2020-2021备战中考数学提高题专题复习平行四边形练习题附详细答案
2020-2021备战中考数学提高题专题复习平行四边形练习题附详细答案一、平行四边形1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．理由如下：如图1中，在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB＝12AC，同理AD＝12AC．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA ≌△CBE ，∴AD=BE ，∴AD+AB=AE ．在Rt △ACE 中，∠CAB=45°，∴AE ＝245AC AC cos ︒＝ ∴2AD AB AC +＝.2．如图1，正方形ABCD 的一边AB 在直尺一边所在直线MN 上，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作OE ⊥MN 于点E ．（1）如图1，线段AB 与OE 之间的数量关系为 ．（请直接填结论）（2）保证点A 始终在直线MN 上，正方形ABCD 绕点A 旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B 作BF ⊥MN 于点F ．①如图2，当点O 、B 两点均在直线MN 右侧时，试猜想线段AF 、BF 与OE 之间存在怎样的数量关系？请说明理由．②如图3，当点O 、B 两点分别在直线MN 两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．③当正方形ABCD 绕点A 旋转到如图4的位置时，线段AF 、BF 与OE 之间的数量关系为 ．（请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE ；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF ﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE ，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）①过点B 作BH ⊥OE 于H ，可得四边形BHEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH ，BF=HE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBH 全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE ，OE=BH ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证； ②过点B 作BH ⊥OE 交OE 的延长线于H ，可得四边形BHEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH ，BF=HE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBH 全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；③同②的方法可证．试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，∵OE⊥AB，∴OE=12 AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H∴∠BHE=∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90°∴四边形EFBH为矩形∴BF=EH，EF=BH∵四边形ABCD为正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°∴∠AOE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H∴∠EHB=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°∴四边形HBFE为矩形∴BF=HE，EF=BH∵四边形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，∴∠AOE+∠AOG=90°．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOG+∠BOG=90°，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90°．∴△AOE ≌△BOG （AAS ），∴OE=OG ，AE=BG ，∵AE ﹣EF=AF ，EF=OG=OE ，AE=BG=AF+EF=OE+AF ，∴BF ﹣AF=BG+GF ﹣（AE ﹣EF ）=AE+OE ﹣AE+EF=OE+OE=2OE ，∴BF ﹣AF=2OE ．3．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2413 【解析】 分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x= 133， ∵BD=22AD AB + =213， ∴OB=12BD=13， ∵BD ⊥EF ，∴EO=22BE OB -=213， ∴EF=2EO=4133． 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键4．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数；（3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.【答案】（1）()22303y x x x =-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为2或1172. 【解析】试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴22221y x =+-，则()22303y x x x =-++<<（2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∴∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =-=-，则2241174AD CA x x AC CB x -±=⇒=⇒=-（舍负） 易知∠ACE <90°，所以边BC 的长为1172+． 综上所述：边BC 的长为2或117+．点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．5．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。
2023年山东省中考数学模拟题知识点分类汇编：四边形(附答案解析)
等于（ ）
第 1页（共 58页）
A．75°
B．72°
C．60°
D．45°
5．（2022•槐荫区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，
点 A 在 y 轴上运动，点 B 在 x 轴上运动，点 E 为对角线的交点，在运动过程中点 E 到 y
轴的最大距离是（ ）
A．
B．1
A．
B．
C．3
D．
3．（2022•烟台模拟）如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AM，过 D 作 DE⊥ AM 于点 E，过 B 作 BF⊥AM 于点 F，连接 BE．若 AF＝1，四边形 ABED 的面积为 10， 则 BF 的长为（ ）
A．10
B．
C．4
D．3
4．（2022•沂水县二模）如图，在正六边形 ABCDEF 内作正方形 BCGH，连接 AH，则∠FAH
角线 BD 相交于点 N，F 是线段 CE 的中点，则下列结论中正确的有（ ）个．
①OF＝ ；②ON＝ ；③S△CON＝ ；④sin∠ACE＝ ．
A．1
B．2
C．3
D．4
19．（2020•聊城一模）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝80°，AB 的垂直平分线交对角线
AC 于点 F，垂足为 E．连接 DF，则∠DFE 等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
17．（2020•乳山市模拟）如图，▱ ABCD 的周长为 36，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E
是 CD 的中点，BD＝12，则△DOE 的周长为（ ）
A．15
B．18
C．21
D．24
18．（2020•市北区二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，CE 平分∠ACB，与对
2020-2021备战中考数学——初中数学 旋转的综合压轴题专题复习附答案解析
2020-2021备战中考数学——初中数学旋转的综合压轴题专题复习附答案解析一、旋转1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．2．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b．（1）如图1，当a＝42时，求b的值；（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．【答案】（1）422）b＝8；（3）ab＝32．【解析】试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝2，∠ACB＝45°．再CE＝a＝2∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC；（2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得；（3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝42，∠ACB＝45°．∵CE＝a＝42，∴∠CAE＝∠AEC＝452︒＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42；（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC．又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CFEC CA=，∴42442=，∴CF＝8，即b＝8．（3）ab＝32．提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CFEC CA=，∴4242a=，∴ab＝32．3．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接EG，CG.(1) 求证：EG=CG；(2) 将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转 45∘,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG∴ EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;试题解析：解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。
《第5章相交线与平行线》期末复习培优训练(附答案) 2020-2021学年七年级数学人教版下册
2021年人教版七年级数学下册《第5章相交线与平行线》期末复习培优训练（附答案）1．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（）A．先右转45°，再左转45°B．先左转45°，再右转135°C．先左转45°，再左转45°D．先右转45°，再右转135°2．两个角的一组对应边同向平行，另一组对应边反向平行，且这两个角的度数比是5：31，则两个角的度数是（）A．150°30°B．140°40°C．25°155°D．135°45°3．如图所示，将一张长方形纸片ABCD沿着直线EF折叠，A、B两点分别落在A′、B′处，若∠AEA′＝70°，则∠BFE的角度为（）A．40°B．35°C．45°D．30°4．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α，β的角度数之积为定值C．β随α增大而增大D．β随α增大而减小5．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E+∠EAG+∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠1）的度数是（）A．55°B．70°C．80°D．90°7．如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．从C村到D村的公路平行于从A村到B村的公路，则C，D两村与B，C两村公路之间夹角的度数为（）A．100°B．80°C．75°D．50°8．如图所示，∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的补角的度数为（）A．55°B．75°C．105°D．125°9．如图，AB∥DC，∠ABD＝30°，∠ADB＝85°，求∠ADC和∠A的角度．10．如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度数．11．如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°，求∠2、∠3的度数．12．如图，AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝110°，求∠3的度数．13．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝46°，求∠CDE的度数．14．如图，AC∥ED，AB∥FD，∠A＝64°，求∠EDF的度数．15．如图，AC∥DF，AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上．