稳态热传导问题的有限元法
6. 稳态热传导问题的有限元法
本章的内容如下：
6.1热传导方程与换热边界
6.2稳态温度场分析的一般有限元列式 6.3三角形单元的有限元列式 6.4温度场分析举例
6.1热传导方程与换热边界
在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。物体内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的热量交换，一般认为是与时间相关的。物体内部的热交换采用以下的热传导方程（Fourier 方程）来描述，
Q z T z y T y x T x t T c
+??
?
??????+???? ??????+??? ??????=??z y x λλλρ （6-1）
式中ρ为密度，kg/m 3； c 为比热容，K)J/(kg ?；z y x λλλ,,为导热系数，)k m w ?；T 为温度，℃；t 为时间，s ；Q 为内热源密度，w/m 3。
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式，
Q z
T
y T x T t T c 222222+??+??+??=??λλλρ
（6-2）
除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。初始条
件是指物体最初的温度分布情况，
() z y,x,T T 00t ==
（6-3）
边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况。在传热学中一般把边界条件分为三类。
1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。 物体表面上的温度或温度函数为已知，
s s T T =
或
),,,(t z y x T T s s =
（6-4）
2）给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。 已知物体表面上热流密度，
s s
z z y y x x
q n z T n y T n x T =??+??+??)(λλλ
或
),,,()(t z y x q n z
T n y T n x T s s
z z y y x x
=??+??+??λλλ
（6-5）
3）给定对流换热条件，称为第三类边界条件。
物体与其相接触的流体介质之间的对流换热系数和介质的温度为已知。
)(s f z z y y x x
T T h n z
T n y T n x T -=??+??+??λλλ （6-6）
其中h 为换热系数，W/(m 2 K)；s T 是物体表面的温度；f T 是介质温度。
如果边界上的换热条件不随时间变化，物体内部的热源也不随时间变化，在经过一定时
间的热交换后，物体内各点温度也将不随时间变化，即
0=??t
T
这类问题称为稳态（Steady state ）热传导问题。稳态热传导问题并不是温度场不随时间的变化，而是指温度分布稳定后的状态，我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态过渡到最后的稳定温度场。随时间变化的瞬态（Transient ）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三维问题的稳态热传导方程为，
0Q z T z y T y x T x =+??
?
??????+???? ??????+??? ??????z y x λλλ （6-7）
对于各向同性的材料，可以得到以下的方程，称为Poisson 方程，
0z T y T x T 222222=+??+??+??λ
Q
（6-8）
考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的温度场满足Laplace 方程，
0z
T
y T x T 22222
2=??+??+?? （6-9）
在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度场计算的一个难点。
6.2稳态温度场分析的一般有限元列式
在前面我们已经介绍了有限元方法可以用来分析场问题，稳态温度场计算是一个典型的场问题。我们可以采用虚功方程建立弹性力学问题分析的有限元格式，推导出的单元刚度矩阵有明确的力学含义。在这里，介绍如何用加权余量法（Weighted Residual Method ）建立稳态温度场分析的有限元列式。 微分方程的边值问题，可以一般地表示为未知函数u 满足微分方程组，
0...)()()(21=???
???????=u A u A u A
（在域Ω内）
（6-10）
未知函数u 还满足边界条件，
0....)()()(21=??
?
???????=u B u B u B
（在边界Γ上）
（6-11）
如果未知函数u 是上述边值问题的精确解，则在域中的任一点上u 都满足微分方程
（6-10），在边界的任一点上都满足边界条件（6-11）。对于复杂的工程问题，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数，一般表示为
Na ==≈∑=i i n
i a N u u 1
（6-12）
其中i a 为待定系数，i N 为已知函数，被称为试探函数。试探函数要取自完全的函数序列，是线性独立的。由于试探函数是完全的函数序列，任一函数都可以用这个序列来表示。 采用这种形式的近似解不能精确地满足微分方程和边界条件，所产生的误差就称为余量。 微分方程（6-10）的余量为， )(Na A R =
（6-13）
边界条件（6-11）的余量为，
B(Na)R =
（6-14）
选择一族已知的函数，使余量的加权积分为零，强迫近似解所产生的余量在某种平均意义上等于零， 0=Γ+Ω??
Γ
Ω
d d T
j T j R W R W
（6-15）
j j W W 和称为权函数，通过公式（6-15）可以选择待定的参数i a 。
这种采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。对权函
数的不同选择就得到了不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法（Galerkin method ）。在很多情况下，采用Galerkin 法得到的方程组的系数矩阵是对称的，在这里也采用Galerkin 法建立稳态温度场分析的一般有限元列式。在Galerkin 法中，直接采用试探函数序列作为权函数，取j j N W =，j j N W -=。
下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin 法（参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值方法”的1.2.3节）。 例，求解二阶常微分方程
)10(02
2≤≤=++x x u dx u
d
边界条件：当0=x 时，0=u ；当1=x 时，0=u 。 取两项近似解： )1(1x x N -=
)1(22x x N -=
)1()1(~2212211x x a x x a a N a N u -+-=+= 11N W =， 22N W =
由公式（6-15）可以得到两个加权积分方程，
0)]62()2()[1(322211
=-+-+-+-+-?
dx x x x a x x a x x x
0)]62()2()[1(3222121
=-+-+-+-+-?
dx x x x a x x a x x x
积分后可以得到一个二元一次方程组，解得，
1707.0,1924.021==a a
近似解为，)1707.01924.0)(1(~x x x u
+-= 该方程的精确解为，x x
u -=1
sin sin
近似解与精确解的结果比较见表6-1，
表6-1 近似解与精确解比较
假定单元的形函数为，
]...[][21
n N N N N =
单元结点的温度为，
T n e T T T T ]...[}{21=
单元内部的温度分布为，
e T N T }]{[=
以二维问题为例，说明用Galerkin 法建立稳态温度场的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程为，
0Q y T y x T x =+???
