2019年吉林省中考数学试卷及答案解析
第1页（共28页） 2019年吉林省中考数学试卷 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1 2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D． 3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（ ） A．a+1 B．a﹣1 C．a×1 D．a÷1 4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180° 5．（2分）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（ ） 第2页（共28页）
A．30° B．45° C．55° D．60° 6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）分解因式：a2﹣1＝ ． 8．（3分）不等式3x﹣2＞1的解集是 ．
9．（3分）计算：•＝ ．
10．（3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）． 11．（3分）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝ °．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 ． 第3页（共28页）
13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为 m． 14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以
OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．
三、解答题（每小题5分，共20分） 15．（5分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝． 16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．
17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝4时，求y的值． 18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF． 第4页（共28页）
四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图： （1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点； （2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．
20．（7分）问题解决 糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？ 反思归纳 现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是 （填写序号）． （1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．
21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93） 第5页（共28页）
22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”． （1）该机构设计了以下三种调查方案： 方案一：随机抽取部分城区居民进行调查； 方案二：随机抽取部分农村居民进行调查； 方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查． 其中最具有代表性的一个方案是 ； （2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题： ①这次接受调查的居民人数为 人； ②统计图中人数最多的选项为 ； ③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．
五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示． 第6页（共28页）
（1）m＝ ，n＝ ； （2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．
24．（8分）性质探究 如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为 ． 理解运用 （1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为 ； （2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH． ①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH； ②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长． 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含α的式子表示）．
六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）． （1）AE＝ cm，∠EAD＝ °； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当PQ＝cm时，直接写出x的值． 第7页（共28页）
26．（10分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值； （3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； ②当h＝9时，直接写出△BCP的面积． 第8页（共28页）
2019年吉林省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1 【分析】直接利用数轴得出结果即可． 【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了数轴、根据数轴﹣1是解题关键． 2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：
故选：D． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（ ） A．a+1 B．a﹣1 C．a×1 D．a÷1 【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比 第9页（共28页）
较便可． 【解答】解：A．a+1＞a，选项错误； B．a﹣1＜a，选项正确； C．a×1＝a，选项错误； D．a÷1＝a，选项错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题． 4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180° 【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解． 【解答】解：∵360°÷3＝120°， ∴旋转的角度是120°的整数倍， ∴旋转的角度至少是120°． 故选：C． 【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
5．（2分）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
2022年吉林省长春市中考数学试题(含答案解析)
2022年长春市初中毕业学业水平考试数 学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页。
全卷满分120分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．右图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是A B C D2．长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数 据1800000用科学记数法表示为 A. 51810⨯ B. 61.810⨯ C. 71.810⨯D. 70.1810⨯3. 不等式23x +>的解集是A. 1x <B. 5x <C. 1x >D. 5x >4．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是A. 0a >B. a b <C. 10b -<D. 0ab >5．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂 足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是A. sin ABBCα=B. sin BC AB α=C. sin AB ACα= D. sin ACAB α= 6．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形．若121BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数为A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°7. 如图，在ABC 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是A. AF BF =B. 12AE AC =C. 90DBF DFB ∠+∠=︒D. BAF EBC ∠=∠8．如图，在平面直角坐标系中，点P 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，其 纵坐标为2，过点P 作PQ //y 轴，交x 轴于点Q ，将线段QP 绕点Q 顺时针旋转60°得 到线段QM ．若点M 也在该反比例函数的图象上，则k 的值为（ ）A.B. C. D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．分解因式：23m m +=_______．10．若关于x 的方程20x x c ++=有两个相等的实数根，则实数c 的值为_______． 11．《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可求得 x 的值为________．12．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O 重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A 、B 两点.若5OA =厘 米，则AB 的长度为________厘米．（结果保留π）13．跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC 和等边三角形DEF 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形． 若27AB =厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．14．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（本小题满分6分）先化简，再求值：()()()221a a a a +-++，其中4a =．16．（本小题满分6分）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”．正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列 表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？18．（本小题满分6分）如图①、图②、图③均是55⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中ABC 的形状是________；（2）在图①中确定一点D ，连结DB 、DC ，使DBC △与ABC 全等： （3）在图②中ABC 的边BC 上确定一点E ，连结AE ，使ABE CBA △∽△：（4）在图③中ABC 的边AB 上确定一点P ，在边BC 上确定一点Q ，连结PQ ，使PBQ ABC △∽△，且相似比为1：2．19．（本小题满分7分）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <．点D 是AC 的中点，过点D 作DE AC ⊥交BC 于点E .延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接AE 、AF 、CF ．（1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）若14BE EC =，则tan BCF ∠的值为_______．党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是________年： （2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是_______； （3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了_______件，专利授权量年增长率提高了_______个百分点；（注：1%为1个百分点）（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量 就最小．（ ）②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上 升．这是因为 专利授权量年增长率100%-=⨯当年专利授权量上一年专利授权量上一年专利授权量，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．（ ） ③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立 自强贡献吉林力量．（ ）己知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）m=_______，n=_______；（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．22．（本小题满分8分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在△≌△．的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想ADG AFG【问题解决】（1）小亮对上面ADG AFG △≌△的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形ABCD 是矩形，∴90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=︒． 由折叠可知，1452BAF BAD ∠=∠=︒，BFA EFA ∠=∠． ∴45EFA BFA ∠=∠=︒． ∴2AF AB AD ==． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】（2）DAG ∠的度数为________度，FGAF的值为_________； （3）在图①的条件下，点P 在线段AF 上，且12AP AB =，点Q 在线段AG 上，连结FQ 、PQ ，如图②，设AB a ，则FQ PQ +的最小值为_________．（用含a 的代数式表示）23．（本小题满分10分）如图，在ABCD 中，4AB =，13AD BD ==，点M 为边AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿折线AD DB -以每秒13个单位长度的速度向终点B 运动，连结PM ．作点A 关于直线PM 的对称点A '，连结A P '、A M '．设点P 的运动时间为t 秒．（1）点D 到边AB 的距离为__________； （2）用含t 的代数式表示线段DP 的长；（3）连结A D '，当线段A D '最短时，求DPA '△的面积； （4）当M 、A '、C 三点共线时，直接写出t 的值．24．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx =-（b 是常数）经过点()2,0．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （0m ≠）．