若∠2＝50°，求∠1的大小．16．如图，∠B、∠D的两边分别平行．（1）在图①中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？（2）在图②中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？（3）由（1）（2）可得结论；（4）应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数．17．直线AB∥CD，E、F分别是直线AB、CD上的点．（1）如图1，若G是在直线AB和直线CD内部，在EF的右侧一点，证明：∠G＝∠GEB+∠GFD．（2）如图2，EF⊥AB，射线EI从射线EB位置出发，绕着点E以10度/秒的角速度顺时针旋转．射线FH从射线FD位置出发，绕着点F以15度/秒的角速度逆时针旋转．两条射线同时出发，当射线FH转完一周的时候两射线同时停止．请问在保证射线FH和射线EI有交点G的前提下，过几秒钟时，∠EGF＝50°？18．如图，已知AM∥BN．C为直线BN上一点，且∠MAC＝70°，∠ABC＝80°．点P从A出发，沿AM方向运动，∠P AC与∠PBC的角平分线相交于点D．探究一：①当∠ABP＝20°时，求角ADB的度数；聪明的小华看到这一问题，采用了如下解题方法：如图2，过点D作DE∥AM，于是，他很快就得到了正确答案，即∠ADB＝．探究二：设∠ABP＝α，∠ADB＝β，试探究：①若β不小于α，求α的取值范围；②若点P运动的过程中，是否会出现α与β互补的情况？若会，请求出α与β的值；若不会，请说明理由．19．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．（1）若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为；（2）如图1，∠ACE＝∠；若点E在AC的上方，设∠ACB＝α（90°＜α＜180°），则∠DCE的度数为．（用含α的式子表示）（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合①当BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是度．②当BC∥DA时，直接写出∠ACE的度数是度．（4）在（3）的条件下，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在请直接写出此时∠ACE所有可能的角度数值为度，若不能请说明理由．20．（1）如图1，AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B＝60°，∠D＝30°，则∠BPD ＝°；（2）如图2，AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图2中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图3，若∠BPD＝86°，∠BMD＝40°，求∠B+∠D的度数．参考答案1．解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于方向仍与原来相同，所以平行前进，可以得到∠1＝∠2．故选：A．2．解：如图，BC∥ED，AB∥EF，∠B：∠E＝5：31，∴∠B＝∠1，∠1+∠E＝180°，∴∠B+∠E＝180°，∵∠B：∠E＝5：31，设∠B＝5x，∠E＝31x，∴5x+31x＝180°，解得：x＝5，∴∠B＝25°，∠E＝155°，故选：C．3．解：由平行线的性质得，∠AEA'＝∠1＝70°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠BFB'＝70°，由折叠性质得，∠BFE＝∠EFB'＝∠BFB'＝35°，故选：B．4．解：过C点作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠α＝∠BCF，∠β+∠DCF＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF＝90°，∴∠α+180°﹣∠β＝90°，∴∠β﹣∠α＝90°，∴β随α增大而增大，故选：C．5．解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK＝∠CKG，∵∠CKG＝∠CGK，∴∠AGK＝∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，∵EF∥CH，∴∠EPQ＝∠CQP，∵∠EPQ＝∠E+∠EAG，∴∠CQG＝∠E+∠EAG，∵AD∥BC，∴∠HCK+∠CQG＝180°，∴∠E+∠EAG+∠HCK＝180°；故③正确；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，∵∠FGA＝∠DGH，∴90°﹣2∠FGA＝16°，∴∠FGA＝∠DGH＝37°，设∠AGM＝α，∠MGK＝β，∴∠AGK＝α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK＝∠AGK＝α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM＝∠CGM，∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，∴37°+α＝β+α+β，∴β＝18.5°，∴∠MGK＝18.5°，故④错误，故选：B．6．解：如图，延长ED交BF于C，∵BA∥DE，∴∠BCD＝∠B＝120°，∠FCD＝60°，又∵∠FDE是△CDF的外角，∴∠1＝∠FDE﹣∠DCF＝150°﹣60°＝90°，故选：D．7．解：由题意可得：AN∥FB，DC∥BE，∴∠NAB＝∠FBE＝75°，∵∠CBF＝25°，∴∠CBE＝100°，则∠DCB＝180°﹣100°＝80°．故选：B．8．解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，∴∠1＝∠5，∴a∥b，∴∠3＝∠6＝55°，∴∠4的补角的度数为55°，故选：A．9．解：∵AB∥DC，∠ABD＝30°，∴∠BDC＝∠ABD＝30°，∵∠ADB＝85°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝115°，∠A＝180°﹣（∠ADB+∠ABD）＝65°．10．解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∠CDE＝130°，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．11．解：∵DE∥BC∴∠1＝∠2＝65°∵AB∥DF∴∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣65°＝115°．故答案为∠2＝65°，∠3＝115°．12．解：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠4＝∠1，∠3+∠4＝∠2，∴∠3＝∠2﹣∠1＝110°﹣50°＝60°．13．解：∵DE∥BC，∠AED＝46°，∴∠ACB＝∠AED＝46°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝23°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝23°．14．解：∵AC∥ED，∴∠BED＝∠A＝64°，∵AB∥FD，∴∠EDF＝∠BED＝64°．15．解：∵AC∥DF，∴∠2＝∠F，∵AB∥EF，∴∠1＝∠F，∴∠1＝∠2＝50°16．解：（1）∠B＝∠D．理由：∵AB∥CD，BE∥DF，∴∠B＝∠1，∠1＝∠D，∴∠B＝∠D．（2）∠B+∠D＝180°，理由：∵AB∥CD，BE∥DF，∴∠B＝∠1，∠1+∠D＝180°，∴∠B+∠D＝180°．（3）由（1）（2）可得结论：若两个角的两边两两互相平行，则这两个角相等或互补．故答案为：若两个角的两边两两互相平行，则这两个角相等或互补．（4）设一个角为x°，则另一个角的（2x﹣30）°，若相等：x＝2x﹣30，解得：x＝30，则这两角分别为：30°，30°；若互补，则x+2x﹣30＝180，解得：x＝70，则这两角分别为：70°，110°；答：这两个角的度数分别为：30°，30°或70°，110°．17．解：（1）如图1，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠BEG＝∠HGE，∠DFG＝∠HGF，∴∠EGF＝∠HGE+∠HGF＝∠BEG+∠DFG；（2）设过t秒钟时，∠EGF＝50°，由题可得∠BEG＝10t°，∠DFG＝15t°，如图2，当点G在EF右侧时，由（1）可得，∠EGF＝∠BEG+∠DFG，即50°＝10t°+15t°，解得t＝2；如图3，当点G在EF的左侧时，过G作PG∥AB，∵AB∥CD，∴GP∥AB∥CD，∴∠AEG＝∠PGE，∠CFG＝∠PGF，∴∠EGF＝∠PGE﹣∠PGF＝∠AEG﹣∠CFG，又∵∠AEG＝180°﹣10t°，∠CFG＝15t°﹣180°，∴50°＝（180°﹣10t°）﹣（15t°﹣180°），解得t＝12.4，综上所述，过2秒或12.4秒时，∠EGF＝50°．18．解：探究一：①如图2，∵AM∥BN，DE∥AM，∴BN∥DE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠P AC与∠PBC的角平分线相交于点D，∴＝35°，∠3＝∠PBC＝（80°﹣20°）＝30°，∴∠ADB＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝65°，故答案为：65°；探究二：①如图2，∵AM∥BN，DE∥AM，∴BN∥DE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠P AC与∠PBC的角平分线相交于点D，∴＝35°，∠3＝∠PBC＝（80°﹣α）＝40°﹣，∴∠ADB＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝75°﹣＝β，∵β≥α，∴75°﹣≥α，∴0＜α≤50，∴α的取值范围是：0＜α≤50．②不会，理由：∵75°﹣＝β，假设α+β＝180°，则75°﹣+α＝180°，解答α＝210°＞180°，∴不会出现α与β互补的情况．19．解：（1）由互余∠ACE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣40°＝50°，由角的和差得∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝50°+90°＝140°，故答案为：140°；（2）∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCB；∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝α﹣90°，∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α，故答案为：DCB，180°﹣α；（3）①当BE∥AC时，∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°；②当BC∥DA时，∵BC∥DA，∴∠BCD＝∠D＝30°，∴∠ACB＝90°+30°＝120°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°．故答案为：①45；②30；（4）①当AD∥CE时，∵AD∥CE，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝90°+30°＝120°；②当BE∥CD时，∴∠ACE＝90°+45°＝135°；③当BE∥AD时，过点C作CF∥AD，∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥AD∥CF，∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，∴∠DCE＝30°+45°＝75°∴∠ACE＝90°+75°＝165°．故答案为：120或135或165．20．解：（1）如图1，∵AB∥CD，∠B＝60°，∴∠BOD＝∠B＝60°，∴∠BPD＝∠BOD﹣∠D＝60°﹣30°＝30°．故答案为：30°；（2）∠BPD＝∠B+∠D．如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；（3）延长BP交CD于点E，∵∠1＝∠BMD+∠B，∠BPD＝∠1+∠D，∴∠BPD＝∠BMD+∠B+∠D，∵∠BPD＝86°，∠BMD＝40°，∴∠B+∠D＝∠BPD﹣∠BMD＝86°﹣40°＝46°。
2020-2021学年七年级数学人教版下册第5章相交线与平行线常考题型专题训练(附答案)