?
??????+??? ??????y x λλ （6-16a ）
第一类换热边界为
s s
T T
=
(6-16b)
第二类换热边界条件为，
s y y x x
q n y
T n x T =??+??λλ (6-16c)
第三类边界条件为，
)(s f y y x x
T T h n y
T n x T -=??+??λλ （6-16d ）
在一个单元内的加权积分公式为，
0])~
()~([1=Ω+????+?????
Ω
d Q y
T y x T x w y x e
λλ
（6-17）
由分部积分得，
)~
()~()~(111x
T
x w x T x w x T w x x x x ????+????=????λλλ
)~
()~()~(111y
T
y w y T y w y T w y y y y ????+????=????λλλ 应用Green 定理，一个单元内的加权积分公式写为，
)~
~(])~()~([1111=Γ??+??+Ω-????+????-?
?
ΓΩ
d n y T n x T w d Q w y
T y w x T x w y y x x e
y x e
λλλλ （6-18）
采用Galerkin 方法，选择权函数为，
i N w =1
将单元内的温度分布函数和换热边界条件代入(6-18)式，单元的加权积分公式为，
}]{[})]{][()][([
3
3
2=Γ-Γ+Γ
-Ω-Ω????+?????
?
???
ΓΓΓΩΩ
d hT N d T N h N d q N d Q N d T y
N y N x N x N f i e
e
i e
e s i i e
e y i x i e
λλ （6-19）
换热边界条件代入后，在(6-19)式内相应出现了第二类换热边界项Γ-?
Γd q N s i e
3
，第三
类换热边界项
Γ-Γ?
?
ΓΓd hT N d T N h N f i e
e i e
3
3
}]{[，但没有出现与第一类换热边界对应的
项。这是因为，采用i N 作为权函数，第一类换热边界被自动满足。写成矩阵形式有，
][}]{[][][][})]{]
[()][()][()][[(
3
3
2
=Γ-Γ+Γ
-Ω-Ω????+?????
?
???
ΓΓΓΩΩ
d hT N d T N N h d q N d Q N d T y
N y N x N x N f T e
e T e
e s T T e
e y T x T e
λλ （6-20）
公式（6-20）是n 个联立的线性方程组，可以确定n 个结点的温度i T 。按有限元格式将（6-20）表示为，
e e e P T K }{}{][=
（6-21）
其中矩阵[K]e 为单元的导热矩阵或称为温度刚度矩阵，{T}e 为单元的结点温度向量，{P}e
称为单元的温度载荷向量或热载荷向量（Thermal load vector ）。对于某个特定单元，单元导热矩阵[K]e 和温度载荷向量{P}e 的元素分别为，
Γ+Ω????+????=??
ΓΩ
d N hN d y
N y N x N x N K j i e j
i y j i x e
ij 3)(λλ
（6-22）
Γ+Γ+Γ=??
?
Ω
ΓΓd Q N d hT N d q N P i e
f i e
s i e
i 3
2
（6-23）
如果某个单元完全处于物体的内部，
Ω????+????=?
Ω
d y
N y N x N x N K j
i y j i x e
ij )(λλ
Γ=?Ω
d Q N P i e
i
在整个物体上的加权积分方程是单元积分方程的和，
][}]{[][][][})]{][()][()][()][[(
3
3
2
=Γ-Γ+
Γ-Ω-Ω????+?????
∑
?
∑?
∑
?
∑
?
∑ΓΓΓΩ
Ω
d hT N d T N N h d q N d Q N d T y N y N x N x N f T e
e
e T e e
e
s T e
T e
e
e y T x T e
e
λλ （6-24）
根据单元结点的局部编号与整体编号的关系，直接求和得到整体刚度矩阵，整体方程组
为， }{}]{[P T K =
6.3三角形单元的有限元列式
图6-1 三角形单元
回顾第三章的内容可以发现，与计算弹性力学平面问题时所采用的方法一样，二维温度场问题计算中所采用的三角形单元可以使用相同的形函数，
)(21
y c x b a A N i i i i ++=
)(21y c x b a A N j j j j ++=
)(21y c x b a A
N m m m m ++=
j m i m j i j m m j i x x c y y b y x y x a -=-=-= m i j i m j m i i m j x x c y y b y x y x a -=-=-=
i j m j
i m i
j j i m x x c y y b y x y x a -=-=-=
[]T 111=????
?
?????m m
j j i i y x y x
y x
A 2T =
单元内的温度分布用结点上的温度值表示为，
??
???
