上海市高二第二学期期末数学试题(共5套,含答案)
1 上海市青浦区第二学期高二年级期终学业质量调研 数学试卷 （满分150，时间120分钟） 考生注意： 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题 卷上答题无效. 3. 本试卷共有21道试题,可以使用规定型号计算器.
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考生应在答 题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分 1. 复数iz43（i是虚数单位）的虚部是 【答案】4 2. 平面直角坐标系中点）（2,1到直线012yx的距离为
【答案】5 3. 62)12(xx的展开式中的常数项是 【答案】60 4. 已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱为3，则该正六棱柱的体积为 【答案】18 5. 已知球的半径为R，BA、为球面上两点，若BA、之间的球面距离是3R，则这两点间的距离等于 【答案】R 6. 如图，以长方体1111DCBAABCD的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间
直角坐标系，若1DB的坐标为)2,3,4(，则1AC的坐标为 2
【答案】)2,3,4( 7. 过点)1,3(的直线l与圆4)2()2(:22yxC相交于BA、两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于 【答案】4 8. 抛物线xy42上一动点P到点)2,0(A的距离与P到该抛物线准线距离之和的最小值为 【答案】5 9. 若双曲线)0,0(12222babyax的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则该双 曲线的渐近线方程是
【答案】xy33 10. 平面上两组平行线互相垂直，一组由6条平行线组成，一组由5条平行线组成，则它们能围成的矩形个数是 【答案】150 11. 设和是关于x的方程022mxx的两个虚数根，若O、、在复平面对应的点构成直角三角形，那么实数m 【答案】2 12. 已知曲线C的方程为0),(yxF，集合}0),(|),{(yxFyxT，若对于任意的Tyx),(11，都存在Tyx),(22，使得02121yyxx成立，则称曲线C为曲线.下列方程所表示的曲线中,是曲线的有（写出
所有曲线的序号） ①1222yx；②122yx；③xy22；④1||||xy 【答案】①③ 二. 选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 13. “直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的一个（） 【A】充分不必要条件 【B】必要不充分条件 【C】充要条件 3
【D】既非充分也不必要条件 【答案】B
14. 曲线12:22yxyx的图像（） 【A】关于x轴对称 【B】关于原点对称,但不关于直线xy对称 【C】关于y轴对称 【D】关于直线xy对称，关于直线xy-对称 【答案】D 15.下列命题中,正确的命题是 【A】若0,2121zzCzz、，则21zz4)-x
【B】若Rz，则2||zzz不成立 【C】0,,2121zzCzz，则01z或02z 【D】0,222121zzCzz、，则01z且02z 【答案】C 16.如图，正方体1111DCBAABCD，则下列四个命题： ①点P在直线1BC上运动时，直线AP与直线DA1所成角的大小不变； ②点P在直线1BC上运动时，直线AP与平面1ACD所成角的大小不变； ③点P在直线1BC上运动时，二面角CADP1的大小不变； ④点P在直线1BC上运动时，三棱锥PCDA1的体积不变. 其中的真命题是（） 【A】①③ 【B】③④ 【C】①②④ 【D】①③④
【答案】D 4
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分. 已知复数imi,-2，其中i是虚数单位，Rm.
（1）若||2||，求实数m的取值范围； （2）若是关于x的方程)(0102Rnnxx的一个根，求实数m与n的值. 【答案】 （1）)2,6(；（2）6,36,3nmnm或
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 如图所示圆锥中，CDAB、为底面圆的两条直径，OCDAB，且CDAB，2ABSO，P为SB的中点.求: （1）该圆锥的表面积； （2）异面直线SA与PD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
【答案】
（1）)15(；)35arccos32arcsin(552arctan或或 5
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分. 已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，2,1ADABPA，点NM、在线段DCPB、上（不为端点），且满足NCDNMPBM,，其中0. （1）若1，求直线MN与平面ABCD所成的角的大小； （2）是否存在，使MN是DCPB，的公垂线，即MN同时垂直DCPB，？说明理由.
【答案】 （1）)322arccos31arcsin(42arctan或或；（2）21
20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 已知椭圆)0(12222babyax：的左右顶点分别是)0,2(),0,2(BA.点)21,3(在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作xPQ轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且||||PCQP. （1）求椭圆的方程； （2）求动点C的轨迹E的方程； （3）设直线AC（C点不同BA、）与直线2x交于R，D为线段RB的中点，证明:直线CD与曲线相切. 6
【答案】 （1）1422yx；（2）422yx；（3）证明如下 【解析】
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 在平面直角坐标系xOy中，对于点),(00yxP、直线0:cbyaxl，我们称2200bacbyax为点),(00yxP到直线0:cbyaxl的方向距离.
（1）设双曲线1422yx上的任意一点),(yxP到直线02:1yxl，02:2yxl的方向距离分别为21、，求21的值；
（2）设点)0,()0,(tFtE、、到直线02sin2cos:yxl的方向距离分别为21、，试问是否存在实数t，对任意的都有121成立？说明理由； 7
（3）已知直线0:nymxl和椭圆)0(12222babyax，设椭圆E的两个焦点21FF、到直线l的方向距离分别为21、满足221b，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试问的长||AB与ba的大小.
【答案】（1）54；（2）1t；（3）baAB|| 【解析】 8 上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷 一、填空题（每题4分，共56分） 1、设a<0，则a的平方根是____________． 2、若(x+1)10a0a1(x1)a2(x1)2…a10(x1)10，则系数a0____________． 3、在复平面内，复数11i、11i对应的点分别为A、B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数是____________． 4、正四面体ABCD的棱AD与面ABC所成角的大小为____________． 5、从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________． 6、棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BC的中点， 则点D1到直线AE的距离是____________． 7、五个数1,2,5,a,b的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是____________． 8、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2 cm的空穴，则该球的体积是____________cm3． 9、2100被9除的余数为____________． 10、在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x等于____________． 11、P是半径为1的球面上任意一点，PA、PB、PC是两两互相垂直的三条弦， 则PA2PB2PC2____________． 12、对任意一个非零复数z，定义集合{|,*}nzMwwznN．设α是方程10xx的一个根，若在Ma中任取两个数，则其和为零的概率P____________． 13、已知球Ol、O2的半径分别为l、r，体积分别为V1、V2，表面积分别为S1、S2，当r(1,)时，2121
VVSS
的取值范围是____________． 14、已知关于x的方程2x2bxc0，若b、c{0,1,2,3,4}，记“该方程有实数根x1、x2且满足1x1x22”为事件A，则事件A发生的概率为____________．
二、选择题（每题5分，共20分）
2021-2022学年上海市市北中学高二年级下册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市市北中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知物体做直线运动的方程为，则表示的意义是（ ）()s s t =()410s '=A ．经过4s 后物体向前走了10m B ．物体在前4秒内的平均速度为10m/s C ．物体在第4秒内向前走了10m D ．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/sD【分析】根据导函数的定义判断可得选项.【详解】解：由导数的意义知表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s ．()410s '=故选：D.2．若，则的值是（ ）(1)x +7280128(12)x a a x a x a x -=++++ 127a a a +++ A ．-2B ．-3C ．125D ．-131C【详解】试题分析：令，得；令，得，即0x =01a =1x =01282a a a a -=++++ ．又，所以，故选1283a a a +++=- 7787(2)128a C =-=-12783125a a a a +++=--= C ．二项式定理．3．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为A ．55B ．89C ．120D ．144A【分析】根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项，得到答案.【详解】由题意，可知，1234561,1,112,123,235,358a a a a a a ===+==+==+==+=，789105813,81321,132134,213455a a a a =+==+==+==+=故选A.本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中读懂题意，理清前后项的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、多选题4．对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于()f x ()02f x '=h 2的式子有（ ）A ．B ．()()00f x h f x h +-()()002f x h f x h +-C ．D ．()()002f x h f x h +-()()0022f x h f x h +-AD【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．【详解】解：因为，故选项A 正确；0000()()lim()2h f x h f x f x h →+-='=因为，故选项B 错误；0000()()1lim()122h f x h f x f x h →+-='=因为，故选项C 错误；0000(2)()lim2()4h f x h f x f x h →+-='=因为，故选项D 正确．0000(2)()lim()22h f x h f x f x h →+-='=故选：AD ．三、填空题5．除以的余数是___________.115071【分析】由结合二项式定理可求得除以的余数.()111150491=+11507【详解】，()111111110210101111115049149C 49C 49C 491=+=+⋅+⋅++⋅+ 而能被整除，111102101011111149C 49C 49C 49+⋅+⋅++⋅ 7故除以的余数是.115071故答案为.16．展开式的中间项是___________.6(1)x +320x 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求解.【详解】解：展开式的通项为：，展开共有7项，故中间项是第4项，16C k kk T x +=，33346C 20T x x ==故答案为.320x7．函数的导数为___________.32e xy x =1231e 2xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据导数四则运算，即可求解.【详解】解：，()'331'2223e e 1e 2x x xy x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'故1231e 2xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．计算：___________.33333456C C C C +++=35【分析】直接求解.【详解】,33333456C C C C 14102035+++=+++=故35.9．设常数，在空格内，写出左边到右边的推导过程：0,1a a >≠___________.()log a x '=1ln x a =()ln 1ln ln ln x x a a'⎛⎫'=⋅ ⎪⎝⎭【分析】根据基本初等函数的导数及导数的运算，即可求解.【详解】.()()ln 1log ln ln ln a x x x a a '⎛⎫''==⋅ ⎪⎝⎭1ln x a =故答案为.()ln 1ln ln ln x x a a'⎛⎫'=⋅ ⎪⎝⎭10．将4本不同的书分给3所不同的学校，其中一所学校分得2本，另两所学校各分得1本，则分书的种数为___________.36【分析】这是部分均匀分配问题，先分堆，后分配.【详解】解：分书的种数为(种).211342132236C C C A A ⨯=故36.11．曲线在点处的切线方程为___________.12exy -=1,12⎛⎫⎪⎝⎭220x y +-=【分析】根据导数求切线斜率，即可求解.【详解】解：，所以切线斜率为：，切线方程为，122exy --'=2k =-112(2y x -=--整理得：，220x y +-=故220x y +-=12．已知函数的定义域为R ，其导函数的图象如图所示，则对于任意()f x ()'f x ，下列结论正确的是___________.（填序号）()1212,x xx x ∈≠R ①恒成立；()0f x <②；()()()1212[]0x x f x f x --<③；()()()1212[]0x x f x f x -->④；()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭⑤()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭②⑤【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据图象的单调性判断①②③选项，根据图象的凹凸性判断④⑤选项.