2020-2021年度人教版七年级数学下册第5章相交线与平行线常考题型专题训练（附答案）1．如图，AC⊥BC，AC＝4，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（）A．3.5B．4.5C．5D．5.52．如图，在四边形ABCD中，连接BD，判定正确的是（）A．若∠1＝∠2，则AB∥CD B．若∠3＝∠4，则AD∥BCC．若∠A+∠ABC＝180°，则AD∥BC D．若∠C＝∠A，则AB∥CD3．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝50°，则∠ACD的大小为（）A．120°B．130°C．140°D．150°4．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（）A．110°B．115°C．120°D．130°5．如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝40°，则∠3的度数为（）A．75°B．50°C．35°D．30°6．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（）A．∠1+∠2﹣∠3＝90°B．∠1﹣∠2+∠3＝90°C．∠1+∠2+∠3＝90°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°7．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E﹣∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB ＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°11．如图，直线a，b相交于点O，若∠1+∠2＝220°，则∠3＝．12．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝．13．如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝112°，且BD⊥CD，则∠ADC＝．14．如果∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少36°，则∠A的度数是．15．如图，AB∥CD，CE∥GF，若∠1＝60°，则∠2＝°．16．已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝度．17．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝．18．已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A＝．19．如图，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为F，∠1＝43°，则∠2的度数为．20．如图，AB∥CD，∠B＝150°，FE⊥CD于E，则∠FEB＝．21．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．22．如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D、E、H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3＝180°（1）求证：∠CEF＝∠EAD；（2）若DH平分∠BDE，∠2＝α，求∠3的度数．（用α表示）．23．已知：如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求证：∠E＝∠F．24．已知如图：AD∥BC，E、F分别在DC、AB延长线上．∠DCB＝∠DAB，AE⊥EF，∠DEA＝30°．（1）求证：DC∥AB．（2）求∠AFE的大小．25．如图，AB∥DG，AD∥EF．（1）试说明：∠1+∠2＝180°；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝138°，求∠B的度数．26．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求证：CE∥GF；（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．27．问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；结论应用（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于（用含α的式子表示）．参考答案1．解：∵AC⊥BC，AC＝4，∴AD≥AC，即AD≥4．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．2．解：A、根据∠1＝∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；B、根据∠3＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；C、根据∠A+∠ABC＝180°能推出AD∥BC，故本选项符合题意；D、根据∠C＝∠A不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意．故选：C．3．解：∵∠BAE＝50°，∴∠CAB＝180°﹣50°＝130°．∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝130°．故选：B．4．解：∵长方形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝50°，∴∠3＝∠2＝＝65°，∵长方形对边AD∥BC，∴∠AEF＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．故选：B．5．解：∵a∥b，∴∠1＝∠4＝75°，∴∠2+∠3＝∠4，∵∠1＝75°，∠2＝40°，∴∠3＝75°﹣40°＝35°．故选：C．6．解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，即∠2+∠3﹣∠1＝180°，故选：D．7．解：①过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠E＝360°，故本小题错误；②过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A+∠C，即∠E＝∠A+∠C，故本小题正确；③过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠A+∠E﹣∠1＝180°，故本选项正确；④∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C﹣∠P，故本小题正确．综上所述，正确的小题有②③④共3个．故选：C．8．解：①符合对顶角的性质，故本小题正确；②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；③符合平行线的判定定理，故本小题正确；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．故选：B．9．解：∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1＝30°，∴∠3＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°，故选：D．10．解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，∴，∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，故选：B．11．解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝220°，∴∠1＝∠2＝110°，∴∠3＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．12．解：∵AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，∴∠CBD＝∠1＝130°．∵∠BDC＝∠2，∴∠BDC＝30°．在△BCD中，∠CBD＝130°，∠BDC＝30°，∴∠C＝180°﹣130°﹣30°＝20°．故答案为：20°．13．解：∵AD∥BC，∠A＝112°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝68°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝34°，∵BD⊥CD，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝56°，∴∠ADC＝180°﹣∠C＝124°．故答案为：124°．14．解：∵∠A与∠B的两边分别平行，∴∠A与∠B相等或互补．分两种情况：①当∠A+∠B＝180°时，∠A＝3∠B﹣36°，解得：∠A＝126°；②当∠A＝∠B，∠A＝3∠B﹣36°，解得：∠A＝18°．所以∠A＝18°或126°．故答案为18°或126°．15．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CEF，∵CE∥GF，∴∠2＝∠CEF，∴∠2＝∠1，∵∠1＝60°，∴∠2＝60°，故答案为：60．16．解：∵∠CDF＝135°，∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，∵AB∥EF，∠ABC＝75°，∴∠1＝∠ABC＝75°，∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，故答案为：30．17．解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠ABF＝50°，∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，∴∠A＝20°．故答案为：20°．18．解：设∠B是x度，根据题意，得①两个角相等时，如图1：∠B＝∠A＝x°，x＝3x﹣40，解得，x＝20，故∠A＝20°，②两个角互补时，如图2：x+3x﹣40＝180，所以x＝55，3×55°﹣40°＝125°综上所述：∠A的度数为：20°或125°．故答案为：125°或20°19．解：∵AB∥CD，∴∠D＝∠1＝43°．∵EF⊥BD，垂足为F，∴∠DFE＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣43°＝47°．故答案为：47°．20．解：∵AB∥CD，∠B＝140°，∴∠BEC＝180°﹣∠B＝180°﹣150°＝30°，∵FE⊥CD，∴∠CEF＝90°，∴∠FEB＝∠CEF﹣∠BEC＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60°．21．解：（1）AD∥BC，理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠BCF，∴AD∥BC；（2）AB∥EF，理由是：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE，∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABE＝∠E，∴AB∥EF；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．22．解：（1）∵∠3+∠DFE＝180°，∠1+∠3＝180°∴∠DFE＝∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF＝∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2+∠BDE＝180°又∵∠2＝α∴∠BDE＝180°﹣α又∵DH平分∠BDE∴∠1＝∠BDE＝（180°﹣α）∴∠3＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α23．证明：∵∠BAP与∠APD互补，∴AB∥CD．（同旁内角互补两直线平行），∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2（已知）由等式的性质得：∴∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2，即∠EAP＝∠FP A，∴AE∥FP（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠F（由两直线平行，内错角相等）．24．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB＝180°，∵∠DCB＝∠DAB，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴DC∥AB；（2）解：∵DC∥AB，∠DEA＝30°，∴∠EAF＝∠DEA＝30°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠EAF＝60°．25．解：（1）∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°，∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∴∠1+∠2＝180°．（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝138°，∴∠1＝42°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝42°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝42°．26．解：（1）∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；（2）∠AED+∠D＝180°；理由：∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，又∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；（3）∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，∴∠CGF＝80°+30°＝110°，又∵CE∥GF，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝70°，∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．27．解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°；（3）如图3，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．故答案为：60°﹣α。
