高等数学思想方法
高等数学思想方法
第一章函数与极限
主要的思想方法:
(1)函数的思想
高等数学的核心内容就是微积分,而函数就是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时,首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系,这就是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程,体现的就是科学的抽象就是数学的一个思维方法与主要特征。
(2)极限的思想
极限的思想方法就是微积分的基础。极限就是变量在无限变化过程中的变化趋势,就是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势,即函数或者数列的极限,这就是一种重要的数学思想方法。
第二章导数与微分
主要的思想方法:
(1)微分的思想
微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化,一般地,求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可瞧出,在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现,而这也就是微积分的一个基本思想。
(2)数形结合的思想
书本中在引入导数与微分概念时,也讨论了它们的几何意义,这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容就是高等数学中常用的方法,这就是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。
(3)极限的思想
不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。
(4)逻辑思维方法
在本章中,归纳法(从特殊到一般),分类(整合)法等逻辑思维方法都得到了充分的体现,理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。
第三章中值定理与导数的应用
主要的思想方法:
导数本质上就是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型,它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态;而中值定理则就是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”,利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质,具体表现为在理论与实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点
处的导数与函数在该区间整体性质的关系。
导数就是一种工具,而中值定理(微分基本定理)则就是微分学的理论基础,它更加深刻地揭示了可导函数的性质。一方面,在中值定理及其推导过程中,不仅用到了演绎,分析,分类等数理逻辑方法(锻炼提升逻辑思维能力),而且包含了一些具体的数学方法,如辅助函数的构造(凑导数法,几何直观解题法,常数替代法,倒推法,乘积因子法),这就要求我们要培养直觉思维,发散思维等创新思维;另一方面,导数在解决实际问题中的应用广泛,这要求我们要有应用数学的意识。
第四章不定积分
主要的思想方法:
积分法就是微分法的逆运算,即已知函数的导数,求原函数问题(由一个函数的导数求这个函数)。
不定积分的积分法:
(1)直接积分法:直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式与不定积分的性质求积分;
(2)换元积分法:1、第一类换元法(凑微分法);2、第二类换元法(主要有三角代换,根代换,倒代换);
(3)分部积分法;
(4)几种特殊类型函数的积分:有理函数的积分,三角函数有理式的积分,简单无理函数的积分;
(5)其它常见的积分方法:拆项法,加减项法,同乘以(或除以)一因式法,降次法,先凑微分后化为同名函数法等。
第五章定积分
主要的思想方法:
定积分的几何意义就是函数f(x)在区间[a,b]的图形与x轴所界定区域的面积。定积分完整地体现了积分思想——一种认识问题,分析问题,解决问题的思想方法,定积分的概念借助极限工具,以一种结构式的形式严格定义,理解掌握这种通过“分割”,“近似”。“求与”,“取极限”的数学思想对后面重积分,曲线积分与曲面积分的学习有重要作用。定积分与微分学不仅就是高等数学的重要内容,也就是研究科学技术问题的数学工具。
“分割”,“近似”,“求与”,“取极限”所反映出来的积分思想就是微积分的核心思想。
第六章定积分的应用
主要的思想方法:
定积分的应用实质上就是运用定积分理论来分析与解决一些几何与物理学中的问题。
定积分解决实际问题的方法:
(1)根据定积分的定义,利用分割,近似替代,求与,取极限这四个步骤来推导出所求量的积分表达式;
(2)“元素法”:将实际问题(几何,物理)转化为定积分,如计算平面区域的面积,平面曲线的弧长,用截面面积计算体积,计算旋转体的体积,计算变力做功等。
在本章的学习中可以增强我们的应用数学的意识并且有助于我们提高我们应用定积分解决实际问题的能力。
第七章空间解析几何与向量代数
主要的思想方法:
空间解析几何借助于空间坐标,建立空间的曲面曲线方程,利用代数方法研究图形的几何性质;向量代数在高等数学中为空间解析几何服务,它实质就是作为一种研究空间图形性质的重要工具。空间解析几何与向量代数就是学习多元函数微积分的基础,学习这部分知识的主要目的就是为研究多元函数微积分理论提供一个直观的空间几何图形。
借助向量研究空间图形的性质,建立空间图形的方程,这就是本章中体现的一种重要的数学思想方法,我们要树立应用向量这一重要的数学工具研究与解决问题的意识;此外本章中最基本的数学思想就是“数形结合”的思想。
第八章多元函数微分学
主要的思想方法:
多元函数微分学就是一元函数微分学理论的推广与发展,因此运用类比的思想方法来学习这一章内容会起到事半功倍的作用。我们要培养类比思想这一创新的思维。