【详解】由题中图象可知，导函数的图象在x 轴下方，即，且其绝对值()'f x ()0f x '<越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾()f x 斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．()f x选项①，导函数只能反映原函数的单调性，不能反映原函数的正负，故①错；选项②表示与异号，即图象的割线斜率为负，12x x -()()12f x f x -()f x ()()1212f x f x x x --故②正确，选项③表示与同号，即图象的割线斜率为正，12x x -()()12f x f x -()f x ()()1212f x f x x x --故③不正确；表示对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭122x x +表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，()()122f x f x +1x x =2x x =显然有，故④不正确，⑤正确．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭故答案为:②⑤．四、双空题13．有8名学生排成一排，甲､乙相邻的排法种数为___________，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为___________.（用数字作答） 10080 30960【分析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；（2）可采用间接法得到；【详解】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有种情况；77210080A =（2）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，故有种情况876876A 2A A 30960-+=故10080；3096014．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示当x 为___________时，正三棱柱的体积最大，最大值是___________.6a354a 【分析】先设内部小三角形的边长为，根据三棱柱的体积的表达式，构建函数，2a x -利用导函数求最值，即可.【详解】解：由题意得：内部小三角形的边长为，又，所以，2a x -20a x ->02a x <<三棱柱的体积为，()()22212sin 60tan 3024x a x V a x x -=-⨯⨯=令()2322()244(0),2a f x x a x x ax a x x =-=-+<<，()()22()12862f x x ax a x a x a '=-+=--所以故，0,,()0,,,()0,662a a a x f x x f x ⎛⎫⎛⎫''∈>∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3max 2()()627a f x f a ==所以.33max1242754a V a =⨯=故；；6a354a 五、解答题15．求函数的导函数，并由此确定正切函数的单调区间.()tan f x x =单调递增区间为：,,22k k k Zππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【分析】根据导函数及定义域，即可求解单调区间.【详解】解：，又定义域为2222sin cos sin 1()(tan )(0cos cos cos x x x f x x x x x +'''====>,所以单调递增区间为：,无单调递减区间.|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,,22k k k Zππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭16．一个罐子中有同样大小及重量的20个玻璃球，其中4个是红色的，6个是黑色的，10个是白色的.经充分混合后，从罐子中同时取出2个球，求下列事件的概率：(1)两个球都是黑色的；(2)两个球的颜色不同.(1)338(2)6295【分析】(1)根据组合数公式即可求解，（2）先算出摸出的两个球是同色的概率，再用排除法即可求解.【详解】(1)两个球都是黑色的概率为26220C 3C 38P ==(2)两个球的颜色不同的概率为.2226104222202020C C C 621C C C 95P =---=17．设展开式的各项系数和为t ，其二项式系数和为h ，若，n 4160t h +=求：(1)展开式中x 的无理项个数；(2)展开式中系数最大的项.(1)5(2)1361458x【分析】(1)由二项式系数和与各项系数和可得n ，再由通项公式，即可求解.(2)假设第项系数最大，再由不等式，即可求解.1r +【详解】(1)解：各项系数和为，()24,2,42224160n n n n n n t h t h ==+=+=+=解得：，解得，()()2642650nn -+=2646nn =⇒=展开式通项公式为，，12666166(3r r r r rr r T C C x+--+==0,1,2,3,4,5,6r =当时，是整数，时，不是整数，系数是无理数，共有0,6r =126r +1,2,3,4,5r =126r+5项．(2)假设第项系数最大，则1r +，即，61566617663333r r r r r r r r C C C C -+----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩()()()()()()6!6!3!6!1!5!6!6!3!6!1!7!r r r r r r r r ⎧⋅≥⎪⋅-+⋅-⎪⎨⎪≥⋅⎪⋅--⋅-⎩解得：，3744r ≤≤又,所以，所以系数最大的项为.*r Z ∈1r =131351662631458T C x x==18．（1）若，解不等式；x N ∈2996x x P P ->（2）在的展开式中，第k 项，第项，第项的系数成等差()(2030)na b n +<<1k +2k +数列，求n 和k 的值；（3）设计一道排列组合的应用题，验证下面这个等式成立：()1122C C C C C C C C 1,,,m m m k m km n k n k n k n n k k m n k m n ---*+++++=≤≤≤∈N (1)；(2) ,.(3)过程见解析;{}234567，，，，，914k =或23n =【分析】(1)利用排列数公式,即可求解;(2)列用二项式展开式的通项公式,即可求解;(3)根据的展开式中项的系数设计题目,即可证明.(1)n kx ++mx 【详解】解:(1)得,,化简得,又()299296x x P P x ->≤≤()()9!9!69!11!x x >--2211040x x -+>,所以92x ≤≤234567x =，，，，，(2),所以有1C k n k k k n T a b -+=112C C +C ,k k k n n n -+=展开得:,()()()()()!!!2!!1!1!1!1!n n n k n k k n k k n k ⨯=+---++--化简得:,整理得,211k n kn k k -=+-++()2241420n k n k -++-=且,()()2241442890k k k ∆=+--=+>解得:n =n =所以只能是一个奇数的平方,89k +令,2*89(21),k m m N +=+∈所以,,228(21)9448k m m m =+-=+-222m m k +-=此时,22212n m m n m =+-=-或所以,.2220213042392023052314m m m n k m m n k <+-<===<-<===，，，或，，，(3)题目为: “求的展开式中项的系数为多少?”,(1)n k x ++m x ()1,,,k m n k m n *≤≤≤∈N解:由题意可得: 展开式中含项为,m x m mn k C x +也可以拆开为,故展开式中含项可以按照前面提供个x ,后面提供个(1)(1)n k x x ++mx m 0x , 前面提供个x ,后面提供个x,……以此类推,1m -1即可得展开式中含项为,m x 1122(C C C C C C )C m m m m k m k n k n k n k n x ---++++ 所以得证.()1122C C C C C C C C 1,,,m m m k m km n k n k n k n n k k m n k m n ---*+++++=≤≤≤∈N 19．已知函数.21()ln 2f x x a x =+(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；1a =-()f x (2)若，求函数在上的最大值和最小值；1a =()f x [1,e](3)若，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；1a =[1,)+∞()f x 32()3g x x=由此启发，给出以下结论成立的一个判断依据，“在区间（a 为常数）上，可导[,)a +∞函数的图象在可导函数的图象上方”（不必证明）.()f x ()g x (1)极小值()112f =(2)，min 1()2f x =2max 1()e 12f x =+(3)见解析【分析】（1）代入，从而化简并求其定义域，再求导判断函数的单调性及1a =-()f x 极值即可；（2）代入，从而化简并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的1a =()f x 最值；（3）代入，令，从而化在区间，上，函数1a =3221()()()ln 32F x g x f x x x x =-=--[1)∞+的图象在的图象下方为在，上恒成立，再化为函数的最()f x 32()3g x x=()0F x >[1)∞+值问题即可．【详解】(1)解：当时，的定义域为，1a =-21()ln 2f x x x =-(0,)+∞，1(1)(1)()x x f x x x x -+'=-=当时，，当时，，01x <<()0f x '<1x >()0f x '>所以在上是减函数，在上是增函数，()f x (0,1)(1,)+∞所以在处取得极小值；()f x 1x =()112f =(2)解：当时，的定义域为，1a =21()ln 2f x x x =+(0,)+∞，1()0f x x x '=+>故在，上是增函数，()f x [1e]故，；()min 1()12f x f ==()2max 1()e e 12f x f ==+(3)证明：令，3221()()()ln 32F x g x f x x x x =-=--则，221(1)(21)()2x x x F x x x x x -++'=--=，，[1x ∈ )∞+，2(1)(21)()0x x x F x x -++'∴=≥在，上是增函数，()F x ∴[1)∞+故，()211()10326F x F ≥=-=>故在区间，上，函数的图象在的图象下方，[1)∞+()f x 32()3g x x=要使在区间（a 为常数）上，可导函数的图象在可导函数的图象上方，[,)a +∞()f x ()g x 只需要函数在区间（a 为常数）上恒成立即可.()()0f xg x ->[,)a +∞。
上海市杨浦区2023-2024学年高二下学期期末模拟质量调研数学试题
上海市杨浦区2023-2024学年高二下学期期末模拟质量调研数学试题一、填空题1．抛物线24y x =的焦点坐标是.2．直线y x =的倾斜角大小是．3．已知圆C 的方程是22240x y x y +-+=，则圆心C 的坐标是．4．平行直线3450x y +-=及3450x y ++=之间的距离是．5．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于．．8环的概率是． 6．如图，一个圆锥形杯子，杯口半径和杯子深度都是4厘米，如果将该杯子装满饮料，则可以装立方厘米．7．已知(1,2,3)a =-r ，(2,,)b m n =r ，若//a b r r ，则m n +=．8．同时掷两颗骰子，则所得点数相等的概率为．9．学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，图中x 的值是．10．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，分别在棱B 1B 和D 1D 上，且BE 113BB =，DF 123DD =．若1EF xAB yAD z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x +y +z ＝．11．已知数列{}n a 是首项是1，公比为(0)q q >的等比数列，数列{}n b的通项公式是n b 22221n n x y a b -=的离心率为n e且2e =，则当n =时，n e 最大． 12．早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C 的方程为2y x =，过点（1，0）作抛物线C 的切线l （l 的斜率不为0），将抛物线C 、直线l 及x 轴围成的阴影部分绕y 轴旋转一周，所得的几何体记作Ω，利用祖暅原理，可得出几何体Ω的体积为．二、单选题13．“1m =-”是“直线1:20l x my +-=与直线2:(2)320l m x my m -++=互相垂直”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 14．设a 、b 是两条不同的直线，α是一个平面，若a αP 且b αP ，则a 、b 的位置关系是（ ）．A ．相交B ．平行C ．异面D ．不能确定15．已知事件A 与B 互斥，它们都不发生的概率为25，且()2()P A P B =，则()P A =（ ）．A ．15B ．25C ．35D ．4516．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，点P 在正方形11BCC B 内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：①存在点P 满足11PD MB ⊥；②存在点P 满足1PD 与平面11A D M 所成角的大小为60︒；③存在点P 满足1125MD MP +=； 其中正确的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题17．设数列{}n a 为等差数列，其公差为d ，前n 项和为n S ．(1)已知221a =，776a =，求1a 及d ；(2)已知610a =，55S =，求8S ．18．如图，三棱柱111OAB O A B -中，11OA OB OO ===，90AOB ∠=︒，1OO 垂直于平面OAB ．(1)求异面直线1AO 与1OB 所成角的大小；(2)求点O 到平面1AO B 的距离．19．某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中N a ∈，N b ∈）；(1)请写出高二年级样本的中位数；(2)若高一年级样本的平均数为3.2，求a 的值；(3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求a 的值；20．端午节吃粽子，用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状是一个正四面体，如图记作正四面体A-BCD ，设棱长为a ．(1)求证：BC AD ⊥(2)求箬竹叶折出的二面角A BC D --的大小；(3)用绳子捆扎三角粽，要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合．请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短（不计打结用的绳子），请在图中作出绳子捆扎的路径，并说明理由．21．如图，已知椭圆C 的方程为2214x y +=，点A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，点E 的坐标是()4,0，过点E 的动直线l 交椭圆C 于点P 、Q （点P 的横坐标小于点Q 的横坐标）．(1)求椭圆C 焦点的坐标；(2)是否存在常数λ，使OP OQ EP EQ λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)当设直线l 的斜率不为0时，设直线AP 与BQ 交于点S ．请提出一个与点S 有关的问题，并求解该问题．（备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．）。
