建立数学模型的原则
同等学力申硕统考-机械工程考点汇总
机械工程控制基础
1. 控制系统的基本性能要求：快速性、稳定性、准确
性。
2. 若系统的数学模型表达式是线性的，则这种系统是
线性系统，线性系统最重要的特性是可以运用叠加
原理。
3. 方块图是系统中各环节的功能和信号流向的图解表
示方法，由基本方块、相加点和分支点构成。
4. 方块图包含了与系统动态性能有关的信息，与系统
的物理结构无关。
5. 方块图简化过程遵守的两条基本原则：
（1） 前向通道的传递函数保持不变
（2） 各反馈回路的传递函数保持不变
6. 数学模型是系统动态特性的数学表达式。建立数学
模型是分析、研究一个动态系统特性的前提，一个
合理的数学模型应能以最简化的形式准确地描述系
统的动态特性。
7. 校正有串联校正和并联校正。串联校正按校正环节
的性能可分为：增益校正、相位超前校正、相位滞
后校正、相位超前-滞后校正。并联校正按校正环节
并联方式分为：反馈校正、顺馈校正。
8. 反馈校正是从系统某一环节的输出中取出信号，经
过校正网络加到该环节前面某一环节的输入端，并
与那里输入信号叠加，从而改变信号的变化规律，
实现对系统进行校正的目的。
9. 信息是指一切能表达一定含义的信号、密码、情报
和消息。
10. 信息传递，是指信息在系统及过程中以某种关系动
态的传递过程。
11. 系统一般指的是能完成一定任务的一些部件的组合。
12. 控制系统是指系统的可变输出能按照要求由输入或
控制输入进行调节的系统。按是否存在反馈，分为
开环控制系统和闭环控制系统。
13. 信息的反馈就是把一个系统的输出信号不断直接的
或经过中间变换后全部或部分地返回到输入端，再
输入到系统中去。如果反馈回去的信号与原系统的
输入信号的方向相反或相位相差180°，则称为负
反馈；如果方向或相位相同，则称之为正反馈。
14. 反馈控制是指在某一行动和任务完成之后，将实际
结果进行比较，从而对下一步行动的进行产生影响，
起到控制的作用。
15. 频率响应是系统对正弦输入的稳态响应。
建构模型概述
建构模型概述
模型是人们为了某种特定目的而对认识对象所作的一种简化的概括性的描述，这种描述可以是定性的，也可以是定量的，有的借助于具体的、形象化的实物，有的则以抽象化的形式表现出来。也就是说，模型是出于某一目的，对原型进行概括性的、简化性的描述，它没有包括原型的所有特征，但是能反映出原型的本质特征。
模型建构是指利用生活中的材料、工具或者各种符号、文字、方程式等，把抽象或不易观测的事物概括描述出来的一种活动。在生物学教学中，模型建构就是指用一定的物质形式或思维形式构建生物模型，使得生物事实直观化、简单化，帮助学生理解和构建概念，也为学生认识事物提供新的思路和方法。
模型的形式很多，主要包括物理模型、概念模型、数学模型三种模型。
1物理模型、概念模型和数学模型
物理模型是指以实物或者图画的形式，直观地表达认识对象的特征的模型。它最显著的特点是先将难以直接观测的结构或过程简化，把握其本质特征，按照一定的比例放大或缩小，将这些特征通过物理模型形象化、直观化表达，如真核细胞三维结构模型、减数分裂中染色体变化的模型、DNA双螺旋结构模型等。
概念模型是指用文字、图线和符号等将有联系的名词或过程连接起来，将生命现象和活动规律阐明清楚的一种较为抽象的模型，主要有流程图模型和概念图模型两种类型。流程图模型主要表示的是生物过程的先后顺序。概念图则是表示概念与概念之间的关系，将不同知识联系起来，形成知识网络。概念模型用途广泛，特别是概念图模型在生物教学中有着重要的作用，在生物教学内容的每一章节都可以用概念图来表示，的它可以厘清知识间的内在联系，构建完整的知识体系，有利于学生的理解。
数学模型是指用字母、数字及符号建立起来的等式或不等式以及图像、图表等描述事物特征及內在联系的数学表达式，它可以描述生命现象，用逻辑推理、运算、求解等来研究生命现象、解决生物学问题。数学模型可以将生物中的实际问题用数学的方式表现出来，运用数学知识结合生物规律揭示事物的本质特征。如种群增长的“J”型曲线和“S”型曲线，酶活性受温度和pH的影响关系图，种群密度的计算等，都是运用了数学模型。
飞机模型数学
飞机模型数学
标题：精美飞行器模型数学建模指南
导言：
数学在飞机模型制作中扮演着重要的角色。本文将介绍一些基本的数学概念和技巧，帮助您制作出精美的飞行器模型。请注意，本文所涉及的数学概念和方法均为一般性原则，并不具体参考现实飞机模型的名称和引用。
一、比例尺和尺寸计算
1. 比例尺选择：
采用适当的比例尺来制定飞机模型的尺寸是至关重要的。比例尺代表了飞行器模型的缩小比例，通常以分数形式表示。常见的比例尺包括1:72、1:48、1:32等，您可以根据自己的需要选择适合的比例尺。
2. 长宽高计算：
在确定比例尺后，计算模型的实际尺寸十分重要。将飞机模型的长度、宽度和高度乘以比例尺的分子部分，即可得到实际的尺寸。
二、几何形状与设计
1. 平面几何：
通过运用平面几何概念，可以精确计算飞机模型的各个部分之间的夹角，以及边长和斜边的关系。在构建机翼时，可以使用三角函数来计算机翼的角度和长度。