第九章重积分
主要的思想方法:
本章中着重讨论的二重积分与三重积分的理论就是多元函数积分学的重要内容。重积分与定积分一样,都就是某种特殊形式与的极限,基本思想就是“分割,近似,求与,取极限”,定积分的被积函数就是一元函数,积分区域就是一个确定的区间,而二,三重积分的被积函数就是二,三元函数,积分区域就是一个平面有界闭区域与一个空间有界闭区域,因此重积分就是一元函数定积分的推广与发展。
重积分的计算方法中体现的基本思想就是:将重积分化为累次积分,而化为累次积分的关键就是由被积函数的积分区域的特性来确定定积分的次序与积分限。
第十章曲线积分与曲面积分
主要的思想方法:
曲线积分与曲面积分就是多元函数积分学的重要组成部分,对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分就是定积分与二重积分的直接推广,两者又均有物理学背景,因此它们在解决几何与物理学的实际应用问题中有重要作用。在计算上,
将平面或空间曲线积分化为定积分的计算,将空间曲面积分化为投影区域上的二重积分的计算;在理论上,建立了平面闭曲线上对坐标的曲线积分与该曲线围成的闭区域上的二重积分的关系,建立了闭曲面上对坐标的曲面积分与该闭曲面围成的空间闭区域上的二重积分的关系。这些就帮助我们更加深刻地掌握高等数学的思想方法。
格林公式的思想方法:格林公式实现了闭区域上的二重积分与区域的边界曲线上的曲线积分的相互转化,它可视作就是定积分中的牛顿-莱布尼茨公式的一个推广。
高斯公式的思想方法:高斯公式描述了在空间立体上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,它可视作就是牛顿-莱布尼茨公式与格林公式的推广,同时它还就是计算曲面积分的一个重要手段。注意在曲面不封闭的情况下,应先添补曲面构成封闭曲面,再利用高斯公式,这就是计算曲面积分的常用方法。
第十一章无穷级数
主要的思想方法:
无穷级数就是一种研究与表示函数及数值计算的专门工具与重要方法,就是高等数学的一个重要组成部分。
在本章中,收敛与发散及其重要理论就是建立在极限的基础之上的,函数展开成幂级数的主要依据就是微分学中的泰勒定理,幂级数的运算中要用到求导数与定积分的计算,由此可见,无穷级数与微积分的其它内容之间有非常紧密的联系。
第十二章常微分方程
主要的思想方法:
常微分方程就是指含有一元未知函数及其导数或微分的方程,它就是研究函数的重要工具。
建立常微分方程要用到导数的概念,而解常微分方程则要用到积分法,因此常微分方程就是在微积分基础上的发展与应用。
每种类型的常微分方程都有广泛的实际背景,因此我们要有应用数学的意识,通过建立数学模型来求解实际问题中的微分方程,在求解前需要分析与明确常微分方程的类型,并在掌握各种微分方程的相应的解法的基础上求解答案,同时掌握变量替换法,常数变易法,待定系数法等具体的数学方法对求解微分方程有重要的作用。
七大基本数学思想方法
学习数学可以简要地分为三个层次(或称境界):第一层次,深刻与熟练地掌握基础知识与基本概念及其本质并且初步拥有运用数学思想方法的意识,明确各类基础题型的解题方法与步骤,在不断的练习中锻炼与加强自己的准确的抽象运算能力与严谨的逻辑推理能力;第二层次,在进一步加深对数学思想方法的理解的基础上,进行专题性质的知识总结从中发现各部分数学内容内在的紧密联系并逐渐做到掌握与运用,与此同时,加强数学建模的意识与应用能力,
能够发现实际问题中的数学模型并凭此解决联系生产生活实际的应用问题;第三层次,深刻地理解与把握各类数学思想方法,对某一具体问题有更加深层的研究(譬如求极限的方法的归纳总结,涉及绝对值的问题,高等数学中应用微积分证明不等式的探讨等等),在面对新情境新背景下的理论或实际问题时,既能快速明确问题中的知识载体,也能在数学解题能力得到提升与强化的基础上,能够综合运用基础知识与数学思想方法,分析与解决具有综合性的新数学问题(平时就需要加强这一方面的能力)或更高知识层次的数学问题(为此可略览硕士阶段数学知识做个大概的了解)。以此提高数学思维品质(想象力,创新思维,抽象性,灵活性,深刻性)。
基本概念与基础知识就是“载体”,解题方法就是“手段”,数学思想才就是“深化与核心”,就是分析与解决问题的“灵魂”,深刻理解与熟练运用数学思想有助于我们锻炼与形成高层次的数学思维,高水平的数学素质。
数学思想就是指人们对数学理论与内容的本质的认识,而数学方法则就是数学思想的具体化形式,两者本质相同,因此通常混称为“数学思想方法”。下面就是七大基本的数学思想方法(前四个为常用的思想方法):
一、函数与方程思想
1、函数思想就是对函数内容在更高层次的抽象,概括与提炼,它要
求我们要用函数的概念与性质去分析问题,转化问题与解决问题;在实际问题中,函数思想通过提出该问题中的数学特征,建立与构造函数关系型的数学模型(方程,不等式或方程与不等式的混合组)并利用函数的性质,最后通过求解函数解析式来解决问题。
2、方程思想:实际问题~数学问题~代数问题~方程问题;方程思想就
是解决各类计算问题的基本思想,也就是运算能力的基础。
二、数形结合思想
1、数学研究的对象就是数量关系与空间形式,即数与形两个方面,
在高等数学中,关于空间解析几何的内容就就是数形结合思想的体现。
2、数形结合思想的实质:将抽象的数学语言与直观的几何图形有机
结合;关键在于代数问题与几何图形之间的转化,而代数问题几何化(数到形的转化)相对简便,几何问题代数化则需要严密的推理论证,它考察我们的逻辑推理能力的高低。
3、运用数形结合思想分析与解决问题的三点注意:掌握相关概念与
运算的几何意义及几何图形(曲线,曲面)的代数特征,对具体题目而言,要分析条件与结论的几何意义与代数意义;恰当设参,合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,完成数与形的转化;正确确定参数的取值范围。
三、分类讨论思想
1、分类就是自然科学研究中的一种逻辑方法,就是一种重要的数学
思想,也就是一种重要的解题策略,它体现了化整为零,积零为整的思想与归类整理的方法。
2、分类讨论分为三种情形:问题涉及的数学概念就是分类进行定义