以点A 为中心，构造正方形PQMN ，2PQ m =，且PQ x ⊥轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式：（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当4BC =时，求点B 的坐标；（3）若0m >，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，或者y 随x的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点．．的纵坐标之差为34时，直接写 出m 的值．2022年长春市初中毕业学业水平考试数学试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．：(3)m m + 10．14或0.25 11．812．52π或2.5π13．5414．1-1三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15.解：原式＝224a a a -++4a =+当4a =时，原式44==16.解：根据题意列表如下：由表可知，总的可能结果有4种，两次之和不大于3的情况有3种， 故所求概率为：3÷4=34， 即两次分数之和不大于3的概率为34． 17.解：设乙班每小时挖x 千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x )千克的土豆，根据题意有：15001200100x x=+，解得：x =400，经检验，x =400是原方程的根， 故乙班每小时挖400千克的土豆．18. 解：（1）∵222222224220,215,525AB AC BC =+==+=== ∴222AB AC BC +=, ∴ABC 是直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）如图，点D 即为所求作，使DBC △与ABC 全等：（3）如图所示，点E 即为所作，且使ABE CBA △∽△：（4）如图，点P ，Q 即为所求，使得PBQ ABC △∽△，且相似比为1：2．19.（1）证明：AD DC =，DE DF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵DE AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：14BE EC =， 设BE a =，则4EC a =，四边形AECF 是菱形； 4AE EC a ∴==，AE FC ∥，∴BCF BEA ∠=∠，在Rt ABE △中，AB ===，∴tan BCF ∠=tan AB BEA BE a∠=== 20.（1）2020（2）18.1%（3）5479，30.2（4）①×，②√，③√21.（1）2.6（2）甲车距A 地的路程y 与x 之间的函数关系式6080y x =+ （3）300千米22.（1）见解析（2）22.5 1.（3）2a 23.（1）3（2）当0≤t ≤1时，DP =；当1＜t ≤2时，PD = （3）35（4）23或201124.（1）22y x x =-（2）()1,3B - （3）102m <≤或3m ≥ （4）38m =-或12m =或32m =．。
2018-2019年大连市中考数学真题(附答案)
2018年辽宁省大连市中考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（分）（2018•大连）﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（分）（2018•大连）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（分）（2018•大连）计算（x3）2的结果是（）A．x5B．2x3C．x9D．x64．（分）（2018•大连）如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．135°5．（分）（2018•大连）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．长方体6．（分）（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．37．（分）（2018•大连）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（）A．B．C．D．8．（分）（2018•大连）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32x+b的图象与反比例函数y=的9．（分）（2018•大连）如图，一次函数y=k1图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当kx+b＜时，x的取值范围为（）1A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．0＜x＜2或x＞6 10．（分）（2018•大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（分）（2018•大连）因式分解：x2﹣x= ．12．（分）（2018•大连）五名学生一分钟跳绳的次数分别为189，195，163，184，201，该组数据的中位数是．13．（分）（2018•大连）一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为cm．14．（分）（2018•大连）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为．15．（分）（2018•大连）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是，则旗杆AB的高度约为m．（精确到．参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）16．（分）（2018•大连）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（分）（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣218．（分）（2018•大连）解不等式组：19．（分）（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．20．（分）（2018•大连）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为%；（2）被调查学生的总数为人，其中，最喜欢篮球的有人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为%；（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数．四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（分）（2018•大连）甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．22．（分）（2018•大连）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，...，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621， (47)3=141，28×2=96，49×1=49．【发现】根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是．【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值为，并用你学过的知识加以证明．23．（分）（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E 在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．（分）（2018•大连）如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m ≤b时，函数的解析式不同）．（1）填空：△ABC的面积为；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．25．（分）（2018•大连）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．26．（分）（2018•大连）如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m ﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m 的值．2018年辽宁省大连市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（分）（2018•大连）﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．D．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．【解答】解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（分）（2018•大连）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．【解答】解：点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．故选：B．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．3．（分）（2018•大连）计算（x3）2的结果是（）A．x5B．2x3C．x9D．x6【分析】根据幂的乘方运算性质，运算后直接选取答案．【解答】解：（x3）2=x6，故选：D．【点评】本题主要考查幂的乘方，底数不变，指数相乘的性质，熟练掌握性质是解题的关键．4．（分）（2018•大连）如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．135°【分析】先利用等腰直角三角形的性质得出∠1=45°，再利用平行线的性质即可得出结论；【解答】解：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=45°，∵l∥l'，∴∠α=∠1=45°，故选：A．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，求出∠1=45°是解本题的关键．5．（分）（2018•大连）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．长方体【分析】由常见几何体的三视图即可判断．【解答】解：由三视图知这个几何体是三棱柱，故选：C．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握常见几何体的三视图．6．（分）（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：OB===4，∴BD=2OB=8，故选：A．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．7．（分）（2018•大连）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球标号为偶数的情况数，即可求出概率．【解答】解：列表得：所有等可能的情况数有9种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为，故选：D．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．（分）（2018•大连）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32．故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（分）（2018•大连）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的1x+b＜时，x的取值范围为（）图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．0＜x＜2或x＞6【分析】根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求．x+b＜时，x的取值范围为0＜x＜2或x 【解答】解：由图象可知，当k1＞6．故选：D．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10．（分）（2018•大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α，故选：C．【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（分）（2018•大连）因式分解：x2﹣x= x（x﹣1）．【分析】提取公因式x即可．【解答】解：x2﹣x=x（x﹣1）．故答案为：x（x﹣1）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．12．（分）（2018•大连）五名学生一分钟跳绳的次数分别为189，195，163，184，201，该组数据的中位数是189 ．【分析】根据中位数的意义，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：这5名学生跳绳次数从小到大排列为163、184、189、195、201，所以该组数据的中位数是189，故答案为：189．【点评】本题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．13．（分）（2018•大连）一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为9 cm．【分析】根据弧长公式L=求解即可．【解答】解：∵L=，∴R==9．故答案为：9．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=．14．（分）（2018•大连）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．15．（分）（2018•大连）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是，则旗杆AB的高度约为m．（精确到．参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°，∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×≈，∴AB=AE+BE=AE+CD=+=≈，故答案为：【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．16．（分）（2018•大连）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为6﹣2．【分析】如图作A′H⊥BC于H．由△CDF∽△A′HC，可得=，延长构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣，∵△CDF∽△A′HC，∴=，∴=，∴DF=6﹣2，故答案为6﹣2．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（分）（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣2【分析】根据完全平方公式和零指数幂的意义计算．【解答】解：原式=3+4+4﹣4+=．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（分）（2018•大连）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为x≤﹣1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．19．（分）（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．