2. 曲面几何：
飞机模型的曲面造型往往需要数学中的曲线和曲面知识。通过使用贝塞尔曲线、样条曲线等数学概念，可以实现对模型的流线型和外观的优化。
三、力学与飞行原理
1. 力学模型：
飞机模型需要考虑到其运动学和动力学特性。通过使用牛顿力学和其他相关的机械原理，可以计算和优化模型的重心、稳定性、推力和气动特性等。
2. 气动力学： 当飞机模型涉及到飞行时，需要考虑到气动力学的影响。通过运用流体力学的原理，可以分析模型在空气中的飞行特性，如升力、阻力和侧向力等。
结论：
数学在飞机模型制作中起着重要的辅助作用。通过了解和应用数学原理，可以更好地进行模型设计、尺寸计算和力学分析。希望本文所介绍的数学概念和技巧能帮助您制作出令人惊叹的飞行器模型。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
四大模型对应算法原理及案例使用教程：
一、优化模型
线性规划
线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操
非线性规划
如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划
整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划
求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划
目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。目标规划一般数学表达式：
新高考下高中数学建模思维和能力培养
高考研究
ＧＡＯＫＡＯＹＡＮＪＩＵ２ 数学学习与研究 ２０２１３３新高考下高中数学建模思维和能力培养新高考下高中数学建模思维和能力培养
◎郑芬芬 （福建省南安国光中学，福建 泉州 ３６２３２１）
【摘要】通过分析、整合近年来高考数学题型可以发现，
数学题型大都以生活为背景．基于新高考背景，培养学生的
建模思维和能力非常重要，可以从根本上提升高中生的综
合能力．本文结合自身教学实践，简述了数学建模的含义及
遵循的原则，分析了新高考背景下培养学生建模思维的必
要性以及培养高中生建模能力的意义，并简述了建模思维
在高中数学的应用现状，最后对培养高中生的数学建模思
维和能力进行了深入论述，以希望在有效教学方法的推动
下可以达到培养学生建模思维和能力的目的，可以从根本
上提升高中生的综合数学能力．【关键词】新高考背景；高中数学；建模思维和能力；教
学研究【基金项目】本文系南安市基础教育教学改革专项课题
“基于信息技术的农村高中数学建模教学模式的研究”（项
目编号：ＮＪＹＺ２０２０－０９）研究成果
福建省教育科学“十三五”规划２０２０年度立项课题“以
高考评价体系为导向的数学建模试题的命制研究”（项目编
号：ＦＪＪＫＸＢ２０－９２６）研究成果
引 言
数学建模教学方式在我国教育领域已经推广了很多
年，本文研究建模在我国教学领域应用实践效果发现，自数
学建模开展以来，学生就自主地将理论与现实数学问题结
合起来，激发了学生的学习热情，提升了学生对数学知识的
理解力．这种意识是我国数学教学中的巨大进步．新时期背
景下，以往的教学方法已经无法满足学生的个性化需求，教
师只有加强知识和生活的联系才能深化学生的理解，才能
提升学生解决实际问题的能力．本文立足高中数学，从培养
学生数学建模思维和能力视角出发，对文章主题进行深入
阐述．
一、数学建模的含义及遵循的原则（一）含义
数学建模的根本在于让学生透过现象抓住事物的本
质，通过科学计算、逻辑推理的假定等工具探寻最终的结果．
《数学建模》课程标准
《数学建模》课程标准
一、课程性质与目的要求
数学建模课程是各专业的选修课，是数学科学联系实际的主要途径之一。通
过该课程的学习,要使学生系统地获得数学建模的基本知识、基本理论和方法，
培养和训练学生的数学建模素质；要求学生具有熟练的计算推导能力，逻辑推理
能力，空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力；同时为使学生
适应现代社会奠定必要的基础。
要求掌握：
(一)理论知识方面
1. 根据理论结合实际的原则，要求学生重点掌握数学模型的建立和求解方法。
2. 基本掌握的内容： 初等模型、数学规划模型、微分方程模型、稳定性模型、
图论与网络模型、离散模型、概率统计模型、随机模拟等理论。
(二)实践技能方面
要求学生重点掌握数据处理的一些基本方法，能够使用 Lindo/Lingo 求解各
种规划问题，使用 matlab 求解方程（组）、微分方程（组），进行数据拟合，参
数估计、假设检验、回归分析(特别是多项式回归)等概率问题。
二、学习用书
教材：
《数学建模与数学实验》 ， （校本教材） ，谢珊主编，2010年
主要参考书：
《数学模型》（第三版），姜启源等编，高等教育出版社，2004年