的,如绝对值问题,此为概念型分类讨论题型;问题所涉及的数学定理,公式与运算性质,法则有范围或有条件限制抑或就是分类给出的,此为性质型分类讨论题型;问题中含字母参数,这需要根据参数的不同取值范围进行讨论,此为含参型分类讨论题型。
3、进行科学划分(不漏不重)就是解决问题的手段,分类研究才就是
根本目的。
4、解决分类讨论问题的基本方法与步骤为:首先确定讨论对象及所
要讨论对象的全体的范围;其次具体问题具体分析,选取适当的分类标准,合理分类;对所分类逐步进行讨论,分级进行,获得阶段性结果;最后进行归纳总结,综合得出结论。
四、化归与转化思想
1、化归与转化的目的:将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为
较易问题,将未解决的新背景下的陌生问题转化为已解决的熟悉问题。
2、此数学思想灵活度高,具有多样性,无统一模式,我们要用动态思
维来寻找有利于解决问题的变换(转化)途径与方法。
3、常用的变换方法:一般与特殊的转化,繁与简的转化,灵活巧妙地
构造转化,命题的等价转化。
4、等价转化思想方法:它可以实现数与数,形与形,数与形的相互转
换;在分析与解决实际问题的过程中,实现普通语言向数学语言的翻译;函数,方程,不等式之间的恒等变形。消去法,换元法,数形结合法,求值求范围问题都体现了等价转化思想。
五、特殊与一般思想
1、特殊到一般的本质:通过对个例的认识与研究,形成对事物本质的
认知;这就是一个由浅入深,由现象到本质,由局部到整体,由实践到理论的过程。
2、该思想的具体应用:构造特殊函数,特殊数列;寻找特殊点,确立特
殊位置;利用特殊值,特殊方程。
六、有限与无限的思想
1、解决无限问题:将无限问题转化为有限问题。
2、实例:利用定积分的定义求曲边梯形的面积,先进行有限次分割,再取近似,最后求与取极限,这就是典型的有限与无限这一数学思想的应用。
七、或然与必然的思想
1、随机现象两个最基本的特征:结果的随机性与频率的稳定性。
2、从偶然中寻找必然,再用必然规律解决偶然。
3、等可能性事件的概率;
互斥事件中有一个发生的概率;
相互独立事件同时发生的概率;
独立重复试验+随机事件的分布列+数学期望。
分层次教学在高等数学课程中的实施分析
分层次教学在高等数学课程中的实施分析 摘要】：现代教育注重以学生为本的教学理念，旨在通过这种素质导向的指导 提高教学效果，达到最终对人才的培养。但在实践过程中的实践需要从学生主体 的个体差异、教学课程的具体内容，以及教学模式、教学方法的匹配性对应设置 才能达到教学目标。所以下面结合我国部分高校在高等数学教学课程中对分层次 教学法的应用经验，对其作用及价值、实施原则，以及具体的实践策略进行探讨，以期对高等数学老师的教学能有所借鉴。 【关键词】分层次教学；高等数学；课程；实施 数学学科作为认知世界、解释各种事象的一个重要途径，能够实现对学生认 知能力的培养，匹配到具体教学实践中的各种目标，比如，知识教学、能力训导、人格塑造等不同目标。目前，在高等数学课程教学中应用的分层次教学方法起到 了一定的效果，而且能够针对教学目标的设置实施对应性的教学训导与素质培养。因此在扩招数量剧增、学生基础参差不齐的现状下可以借鉴其中的一些经验，促 进高等数学课程教学水平的提升。以下对分层次教学在高等数学课程中的实施展 开具体分析。 一、分层教学的作用及原则分析 1、分层教学的作用与价值分析 分层教学法主要是在各种现有教学条件及相关资源不变的前提下，通过对学 生主体进行具体调查分析，针对其个性差异结合高等数学教学课程的内容、教学 目标等，对应设置新的适用新时期素质教育教学本质教学模式，促进教学效果。 从其作用方面观察，分层教学既可以解决当前扩招带来了诸多问题，也可以提高 课程教学效率；从其价值来看，它与我国当前实施现代教育改革中的“以学生为本”的理念趋于一致，能够利用这个路径完成对学生的素质教育教学实践。同时在分 层教学法的科学实践之下能够通过现代教育教学中的方法传授，令学生养成自主 性的学习习惯，为其个体未来发展打下坚实基础。因此值得进一步在高等数学课 堂教学中加以推广应用。 2、分层教学的实施原则分析 在现代化的高等数学课程教学中应用分层教学法需要以其各项原则为前提， 具体包括差异化原则、以学生为本的原则、循序渐近的原则。三大原则相辅相承，前后关联属于呼应关系，因而实施中应该注重对三个原则之间的关联应用。比如，从差异化原则分析，要求在实践分层教学法的过程中尊重学生差异，而这个就要 求满足以学生为本的原则，并在此原则之下对学生的学生能力、知识基础、学习 参与活跃程度实施全面调查分析，并按照循序渐进的原则在具体教学实践活动中 加以实践。尤其是在分层次教学法应用中要求进行问卷调查、考核摸底、档案建设，因此实践过程中必要以循序渐进原则作为主导，促进三个原则共同获得实践 应用并产生相应效果。 三、在教学对象、内容、模式路径下的实践分析 以下结合一些高校在高等数学课程教学中对分层教学法的应用实践方法、效果，以及个人的工作经验总结分别选取教学对象、教学内容、教学模式三个向度 对分层教学法在高等数学课程教学中的应用实践进行说明。 1、以教学对象为基的教学实践 以教学对象为基的教学实践中要求按照分层次教学法设置对应的分级，根据 高等数学教学课程实施不同学科的分级教学，并针对学生主体实施个体化原理下
《普通高中数学课程标准2017年版》学习心得