上海市宝山区行知中学高二数学下学期期末考试试题(1)
教学质量监控测试高二数学试题（总分值15分，大题时刻120分钟）考生注意：一、本试卷包括试题卷和答题纸两部份，答题纸另页，正反面二、在本试题君上答题无效，必需在答题纸上的规定位置依照要求答题3、可利用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题总分值56分，共14个小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每一个空格填对得4分，不然一概得零分）一、已知向量(1,2),(6,)a b k ==，且//a b ，那么k = 二、双曲线22154x y -=的右核心的坐标为3、与向量(1,2)a =垂直的一个单位向量0a =4、假设343012i ii z ++=-（i 是复数单位），那么z =五、假设()(1)(2)()f n n n n n =++++++，那么()()1f k f k +-=六、已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和11()2n n S k +=+，那么lim n n S →∞=7、一个方程组的增广矩阵为215324a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么该方程组的解为 八、假设一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为30，那么另外两个角的念书别离 为九、已知圆锥的侧面展开图为扇形，假设其弧长为2cm π2cm ，那么该圆锥的体积为 3cm10、过球的一条半径的中心，作垂直于半径的平面，那么所得截面的面积与球的表面积的比为 1一、汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部份，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的核心处，已知灯口直径是26厘米，灯深11厘米，那么灯泡与反射镜的极点的距离为 厘米（精准到0.1厘米）1二、假设1,2,a b c a b ===+，且c a ⊥，那么向量a 与b 的夹角为13、将全部正整数排成一个三角形的数阵：依照以上排量的规律，第n 行（3n ≥），从左向右的第3个数为14、在ABC ∆中，已知:1:3,:1:4AM AB AN AC ==BN 与CM 交于点E ，,AB a AC b ==，则AE =（用,a b 表示AE ）二、选择题（本大题总分值20分）本大题共有4题，每题知且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，不然一概得零分．1五、两个非零向量,a b 垂直的充要条件是（ ）A ．a b a b +=- B ．()0a a b ⋅-= C ．a b a b ⋅= D ．()()0a b a b +-=1六、某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据12,,,n a a a ，其中，收入记为正数，支出记为负数，该店用右边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V 那么，在图中空白的判定框和处理框中，应别离填入以下四个选项中的（ ）A ．0,A V S T >=-B ．0,A V S T <=-C ．0,A V S T >=+D ．0,A V S T <=+17、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右核心别离为12,F F ，抛物线22y bx =的核心F ， 若1275F F FF =，那么:a b 的值为（ ）A 2B ．2C 5D 101八、假设数列{}n a 知足当2()n a n n N >∈*成立时，总能够推出21(1)n a n +>+成立，研究以下四个命题：（1）假设39a ≤，那么416a ≤ (2) 假设310a =，那么525a > (2) 假设525a ≤，那么416a ≤ (4) 假设2(1)n a n ≥+，那么21n a n +> 其中错误的命题是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题总分值74分）共5题，解答以下各题必需写出必要的步骤．1九、（此题总分值12分）已知点(1,2),(3,8)A B -，（1）求直线AB 的方程（2）假设点P 知足0PA PB ⋅=，求P 点的轨迹方程．20、（此题总分值14分）如图，在直平行六面体ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=，A C '与底面ABCD 所成角的大小为arctan 2，M 为AA '的中点．求四棱锥M-ABCD 的体积；求异面直线BM 和A C '所成角的大小（结果用反三角函数表示）2一、（此题总分值14分）已知a R ∈，命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数；命题:q 存在复数z 同时知足2z =且1z a +=．（1）假设命题p 中根的虚部为整数，求实数a 的值；（2）假设命题,p q 同为真命题，求实数a 的取值范围．2二、（此题总分值16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 别离是椭圆22142x y +=的极点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，连接AQ ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率k.(1)当直线PA 平分线断MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k >0，求证PA ⊥PB ．23、（此题总分值18分）已知数列{}n a ，{}n b 知足：1()n n n b a a n N λ*+=-∈（1）假设11,1,2n n a b λ===，求数列{}n a 的通项公式； （2）假设121,,341n a a a a b n λ=-==⋅=-且{}n a 是递增数列，求a 的取值范围；（3）假设111,(2)n n n b b b n λ+-==≥，且121,2b b ==，记41()n n c a n N *-=∈，求证：数列{}n c 为等差数列．。
2021-2022学年上海市松江区高二年级下册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市松江区高二下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在()()()12321121n n n +++⋅⋅⋅++=++1n k =+的基础上加上（ ）n k =A ．B ．21k +23k +C ．D ．()()2223k k +++()()()212223k k k +++++【答案】C【分析】由数学归纳法可知时，左端为，到时，左端n k =123(21)k +++⋯++1n k =+，从而可得答案．123(23)k +++⋯++【详解】解：用数学归纳法证明等式时， 123(21)(1)(21)n n n +++⋯++=++当左边所得的项是；1n =123++假设时，命题成立，左端为；n k =123(21)k +++⋯++则当时，左端为，1n k =+123(21)(22)[2(1)1]k k k +++⋯+++++++当时，等式左边应在的基础上加上．∴1n k =+n k =(22)(23)k k +++故选：C.2．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若O ABC -1G ABC G 1OG 13OG GG =，则为（ ）OG xOA yOB zOC =++(),,x y zA ．B ．111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】如图所示,连接AG 1交BC 于点M ，则M 为BC 中点,利用空间向量的运算法则求得，即得.131114444OG OG OA OB OC ==++ (),,x y z 【详解】如图所示,连接AG 1交BC 于点M ,则M 为BC 中点， )=,1(2AM AB AC =+ ()122OB OA OC-+ .()121233AG AM OB OA OC==-+ 因为13OG GG =所以=3(),OG13GG = 1OG OG - ∴ .134OG OG =则，()11333121111444333444OG OG OA AG OA OB OA OC OA OB OC⎛⎫==+=+-+=++ ⎪⎝⎭∴，，，14x =14y =14z =故选：A.3．已知为等比数列，的前n 项和为，前n 项积为，则下列选项中正确的是（ ）{}n a {}n a n S n T A ．若，则数列单调递增20222021S S >{}n a B ．若，则数列单调递增20222021T T >{}n a C ．若数列单调递增，则{}n S 20222021a a ≥D ．若数列单调递增，则{}n T 20222021a a ≥【答案】D【分析】根据等比数列的前n 项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同20220a >20221a >1a q 号，即可判断A 、B ；举例首项和公比的值即可判断C ；根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.1n n T T ->1n a >1q ≥【详解】A ：由，得，即，则、取值同号，20222021S S >20220a >202110a q >1a q若，则不是递增数列，故A 错误；100a q <<，{}n a B ：由，得，即，则、取值同号， 20222021T T >20221a >202111a q >1a q 若，则数列不是递增数列，故B 错误；100a q <<，{}n a C ：若等比数列，公比，则，11a =12q =11()122(1)1212nn nS -==--所以数列为递增数列，但，故C 错误；{}n S 20222021a a <D ：由数列为递增数列，得，所以，{}n T 1n n T T ->1n a >即，所以，故D 正确.1q ≥20222021a a ≥故选：D 4．已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；||||:143x x y y C +=-x C ②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（ ）()()111222,,,P x y P x y C 12120y y x x -<-A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】A【分析】化简曲线方程，画出图像判断①，利用函数单调减判断②【详解】曲线,||||:143x x y y C +=-当当 当画出图像如图，易知①220,0,1;34y x x y ><-=220,0,1;43x y x y <>-=220,0,1;43x y x y <<+=正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确12120y y k x x -=<-故选：A二、填空题5．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为_________.30x y --=【答案】####45°π41π4【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，θtan 1θ=因为，所以.[)0,πθ∈π4θ=故答案为：.π46．已知向量，且，则_________.(,1,1),(1,1,)a x b y ==- 0a b ⋅= x y -=【答案】1【分析】根据空间向量数量积坐标公式列出方程，求出答案.【详解】由题意得：，故.(,1,1)(1,1,)10a b x y x y ⋅=⋅-=-++= 1x y -=故答案为：17．已知过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且，则_______.28y x =6A B x x +=AB =【答案】10【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦长公式为，代入即可.A BAB p x x =++【详解】根据抛物线的定义可得，所以.,22A Bp pAF x BF x =+=+=4+6=10A B AB p x x =++故答案为：10.8．计算：________.14ni i ==∑【答案】222n n+【分析】利用等差数列求和公式计算即可.【详解】.()()21144124222ni n n i n n n=+=+++=⨯=+∑ 故答案为：.222n n +9．若直线与直线的夹角为，则实数的值为_________.30x my ++=210x y ++=π4m 【答案】或3-13【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案.【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为，30x my ++=α210x y ++=β由于的斜率为，即，210x y ++=12-1tan 2β⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭所以，5π,π6β⎛⎫∈⎪⎝⎭由于直线与直线的夹角为，30x my ++=210x y ++=π4所以直线的倾斜角不是，斜率存在，且斜率为.30x my ++=π21m -所以，解得，111πtan 112tan tan 141tan 312m βαββ-++⎛⎫-==+===⎪-⎝⎭+3m =-或，解得.111πtan 12tan tan 3141tan 12m βαββ---⎛⎫-==-===- ⎪+⎝⎭-13m =所以实数的值为或.m 3-13故答案为：或3-1310．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若(1,1,)a m m =- l (2,,1)n m =- α直线⊥平面，则实数的值为________.l αm 【答案】-1【分析】根据直线⊥平面，得到与平行，列出方程组，求出的值.l α(1,1,)a m m =- (2,,1)n m =-m 【详解】因为直线⊥平面，则与平行，l α(1,1,)a m m =-(2,,1)n m =-故，即，解得：，a n λ=121m m m λλλ-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩1m =-故实数的值为-1.m 故答案为：-111．已知数列前项和满足，则________.{}n a n n S ()lg 1n S n -=n a =【答案】111,1910,2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】先利用对数运算得到，进而利用求出答案.101nn S =+11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】因为，所以，()lg 1n S n-=101nn S =+当时，，1n =1110111a S ==+=当时，，2n ≥11101101910n n n n n n a S S --=-=+--=⨯因为，11910911-⨯=≠故，111,1910,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩故答案为：111,1910,2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩12．在无穷等比数列中，，公比，记.则________.