专题38 母子型问题(原卷版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题38 母子型问题【规律总结】如图,在Rt △ABC 中,AB CD ACB ⊥︒=∠,90,则有Rt △ACD ∽Rt △ABC , Rt △CBD ∽Rt △ABC , Rt △ACD ∽Rt △CBD .其中,Rt △ACD ∽Rt △CBD 为姊妹型相似,Rt △ACD ∽Rt △ABC , Rt △CBD ∽Rt △ABC 为母子型相似.如图所示,若B ACD ∠=∠（或ACB ADC ∠=∠）,则△ACD ∽△ABC ,为母子型相似.【典例分析】例1．（2020·桂林市国龙外国语学校九年级月考）如图， 正方形ABCD 中，△ABC 绕点A 逆时针转到A B C '''，AB '，AC '分别交对角线BD 于点E ，F ，若AE=4，则EF ED ⋅的值为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】C【分析】 根据正方形性质和旋转性质得到∠BAC 和∠EAF 和∠ADB 都等于45°，再加上公共角得到∠AEF图（10）DC B A DC B A图（11）与∠DEA 相似，得到对应边成比例即可得到结果．【详解】解：∠四边形ABCD 是正方形，∠∠BAC=∠ADB=45°，∠把∠ABC 绕点A 逆时针旋转到A B C '''，∠∠EAF=∠BAC=45°，∠∠EAF=∠ADB=45°，∠∠AEF=∠DEA ，∠∠AEF∠∠DEA ， ∠AE EF DE AE=， ∠EF·ED=AE 2，∠AE=4，∠EF·ED=16，故选：C ．【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．例2．（2020·四川师范大学附属中学九年级月考）如图，在边长为4正方形ABCD 中，以AB 为腰向正方形内部作等腰ABE △，点G 在CD 上，且3CG DC =．连接BG 并延长，与AE 交于点F ，与AD 延长线交于点H ．连接DE 交BH 于点K ．若2·AE BF BH =，则CDE S =△____．【答案】165【分析】作EM AB ⊥于M ，EM 交CD 于N ，根据勾股定理可得BG ，再由相似三角形的性质可得BH ，继而判定BAF BHA ∽△△，并求得BF 的长，由全等三角形的性质可得ME ，利用线段的和差求得EN ，进而由三角形面积公式即可求解．【详解】作EM AB ⊥于M ，EM 交CD 于N ，如图，则EN CD ⊥，∠3CG DG =，∠1DG =，3CG =，在Rt BCG 中，5BG ==，∠//DG AB ，∠HDG HAB ∽△△． ∠HG DG HB AB =即514HB HB -=解得203HB = ∠2·AE BF BH =，而AB AE =，∠2·AB BF BH =，即::AB BF BH AB =，而ABF HBA ∠=∠，∠BAF BHA ∽△△．∠90BFA BAH ∠=∠=︒，∠BF∠AE ． ∠224122053AB BF BH===， ∠∠BME ＝EFB ，∠MBE ＝∠FEB ，BE ＝EB ，∠∠BME∠∠EFB （AAS ）， ∠125ME BF ==， ∠128455EN =-=， ∠18164255CDE S ∆=⨯⨯=． 故答案为：165． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线求得关键线段的长解决问题．例3．（2020·四川成都市·川大附中九年级月考）在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E 是AB 边上一点，EF CE ⊥交AD 于点F ，过点E 作AEH BEC ∠=∠，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N ．（1）如图a ，当点H 与点F 重合时，求BE 的长．（2）如图b ，当点H 在线段FD 上时，设BE x =，DN y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域．（3）连接AC ，当FHE 与AEC 相似时，求线段DN 的长．【答案】（1）3；（2）()2423y x x =-≤≤；（3）12或1 【分析】 （1）由EF EC ⊥，得90AEF BEC ∠+∠=︒，又AEF BEC ∠=∠，得45AEF BEC ∠=∠=︒，得BE BC =即可；（2）过点E 作EG CN ⊥，垂足为点G ，四边形BEGC 是矩形，BE CG =，可证ENC ECN ∠=∠，得EN EC =，设BE x =，DN y =，利用线段和差即可得到()2423y x x =-≤≤；（3）90BAD ∠=︒， EF EC ⊥，推出HFE AEC ∠=∠，当FHE 与AEC 相似时，分类讨论①若FHE EAC ∠=∠，推出EAC ECB ∠=∠，tan tan EAC ECB ∠=∠，BC BE AB BC =，求得94BE =， ②若FHE ECA ∠=∠，设EG 与AC 交于点O ，由EN EC =，EG CN ⊥，知12∠=∠，可证∠AEO∠∠ABC ，利用性质可求52AE =，32BE =，综上所述，线段DN 的长为12或1时FHE 与AEC 相似． 【详解】（1）∠EF EC ⊥，∠90AEF BEC ∠+∠=︒，∠AEF BEC ∠=∠，∠45AEF BEC ∠=∠=︒，∠90B ∠=︒，∠BE BC =，∠3BC =，∠3BE =．（2）过点E 作EG CN ⊥，垂足为点G ，∠四边形BEGC 是矩形，∠BE CG =，∠AB CN ，∠AEH ENC ∠=∠，BEC ECN ∠=∠，∠AEH BEC ∠=∠，∠ENC ECN ∠=∠，∠EN EC =，∠BE x =，DN y =，4CD AB ==，∠2x -y=4,当点H 在线段FD 上时，0y ≥240x -≥2x ≥∠()2423y x x =-≤≤．（3）∠90BAD ∠=︒，∠90AFE AEF ∠+∠=︒，∠EF EC ⊥，∠90AEF CEB ∠+∠=︒，∠AFE CEB ∠=∠，∠HFE AEC ∠=∠，当FHE 与AEC 相似时，①若FHE EAC ∠=∠，∠BAD B =∠∠，AEH BEC ∠=∠，∠EAC ECB ∠=∠，∠tan tan EAC ECB ∠=∠， ∠BC BE AB BC=， ∠4AB =，3BC =， ∠94BE =， ∠设BE x =，DN y =，24y x =-， ∠12DN =．②若FHE ECA ∠=∠，设EG 与AC 交于点O ，∠EN EC =，EG CN ⊥，∠12∠=∠，∠AH EG ∥，∠1FHE ∠=∠，∠2FHE ∠=∠，∠2ECA ∠=∠，∠EO CO =，∠AB=4，BC=3，则AC=5，设3EO CO k ==，由EO∠BC∠∠AEO∠∠ABC ∠AE EO AO ==AB BC AC 即AE EO AO ==435则4AE k =，5AO k =，∠85AO CO k +==， ∠58k =， ∠52AE =，32BE =， ∠1DN DG NG AE BE =-=-=，综上所述，线段DN 的长为12或1时FHE 与AEC 相似． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式，相似三角形的性质，三角函数等知识，掌握等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式的求法，相似三角形的性质，三角函数是解题关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·河南驻马店市·九年级期中）如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）A ．162n -B ．182n -C ．412n -- D ．不确定2．（2020·湖北武汉市·九年级其他模拟）古希腊数学家发现“黄金三角形”很美．顶角为36︒的等腰三角形，称为“黄金三角形”．如图所示，ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，其中10.6182BC AC =≈，又称为黄金比率，是著名的数学常数．作ABC ∠的平分线，交AC 于1C ，得到黄金三角形1BCC ；作11//C B BC 交AB 于1B ，121//B C BC 交AC 于2C ，得到黄金三角形112B C C △；作22//C B BC 交AB 于2B ，231//B C BC 交AC 于3C ，得到黄金三角形233B C C △；依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形．若BC 的长为1，那么56C C 的长为（ ）A2B．9-C．4-D．29 2二、填空题3．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·九年级二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，四边形ECGF为菱形，点G在AD上，点B在EF上，若菱形的一条对角线CF=ECGF的另一条对角线EG的长度是_____．4．（2020·福建省泉州第一中学九年级其他模拟）如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，△ACB＝90°，点D是x轴正半轴上一点，AC平分△BAD，E是AD的中点，反比例函数kyx=(k>0)的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为______．三、解答题5．（2020·江苏盐城市·景山中学九年级月考）问题背景在Rt ACB 中，90ACB ∠=︒，16AC =，12BC =，点D 、F 分别是边AC 、BC 上的动点，设C ，D 两点之间的距离为x ，C 、F 两点之间的距离为y ．初步思考（1）如图1，过点D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结FD 、FE ．当8DE =时，x =________； 深入探究（2）如图2，若DE AB ⊥于E ，以FD ，FE 为邻边作平行四边形FDGE ，当6x =时，是否存在y ，使得平行四边形FDGE 的顶点G 恰好落在ABC 的边上？若存在，请求出y 的值，若不存在，请说明理由．拓展延伸（3）如图3，连接AF、BD交于点E，若3sin5BEF∠=，且满足121616y xay--==，判断a是否为定值？若是，请求出a的值；若不是，请说明理由．6．（2020·常熟市第一中学九年级二模）如图，已知反比例函数myx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC△y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD△x 轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）若BD＝3OC，求△BDE的面积；（2）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．。
2021中考数学专题复习规律探索问题之图形变化类专题训练5(附答案详解)
2021中考数学专题复习规律探索问题之图形变化类专题训练5（附答案详解）1．如图，下面的图形是将三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有三角形的个数是( )A．481 B．483 C．485 D．4872．如图，如果在正方形中画1条纵线和1条横线，便把正方形分成4部分(如图①)；如果在正方形中画2条纵线和2条横线，便把正方形分成9部分(如图②)；如果在正方形中画3条纵线和3条横线，便把正方形分成16部分(如图③...如果在正方形中画9条纵线和9条横线.便把正方形分成（）部分A．72B．81C．100D．1213．观察图中正方形四个顶点所标的数字，按照规律确定数字“2020”应标在()A．第506个正方形的右上角B．第505个正方形的左下角C．第505个正方形的右上角D．第506个正方形的左下角4．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形．．．．．．，如此下去，则第2019个图中共有正方形的个数为()A．2018个B．6049个C．6052个D．6055个5．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数为( )A ．50B ．45C ．41D ．366．下列图案是用长度相同的牙签按- -定规律摆成的．摆图案()1需8根牙签,摆图案()2需15根牙签···按此规律．摆图案()n 需耍牙签的根数是（ ）A ．78n +B ．74n +C ．71n +D ．71n - 7．设点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数k y x=图象上的两个点，当1x ＜2x ＜时，1y ＜2y ，则一次函数2y x k =-+的图象不经过的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑦个图形中五角星的个数为( )A ．90B ．94C ．98D ．1029．如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形A 1B 1C 1D 1，算出了它的面积．然后分别取正方形A 1B 1C 1D 1四边的中点A 2、B 2、C 2、D 2作出了第二个正方形A 2B 2C 2D 2，算出了它的面积．用同样的方法，作出了第三个正方形A 3B 3C 3D 3，算出了它的面积…，由此可得，第六个正方形A 6B 6C 6D 6的面积是（ ）A ．5142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ．5142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．6144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 10．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…均为等边三角形．若OB 1＝1，则△A 8B 8B 9的边长为（ ）A ．64B ．128C ．132D ．25611．阅读思考，完成下列填空．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的""L 形纸片．图②是张a b ⨯的方格纸(a b ⨯的方格纸指边长分别为,a b 的长方形，被分成a b ⨯个边长为1的小正方形，其中2,2a b ≥≥，且,a b 为正整数)．把图①放置在图②中．使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法?