《普通高中数学课程标准（2017年版）》学习体会 王迎曙（江西省上饶县中学） （一）关键词 1.四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动的经验 2.四能：发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力、 3.三会：学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界 4.六素养：数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、数据分析、直观想象 5.四主题：函数、几何与代数、统计与概率、数学建模活动与数学探究活动 6.五课程：A数理类课程（数学、物理、计算机、精密仪器等），B经济、社会（数理经济等）和部分理工类（化学、生物、机械等），C人文类课程（历史、语言等），D体育、艺术类课程，E拓展、生活、地方、大学先修类课程 7.三水平：水平一是高中毕业应当达到的要求，水平二是高考的要求，水平三是大学自主招生的参考 8.四方面：情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思 9.两建议：教学建议、评价建议 （二）他山之玉 1.核心素养导向的学科课程标准修订实质是一场课程观、知识观、教学观和学科教育观的重建，是对“为谁培养人、培养什么人、如何培养人”这一教育根本问题的时代回应。——福建师范大学教授余文森 2.我们现在已经基本普及高中阶段教育了，与过去高中教育就是“精英教育”不一样，学生有多样化的需求，也有不同的基础。因此，这次修订普通高中课程方案既要强化共同基础，同时也要满足学生的多样化选择需求、多样化发展需求。——教育部基础教育课程教材专家工作委员会主任王湛 3.新的普通高中课程方案不是推倒重来，而是在继承中前行，在改革中完善，修订后的课程方案力求反映先进的教育思想和理念，高度关注促进学生全面而有个性的发展。——教育部部长助理、教材局局长郑富芝 4.学科核心素养是知识与技能、过程与方法、情感态度价值观“三维目标”的整合与提升，是学科育人目标的认知升级，打破了学科等级化的困局，更为国际范围内解决课程建设同类问题提供了“中国方案”。——华东师范大学课程教学研究所所长崔允漷 （三）特别关注 1.数学建模活动与数学探究活动 （1）数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。（2）数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。应经历选题、开题、做题、结题四个环节。 2.学业质量 （1）学业质量内涵：学业质量是学生在完成本学科课程学习后的学业成就表现。是学生自主学习与评价、教师教学活动与评价、教材编写的知道性要求，也是相应考试命题的依据。（2）学业质量水平：每一个数学学科核心素养划分为三个水平，每一个水平是通过数学学
高等数学的数学思想方法研究.doc
讲座题目高等数学的数学思想方法研究所属学科数学教育学 讲座时间2007年5月持续时间 最后学历研究生最后学位硕士 研究方向数学教育研究专长教育管理职称教授职务 学术特长及成果简介： 学术特长是数学教育学有关的课题和教育管理有关的课题。主要研究成果如下： 1、2006年9月完成了2004——2005年度中国职业技术教育学会科研规划项目《高职院校推进 学分制管理的研究与实践》，并获得结题证书。 2、论文《完善选课制是实行学分制的精髓》2005年12月发表在《长春教育学院学报》上。 3、论文《专升本院校实行学分制的几点思考》2006年10月发表在《中国育人杂志》上。 讲座内容介绍：（包括：选题意义和价值、研究现状、主要内容、观点和创新之处、主要 参考文献等。限2000字以内。） 一、选题意义和价值 为适应二十一世纪科技与社经的发展，培养大批具有高综合素质的创新型人才，我国正在进行从 应试教育向素质教育转轨的伟大改革，并提出在素质教育中着重培养学生的创新精神和实践能力的现 代教育目标。为实现这一目标，自九十年代初以来，高等数学教育也和其它学科教育一样，从教学思 想、教学内容、课程设置、教学方法和教学手段等方面进行了一系列的改革试验，并取得了初步的成 效。例如随着人们愈来愈认识到高等数学在大学人文素质教育中不可或缺的普遍和重要的作用，我国 许多重点的文史、外语和艺术等文科专业都开设了《大学数学》这一课程，又如为了加强教学建模和 运用计算机解决实际问题的能力，有些院校在高等数学中开设了《数学实验》或《数学建模》的课程，这是可喜的试验，但是高等数学的教育改革涉及面广，内容庞杂，矛盾和问题都较多，因此它的改革 是一项复杂的系统工程。当前如何把高等数学教育改革有序和有效地深入下去？当然这有许多方面的 工作要协同配合去做，我们认为其中根本的一项就是要改革在高等数学教学中相当普遍存在的形式主 义弊端——只注重纯数学知识与技能的传授而忽视对蕴涵于其中的数学思想方法的教学。为此必须认 真研究在高等数学教学全过程中，如何有效地加强数学思想方法教学的问题，提升一点来说，就是要 在所有数学教学活动中，结合具体的数学内容和活动形式，适当进行数学方法论的教育。 二、研究现状及主要内容 著名数学家和数学教育家徐利治教授认为“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以及数学中的发现发明与创新法则的一门学问”。[1]自80年代初，徐教授倡导数学方法论以来，这一学科在国内至今已有了很大发展，取得了不少理论成果，出版了许多有关的著作，特别自90年代以来，不少数学教育工作者把它应用于指导中学数学教育改革的具体实践，取得了很大的成效[2]。至于应用数学方法论指导高校数学教育改革的研究与实践至今只看到少量个别的报导，看来这方面还 未引起高校广大数学教育工作者足够的重视，本讲座试图对高等数学加强数学思想方法教学的意义， 它包含那些基本的数学思想方法以及如何加强这方面的教学作一初步阐述。 三、观点和创新之处 1．首先，各方在思想上要真正重视，尽快把数学思想方法的教学正式纳入高等数学教学大纲。 要在大纲中明确规定数学思想方法的教学目标、基本教学内容和具体的要求。这是落实加强数学思想
高等数学基本知识点大全
高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1
高等数学思想方法