【分析】只要证明△BEO≌△DFO即可；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，∵AE=CF，∴OE=OF，在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（分）（2018•大连）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有 4 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32 %；（2）被调查学生的总数为50 人，其中，最喜欢篮球的有16 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为24 %；（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数．【分析】（1）依据统计图表中的数据即可得到结果；（2）依据最喜欢羽毛球的学生数以及占被调查总人数的百分比，即可得到被调查总人数，进而得出最喜欢篮球的学生数以及最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比；（3）依据最喜欢排球的学生数占被调查总人数的百分比，即可估计该校最喜欢排球的学生数．【解答】解：（1）由题可得，被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有4人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32%，故答案为：4；32；（2）被调查学生的总数为10÷20%=50人，最喜欢篮球的有50×32%=16人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比=×100%=24%；故答案为：50；16；24；（3）根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数为×450=54人．【点评】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（分）（2018•大连）甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．【分析】设甲平均每分钟打x个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲平均每分钟打x个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字，根据题意得：=，解得：x=60，经检验，x=60是原分式方程的解．答：甲平均每分钟打60个字．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（分）（2018•大连）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，...，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621， (47)3=141，28×2=96，49×1=49．【发现】根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625 ；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50 ．【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值为900 ，并用你学过的知识加以证明．【分析】【发现】（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a+b=50；【类比】由于m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，利用二次函数的性质即可得出m=30时，mn的最大值为900．【解答】解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．故答案为625；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．故答案为a+b=50；【类比】由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30时，mn的最大值为900．故答案为900．【点评】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．23．（分）（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E 在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．（分）（2018•大连）如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m ≤b时，函数的解析式不同）．（1）填空：△ABC的面积为；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．【分析】（1）由图2结合平移即可得出结论；（2）判断出△AOB≌△CEA，得出AE=OB，CE=OA，再由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，即可利用三角形ABC的面积求出OB，OA，即可得出结论；（3）分两种情况，利用三角形的面积公式或三角形的面积差即可得出结论．【解答】解：（1）结合△ABC的移动和图2知，点B移动到点A处，就是图2中，m=a时，S=S △A'B'D=，点C移动到x轴上时，即：m=b时，S=S△A'B'C '=S△ABC=，故答案为，（2）如图2，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠AEC=∠BOA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAE=90°，∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠CAE，由旋转知，AB=AC，∴△AOB≌△CEA，∴AE=OB，CE=OA，由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，∴OA=2OB，∴AB2=5OB2，由（1）知，S==AB2=×5OB2，△ABC∴OB=1，∴OA=2，∴A（2，0），B（0，1），∴直线AB的解析式为y=﹣x+1；（3）由（2）知，AB2=5，∴AB=，①当0≤m≤时，如图3，∵∠AOB=∠AA'F，∠OAB=∠A'AF，∴△AOB∽△AA'F，∴，由运动知，AA'=m，∴，∴A'F=m，∴S=AA'×A'F=m2，②当＜m≤2时，如图4同①的方法得，A'F=m，∴C'F=﹣m，过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BM⊥CE于E，∴BM=3，CM=1，易知，△ACE∽△FC'H，∴，∴∴C'H=，在Rt△FHC'中，FH=C'H=由平移知，∠C'GF=∠CBM，∵∠BMC=∠GHC'，∴△BMC∽△GHC'，∴，∴∴GH=，∴GF=GH﹣FH=∴S=S△A'B'C '﹣S△C'FG=﹣××=﹣（2﹣m）2，即：S=．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，平移的性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解本题的关键．25．（分）（2018•大连）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．【分析】（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．想办法证明△AEC≌△AED即可；方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．想办法证明∠ACD=∠ADC即可；（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．理由三角形内角和定理证明即可；②结论：BD=k•DE．如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC．首先证明△DFE∽△BAK，推出==，推出BK=k•DE，再证明△BCD≌△BCK，可得BD=BK；【解答】解：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°，∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，∴∠A=∠BCF，∵∠BCF+∠ACF=90°，∴∠A+∠ACF=90°，∴∠AFC=90°，∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，∴∠ACF=∠B，∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，∴AC=AD．（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．理由：在△DEF中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°，在△DFG中，∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°，∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，∴∠DEF=∠FDG．②结论：BD=k•DE．理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC．∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，∴∠EDF=∠ABK，∵∠DFE=∠A，∴△DFE∽△BAK，∴==，∴BK=k•DE，∴∠AKB=∠DEF=∠FDG，∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，∴△BCD≌△BCK，∴BD=BK，∴BD=k•DE【点评】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（分）（2018•大连）如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m ﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，由AB∥x轴且AB=4，可得出点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5），设BD=t，则点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出S△ABC 的值；（3）由（2）的结论结合S=2可求出a值，分三种情况考虑：①当m＞2m△ABC﹣2，即m＜2时，x=2m﹣2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，x=m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，x=2m﹣5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣，∴S△ABC=AB•CD=﹣．（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣=2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．综上所述：m的值为或10+2．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性质找出点C的坐标；（3）分m＜2、2≤m≤5及m＞5三种情况考虑．2019年辽宁省大连市中考数学真题（附答案）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共9小题，共分）1.-2的绝对值是（）A. 2B. 12C. −12D. −22.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）3.A. B. C. D.4. 2019年6月5日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，该火箭重58000kg ，将数58000用科学记数法表示为（ ） A. 58×103 B. 5.8×103 C. 0.58×105 D. 5.8x1045. 在平面直角坐标系中，将点P （3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P ′的坐标为（ ） A. (3,−1) B. (3,3) C. (1,1) D. (5,1) 6. 不等式5x +1≥3x -1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C.D.7. 下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 菱形D. 平行四边形 8. 计算（-2a ）3的结果是（ ）A. −8x 3B. −6x 3C. 6x 3D. 8x 3 9. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）A. 23B. 12C. 13D. 1410. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =8．则D ′F 的长为（ ）A. 2√5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共7小题，共分）11. 如图，抛物线y =-14x 2+12x +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB ．AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线PQ 平行于x 轴，与拋物线相交于P ，Q 两点，则线段PQ 的长为______．。
2020年吉林省长春市中考数学试题(解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4【分析】设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【分析】利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB计算即可．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【分析】（1）从折线统计图可得答案；（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；（2）运用待定系数法解得即可；（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【分析】（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P 在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝．∵△PDQ是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，∴BN＝NH，在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝PQ＝t，在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，解得t＝．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM∥BC，DM＝PM，∴DH＝2PK，在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），∴PK＝PQ＝（7﹣5t），在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，∵DH＝2PK，∴t＝2×（7﹣5t），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P 在FG边上时，求出PP′＝2，则﹣2a＝4，即可得出结果．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a＝；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，整理得：（a+1）2＝2，解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；综上所述，a的值为或﹣1﹣；（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），∴直角边为EF与FG，∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），∴AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p＝﹣1，∵EA＝OA＝1，∴点P在对称轴x＝a的左侧，∴PP′＝2（a+1），∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝2×2（a+1），解得：a＝﹣；当点P在FG边上时，如图5所示：则y p＝a﹣1，∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝4，解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a的值为﹣或﹣．第31页（共31页）。