《数学建模与数学实验》 ，张珠宝主编，高等教育出版社，2005年
三、课程内容与考核标准
（一）数学建模简介
1, 教学目的与要求
了解数学模型的概念。 掌握数学建模的一般步骤。 掌握人口增长模型的建立。
掌握 matlab函数拟合的方法。
2，教学内容
（1）数学模型的概念及数学建模意义。
（2）介绍全国大学生数学建模竞赛。
（3）数学建模示例：人口增长模型。
3，考核要求
l 了解数学模型的概念及数学建模意义
l 会建立人口增长模型，并且能够用 matlab进行函数拟合，确定人口增长
模型中的参数。
（二）matlab入门
1，教学目的与要求
了解 matlab 的数组、矩阵、函数的定义与使用。掌握 matlab 程序设计的基
精心打造小学数学课堂教学的“四个板块”
精心打造小学数学课堂教学的“四个板块”
新课程标准明确指出“义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展”。由此可见,新课程改革的核心理念是“一切为了促进学生的发展”。这一点突出体现在《新课程标准》在学科教学理念上,尤其强调依托学科教学,促进学生思维发展,即课堂教学中“过程与方法目标”的研究与确定。如何在传统教学模式的基础上去探究更适合学生思维发展,有利于学生“学会学习”的更为优化的教学模式,成为每一个学科教师面临的最迫切需要探究的问题。数学作为发展小学生逻辑思维、空间知觉等各方面能力的学科,在学生终身发展方面起着至关重要的作用。新课程标准特别强调数学的发展性,把发展作为数学课程的出发点和落脚点。赞可夫的发展性教学理论提出“发展是教学的终极目标”,而巴班斯基在其最优化教学理论中更进一步明确阐述了优化教学结构对于学生发展的必要性。因此对小学数学新授课课堂教学模式进行探究,正是全面落实课程标准的具体体现,也是依托学科教学实现学生全面、可持续发展的实践探索。
“复习—新授—练习—总结”这种传统的教学模式之所以能够长期存在,是因为其教学流程符合学生的认知规律,弊端是重教材轻学生,重知识轻能力,重结果轻过程,重讲授轻探索。“四板块”教学模式是在继承传统教学模式流程的基础上,以新课程标准理念为指导,以学生发展为宗旨,以提高课堂教学实效为目的提出的。经过一年多的探索实践发现,这种教学模式在发展学生数学能力,提高学生数学素养方面,其应用性和实效性非常显著。
第一板块、创设情境,做好学习准备。
(一)关于创设情境
托尔斯泰曾说过:“成功的教学所需要的不是强制,而是激发学生的学习兴趣。”一堂课,能否引起学生的兴趣,调动学生的积极性,课堂导入设计的作用不可低估。小学生的数学学习,应从“学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。所以说,情境创设是数学课堂必不可少的一部分,恰当的情境就是数学课堂的“母体”。正如一些专家所说的那样,拥有一个好的情境这节数学课就成功了一半。教师要充分考虑教学内容,遵循学生的心理特点,有意识地、巧妙地创设各种各样、生动具体的情境,在现实生活与数学学习、具体问题与抽象问题之间架设桥梁,激发兴趣,激活思维,启动内驱力,使学生掌握知识,训练思维,提高数学能力。
数学模型建立
在测量不确定度评定中，建立数学模型也称为测量模型化，目的是要建立满足测量不确定度评定所要求的数学模型，即建立被测量Y和所有各影响量X间的函数关系，其一般形式可写为:
Y=f(X1，X2，„，Xn)
可以说，建立数学模型是进行测量不确定度评定最关键的第一步，也是许多初学者在进行测量不确定度评定时遇到的第一个困难。
《测量不确定度表示指南》(GUM)在摘要介绍测量不确定度评定步骤时，首先就提到要建立数学模型，并说:“The function f should contain every quantity, including all corrections
and correction factors, that can contribute a significant component of uncertainty
to the result of measurement. ”。其意是数学模型f中应包含所有对测量结果的不确定度有影响的修正值和修正因子。也就是说，数学模型中应包含所有应该考虑的影响量，而每一个影响量将对测量结果贡献一个值得考虑的不确定度分量。因此一个好的数学模型，其中所包含的影响量和此后不确定度评定中所考虑的每一个不确定度分量应该是一一对应的。这样建立起来的数学模型，既能用来计算测量结果，又能用来全面地评定测量结果的不确定度。
要找出每一个影响量与被测量之间的函数关系，往往是很困难的，有时简直不可能得到两者关系的解析表达式。于是许多初学者往往将测量中用来获得被测量的计算公式作为数学模型而列出。例如在各种测量中，最经常采用的方法之一是比较测量。将被测量值y和参考标准所提供的标准量值s相比较，通过测量两者之差Δ可以计算出被测量y。于是在已经发表的各种测量不确定度评定的文章中，经常见到将y=x+Δ作为数学模型的情况。但在进行不确定度评定时，则又往往脱离数学模型而重新考虑各个不确定度分量。这样的数学模型对测量不确定度评定实际上毫无帮助。