{}n a 11a =12q =-22222462n n T a a a a =++++ lim n n T →∞=【答案】415【分析】先求得，然后求得.n T lim nn T →∞【详解】，22211,24a a =-=，12121232222221111,,,2244n n n n n n nn a a a a-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以数列是首项为，公比为的等比数列，()222221216n n a n a -=≥{}2n a 14116所以，11141416111516116n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-所以.4lim 15n n T ∞→=故答案为：41513．等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____.{}n a n n S 220a =945S =n S n 【答案】5或6【分析】先求得，然后利用求得正确答案.n a 0n a ≥【详解】设等差数列的公差为，{}n a d ，解得，112093645a d a d +=⎧⎨+=⎩125,5a d ==-所以，530n a n =-+由，解得，又，5300n a n =-+≥6n ≤60a =所以取得最大值时的值为5或6.n S n 故答案为：5或614．已知圆与圆相交2221:(210)2210160O x y m x my m m +---+-+=2222:62150O x y x y a +-++-=于，两点，且满足，则_________.11(,)A x y 22(,)B x y 22221122x y x y +=+m =【答案】54【分析】求得两个圆的圆心和半径，根据两圆相交弦的性质列方程来求得的值.m 【详解】圆的圆心为，2221:(210)2210160O x y m x my m m +---+-+=()15,O m m -半径.13r ==圆，即，2222:62150O x y x y a +-++-=()()222315x y a -++=-所以圆心为，半径.()23,1O -)2250r a =->由于，所以，是坐标原点.22221122x y x y +=+OA OB =O 即两圆公共弦的垂直平分线过，ABO根据两圆相交弦的性质可知，公共弦的垂直平分线，AB12O O 所以，所以，解得.12//OO OO ()()513m m -⨯-=⨯54m =故答案为：5415．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆1F 2F 22:14x C y -=P Q 上一动点，则的最小值为________.22:(2)1G x y ++=2||||PQ PF +【答案】6【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.【详解】双曲线，，22:14x C y -=2,1,a b c ==())12,F F 圆的圆心为，半径，22:(2)1G x y ++=()0,2G -1r =在双曲线的左支上，，P 212124,4PF PF a PF PF -===+所以，214PQ PF PQ PF +=++根据圆的几何性质可知，的最小值是，1PQ PF +112GF r -=-=所以的最小值是.2PQ PF +246+=故答案为：616．已知二次曲线的方程：.当、为正整数，且时存在两条曲线、k C 22194x y k k +=--m n m n <m C，其交点与点满足，则________.nC P 12(F F 12PF PF ⊥m n +=【答案】8【分析】先得到为椭圆，为双曲线，结合图象的几何性质得到123,,C C C 5678,,,C C C C ，结合椭圆定义，双曲线定义及列出方程，求出.{}{}1,2,3,5,6,7,8m n ∈∈12PF PF ⊥8m n +=【详解】，，为椭圆，221:183x y C +=22272:1x y C +=22316:x C y +=，，，为双曲线，225:14x C y -=22632:1x y C -=22723:1x y C -=228:14y C x -=结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点，故{}{}1,2,3,5,6,7,8m n ∈∈设，则根据椭圆，双曲线定义及可得：1122,PF d PF d ==12PF PF ⊥，解得：，1212221220d d d d d d ⎧+=⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎩8m n +=所以存在这样的、，且或或.m C n C 17m n =⎧⎨=⎩26m n =⎧⎨=⎩35m n =⎧⎨=⎩故答案为：8三、解答题17．已知平面内两点.(8,6),(2,2)A B -(1)求的中垂线方程；AB (2)求与直线平行且与圆相切的直线方程.AB 2216x y +=【答案】(1)；34230x y --=(2)或44200x y ++=44200x y +-=【分析】（1）根据中点和斜率求得的中垂线方程.AB （2）设出平行直线的方程，结合点到直线的距离求得正确答案.【详解】（1），所以的中垂线的斜率为，624823AB k --==--AB 34线段的中点为，AB ()5,2-所以的中垂线的方程为，即.AB ()3254y x +=-34230x y --=（2）设所求直线方程为，4,43303y x b x y b =-++-=圆的圆心为，半径，2216x y +=()0,04r =圆心到直线的距离，4330+-=x y b 34,3205b d b ===±所以所求直线方程为或.44200x y ++=44200x y +-=18．已知正方体的棱长为2，点分别是棱和的中点.1111ABCD A B C D -,E F BC CD (1)求与所成角的大小；1A D EF (2)求与平面所成角的大小.1A E 1B FB【答案】(1)π3(2)【分析】（1）根据线线角的知识求得正确答案.（2）作出与平面所成角，解三角形求得角的大小.1A E 1B FB 【详解】（1）由于点分别是棱和的中点，,E F BC CD 所以，所以与所成角，即与所成角，//EF BD 1A D EF 1A D BD 由于三角形是等边三角形，所以与所成角为，1A BD 1A D BD π3所以与所成角为.1A D EF π3（2）设平面平面，1A AE ⋂1B FB HG =由于，所以，ABE BCF ≅△△π2GEB GBE GEB GAB ∠+∠=∠+∠=所以，由于平面，平面，所以，AE BF ⊥1BB ⊥ABCD AE ⊂ABCD 1BB AE ^由于平面，所以平面，11,,BF BB B BF BB =⊂ 1B FB ⊥AE 1B FB 由于平面，所以，所以，HG ⊂1B FB AE HG ⊥1//HG AA 所以即是与平面所成角，EHG ∠1EA A ∠1A E 1B FB111tan AE EA A EA A AA ∠==∠=19．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截至2018年年底该地区面积的仍为沙漠，只有70%为绿洲.计划从2019年开始使用无人机飞播造林，实现快速播种，这样每年原来沙漠面积的30%将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化.记该地区的面积为1个单位，经过一年15120绿洲面积为，经过年绿洲面积为.1,a n n a (1)写出，并证明：数列是等比数列；1a 45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过?35【答案】(1)，证明见解析；11740a =(2)2022年【分析】（1）根据题意求出，并列出，构造法求出，从而11740a =13145n n a a -=+1434545n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得到为公比为，首项为的等比数列；45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3414358a -=-（2）在第一问的基础上得到，列出不等式，求出，结合，134245nn a ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭3245n⎛⎫<⎪⎝⎭()34nf n ⎛⎫= ⎪⎝⎭且，，从而，得到答案.()235f >()245f <201842022+=【详解】（1），000011117301170120540a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯=⎪⎝⎭，()11111311120545n n n n a a a a ---⎛⎫=-+-=+⎪⎝⎭设，则，()134n n a a λλ-+=+13144n n a a λλ-+=-从而，解得：，1145λ-=45λ=-故，1434545n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故为公比为，首项为的等比数列；45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3414358a -=-（2）由（1）得：14331358424n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故，134245nn a ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭令，解得：，13432455n ⎛⎫-⨯+> ⎪⎝⎭3245n⎛⎫<⎪⎝⎭显然单调递减，当时，，，()34nf n ⎛⎫= ⎪⎝⎭1n =()3327234645f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭()43812442565f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭故，即截止到2022年年底，才能使该地区绿洲面积超过.201842022+=3520．已知椭圆、分别为椭圆的左、右焦点，为椭2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F C M 圆上一点，的周长为C 12MF F △4+(1)求椭圆的方程；C (2)若，求的面积；1260F MF ∠=︒12MF F △(3)设为圆上任意一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，判断是否P 225x y +=P C ,A B PA PB ⋅ 为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)；2214x y +=；(3)是，0PA PB ⋅= 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）利用余弦定理求得，从而求得的面积.12MF MF ⋅12MF F △（3）根据切线是否与坐标轴平行进行分类讨论，结合判别式求得.0PA PB ⋅=【详解】（1）依题意，解得，222224c a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪=+⎪⎪⎩2,1,a b c ===所以椭圆的方程为.C 2214x y +=（2）根据椭圆的定义可知，①，1224MF MF a +==221212216MF MF MF MF ++⋅=由余弦定理得，2221212122cos 60F F MF MF MF MF =+-⋅⋅︒即②，22121212MF MF MF MF =+-⋅由①②得，所以.1243MF MF⋅=1212114sin 60223MF F S MF MF =⋅⋅⋅︒=⨯=（3）圆的方程为，椭圆的方程为225x y +=C 2214x y +=注意到是圆上的点，()()()()2,1,2,1,2,1,2,1----过上述四个点中的任意一个作椭圆的切线，则两条切线垂直，即.C 0PA PB ⋅=当是圆上除去上述四个点外的任意一点时，()00,P x y 225x y +=切线和切线的斜率存在且不为零，PA PB 设切线方程为，()00y y k x x -=-由消去并化简得，()002214y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩y ()()()2220000148410k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦令，()()()2222000064414410k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+⨯--=⎣⎦整理得，()2220004210xk x y k y --+-=所以，由于，所以，202014PA PBy k k x -⋅=-22005x y +=2020114PA PB y k k x -⋅==--即.0PA PB ⋅=综上所述，是定值，且定值为.PA PB ⋅021．已知等比数列的公比为是的前项和.{}n a ()0,n q q S ≠{}n a n(1)若，求；1311,4a a ==n S (2)若有无最值?说明理由；11,||1,n a q S =<(3)设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有1q t =1a t t |63|62t -<n 成立，问：这样的数列有几个?912n S <<{}n a 【答案】(1)或；1122n n S -=-221332nn S ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭(2)当时，有最小值为1，但无最大值；当时，有最大值为1，最小值为；01q <<n S 10q -<<n S 1q +理由见解析(3)232【分析】（1）先求得公比，然后求得.n S （2）对进行分类讨论，从而求得正确结论.q（3）求得和的关系式，对分类讨论，确定的可能取值，即可求得正确答案.1a q1a q 【详解】（1）依题意，223111,42a q q q =⨯===±当时，.12q =11111221212212nn n n S -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⎝⎭-当时，12q =-11212212113233212nn nn S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭==--=-⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭（2）当时，，是单调递增数列，01q <<10q ->()111n n S q q =--有最小值为，没有最大值.111S a ==当时，，，10q -<<11q -<-()111n n S q q =--①，当为奇数时，单调递减，有最大值为，且，n n S 111S a ==()11111n S q q >⨯-=--②，当为偶数时，单调递增，有最小值，n n S ()221111S q q q =-=+-且.()11111n S q q <⨯-=--所以当时，的最大值为，最小值为.10q -<<n S 11q +（3）依题意，，首项和都是正整数，，1q t =1a t **1N ,N a t ∈∈由于，所以，|63|62t -<626362,1125t t -<-<<<即从开始（），有种可能，t 22124t ≤≤123所以从开始（），有种可能，1q t =12111242q ≤≤123由于，即，912n S <<()119121n a q q-<<-即恒成立，()()()1911121n q a q q -<-<-则时，，所以，1n =()()()11911121q a q q -<-<-1912a <<试题或，110a =111a =当时，，110a =110115112,,1,11101266a q q q q q -=≤≥-≥≤--则取，共种.q 1111,,,,678124 119当时，，111a =1111111112,,1,1111121212a q q q q q-=≤≥-≥≤--则取，共种.q 1111,,,,121314124 113综上所述，数列有个.{}n a 119113232+=。
上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题
所以甲、乙两人在五分钟内均独立复原魔方的概率为： 0.7 ´ 0.5 = 0.35 ， 故答案为：0.35.