高等数学思想方法 第一章函数与极限 主要的思想方法： (1)函数的思想 高等数学的核心内容是微积分，而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时，首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系，这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程，体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。 （2）极限的思想 极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势，是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势，即函数或者数列的极限，这是一种重要的数学思想方法。 第二章导数与微分 主要的思想方法： （1）微分的思想 微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化，一般地，求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出，在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现，而这也是微积分的一个基本思想。 （2）数形结合的思想 书本中在引入导数与微分概念时，也讨论了它们的几何意义，这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法，这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。 （3）极限的思想 不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。 （4）逻辑思维方法 在本章中，归纳法（从特殊到一般），分类（整合）法等逻辑思维方法都得到了充分的体现，理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。 第三章中值定理与导数的应用 主要的思想方法： 导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型，它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态；而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”，利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质，具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。
(完整版)新课标高中数学微积分精选习题
高二数学微积分练习题 一、选择题： 1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的 路程为 （ ） A ．32 0gt B ．20gt C ．22 0gt D ．6 2 0gt [解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是 A ．32 B ．329- C ． 332 D ．3 35 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若 1 1 (2)3ln 2a x dx x +=+? ，且a ＞1，则a 的值为 （ ） A ．6 B 。4 C 。3 D 。2 [解析] 4、用 S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A ．??a c f (x ) d x B ．|??a c f (x ) d x | C ．?? a b f (x )d x ＋?? b c f (x ) d x D ．??b c f (x ) d x －??a b f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且??0 6 f (x )d x ＝8，则??-6 6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 6、函数y ＝??-x x (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝? ??? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图 形的面积为( ) A.32 B ．1 C ．2 D.12 8、???0 3|x 2 －4|dx ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.253 二、填空题： 9．曲线1,0,2 ===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应 表达为 ． 11、若等比数列{a n }的首项为2 3，且a 4＝??1 4 (1＋2x )d x ，则公比等于____． 12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若??-1 1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________
大学高数学习方法总结
2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。 （一）做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。 （二）考试后的反思
高等数学基本知识
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高等数学积分思想