?????=m j i m j
i T T T N N N T ][
（6-25）
在三角形单元上，采用Galerkin 法可得，
0])()([
][=+????+?????
dA Q y
T y x T x N y x T A
λλ （6-26）
x
T x N x x T N x x T x N T x T
x T
????-????=????][)]([)(][λλλ
假定单元内的导热系数为常数，
?????
?????????
?????
?-=??
?????????
?
?
???????-=????-??m j i m m
j m i m j j j
i m i j i i
x m j i m j
i
m j i A x T
x
A
T T T b b b b b b b b b b b b b b b A
dA T T T b b b b b b A dA x
T
x N 222
24][41][λλλ （6-27）
y
T y N y T N y y T y N T y
y T
y T
????-????=????][)]([)(][λλλ
?????
???????????????-=??
?????????
?
????????-=????-??m j i m
m j m i m j j j
i m i j i i x m j i m j
i
m j i A x T
y
A
T T T c c c c c c c c c c c c c c c A
dA T T T c c c c c c A dA y
T
y N 22224][41][λλλ （6-28）
单元的刚度矩阵为，
????
?
????
?+
????
?
???
??=222
22244][m
m
j m i m j j j i m i j i i y
m m
m
i m j j j
i j i j i i x e c c c c c c c c c c c c c c c b b b b b b b b b b b b b b b K j λλ 显然，单元的导热矩阵是对称的。
如果单元的内部热源为常数，由内部热源产生的温度载荷项为，
?
?
???
?????=???
???????=?
?
1113][A Q dA N N N Q dA Q N m j i A
T A
（6-29）
由Green 公式可得
dS n y T
N n x T N dA y
T N y x T N x y y T x x T s y T
x T A )][]([]]([)]([[
??+??=????+??????λλλλ
（6-30）
方便起见，把换热边界统一表示为第三类换热边界，
dS
T N N h dS T N h dS T T N h dA y
T N y x T N x e T s
f T s
s f T s
y T x T A
}]{[][][)(][]]([)]([[
????
-=-=????+????λλ （6-30）
如果在单元边上存在热交换，各条边上的边界换热条件在单元刚度矩阵中生成的附加项为，
????
???
???=0000210126][ij e hl K
（6-31）
???????
???=2101200006][jm e hl K
（6-32）
???????
???=2010001026][mi e hl K
（6-33）
由边界换热条件生成的温度载荷向量为，
?
?
?
???????=0112}{ij f e l hT P
（6-34）
?
??
???????=1102}{jm f e l hT P
（6-35）
?
?
?
???????=1012}{mi f e l hT P
（6-36）
6.4温度场分析举例
正方形截面的烟囱如图6-2所示，烟囱由混凝土建造，边长为60cm ，通道的边长为20cm ，混凝土的导热系数为)/(4.1K m W k ?=。假定烟囱内表面的温度为100℃，烟囱外表面暴露在空气中，空气的温度为30℃，换热系数为)/(202
K m W h ?=。计算烟囱截面内的稳态温度场。（参见，Finite Element Method Theory and Application with ANSYS, p279）
图6-2 烟囱截面图6-3 有限元模型
图6-4 稳态温度分布
图6-5 热流量分布
稳态温度场分布与物体的初始状态无关，那么是否与材料的导热系数相关？我们把烟囱的模型做些修改，假定烟囱壁由两层材料构成。内层材料为混凝土，外表面的截面尺寸为cm cm 3030?，烟囱通道的尺寸不变，仍为cm cm 2020?。外层材料的导热系数为
)/(1.0K m W k ?=，外部表面的截面尺寸不变，内部表面的截面尺寸为cm cm 3030?。换
热边界条件不变，双层烟囱的有限元模型如图6-6所示。
图6-6 双层烟囱的有限元模型
图6-7 双层烟囱的温度分布
图6-8 双层烟囱的热流量分布
对比两种不同结构烟囱的温度分布和热流量分布，稳态温度场分布与材料的换热系数相关。双层烟囱外层材料的导热系数比较小，接近保温材料，热量很快传进内层烟囱，但向外部环境传热慢了很多，所以内层烟囱的温度很高。比较热流量分布，保温材料的却能够有效
的阻止热量散失。北方城市的供暖管道都包有一层隔热材料就是基于这个道理。
有限元分析方法和材料断裂准则
