴AO：BO＝1：，∵OB：OA＝2，∴a＝﹣4，故选：A．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．解：原式＝2﹣＝．故答案为：．10．因式分解：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．解：原式＝（m﹣2）2．故答案为：（m﹣2）2．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为﹣．【分析】根据关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根可得△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，∴9+8k＝0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝30°．【分析】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．解：作出辅助线如图：则∠2＝42°，∠1＝∠3，∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠3＝30°，∴∠1＝∠3＝30°．故答案为：30°．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为（16+3）cm．【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD＝10，进而得出A′C＝16，从而得出FA″＝3，得出答案即可．解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．∴AD＝10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C＝16，∴AO＝A″O＝6，则钟面显示3点55分时，∠A″OA′＝45°，∴FA″＝3，∴A点距桌面的高度为：16+3（cm）．故答案为：（）．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为6．【分析】设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性结合BC═2（AE+AF），即可求出结论．解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解：原式＝a2﹣2a+1﹣2a2+2a+4a2﹣1＝3a2，当a＝时，原式＝3×5＝15．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．【分析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：根据题意，列表如下：1271238234978914所以P（两次抽取的卡片上数字之和为偶数）＝．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．【分析】设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为1.4x 元/个，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进了10000个，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为 1.4x 元/个，依题意，得：，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．答；该爱心人士第一次购进口罩的单价为5元/个．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．【分析】（1）连接OD，如图，由切线的性质得到OD⊥BC，则OD∥AC，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ODA，由∠ODA＝∠OAD，所以∠CAD＝∠DAE；（2）由（1）知，∠FAE＝50°，由弧长公式可得答案．解：（1）如图，连结OD，∵⊙O与边BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠ODB＝90°，∴OD∥AC．∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）如图，连结OF，∵AD平分∠BAC，且∠CAD＝25°，∴12﹣3＝9，∴∠EOF＝100°，∴的长为．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×＝100（名），答：该部门生产能手有100名工人．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质画图即可；（2）根据相似三角形的性质，构造相似三角形即可；（3）由相似三角形的性质，构造相似三角形即可．解：（1）如图①所示，点C即为所求；（2）如图②所示，点M即为所求；（3）如图③所示，点P即为所求．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为20米/分，无人机在40米的高度上飞行了3分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．【分析】（1）利用图象信息，根据速度＝计算即可解决问题；（2）利用待定系数法即可解决问题；（3）求出无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），分两种情形构建方程即可解决问题；解：（1）无人机上升的速度为＝20米/分，无人机在40米的高度上飞行了6﹣1﹣2＝3分．故答案为20，3；（2）设y＝kx+b，把（9，60）和（12，0）代入得到，解得，∴无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+240．（3）易知无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），由20x﹣60＝50，解得x＝5.5，由﹣20x+240＝50，解得x＝9.5，综上所述，无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为6．【分析】教材呈现：如图①中，证明△PAC≌△PBC即可解决问题．定理应用：（1）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可．【解答】教材呈现：解：如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）证明：如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，∴OA＝OB，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（2）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝18，∴DE＝AC＝6．故答案为6．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．【分析】（1）分0＜t≤3时，3＜t≤7时，两种情形分别求解即可．（2）分两种情形①如图2中，当点N在AC上时，②如图3中，当点N在BC上时，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）分三种情形：①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，②如图5或6中．当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN．③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，分别求解即可．（4）分三种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．解：（1）如图1中，作CD′⊥AB于D．∵∠B＝45°，BC＝4，∴CD′＝BD′＝4，∴AD′＝＝＝3，∵AD＝3，∴AD＝AD′，∴D′与D重合，当0＜t≤3时，PD＝3﹣t．当3＜t≤7时，PD＝t﹣3；（2）①如图2中，当点N在AC上时，∵MN∥AD，∴，∴，解得t＝；②如图3中，当点N在BC上时，∵MN∥BD，∴，∴，解得t＝5；综上所述，满足条件的t的值为s或5s．（3）①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣•（3﹣t﹣t）2＝﹣t+；②如图5或6中，当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN，S＝t2﹣6t+9③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t ﹣3）2﹣•[（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．综上所述，S＝．（4）如图8中，当点N′落在中线AE上时，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵JN′∥EK，∴，则，解得t＝1；如图9中，当点N′落在中线BG上时，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵N′J∥GK，∴，∴，解得t＝；如图10中，当点N′落在中线CF上时，∵MN′∥DF，∴，∴＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为1s或s或s．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．【分析】（1）由题意即可求解；（2）分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可；（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，CD＝DD′，即可求解；（4）通先分段表示出y'，进而确定出最大值，最后用m的范围建立不等式组，即可得出结论．解：（1）由题意得：点A'的坐标为（2，1）（2）①当m≥0时，m+1＝2，m＝1∴B（1，2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴k+3＝2，解得：k＝﹣1∴一次函数解析式为y＝﹣x+3②m＜0时，m+1＝﹣2，m＝﹣3∴B（﹣3，﹣2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴﹣3k+3＝﹣2解得：k＝一次函数解析式为y＝x+3．（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，∴点C的坐标为（n，﹣n2+4），∴点D的坐标为（﹣n，﹣n2+4），D′（﹣n，n2﹣4）∵CD＝DD′，∴2n＝2（﹣n2+4），解得：n＝；∵点C在第一象限，∴D′的横坐标为；（4）当﹣1≤x≤0时，y'＝x2﹣n，此时，﹣n≤y'≤1﹣n，当0≤x≤2时，y'＝﹣x2+n，此时，n﹣4≤y'≤n，当n≥1﹣n时，即：n≥，y'的最大值是n，①∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤n≤3，当n＜时，y'最大值为1﹣n，②∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤1﹣n≤3，∴﹣2≤n≤0，∴n的取值范围应为1≤n≤3或﹣2≤n≤0．。
2020年吉林省吉林市中考数学一模试卷（含答案解析）
2020年吉林省吉林市中考数学⼀模试卷（含答案解析）2020年吉林省吉林市中考数学⼀模试卷⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，共12.0分）1.下列计算错误的是()A. (?1)2018=1B. ?3?2=?1C. (?1)×3=?3D. 0×2017×(?2018)=02.下图是⼀个由4个相同的正⽅体组成的⽴体图形，它的左视图是()A. B. C. D.3.计算(x2)2的结果是()A. x2B. x4C. x6D. x84.如图，直线AB//CD，如果∠1=70°，那么∠BOF的度数是()A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°5.如图，△ABC是⊙O的内接三⾓形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()A. 45°B. 85°C. 90°D. 95°6.如图，在菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线交于点F，若∠BCF=90°，则∠D的度数为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，共24.0分）7.近年来，党和国家⾼度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约有65000000⼈脱贫，65000000⽤科学记数法表⽰为_______．8.因式分解：2a3?32a=______．=______．9.计算：2√48÷√6?2√2?110.不等式组{x?2≤1x+3>2的解集为______．11.在墙壁上固定⼀根横放的⽊条，则⾄少需要2枚钉⼦，正确解释这⼀现象的数学知识是______．12.如图∠AOB=30°，点C在OB上，OC=8，以点C为圆⼼、R为半径的圆与OA相切，则R=______．13.已知点A(4,x)，B(y,?3)，若AB//x轴，且线段AB的长为5，则xy=______．14.如图，矩形纸⽚ABCD中，AB=6，BC=9，将矩形纸⽚ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为________．三、解答题（本⼤题共12⼩题，共84.0分）15.先化简，再求值：(1a+2?1)÷a2?1a+2，其中a=√3+116.《孙⼦算经》是中国传统数学中最重要的著作，其中记载了这样⼀个问题：“今有⽊，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不⾜⼀尺．问⽊长⼏何？”译⽂：“⽤⼀根绳⼦去量⼀根长⽊，绳⼦还剩余4.5尺，将绳⼦对折再量长⽊，长⽊还剩余1尺，问长⽊长多少尺？”17.⼀个不透明的⼝袋中有三个⼩球，上⾯分别标有数字1，2，3，每个⼩球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个⼩球，记下数字后放回；⼄再从袋中随机取出1个⼩球记下数字．(1)⽤画树形图或列表的⽅法，求取出的两个⼩球上的数字之和为3的概率；(2)求取出的两个⼩球的数字之和⼤于4的概率．18.已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE⊥CA，且AE=BC，点D在AC上，且AD=AB，求证：DE//AB．19.如图所⽰，在边长为1个单位的正⽅形⽹格中建⽴平⾯直⾓坐标系，△ABC的顶点均在格点上．(1)△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，画出△A1B1C1(2)将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1；并直接写出点A2、B2的坐标．20.每年11⽉9⽇为消防宣传⽇，今年“119”消防宣传⽉活动的主题是“全民参与，防治⽕灾”.为响应该主题，吴兴区消防⼤队到某中学进⾏消防演习．图1是⼀辆登⾼云梯消防车的实物图，图2是其⼯作⽰意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地⾯BD的⾼度AH为5.2m.