吉林省长春市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
吉林省长春市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A. =1B. -1.5C. -3D. -4.2【答案】C【考点】数轴及有理数在数轴上的表示【解析】【解答】解：根据题意可知，墨水遮盖区域的数在-4和-2之间∴数字可能为-3.故答案为：C.【分析】根据数轴上有理数的大小和顺序进行判断即可。
2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A. 79×103B. 7.9×104C. 0.79×105D. 4ab【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：79000用科学记数法表示为7.9×104故答案为：B.【分析】根据科学记数法的含义，表示得到数字即可。
3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A. B.C. D.【答案】A【考点】几何体的展开图【解析】【解答】解：由分析知：四棱柱的侧面展开图是四个矩形组成的图形．故选：A．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可．4.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】 D【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集【解析】【解答】解：∵x+2≥3∴x≥1∴在数轴上表示正确的为D.故答案为：D.【分析】根据题意，解出不等式的解集，在数轴上进行表示即可。
5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A. sinA=BDAB B. cosA=ABADC. tanA=ADBDD. sinA=ADAB【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得①sinA=BDAB②cosA=ADAB③tanA=BDAD故答案为：A.【分析】根据题意，结合锐角三角函数的定义，表示得到∠A的式子，进行判断即可得到答案。
2022年吉林省中考数学试卷(解析版)
2022年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．2．（2分）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷3．（2分）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0B．y﹣2＜0C．y﹣2≥0D．y﹣2≤04．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定5．（2分）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行6．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）﹣的相反数是．8．（3分）计算：a•a2＝．9．（3分）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要元．（用含m的代数式表示）10．（3分）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为．11．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为度．（写出一个即可）12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．14．（3分）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．16．（5分）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．解：m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝．17．（5分）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．18．（5分）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．20．（7分）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．21．（7分）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）22．（7分）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是℃．24．（8分）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM ＝90°．∴AE∥．∴△AEM∽．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以P A为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P 的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为cm．（用含x的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．2022年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．【分析】由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．【解答】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，由松花砚的示意图可得其俯视图为C．故选：C．【点评】本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．2．（2分）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．【解答】解：当填入加号时：﹣1+3＝2；当填入减号时﹣1﹣3＝﹣4；当填入乘号时：﹣1×3＝﹣3；当填入除号时﹣1÷3＝﹣，∵2＞﹣＞﹣3＞﹣4，∴这个运算符号是加号．故选：A．【点评】本题考查的是有理数的运算及有理数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．3．（2分）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0B．y﹣2＜0C．y﹣2≥0D．y﹣2≤0【分析】不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．4．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定【分析】由数轴上b在a的右侧可得b与a的大小关系．【解答】解：∵b＞0，a＜0，∴a＜b，故选：B．【点评】本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．5．（2分）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．【点评】本题考查平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定方法．6．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．5【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3＜r＜5，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）﹣的相反数是．【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变﹣前面的符号，即可得﹣的相反数．【解答】解：﹣的相反数是．故答案为：．【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．8．（3分）计算：a•a2＝a3．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n＝a m+n 计算即可．【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．故答案为：a3．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．9．（3分）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元．（用含m的代数式表示）【分析】根据题意直接列出代数式即可．【解答】解：篮球队要买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元，故答案为：10m．【点评】本题主要考查了通过实际问题列出代数式，理解题意是解答本题的关键．10．（3分）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为．【分析】根据题意列出二元一次方程组即可．【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，由题意得：，故答案为：．【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，找等量关系是列方程组的关键和难点．11．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为60（答案不唯一）．度．（写出一个即可）【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．【解答】解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故答案为：60（答案不唯一）．【点评】本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正六边形的中心角是解题的关键．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（2，0）．【分析】由图象可得OB与圆的直径重合，由BO⊥AC及垂径定理求解．【解答】解：由图象可得OB与直径重合，∵BO⊥AC，∴OA＝OC，∵A（﹣2，0），∴C（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．14．（3分）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．【分析】由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．【解答】解：∵∠BAE＝65°，∴∠BOE＝130°，∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，∴+的长度＝×2π×1＝，故答案为：π．【点评】本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系，掌握计算弧长的方法．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．【分析】由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD ＝CD．【解答】证明：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．16．（5分）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．【分析】根据题意合并同类项即可．【解答】解：由题知，m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝m2﹣6，∵m2+6m＝m（m+6），∴A为：m+6，故答案为：m2﹣6．【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．17．（5分）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．【分析】根据题意作图得出概率即可．【解答】解：由题意作树状图如下：由图知，两人都决定去长白山的概率为．【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键．18．（5分）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，四边形ABCE为平行四边形．【解答】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，连接ABCE，AE∥BC 且AE＝BC，∴四边形ABCE为平行四边形，符合题意．【点评】本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．【分析】设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据时间相等列方程求解即可．【解答】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据题意列方程，得，即135x＝120（x+20），解得x＝160，经检验x＝160是原方程的解，答：李婷每分钟跳绳160个．【点评】本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．20．（7分）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）将V＝10代入函数解析式求解．【解答】解：（1）设ρ＝，将（4，2.5）代入ρ＝得2.5＝，解得k＝10，∴ρ＝．（2）将V＝10代入ρ＝得ρ＝1．∴该气体的密度为1kg/m3．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．21．（7分）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】由AB，BC的长度求出AC长度，然后根据sin∠BCD＝求解．【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．22．（7分）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是62.71%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是①（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．【分析】（1）将2017﹣2021年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数．（2）根据城镇化率＝×100%可得2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%（万人）．‘（3）由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%，∴中为数是62.71%，故答案为：62.71．（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，∴常住人口为141260×64.72%（万人），故答案为：141260×64.72%．（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．