问题探究;探究一：把图①放置在22⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图③,显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在32⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．如图④,在32⨯的方格纸中，共可以找到2个位置不同的22⨯方格，依据探究一的结论可知,把图①放置在32⨯的方格纸中．使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．探究三：把图①放置在2a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图⑤，在2a ⨯的方格纸中，共可以找到_______个位置不同的22⨯方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在2a ⨯的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有________种不同的放置方法．探究四:把图①放置在3a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图⑥,在3a ⨯的方格纸中，共可以找到_______个位置不同的22⨯方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形共有________种不同的放置方法．……问题解决:把图①放置在a b ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_________种不同的放置方法．12．用一样长的小木棒按下图中的方式搭图形.（1）按图示规律填空： 图形标号① ② ③ … 小木棒的根数9 …（2）按照这种规律搭下去，搭第n 个图形需要________根小木棒；（3）请求出搭第100个图形需要的小木棒的根数.13．细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．2112+=，112S =； 2213+=，222S =； 2314+=，33S =……（1）请在横线上直接写出15OA 的长度______；（2）请用含n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（3）求2221220S S S +++的值．14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图1,2,3,4为她们剌绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，研究发现第n 个图案中共有()2221n n -+个；小正方形．(n 为整数，且1n ≥)（1）请写出第5个图案中有____个小正方形；（2）猜想第()1n +个图案和第n 个图案中小正方形个数之差为（3）证明（2）中的猜想．15．问题提出：用若干个边长为1的小等边三角形拼成n 层的大等边三角形，共需要多少个小等边三角形？共有线段多少条？图①图②图③问题探究：如图①，是一个边长为1的等边三角形，现在用若干个这样的等边三角形再拼成更大的等边三角形.（1）用图①拼成两层的大等边三角形，如图②，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，共用了123+=个图①的等边三角形，则有长度为1的线段()312⨯+条；还有边长为2的等边三角形1个，则有长度为2的线段31⨯条；所以，共有线段()()3121212312⨯++=⨯++=条.（2）用图①拼成三层的大等边三角形，如图③，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，共用了1236++=个图①的等边三角形，则有长度为1的线段()3123⨯++条；还有边长为2的等边三角形123+=个，则有长度为2的线段()312⨯+条；还有边长为3的等边三角形1个，则有长度为3的线段31⨯条；所以，共有线段()()31231213123430⨯+++++=⨯+++=条.……问题解决：（3）用图①拼成四层的大等边三角形，共需要多少个图①三角形？共有线段多少条？请在方框中画出一个示意图，并写出探究过程；（4）用图①拼成20层的大等边三角形，共用了 个图①三角形，共有线段 条； （5）用图①拼成n 层的大等边三角形，共用了 个图①三角形，共有线段 条，其中边长为2的等边三角形共有 个.（6）拓展提升：如果用边长为3的小等边三角形拼成边长为30的大等边三角形，共需要 个小等边三角形，共有线段 条.16．图a 是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b ；再分别连接图b 中间小三角形的三边的中点，得到图c（1）图b 有 个三角形，图c 有 个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形（用n 的代数式表示结论）． （3）当n ＝10时，第10个图形中有多少个三角形？17．发现问题、探索规律，要有一双敏锐的双眼，下面的图形是由边长为1的小正方形按照某种规律排列而成的．（1）观察图形，填写下表：图形个数（n ） （1） （2） （3） 正方形的个数8 图形的周长 18 （2）推测第n 个图形中，正方形有 个，周长为 ．（3）写出第30个图形的周长．18．观察下列图形的构成规律，按此规律，第20个图形中棋子的个数为_________．19．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为 （用含n 的代数式表示）．20．按照图（1）、（2）、（3）的方式分割三角形，所得三角形总个数分别是5个、9个、13个，照此规律分割下去，第n 个图中共有_________个三角形．21．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB BC CD DA 、、、边上分别取点1111A B C D 、、、，111114AA BB CC DD a ====，在边11111111A B B C C D D A 、、、上分别取点2222A B C D 、、、，使121212121114A A B B C C D D A B ====．．．．．依次规律继续下去，则正方形n n n n A B C D 的面积为__________．22．如图所示，图(a)是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图(a)的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图(b)，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12后，得图(c)，(d)，……，记第()3n n ≥)块纸板的周长为P n ．则3P P -=1____；1n n PP --=_______．23．如图，n 个全等的等腰三角形的底边在同一条直线上，底角顶点依次重合．连接第一个三角形的底角顶点1B 和第n 个三角形的顶角顶点n A 交12A B 于点n P ，则122:=n A B P B _________．24．如下图所示，它们是一个按一定规律构造的，第（1）个图中有3个三角形，第（2）个图中有7个三角形，第（3）个图中有_____个三角形，依次规律第n 个图形中有__________个三角形．25．用等边三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，按照这样的规律继续拼下去，则第n 个图案中等边三角形的个数为_____________（用含n 的代数式表示）.26．如图，在矩形ABCD 中有对角线AC 与BD 相等，已知AB=4,BC=3,则有AB 2+BC 2=AC 2,矩形在直线MN 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推，则:(1)AC=__________.(2)这样连续旋转2019次后，顶点B在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.27．如图，，点P是边上一个动点（不与点O重合），当的度数为_____时，为直角三角形.28．如图由正五边形构成，在图1中有5个点，图2中有12个点，图3中有22个点，以此类推，图4（最长边上有5个点）中共有_____个点；图n（最长边上有n+1个点）中共有_____个点．（用含n的代数式表示）．29．按《航空障碍灯（MH/T6012﹣1999）》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯（AviationObstructionlight）．中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光．在下图中你可以看到某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长可达__秒．30．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形中共有________个〇.参考答案1．C 【解析】 【分析】先数出前3个图形中三角形的个数，找出规律，即可得到第5个图的三角形个数． 【详解】第1个图中三角形的个数为5，第2个图中三角形的个数为253223117⨯+=⨯-=， 第3个图中三角形的个数为3173223153⨯+=⨯-= 依次类推，第n 个图中三角形的个数为231⨯-n ∴第5个图中三角形的个数为5231=485⨯- 故选C ． 【点睛】本题考查图形规律问题，由前几个图形找出规律，得出第n 个图中三角形个数的代数式是解题的关键． 2．C 【解析】 【分析】根据题意寻找规律可知如果在正方形中画n 条纵线和n 条横线，则把正方形分成2(1)n +部分，以及进行求解即可. 【详解】解：由题意可知：如果在正方形中画1条纵线和1条横线，则把正方形分成2242(11)==+部分； 如果在正方形中画2条纵线和2条横线，则把正方形分成2293(21)==+部分； 如果在正方形中画3条纵线和3条横线，则把正方形分成22164(31)==+部分； 所以如果在正方形中画n 条纵线和n 条横线，则把正方形分成2(1)n +部分；即有在正方形中画9条纵线和9条横线，则把正方形分成2(91)100+=部分. 故选：C. 【点睛】本题考查图形的变化规律，根据题意找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键． 3．B 【解析】 【分析】根据每个正方形需要4个数字这一规律,用2020÷4得出结果判断即可. 【详解】由题意知：2020÷4=505,所以2020这一数字正好能标完第505个正方形,且根据每个小正方形数字排列顺序可知,最后一个数字应该位于正方形的左下角. 故选B. 【点睛】本题考查了规律探索题,解决本题的关键是正确理解题意,能够找到数字之间存在的规律. 4．D 【解析】 【分析】根据后面图中的正方形个数比前一个图中正方形个数多3个，即可得到答案． 【详解】由题意得：后面图中的正方形个数比前一个图中正方形个数多3个， ∴第n 个图形中正方形的个数=（3n-2）个，（n ≥1，且n 为整数）， ∴第2019个图中共有正方形的个数=3×2019-2=6055（个）， 故选D ． 【点睛】本题主要考查探究图中正方形个数的规律，找出“后面图中的正方形个数比前一个图中正方形个数多3个”是解题的关键． 5．C 【解析】【分析】根据题目中的图形，可以写出前几个图形中涂有阴影的小正方形的个数，从而发现其中的变化规律，进而得到第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数． 【详解】 解：由图可得，第1个图形中，涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×1=5， 第2个图形中，涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×2=9， 第3个图形中，涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×3=13， …故第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×10=41， 故选：C ． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中涂有阴影的小正方形的个数的变化规律，求出相应的图形中涂有阴影的小正方形的个数． 6．C 【解析】 【分析】根据图案（1）、（2）、（3）中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n 个图案需火柴棒（7n+1）根． 【详解】图案（1）有:178+=根小木棒, 图案（2）有:17215+⨯=根小木棒， 图案（3）有:17322+⨯=根小木棒,则图案（7）有:17750+⨯=元50根小木棒， ……第n 个图案有:()17n +根小木棒. 故选：C 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化． 7．A 【解析】∵点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数ky x=图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，即y 随x 增大而增大，∴根据反比例函数ky x=图象与系数的关系：当0k >时函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．故k ＜0． ∴根据一次函数图象与系数的关系：一次函数1y=k x+b 的图象有四种情况： ①当1k 0>，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、三象限； ②当1k 0>，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、三、四象限； ③当1k 0<，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、四象限； ④当1k 0<，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第二、三、四象限．因此，一次函数2y x k =-+的1k 20=-<，b=k 0<，故它的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ． 