当起重臂AC长度为16m，张⾓∠HAC为130°时，求操作平台C离地⾯的⾼度(结果精确到0.1m)(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)21.某校组织九年级的三个班级进⾏趣味数学竞赛活动，各班根据初赛成绩分别选拔了10名同学参加决赛，决赛成绩(满分：10分)如下表所⽰：班级决赛成绩(单位：分)⼀班55677888910⼆班46777999 10 10三班567789991010(1)把下表补充完整(单位：分)，其中a=______，b=______，c=______；班级平均分中位数众数⼀班7.3a8⼆班7.88b三班c8.59(2)8统计量进⾏说明；(3)为了在全市竞赛中取得好成绩，你认为应选派哪个班级代表学校去参加全市的竞赛？为什么？22.如图1，直线y=kx?2k(k<0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，AB=2√5．(1)求A、B两点的坐标．(2)如图2，以AB为边，在第⼀象限内画出正⽅形ABCD，并求直线CD的解析式．23.甲、⼄两组同时加⼯某种零件，⼄组⼯作中有⼀次停产更换设备，更换设备后，⼄组的⼯作效率是原来的2倍．两组各⾃加⼯零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所⽰．(1)直接写出甲组加⼯零件的数量y与时间x之间的函数关系式______；(2)求⼄组加⼯零件总量a的值；(3)甲、⼄两组加⼯出的零件合在⼀起装箱，每满300件装⼀箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？24.如图1，直⾓三⾓形ABC中，∠C=90°，CB=1，∠BCA=30°．(1)求AB、AC的长；(2)如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．25. 如图(1)，AB =4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC =BD =3cm.点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t(s)．(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；(2)如图(2)，将图(1)中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB =∠DBA =60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．26. 23.已知⼆次函数y =x 2+bx ?34的图像经过点(2,54).(1)求这个⼆次函数的函数解析式；(2)若抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，顶点为D ，求以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形⾯积．。
吉林省吉林市2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
吉林省吉林市2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．y ＝﹣2x 2+1B ．y ＝﹣2x 2﹣1C ．y ＝﹣2（x+1）2D ．y ＝﹣2（x ﹣1）22．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是( ) A ．一组对边平行，另一组对边相等 B ．一组对边相等，一组对角相等C ．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D ．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线3．一副直角三角板如图放置，其中C DFE 90∠=∠=o ，45A ∠=︒，60E ∠=︒，点F 在CB 的延长线上若//DE CF ，则BDF ∠等于（ ）A ．35°B ．25°C ．30°D ．15°4．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE=EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交 AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG V ≌FDG △；②2GB AG =；③∠GDE=45°；④DG=DE 在以上4个结论中，正确的共有()个A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个5．下列说法不正确的是（ ）A ．选举中，人们通常最关心的数据是众数B ．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大C ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S 甲2=0.4，S 乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定D ．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是46．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若一组数据1、a 、2、3、4的平均数与中位数相同，则a 不可能．．．是下列选项中的（ ） A ．0B ．2.5C ．3D ．58．下列计算正确的是( ) A ．326⨯=B ．3+25=C ．()222-=- D ．2+2=29．一次函数y=kx ﹣1的图象经过点P ，且y 的值随x 值的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ） A ．（﹣5，3）B ．（1，﹣3）C ．（2，2）D ．（5，﹣1）10．如图，将一副三角板如此摆放，使得BO 和CD 平行，则∠AOD 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°11．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ） A ．49B ．112C ．13D ．1612．有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是( ) ①b ＜0＜a ； ②|b|＜|a|； ③ab ＞0； ④a ﹣b ＞a+b ．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知平面直角坐标系中的点A （2，﹣4）与点B 关于原点中心对称，则点B 的坐标为_____ 14．已知数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，则一组新数据x 1+8,x 2+8,…,x n +8的平均数是____.15．已知抛物线23y x mx =--与直线25y x m =-在22x -<…之间有且只有一个公共点，则m 的取值范围是__．16．估计无理数11在连续整数___与____之间．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．18．如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过点A 作x轴的垂线交x轴于点B，连结BC，则△ABC的面积等于_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日在海南博鳌拉开帷幕，组委会在会议中心的墙壁上悬挂会旗，已知矩形DCFE的两边DE，DC长分别为1.6m，1.2m．旗杆DB的长度为2m，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°．当会旗展开时，如图所示，（1）求DF的长；（2）求点E到墙壁AB所在直线的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）20．（6分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？21．（6分）如图，△DEF是由△ABC通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心．22．（8分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长(≈1.73)．23．（8分）海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．24．（10分）如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37°=cot53°≈0.755，cot37°=tan53°≈1.327，tan32°=cot58°≈0.625，cot32°=tan58°≈1.1．）25．（10分）知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43)26．（12分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？27．（12分）在正方形ABCD中，AB＝4cm，AC为对角线，AC上有一动点P，M是AB边的中点，连接PM、PB，设A、P两点间的距离为xcm，PM＋PB长度为ycm.小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm 0 1 2 3 4 5y/cm 6.0 4.8 4.5 6.0 7.4（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM＋PB的长度最小值约为______cm.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．A 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y ＝﹣2x 2+1． 故选A ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 2．C 【解析】A 、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．B 、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．C 、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．D 、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行． 故选C ． 3．D 【解析】【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°， ∵DE ∥CB ，∴∠BDE=∠ABC=45°， ∴∠BDF=45°BDF=45°-30°-30°-30°=15°=15°． 故选D ． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE 的度数是解题关键． 4．C 【解析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF ，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG ≌△FDG ，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF ，△BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，根据全等三角形性质可求得∠GDE=12ADC ∠=45〫，再抓住△BEF 是等腰三角形，而△GED 显然不是等腰三角形，判断④是错误的．【详解】由折叠可知，DF=DC=DA ，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， ∴△ADG ≌△FDG ，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x ，则EG=x+6，BG=12﹣x ， 由勾股定理得：EG 2=BE 2+BG 2， 即：（x+6）2=62+（12﹣x ）2， 解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG ，②正确； ∵△ADG ≌△FDG ，△DCE ≌△DFE ， ∴∠ADG=∠FDG FDG,,∠FDE=∠CDE ∴∠GDE=12ADC ∠=45〫.③正确；BE=EF=6，△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，④错误； ∴正确说法是①②③ 故选：C【点睛】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定的难度． 5．D 【解析】试题分析：A 、选举中，人们通常最关心的数据为出现次数最多的数，所以A 选项的说法正确； B 、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，由于奇数由3个，而偶数有2个，则取得奇数的可能性比较大，所以B 选项的说法正确；C 、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S 甲2=0.4，S 乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，所以C 选项的说法正确；D 、数据3，5，4，1，﹣2由小到大排列为﹣2，1，3，4，5，所以中位数是3，所以D 选项的说法错误． 故选D ．考点：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法 6．B 【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．7．C【解析】【详解】解：这组数据1、a、2、1、4的平均数为：（1+a+2+1+4）÷5=（a+10）÷5=0.2a+2，（1）将这组数据从小到大的顺序排列后为a，1，2，1，4，中位数是2，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=2，解得a=0，符合排列顺序．（2）将这组数据从小到大的顺序排列后为1，a，2，1，4，中位数是2，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=2，解得a=0，不符合排列顺序．（1）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，a，1，4，中位数是a，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=a，解得a=2.5，符合排列顺序．（4）将这组数据从小到大的顺序排列后为1，2，1，a，4，中位数是1，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=1，解得a=5，不符合排列顺序．（5）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，1，4，a，中位数是1，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=1，解得a=5；符合排列顺序；综上，可得：a=0、2.5或5，∴a不可能是1．故选C．【点睛】本题考查中位数；算术平均数．8．