故答案为：①．【点评】本题考查数据的收集与整理，解题关键是掌握中位数的概念，读懂折线图．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是20℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是65℃．【分析】（1）由图象x＝0时y＝20求解．（2）通过待定系数法求解．（3）由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入（2）中解析式求解．【解答】解：（1）由图象得x＝0时y＝20，∴加热前水温是20℃，故答案为：20．（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝x+20．（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80＝℃/s，∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷＝120s，将x＝120代入y＝x+20得y＝65，故答案为：65．【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．24．（8分）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝BC•h．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM ＝90°．∴AE∥DF．∴△AEM∽△DFM．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．【分析】（1）由S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′即可证明．（2）由AE∥DF可得△AEM∽△DFM，再由相似三角形的性质可得＝，然后结合【探究】（1）结论可得＝．（3）作DK∥AC交l2于点K，由【探究】（1）（2）可得＝，进而求解．【解答】（1）证明：∵S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′，∴＝．（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．∵AE∥DF，∴△AEM∽△DFM，∴＝，由【探究】（1）可知＝，∴＝．故答案为：DF，△DFM，．（3）作DK∥AC交l2于点K，∵DK∥AC，∴△ACE∽△DKE，∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，∴＝＝，由【探究】（2）可得＝＝．故答案为：．【点评】本题考查图形的探究题型，解题关键是掌握三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定及性质．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以P A为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为2x cm．（用含x的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【分析】（1）作PE⊥AC于点E，由含30°角的直角三角形可得AE的长度，再由等腰三角形的性质可得PQ的长度．（2）作出点M落在边BC上的图象，由AP+PN+NB＝AB求解．（3）分类讨论0≤x≤1，1＜t≤，＜x≤3并作出图象求解．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠APQ＝120°，∴∠AQP＝30°，∴PQ＝AP＝2x．故答案为：2x．（2）如图，∵∠APQ＝120°，∴∠MNB＝∠PQB＝60°，∵∠B＝60°，∴△MNB为等边三角形，∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，∴3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，∵∠A＝30°，AQ＝2x，∴QF＝AQ＝x，∵PN＝PQ＝AP＝2x，∴y＝PN•QF＝2x•x＝2x2．当1＜t≤时，QM，NM交BC于点H，K，∵AB＝6cm，∠A＝30°，∴AC＝AB＝3cm，∴CQ＝AC﹣AQ＝3﹣2x，∴QH＝CQ＝（3﹣2x）＝6﹣4x，∴HM＝QM﹣QH＝2x﹣（6﹣4x）＝6x﹣6，∵△HKM为等边三角形，∴S△HKM＝HM2＝9x2﹣18x+9，∴y＝2x2﹣（9x2﹣18x+9）＝﹣7x2+18x﹣9．当＜x≤3时，重叠图形△PQM为等边三角形，PQ＝PB＝AB﹣AP＝6﹣2x，∴y＝PB2＝（6﹣2x）2＝x2﹣6x+9．综上所述，y＝．【点评】本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解．（3）①分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值．②根据m的值，作出等腰直角三角形求解．【解答】解：（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣4x+3．（2）令x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），∵抛物线开口向上，∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，当m＞2时，抛物线顶点为最低点，∴﹣1＝2﹣m，解得m＝3，当m≤2时，点P为最低点，将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，∴m2﹣4m+3＝2﹣m，解得m1＝（舍），m2＝．∴m＝3或m＝．②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1），∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意．当m＝时，如图，∠QP A＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF 于点E，∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠P AF＝90°，∴∠QPE＝∠P AF，又∵∠QEP＝∠PF A＝90°，QP＝P A，∴△QEP≌△PF A（AAS），∴QE＝PF，即2﹣m＝m2﹣4m+3，解得m1＝（舍），m2＝．∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣，∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝，∴点Q坐标为（2，）．综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2，）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．。
2019年辽宁省本溪市中考数学试题及答案全解全析
2019年本溪市初中毕业生学业考试数学试卷考试时间：120分钟满分150分一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(2019辽宁本溪中考，1，3分，★☆☆)下列各数是正数的是（）A．0 B．5 C．－12D．－22．(2019辽宁本溪中考，2，3分，★☆☆)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．(2019辽宁本溪中考，3，3分，★☆☆)下列计算正确的是（）A．x7÷x=x7B．（－3x2）2=－9x4C．x3•x3=2x6D．（x3）2=x64．(2019辽宁本溪中考，4，3分，★☆☆)2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000用科学记数法表示为（）A．9.56×106B．95.6×105C．0.956×107 D．956×104 5．(2019辽宁本溪中考，5，3分，★☆☆)下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计结果：县（区）平山区明山区溪湖区南芬区高新区本溪县恒仁县气温（℃）26 26 25 25 25 23 22则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（）A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，256．(2019辽宁本溪中考，6，3分，★☆☆)不等式组328xx-＞0，-≤0的解集是（）A．x＞3 B．x≤4C．x＜3 D．3＜x≤47．(2019辽宁本溪中考，7，3分，★☆☆)如图所示，该几何体的左视图是（ ）（7题图）A ．B ．C ．D ．8． (2019辽宁本溪中考，8，3分，★☆☆)下列事件属于必然事件的是（ ）A ．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”B ．若原命题成立，则它的逆命题一定成立C ．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小D ．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数9．(2019辽宁本溪中考，9，3分，★★☆)为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．x x -=140480360 B ．x x 480140360=- C ．140480360=+x x D ．xx 480140360=- 10．(2019辽宁本溪中考，10，3分，★★★)如图，点P 是以AB 为直径的半圆上的动点，CA ⊥AB ，PD ⊥AC 于点D ，连接AP ，设AP=x ，PA －PD=y ，则下列函数图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）第10题图A．B．C．D．二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)11．(2019辽宁本溪中考，11，3分，★☆☆)若2x-在实数范围内有意义，则x的取值范围为____________．12．(2019辽宁本溪中考，12，3分，★☆☆)函数y=5x的图象经过的象限是___________．13．(2019辽宁本溪中考，13，3分，★☆☆)如果关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是_____________．14．(2019辽宁本溪中考，14，3分，★☆☆)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为______________．15．(2019辽宁本溪中考，15，3分，★★☆)如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE=BF；分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP=3，则点P到BD的距离为______．第15题图16．(2019辽宁本溪中考，16，3分，★★☆)如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为____________．第16题图17．(2019辽宁本溪中考，17，3分，★★☆)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD=3，反比例函数y=k x（x＞0）的图象经过点B，则k的值为____________．第17题图18．(2019辽宁本溪中考，18，3分，★★☆)如图，点B1在直线l：y=12x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点C n的横坐标为___________.（结果用含正整数n的代数式表示）．第18题图三、解答题(第19题10分，第20题12分，共22分)19．(2019辽宁本溪中考，19，10分，★☆☆)先化简，再求值：（22444aa a－12a）÷22 2a a，其中a满足a2+3a－2=0．20．(2019辽宁本溪中考，20，12分，★☆☆)某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有___________人；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21．(2019辽宁本溪中考，21，12分，★★☆)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B=45°，延长CD到点E，使DE=DA，连接AE．（1）求证：AE=BC；（2）若AB=3，CD=1，求四边形ABCE的面积．第21题图22．(2019辽宁本溪中考，22，12分，★★☆)小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C 在DE上，支杆DF=30cm，CE：CD=1：3，∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解决下列向题．（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．第22题图五、解答题(满分12分)23．(2019辽宁本溪中考，23，12分，★★☆)某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元．工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？第23题图六、解答题（满分12分）24．(2019辽宁本溪中考，24，12分，★★★)如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若tan∠PDC=12，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．第24题图七、解答题（满分12分）25．(2019辽宁本溪中考，25，12分，★★★)在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA=DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：________；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON=∠ADB，ON与射线CA交于点N．①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC=30°，BC=m，当∠AON=15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．第25题图八、解答题（满分14分）26．(2019辽宁本溪中考，26，14分，★★★)抛物线y=－29x2+bx+c与x轴交于A（－1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．第26题图2019年本溪市初中学业水平考试数学试卷答案全解全析1．答案：B解析：0既不是正数，也不是负数；5是正数；−12和B ． 考查内容：正数与负数命题意图：本题考查有理数正数与负数的识别，难度较小． 2．答案：B解析：A 选项不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 选项既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C 选项是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 选项不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选B ．考查内容：轴对称图形；中心对称图形命题意图：此题考查学生对轴对称图形与中心对称图形的识别，难度较小．3．答案：D解析：A选项x7÷x=x6，故此选项错误；B选项（－3x2）2=9x4，故此选项错误；C选项x3•x3=x6，故此选项错误；D选项（x3）2=x6，故此选项正确；故选D．考查内容：整式的乘法；整式的除法；幂的运算．命题意图：本题主要考查学生对幂的运算的掌握情况，难度较小．方法归纳：（1）所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项，合并同类项的法则是：系数相加减，字母及其字母的指数不变.