8．C 【解析】 【分析】根据前三个图形可得到第n 个图形一共有22n 个五角星，当n=7代入计算即可． 【详解】解：第①个图形一共有2221=⨯个五角星；第②个图形一共有2822=⨯ 个五角星；第③个图形一共有21823=⨯个五角星；……第n 个图形一共有22n 个五角星，所以第⑦个图形一共有22798⨯= 个五角星． 故答案选C ． 【点睛】本题主要考查规律探索，解题的关键是找准规律． 9．C 【解析】 【分析】依次求出正方形A 1B 1C 1D 1的面积为4，正方形A 2B 2C 2D 2的面积为4×12；正方形A 3B 3C 3D 3的面积为4×14；正方形A 4B 4C 4D 4的面积为4×18，即可得到规律进行求解. 【详解】正方形A 1B 1C 1D 1的面积为4；顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1中点得正方形A 2B 2C 2D 2，则正方形A 2B 2C 2D 2的面积为正方形A 1B 1C 1D 1面积的一半，即4×12；顺次连接正方形A 2B 2C 2D 2得正方形A 3B 3C 3D 3，则正方形A 3B 3C 3D 3的面积为正方形A 2B 2C 2D 2面积的一半，即4×14；顺次连接正方形A 3B 3C 3D 3中点得正方形A 4B 4C 4D 4，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为正方形A 3B 3C 3D 3面积的一半，即4×18． …第六个正方形A 6B 6C 6D 6的面积是4×（12）5， 故选：C ． 【点睛】本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律题型的基本解题步骤. 10．B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出112233////B A A B A B ，以及212a a =，得出3144a a ==，4188a a ==，5116a a =⋯进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，∴∠A 1B 1B 2＝∠A 1B 2O ＝60°，A 1B 1＝A 1B 2，∵∠O ＝30°，∴∠A 2A 1B 2＝∠O +∠A 1B 2O ＝90°， ∵∠A 1B 1B 2＝∠O +∠OA 1B 1， ∴∠O ＝∠OA 1B 1＝30°， ∴OB 1＝A 1B 1＝A 1B 2＝1，在Rt △A 2A 1B 2中，∵∠A 1A 2B 2＝30° ∴A 2B 2＝2A 1B 2＝2，同法可得A 3B 3＝22，A 4B 4＝23，…，A n B n ＝2n ﹣1，∴△A 8B 8B 9的边长＝27＝128， 故选：B ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．11．探究二:8；探究三: ()1;(44)a a --；探究四: ()22;(8)8a a --；问题解决:()()411a b --【解析】 【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按什么规律变化的，通过分析找出各部分的变化规律后直接利用规律求解， 【详解】 解：探究二：根据探究一，把图①放置在32⨯的方格纸中．使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有248⨯=种不同的放置方法；故答案为：8； 探究三：根据探究二，，在2a ⨯的方格纸中，共可以找到(1)a -个位置不同的22⨯方格，根据探究一的结论可知，每个22⨯的方格纸中，有4种不同的放置方法，所以在2a ⨯的方格纸中共可以找到(1)4(44)a a -⨯=+种不同的放置方法；故答案为：(1)a -；(44)a +； 探究四：与探究三相比，矩形的宽改变了，边长为a ，有(a-1)个边长为2的线段，同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段，所以在3a ⨯的方格纸中，可以找到2(1)(22)a a -=-个位置不同的22⨯方格，根据探究一，在3a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形共有(22)4(88)a a -⨯=-种不同的放置方法； 故答案为：(22)a -；(88)a -； 问题解决：在a b ⨯的方格纸中，共可以找到(1)(1)a b --个位置不同的22⨯方格，依照探究一的结论，把图①放置在a b ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4(1)(1)a b --种不同的放置方法．故答案为：4(1)(1)a b --． 【点睛】本题考查的知识点是规律型-图形的变化类，探寻规律要认真观察，仔细思考，善用联想来解决这类问题．12．（1）16，23；（2）72n +；（3）702 【解析】 【分析】（1）根据图形可知，后一个图形中小木棒数量比前一个图形小木棒数量多7，据此可填出表中数据；（2）第一个图形需要9根小木棒，后面每一个图形都比前一个多7根，据此即可求得答案； （3）根据（2）的代数式即可求得100n =时的小木棒的数量． 【详解】（1）第一个图形中小木棒的根数为9； 第二个图形中小木棒的根数为9+7=16； 第三个图形中小木棒的根数为16+7=23； 填表如下：故答案为：16，23； （2）根据（1）的规律：可以发现第几个图形中小木棒的根数为：()97172n n +-=+； 故答案为：72n +；（3）当100n =，需要的小木棒的根数为：71002702⨯+=． 故答案为：702． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．观察图形得到后一个图形比前一个图形多7根小木棒是解题的关键．13．（1（2）21n +=，n S =n是正整数）；（3）1052．【解析】 【分析】（1）根据已知式子即可推断出15OA 的长度； （2）观察已知等式，即可得出规律； （3）根据（2）中总结出的规律，计算即可. 【详解】 （1）由题意，得123OA OA OA ==……∴15OA = （2）观察已知式子，可得规律：21n +=，2n S =n是正整数）；（3）2222221220222S S S ⎛⎛⎛++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭12204+++=1052=． 【点睛】此题主要考查图形类规律的探索，解题关键是认真观察图形与已知条件. 14．（1）41；（2）4n ；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）首先观察给出的四个图，可以得出正方体的个数分别为1，14+，148++14812+++，总结一般性的规律，将一般性数列转化为特殊的数列再求解．（2）根据（1）得出的一般规律，可写出第n 个图案中正方形的个数，再与第1n +个图案中正方形的个数做差即可得解．（3）利用数列的求和公式可得第n 个图案中正方形的个数是：()21481241221n n n +++++-=-+，利用此规律可写出第1n +个图案中正方形的个数是()214812414221n n n n +++++-+=++，再让它们做差即可得证．【详解】（1）∵第一个图案中正方形的个数是：1 第二个图案中正方形的个数是：145+= 第三个图案中正方形的个数是：14813++= 第四个图案中正方形的个数是：1481225+++=第n 个图案中正方形的个数是：()1481241n +++++-∴第五个图案中正方形的个数是：148121641++++= 故答案是：41（2）∵由（1）可知第n 个图案中正方形的个数是：()1481241n +++++-第1n +个图案中正方形的个数是：()14812414n n +++++-+∴第()1n +个图案和第n 个图案中小正方形个数之差为()()1481241414812414n n n n +++++-+-+++++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴第()1n +个图案和第n 个图案中小正方形个数之差为4n 故答案是：4n（3）证明：根据题意，得第()1n +个图案中正方形的个数为()()221211n n +-++． ()()222 1 211n n n =++-++． 2221n n =++．∴第()1n +个图案和第n 个图案中正方形个数之差为()222212214n n n n n ++--+=【点睛】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析、观察、总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般的求解方法，再求具体问题．15．（3）10（个），60条；作图见解析，详见解析（4）210；4620（5）(1)2n n +；(1)(2)2n n n ++；(1)2n n -（6）55；660 【解析】 【分析】（3）仿照（1）（2）即可作图求解； （4）根据题意发现规律即可求解； （5）根据题意发现规律即可求解；（6）根据题意知相当边长为1的小等边三角形拼成边长为10的等边三角形，故可求解． 【详解】（3）用图①拼成20层的大等边三角形，共用了123410+++=（个）图①三角形，如图，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第4层有4个，共用了123410+++=个图①的等边三角形，则有长度为1的线段3(1234)⨯+++条；还有边长为2的第边三角形1236++=个，则有长度为2的线段3(123)⨯++条；还有边长为3的等边三角形1+23=个，则有长度为3的线段3(12)⨯+条；还有边长为4的等边三角形1个，则有长度为4的线段31⨯条；所以共有60条线段：3(1234123121)4(12345)60⨯+++++++++=⨯++++=条.（4）根据（1）（2）（3）用图①拼成20层的大等边三角形，共用了12320210++++=个图①三角形，共有线段20(12321)4620⨯++++=条；故答案为：210；4620；（5）用图①拼成n 层的大等边三角形，共用了(1)1232n n n +++++=个图①三角形，共有线段(1)(2)[123(1)]2n n n n n +++++++=条，其中边长为2的等边三角形共有(1)123(1)2n n n -++++-=个.故答案为：(1)2n n +；(1)(2)2n n n ++；(1)2n n -（6）如果用边长为3的小等边三角形拼成边长为30的大等边三角形，相当边长为1的小等边三角形拼成边长为10的等边三角形，共用了1231055++++=个图①三角形，共有线段10(12311)660⨯++++=条；故答案为：55；660． 【点睛】本题考查的是图形的变化规律、三角形的认识，根据题意找出三角形的个数的变化规律是解题的关键．16．（1）b 中有5个三角形，c 中有9个三角形；（2）当n ＝n 时有4n ﹣3个三角形；（3）当n＝10时，有个三角形．【解析】【分析】（1）直接数出三角形的个数，即可；（2）根据题意，后面图形中的三角形个数比前一个图形中的三角形个数多4个，第一个图形中有1个三角形，进而即可得到答案；（3）把n＝10代入第（2）题的代数式，即可得到答案．【详解】（1）图b中有5个三角形，图c中有9个三角形．故答案是：5，9；（2）依题意得：n＝1时，有1个三角形；n＝2时，有5个三角形；n＝3时，有9个三角形；…∴当n＝n时，有4n﹣3个三角形．（3）当n＝10时，有40﹣3＝37个三角形．【点睛】本题主要考查用代数式表示图形的变化规律，找到图形中三角形个数的变化规律，是解题的关键．17．（1）详见解析；（2）5n+3，10n+8；（3）308．【解析】【分析】（1）依此数出n＝1，2，3，…，正方形的个数，算出图形的周长；（2）根据（1）规律依此类推，可得出第n个图形中，正方形的个数及周长；（3）把n＝30代入（1）进行计算即可得到答案．【详解】解：（1）（2）推测第n 个图形中，正方形的个数为5n +3，周长为10n +8． （3）第30个图形的周长：10×30+8＝308． 【点睛】本题考查图形的变化规律，解题思维过程是从特殊情况入手→探索、发现规律→归纳、猜想出结果→取特殊值代入验证，即体现特殊→一般→特殊的解题过程．同时启发同学们在学习过程中关注结果的同时，更应注重概念、法则、公式、公理的形成和发展过程． 18．61 【解析】 【分析】根据各个图形中棋子的个数，找出棋子的变化规律，并归纳公式即可得出结论． 【详解】解：第1个图形中棋子的个数为4=3＋1； 第2个图形中棋子的个数为7=3×2＋1； 第3个图形中棋子的个数为10=3×3＋1； ∴第n 个图形中棋子的个数为3n ＋1 ∴第20个图形中棋子的个数为3×20＋1=61 故答案为：61． 【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解决此题的关键． 19．()2n 1+ 【解析】解：第1个图形中点的个数为：1+3=4， 第2个图形中点的个数为：1+3+5=9， 第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16， …，第n 个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．故答案为（n+1）2．20．（4n +1）． 【解析】 【分析】根据题目中的图形变化规律可知,每一次变化增加四个三角形,从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得, 图（1）所得三角形总个数为:1+4=5; 图（2）所得三角形总个数为：1+4×2=9; 图（3）所得三角形总个数为：1+4×3=13; 所以第n 个图中共有（4n +1）个三角形; 故答案为:（4n +1）． 【点睛】本题主要考查图形的变化类，解答本题的关键是发现题目中图形的变化规律，求出相应的三角形的个数.21．258na ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用勾股定理可得A 1B 12=58a 2，即正方形A 1B 1C 1D 1的面积，同理可求出正方形A 2B 2C 2D 2的面积，得出规律即可得答案． 