A【解析】【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【详解】，正确；A、原式=23=6B 、原式不能合并，错误；C 、原式=()222-=，错误；D 、原式=22，错误． 故选A ． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据函数图象的性质判断系数k ＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y 轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论． 【详解】∵一次函数y=kx ﹣1的图象的y 的值随x 值的增大而增大，∴k ＞0，A 、把点（﹣5，3）代入y=kx ﹣1得到：k=﹣45＜0，不符合题意；B 、把点（1，﹣3）代入y=kx ﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；C 、把点（2，2）代入y=kx ﹣1得到：k=32＞0，符合题意； D 、把点（5，﹣1）代入y=kx ﹣1得到：k=0，不符合题意， 故选C ．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k ＞0是解题的关键．10．B 【解析】 【分析】根据题意可知，∠AOB=∠ABO=45°，∠DOC=30°，再根据平行线的性质即可解答【详解】根据题意可知∠AOB=∠ABO=45°，∠DOC=30° ∵BO ∥CD∴∠BOC=∠DCO=90°∴∠AOD=∠BOC-∠AOB-∠DOC=90°DOC=90°-45°-45°-45°-30°-30°-30°=15°=15° 故选B 【点睛】此题考查三角形内角和，平行线的性质，解题关键在于利用平行线的性质得到角相等 11．C【解析】 画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况， ∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：2163=. 故选C.【点睛】运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 12．B 【解析】分析：本题是考察数轴上的点的大小的关系. 解析：由图知，b<0<a ，故①正确，因为b 点到原点的距离远，所以|b|>|a|,故②错误，因为b<0<a ，所以ab<0，故③错误，由①知a-b>a+b ，所以④正确.故选B.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．（﹣2，4） 【解析】 【分析】根据点P(x,y)关于原点对称的点为（-x,-y ）即可得解． 【详解】解：∵点A （2，-4）与点B 关于原点中心对称， ∴点B 的坐标为：（-2，4）． 故答案为：（-2，4）． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 14．8x + 【解析】 【分析】根据数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x =1n（x 1+x 2+…+x n ），即可求出数据x 1+1，x 2+1，…，x n +1的平均数．【详解】数据x 1+1，x 2+1，…，x n +1的平均数=1n （x 1+1+x 2+1+…+x n +1）=1n（x 1+x 2+…+x n ）+1=x +1． 故答案为x +1． 【点睛】本题考查了平均数的概念，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标． 15．517m -<…或843m =-． 【解析】 【分析】联立方程可得2(2)530x m x m -++-=，设2(2)53y x m x m =-++-，从而得出2(2)53y x m x m=-++-的图象在22x -<…上与x 轴只有一个交点，当△0=时，求出此时m 的值；当△0>时，要使在22x -<…之间有且只有一个公共点，则当x=-2时和x=2时y 的值异号，从而求出m 的取值范围； 【详解】联立2325y x mx y x m⎧=--⎨=-⎩可得：2(2)530x m x m -++-=，令2(2)53y x m x m =-++-，∴抛物线23y x mx =--与直线25y x m =-在22x -<…之间有且只有一个公共点，即2(2)53y x m x m =-++-的图象在22x -<…上与x 轴只有一个交点，当△0=时，即△2(2)4(53)0m m =+--=解得：843m =±， 当843m =+时，252322m x +==+>当843m =-时，25232m x +==-，满足题意，当△0>时，∴令2x =-，75y m =+，令2x =，33y m =-，(75)(33)0m m ∴+-<，∴517m -<<令2x =-代入20(2)53x m x m =-++- 解得：57m =-， 此方程的另外一个根为：237-，故57m =-也满足题意， 故m 的取值范围为：517m -<…或843m =-故答案为:517m -<…或843m =-. 【点睛】此题考查的是根据二次函数与一次函数的交点问题，求函数中参数的取值范围，掌握把函数的交点问题转化为一元二次方程解的问题是解决此题的关键． 16．3 4 【解析】 【分析】先找到与11相邻的平方数9和16,求出算术平方根即可解题. 【详解】解：∵91116<<, ∴3114<<,∴无理数11在连续整数3与4之间． 【点睛】本题考查了无理数的估值,属于简单题,熟记平方数是解题关键.17．1．【解析】试题分析：∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，∴△ABC ≌△BDE ，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm ，∴△BCD 为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm ，在Rt △ACB 中，AB=22AC BC +=22512+=13，△ACF 与△BDF 的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），故答案为1．考点：旋转的性质．18．1．【解析】【分析】根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△BOC=S△AOC，再利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC=3，则易得S△ABC=1．【详解】∵双曲线y=与正比例函数y=kx的图象交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC=S△AOC，∵S△AOC=×1=3，∴S△ABC=2S△AOC=1．故答案为1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）1m．（1）1.5 m．【解析】【分析】(1)由题意知ED=1.6m,BD=1m,利用勾股定理得出DF=221.6 1.2求出即可;(1) 分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分别为点M、N、H，利用sin∠DBM=及cos∠DEH=，可求出EH,HN即可得出答案.【详解】解：（1）在Rt△DEF中，由题意知ED=1.6 m，BD=1 m，DF==1．答：DF长为1m．（1）分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分别为点M、N、H，在Rt△DBM中，sin∠DBM=，∴DM=1•sin35°≈1.2．∵∠EDC=∠CNB，∠DCE=∠NCB，∴∠EDC=∠CBN=35°，在Rt△DEH中，cos∠DEH=，∴EH=1.6•cos35°≈1.3．∴EN=EH+HN=1.3+1.2=1.45≈1.5m．答：E点离墙面AB的最远距离为1.5 m．【点睛】本题主要考查三角函数的知识，牢记公式并灵活运用是解题的关键。
2020年吉林省长春市新区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市新区中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．02．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010 3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a25．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为（）A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1 7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）比较大小：2（填“＞”、“＜”或“＝”）10．（3分）分解因式：a2﹣9＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（写出一个即可）．12．（3分）如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，若∠CBA＝43°，则∠PAC的大小为度．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是AB上一点，连结CE，将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，则△AEF的面积为．14．（3分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加米．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣3，b＝．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字﹣2、0、1，每个小球除数字不同外其余均相同，小致先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率．17．（6分）某市为落实“2020脱贫攻坚政策”，甲工程队计划将该市的900套老旧房屋进行翻新改造，为尽快完成任务，实际每天翻新改造的数量是原来计划的1.5倍，结果提前30天完成任务，求甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋的数量．18．（7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝，则线段BP的长为．19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．20．（7分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代码A B C D E F G H实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5一分钟仰卧起*4247*4752*49坐其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．21．（8分）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200km外的B地输送紧急物资，甲在途中休息了3小时，休息前后的速度不同，最后两车同时到达B地，如图甲、乙两车到A地的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）甲车休息前的行驶速度为千米/时，乙车的速度为千米/时；（2）当9≤x≤15，求甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式；（3）直接写出甲出发多长时间与乙在途中相遇．22．（9分）问题呈现：下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，求证：PM＝PN．小致的思考：要证明PM＝PM，只需证明△POM≌△PON即可．请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，求证：PC＝PD．（2）在（1）的条件下，如图③，若AB＝10，tan∠PAB＝，当△PBC有一个内角是45°时，△PAD的面积是．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S ＞0），点P的运动时间为t秒．（1）①BC的长为；②用含t的代数式表示线段PQ的长为．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y＝（m为常数）．（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．0【分析】被遮挡的左边是整数﹣2，右边是0，因此被遮挡的整数是﹣1，再求相反数即可．解：被遮住的左边是整数﹣2，右边是0，因此被遮挡的整数是﹣1，﹣1的相反数是1，故选：A．2．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：7 810 000 000＝7.81×109．故选：B．3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：这个立体图形的俯视图有两层，上层三个正方形，下层一个正方形，右齐．故选：D．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a2【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得．解：A、6a表示6×a，此选项不符合题意；B、a2•a3＝a5，此选项不符合题意；C、（a3）2＝a6，此选项符合题意；D、a12÷a2＝a10，此选项不符合题意；故选：C．5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据怪兽和怪鸟的头数及脚数，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．解：依题意，得：．故选：C．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为（）A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1【分析】根据题意可得，四边形ABDC是矩形，根据锐角三角函数即可表示旗杆PA的高度．解：根据题意可知：四边形ABDC是矩形，∴∠PCD＝90°，AC＝BD＝1，在Rt△PCD中，PC＝CD tanα＝5tanα，∴PA＝PC+AC＝5tanα+1．答：旗杆PA的高度表示为5tanα+1．故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠ABN的度数，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．解：∵AB＝BN，∠A＝74°，∴∠ANB＝74°，∠ABN＝180°﹣2×74°＝32°，由作图痕迹可得，BN平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABN＝64°，∴△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣74°﹣64°＝42°，故选：B．8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5【分析】直接根据点D是OA的中点即可求出D点坐标，由D点坐标即可求出反比例函数的解析式，故可得出△OBC的面积，由S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC即可得出结论．