（2）同底数幂相乘法的法则：a m×a n=a m+n（m、n都是正整数）；同底数幂相除的法则：a m÷a n=a m－n（m、n都是正整数）；幂的乘方的法则(a m)n=a mn（m、n都是正整数）；积的乘方的法则(ab)m=a m b m（m是正整数）．(3) 单项式乘以单项式，应把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.4．答案：A解析：将数据9560000科学记数法表示为9.56×106．故选A．考查内容：科学记数法.命题意图：本题考查了学生对科学记数法掌握，难度较小．方法归纳：确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．5．答案：A解析：∵在这7个数中，25（℃）出现了3次，出现的次数最多，∴该日最高气温（℃）的众数是25；把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25，则中位数为：25；故选A．考查内容：众数和中位数命题意图：本题考查学生能够在一数据中找出众数与中位数，难度较小.6.答案：D解析：解不等式组328xx-＞0，-≤0，由①得：x＞3，由②得：x≤4，则不等式组的解集为3＜x≤4，故选D．考查内容：一元一次不等式组的解法.命题意图：本题考查学生对一元一次不等式组的解法掌握能力，难度较小．方法归纳：不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分，所以可以求出不等式组中各个不等式的解集，然后取它们的公共部分即可．找公共部分常用的方法有两种：（1）数轴法把不等式组中所有不等式的解集在同一条数轴上表示出来，直观地观察得到公共部分．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形（设a<b）不等式组x ax b＞，＞的解集是x>b，在数轴上表示如图：②不等式组x ax b＜，＜的解集是x<a，在数轴上表示如图：③不等式组x ax b＞，＜的解集是a＜x＜b，在数轴上表示如图：④不等式组x ax b＜，＞无解，在数轴上表示如图：（2）口诀法应用口诀“大大取较大，小小取较小；大小小大中间找，大大小小无解了”来确定．7．答案：B解析：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，故选B．考查内容：简单组合体的三视图．命题意图：本题主要考查几何体的三种视图和学生的空间想象能力，难度较小. 8.答案：C解析：A 选项打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意；B 选项若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；C 选项一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；D 选项在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；故选C ． 考查内容：必然事件；方差．命题意图：本题考查学生对必然事件的理解及识别能力，难度较小. 9．答案：A解析：设甲型机器人每台x 万元，根据题意，可得：xx -=140480360，故选A ． 考查内容：分式方程的应用．命题意图：本题考查学生用分式方程解决实际问题的能力，难度较小. 10．答案：C解析：圆的半径为R ，连接PB ，则sin ∠ABP=R R AP 212=x ，∵CA ⊥AB ，即AC 是圆的切线，则∠PAD=∠PBA=α，则PD=AP sinα=x×22121x R x R =，则y=PA －PD=－221x R+x ，图象为开口向下的抛物线，故选C ．考查内容：切线的性质；勾股定理；三角函数；二次函数的图象．命题意图：本题考查利用三角函数及圆的性质解决函数图象的问题，难度较高. 11．答案：x≥2解析：由题意得：x －2≥0，解得x≥2，故答案为x≥2． 考查内容：二次根式有意义条件．命题意图：本题考查利用二次根式有意义的条件结合不等式求字母的取值范围，难度较小． 12．答案：一、三解析：函数y=5x 的图象经过一、三象限，故答案为一、三．考查内容：正比例函数的图象.命题意图：本题考查根据正比例函数的k 值来判断图象所经过的象限，难度较小． 13．答案：k≤4解析：根据题意得：△=16－4k≥0，解得：k≤4．故答案为k≤4． 考查内容：一元二次方程根的判别式.命题意图：本题考查利用一元二次方程根的情况来求字母的取值范围，难度较小． 14．答案：（2，1）或（－2，－1）解析：以点OA （4，2），则点A 的对应点A1的坐标为（2，1）或（－2，－1），故答案为（2，1）或（－2，－1）． 考查内容：位似图形.命题意图：本题考查利用位似变换在平面直角坐标系中探索坐标变换，难度中等． 15．答案：3解析：结合作图的过程知：BP 平分∠ABD ，∵∠A=90°，AP=3，∴点P 到BD 的距离等于AP 的长，为3，故答案为3． 考查内容：角平分线的性质命题意图：本题考查根据角平分线的作图来利用性质来计算，难度中等． 16．答案：1112. 解析：如图，AD 与直线的交点为E ，AB 与直线的交点为F ，根据题意可知AE根据相似三角形的性质可得32＝12ABAF，∴AFS △AEF ＝12AE•A AB×13AB ＝112AB 2，∴小球停留在阴影区域的概率为：1－112考查内容：随机事件的概率.命题意图：本题考查学生利用面积来探索随机事件的概率，难度适中．17.答案：3.解析：连接OD，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵四边形OCDE是菱形，∴DE ∥OB，∴∠DEO=∠AOB=60°，∴△DEO是等边三角形，∴∠DOE=∠BAO=60°，∴OD∥AB，∴S△BDO=S△AOD，∵S四边形ABDO=S△ADO+S△ABD=S△BDO+S△AOB，∴S△AOB=S△ABD=3，过B作BH⊥OA于H，∴OH=AH，∴S△OBH=32，∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，∴k的值为3，故答案为3．考查内容：等边三角形的性质；菱形的性质；反比例函数的图象与性质.命题意图：本题考查学生利用菱形的性质与等边三角形的性质，通过面积关系确定k值，难度适中.18．答案：72+（32）n－1解析：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……∵点B1在直线l：y=12x上，点B1的横坐标为2，∴点B1的纵坐标为1，即：OD=2，B1D=1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，1B D OD =12=11DA B D =1111C D A D =1211D A C D =…∴点C 1的横坐标为：2+12+（32）0， 点C 2的横坐标为：2+12+（32）0+（32）0×14+（32）1＝52+（32）0×54+（32）1，点C 3的横坐标为：2+12+（32）0+（32）0×14+（32）1+（32）1×14+（32）2＝52+（32）0×54+（32）1×54++（32）2， 点C 4的横坐标为：52+（32）0×54+（32）1×54+（32）2×54+（32）3，……点C n 的横坐标为：52+（32）0×54+（32）1×54+（32）2×54+（32）3×54+（32）4×54……+（32）n ﹣1＝52+54 [（32）0+（32）1×+（32）2+（32）3+（32）4……]+（32）n ﹣1 ＝72+（32）n －1故答案为72+（32）n －1考查内容：正方形的性质；正比例函数的图象与性质；探索规律.命题意图：本题考查学生利用正方形的性质、反比例函数的图象与性质来探索点的坐标，难度较高.19．分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+3a －2=0，可以求得所求式子的值． 解析：原式232)3(2)2(232)2()2122(2)2(]21)2()2)(2([22a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+=-⋅-+=-⋅-+-+=-⋅-+--+= ∵a 2+3a －2=0， ∴a 2+3a=2， ∴原式=22=1． 考查内容：分式的化简求值命题意图：本题主要考查学生分式混合运算的基本技能，注意步骤的书写规范，难度较低. 20．分析：（1）由A 类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数；（2）首先求得C 项目对应人数，即可补全统计图；（3）该校1000学生数×参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解析：（1）∵A 类有20人，所占扇形的圆心角为36°， ∴这次被调查的学生共有：20÷36036=200（人）； 故答案为：200；（2）C 项目对应人数为：200－20－80－40=60（人）； 补充如图．（3）1000×20060=300（人） 答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团； （4）画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种， ∴P （选中甲、乙）=61122 ． 考查内容：条形统计图；扇形统计图；样本估计总体；随机事件的概率.命题意图：本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息，运用样本估计总体的方法解决统计问题及概率问题的能力，难度中等一题多解：（1）∵A 类有20人，所占扇形的圆心角为36°， ∴这次被调查的学生共有：20÷36036=200（人）； 故答案为：200；（2）C 项目对应人数为：200－20－80－40=60（人）； 补充如图．（3）1000×20060=300（人） 答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团； （4）列表得：甲乙丙丁∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，21．分析：（1）通过证明四边形ABCE是平行四边形，可得结论；（2）由平行四边形的性质可求DE=AD=2，即可求四边形ABCE的面积．解析：（1）∵AB∥CD，∠B=45°，∴∠C+∠B=180°，∴∠C=135°．∵DE=DA，AD⊥CD，∴∠E=45°．∵∠E+∠C=180°，∴AE∥BC，且AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形，∴AE=BC．（2）∵四边形ABCE是平行四边形，∴AB=CE=3，∴AD=DE=AB－CD=2，∴四边形ABCE的面积=3×2=6．考查内容：平行四边形的性质与判定；四边形的面积命题意图：本题考查学生在复杂的几何图形中找出单元图形进行证明的能力，难度中等. 22．分析：（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．解析：（1）过F作FH⊥DE于H，∴∠FHC=∠FHD=90°．∵∠FDC=30°，DF=30，∴FH=21DF=15，DH=31523 DF ． ∵∠FCH=45°， ∴CH=FH=15，∴CD ＝CH+DH ＝15+153． ∵CE ：CD=1：3， ∴DE=34CD=20+203． ∵AB=BC=DE ，∴AC=（40+403）cm ．（2）过A 作AG ⊥ED 交ED 的延长线于G ， ∵∠ACG=45°， ∴AG=22AC=202+206． 答：拉杆端点A 到水平滑杆ED 的距离为（202+206）cm ．考查内容：三角函数的定义；解直角三角形的应用命题意图：本题考查学生对俯角与仰角的识记，考查学生应用解直角三角形的知识解决实际运用能力，难度较低.23．分析：（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；（2）根据利润=（售价－成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值． 解析：（1）当0＜x≤20且x 为整数时，y=40； 当20＜x≤60且x 为整数时，y=－21x+50； 当x ＞60且x 为整数时，y=20； （2）设所获利润w （元），当0＜x≤20且x为整数时，y=40，∴w=（40－16）×20=480元，∴当x=34时，w最大，最大值为578元．答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．考查内容：一次函数的图象与性质；一次函数的应用；二次函数的最值问题命题意图：本题考查综合利用一次函数的图象与性质解决问题、并构造二次函数求最大利润问题的能力，注意分类思想和数形结合思想的运用，难度较大.24．分析：（1）连接OD，可证△CDP≌△CBP，可得∠CDP=∠CBP，由∠CBP+∠BEC=90°，∠BEC=∠OED=∠ODE，可证出∠ODP=90°，则DP是⊙O的切线；（2）先求出CE长，在Rt△DEF中可求出EF长，证明△DPE∽△FPD，由比例线段可求出EP长，则OP可求出．解析：（1）连接OD，∵正方形ABCD中，CD=BC，CP=CP，∠DCP=∠BCP=45°，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴∠CDP=∠CBP．∵∠BCD=90°，∴∠CBP+∠BEC=90°．∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∠OED=∠BEC，∴∠BEC=∠OED=∠ODE，∴∠CDP+∠ODE=90°，∴∠ODP=90°，∴DP是⊙O的切线．（2）∵∠CDP=∠CBE，∴tan∠CBE＝tan∠CDP∴DE=2．∵∠EDF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠F+∠DEF=90°，∴∠F=∠CDP，∴DF=4，∴EF∴OE∵∠F=∠PDE，∠DPE=∠FPD，∴△DPE∽△FPD，设PE=x，则PD=2x，考查内容：相似三角形的性质与判定；三角函数；圆周角推论；切线的性质.命题意图：本题是圆与三角形综合题，考查学生用方程的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，难度较大.25．分析：（1）结论：∠ECO=∠OAC．理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理解决问题即可．（2）①只要证明△COM≌△AON（ASA），即可解决问题．②分两种情形：如图3－1中，当点N在CA的延长线上时，如图3－2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．分别求解即可解决问题．解析：（1）结论：∠ECO=∠OAC．理由：如图1中，连接OE．∵∠BCD=90°，BE=ED，BO=OA，∴CE=ED=EB=12BD，CO=OA=OB，∴∠OCA=∠A．∵BE=ED，BO=OA，∴OE∥AD，OE=12AD，∴CE=EO．∴∠EOC=∠OCA=∠ECO，∴∠ECO=∠OAC．故答案为：∠OCE=∠OAC．（2）OM=ON．理由：如图2中，∵OC=OA，DA=DB，∴∠A=∠OCA=∠ABD，∴∠COA=∠ADB．∵∠MON=∠ADB，∴∠AOC=∠MON，∴∠COM=∠AON．∵∠ECO=∠OAC，∴∠MCO=∠NAO．∵OC=OA，∴△COM≌△AON（ASA），∴OM=ON．②如图3－1中，当点N在CA的延长线上时，∵∠CAB=30°=∠OAN+∠ANO，∠AON=15°，∴∠AON=∠ANO=15°，∴OA=AN=m．∵△OCM≌△OAN，∴CM=AN=m．在Rt△BCD中，∵BC=m，∠CDB=60°，∴BD=233m．∵BE=ED，∴CE=12BD=33m，∴EM=CM+CE=m+33m．如图3－2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．∵∠AON=15°，∠CAB=30°，∴∠ONH=15°+30°=45°，∴OH=HN=12 m．∵AH=32m，∴CM=AN=32m－12m．∵EC=33m，综上所述，满足条件的EM 的值为考查内容：全等三角形的性质与判定；直角三角形的性质．命题意图：本题是三角形综合题，考查学生用全等三角形的性质与判定思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，难度较大．26．，即可求解；（2）确情况，分别求解即可．（2）抛物线的对称轴为x=2，则点C （2，2），设点P （2，m ），设直线PB 的解析式为y=sx+t ，将点P 、B 的坐标代入并解得：s=－13直线PB 的解析式为：y=－13∵CE ⊥PE ，故直线CE 解析式中的k 将点C 的坐标代入直线CE 的解析式，解得：m=5或－3，故点P（2，－3）或（2，5）．提示：由（2）确定的点F的坐标得：②当CP=PF时，同理可得：③当CF=PF时，同理可得：m=±2（舍去2），考查内容：二次函数的图象与性质；勾股定理；一次函数的图象与性质．命题意图：本题是二次函数综合题，考查学生用函数的思想及分类讨论的思想问题，学会利用函数的思想解决问题，属于中考压轴题，难度较大．。