一、有限元模拟方法 金属切削数值模拟常用到两种方法，欧拉方法和拉格朗日方法。欧拉方法适合在一个可以控制的体积内描述流体变形，这种方法的有限元网格描述的是空间域的，覆盖了可以控制的体积。在金属切削过程中，切屑形状的形成过程不是固定的，采用欧拉方法要不断的调整网格来修改边界条件，因此用欧拉方法进行动态的切削过程模拟比较困难。欧拉方法适用于切削过程的稳态分析（即“Euler方法的模拟是在切削达到稳定状态后进行的”[2]），仿真分析之前要通过实验的方法给定切屑的几何形状和剪切角[1]。 而拉格朗日方法是描述固体的方法，有限元网格由材料单元组成，这些网格依附在材料上并且准确的描述了分析物体的几何形状，它们随着加工过程的变化而变化。这种方法在描述材料的无约束流动时是很方便的，有限元网格精确的描述了材料的变形情况。实际金属切削加工仿真中广泛采用的拉格朗日方法，它可以模拟从初始切削一直到稳态的过程，能够预测切屑的形状和工件的残余应力等参数[2]。但是用这种方法预定义分离准则和切屑分离线来实现切屑和工件的分离，当物质发生大变形时常常使网格纠缠，轻则严重影响了单元近似精度，重则使计算中止或者引起严重的局部变形[1]。 为了克服欧拉描述和拉格朗日描述各自的缺点，Noh和Hirt在研究有限差分法时提出了ALE(Arbitrary Lagrange-Euler)描述，后来又被Hughes，liu和Belytschko等人引入到有限元中来。其基本思想是:计算网格不再固定，也不依附于流体质点，而是可以相对于坐标系做任意运动。由于这种描述既包含Lagrange的观点，可应用于带自由液面的流动，也包括了Euler观点，克服了纯Lagrange 方法常见的网格畸变不如意之处。自20世纪80年代中期以来，ALE描述己被广泛用来研究带自由液面的流体晃动问题、固体材料的大变形问题、流固祸合问题等等。金属的高速切削过程是一个大变形、高应变率的热力祸合过程，正适合采用ALE方法。 采用ALE方法进行高速切削仿真克服了拉格朗日方法和欧拉方法需要预先定义分离线、切屑和工件分离准则，假定切屑形状等缺点，避免了网格畸变以及网格再划分等问题，使切屑和工件保持良好的接触，使计算易于收敛[1][4]。 二、材料断裂准则 在金属切削成形有限元模拟中提出了多种切屑分离准则，这些准则可以分为两种类型：物理准则和几何准则。 优点： 几何分离准则需要预定义加工路径，在加工路径上判断刀尖与刀尖前单元节点的距离变化来判断分离与否。当两点的距离小于某个临界值时，刀尖前单元的节点被分成两个，其中一个节点沿前刀面向上移动形成切屑，另一个保留在加工表面上形成己加工表面[1][2]。。 物理分离准则是基于刀尖前单元节点的应力、应变及应变能等物理量定义分离条件，当单元中的该物理量的值超过给定材料的对应值时，单元节点就会分离[2]。（物理标准主要是基于制定的一些物理量的值是否达到临界值而进行判断的，主要有基于等效塑性应变准则、基于应变能密度准则、断裂应力准则等[5]）。 Carroll和Strenkowski使用了等效塑性应变作为物理分离准则的标准，在一些有限元软件中该标准的演化得到了应用，ABAQUS/Explicit中的剪切失效准则(shear failure)就是这样一种物理准则，它根据单元积分点处的等效塑性应变值是否到达预设值来判断材料是否失效[1]。 缺点：
稳态热传导问题的有限元法
6. 稳态热传导问题的有限元法 本章的内容如下： 6.1热传导方程与换热边界 6.2稳态温度场分析的一般有限元列式 6.3三角形单元的有限元列式 6.4温度场分析举例 6.1热传导方程与换热边界 在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。物体内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的热量交换，一般认为是与时间相关的。物体内部的热交换采用以下的热传导方程（Fourier 方程）来描述， Q z T z y T y x T x t T c +?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z y x λλλρ （6-1） 式中ρ为密度，kg/m 3 ； c 为比热容，K)J/(kg ?；z y x λλλ,,为导热系数，()k m w ?；T 为温度，℃；t 为时间，s ；Q 为内热源密度，w/m 3 。 对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式， Q z T y T x T t T c 222222+??+??+??=??λλλρ （6-2） 除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。初始条 件是指物体最初的温度分布情况， () z y,x,T T 00t == （6-3） 边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况。在传热学中一般把边界条件分为三类。 1） 给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。 物体表面上的温度或温度函数为已知， s s T T = 或 ),,,(t z y x T T s s = （6-4） 2） 给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。 已知物体表面上热流密度， s s z z y y x x q n z T n y T n x T =??+??+??)(λλλ
金属切削过程韧性断裂的有限元仿真现状
金属切削过程韧性断裂的有限元仿真现状 工件材料的断裂准则是金属切削加工有限元仿真的关键技术。分析了国内外金属切削加工有限元仿真的研究现状，并进一步对不同工件材料的断裂仿真技术的特点、适用条件进行了比较分析，指出了现阶段工件材料断裂准则仿真技术尚存在的问题，探讨了切削过程有限元仿真技术的发展趋势，为切削过程有限元建模发展提供一定的参考。 标签：金属切削：韧性断裂；有限元模型 引言 金属切削加工在21世纪依然是机械制造业的主要加工方法。它在保证高效率和低成本的基础上，通过刀具和工件的相互作用，去除工件表面的多余材料，来获得所需工件形状、加工精度和表面质量要求。而在在金属切削加工工艺中，不可避免地出现材料断裂现象，所以必须合理地利用材料产生的断裂，才能实现切削工艺过程[1]。 现代工业研究方法主要包括三种：理论分析、试验研究和有限元仿真，这三种方法可以综合利用。