数学思维整理
第六章
数学模型的概念
建立模型必须具备两个条件：（1）模型和原型之间有相似关系；（2）模型在科学认识过程中是被研究客体的代表者，可以从对模型的研究中获得关于原型的信息。
模型的特征：（1）目的性.每一个模型，都是人们为了解决某一实际问题，自觉使用相应的工具建构而成的．因此，目的性是模型的一个基本特征． （2）清晰性.在建构模型时，有意识地舍弃了原型的一些不合目的性的非本质属性，从而使事物的本质属性在模型中比在原型中体现得更为清晰，也更便于研究和运用．（3）准确性.模型必须准确反映原型的本质属性 （4）经济性
数学模型及其类型：数学模型按其性能可以分为概念性数学模型、方法性数学模型和结构性数学模型．数学模型按其性能还可分为应用性数学模型、概括性数学模型和抽象性数学模型.
以函数为例，我们对这三类数学模型加以说明：
例：设一学生大学毕业后的四年中，用于买书的钱分别为：196，231，268，302元，根据这四年他用于买书的钱，试估计他第五年用于买书的钱．
这4年该生用于买书的钱每年分别增加35，37，34元，基本上每年增加35元．可以认为时间与书费基本上是成线性关系的．这就可求出时间和书费之间的一个函数关系为
用这一函数关系，可以估计出该生第五年用于买书的钱为337元．这一函数式是一个应用性数学模型．这一类的函数式又被概括为一般的线性函数 ykxb=+ ,它就是一个概括性数学模型。 而各种各样不同种类的函数，通过进一步的抽象，就得到了函数的概念．那么，函数概念就是一个抽象性数学模型．函数概念就是一个抽象性数学模型．
上述三类模型，实际上正是数学与其他学科及生产实际之间、纯数学和应用数学之间互相关系的缩影．
数学模型的特征：数学模型具有一般模型的性质，更为基本的性质是高度的抽象性和经济性．
数学模型建构步骤1．掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式。2．确定所研究原形的本质属性，从而抓住问题的实质。3．在数学概念、语言表述、符号等基础上，建立数学模型。4．对数学模型运演和检验。
建立数学模型的方法、步骤
§16.3
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类
[
学习目标
]
1.
能表述建立数学模型的方法、步骤；
2.
能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理
性、技艺性和局限性等特点；；
3.
能表述数学建模的分类；
4.
会采用灵活的表述方法建立数学模型；
5.
培养建模的想象力和洞察力。
一、建立数学模型的方法和步骤
—
般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分
析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律
,
建立的模型常有明确的物理或现实意义
.
§
16.2
节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研
究对象视为一个
“
黑箱
”
系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以
此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好
的模型。这种方法称为系统辨识
(System Identification)
．将这两种方法结合起来也是常用的
建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．
可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决
定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该
以机理分析方法为主．当然
,
若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得
到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性
,
譬如仅用来做输出预报，
则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的
知识．以下所谓建模方法只指机理分析。
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从
§
16.2
节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的
—
般步骤，如图
16-5
所示．
图
16-5
建模步骤示意图
模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、
数据等，尽量弄清对象的特征