精品解析：2022年吉林省长春市中考数学真题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
【解析】
【分析】由圆内接四边形的性质得 ，再由圆周定理可得 ．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键
7.如图，在 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】 关于x的方程 有两个相等的实数根，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时， ；有两个相等的实数根时， ；没有实数根时， ；熟练掌握知识点是解题的关键．
11.《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________．
【详解】设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，
∵六边形MNGHPO是正六边形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FNM=60°，
∴△FMN是等边三角形，
同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，
2024年吉林省中考数学试卷及答案解析
2024年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（）A．2B．1C．0D．﹣12．（2分）长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达2040000000m3．数据2040000000用科学记数法表示为（）A．2.04×1010B．2.04×109C．20.4×108D．0.204×10103．（2分）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同D．主视图、左视图与俯视图都相同4．（2分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．（x﹣2）2＝﹣1B．（x﹣2）2＝0C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝25．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（﹣4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（2，4）D．（4，2）6．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC 的度数是（）A．50°B．100°C．130°D．150°二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为．8．（3分）因式分解：a2﹣3a＝．9．（3分）不等式组的解集是．10．（3分）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是．11．（3分）正六边形的一个内角的度数是°．12．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为．13．（3分）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为．14．（3分）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为m2（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中．16．（5分）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线．某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．17．（5分）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC．18．（5分）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴．（2）在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．20．（7分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．21．（7分）中华人民共和国2019﹣2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．（以上数据引自《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》）根据以上信息回答下列问题：（1）2019﹣2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？（2）直接写出2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数．（3）下列判断合理的是（填序号）．①2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势．②2019﹣2023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．22．（7分）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm，凳面的宽度为y mm，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm16.519.823.126.429.7凳面的宽度y/mm115.5132148.5165181.5【分析数据】如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？24．（8分）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】＝．（1）如图①，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，垂足为点D．若CD＝2，BD＝1，则S△ABC （2）如图②，在菱形A′B′C′D′中，A′C′＝4，B′D′＝2，则S＝．菱形A′B′C′D′（3）如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH，垂足为点O．＝；若EG＝5，FH＝3，则S四边形EFGH与a，b的关系，并证明你的猜想．若EG＝a，FH＝b，猜想S四边形EFGH【理解运用】如图④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，点P为边MN上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图；（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN，KM于点R，I；（ⅱ）以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段PM于点I′；（ⅲ）以点I′为圆心，IR长为半径画弧，交前一条弧于点R′，点R′，K在MN同侧；（ⅳ）过点P画射线PR′，在射线PR′上截取PQ＝KN，连接KP，KQ，MQ．的值．请你直接写出S四边形MPKQ六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，AD是△ABC的角平分线．动点P 从点A出发，以的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）．（1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当点E与点C重合时，求t的值．（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．26．（10分）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．（1）直接写出k，a，b的值．（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）．Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围．Ⅲ．若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为﹣m+1．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．2024年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．【分析】将选项代入，得出运算结果即可．【解答】解：（﹣3）×2＝﹣6，故A选项错误；（﹣3）×1＝﹣3，故B选项错误；（﹣3）×0＝0，故C选项错误；（﹣3）×（﹣1）＝3，故D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．2．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：2040000000＝2.04×109．故选：B．【点评】此题主要考查了科学记数法—表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题关键．3．【分析】根据三视图的定义求解即可．【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同，故选：A．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．4．【分析】根据一元二次方程根的判别式对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、（x﹣2）2＝﹣1化简为方程x2﹣4x+5＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，此方程没有实数根，不符合题意；B、（x﹣2）2＝0，化简为x2﹣4x+4＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝4，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，∴此方程有两个相等实数根，符合题意；C、（x﹣2）2＝1，化简为方程x2﹣4x+3＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、方程（x﹣2）2＝2，化简为可化为x2﹣4x+2＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，∴Δ＝42﹣4×1×2＝16﹣8＝8＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．5．【分析】根据题意得到OA＝4，OC＝2，根据矩形的性质得到BC＝OA＝4，根据旋转的性质得到OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4，于是得到点B′的坐标为（2，4）．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2），∴OA＝4，OC＝2，∵四边形ABCO是矩形，∴BC＝OA＝4，∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，∴OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4，∴点B′的坐标为（2，4）．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键．6．【分析】根据BE∥AD，得出∠ADC＝∠BEC＝50°，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案．【解答】解：∵BE∥AD，∴∠ADC＝∠BEC＝50°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故选：C．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．【分析】根据分式的值为正数，即分式方程值大于0，且分子大于0，得到分母大于0，求出x的范围，确定出x的值即可．【解答】解：∵＞0，1＞0，∴x+1＞0，即x＞﹣1，则满足条件x的值可以为0（答案不唯一）．故答案为：0（答案不唯一）．【点评】此题考查了分式的值，认真审题，抓住关键的字眼，是正确解题的出路．8．【分析】直接把公因式a提出来即可．【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．故答案为：a（a﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．9．【分析】首先分别求得x﹣2＞0与x﹣3＜0的解集，继而求得不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＞2，由②得：x＜3，∴不等式组的解集是：2＜x＜3．故答案为：2＜x＜3．【点评】此题考查了不等式组的求解方法．此题比较简单，注意掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．10．【分析】根据两点之间线段最短得出即可．【解答】解：其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题考查了线段的性质，解决本题的关键是准确理解两点之间，线段最短．11．【分析】利用多边形的内角和公式180°×（n﹣2）计算出六边形的内角和，然后再除以6即可．【解答】解：由题意得：180°×（6﹣2）÷6＝120°，故答案为：120．【点评】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形内角和公式．12．【分析】先证EF∥AD，得出EF是△AOD的中位线，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AD＝BC，∵∠FEO＝45°，∴∠FEO＝∠DAC，∴EF∥AD，∵点E是OA的中点，∴点F是OD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝AD，∴EF＝BC，即，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．13．【分析】在Rt△AB'C中，由勾股定理得出方程即可．【解答】解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得，AC2+B'C2＝AB'2，即x2+22＝（x+0.5）2，故答案为：x2+22＝（x+0.5）2．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．14．【分析】根据扇形的面积公式（），用扇形BOC的面积减去扇形AOD的面积即可求出阴影部分的面积．【解答】解：阴影部分的面积为：＝＝11π（m2）．故答案为：11π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解答本题的关键．三、解答题（每小题5分，共20分）15．【分析】先将原式化简，再代入数据进行计算即可．【解答】解：（a+1）（a﹣1）+a2+1＝a2﹣1+a2+1＝2a2∵，∴原式＝2×（）2＝6．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，正确进行计算是解题关键．16．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种，∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】根据AAS证明△AOE≌△BOC即可得出结论．【解答】证明：∵点O是AB的中点，∴AO＝OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠E＝∠BCO，又∠AOE＝∠BOC，∴△AOE≌△BOC（AAS），∴AE＝BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明△AOE≌△BOC是解题的关键．18．