有限元技术以其周期短、结果准确、成本低等诸多优点，获得了广大工程技术和研究人员的青睐。基于有限元仿真技术强大的数值分析能力，它已成为定量研究金属切削加工过程的有效手段，该技术对减少制造成本，缩短产品制造周期和提高产品质量具有重要意义。 1 应用背景 19世纪中期，人们开始对金属切削过程的研究，到现在已经有一百多年历史。由于金属切削本身具有非常复杂的机理，对其研究一直是国内外研究的重点和难点。过去通常采用实验法，它具有跟踪观测困难、观测设备昂贵、实验周期长、人力消耗大、综合成本高等不利因素。 传统的切削过程研究中，试验法是最主要的研究方法，即根据试验结果得出经验公式，从而预报切削力。日益增长的时间设备材料和人力成本的消耗促使人们寻找更通用、更有效的研究方法。而有限元法在分析弹塑性大变形问题，包括分析需要考虑与温度相关的材料性能参数和具有很大的应变速率的问题方面有着杰出的表现。 在金属断裂行为的预测方面，有限元技术可以对其进行模拟仿真，仿真过程能否顺利进行，对断裂行为的预测准确与否，取决于很多因素，其中断裂准则的准确获得以及有限元仿真过程断裂行为网格的调整和重新划分技术，成为工艺顺利进行和结果准确的关键。应用表明，合理利用有限元模拟仿真技术对金属断裂行为进行分析，可以准确预测金属成形缺陷，优化工艺路线和工艺参数[2]。
裂纹扩展的扩展有限元(xfem)模拟实例详解
基于ABAQUS 扩展有限元的裂纹模拟 化工过程机械622080706010 李建 1 引言 1.1 ABAQUS 断裂力学问题模拟方法 在abaqus中求解断裂问题有两种方法（途径）：一种是基于经典断裂力学的模型；一种是基于损伤力学的模型。 断裂力学模型就是基于线弹性断裂力学及其基础上发展的弹塑性断裂力学等。如果不考虑裂纹的扩展，abaqus可采用seam型裂纹来分析(也可以不建seam，如notch型裂纹)，这就是基于断裂力学的方法。这种方法可以计算裂纹的应力强度因子，J积分及T-应力等。 损伤力学模型是指基于损伤力学发展而来的方法，单元在达到失效的条件后，刚度不断折减，并可能达到完全失效，最后形成断裂带。这两个模型是为解决不同的问题而提出来的，当然他们所处理的问题也有交叉的地方。 1.2 ABAQUS 裂纹扩展数值模拟方法 考虑模拟裂纹扩展，目前abaqus有两种技术：一种是基于debond的技术（包括VCCT）；一种是基于cohesive技术。 debond即节点松绑，或者称为节点释放，当满足一定得释放条件后（COD 等，目前abaqus提供了5种断裂准则），节点释放即裂纹扩展，采用这种方法时也可以计算出围线积分。 cohesive有人把它译为粘聚区模型，或带屈曲模型，多用于模拟film、裂纹扩展及复合材料层间开裂等。cohesive模型属于损伤力学模型，最先由Barenblatt 引入，使用拉伸-张开法则（traction-separation law）来模拟原子晶格的减聚力。这样就避免了裂纹尖端的奇异性。Cohesive 模型与有限元方法结合首先被用于混凝土计算和模拟，后来也被引入金属及复合材料。Cohesive界面单元要服从cohesive 分离法则，法则范围可包括粘塑性、粘弹性、破裂、纤维断裂、动力学失效及循环载荷失效等行为。 此外，从abaqus6.9版本开始还引入了扩展有限元法（XFEM），它既可以模拟静态裂纹，计算应力强度因子和J积分等参量，也可以模拟裂纹的开裂过程。被誉为最具有前途的裂纹数值模拟方法。本文将利用abaqus6.9版本中的扩展有限元法功能模拟常见的Ⅰ型裂纹的扩展。 2 Ⅰ型裂纹的扩展有限元分析 本文针对断裂力学中的平面Ⅰ型裂纹扩展问题用abaqus中的扩展有限元方法进行数值模拟，获得了裂纹扩展的整个过程，裂尖单元的应力变化曲线，以及裂纹尖端塑性区的形状。在此基础上绘制裂纹扩展的能量历史曲线变化趋势图。
基于有限元计算的金属断裂准则的应用与分析
第32卷第3期Vo l 32 No 3 锻 压 技 术 FORGING &STAMPING TECHNOLOGY 2007年6月 Jun.2007 基于有限元计算的金属断裂准则的应用与分析 * 胡建军1**,许洪斌1,金 艳2,陈元芳1 (1 重庆工学院材料学院,重庆 400050;2 重庆工学院计算机学院,重庆 400050) 摘要:为获得金属各种断裂行为的有限元分析与实际情况的符合度,论述了金属材料在有限元分析中常见断裂的判断方法。介绍了断裂行为有限元分析关键技术和常见延性断裂准则,并提出一种获得金属断裂准则的方法,以及此方法在断裂行为有限元分析中的成功应用。介绍了断裂行为有限元分析过程中有限元网格的调整和重划分,有限元技术在挤压、金属切削、切断和精冲工艺中断裂行为的成功分析,得出断裂行为有限元分析中的关键因素。关键词:断裂行为;有限元;断裂准则 中图分类号:TG111 91;TG301 文献标识码:A 文章编号:1000 3940(2007)03 0100 04 Application and analysis of metal fracture behavior based on FEM calculation HU Jian jun 1,XU Hong bin 1,JIN Yan 2,CHEN Yuan fang 1 (1 Depar tment o f M ater ial Science and Eng ineering ,Cho ng qing Institute of T echno lo gy ,Cho ng qing 400050,China;2 Depart ment o f Co mputer Science and Eng ineering ,Chongqing Institute of T echnolog y,Cho ng qing 400050,China)Abstract:In or der to o btain the confor mity betw een F EM analysis and the r eal conditio n of the