解：∵D是OA的中点，点A的坐标为（4，3），∴D（2，），把D（2，）代入反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×＝3，∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBC＝×3＝，∴S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC＝×4×3﹣＝．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）比较大小：＜2（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．解：∵2＝，∴＜2，故答案为：＜．10．（3分）分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是0（写出一个即可）．【分析】先利用判别式的意义得到22﹣4k＞0，再解不等式确定k的范围，然后在此范围内取一个值即可．解：根据题意得△＝22﹣4k＞0，解得k＜1．所以k可以取0．故答案为0．12．（3分）如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，若∠CBA＝43°，则∠PAC的大小为107度．【分析】根据平行线的性质得到∠BAP＝137°，由角的和差关系得到∠PAC的大小即可．解：∵PQ∥MN，∴∠BAP＝180°﹣∠CBA＝137°，∴∠PAC＝137°﹣30°＝107°．故答案为：107．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是AB上一点，连结CE，将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，则△AEF的面积为．【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，根据折叠的性质得到CF＝CB＝5，EF＝BE，根据勾股定理得到DF＝＝4，AE ＝，于是得到结论．解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，∴CF＝CB＝5，EF＝BE，∴DF＝＝4，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，∵EF2＝AE2+AF2，∴（3﹣AE）2＝AE2+12，解得：AE＝，∴△AEF的面积＝AE•AF＝×1＝故答案为：．14．（3分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加（2﹣4）米．【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为（0，2），设抛物线解析式y＝ax2+2，将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2，解得：a＝﹣，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，将y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度为2米，故水面宽度增加了（2﹣4）米，故答案为：（2﹣4）．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣3，b＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．解：a（a﹣2b）+（a+b）2＝a2﹣2ab+a2+b2+2ab＝2a2+b2，当a＝﹣3，b＝时，原式＝2a2+b2＝2×（﹣3）2+（）2＝23．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字﹣2、0、1，每个小球除数字不同外其余均相同，小致先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是负数的概率．解：列表得：﹣201和﹣2﹣4﹣2﹣10﹣2011﹣112共有9种等情况数，其中小致两次摸出的小球的数字之和是负数的有5种，则小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率是．17．（6分）某市为落实“2020脱贫攻坚政策”，甲工程队计划将该市的900套老旧房屋进行翻新改造，为尽快完成任务，实际每天翻新改造的数量是原来计划的1.5倍，结果提前30天完成任务，求甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋的数量．【分析】设甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋x套，则实际每天翻新改造老旧房屋1.5x套，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋x套，则实际每天翻新改造老旧房屋1.5x 套，依题意，得：﹣＝30，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋10套．18．（7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝，则线段BP的长为．【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠CBP＝∠ADB，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝2，∴AD＝2OA＝4，∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，∴∠P＝∠D，∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD，∴＝，即＝，解得：BP＝，故答案为：．19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．【分析】（1）根据网格即可在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）根据网格和勾股定理即可在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）根据网格和梯形面积公式即可在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．解：（1）图①中直角△ABM即为所求；（2）图②中△CDN即为所求；（3）图③中四边形EFGH即为所求．20．（7分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为9；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代码A B C D E F G H实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5一分钟仰卧起坐*4247*4752*49其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以求得m的值；②根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数；（2）①根据题意和表格中的数据可以求得全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②根据题意和表格中的数据可以解答本题．解：（1）①m＝30﹣2﹣10﹣6﹣2﹣1＝9，故答案为：9；②由条形统计图可得，一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45，故答案为：45；（2）①∵实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3，∴实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组优秀的有4人，∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×＝65，答：全年级女生实心球成绩达到优秀的有65人；②同意，理由：如果女生E的仰卧起坐成绩未到达优秀，那么只有A、D、F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，因此，女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．21．（8分）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200km外的B地输送紧急物资，甲在途中休息了3小时，休息前后的速度不同，最后两车同时到达B地，如图甲、乙两车到A地的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）甲车休息前的行驶速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时；（2）当9≤x≤15，求甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式；（3）直接写出甲出发多长时间与乙在途中相遇．【分析】（1）根据甲在途中休息了3小时，结合函数图象可求出b的值，进而由路程÷时间＝速度，便可求得结果；（2）用待定系数法进行解答便可；（3）设甲出发x小时与乙在途中相遇，分两种情况：在甲中途休息前相遇，甲中途休息时相遇．分别列出一元一次方程解答．解：（1）由题意知，b＝9﹣3＝6，∴甲车休息前的行驶速度为：600÷（b﹣1）＝600÷（6﹣1）＝120（千米/时），乙车的速度为：1200÷15＝80（千米/时），故答案为：120；80；（2）设当9≤x≤15时，甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把（9，600），（12，1200）代入得，，解得，，∴当9≤x≤15时，甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式为：y＝100x﹣300；（3）设甲出发x小时与乙在途中相遇，根据题意得，①在甲途中休息前相遇，有120x﹣80x＝80×1，解得，x＝2；②在甲途中休息时相遇，有80（x+1）＝600，解得，x＝6.5，综上，甲出发2小时或6.5小时与乙在途中相遇．22．（9分）问题呈现：下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，求证：PM＝PN．小致的思考：要证明PM＝PM，只需证明△POM≌△PON即可．请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，求证：PC＝PD．（2）在（1）的条件下，如图③，若AB＝10，tan∠PAB＝，当△PBC有一个内角是45°时，△PAD的面积是8或．【分析】问题呈现：由“SAS”可证△MOP≌△NOP，可得PM＝PN；结论应用：（1）在AB上截取AE＝AD，连接PE，由“SAS”可证△ADP≌△AEP，△BPC≌△BPC，可得PD＝PE＝PC；（2）延长AP，BC交于点H，由“ASA”可证△ADP≌△HCP，可得CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．解：问题呈现：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OP＝OP，OM＝ON，∴△MOP≌△NOP（SAS），∴PM＝PN；结论应用：（1）如图②，在AB上截取AE＝AD，连接PE，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠BAP，又∵AD＝AE，AP＝AP，∴△ADP≌△AEP（SAS），∴DP＝PE，∠D＝∠AEP，∵AB＝AD+BC，AB＝AE+BE，∴BE＝BC，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，又∵BP＝BP，∴△BPC≌△BPE（SAS），∴CP＝PE，∠PCB＝∠PEB，∴PC＝PD＝PE；（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴∠DAC+∠ABC＝180°，∵∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，∴∠DAC＝2∠PAB，∠ABC＝2∠ABP，∴2∠PAB+2∠ABP＝180°，∴∠PAB+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∵AB＝10，tan∠PAB＝＝，∴PA＝2PB，∵PA2+PB2＝AB2，∴PB＝2，PA＝4，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝4，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝×BP×PH＝×BP×CN+×PH×CM，∴CM＝CN＝，∴S△PCH＝×4×＝＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠PAB＝∠H，∴tan H＝tan∠PAB＝，∴，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝×4×4＝8，故答案为：8或．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S ＞0），点P的运动时间为t秒．（1）①BC的长为16；②用含t的代数式表示线段PQ的长为3t．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．【分析】（1）①由勾股定理可求解；②由锐角三角函数可求解；（2）分两种情况讨论，由QM的长度为10，列出方程可求解；（3）分两种情况讨论，由面积公式可求解；（4）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求解．解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，∴BC＝＝＝16，故答案为：16；②∵sin B＝，∴，∴PQ＝3t，故答案为：3t；（2）在Rt△PQB中，BQ＝＝4t，当点M与点Q相遇，20＝4t+5t，∴t＝，当0＜t＜时，MQ＝AB﹣AM﹣BQ，∴20﹣4t﹣5t＝10，∴t＝，当＜t≤时，MQ＝AM+BQ﹣AB，∴4t+5t﹣20＝10，∵＞，∴不合题意舍去，综上所述：当QM的长度为10时，t的值为；（3）当0＜t＜时，S＝3t×（20﹣9t）＝﹣27t2+60t；当＜t≤时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝9t﹣20，PQ＝3t，PN∥AB，∴∠B＝∠NPE，∴tan B＝tan∠NPE，∴，∴NE＝＝﹣15，∴S＝3t×（9t﹣20）﹣×（9t﹣20）×（﹣15）＝﹣；（4）如图，若NQ⊥AC，∴NQ∥BC，∴∠B＝∠MQN，∴tan B＝tan∠MQN，∴＝，∴t＝，如图，若NQ⊥BC，∴NQ∥AC，∴∠A＝∠BQN，∴tan A＝tan∠BQN，∴，∴，∴t＝综上所述：当t＝s或s时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y＝（m为常数）．（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据矩形的性质结合平面直角坐标系先确定点D的坐标，再判断出经过点D的函数，代入点D的坐标求出m的值即可；（2）当﹣2≤x≤2时分﹣2≤x＜和≤x≤2两种情况，结合函数图象进一步确定函数的取值范围；（3）首先确定当x＜m时，y有最小值为﹣（x﹣m）2+3，再根据m的不同取值，结合图象与矩形的边的交点个数确定m的取值范围；（4）根据x的不同取值，分别得到关于m的不等式（组），求解不等式（组）即可．