【详解】∵正方形ABCD 的边长为a ，111114AA BB CC DD a ====， ∴A 1B 12=A 1B 2+BB 12=2231()()44a +=58a 2，A 1B 1=104a ，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积为58a 2， ∵121212121114A AB BC CD D A B ====，∴A 2B 22=2231()()44+=(58)2a 2，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积为(58)2a 2， ……∴正方形n n n n A B C D 的面积为(58)n a 2， 故答案为：(58)n a 2 【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，正确计算各正方形的面积并得出规律是解题关键． 22．14112n -【解析】 【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P 1，P 2，P 3，P 4，……根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案． 【详解】 P 1=1+1+1=3， P 2=1+1+12=52， P 3=1+1+14×3=114，P 4=1+1+14×2+18×3=238，… ∴P 1-P 3=3-114=14，p 3-p 2=114-52=14=（12）2， P 4-P 3=238-114=18=（12）3，∴P n -P n-1=11()2n -=112n -，故答案为：14；112n -【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题． 23．n 【解析】 【分析】连接A 1An,根据全等三角形的性质得到∠AB 1B 2=∠A 2B 2B 3，根据平行线的判定得到A 1B 1∥A 2B 2，又根据A 1B 1=A 2B 2，得到四边形A 1B 1B 2A 2是平行四边形，从而得到A 1A 2∥B 1B 2，从而得出A 1An ∥B 1B 2，然后根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接A 1An,根据全等三角形的性质得到∠AB 1B 2=∠A 2B 2B 3， ∴A 1B 1∥A 2B 2， 又A 1B 1=A 2B 2，∴四边形A 1B 1B 2A 2是平行四边形. ∴A 1A 2∥B 1B 2，A 1A 2=B 1B 2=A 2A 3, 同理可得，A 2A 3=A 3A 4 =A 4A 5=…= A n-1A n. 根据全等易知A 1，A 2，A 3，…,An 共线， ∴A 1An ∥B 1B 2，∴P n B 1B 2∽△P n A n A 1，。
2020-2021九年级中考数学初中数学 旋转解答题压轴题提高专题练习附答案
2020-2021九年级中考数学初中数学 旋转解答题压轴题提高专题练习附答案一、旋转1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
【答案】（1）1302α︒-（2）见解析（3）30α=︒ 【解析】解：（1）1302α︒-。
（2）△ABE 为等边三角形。
证明如下：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，∴BC=BD ，∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°，∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°，∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ，∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°，∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
2020-2021初中数学图形的平移,对称与旋转的基础测试题附答案解析
2020-2021初中数学图形的平移，对称与旋转的基础测试题附答案解析 一、选择题 1．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，
当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠
ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质
得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．
【详解】 解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1， ∴△ABC≌△AB1C1， ∴AC1＝AC， ∴△AC1C为等腰三角形；故①正确； ∴AC1＝AC， ∴∠C1＝∠ACC1＝30°， ∴∠C1AC＝120°， ∴∠B1AB＝120°， ∵AB1＝AB， ∴∠AB1B＝30°＝∠ACB， ∵∠ADB1＝∠BDC， ∴△AB1D∽△BCD；故②正确； ∵旋转角为α， ∴α＝120°，故③错误； ∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°， ∴∠B1AC＝75°， ∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°， ∴∠AB1C＝75°， ∴∠B1AC＝∠AB1C， ∴CA＝CB1；故④正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》技巧及练习题附答案解析
【高中数学】数学高考《平面向量》试题含答案一、选择题 1．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．12 【答案】C【解析】【分析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，由向量的加减法运算，得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩， 则12λμ+=-. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.2．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（） A ．4 B ．6 C ．23D ．43【答案】B【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒， ∴|||3 302|3262BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．3．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v ，则（ ）A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vB ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v C ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v D ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v 【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ， ∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ， 故选：A.【点睛】 本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.4．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3π，(),c a b R μλμ+=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的最小值为（ ）A ．2B ．6C ．102D ．3【答案】D【解析】【分析】 利用向量的数量积的运算公式，求得12a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到24c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．【详解】由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π，所以11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ， 又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r ，所以()22222222()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ， 因为,R λμ+∈时，所以222()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当λμ=时取等号， 所以23c ≥u r ，即3c ≥u r ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．5．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r 用基底,AB AD u u u r u u u r表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可.【详解】由已知得13AF AD=u u u r u u u r,12BE BC=uu u r u u u r,AD BC=u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,13BF AF AB AD AB=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.因为在菱形ABCD中,60ABC∠=︒,所以120BAD∠=︒.又因为菱形ABCD的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=-⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r,所以1123AE BF AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD--⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r.故选：D【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想. 6．如图，已知1OA OB==u u u v u u u v，2OC=u u u v，4tan3AOB∠=-，45BOC∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v=+，则mn等于（）A．57B．75C．37D．73【答案】A【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n 的方程，求解即可．【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，， ∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7， 又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ2，sin θ72,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ） 即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ．【点睛】 本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．7．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A ．83-B ．1-C ．1D ．3【答案】B【解析】【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】由已知可得：7 ， 又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．8．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu r =2，则△ABC 的面积为（ ）A 2B ．32C ．22D ．42【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积．【详解】在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ， 可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB 22= BA u u u r ⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，∴△ABC 的面积为：11226223acsinB =⨯⨯=2． 故选C ．【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．9．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v的值是（ ）A ．45-B ．1516-C ．14-D ．58- 【答案】B【解析】【分析】根据向量表示化简数量积，即得结果.【详解】 ()()()()•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2221151416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ,选B. 【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.10．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】 由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用数量积的分配律即得解.