【分析】设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，由题意得：，解得：，答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19．【分析】（1）根据轴对称的性质结合网格作出图形即可；（2）根据切线的性质结合网格作出图形即可．【解答】解：（1）如图①所示，直线GH与直线EF即为所求；（2）如图②所示，直线AB即为所求．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，切线的判定与性质，熟记轴对称变换的性质以及切线的判定与性质是解题的关键．20．【分析】（1）根据待定系数法求解；（2）把R＝3Ω代入（1）中的解析式求解．【解答】解：（1）设I＝，由题意得：U＝RI＝9×4＝36，∴这个反比例函数的解析式为I＝；（2）电阻R为3Ω时，I＝＝12（A）．【点评】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．21．【分析】（1）用2023年人均可支配收入减去2019年人均可支配收入即可；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）根据折线统计图判断即可．【解答】解：（1）39218﹣30733＝8485（元），答：2019﹣2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低多8485元；（2）把2019﹣2023年全国居民人均可支配收入从小到大排列，排在中间的数是2021年人均可支配收入，所以2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数是35128元；（3）由折线统计图可知，2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，故①说法正确；因为2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，所以这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②说法错误．故答案为：①．【点评】本题考查了中位数、条形统计图和折线图的综合运用，从题图中获取信息以及读懂题意是解决问题的关键．22．【分析】过点C作CF⊥AB，先说明四边形CDBF是矩形，再在Rt△ACF、Rt△DBA中，利用直角三角形的边角间关系求出AF的长，最后利用线段的和差关系得结论．【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．∴四边形CDBF是矩形．∴BF＝CD，CF＝BD＝873m．∵CF∥BD∥AE，∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．在Rt△ACF中，∵tan∠ACF＝，∴AF＝tan∠ACF•CF＝tan37°×873≈0.75×873≈654.75（m）．∴CD＝FB＝AB﹣AF＝873﹣654.75＝218.25≈218.3（m）．答：吉塔的高度CD约为218.3m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定等知识点是解决本题的关键．五、解答题（每小题8分，共16分）23．【分析】（1）根据待定系数法求解；（2）把y的值代入列方程．【解答】解：（1）它们在同一条直线上，设y＝kx+b，则：，解得：，所以这条直线所对应的函数解析式为y＝5x+33；（2）当y＝213mm时，213＝5x+33，解得：x＝36，所以当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36mm．【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．24．【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据菱形的面积公式计算即可；＝S△EFG+S△EHG＝EG•FO+EG•HO＝EG•FH，代入即可得解；（3）结合图形有S四边形EFGH（4）先证明△MNK是直角三角形，由作图可知：∠QPM＝∠MKN，即可证明KM⊥PQ，再利用（3）中结论即可计算．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CD＝2，∴AD＝CD＝2，∴AC＝4，＝AC•BD＝2．∴S△ABC故答案为：2．'A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，（2）∵在菱形S菱形A'B'C'D'＝A'C'•B'D'＝4，∴S菱形A'B'C'D故答案为：4．（3）∵EG⊥FH，＝EG•FO，S△EHG＝EG•HO，∴S△EFG＝S△EFG+S△EHG＝EG•FO+EG•HO＝EG•FH＝，∴S四边形EFGH故答案为：．＝，猜想：S四边形EFGH＝EG•FO，S△EHG＝EG•HO，证明：∴S△EFG＝S△EFG+S△EHG＝EG•FO+EG•HO＝EG•FH＝．∴S四边形EFGH（4）根据尺规作图可知：∠QPM＝∠MKN，∵在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，∴MK2＝MN2+KN2，∴△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°，∴∠NMK+∠MKN＝90°，∵∠QPM＝∠MKN，∴∠NMK+∠QPM＝90°，∴MK⊥PQ，∵PQ＝KN＝4，MK＝5，＝MK•PQ＝10．∴根据（3）中结论得S四边形MPKQ【点评】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、尺规作图—作一个角等于已知角、勾股定理逆定理等知识，整体难度不大，掌握以上知识是解题关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．【分析】（1）根据角平分线+平行线可得△APQ是等腰三角形，再用特殊角即可求AQ的长；（2）当E、C重合时，AE＝2AQ，即2t＝3，求t值即可；（3））①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分时四边形PQCF．③当点P在DB上，重合部分时直角三角形PQC，分类讨论画出图形计算求解即可．【解答】解：（1）如图，过Q作QH⊥AD于点H，∵PQ∥AB，∴∠BAD＝∠QAP，∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠QAP，∴QA＝QP，∴△APQ是等腰三角形．∵QH⊥AP，∴AH＝AP＝，∵∠CAD＝30°，∴AQ＝＝t，故△APQ是等腰三角形，AQ＝t．（2）如图所示，E、C重合时图形．∵△PQE是等边三角形，∴QE＝QP，由（1）得QA＝QP，∴AE＝2AQ，即2t＝3，∴t＝．（3）①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，∵∠PAQ＝30°，∴PG＝AP＝t，∵△PQE是等边三角形，∴QE＝PQ＝AQ＝t，∴S＝QE•PG＝．由（2）知当点EC重合时，t＝，∴S＝（0＜t≤）．②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分时四边形PQCF．在Rt△FCE中，CE＝2t﹣3，∠E＝60°，∴CF＝CE•tan60°＝（2t﹣3），＝（2t﹣3）•（2t﹣3）＝（2t﹣3）2，∴S△PCE﹣S△PCE＝﹣（2t﹣3）2＝﹣t2+6t﹣（＜t＜2）．∴S＝S△P AC③当点P在DB上，重合部分时直角三角形PQC，S＝CQ•CP＝（t﹣1）•（t﹣1）＝（t﹣1）2，（2≤t≤4）．综上所述，S＝．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识点和分类讨论思想是解题关键．26．【分析】（1）根据题意将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，得k＝1；将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3得a＝1，b＝﹣2；（2）I：由（1）可写出一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2﹣2x+3，根据一次函数和二次函数的增减性即可得到：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为：x≤0或x≥1；Ⅱ：ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4时无解可转为：抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点的问题，而y＝x2﹣2x+3的顶点为（1，2），过（4，11），根据图象分析可得当t＜2或t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点；Ⅲ：根据x P＝m，x Q＝﹣m+1，可得点P、Q关于直线对称，当x＝1，y最小值＝1﹣2+3＝2，当x＝0时，y最大值＝3，因为当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2，故①当，根据图象分析可知：；②当，根据图象分析可知：，从而得到m的取值范围．【解答】（1）解：∵x＝﹣2＜0，∴将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，得：﹣2k+3＝1，解得：k＝1，∵x＝2＞0，x＝3＞0，将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3得：，解得：；故：a＝1，b＝﹣2，k＝1．（2）解：I：∵k＝1，a＝1，b＝﹣2，∴一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2﹣2x+3，当x≥0时，y＝x2﹣2x+3，其对称轴为直线x＝1，开口向上，∴x≥1时，y随着x的增大而增大；当x＜0时，y＝x+3，k＝1＞0，∴x＜0时，y随着x的增大而增大，综上，x的取值范围：x＜0或x≥1；Ⅱ：∵ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4时无解，∴ax2+bx+3＝t，在0＜x＜4时无解，∴问题转化为抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，∵对于y＝x2﹣2x+3，当x＝1时，y＝2，∴顶点为（1，2），如图：∴当t＝2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时正好一个交点，∴当t＜2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点；当x＝4，y＝16﹣8+3＝11，∴当t＝11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x≤4时正好一个交点，∴当t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，∴当t＜2或t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，即：当t＜2或t≥11时，关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解；Ⅲ：∵x P＝m，x Q＝﹣m+1，∴，∴点P、Q关于直线对称，当x＝1，y＝1﹣2+3＝2，最小值＝3，当x＝0时，y最大值∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2时，y＝3，x＝﹣1时，y ＝2，∴①当如图：由题意得：，∴1≤m≤2；②当，如图：由题意得：，∴﹣1≤m≤0，综上：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．【点评】本题考查了待定系数法求函数表达式、函数增减性、方程与函数的关系、不等式与函数的关系等知识，画出图象，根据方程、不等式与函数的关系在图象上分析是解题的关键。
2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)
2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)1.化简-(-1)的结果为()答案：B。
12.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度XXX销售整车辆，数据用科学记数法表示为()答案：B。
7.006×1043.不等式2x−1>3的解集是()答案：B。
x>24.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是()答案：B.5.如图，四边形ABCD内接于⊙x，D重合)连接xx.点P为边AD上任意一点(点P不与点A，若∠x=120°，则∠xxx的度数可能为()答案：D。
65°6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.若设这个数是x，则所列方程为()答案：C。
3x+2x+7x+x=337.√9-1=______．答案：B。
28.因式分解：x2−2x=______．答案：x(x-2)9.计算：x−1/x−1=______．答案：110.若关于x的一元二次方程x2+3x+x=有两个相等的实数根，则c的值为______．答案：3/411.如图，已知线段xx=2xx，其垂直平分线CD的作法如下：(1)分别以点A和点B为圆心，xxx长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD．上述作法中b满足的条作为b______1.(填“>”，“<”或“=”)答案：=12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)，点P在直线y=x上，且AP=BP，过点P作直线CD交x轴于点E.若PE=2，则PE的坐标为______．答案：(2,2)增长量÷去年业务量×100%。
根据以上数据，回答以下问题：1)2016年快递业务量为______亿件；2)2018年快递业务量比2017年增长了______亿件；3)2019年快递业务量为______亿件；4)2020年快递业务量比2019年增长了______亿件；5)2016年至2017年，快递业务量的增长速度______；6)2018年至2020年，快递业务量的增长速度______．过25天完成全部接种，而乙地需要30天完成全部接种.已知甲地每天接种人数比乙地多200人，求甲地前5天平均每天接种人数.解：设甲地每天接种人数为x，乙地每天接种人数为x，则40万=5万+25x+(30−25)x40万=30x+5万解得：x=x+200则甲地前5天接种人数为5x=5(x+200)=5x+1000，平均每天接种人数为(5x+1000)/5=x+200，代入第二个式子得40万=30x+5万解得：x=所以甲地前5天平均每天接种人数为+200=人.解析】去括号与添括号是一种基本的代数运算，常用于化简和变形式子。
2020年吉林省长春市中考数学试卷及答案解析
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A=BDAB B．cos A=ABAD C．tan A=ADBD D．sin A=ADAB6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC ．∠ACD ＝∠DCB D ．2∠B +∠ACD ＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，2），AB ⊥x 轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且AP ＝2PC ，函数y =k x（x ＞0）的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是（ ）A ．0＜k ≤2B ．23≤k ≤3C ．23≤k ≤2D ．83≤k ≤4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 元．10．（3分）分解因式：a 2﹣4＝ ．11．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．13．（3分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ̂，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（4，2）．若抛物线y =−32（x ﹣h ）2+k （h 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且CD =12AB ，则k 的值为 ．。