解：（1）由题意得，点D的坐标为（﹣1，1），当x＝﹣1时，y＝，∴函数的图象不经过点D，∴函数y＝x2﹣2mx+2m+2（x＜m）的图象经过点D，∴（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+2m+2＝1，解得，，∴；（2）由（1）可知，当﹣2≤x≤2时，分段讨论：①当﹣2≤x＜时，y＝x2+x+1，该二次函数的对称轴为直线x＝﹣，且开口向上，如图，∴当﹣2≤x＜时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y取最大值，最大值＝4﹣2+1＝3；当x＝﹣时（取不到），y最小值＝；所以，＜y≤3；②当﹣≤x≤2时，，二次函数的对称轴为x＝2，开口向下，如图所示，∴﹣≤x≤2时，y随x的增大而增大，当x＝﹣时，y最小值＝﹣，当x＝2时，y最大值是1，∴．综上，当﹣2≤x＜时，＜y≤3；当﹣≤x≤2时，；∴y的取值范围是：；（3）过点E（0，﹣1），F（2，1），B（4，﹣1）三点，＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）+3恒过（1，3），对称轴为直线x＝m，在x＜m时，y随x的增大而减小，y有最小值，最小值＝m2﹣2m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3．①若m≤0，x≥0时，则y1与矩形的边有3个交点，不符合题意；②若0＜m≤2时，y1与矩形的边有F、B两个交点，即y2与矩形的边无交点，∴y最小值≥1，∴﹣（m﹣1）2+3≥1，解得，，即：0＜m≤2；③若2＜m≤4，x≥m时，y1与矩形的边的交点只有B，∴y2有且只有一个交点，∴﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得，﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得：或，∴，④若m＞4，y1与矩形的边无交点，则y2与矩形的边有两个交点，即：当x＝4时，y2＜1，有两个交点，即16﹣8m+2m+2＜1，∴m＞，∴m＞4，综上，m的取值范围是：0＜m≤2或或m＞4；（4）①当m≤x≤m+1时，，若存在1≤y0≤2，仅有y0＝1，即x＝2时，y1＝1，∴m≤2≤m+1，∴1≤m≤2；②当m﹣1≤x ＜m时，，若存在1≤y 0≤2，则，即满足最小值小于2，最大值大于等于1即可，∴，∴或；综合①、②得：或．。
2020年吉林省中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年吉林省中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.3的相反数是()A. 13B. −13C. −3D. −12.李克强总理在2019年的政府工作报告中指出：三大攻坚战开局良好．其中精准脱贫有力推进，农村贫困人口减少1386万，易地扶贫搬迁280万人，数据1386万用科学记数法可表示为()A. 1386×104B. 1.386×106C. 1.386×107D. 0.1386×1083.用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为()A.B.C.D.4.下列运算正确的是()A. (a3)2=a5B. a4⋅a2=a8C. a9÷a3=a3D. (−ab)2=a2b25.把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C=90°，∠F=90°，∠D=30°，∠A=45°，则∠1+∠2等于()A. 270°B. 210°C. 180°D. 150°6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C=5：7，则∠C=()A. 210°B. 150°C. 105°D. 75°二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.分解因式：ab−a2=______．8.不等式2+3≥x+1，的解集是______9.一元二次方程x2−3x+1=0的根的判别式的值是______．10.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．11.如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理是___________________________．12.如图，AB//CD//EF，AD=4cm，BC=DF=3cm，则CE的长______ ．13.如图，△ABC中，点M、N分别是AB、AC中点，点D、E在BC边上(点D、E都不与点B、CBC，则重合)，且点D在点E的左边，DN、EM相交于点O.若△ABC的面积为42cm2，DE=12阴影四边形BDOM、阴影四边形CEON的面积和为______cm2．14.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45∘，则BD的长为______ ．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.先化简，再求值：(2x+1)(2x−1)−5x(x−1)+(x−1)2，其中x=−1．316.现有三张不透明的卡片A、B、C，其中卡片的正面图案分别是剪刀、石头、布，卡片除下面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽到的图案相同的概率．17.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？18.如图，点C、D在AB上，且AC=BD，AE=FB，AE//BF，求证：△AED≌△BFC．19.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)20.千年古塔大旺山白塔是眉山市省级重点文物，为了测量大旺山白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进24米，又测得白塔的顶端A的仰角为60°，求白塔的高度AB.(参考数据：√3≈1.73，结果保留整数．)(x>0)的图象上，其中k>0，21.如图，A、B两点在反比例函数y=kxAC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC=1(1)若k=2，则AO的长为______ ，△BOD的面积为______ ；(2)若点B的横坐标为k，且k>1，当AO=AB时，求k的值．22.判断下面的抽样调查选取样本的方法是否合适，说明理由．(1)在五一假期期间，调查某商场的日营业额，以估计该商场全年营业额；(2)某晚报社为了了解学生“追星”的情况，来到一家业余艺术学校调查了100名学生；(3)为调查全校男生的身高情况，用简单随机抽样的方法在全校五十个班级中抽取六个班级，调查这六个班男生的身高情况，以估计全校男生身高情况；(4)为了检测一种新型计算机的性能指标，从中抽取2台进行测试．23.如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/ℎ，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y(L)与行驶时间x(ℎ)之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：(1)汽车行驶______ h后加油，中途加油______ L；(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；(3)若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？24.数学实验课上，王老师让大家用矩形纸片折出菱形．小华同学的操作步骤是：(1)如图①，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠；(2)如图②，将图①中的△A’BF沿BF折叠得到△A″BF；(3)如图③，将图②中的△CDF沿DF折叠得到△C′DF；(4)将图③展开得到图④，其中BD、BE、DF为折叠过程中产生的折痕．试解答下列问题：(1)证明图④中的四边形BEDF为菱形；(2)在图④中，若BC=8，CD=4，求菱形BEDF的边长．25.如图，△ABC是等边三角形，BC=2cm，点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度运动，过点P作PE//BC交射线AC于点E，同时点Q从点C出发沿BC的延长线以1cm/s的速度运动，连结BE、EQ.设点P的运动时间为t(s)．(1)求证：△APE是等边三角形；(2)直接写出CE的长(用含t的代数式表示)；(3)当点P在边AB上，且不与点A、B重合，①求证：△BPE≌△ECQ．②当t为何值时，△BPE≌△QCE？26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于O、B两点，点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,2).点P在抛物线上，且不与点O、B重合，过点P作y 轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，MN与点B始终在PQ同侧，且PN=1.设点P的横坐标为m(m>0)，矩形PQMN的周长为l．(1)用含m的代数式表示点P的坐标．(2)求l与m之间的函数关系式．(3)当矩形PQMN是正方形时，求m的值．(4)直接写出矩形PQMN的边与抛物线有两个交点时m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：[分析]根据相反数的定义解答即可．[详解]3的相反数是−3，故选C．[点睛]本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．2.答案：C解析：解：1386万=1.386×107．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．3.答案：C解析：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图象是左视图.根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方形，第三层右边一个小正方形．故选C．4.答案：D解析：解：A、(a3)2=a6，故此选项错误；B、a4⋅a2=a6，故此选项错误；C、a9÷a3=a6，故此选项错误；D、(−ab)2=a2b2，故此选项正确．故选：D．直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.答案：B解析：此题考查三角形内角和定理和三角形的外角性质，关键是根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质解答．根据三角形外角性质可得∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠F+∠FPB，再结合三角形内角和定理求出∠1+∠2即可．解：如图AC和DF交于点O，BC和DF交于点P，∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠F+∠FPB，∠DOA=∠COP，∠FPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠F+∠COP+∠CPO=∠D+∠F+180°−∠C=30°+90°+180°−90°=210°，故选：B．6.答案：C解析：此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补.根据圆内接四边形对角互补可得∠C=180°×7=105°。
2020年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷 (含解析)
2020年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.利用数轴，比较1，√2，−1.5，−√5，|−π|，√2−1的大小正确的是()2A. −√5<−1.5<√2−1<1<√2<|−π|2B. −1.5<−√5<1<√2−1<√2<|−π|2C. −√5<−1.5<√2−1<√2<1<|−π|2D. −√5<−1.5<1<√2−1<|−π|<√222.某水利枢纽工程于2014年9月25日竣工，该工程设计的年发电量为32.25亿度，32.25亿这个数用科学记数法表示为()A. 32.25×108B. 3.225×109C. 322.5×107D. 3225×1063.下图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是()A.B.C.D.4.下列计算结果正确的是()A. 3a−(−a)=2aB. a3⋅(−a)2=a5C. a5÷a=aD. (−a2)3=a65.“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、物价各几何？”这是我国古代名著九章算术中记载的古典名题，其题意是：有若干人一起买鸡.如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？若设买鸡的人数为x人，则列方程正确的是()A. 9x+11=6x+16B. 9x+11=6x−16C. 9x−11=6x+16D. 9x−11=6x−166.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是()A. 南偏东25°，50√2千米B. 北偏西25°，50√2千米C. 南偏东70°，100千米D. 北偏西20°，100千米7.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C(x>0)的图象上，则△OAB的面积等于()在反比例函数y=2xA. 2B. 3C. 4D. 68.用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.√2+√18=______．10.一件商品的原价为a元，提高50%后标价，再按标价打七折销售，则此时售价为______元．11.如图，直线AB//EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF=度．12.点A(−1,y1)，B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则y1−y2 ___0(填“>”或“<”).13.如图，从边长为(a+2)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a−1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该长方形的周长是___________cm．x2，当水位上涨14.在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y=−13 1m时，水面宽CD为2√6m，则桥下的水面宽AB为______m．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.先化简，再求值：(2a+1)2−4a(a−1)，其中a=1．816.将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4.从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．(1)用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率．