答案第11 页，共22 页
5． 1 /0.5 2
【详解】设第一次取到新球为事件 A ，第二次取到新球为事件 B ，
则 P(B
A)
=
P( AB) P( A)
=
3 5
´
3
2 4
=
1 2
.
5
故答案为：
59
+
61
+
65 5
+
67
+
78
=
66
，
则甲组工人产量的平均值为
56
+
65
+
62 + 5
74
+
70
+
x
=
66
，解得：
x
=
3
，
\x+ y =3+5=8.
故答案为：8 . 8．29
【分析】由数学期望和方差的公式求出 E [ X ] ， D[ X ] ，再由方差的的性质即可求出 D[Y ] .
X
æ1 2 3ö
AB
= 0.1% ，解得 P
AB
=
1 1800
．
故答案为： 1 . 1800
12．
0
<
m
<
1 3
【分
x
x2 - e ln
x
+
3mx
=
0
化为
4e
ln x x
-
1-
1
e
ln x x
+
2017-2018学年上海市静安区等7区高二(下)期末数学试卷附解析7份
2017-2018学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共3小题，共12.0分）1.抛物线x2=my上的点到定点（0，4）和定直线y=-4的距离相等，则m的值等于（）A. B. C. 16 D.2.设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（）A. 若，且，则或B. 若，且，，则C. 若，且，，则D. 若，且，则3.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A. 在x轴上B. 在y轴上C. 当时，在x轴上D. 当时，在y轴上二、填空题（本大题共10小题，共35.0分）4.若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5.点M（2，3）到直线l：ax+（a-1）y+3=0的距离等于3，则a=______．6.复数z=的共轭复数=______．（其中i为虚数单位）7.一个高为的正三棱锥的底面正三角形的边长为3，则此正三棱锥的表面积为______．8.已知复数集中实系数一元二次方程x2-4x+a=0有虚根z，则|z|的取值范围是______．9.圆锥的母线l长为10cm，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的体积为______cm3．10.某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为______cm3．11.已知方程x2+x+p=0（p∈R）有两个根α、β，且|α-β|=，则p的值为______．12.椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为 4+2且∠F1BF2=，则椭圆的方程是______．13.已知双曲线Γ上的动点P到点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离分别为d1和d2，∠F1PF2=2θ，且d1•d2sin2，则双曲线Γ的方程为______．三、解答题（本大题共5小题，共51.0分）14.已知复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数，求||．（其中i为虚数单位）15.已知动圆M既与圆C1：x2+y2+4x=0外切，又与圆C2：x2+y2-4x-96=0内切，求动圆的圆心M的轨迹方程．16.如图，AB是平面α的斜线，B为斜足，AO平面α，O为垂足，BC是平面α上的一条直线，OC BC于点C，∠ABC=60°，∠OBC=45°．（1）求证：BC平面AOC；（2）求AB和平面α所成的角的大小．17.（文科）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，点M在线段CC1上．（1）求异面直线A1B与AC所成角的大小；（2）若直线AM与平面ABC所成角为，求多面体ABM-A1B1C1的体积．18.已知等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点．过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P，．（1）求等轴双曲线C的方程；（2）假设过点F且方向向量为，的直线l交双曲线C于A、B两点，求的值；（3）假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点P，使得为常数．若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据抛物线定义可知，定点（0，4）为抛物线的焦点，∴=4m=16故选：C．根据抛物线定义可知，定点（0，4）为抛物线的焦点，进而根据定点坐标求得m．本题考查了抛物线的定义，属基础题．2.【答案】D【解析】证明：A：若a∥α，且a∥b，则bα或b∥α，正确B：若a∥b，且aα，则bα，又bβ，则由线面垂直的性质可知α∥β，正确C：若α∥β，且aα，则aβ，又bβ，由线面垂直的性质定理可知a∥b，正确D：若a b，且a∥α，则bα也有可能b⊆α，错误故选：D．A：若a∥α，且a∥b，则bα或b∥α；B：由线面垂直的性质可判断；C：由线面垂直的性质定理可判断；D：bα也有可能b⊆α本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴-＞0∴焦点在y轴故选：B．利用题设不等式，令二者平方，整理求得-＞0，即可判断出焦点的位置．本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4.【答案】2π【解析】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．本题考查了圆柱的结构特征，侧面积计算，属于基础题．5.【答案】或【解析】解：由题意可得：=3，化为：7a2+18a-9=0．解得a=或-3．故答案为：或-3．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】-1-i【解析】解：z====-1+i∴复数z=的共轭复数是-1-i故答案为：-1-i根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式，再根据共轭复数的定义求出所求即可．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及共轭复数的定义，同时考查了运算能力，属于基础题．7.【答案】【解析】解：一个高为的正三棱锥S-ABC中，AB=AC=BC=3，取BC中点D，连结AD，SD，过S作SE平面ABC，交AD 于E，则AE==，DE==，∴SA=SB=SC==，SD==1，∴此正三棱锥的表面积：S=3S△SBC+S△ABC==．故答案为：．取BC中点D，连结AD，SD，过S作SE平面ABC，交AD于E，则AE=，DE=，SA=SB=SC=，SD=1，此正三棱锥的表面积：S=3S△SBC+S△ABC，由此能求出结果．本题考查正三棱锥的表面积的求法，考查正三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】（2，+∞）【解析】解：复数集中实系数一元二次方程x2-4x+a=0有虚根z，则△=16-4a＜0，解得a＞4．z=2i．则|z|==＞2，可得|z|的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．复数集中实系数一元二次方程x2-4x+a=0有虚根z，可得△＜0，解得a＞4．利用求根公式可得z=2i．再利用模的计算公式即可得出．本题考查了不等式的解法、实系数一元二次方程与判别式的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：如图所示，圆锥的母线l=10cm，母线与旋转轴的夹角为30°，∴圆锥的底面圆半径为r=lsin30°=10×=5cm；高为h=lcos30°=10×=5cm；∴该圆锥的体积为V=πr2h=•π•52•5=cm3．故答案为：．根据题意画出圆锥的轴截面图形，结合图形求出圆锥的底面圆半径和高，再计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题．10.【答案】288【解析】解：由题意：地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，纬圆半径是：3cm，地球仪的半径是：6cm；地球仪的体积是：π×63=288cm3，故答案为：288π．地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．本题考查球面距离，球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．11.【答案】或【解析】解：当△≥0时，（α-β）2=（α+β）2-4αβ=1-4p=3，∴p=；当△＜0时，|α-β|=||==∴p=1，故p的值为，1．只需注意分实根和虚根两种情况就可以了．此题考查了实系数二次方程根的判别，难度不大．12.【答案】或【解析】解：设长轴为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由∠F2BO=得：c=a，所以△F2OF1的周长为：2a+2c=4+2，∴a=2，c=，∴b2=1则椭圆的方程是或．故答案为：或．先结合椭圆图形，通过直角三角形△F2OB推出a，c的关系，利用周长得到第二个关系，求出a，c然后求出b，求出椭圆的方程．本题主要考查考察查了椭圆的标准方程的求法，关键是求出a，b的值，易错点是没有判断焦点位置．13.【答案】=1【解析】解：在△PF1F2中，|F1F2|=4=d12+d22-2d1d2cos2θ=（d1-d2）2+4d1d2sin2θ（d1-d2）2=4-4λ=（2a）2∴，，故双曲线方程为．故答案为：．在△PF1F2中，利用余弦定理得出（d1-d2）2=4-4λ=（2a）2，从而求得a2，b2，最后求出双曲线的方程即可．本小题主要考查余弦定理、双曲线方程等基础知识．属于中档题．14.【答案】解：复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．即（1+3i）•（3+bi）=3-3b+（9+b）i为纯虚数，∴3-3b=0，9+b≠0，解得b=1．∴z=3+i．∴====2-i，∴||=|2-i|=．【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】解：化圆C1：x2+y2+4x=0为（x+2）2+y2=4，化圆C2：x2+y2-4x-96=0为（x-2）2+y2=100．设动圆圆心M（x，y），半径为r，则，则|MC1|+|MC2|=12＞|C1C2|=4．∴M是以C1，C2为焦点，长轴长为12的椭圆．∴2a=12，a=6，则a2=36，b2=a2-c2=32．则动圆的圆心M的轨迹方程为．【解析】化已知两圆方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，利用椭圆定义求得动圆的圆心M的轨迹方程．本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，训练了利用定义法求椭圆方程，是中档题．16.【答案】证明：（1）∵AB是平面α的斜线，B为斜足，AO平面α，O为垂足，BC是平面α上的一条直线，∴AO BC，又OC BC，且AO∩OC=O，∴BC平面AOC．解：（2）设BC=1，∵OC BC于点C，∠ABC=60°，∠OBC=45°．BC平面AOC，∴OC=1，OB==，AB=2，∴AO==，∵AO平面α，∴∠ABO是AB和平面α所成的角，∵AO=BO，PO BO，∴∠ABO=45°，∴AB和平面α所成的角为45°．【解析】（1）推导出AO BC，OC BC，由此能证明BC平面AOC．（2）设BC=1，推导出OC=1，OB=，AB=2，从而AO==，由AO平面α，得∠ABO是AB和平面α所成的角，由此能求出AB和平面α所成的角．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：（1）连接BC1则由于在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AC∥A1C1故异面直线A1B与AC所成角即为直线A1B与A1C1所成的角∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4∴BC1=，A1B=，∴cos∠BA1C1==∴异面直线A1B与AC所成角即为arccos（2）∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中MC面ABCD∴∠MBC=∵BC=2∴MC=2∵∴=×2×2×4-×=即多面体ABM-A1B1C1的体积为【解析】（1）利用异面直线所成角的定义再结合正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中的性质可得直线A1B与A1C1所成的角即为所求然后在三角形A1C1B利用余弦定理即可得解．