高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》经典测试题附答案
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编及答案
新数学《计数原理与概率统计》专题解析
一、选择题
1．已知离散型随机变量X服从二项分布~(,)XBnp，且()4EX，()DXq，则11pq的最小值为（ ）
A．2 B．52 C．94 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项分布~XBnp，的性质可得EX，DX，化简即44pq，结合基本不等式即可得到11pq的最小值.
【详解】
离散型随机变量X服从二项分布XBnp:，，
所以有4EXnp，
1DXqnpp（，
所以44pq，即14qp，（0p，0q）
所以11114qppqpq 5592144444qpqppqpq，
当且仅当423qp时取得等号．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
2．在区间[1,1]上随机取一个数k，使直线(3)ykx与圆221xy相交的概率为（ ）
A．12 B．13 C．24 D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.
【详解】 因为圆心(0,0)，半径1r，直线与圆相交，所以
2|3|11kdk，解得2244k
所以相交的概率22224P,故选C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.
3．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:pxR使得2010x，则:pxR都有210x；
（2）已知2(2,)XN:，则 (2)0.5PX
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx；
（4）“1x”是“12xx”的充分不必要条件.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》分类汇编及答案
新高中数学《计数原理与概率统计》专题解析
一、选择题
1．已知P是△ABC所在平面内﹣点，20PBPCPAuuuruuuruuurr，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A．23 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．从而S△PBC=12S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
【详解】
以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则PBPCuuuruuur=PDuuur，
∵20PBPCPAuuuruuuruuurr，∴2PBPCPAuuuruuuruuur，
∴2PDPAuuuruuur，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．
∴S△PBC=12S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P=PBCABCSSVV=12．
故选B．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
2．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
A．112 B．115 C．118 D．114
【答案】D
【解析】
【分析】
先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，
随机选取两个不同的数，共有2828C种，
其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320，共有2种，
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编附答案解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考知识点
一、选择题
1．已知929012913xaaxaxaxL，则019aaa…等于（ ）
A．92 B．94 C．93 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
求出二项式913x展开式的通项为193rrrTCx，可知当r为奇数时，0ra，当r为偶数时，0ra，然后代入1x即可得出019aaa的值.
【详解】
二项式913x展开式的通项193rrrTCx，当r为奇数时，0ra，当r为偶数时，0ra，
因此，990191314aaa.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）
A．100种 B．60种 C．42种 D．25种
【答案】C
【解析】
【分析】
给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数.
【详解】
甲可有3种安排方法，
若甲先安排第1社区，
则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343CC；
第2社区2个、第3社区安排2个，共2242CC；
第2社区3个，第3社区安排1个，共1141CC；
故所有安排总数为1322114342413()42CCCCCC.
故选：C.
【点睛】 本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》分类汇编附答案
【最新】数学高考《计数原理与概率统计》专题解析(1)
一、选择题
1．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ）
A．36 B．72 C．24 D．48
【答案】A
【解析】
【分析】
分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有212421226CCCA种分组方法；
②将分好的3组对应3名任课教师，有336A种情况；
根据分步乘法计数原理可得共有6636种不同的问卷调查方案．
故选A．
【点睛】
解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．
2．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）
A．314 B．27 C．928 D．1928
【答案】A
【解析】
【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】
根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；
巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；
离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故632814p.
故选：A.
【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
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【最新】数学《计数原理与概率统计》专题解析(1)
一、选择题
1．若实数22a，则1019228101010222aCaCaL等于( )
A．32 B．－32 C．1 024 D．512
【答案】A
【解析】
由题意可得：
10192221010101010222222232.aCaCaaL
本题选择A选项.
2．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案.
【详解】
由得，故或，由，故或，故使的概率为.
【点睛】
本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.
3．在区间[1,1]上随机取一个数k，使直线(3)ykx与圆221xy相交的概率为（ ）
A．12 B．13 C．24 D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.
【详解】
因为圆心(0,0)，半径1r，直线与圆相交，所以 2|3|11kdk，解得2244k
所以相交的概率22224P,故选C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.
4．若1()nxx的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．252 B．70 C．256x D．256x
【答案】B
【解析】
由题意可得26nnCC，所以8n，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44445881()70TCxCx，故选B.