(2)摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？17.六⋅一前夕某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍，求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？18.如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，OA交⊙O于点B，连结BC.已知⊙O的半径为2，∠C=35°(1)求∠A的度数．(2)求BC⏜的长．19.某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩(百分制)如下：七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 5999 87 85 89 97 86 89 90 89 77八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 9462 99 94 51 88 97 94 98 85 91分组整理，描述数据(1)按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；分析数据，计算填空(2)两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整；年级平均数中位数众数优秀率七年级85.3888920%八年级85.4______ ______ ______ 得出结论，说明理由．(3)估计八年级成绩优秀的学生人数约为______人．(4)整体成绩较好的年级为______，理由为______(至少从两个不同的角度说明合理性)．20.如图，在正方形网格上有一个△ABC，A、B、C均为小正方形的顶点．(1)画△ABC关于直线a的对称图形(不写画法)；(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求所画出的对称图形的面积．21.如图①所示，空圆柱形容器内放着一个实心的“柱锥体”(由一个圆柱和一个同底面的圆锥组成的几何体).现向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．已知整个注水过程中，水面高度ℎ(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请你根据图中信息，解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为______ cm，“柱锥体”中圆锥体的高为______ cm；(2)分别求出圆柱形容器的底面积与“柱锥体”的底面积．22.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG．(1)求证：四边形EFDG是菱形；AF⋅GF；(2)求证：EG2=12(3)若AG=6，EG=2√5，求BE的长．23.如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC，(1)求证：△AEG是等腰直角三角形；(2)求证：AG+CG=√2DG．24.已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点，且对称轴为直线x=4.设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外)，以每秒√2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S 关于t的函数关系式．【答案与解析】1.答案：A解析：[分析]利用绝对值的性质化简，再在数轴上表示出各数所在的位置，即可得出答案．[详解]解：|−π|=π，如图示，所以．故选A．[点评]此题主要考查了实数与数轴、实数的大小比较以及绝对值的性质，在数轴上正确表示出各数是解题关键．2.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：将32.25亿这用科学记数法表示为：3.225×109．故选：B．3.答案：B解析：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解析：解：从正面看下层是三个小正方形，上层右边一个小正方形，故选B．4.答案：B解析：本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项．利用同底数幂乘法，除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则计算即可．解：A.3a−(−a)=4a，故A错误；B.a3⋅(−a)2=a5，故B正确；C.a5÷a=a4，故C错误；D.(−a2)3=−a6，故D错误．故选B．5.答案：C解析：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设买鸡的人数为x人，根据鸡的价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．解：设买鸡的人数为x人，根据题意得：9x−11=6x+16．故选C．6.答案：B解析：解：∵第一艘快艇沿北偏西70°方向，第二艘快艇沿南偏西20°方向，∴∠BOA=90°，∵BO=AO=50km，∴AB=50√2km，∠B=∠OAB=45°，∵第二艘快艇沿南偏西20°方向，∴∠1=∠CAO=20°，∴∠2=45°−20°=25°，∴第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西25°，50√2千米．故选：B．根据题意得出AO=BO以及∠BOA=90°，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．7.答案：B解析：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA的长是解题关键．过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD//CE，得出∴CEBD =AEAD=ACAB，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=1x，OE=2x，OA=3x，然后根据三角形面积公式求解即可．解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD//CE，∴CEBD =AEAD=ACAB，∵OC是△OAB的中线，∴CEBD =AEAD=ACAB=12，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为2x ，B的横坐标为1x，∴OD=1x ，OE=2x，∴DE=OE−OD=1x，∴AE=DE=1x，∴OA=OE+AE=3x，∴S△OAB=12OA⋅BD=12×3x×2x=3．故选：B．8.答案：B解析：本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．根据基本作图对A、B、D进行判断；根据圆周角定理对C进行判断．解：A选项通过作线段的垂直平分线得到斜边上的高，C选项通过作90度的圆周角得到斜边上的高，D选项通过画图得到菱形，即可得到斜边上的高，B选项无法保证斜边所对的顶点在所画线段的垂直平分线上，故选：B．9.答案：4√2解析：解：原式=√2+3√2=4√2．故答案为：4√2．首先化简二次根式，进而计算得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．10.答案：1.05a解析：解：由题意得标价为(1+50%)a=1.5a元，则实际售价为1.5a×0.7=1.05a元．故答案为：1.05a．一件商品的原价为a元，提高50%后标价，则标价为(1+50%)a=1.5a元，再用标价×0.7即可求出实际售价．此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系．11.答案：120解析：此题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键．直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出∠BCD=∠DNF=95°，再利用三角形内角和定理及平角的定义得出答案．解：延长FE交DC于点N，∵直线AB//EF，∴∠BCD=∠DNF=95°，∵∠CDE=25°，∴∠DEN=180°−95°−25°=60°，∴∠DEF=180°−60°=120°．故答案为120．12.答案：>解析：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，主要利用了一次函数的增减性．根据k<0可知，一次函数的函数值y随x的增大而减小．解：∵直线y=kx+b的k<0，∴函数值y随x的增大而减小，∵点A(−1,y1)，B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，∵−1<3，∴y1>y2，∴y1−y2>0．故答案为>．13.答案：4a+8解析：此题考查图形的剪拼，整式的运算，正确使用完全平方公式是解决问题的关键．矩形的长就是边长是a+2的正方形与边长是a−1的正方形的边长的和，矩形的宽就是边长是a+2的正方形与边长是a−1的正方形的边长的差，列出代数式进行化简即可．解：由题意得矩形的长为a+2+a−1=(2a+1)cm，矩形的宽为a+2−(a−1)=3cm，所以矩形的周长=2【(2a+1)+3】=(4a+8)cm，故答案为(4a+8)．14.答案：6解析：本题考查点二次函数的实际应用，解题的关键是要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．由x2，可以求二次函数图象的对称性可知D点的横坐标为√6，把x=√6代入二次函数关系式y=−13x2，即可求出B的横坐标，出对应的纵坐标，进而求出点B的纵坐标，再把B的纵坐标代入y=−13即AB长度的一半．解：∵水面宽CD为2√6m，y轴是对称轴，∴D点的横坐标为√6，×(√6)2=−2，∴D的纵坐标为y=−13∵水位上涨1m时，水面宽CD为2√6m，∴B的纵坐标为−2−1=−3，x2得：把x=−3代入解析式y=−13×(−3)2=−3，∴B的横坐标为y=−13∴桥下的水面宽AB为3×2=6米，故答案为6．15.答案：解：原式=4a2+4a+1−4a2+4a=8a+1，当a=18时，原式=8a+1=2．解析：直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16.答案：解：(1)或甲袋和乙袋23424564678摸出的两个球上数字之和为5的概率为16．(2)从表看，摸出的两个球上数字之和为6时概率最大．解析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和达到某种效果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.答案：解：设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为(x−25)元，由题意得：2000x =2×750x−25解得：x=100，经检验：x=100是原分式方程的解，x−25=100−25=75，答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；解析：本题考查了分式方程组的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为(x−25)元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可．18.答案：解：(1)由圆周角定理得，∠AOP=2∠C=70°∵PA切⊙O于点P，∴∠APO=90°，∴∠A=20°；(2)∠BOC=180°−∠AOP=110°，∴BC⏜=110π×2180=119π.解析：(1)根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质计算，得到答案；(2)根据弧长公式计算即可．本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．19.答案：解：(1)补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图如图所示，(2)91.5，94，55%；(3)220；(4)八年级八年级的中位数和优秀率都高于七年级．解析：解：(1)见答案(2)八年级20名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为：51 55 62 71 78 85 86 87 88 91 92 94 94 94 94 94 97 98 98 99∴中位数=91+922=91.5分；∵94分出现的次数最多，故众数为94分；优秀率为：1120×100%=55%，故答案为：91.5，94，55%；(3)400×55%=220(人)，答：八年级成绩优秀的学生人数约为220人；故答案为：220；(4)整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级．故答案为：八年级，八年级的中位数和优秀率都高于七年级．(1)由收集的数据即可得；根据题意补全频数分布直方图即可；(2)根据众数和中位数和优秀率的定义求解可得；(3)根据题意列式计算即可；(4)八年级的中位数和优秀率都高于七年级即可得结论．本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数的定义，正确的理解题意是解题的关键．20.答案：解：(1)如图所示，△DEF即为所求；(2)由图可得，S=4×2−12×2×1−12×3×1−12×4×1=3.5解析：(1)依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线a的对称图形；(2)利用割补法，即可得到所画出的对称图形的面积．此题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及三角形面积求法，利用结合网格解题是关键．21.答案：解：(1)12；3；(2)设圆柱形容器的底面积为S，则S(12−8)=(42−26)×5，解得，S=20，设“柱锥体”的底面积为S柱锥，×5=20×5−15×5，S柱锥解得，S柱锥=5，即圆柱形容器的底面积是20cm2，“柱锥体”的底面积是5cm2．解析：本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．(1)根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高；(2)根据题意和函数图象可以求得圆柱形容器的底面积与“柱锥体”的底面积．解：(1)由题意和函数图象可得，圆柱容器的高为12cm，“柱锥体”中圆锥体的高为：8−5=3cm，故答案为12；3；(2)见答案．22.答案：解：(1)证明：∵GE//DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．(2)证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=12GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴DFAF =FODF，即DF2=FO⋅AF．∵FO=12GF，DF=EG，∴EG2=12GF⋅AF．(3)如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=2√5，∴20=12FG(FG+6)，整理得：FG2+6FG−40=0．解得：FG=4，FG=−10(舍去)．∵DF=GE=2√5，AF=10，∴AD=√AF2−DF2=4√5．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH//AD．