【总结2】定积分与不定积分 1.有关三角函数的不定积分的凑微分法 (1)??=);(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f (2)??-=);(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f (3);)(tan )(tan sec )(tan cos ) (tan 22???==x d x f xdx x f x dx x f (4);)(cot )(cot csc )cot (sin )(cot 22???-==x d x f xdx x f x dx x f (5)??=);(sec )(sec tan sec )(sec x d x f xdx x x f (6)??-=).(csc )(csc cot csc )(csc x d x f xdx x x f 2.利用下列微分关系式凑微分，求不定积分 (1))cos (sin 2cos x x d xdx = (2)?????-=-===) (cos )(cos cos 2)(sin )(sin sin 2cos sin 22sin 22x d x xd x d x xd xdx x xdx (3))()'()1()]([)](')([x x x xe d dx xe dx x e x xu d dx x xu x u ==+=+特别地，有 (4))1(122x d dx x x ±±=± (5))ln ()ln (x e d dx x e x e x x x =+ (6))ln ()ln 1(x x d dx x =+ (7) |)tan sec |(ln sec sin x x d xdx x dx +== (8)|)cot csc |(ln csc cos x x d xdx x dx -==
高等数学标准
《简单的线性规划及其应用 课题： 简单的线性规划及其应用 一、教学目标： 1 ． 知识目标： 1 、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力； 2 、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力； 3 、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。 2 ． 能力目标 : 1 、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可 行解、可行域和最优解等概念； 2 、理解线性规划问题的图解法； 3 、会利用图解法求线性目标函数的最优解； 4 、 让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数 学的快乐。 3 ． 情感目标： 1 、 培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生 创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神； 2 、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、 从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想 《高等数学》课程标准 一、课程描述 1、课程性质 数学是反映客观世界的科学，是对客观世界定性把握和定量描述，进而逐渐抽象概括形成
方法和理论，并且进行广泛应用的科学。数学是一种工具，也是一种文化。作为工具，数学应用于各门科学，可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，有助于人们收集、整理、描述信息、建立模型，进而解决问题；作为一种文化，数学一直是现代文化的主要力量，数学知识的学习过程，能培养人们形成理性和客观的生活态度与工作理念，使人们的思维习惯与语言表达趋于严密和精炼。 在高职院校中，《高等数学》课程是各专业一门必修的公共基础课。它将为今后学习专业基础课以及相关的专业课程打下必要的数学基础，为这些课程的提供必需的数学概念、理论、方法、运算技能和分析问题解决问题的能力素质。基于高职教育的特点，在高等数学的教学中必须遵循“以必需，够用为度”的原则，注重对学生基本运算能力和数学思维方式的训练，强调对基本数学概念的理解和应用，以努力提高学生的数学修养和素质。 在高等职业技术教育中，高等数学是一门必修的公共基础课。 2、课程的基本理念 （1）优化课程结构，适应高等职业教育人才培养模式 高等职业技术教育是以培养高等技术应用性专门人才为根本任务，以适应社会需要为目标，以培养技术应用能力为主线设计学生的知识、能力、素质结构和培养方案，毕业生应具有基础理论知识适度、技术应用能力强、知识面较宽、素质高等特点。因此，课程的教学内容体系应突出“应用”的主旨，从而与经济建设、科技进步和社会发展要求相适应，与人的全面发展需求相适应，与高等教育课程改革要求相衔接。 （2）以素质、能力培养为目标，充分体现课程的基础性、应用性和发展性 数学是一种普适性工具，在数据处理，表达计算、演绎推理等方面为其它学科提供了一种特有的语言、思想和方法，数学的基础性地位无可替代，更不能偏废。高等职业技术教育中，高等数学作为公共基础课程，应充分遵循“需有所学、学有所用”的原则，教学过程中应从素质、能力培养出发，开发学生的创新思维。 （3）以学生为中心，充分发挥学生的学习能动性 高等数学的学习内容应当根据实际需求进行调整，而内容的呈现也应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求，同时教学活动必须建立在学生的接受能力基础之上。而教师也不是被动的，应调动一切可行的手段，激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，为学习和实践提供有效的知识工具和良好的思维素质。 （4）加强计算机与数学教学的整合，促进教学改革，提高教学质量 现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，加强计算机与数学教学的整合，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，把学生的学习活动整合到现实的、探索性的数学活动中去。 （5）构建本课程新的评价体系，考察学生的“输出”能力 评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，考察学生的实际能力，同时激励学生的学习和改进教师的教学。但以往的评价手段过于单一，不能全面反映学生的真实情况，而且评价的价值取向犹为偏颇。所以应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，也要关注学习的过程；要关注数学知识的掌握，也要关注数学知识的运用。总之，评价的结果优劣要经得起实践检验。 3、课程设计理念 依据课程的基本理念，根据不同系的不同专业，在内容的选择上，要从提高素质和加强应用的角度选择教材的内容，大胆取舍，以满足专业岗位的需求。针对不同专业的学生特点及专