（2）由于多面体ABM-A1B1C1的不规则性故可利用因此需利用直线AM与平面ABC所成角为来确定点M的位置后问题就解决了．本题主要考查了异面直线所成的角和几何体体积的求解．解题的关键是第一问要利用图形的性质将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角而第二问对于不规则图形体积的求解常采用规则图形的体积差来求解（比如本题中的多面体ABM-A1B1C1的体积转化为正三棱柱的体积减去三棱锥的体积）！18.【答案】解：（1）设右焦点坐标为F（c，0），（c＞0），∵双曲线为等轴双曲线，∴渐近线必为y=±x由对称性可知，右焦点F到两条渐近线距离相等，且∠POF=．∴△OPF为等腰直角三角形，则由||=⇒||=c=2又∵等轴双曲线中，c2=2a2⇒a2=2∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点∵F（2，0），直线l的方向向量为=（1，2），∴直线l的方程为，即y=2（x-2）代入双曲线C的方程，可得，x2-4（x-2）2=2⇒3x2-16x+18=0∴x1+x2=，x1x2=6，而=x1x2+y1y2=x1x2+（x1-2）（x2-2）=5x1x2-8（x1+x2）+16=（3）假设存在定点P，使得为常数，其中，M（x1，y1），N（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点的坐标，①当直线l与x轴不垂直是，设直线l的方程为y=k（x-2），代入双曲线C的方程，可得（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0由题意可知，k=±1，则有x1+x2=，x1x2=∴=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）=（4k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=+4k2+m2=+m2=+m2+2（1-2m）要使是与k无关的常数，当且仅当m=1，此时，=-1②当直线l与x轴垂直时，可得点M（2，），N（2，-）若m=1，=-1亦为常数综上可知，在x轴上是否存在定点P（1，0），使得=-1为常数．【解析】（1）根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据P点为过F作一条渐近线的垂线FP的垂足，以及，可求出双曲线中c的值，借助双曲线中a，b，c的关系，得到双曲线方程．（2）根据直线l的方向向量以及f点的坐标，可得直线l的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2的值，代入中，即可求出的值．（3）先假设存在定点P，使得为常数，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，解x1+x2，x1x2，用含k的式子表示，再代入中，若为常数，则结果与k无关，求此时m的值即可．本题考查了等轴双曲线的方程的求法，以及直线与双曲线位置关系的应用．2017-2018学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）19.下列四个命题中真命题是（）A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行B. 底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个20.设M=i2+i3+i4+…+i2018，N=i2•i3•i4…•i2018，i为虚数单位，则M与N的关系是（）A. B. C. D.21.设、均是非零向量，且，若关于x的方程x2+||x+=0有实根，则与的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.22.定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差．已知向量列是以，为首项，公差，的等差向量列．若向量与非零向量，∈垂直，则=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）23.在复数范围内，方程x2+x+1=0的根是______．24.若直线l经过点A（-1，1），且一个法向量为=（3，3），则直线方程是______．25.行列式的第2行第3列元素的代数余子式M23的值为______．26.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=______．27.执行如图的程序框图，如果输入i=6，则输出的S值为______．28.数列{a n}中，为奇数为偶数，S2n=a1+a2+…+a2n，则=______．29.不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．30.已知线段AB长为3，A、B两点到平面α的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面α所成角的大小为______．31.若|z-2i|+|z-z0|=4表示的动点的轨迹是椭圆，则|z0|的取值范围是______．32.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球的表面积是______．33.设，，，∈，，，，，∈，．已知矩阵，其中A∈S1，B∈S2．那么B=______．34.一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y=（0≤y≤20），在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）35.已知直线l1：x+y+1=0，l2：5x-y-1=0，l3：3x+2y+1=0，其中l1与l2的交点为P．（1）求点P到直线l3的距离；（2）求过点P且与直线l3的夹角为45°的直线方程．36.如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA面ABCD，E、F分别为SA、SC的中点．如果AB=BC=2，AD=1，SB与底面ABCD成60°角．（1）求异面直线EF与CD所成角的大小（用反三角形式表示）；（2）求点D到平面SBC的距离．37.在中国绿化基金会的支持下，库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达30%，从2018年开始，每年将出现这样的情况，上一年底沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲，而同时，上一年底绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．（1）设库布齐沙漠面积为1，由绿洲面积和沙漠面积构成，2017年底绿洲面积为a1=，经过1年绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为a n+1，试用a n表示a n+1；（2）问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过60%（年数取整数）．38.设数列{a n}的前n项和为S n，已知直角坐标平面上的点P n（n，）均在函数y=x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若已知点M（1，0），A n=（2，a n）、B=（2-b n，1）为直角坐标平面上的点，且有∥，求数列{b n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，若使≤0对于任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．39.已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线Γ：=1．（1）过双曲线Γ的右焦点F1作x轴的垂线，交Γ于A、B两点，求线段AB的长；（2）设M为Γ的右顶点，P为Γ右支上任意一点，已知点T的坐标为（t，0），当|PT|的最小值为|MT|时，求t的取值范围；（3）设直线y=x-2与Γ的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C．A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；本题考查了命题真假的判定，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：M=i2+i3+i4+…+i2018=；N=i2•i3•i4…•i2018=．∴M=N．故选：D．分别利用等差数列与等比数列的前n项和求解后比较．本题考查等差数列与等比数列的前n项和，考查虚数单位i的性质，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵关于x的方程x2+||x+•=0有实根，∴||2-4≥0，∴≤，∴cos＜＞=≤=，又0≤＜＞≤π，∴＜＞≤π．故选：B．令判别式△≥0可得≤，代入夹角公式得出cos＜＞的范围，从而得出向量夹角的范围．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：，∵向量与非零向量垂直，∴nx n=-3x n+1，，∴==×=-．故选：D．由题设知nx n=-3x n+1，，==×，由此能求出其结果．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意递推公式和累乘法的合理运用．5.【答案】【解析】解：∵x2+x+1=0∴=故答案为：结合一元二次方程的求根公式，结合i2=-1即可求解本题主要考查了一元二次实系数方程的根的求解，解题的关键是i2=-1的应用6.【答案】x+y=0【解析】解：设直线的方向向量∵直线l一个法向量为=（3，3）∴∴k=-1∵直线l经过点A（-1，1）∴直线l的方程为y-1=（-1）×（x+1）即x+y=0故答案为x+y=0设出直线的方向向量然后根据法向量为=（3，3）求出k再根据方向向量的定义得出k即为直线l的斜率然后可由点斜式写出直线方程．本题主要考查直线方向向量的概念．解题的关键是要根据直线方向向量的概念设出方向向量而k即为直线l的斜率然后根据法向量为=（3，3）求出斜率k．7.【答案】-11【解析】解：行列式的第2行第3列元素的代数余子式：M23=（-1）2+3D23=-=-（8+3）=-11．故答案为：-11．行列式的第2行第3列元素的代数余子式：M23=（-1）2+3D23=-．本题考查行列式的代数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】-1【解析】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=1，∠CDA=180°-30°-30°=120°．∴=2×1×cos120°=-1，故答案为：-1．根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．9.【答案】21【解析】解：由程序框图知：程序第一次运行S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行S=1+2=3，n=2+1=3；第三次运行S=1+2+3=6，n=3+1=4；…直到n=7时，不满足条件n≤6，程序运行终止，输出S=1+2+3+…+6=21．故答案为：21．根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤6，计算此时的S 值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．10.【答案】【解析】解：∵∴当数列的项数为2n时，奇数项和偶数都是n项，∴奇数项和s1=a1+a3+a5+…+a2n-1===偶数项和s2=a2+a4+…+a2n=-2（）=-2×=-（1-）∴s 2n=s1+s2=（1-），则s2n=故答案为：根据通项公式的特点，奇数项和偶数项构成等比数列，分别求出奇数项和与偶数项和，然后加在一起求s2n，再求极限．由通项公式的特点将该数列分成两个等比数列，然后分别求和，也成为分组求和法，即把非特殊数列的求和问题化为等差（等比）数列的求和问题．11.【答案】-1≤a≤3【解析】解：直线y=kx+1恒过（0，1）点的直线系，曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0表示圆圆心（a，0），半径为：），直线与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，即：所以，-1≤a≤3故答案为：-1≤a≤3．直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题．12.【答案】arcsin或【解析】解：当A，B在平面α同侧时，点A到平面的距离AD=1，点B到平面的距离BC=2，过A作AE BC，交BC于E，则BE=1，AB=2，∴∠BAE是AB所在直线与平面α抽成角，sin∠BAE==，∴AB所在直线与平面α所成角的大小为arcsin．