∴△FGH∽△FAD．∴GHAD =FGAF，即4√5=410．∴GH=8√55．∴BE=AD−GH=4√5−8√55=12√55．解析：本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO⋅AF 是解题答问题(2)的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题(3)的关键．(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；(2)连接DE，交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO⋅AF，于是可得到结果；(3)过点G作GH⊥DC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE= AD−GH求解即可．23.答案：(1)证明：∵DE=EF，AE⊥DP，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF，∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，∴∠AFD=∠PAE，∵AG平分∠BAF，∴∠FAG=∠GAP，∵∠AFD+∠FAE=90°，∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°，∴2∠GAP+2∠PAE=90°，即∠GAE=45°，∴△AGE为等腰直角三角形；(2)证明：作CH⊥DP，交DP于H点，∴∠DHC=90°，∵AE⊥DP，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠DHC，∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠ADE=∠DCH，∵在△ADE和△DCH中，{∠AED=∠DHC ∠ADE=∠DCH AD=DC∴△ADE≌△DCH(AAS)，∴CH=DE，DH=AE=EG．∴EH+EG=EH+HD，即GH=ED，∴GH=CH，∴CG=√2GH，∵AG=√2EG，∴AG=√2DH，∴CG+AG=√2GH+√2HD，∴CG+AG=√2(GH+HD)，即CG+AG=√2DG．解析：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．(1)根据线段垂直平分线的定义得到AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；(2)作CH⊥DP，交DP于H点，证明△ADE≌△DCH(AAS)，得到CH=DE，DH=AE=EG，证明CG=√2GH，AG=√2DH，计算即可．24.答案：方法一：解：(1)设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c由题意得{−b 2a =4c =124a +2b +c =0，解得{a =1b =−8c =12，∴二次函数的解析式为y =x 2−8x +12，点P 的坐标为(4,−4)；(2)存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形．理由如下：当y =0时，x 2−8x +12=0，∴x 1=2，x 2=6，∴点B 的坐标为(6,0)，设直线BP 的解析式为y =kx +m则{6k +m =04k +m =−4，解得{k =2m =−12∴直线BP 的解析式为y =2x −12∴直线OD//BP ，∵顶点坐标P(4,−4)，∴OP =4√2设D(x,2x)则BD 2=(2x)2+(6−x)2当BD =OP 时，(2x)2+(6−x)2=32，解得：x 1=25，x 2=2，当x 2=2时，OD =BP =2√5，四边形OPBD 为平行四边形，舍去，∴当x =25时四边形OPBD 为等腰梯形，∴当D(25,45)时，四边形OPBD 为等腰梯形；(3)①当0<t ≤2时，∵运动速度为每秒√2个单位长度，运动时间为t 秒，则MP =√2t ，∴PH =t ，MH =t ，HN =12(4−t)，∴MN =MH +HN =2+12t ， ∴S =34t 2； ②当2<t <4时，P 1G =2t −4，P 1H =t ，∵MN//OB∴△P 1EF∽△P 1MN ，∴S △P 1EF S△P 1MN =(P 1G P 1H )2， ∴S △P 1EF34t 2=(2t−4t)2， ∴S △P 1EF =3t 2−12t +12，∴S =34t 2−(3t 2−12t +12)=−94t 2+12t −12， ∴当0<t ≤2时，S =34t 2，当2<t <4时，S =−94t 2+12t −12．方法二：(1)略．(2)设D(t,2t)，O(0,0)，P(4,−4)，B(6,0)，∴K BP =0+46−4=2，K OD =2t−0t−0=2，∴K BP =K OD ，∴BP//OD ，∵四边形OPBD 为等腰梯形，∴DB =OP ，(t −6)2+(2t −0)2=(4−0)2+(−4−0)2，∴t 1=2(舍)，t 2=25，∴D(25,45).(3)O(0,0)，P(4,−4)，∴l OP ：y =−x ，∴M(4−t,t −4)，∵B(6,0)，∴l BP ：y =2x −12，∴N(t+82,t−4)，①当0<t≤2时，S=12MN(N Y−P Y)=12(t+82−4+t)(t−4+4)=34t2，②当2<t<4时，∵△PMN与△P′MN关于MN对称，∴K MP′+K MP=0，K NP′+K NP=0，∴l MP′：y=x+2t−8，l NP′：y=−2x+2t+4，∴D(8−2t,0)，C(t+2,0)，∴S=12(CD+MN)|M Y|=12(t+2−8+2t+t+82−4+t)(4−t)=−94t2+12t−12．解析：(1)利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；(2)存在．由(1)可求直线PB解析式为y=2x−12，可知PB//OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；(3)由P(4,−4)可知直线OP解析式为y=−x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为−2，此时t=2，按照0<t≤2，2<t<4两种情形，分别表示重合部分面积．本题考查了二次函数的综合运用．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．。
吉林省2020年名校调研中考数学一模测试试卷(含解析)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．抛物线y＝﹣x2+2的对称轴为（）A．x＝2 B．x＝0 C．y＝2 D．y＝02．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．已知，关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0中，m＜0，则该方程解得情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＞2 D．k＜25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（）A．B．C．D．26．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9二、填空题（每小题3分，共24分）7．sin30°+tan45°＝．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为．9．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的值为．10．如图，△ABC中，P为边AB上一点．且∠ACP＝∠B，若AP＝2，BP＝3，则AC的长为．11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连结AD、BC、BD、DC，若BD＝CD，∠DBC＝20°，则∠ABC的度数为．12．如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为．（杆的宽度忽略不计）13．在平面直角坐标系中，点A和点C分别在y轴和x轴的正半轴上，以OA，OC为边分别作矩形OABC，双曲线y＝（x＞0）交AB于点E，AE：EB＝1：3，则矩形的面积为．14．二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝．三、解答题（每小题0分，共20分）15．解方程：x2+8x＝9．16．已知y是x的反比例函数，且x＝3时，y＝8．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果自变量x的取值范围为3≤x≤4．求y的取值范围．17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A＝．求底边BC的长．18．2019年中国北京世园会开园期间，为了满足不同人群的游览需求，组委会倾情打造了四条趣玩路线，分别是“解密世园会”、“爱我家，爱园艺”、“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”小明一家想通过抽签的方法选择其中的两条路线进行游玩，于是他们制作了如下四张卡片，然后从四张卡片中随机抽取其中的两张若小明最钟爱的游玩路线是“园艺小清新之旅“，小明的爸爸和妈妈最钟爱的游玩路线是“解密世园会”，请用列表法或画树状图法求出：他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是多少？四、解答题（每小题7分，共28分）19．如图，为测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD＝37°，再沿BD方向前进150m到达点C，测得∠ACD＝45°，求小岛A到公路BD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）20．已知半圆的直径CD＝12cm，如图所示，弧DE所对的圆心角∠ECD＝30°，求阴影部分的周长．21．图（a）、图（b）是两张形状，大小完全相同的8×8的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．（1）以AB为一边，画一个成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；（2）以EF为一边，画△EFP，使其面积为的轴对称图形．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是弦BC的中点，P是⊙O外一点且∠PBC＝∠A，连接OE并延长交⊙O于点F，交BP于点D．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BD＝8，求弦BC的长．五、解答题（每小题8分，共16分）23．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝的图象于点A（2，﹣4）和点B（h，﹣2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的解析式；（2）连接OA、OB．求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式kx+b＞的解集．24．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，一条顶点坐标为（﹣1，）的抛物线与y轴交于点C（0，5），与x轴交于点A和点B，有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都有在线段AC上时，连接MF，如果MF＝AF，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．26．如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，AD＝5，BD＝3，点P从点A出发，沿折线AB一BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM＝2，MN与BD在PQ的同侧，设点P的运动时间为t（秒）．（1）当t＝5时，求线段CP的长；（2）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）；（3）当点M落在BD上时，求t的值；（4）当矩形PQMN与▱ABCD重叠部分图形为五边形时，直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（每小题2分，共12分）1．抛物线y＝﹣x2+2的对称轴为（）A．x＝2 B．x＝0 C．y＝2 D．y＝0【分析】根据题目中的抛物线y＝﹣x2+2，可以直接写出该抛物线的对称轴．解：∵抛物线y＝﹣x2+2，∴该抛物线的对称轴为直线x＝0，故选：B．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：从上边看是左右各一个矩形，左边的矩形大，故选：C．3．已知，关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0中，m＜0，则该方程解得情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】根据根的判别式即可求出答案．解：△＝9﹣4m，∵m＜0，∴﹣4m＞0，∴△＝9﹣4m＞0，故选：B．4．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＞2 D．k＜2【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1﹣2k＜0即可解得答案．解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，∴1﹣2k＜0，解得k＞，故选：B．5．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（）A．B．C．D．2【分析】如图，作AH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OA，根据三角函数的定义解决问题即可．解：如图，作AH⊥x轴于H．∵A（2，1），∴OH＝2，AH＝1，∴OA＝＝＝，∴cosα＝＝＝，故选：C．6．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴＝故选：A．二、填空题（每小题3分，共24分）7．sin30°+tan45°＝．【分析】分别把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．解：原式＝+1＝．故答案为：．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．【分析】先判断出∠BAD＝150°，AD＝AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B＝∠BDA，∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝15°，故答案为：15°．9．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的值为．【分析】作AE⊥BC于E．利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．解：作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，∵AE＝BE＝4，∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴sin B＝sin45°＝，故答案为．