5．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:pxR使得2010x，则:pxR都有210x；
（2）已知2(2,)XN:，则 (2)0.5PX
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx；
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》综合练习
【最新】《计数原理与概率统计》专题
一、选择题
1．设1021001210(2)xaaxaxaxL，那么220210139)aaaaaaLL的值为（ ）
A．0 B．1 C．1 D．10(21)
【答案】C
【解析】
【分析】
令1x和1x得到012310aaaaaL，012310aaaaaL，再整体代入可得；
【详解】
解：因为10210012102xaaxaxaxL，
令1x得1001231021aaaaaL，
令1x得1001231021aaaaaL，
所以220210139)aaaaaaLL
012310012310aaaaaaaaaaLL
10102121
102121
1011
故选：C
【点睛】
本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．
2．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ）
A．15 B．310 C．25 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C
这三个数能构成三角形的情况有：2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：310
故选B
3．若不等式组2302400xyxyy表示的区域为，不等式222210xyxy表示的区域为T，则在区域内任取一点，则此点落在区域T中的概率为（ ）
A．4 B．8 C．5 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组2302400xyxyy对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
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【高中数学】高考数学《计数原理与概率统计》解析
一、选择题
1．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,xxxxL，它们的平均数为x，方差为2s；其中扫码支付使用的人数分别为132x，232x，332x，L，10032x，它们的平均数为x，方差为2s，则x，2s分别为（ ）
A．32x，232s B．3x，23s C．32x，29s D．32x，292s
【答案】C
【解析】
【分析】
由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由平均数的计算公式，可得数据12100,,,xxxL的平均数为1231001()100xxxxxL
数据1210032,32,,32xxxL的平均数为：
121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100xxxxxxxLL，
数据12100,,,xxxL的方差为2222121001[()()()]100sxxxxxxL，
数据1210032,32,,32xxxL的方差为：
222121001{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100xxxxxxL
2222121001[9()9()9()]9100xxxxxxsL
故选C.
【点睛】
本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C内任取一点,则该点落在区域M上的概率为( )
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【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识要点(1)
一、选择题
1．在矩形ABCD中，ABAD，在CD上任取一点P，使ABP△的最大边是AB的概率为35，则在折线A-D-C-B上任取一点Q，使ABQ△是直角三角形的概率为（ ）
A．611 B．511 C．59 D．49
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意设5AB，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD，再由几何概型概率公式即可得解.
【详解】
如图，矩形是对称的，设P在线段MN上时，ABP△的最大边为AB，
则此时AMBNAB，
设5AB，则3MN，
所以1DNCM，4DM，5AM，
由勾股定理知3AD，
当Q在AD或BC上时，ABQ△为直角三角形，
故所求概率为611ADBCpADCDBC.
故选：A.
【点睛】
本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.
2．设某中学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数,iixy1,2,3,,inLL，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx，给出下列结论，则错误的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．若该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0．85kg
C．回归直线至少经过样本数据,iixy1,2,3,,inLL中的一个
D．回归直线一定过样本点的中心点(),xy
【答案】C 【解析】
【分析】
根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可.
【详解】
因为0.850k，所以y与x具有正的线性相关关系，故A正确；
该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0．85kg，故B正确；
回归直线一定过样本点的中心点(),xy，回归直线有可能不经过样本数据，
故D正确；C错误.
故选：C．
【点睛】
本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》专项训练解析附答案
【最新】数学《计数原理与概率统计》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知929012913xaaxaxaxL，则019aaa…等于（ ）
A．92 B．94 C．93 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
求出二项式913x展开式的通项为193rrrTCx，可知当r为奇数时，0ra，当r为偶数时，0ra，然后代入1x即可得出019aaa的值.
【详解】
二项式913x展开式的通项193rrrTCx，当r为奇数时，0ra，当r为偶数时，0ra，
因此，990191314aaa.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．设某中学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数,iixy1,2,3,,inLL，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx，给出下列结论，则错误的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．若该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0．85kg
C．回归直线至少经过样本数据,iixy1,2,3,,inLL中的一个
D．回归直线一定过样本点的中心点(),xy
【答案】C
【解析】
【分析】
根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可.
【详解】
因为0.850k，所以y与x具有正的线性相关关系，故A正确；
该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0．85kg，故B正确；
回归直线一定过样本点的中心点(),xy，回归直线有可能不经过样本数据，
故D正确；C错误.
故选：C． 【点睛】
本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.
3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编附解析
新数学复习题《计数原理与概率统计》专题解析
一、选择题
1．若随机变量X的分布列为（
）
X
0 1 2
P 13 a b
且1EX，则随机变量X的方差DX等于（ ）
A．13 B．0 C．1 D．23
【答案】D
【解析】
分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量X的方差DX.
详解：由题得1113,,130213ababab
所以2221112()(01)(11)(21).3333DX
故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是1x，2x，…，nx，…，且取这些值的概率分别是1p，2p，…，np，那么D＝211()xEp＋222()xEp＋…＋2()nnxEp,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量的期望．
2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A．2 B．3 C．10 D．15 【答案】C
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.
【详解】
设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
3．在区间[1,1]上随机取一个数k，使直线(3)ykx与圆221xy相交的概率为（ ）
A．12 B．13 C．24 D．23