【详解】AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.11．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u u r u u u r B ．12AB AD -u u u r u u u rC ．12AB AD +u u u r u u u r D ．12AB AD -u u u r u u u r 【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】 如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1.2BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，若23BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．229 B ．229- C ．169 D ．89- 【答案】A【解析】【分析】本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v，再通过向量的运算即可得出结果．【详解】解：由题意，画图如下：则：()22223333BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233AB AC =+u u u v u u u v . ∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22242999AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 24249cos 999AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u v u u u v 82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅ 229=. 故选A ．【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．13．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB BC=u u u v u u u v （ ） A ．1B．2 C．2 D．2【答案】C【解析】【分析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v 可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．【详解】由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠， 又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v即2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B CBC A BC A BC ⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuv uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）所以32AB BC =uu u v uu u v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算． 14．已知向量()()75751515a b ︒︒︒︒==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为 A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】【分析】【详解】因为11,1,cos75cos15sin 75sin15cos602a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以2221||()12112a b a b -=-=-⨯+=r r r r ，故选B. 点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r ，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合数量积的运算法则即可求出.15．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v 的最小值是（ ）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】 试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D. 考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.16．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r（ ）A ．2136a b -r r B ．1133a b +r r C ．1124a b +r r D ．1133a b -r r 【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.【详解】 1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2136a b =-r r . 故选：A .【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B【解析】【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A ．[0,2]B．[0, C ．[0,4] D ．[0,8] 【答案】D【解析】【分析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r， 由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤，可得[0,8]t ∈.故选：D ．【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．19．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=，故ABC ∆为直角三角形.故选：A.【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.20．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ）A ．15，45B ．43，13-C ．45，15D ．13-，43 【答案】C【解析】【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=， 联立方程组41x y x y =⎧⎨+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.。
押江苏南京中考数学第14-15题(几何图形)(原卷版)-备战2021年中考数学临考题号押题
押江苏南京中考数学第14-15题几何图形近几年南京中考的第14-15题一般主要考查几何图形中线段和角的计算，难度不大，主要包括平行线的性质和判定、三角形和四边形的性质和判定的应用、圆的有关计算和性质等。
例如2020年中考第14题考查的正六边形的面积的计算，2020年中考第15题考查线段垂直平分线的性质和角的计算；2019年中考第14题考查了圆中有关切线的性质，2019年中考第15题考查了三角形垂直平分线的性质；2018年中考第14题考查了线段的垂直平分线的性质，2018年中考第15题考查了正五边形中角的计算等。
解此类题型要求考生熟练掌握几何图形的基本性质和判定，例如线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等；掌握等腰三角形的性质和判定，例如等腰对等边，三线合一等性质以及有两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理；掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质和判定；圆的有关计算和圆的有关性质等。
1．（2020·江苏南京市·中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________．2．（2020·江苏南京市·中考真题）如图，在边长为的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则的面积为__________．3．（2019·江苏南京市·中考真题）结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵____________，∵a∵b．4．（2019·江苏南京市·中考真题）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．5．（2019·江苏南京市·中考真题）如图，在∵ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∵ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____．6．（2018·江苏南京市·中考真题）如图，在中，用直尺和圆规作、的垂直平分线，分别交、于点、，连BC=，则__________．接.若10cm7．（2018·江苏南京市·中考真题）如图，五边形是正五边形，若，则__________．1．（2021·江苏南京市·九年级一模）在∵ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∵DAE＝20°，则∵BAC＝______°．2．（2021·江苏南京市·九年级期末）如图，在中，，，，的平分线交弧ACB于点D，则AD的长是________．3．（2021·江苏南京市·九年级期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，、、的度数之比为，则________．4．（2021·江苏南京市·九年级二模）如图，∵O是正∵ABC的外接圆．若正∵ABC的边心距为1，则∵O的周长为_____．5．（2021·江苏南京市·九年级一模）如图，∵ABC中，AB=BC，∵ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∵BAE=25°，则∵ACF=__________度．∠=______°．6．（2020·江苏南京市·九年级期中）如图，在正八边形中，连接、，则EAG7．（2020·南京师范大学附属中学树人学校九年级月考）如图，的半径为4，，是的弦，且AB CD，，，则和之间的距离为______．//8．（2020·南京市竹山中学九年级期中）平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程的两个实数根，当四边形ABCD是菱形，这时菱形的边长为______．（限时：15分钟）1．（2021·江苏苏州市·九年级一模）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA 、OB 组成．两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 在槽中滑动，若∵BDE ＝84°．则∵CDE 是_________ °．2．（2021·江苏盐城市·九年级一模）如图，已知直线AB 、CD 被直线AE 所截，AB ∵CD ，∵2＝130°，则∵1＝_____．3．（2021·江苏淮安市·九年级期中）若圆锥的侧面积是，母线长是，则该圆锥底面圆的半径是___________4．（2021·江苏扬州市·九年级一模）如图，点是正方形ABCD 边的中点，连接，把沿翻折得到BFE △，连接，若，则正方形ABCD 的边长是_____．5．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，在ABC 和BAD 中，BC ＝ AD ，请你再补充一个条件，使ABC ∵BAD ．你补充的条件是______（只需填写一个符合要求的答案）．6．（2021·江苏南通市·九年级其他模拟）如图，已知DC 为∵ACB 的平分线，DE ∵BC ．若AD ＝8，BD ＝10，BC ＝15，求EC 的长＝_____．7．（2021·江苏盐城市·九年级一模）如图，AB ∵BC ，DC ∵BC ，点E 在BC 上，AE ∵DE ，DC ＝1，BE ＝3，BC ＝5，则AB ＝_____．8．（2021·江苏九年级专题练习）如图，在t ABC R ∆中，，4BC BA ==，D 为BC 上一点且，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，BE 的延长线与AC 交于点F ，则EF 的长为_____．9．（2021·靖江外国语学校九年级月考）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为______．10．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，∵BAD ＝120°，E 为AB 中点，若AB＝6，AD＝2，点F在射线BC上且满足∵ADE＝∵BAF，则CF的长为_____．11．（2021·江苏泰州市·九年级月考）如图，已知AB＝BC＝，AC＝4，点G为∵ABC的重心，那么AG的长等于_____．12．（2021·江苏徐州市·九年级期末）如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，弧ADB交AC于点E，若AB＝2，则弧DE的长为_____．13．（2021·江苏淮安市·九年级期末）如图，正方形ABCD的边AB＝2，P是边AB上一动点，过B点作直线CP的垂线，垂足为Q，当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为_____．14．（2021·江苏镇江市·九年级期末）如图，AB是∵O的直径，CD是∵O的弦，∵ACD＝30°，AD＝1，则AB＝_____．15．（2021·江苏扬州市·九年级期末）如图，若∵ABC内接于∵O，∵BAC＝50°，BC的长是，则∵O的半径是_____．。