高等数学2课程教学大纲
高等数学A2 课程教学大纲 课程编号：10009B6 学时：90 学分：5 适用对象：理学类、工科类本科专业 先修课程：高等数学A1 考核要求：闭卷考试，总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书： 同济大学数学系主编，《高等数学》（下册），高等教育出版社，2002 年, 第五版 黄立宏主编，《高等数学》（上下册），复旦大学出版社，2006 年陈兰祥主编，《高等数学典型题精解》，学苑出版社，2001 年陈文灯主编，《考研数学复习指南（理工类）》，世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编，《高等数学的基本理论与方法》，重庆大学出版社，1995年 钱吉林主编，《高等数学辞典》，华中师范大学出版社，1999 年一、课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，为学习后继课程（如大学物理等）奠定必要的基础，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数（包括傅立叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问 题的能力。 三、学时分配
第八章多元函数微分法及其应用18 第九章重积分16 第十章曲线积分与曲面积分16 第十一章无穷级数18 总复习 6 四、教学中应注意的问题 1. 考虑学生的差异性，注意因材施教； 2. 考虑数学学科的抽象性，注意数形结合； 3. 考虑数学与现实生活的关系，注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点，培养学生“用数学”的好习惯。 五、教学内容 第七章：空间解析几何与向量代数 1 ?基本内容： 向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。 2 ?教学基本要求： (1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示； (2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件； (3)掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法； (4)平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 (5)理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程； (7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 3 ?教学重点与难点: 教学重点：向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），两个向量垂直、平行的条件，向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算，平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程的
高等数学基本知识大全
高等数学
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说 A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高等数学中的重要思想方法
高等数学中的几种重要思想方法 中国地质大学（武汉）徐达 摘要:高等数学是工科类本科学生重要的基础课程，对同学们今后的学习、工作有极大帮助。本文通过列举并分析高等数学学习中的几种重要思想方法，并从这几种方法的原理、应用实例和适用条件等方面入手进行阐释，使高等数学的学习更科学、规范、高效。 关键词：高等数学；思想方法 Several important thinking methods of advanced mathematics XU Da Abstract: Advanced mathematics is an important basis course of engineering courses, which will be helpful for our study and work a lot in future. This article lists and analyzes several important thinking methods of mathematics learning and interprets some aspects of these methods including principles, using examples and suitable conditions. These will make advanced mathematics learning more scientific, normal and concentrated. Key words: advanced mathematics; important thinking methods 引言 高等数学的学习有着独特的复杂性。一方面，作为一门基础学科，高等数学在工科课程中有着无法替代的重要地位。另一方面，高等数学的内容较为繁多复杂，对学习者知识掌握的熟练性和知识运用的灵活性有很高要求，往往令很多同学感到困难或不易接受。因此，要想将高等数学学好，除了用功稳固知识的掌握，更要能学习这门学科的一些重要思想方法，以此为突破口，才能对课程内容及其延伸有更深的理解，才能将各部分的知识灵活运用，以达到事半功倍的效果。 本文着重总结了在高等数学中运用广泛，对学习者要求较高的四种思想方法，分别是函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论的思想和转化与化归的思想。如果能将以此为代表的思想方法深入研究、探讨，透彻理解，对高等数学的学习与知识运用有极大帮助。 一、函数与方程的思想 函数与方程的思想自始至终贯穿在高等数学的教材中.很好的掌握这种思想,用函数与方程的方法来解决高等数学中的一些问题,往往可以起到良好的效果.运用函数的方法,引入辅助函数,化静为动,化离散为连续,将所讨论的问题转化为函数与方程的问题加以解决,从而在更“一般”的角度上来解决“特殊”问题.这也正说明了用函数与方程的思想来解决问题,