metal fr actur e behav io r,the general judgement met ho d of metal fracture FEM analy sis w as discussed T he key technolog y of FEM used fo r metal fracture behavio r w as introduced in detail T he g ener al ductility fr act ur e criterion w as discussed and a fracture cr iter ion method was put fo rw ard T he adjustment and re meshing of f inite element gr id fo r met al fracture behavio r and t he successful applicat ion of FEM t echnolog y to metal fracture behavio r during ex trusion,cutt ing and stamping w ere int roduced T he key facto r of F EM used for metal fr act ur e behavior w as acquired Keywords:fracture behav io r;f inite element metho d;fracture cr iterion *重庆科委自然科学基金资助项目(CSTC2006BB3407,CSTC2005BB3080) **男,32岁,硕士,讲师 收稿日期:2006 06 13;修订日期:2006 08 25 1 引言 制造业是现代工业的基础,其中金属材料成形占有相当大的比重。在金属成形和加工工艺中,不可避免地出现材料断裂现象。对于拉深、挤压、拉 拔、轧制和锻造等工艺,是通过材料的塑性变形来获得工件最终的形状,材料的断裂是成形过程中需要避免的主要缺陷之一,在设计这些工艺时必须避免。对于通过塑性变形和断裂过程结合来实现工件的成形,例如冲裁、切料、剪切以及切削工艺,断裂往往是不可避免的,必须合理地利用材料产生的断裂,才能实现这些工艺过程 [1] 。现代工业研究方 法主要包括3种:理论分析、试验研究和有限元仿真,这3种方法可以综合利用。有限元技术以其周期短、结果准确、成本低等诸多优点,获得了广大工程技术和研究人员的青睐。本文利用有限元技术 研究材料断裂行为,准确分析金属加工和成形过程的裂纹产生和材料断裂,预测出给定加工工艺最终的产品质量,为设计工艺给出准确评判并为进一步改进工艺指明方向。 2 有限元分析技术中的断裂判断 有限元法分析在预测断裂问题上提供了强有力的工具,在实际应用中,必须针对具体情况来选择适用的断裂判据,主要用到的断裂判据如下。2 1 FLD (变形界限图) 这种判据在以平面应变为主的板料成形分析中应用广泛,不同变形模式下的板厚应变极限不同。在冲压成形中,有各种各样的变形模式,FLD 的实质就是断裂和没有断裂的变形模式的界限,判断某点是否产生断裂,就是判断该点的变形模式是落在哪个区域中。通过软件分析材料的应变,将其放在FLD 中考察,若有点落在断裂区域,则表示该点处产生断裂,反之则未产生断裂。这种方式可以判断材料的断裂,但不能直观显示断裂后材料的具体形貌特征 [2] 。
有限元与断裂力学
有限元与断裂力学 2013024122 王增贤 1.1研究背景及意义 断裂力学是最近半个世纪才发展起来的一门新兴科学,它是对经典连续介质 力学的一个重要贡献"断裂力学主要研究带裂纹固体的强度和裂纹传播的规律, 它的主要任务是研究裂纹尖端应力应变情况,掌握裂纹在荷载作用下的扩展规律, 了解带裂纹体的承载能力,从而提出抗裂纹设计方法,以保证构件的安全工作=.l" 断裂力学产生于人们对各种工程断裂事故的思考"为了避免断裂事故,人们 与之进行了长期的!艰苦的和卓有成效的斗争"起初凭经验,后来发展成为理论" 在断裂力学出现以前,传统的控制构件不发生断裂而能够安全工作的理论,称为 强度条件或安全设计,其基本思想是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力, 即 安全设计对确保构件安全工作起了重大作用,至今仍然是必不可少的"但人 们在长期的生产实践中,逐步认识到在某种情况下,/安全设计0设计出的构件并 不安全,断裂事故仍不断发生,特别是对于高强度材料构件,焊接结构,处在低 温或腐蚀环境中的结构等,断裂事故就更加频繁"例如,1938一1940年比利时阿 尔伯运河上几座大桥的断裂;1943一1947年美国5000余艘焊接船竟然连续发生 了一千多起断裂事故,其中238艘完全毁坏;1949年东俄亥俄煤气公司的圆柱形 液态天然气罐爆炸使周围街市变为废墟"这些接连不断的工程断裂事故引起了人 们高度的警觉,这些事故发生在工作应力低于材料的屈服极限的条件下,用传统 的安全设计观点是无法解释的"从大量断裂事故分析中发现,断裂皆起源于构件 有缺陷"传统的设计思想的一个严重问题是把材料视为无缺陷的均匀连续体,而 实际上构件总是存在着形式不同的缺陷,因而实际材料的强度大大低于理论模型 的强度"断裂力学正好弥补了传统设计思想的不足" 根据国际坝工委员会(ICOLD)1988年所作关于大坝工作状态的调查报告, 在失事的243座混凝土坝中,有30座是由裂纹问题而引起的"我国曾对98座大 中型水电工程进行耐久性调查,结果发现70%大坝存在不同程度的裂纹"混凝土 坝存在各种类型的裂纹,裂纹的存在和扩展,使大坝的承载力受到一定程度的削弱,同时还会引起坝体渗漏!加速混凝土碳化!降低混凝土抵抗各种侵蚀性介质 的耐腐蚀性能力等,甚至危害大坝的正常运行或缩短大坝使用寿命,因此裂纹问 题是影响工程结构质量和耐久性的重要因素之一"结构中裂纹的存在并不可怕, 可怕的是裂纹的发展问题,因此研究裂纹的稳定性!预测裂纹的发展是评估结构 的安全性!可靠性和耐久性必不可少的重要内容和关键技术" 1.2断裂力学的研究现状 断裂力学的基本概念最早是英国物理学家Griffith于1920年在对玻璃的断裂 研究中提出来的"Griffith用材料内部有缺陷(裂纹)的观点,解释了材料实际强度 仅为理论强度的千分之一的现象,同时认为,裂纹体受载时,如果裂纹扩展所需 的表面能小于弹性能的释放值,则裂纹就扩展并将最后导致断裂"这一理论在玻