当A，B在平面α异侧时，点A到平面的距离AD=1，点B到平面的距离BC=2，连结CD，交AB于O，由题意得△ADO∽△BCO，∴OB=2AO，∴AB=2，∴AO=1，BO=2，∴D，O，C三点重合，∴AB平面α，∴AB所在直线与平面α所成角的大小为．故答案为：arcsin或．当A，B在平面α同侧时，点A到平面的距离AD=1，点B到平面的距离BC=2，过A作AE BC，交BC于E，则BE=1，AB=2，∠BAE是AB所在直线与平面α抽成角，由此能求出AB所在直线与平面α所成角的大小；当A，B在平面α异侧时，点A到平面的距离AD=1，点B到平面的距离BC=2，推导出AB平面α，由此能求出AB所在直线与平面α所成角的大小．本题考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．13.【答案】[0.6）【解析】解：|z-2i|+|z-z0|=4表示的动点的轨迹是椭圆，由椭圆的定义可知，z0到（0，2）的距离小于4．z0的轨迹是以（0.2）为圆心4为半径的圆的内部部分，|z0|的取值范围是：[0，6）．故答案为：[0，6）．利用椭圆的定义，判断z0的轨迹方程，然后求解即可．本题考查复数的几何意义，轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．14.【答案】12π【解析】解：设大铅球的半径为R，则（13+23）=，解得R=，∴这个大铅球的表面积S=4πR2==12π．故答案为：12π．设大铅球的半径为R，则（13+23）=，求出R=，由此能求出这个大铅球的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查球的体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】〔〕【解析】解：∵A∈S1，B∈S2．∴设，∴A+B=已知矩阵，∴∴那么B=〔〕故答案为：〔〕．根据A∈S1，B∈S2．设，求出A+B，结合已知矩阵，列出关于a，b，c，d的方程组，求出a，b，c，d．即可得到B．本小题主要考查二阶矩阵、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查待定系数法思想．属于基础题．16.【答案】0＜r≤1【解析】解：设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y）点到圆心距离平方r2=x2+（y-y0）2=2y+（y-y0）2=Y2+2（1-y0）y+y02若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底所以1-y0≥0所以0＜y0≤1所以0＜r≤1故答案为：0＜r≤1．设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方的表达式，进而根据若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底需1-y0≥0进而求得r的范围．本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．17.【答案】解：（1）联立，解得x=0，y=-1．∴P（0，-1）．∴点P到直线l3的距离==．（2）设要求的直线斜率为k，由题意可得：=±tan45°，解得k=5或-．∴过点P且与直线l3的夹角为45°的直线方程为：5x-y-1=0或x+5y+5=0．【解析】（1）联立，解得P坐标，利用点到直线的距离公式即可得出．（2）设要求的直线斜率为k，由题意可得：=±tan45°，解得k，利用点斜式即可得出．本题考查了直线交点、点到直线的距离公式、直线夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角．计算得：AC=2，CD=，所以异面直线EF与CD成角．另解：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系计算SA=2，，、，，计算得，所以异面直线EF与CD成角（2）由于SA平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°计算得：，，△ S△BCD=2由于△所以【解析】（1）法一：连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后用反三角表示即可．法二：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系，求出异面直线EF与CD的方向向量，利用向量的夹角公式求出夹角即可；（2）由于SA平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°，然后根据等体积法建立等式关系，求出h即为点D到平面SBC的距离．本题主要考查了两异面直线所成角，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．19.【答案】解：（1）设2017年年底沙漠面积为b1，经过n年治理后沙漠面积为b n+1，则a n+b n=1．依题意，a n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积，a n-4%a n=96%a n，另一部分是新植树绿洲化的面积16%b n，于是a n+1=96%a n+16%b n=96%a n+16%（1-a n）=80%a n+16%=0.8a n+0.16；（2）由于a n+1=0.8a n+0.16，两边减去0.8得：a n+1-0.8=0.8（a n-0.8）又a1-0.8=-0.5，所以{a n-0.8}是以-0.5为首项，0.8为公比的等比数列．所以a n+1=0.8-0.5•0.8n，依题意，0.8-0.5•0.8n＞0.6，∴（0.8）n＜0.4，两边取对数得n＞log0.80.4==，即n＞4．故至少需要5年才能达到目标．【解析】（1）由题意，a n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积，另一部分是新植树绿洲化的面积，由此可得数列递推式；（2）利用（1）的结论进而可求数列的通项，建立不等式，由此可得结论．本题考查利用数列知识解决实际问题，考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）点P n（n，）均在函数y=x的图象上．∴=n，可得S n=n2．∴n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-（n-1）2=2n-1．n=1时，a1=S1=1．∴a n=2n-1．（2）=（1，a n），=（1-b n，1）．∵∥，∴a n•（1-b n）-1=0，解得b n=1-=1-=．（3）≤0对于任意n∈N*恒成立，∴（-1）n-1•+≤0对于任意n∈N*恒成立，n=2k-1（k∈N*）时，+≤0对于任意n∈N*恒成立，∴t≥，∴t≥1．n=2k（k∈N*）时，-+≤0对于任意n∈N*恒成立，∴t≤2n-2，∴t≤2．综上可得实数t的取值范围是[1，2]．【解析】（1）点P n（n，）均在函数y=x的图象上．=n，可得S n=n2．n≥2时，a n=S n-S n-1．n=1时，a1=S1．可得a n．（2）=（1，a n），=（1-b n，1）．根据∥，可得a n•（1-b n）-1=0，进而得出．（3）≤0对于任意n∈N*恒成立，（-1）n-1•+≤0对于任意n∈N*恒成立，对n分类讨论利用数列的单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、方程与不等式的解法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）双曲线Γ：=1中a2=12，b2=3，则c2=a2+b2=12+3=15，∴c=，∴右焦点F1（，0），由x=代入=1，可得y=±，∴|AB|=；（2）由（1）可得M（2，0），T（t，0），设P（x0，y0），∴|PT|2=（x0-t）2+y02，|MT|2=（2-t）2，又-=1，可得x0≥2，y02=-3，∴|PT|2=（x0-t）2+y02=（x0-t）2+-3=x02-2x0t+t2-3=（x0-）2+t2-3，当≤2即t≤时，可得y=（x0-）2+t2-3在x0≥2递增，即有|PT|的最小值为|MT|=|t-2|，则t的范围是（-∞，]；（3）设C（s，t），A（x1，y1），B（x2，y2），可得s2-4t2=12，s＞0，由y=x-2代入双曲线的方程x2-4y2=12，可得x2-16x+84=0，即有x1+x2=16，y1+y2=（x1+x2）-4=16-4=12，由，可得ms=x1+x2，mt=y1+y2，可得ms=16，mt=12，解答s=，t=，即有-4•=12，解得m=4（-4舍去），s=4，t=3．即有m=4，C（4，3）．【解析】（1）求得双曲线的a，b，c，可令x=c，求得A，B的坐标，即可得到所求长；（2）求出M的坐标，设P（x0，y0），由两点的距离公式和双曲线方程，结合二次函数的最值求法，即可得到所求t的范围；（3）设出C（s，t），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理，以及向量的坐标表示，求得s，t关于m的关系式，代入双曲线的方程，解得m，s，t，即可得到所求．本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，考查二次函数的最值求法，以及化简整理的运算能力，属于综合题．2017-2018学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）40.若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A. B. C. D.41.给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l上有两个不同的点到平面α的距离相等”是“直线l与平面α平行”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件42.已知曲线C的参数方程为（θ∈[0，π]），且点P（x，y）在曲线C上，则的取值范围是（）A. B. C. D.43.已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线被椭圆E所截弦长与l：y=kx+1被椭圆E所截得的弦长不可能相等的是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）44.已知集合A={x||x|≤1}，B={y|y≤a}，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是______．45.若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是______．46.抛物线x2=y上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为______．47.若P=C，则x=______．48.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为______．49.已知方程x2-px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1-x2|=1，则实数p的值为______．50.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为______．。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(解析版)
若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；
若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；
若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．
故选A．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．
∴
因为
∴
综上所述， 中最小角为 ，故选B.
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角 平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
【答案】
【解析】
【分析】由已知中球O的半径为1，线段 的长度为 ，求得 ，求出弧AB的长度，即可得出答案.
【详解】解：因为球O的半径为1，A､B是球面上两点，线段 的长度为 ，
在 中， ，
又 ，则 ，
所以A､B两点的球面距离为 .
故答案为： .
5.正方体 中，异面直线 和 所成角的大小为________
所以 取 ，得 .
易知平面 的法向量为 .
由二面角 是锐角，得 .
所以二面角 的余弦值为 .
（3）解：假设存在满足条件的点 .
因为 在线段 上， ， ，故可设 ，其中 .