高等数学课程教学现状分析及改革策略
高等数学课程教学现状分析及改革策略 摘要:本文主要针对高等数学课程教学现状及改革策略展开了分析，详细阐述了 高等数学课程教学的现状，探讨了成人教育高等数学课程改革的必要性，并给出 了高等数学课程改革的思路，以期能为有关方面的需要提供参考借鉴。 关键词:高等数学；教学现状；改革策略 高等数学是高校学生必须学习的一门基础理论课程，但由于现今阶段高等数 学的教学存在着一定的问题，严重影响了高等数学的教学质量。因此，便需要对 高等数学的教学进行有效的改革。基于此，本文就高等数学课程教学现状及改革 策略进行了分析，相信对有关方面的需要能有一定的帮助。 1 高等数学课程教学的现状 (1)成人教育学生基础差，学习意识不强。成人教育学生入学分数越来越低， 加上一些院校单招制度的推行，同一专业文理兼收，导致学生的基础普遍较差， 数学基础更参差不齐。另一方面，在多年应试教育体系下，很多学生没有养成良 好的学习习惯，自制力差、自主学习意识不强，甚至对学习没有兴趣，面对“理论高深”的高等数学，难免对它产生一种恐惧心理，迟到、早退甚至旷课现象屡见不鲜，经问卷调查显示，理工科的成人教育学生对数学学习大致可分为四部分(见表1)。文科生占大多数的班级更是不堪。不想学习的学生不来上课或来上课但在课 堂上说话捣乱；听不懂的学生课堂上睡觉或玩手机；只有一少部分学生上课能够 听课，但注意力集中时间不长，考试及格率低。导致学生对高数望而生畏，学习 积极性大打折扣。 表1 理工科成人教育学生教学学习现状 (2)教学内容多，教学方法传统。随着成人教育教育改革的不断推进，针对成人教育高等 数学提出了“与专业对接，淡化理论、强调必需、够用”等理论，但实际教学中，部分教师仍 在一定程度上强调“学科的系统性和完整性”，造成高等数学学时少与内容多的矛盾，教师为 了完成教学任务而赶教学进度，从而使大部分学生难以接受，产生了畏难情绪，影响了学习 积极性。高等数学教学方法方面也提出了一些新的理论，但在实际教学中，教师注重了提问，但提问不等于启发。“教师讲，学生听”的讲授式仍然是高等数学主要的教学方式，仍重知识 的传授，轻能力的培养，这种“灌输式”的教学方式不利于学生主动去学习、不利于学生能力 的培养。 (3)教材建设落后，考核方式单一。教材是教学内容的重要载体。成人教育高数教材不少，但基本上大同小异，不能体现成人教育特点，没有考虑到成人教育教育的教学目标和学生的 层次、特点，没有恰当地把握好难易程度，成人教育高专教材的建设相对落后。目前，高等 数学课程教学的考核基本都是同一专业的学生，采取统一试题，卷面成绩和平时成绩(出勤、 作业)按照一定的比例计算得到总评成绩，这就造成一些平时不缺课，但不听课；交作业，但 抄袭别人作业的学生平时成绩较高。另外，划定范围、闭卷考试往往让学生养成套用公式、 死记硬背例题、习题的习惯。这种考核方式不能体现对学生能力的考查，不利于激发学生学 习的积极性和主动性。 2 成人教育高等数学课程改革的必要性 针对高等数学教学存在的种种问题，许多学者提出了相应的解决办法，但效果不够明显。近几年来，尤其是西方一些国家将职业教育院校从以前的中央集权、供方为导向的管理转变 为自主管理的、市场需求导向的现代职业教育模式。基于现代职业教育模式的特点和教学的 现状，高等数学课程应彻底更新“学科型”教育教学理念，树立新的高等数学教育教学观，以 提高毕业生就业竞争力，适应人才市场竞争为需要，根据学生的实际情况和发展需要，进行 高等数学课程改革与建设。 3 高等数学课程改革的思路 高等数学课程改革要以《教育部关于全面提高高等教育质量的若干意见》文件精神为指
高等数学各章知识结构
高等数学各章知识结构 一．总结构 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分. 冯. 诺伊曼 注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.
微积分中重要的思想和方法： 1．“极限”方法，它是贯穿整个《微积分》始终。导数是一种特殊的函数极限；定积分是一种特殊和式的极限；级数归结为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。所以，极限理论是整个《微积分》的基础。尽管上述各种概念都是某种形式的极限，但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容，这是《微积分》最有魅力的地方之一。 2．“逼近”思想，它在《微积分》处处体现。在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长代替所求曲线的长；用多项式代替连续函数等。这种逼近思想在理论和实际中大量运用。 3．“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。熟练掌握求极限、求导数和求积分的方法，学习《微积分》就不会遇到太多困难，甚至能做到得心应手。 4．“特色定理”是《微积分》的支柱。夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是《微积分》中最深刻、最基本、最能体现《微积分》特色的定理，支撑起《微积分》的大厦。 5．“综合运用能力”是《微积分》学习的出发点和归宿。充分注重综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。