扩展有限元方法和裂纹扩展
扩展有限元方法和裂纹扩展 1.1 扩展有限元方法（XFEM ）基本理论 1999年，美国Northwestern University 的Belytschko 和Black 领导的研究小 组提出了扩展有限元方法，为解决裂纹这类强不连续问题带来了曙光。他们正式 应用扩展有限元法（XFEM ）这一专业术语是在2000年，截止到目前，扩展有 限元法（XFEM ）成为我们解决强不连续力学问题的最有效的数值计算方法，也 成为计算断裂力学的重要分支。XFEM 在有限元的框架下进行求解，无需对构件 内部的物理界面进行网格划分，具有常规有限元方法的所有优点。它最明显的特 点是用已知的特征函数作为形函数来使传统有限元的位移得到逼近，进而克服了 在裂纹尖端和变形集中处进行高密度网络划分产生的困难，方便地模拟裂纹的任 意路径，而且计算精度和效率得到了显著的提高[6]。 扩展有限元方法是将已知解析解的特征函数作为插值函数增强传统有限元 的位移逼近，来使得单元内的真实位移特性得以体现，裂纹尖端和物理或几何界 面独立于有限元网格。XFEM 主要包括以下三部分内容：首先是不考虑构件的任 何内部细节，按照构件的几何外形尺寸生成有限元网格；其次，采用水平集方法 跟踪裂纹的实际位置；根据已知解，改进影响区域的单元的形函数，来反映裂纹 的扩展。最后通过引入不连续位移模式来表示不连续几何界面的演化。因为改进 的插值函数在单元内部具有单元分解的特性，其刚度矩阵的特点与常规有限元法 的刚度矩阵特性保持一致。单元分解法(Partition Of Unity Method)和水平集法 （Level Set Method ）、节点扩展函数构成了扩展有限元法的基本理论，其中，单 元分解法是通过引入加强函数计算平面裂纹扩展问题，保证了XFEM 的收敛性； 水平集法是跟踪裂纹的位置和模拟裂纹扩展的常用数值方法，任何内部几何界面 位置都可用它的零水平集函数来表示。 (1)单元分解法的基本思想是任意函数()x φ都可以用子域内一组局部函数 ()()x x N I ?表示，满足如下等式： ()()()x x N x I I ?φ∑= （1） 其中，它们满足单位分解条件：f I I ?x ()=1 ()x N I 是有限元法中的形函数，根 据上述理论，便可以根据需要对有限元的形函数进行改进。在XFEM 中，单元 分解的目的是进行数值积分，达到不引人额外的自由度的目的[7-8]。 (2)水平集法 使用水平集法来描述几何间断性。在一般情形下，多用来追踪
复合材料界面对其断裂过程影响的有限元研究
收稿日期6;修回日期83 作者简介李旭东,8年出生,硕士研究生,主要从事信息功能材料及计算材料学方面的研究。x 38@复合材料界面对其断裂过程影响的有限元研究 李旭东1 张 跃1 张凡伟1 张大海2 李仲平2 (1 北京航空航天大学材料科学与工程学院,北京 100083) (2 航天材料及工艺研究所先进功能复合材料技术国防科技重点实验室,北京 100076) 文 摘 采用了有限元方法研究了裂纹在陶瓷基复合材料中扩展和偏转过程,探讨了界面对陶瓷基复合 材料失效模式的影响。采用的界面模型考虑界面的分离势和基体与纤维间的摩擦。结果表明,在界面结合强度一定的条件下,随着基体弹性模量的不断增大,材料的断裂功也随之增大,材料的韧性和抗热震性能也就随之提高。 关键词 复合材料,界面,断裂,有限元法 Finite Element Research on I nterface of Composites During Fracturing L i Xudong 1 Zhang Yue 1 Zhang Fan wei 1 Zhang Dahai 2 L i Zhongping 2 (1 Scho o l of M ate ri a l Sc ience and Engineering,Be ihang University,B eijing 100083) (2 Na tiona l Key Laborat ory of Advanced Functiona l Co mposite M ate rials,Ae r ospace Re sea rch Institut e of M ate ri a ls &Proce ssi ng Technol og y,Be ijing 100076) Abstra ct Finite ele m ent m ethod was employed for the si mulation of crack gr owth behavior of cera m ic s m atrix composite s and then the influence of inte r face wa s studied .Shear and tensi on potentials and fric tion bet ween fiber and m atrix were taken into acc ount in the model .It is sho wed that the fracture energy increase swhen the interf acia l bond 2ing strength is not changed and the elastic modulus of m atrix increa ses and hence the fracture toughness and ther ma l shock resistance of co mposite s are i m p r oved. Key wor ds Composites,I nter face,Fracture,Finite ele m ent m ethod 0 引言 陶瓷复合材料中纤维/基体的界面对其断裂模式有很大的影响。