上海市高二第二学期期终考试数学卷(共3套,含参考答案)
、 对应的点分别为 A、B，若点 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是 13、已知球 Ol、O2 的半径分别为 l、r，体积分别为 V1、V2，表面积分别为 S1、S2，当 r(1,)时， 2
上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷 一、填空题（每题 4 分，共 56 分） 1、设 a<0，则 a 的平方根是____________． 2、若(x+1)10a0a1(x1)a2(x1)2„a10(x1)10，则系数 a0____________．
3、在复平面内，复数 1 1 1 i 1 i
____________． 4、正四面体 ABCD 的棱 AD 与面 ABC 所成角的大小为____________． 5、从 2、4 中选一个数字，从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ____________． 6、棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是棱 BC 的中点， 则点 D1 到直线 AE 的距离是____________． 7、五个数 1,2,5,a,b 的均值为 3，方差为 2，则这五个数的中位数是____________． 8、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 12cm，深 2 cm 的空穴，则该 球的体积是____________cm3． 9、2100 被 9 除的余数为____________． 10、在某次技能大赛中，有 6 位参赛者的成绩分别是 70,76,72,70,72,90，从这 6 位参赛者中随机地选 x 位， 其中恰有 1 位的成绩是 72 的概率是 8 ，则 x 等于____________． 15
11、P 是半径为 1 的球面上任意一点，PA、PB、PC 是两两互相垂直的三条弦， 则 PA2PB2PC2____________． 12、对任意一个非零复数 z，定义集合 M {w | w z n , n N *} ．设 α是方程 x
上海市闵行区2022届新高考高二数学下学期期末复习检测试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在椭圆22221(0) x ya bab+=>>中，12,F F分别是其左右焦点，若122PF PF=，则该椭圆离心率的取值范围是( )A．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D．10,3⎛⎤⎥⎝⎦2．展开式中的系数为（）A．B．C．D．3．已知点P在椭圆221123x y+=上，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，1PF的中点在y轴上，则12||||PFPF等于（）A．7B．5C．4D．34．设()102100121012...x a a x a x a x-=+++，则3102129...222a aaa++++的值为( )A．2B．2 046C．2 043D．－25．如果1cos()2Aπ+=-，那么sin()2Aπ+的值是（）A．12-B．3C．3-D．126．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（）A．316B．34C．1316D．147．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是() A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球8．已知点(1,3)P，则它的极坐标是（）A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭9．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（ ） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 10．将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移6π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 A ．3π B ．6π C ．0 D ．4π 11． “”是“a,b,c 成等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知集合M ＝{x|(x －1)2＜4，x ∈R}，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N ＝（ ） A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}二、填空题：本题共4小题13．若(12)()n x n N *-+∈的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n =___________。
2021-2022学年上海市杨浦高级中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市杨浦高级中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若126x x +=，则||AB 的值为 A ．10 B ．8C ．6D ．4【答案】B【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式，利用题目所给已知条件，求得弦长AB . 【详解】根据过抛物线焦点的弦长公式有12628AB x x p =++=+=.故选B.【点睛】本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，即12AB x x p =++.要注意只有过抛物线焦点的弦长才可以使用.属于基础题.2．函数特性P ：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性P 的函数为（ ） A ．3y x = B ．sin y x =C ．e x y =D ．ln y x =【答案】B【分析】若满足特性P ，即在两点处切线斜率乘积为1-，利用导数的几何意义即可判断选项.【详解】设函数()y f x =的图像上存在两点()11,x y ，()22,x y ，若()()12121k k f x f x ''⋅=⋅=-，则图像在这两点处的切线互相垂直，对A ，230y x '=≥，则221212331k k x x ⋅=⋅≠-，故A 不正确；对B ，cos y x '=，则1212cos cos k k x x ⋅=⋅，因为[]cos 1,1x ∈-，所以存在1x ，2x 满足12cos cos 1x x ⋅=-，故B 正确；对C ，e 0x y '=>，则1212e e 1x xk k ⋅=⋅≠-，故C 不正确；对D ，10y x'=>，则1212111k k x x ⋅=⋅≠-，故D 不正确，故选：B3．已知随机变量X 的分布为1011163m -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则[]E X =（ ） A ．16 B ．14 C ．13D ．无法确定【答案】C【分析】先由概率和为1求得m ，再根据期望公式求解即可.【详解】由题，11163m ++=，所以12m =，所以[]11111016323E X =-⨯+⨯+⨯=，故选：C4．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是______． 【答案】(1，0)【详解】抛物线y 2＝4x ，满足y 2＝2p x ，其中p=2. 所以抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1，0).故答案为(1，0).6．极坐标系中，点1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭与点()1,θ，[)0,2θ∈π表示同一个点，则θ=_________.【答案】43π43π【分析】与点1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示同一个点满足1,23k πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，根据[)0,2θ∈π，对k 赋值即可求解.【详解】由题，与点1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示同一个点满足1,23k πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以23k πθππ=++，k ∈Z ，因为[)0,2θ∈π，所以当0k =时，43θπ=，故答案为：43π7．将一颗公正六面骰子抛掷1次，记事件A 为“掷得的点数为2”，事件B 为“掷得的点数为偶数”.则()P A B =_________.（结果用最简分数表示） 【答案】13【分析】根据题意，计算()P B 与()P AB ，利用条件概率公式求解即可. 【详解】由题，()12P B =，()16P AB =，则()()()1|3P AB P A B P B ==， 故答案为：138．已知1()cos f x x x=+，则()1f '≈_________.（精确到0.001） 【答案】 1.841-【分析】求导后将1x =代入即可. 【详解】由题，()21sin f x x x '=--， 所以()11sin1 1.841f '=--≈-， 故答案为： 1.841-9．函数()e xf x x =在点()0,0P 处的切线的方程为_________.【答案】y x =【分析】先求导，再将0x =代入可得切线斜率，由直线的点斜式方程即可求解.【详解】由题，()()e e 1e x x xf x x x =+=+'，则()01f '=，所以切线方程为y x =， 故答案为：y x =10．若函数()ln f x ax x =-在()1,x ∈+∞是严格增函数，则实数a 的最小值是_________. 【答案】1【分析】由题意求导()1f x a x'=-，化单调性为导数的正负问题，再参变分离利用不等式即可求出答案. 【详解】()ln f x ax x =-，()1f x a x'∴=-，函数()ln f x ax x =-在()1,x ∈+∞是严格增函数，10a x∴-≥在()1,x ∈+∞上恒成立， 即1a x≤在()1,x ∈+∞上恒成立， ()1,x ∈+∞，101x∴<<， 1a ∴≥时1a x≤在()1,x ∈+∞上恒成立， ∴实数a 的最小值为：1.故答案为：1. 11．过抛物线2y x 上的点()1,1M 且与抛物线只有一个公共点的直线的方程为_________.【答案】210x y --=或1x =【分析】分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-与抛物线方程联立，满足0∆=，即可求解.【详解】由题，当直线斜率存在时，设直线为()11y k x -=-，联立2y x ，可得210x kx k -+-=，因为直线与抛物线只有一个公共点，所以()2410k k ∆=--=，所以2k =，则直线为21y x =-，即210x y --=；当直线斜率不存在时，直线1x =与抛物线也只有一个公共点，故答案为：210x y --=或1x =12．从1，2，3，4中随机抽取一个数，抽取后放回.如果抽到1或2，你可以再随机抽取一次，第二次无论抽到哪一个数后都结束抽取；如果抽到3或4，则结束抽取.你抽取到的数的总和不小于4的概率为_________.（结果用最简分数表示） 【答案】916【分析】列举出数的总和不小于4的情况，根据独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题，抽取到的数的总和不小于4的情况有： （1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（4），故概率为1113194244416⨯+⨯+=，故答案为：91613．袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为_________.（结果用最简分数表示） 【答案】2328【分析】至少摸出3个白球，即摸出白球的数量为3,4,5，根据超几何分布的概率公式进行求解即可.【详解】由题，不放回地摸5个球，摸出至少3个白球，即白球数量为3,4,5，则概率为32415535355388C C C C C 1035314623C C 5628P ⋅+⋅+⨯+⨯+====， 故答案为：232814．如图，水缸为圆锥形，圆锥底面直径为2.5米，高为5米，水被以π立方米/小时的速度注入水缸中，当水缸中的水深为2米时，此时水面上升的瞬时速度（变化率）为_________（单位：米/小时）.【答案】4【分析】根据半径与高度关系得到14r h =，则根据体积公式得到348h t =，113348h t =⋅， 对h 求导代入时间即可.【详解】设圆锥底面半径为r ，水深的高度为h ，水注入的时间为t ，则有542.52h r ==，则14r h =，213t r h ππ=⋅⋅⋅，则211316t h h =⋅⋅⋅，化简得348h t =， 则111333(48)48h t t =⋅=⋅ 12331483h t -'=⨯⨯，当2h =时，代入348h t =，则16t =， 2111213333331111486866843633v h -⎛⎫⨯⨯='==⨯⨯⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4.三、解答题15．求函数32()231210f x x x x =+-+的极值，并指出是极大值还是极小值. 【答案】极大值为30，极小值为3【分析】先求导，再令导函数为0，列表，根据导函数的正负求得函数的极值.【详解】由题，()26612f x x x '=+-，令()0f x '=，则12x =-，21x =，所以所以()f x 的极大值为()230f -=，()f x 的极小值为()13f =.16．如图，一个圆柱内接于半径为6的半球面，设内接圆柱的高为h ，体积为V .(1)建立V 关于h 的函数关系()V f h =，并指出h 的取值范围； (2)利用导数，求出圆柱的最大体积. 【答案】(1)336h h ππ-,()0,6h ∈ (2)483π【分析】（1）先表示出底面圆半径，再套用圆柱的体积公式即可； （2）通过求导，然后分析出单调性，进而求出其最值. 【详解】(1)设底面圆的半径为r ，则236r h =- ()2233636V r h h h h h ππππ==-=-，()0,6h ∈.(2)2363V h ππ'=-， 令0V '=得23h =当(0,23h ∈时0V '>，336V h h ππ=- 单调递增， 当()23,6V '∈时0V '<，336V h h ππ=-单调递减， 所以，当3h =(3max 36233483V πππ=⨯⨯=.所以圆柱的最大体积为483π.17．某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定.(1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率；(2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为X ，求X 的分布列及[]E X ，[]D X 的值. 【答案】(1)12(2)X 的分布列见解析，[]52E X =，[]712D X =【分析】（1）“当天小王的该邮箱被锁定”即3次尝试均错误，进而求解；（2）由题X 可能取到1，2，3，分别求得概率，列出分布列，根据期望和方差的公式求解即可.【详解】(1)设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件A ，则()54316542P A =⨯⨯=(2)由题意，X 可能取到1，2，3，则()116P X ==，()5112656P X ==⨯=，()54231653P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：所以[]11251236632E X =⨯+⨯+⨯=，[]222515152712326262312D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．在平面直角坐标系xOy 中，动点()24,4P n n ，R n ∈的轨迹与直线4x my =+交于A ，B 两点.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)已知点(),0M t ，使得对于任意实数m 总有OMA OMB ∠=∠，求t 的值并说明理由. 【答案】(1)24y x =； (2)4t =-.【分析】（1）设(,),P x y 化简方程组244x n y n ⎧=⎨=⎩即得解；（2）联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，由题得直线,AM BM 的斜率0AM BM k k +=,化简即得解.【详解】(1)解：设224(,),,44x n P x y y x y n⎧=∴∴=⎨=⎩. 所以动点P 的轨迹方程为24y x =.(2)解：联立244x my y x =+⎧⎨=⎩得24160y my --=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则21212Δ=16640416m y y m y y ⎧+>⎪+=⎨⎪⋅=-⎩， 由于OMA OMB ∠=∠，所以直线,AM BM 的斜率0AM BM k k +=, 所以1212211212()()0()()y y y x t y x t x t x t x t x t -+-+==----， 所以12122(4)()=0my y t y y +-+， 所以324(4)=0m m t -+-， 所以4t =-.19．已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e xf x x x =+-，()e 21x f x x ='+-， 由于()''e 20xf x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x ----， 记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-， 令()()21e 102xh x x x x =---≥，则()e 1xh x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=， 故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102xx x ---恒成立， 故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 因此，()()2max7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. [方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x xf x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立． ⑤式()223e74244e-+++⇔≤xx x x ，令()223e7424()(0)e-+++=≥xx x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='xxx x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=xx x x ()2(2)2e 9e⎡⎤--+-⎣⎦xx x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0,()h x h x '<单调递减； 当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增； 当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立． 所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立． 综上274e a -≥． [方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤， 记()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥， ()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦， ①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立； ③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21x g x x x -=+≤+恒成立， 所以12a ≥时，满足题意. 综上，27e 4a -. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！。