10．如图，△ABC中，P为边AB上一点．且∠ACP＝∠B，若AP＝2，BP＝3，则AC的长为．【分析】AB＝AP+BP＝5，由∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，得出△ACP∽△ABC，得出＝，代入数值即可得出结果．解：AB＝AP+BP＝2+3＝5，∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AP•AB＝2×5＝10，∴AC＝，故答案为：．11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连结AD、BC、BD、DC，若BD＝CD，∠DBC＝20°，则∠ABC的度数为50°．【分析】先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ADB＝90°，由BD＝CD，∠DBC＝20°，根据等腰三角形性质可得：∠C＝20°，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠A＝20°，根据三角形内角和定理求得∠ABD＝70°，进而即可求得∠ABC的度数．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∠DBC＝20°，∴∠C＝∠DBC＝20°，∴∠A＝∠C＝20°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝70°，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBC＝70°﹣20°＝50°故答案为50°12．如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为8m．（杆的宽度忽略不计）【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得，即＝，解之可得．解：如图，由题意知∠BAO＝∠C＝90°，∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，∴，即＝，解得：CD＝8，故答案为：8m．13．在平面直角坐标系中，点A和点C分别在y轴和x轴的正半轴上，以OA，OC为边分别作矩形OABC，双曲线y＝（x＞0）交AB于点E，AE：EB＝1：3，则矩形的面积为24．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设E点坐标为（t，），则利用AE：EB ＝1：3，B点坐标可表示为（4t，），然后根据矩形面积公式计算．解：设E点坐标为（t，），∵AE：EB＝1：3，∴B点坐标为（4t，），∴矩形OABC的面积＝4t•＝24．故答案为：24．14．二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝2．【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算即可解答本题．解：∵二次函数y＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，∴点P的坐标为（1，2），设点M的坐标为（a，2），则点N的坐标为（a，2a2﹣4a+4），∴＝＝＝2，故答案为：2．三、解答题（每小题0分，共20分）15．解方程：x2+8x＝9．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．解：x2+8x＝9，x2+8x﹣9＝0，（x+9）（x﹣1）＝0，x+9＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣9，x2＝1．16．已知y是x的反比例函数，且x＝3时，y＝8．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果自变量x的取值范围为3≤x≤4．求y的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数的定义设出表达式，再利用待定系数法解出系数则可；（2）分别代入x的值求得y值后即可求得y的取值范围；解：（1）设反比例函数是y＝（k≠0），当x＝3时，y＝8，代入可解得k＝24．所以y＝．（2）当x＝3时，y＝8，当x＝4时，y＝6，∴自变量x的取值范围为3≤x≤4．y的取值范围为6≤y≤8．17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A＝．求底边BC的长．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cos A＝，∵cos A＝，AB＝5，∴AD＝AB•cos A＝5×＝3，∴BD＝＝4，∵AC＝AB＝5，∴DC＝2，∴BC＝＝2．18．2019年中国北京世园会开园期间，为了满足不同人群的游览需求，组委会倾情打造了四条趣玩路线，分别是“解密世园会”、“爱我家，爱园艺”、“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”小明一家想通过抽签的方法选择其中的两条路线进行游玩，于是他们制作了如下四张卡片，然后从四张卡片中随机抽取其中的两张若小明最钟爱的游玩路线是“园艺小清新之旅“，小明的爸爸和妈妈最钟爱的游玩路线是“解密世园会”，请用列表法或画树状图法求出：他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是多少？【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中A 和D的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：设上述四张卡片从左到右依次用字母A，B，C，D表示，则抽取结果可以用如下树状图表示：从树状图可知，所有等可能结果有12种，其中能同时能抽中A和D的结果有2种，所以他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是．四、解答题（每小题7分，共28分）19．如图，为测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD＝37°，再沿BD方向前进150m到达点C，测得∠ACD＝45°，求小岛A到公路BD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，再利用锐角三角函数关系得出BE＝x，CE＝x，根据BC＝BE﹣CE，得到关于x的方程，即可得出答案．解：过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，在Rt△ABE中，tan B＝，∴BE＝＝x，在Rt△ABE中，tan∠ACD＝，∴CE＝＝x，∵BC＝BE﹣CE，∴x﹣x＝150，解得：x＝450．答：小岛A到公路BD的距离为450米．20．已知半圆的直径CD＝12cm，如图所示，弧DE所对的圆心角∠ECD＝30°，求阴影部分的周长．【分析】CE交半圆于F，连接OF、DF，如图，先利用弧长公式计算出的长为2π，再根据圆周角定理得到∠DOF＝60°，∠CFD＝90°，然后利用弧长公式计算出的长和EF＝12﹣6，从而得到阴影部分的周长．解：CE交半圆于F，连接OF、DF，如图，∵弧DE所对的圆心角∠ECD＝30°，∴的长为＝2π，∵∠DOF＝2∠ECD＝60°，∴的长度为＝2π，∵CD为直径，∴∠CFD＝90°，∴DF＝CD＝6，CF＝DF＝6，∴EF＝12﹣6，∴阴影部分的周长＝2π+2π+12﹣6＝4π+12﹣6．21．图（a）、图（b）是两张形状，大小完全相同的8×8的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．（1）以AB为一边，画一个成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；（2）以EF为一边，画△EFP，使其面积为的轴对称图形．【分析】（1）根据平行四边形的底边为4，高为3，进行画图；（2）根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图．解：（1）如图所示：四边形ABCD是面积为12的平行四边形；（2）如图所示：△EFP是面积为的等腰三角形．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是弦BC的中点，P是⊙O外一点且∠PBC＝∠A，连接OE并延长交⊙O于点F，交BP于点D．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BD＝8，求弦BC的长．【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE＝CE，OE⊥BC，＝，由圆周角定理得出∠BOE＝∠A，证出∠OBE+∠PBC＝90°，得出∠OBD＝90°即可；（2）由勾股定理求出OD，由△OBD的面积求出BE，即可得出弦BC的长．【解答】（1）证明：如图，连接OB，∵E是弦BC的中点，∴BE＝CE，OE⊥BC，＝＝，∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，∵∠PBC＝∠A，∴∠BOE＝∠PBC，∴∠OBE+∠PBC＝90°．即BP⊥OB．∴BP是⊙O的切线（2）解：∵OB＝6，BD＝8，BD⊥OB．∴OD＝＝10．∵△OBD的面积＝OD•BE＝OB•BD，∴BE＝＝4.8．∴BC＝2BE＝9.6五、解答题（每小题8分，共16分）23．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝的图象于点A（2，﹣4）和点B（h，﹣2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的解析式；（2）连接OA、OB．求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式kx+b＞的解集．【分析】（1）先把点A的坐标代入y＝，求出m的值得到反比例函数解析式，再求点B的坐标，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）先求出C点坐标，再根据△AOB的面积＝△AOC的面积﹣三角形BOC的面积即可求解；（3）观察函数图象即可求出不等式kx+b＞的解集．解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入y＝得：m＝﹣8，∴反比例函数的解析式是y＝﹣；把B（h，﹣2）的坐标代入y＝﹣得：﹣2＝﹣，解得：n＝4，∴B点坐标为（4，﹣2），把A（2，﹣4）、B（4，﹣2）的坐标代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y＝x﹣6；（2）∵y＝x﹣6，∴当y＝0时，x＝0+6＝6，∴OC＝6，∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣三角形BOC的面积＝×6×4﹣×6×2＝12﹣6＝6；（3）由图象知，kx+b＞的解集为0＜x＜2或x＞4．24．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长7或1．【分析】（1）先证△DEC为等腰直角三角形，求出＝，再通过平行线分线段成比例的性质可直接写出的值；（2）证△BCE∽△ACD，由相似三角形的性质可求出的值；（3）分两种情况讨论，一种是点E在线段BA的延长线上，一种是点E在线段BA上，可分别通过勾股定理求出AE的长，即可写出线段BE的长．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，综上所述，BE的长为7或1，故答案为：7或1．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，一条顶点坐标为（﹣1，）的抛物线与y轴交于点C（0，5），与x轴交于点A和点B，有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都有在线段AC上时，连接MF，如果MF＝AF，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．【分析】（1）设抛物线为，把点（0，5）代入即可解决问题．（2）作FD⊥AC于D，设AF＝m，则，列出方程求出m的值即可解决问题．（3）设F（t，0），E（t+1，0），N（t，t+5），M（t+1，t+6），．①当MN是对角线时，由QN＝PM，列出方程即可解决问题．②点Q，P在直线AC异侧时，QN＝MP，解方程即可．解：（1）根据题意，抛物线顶点为，设抛物线为．抛物线过点C（0，5），∴，抛物线解析式为．（2）易得：A（﹣5，0），B（3，0）．如图，作FD⊥AC于D，∵OA＝5，OC＝5，∴∠CAO＝45°．设AF＝m，则．在△MEF中，FM2＝ME2+EF2，∴，解得（不符合题意，舍去）．∴AF＝2，∴点Q的横坐标为﹣3．又点Q在抛物线上，∴Q（﹣3，4），（3）设直线AC的解析式y＝kx+n，由题意，得∴直线AC的解析式y＝x+5．由已知，点Q，N，F及点P，M，E横坐标分别相同．设F（t，0），E（t+1，0），N（t，t+5），M（t+1，t+6），．在矩形平移过程中，以P，Q，N，M为顶点的平行四边形有两种情况：①点Q，P在直线AC同侧时，QN＝PM．∴，解得：t＝﹣3．∴M（﹣2，3）．②点Q，P在直线AC异侧时，QN＝MP．∴，解得∴．∴符合条件的点M是（﹣2，3），．26．如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，AD＝5，BD＝3，点P从点A出发，沿折线AB一BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM＝2，MN与BD在PQ的同侧，设点P的运动时间为t（秒）．（1）当t＝5时，求线段CP的长；（2）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）；（3）当点M落在BD上时，求t的值；（4）当矩形PQMN与▱ABCD重叠部分图形为五边形时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）如图1中，利用勾股定理求出AB的长，t＝5时，点P在线段BC上，易知PB＝1，PC＝4；（2）分两种情形求解即可①如图2中，当0＜t＜4时，②如图3中，当5＜t＜10时；（3）分两种情形求解即可①如图4中，当点P在线段AB上时，点M在线段BD上，求出AP．②如图5中，当点P在线段BC上，点M与D重合时；（4）分两种情形分别求解即可①如图6中，当点P在线段AB上，重叠部分是五边形PBKMQ时，2＜t＜4．②如图7中，当点P在线段BC上，重叠部分是五边形PQDKN 时，4＜t＜6.5；解：（1）如图1中，在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，AD＝5，BD＝3，∴AB＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝4，当t＝5时，点P在BC上，PB＝1，∴PC＝4．（2）①如图2中，当0＜t＜4时，∵PQ∥BD，∴＝，∴＝，∴PQ＝t．②如图3中，当5＜t＜10时，∵PQ∥BD，∴＝，∴＝，∴PQ＝（9﹣t）．（3）①如图4中，当点P在线段AB上时，点M在线段BD上，∵QM∥AB，∴＝，∴＝，∴DQ＝，∴AQ＝DQ，∵PQ∥BD，∴AP＝PB＝2，∴t＝2．②如图5中，当点P在线段BC上，点M与D重合时，易知QM＝QC＝2，PB＝PC＝，此时t＝4+＝．（4）①如图6中，当点P在线段AB上，重叠部分是五边形PBKMQ时，2＜t＜4．②如图7中，当点P在线段BC上，重叠部分是五边形PQDKN时，4＜t＜6.5．。