一方面,界面对纤维与基体间的应力传递起着至关重要的作用,另一方面,界面也影响着复合材料在不同载荷作用下的力学性能和断裂方式。界面的脱粘和失效的数值模拟是研究的重点,而且绝大部分工作是在细观力学有限元的基础上展开的。近年来,B a o [1]利用一个带三维界面损伤的体元模型模拟了界面脱粘中裂纹对复合材料强度和蠕变阻力的影响。W a lte [2] 用包含粘结单元的体元模型分析了SiC 纤维增强硅酸铝钙中的界面损伤。粘结单元代表在多个连续有限单元之间的一种表面单元,可以发生破坏,利用这种单元可以模拟材料的界面损伤。Hashin [3] 采用了广义自洽模型,把界面定义为应力和不连续位移存在线性关系的无厚度界面,这样的界面 被称为粘结带模型。Jones 和W hittie r [4]的弹性界面模型也认为无厚度的界面上位移不连续而应力与位移成线性关系。Achenbach 和Zhu [5] 考虑了界面连结强度,认为只有在界面局部应力超过界面强度时界面才会发生分离,应力与界面上不连续的位移成线性关系,并且讨论了界面强度对复合材料细观应力场分布以及宏观性能的影响。Needle m an [6]在实验的基础上提出了一种有分离强度的非线性界面分离模型,将界面应力表达成界面位移的三次函数的形式,可以较好地描述界面脱粘的完整过程以及应力卸载的情况。L issenden 和He r akovich [7] 将分离函数进行了改进并用有限元分析了复合材料的弹塑性问题。Ferr ante [8]考虑了界面粘结的能量势函数提出用指数函数的形式来描述界面分离,N i mm er [9] 基于有限元方法分析了界面粘结中残余应力对界面分离的影响。基于界 :2007-10-1:200-04-2:192E -m a il :l d https://www.360docs.net/doc/c316717462.html,
有限元分析的发展趋势
有限元分析的发展趋势 吴维 1965年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。 近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道，石化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： ●增加产品和工程的可靠性； ●在产品的设计阶段发现潜在的问题 ●经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本 ●缩短产品投向市场的时间 ●模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费 国际上早在60年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序，但真正的CAE软件是诞生于70年代初期，而近15年则是CAE软件商品化的发展阶段，CAE开发商为满足市场需求和适应计算机硬、软件技术的迅速发展，在大力推销其软件产品的同时，对软件的功能、性能，用户界面和前、后处理能力，都进行了大幅度的改进与扩充。这就使得目前市场上知名的CAE软件，在功能、性能、易用性﹑可靠性以及对运行环境的适应性方面，基本上满足了用户的当前需求，从而帮助用户解决了成千上万个工程实际问题，同时也为科学技术的发展和工程应用做出了
稳态热传导问题有限元法
6.稳态热传导问题的有限元法 本章的内容如下： 6.1热传导方程与换热边界 6.2稳态温度场分析的一般有限元列式 6.3三角形单元的有限元列式 6.4温度场分析举例 6.1热传导方程与换热边界 在分析工程问题时， 经常要了解工件内部的温度分布情况， 例如发动机的工作温度、 金 属工件在热处理过程中的温度变化、 流体温度分布等。物体内部的温度分布取决于物体内部 的热量交换，以及物体与外部介质之间的热量交换， 一般认为是与时间相关的。物体内部的 热交换采用以下的热传导方程（Fourier 方程）来描述， T T T T c x y z Q （ 6-1） t x x y y z z 式中 为密度，kg/m 3； c 为比热容，J/（kg K ） ； x , y , z 为导热系数， w m k ； T 为温度，C ； t 为时间，s ； Q 为内热源密度，w/m 3。 对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式， T 2 T 2 T 2 T c 2 2 — Q （6-2） t x y z 除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。 初始条 件是指物体最初的温度分布情况， T t 0 T 0 x, y,z （6-3） 边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况。 在传热学中一般把边界条件分为三 类。 1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。 物体表面上的温度或温度函数为已知， T s T s 或 T s T s （x,y,z,t ） （6-4） 2）给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。 已知物体表面上热流密度， (x T n x x T y n y y T z n z ) z s q s T T T 、 或 (x n x y n y z n z ) s q s (x, y, z,t) （6-5）