我和北大学生的解题笔记(数列和数列压轴题)(答案)
高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》基础测试题附答案解析
【高中数学】数学《数列》复习知识点
一、选择题
1．若na为等差数列，nS是其前n项和，且11223S，则6tan()a的值为（ ）
A．3 B．3 C．33 D．33
【答案】B
【解析】
【分析】
由11162aaa,即可求出6a 进而求出答案．
【详解】
∵11111611221123aaSa ，∴623a，62tantan33a，
故选B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n项和性质即可，属于基础题型.
2．已知数列na是1为首项，2为公差的等差数列，nb是1为首项，2为公比的等比数列，设nnbca，12...,(*)nnTcccnN，则当2019nT时，n的最大值是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设知21nan，12nnb，由1121124222nnnbbbnTaaaaaaan和2019nT，得1222019nn，由此能求出当2019nT时n的最大值．
【详解】
naQ是以1为首项，2为公差的等差数列，21nan，
nbQ是以1为首项，2为公比的等比数列，12nnb，
1121121242211221241221nnnnbbbnTcccaaaaaaa 121242nn 12212nn 122nn，
2019nTQ，1222019nn，解得：10n．
则当2019nT时，n的最大值是9． 故选A．
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.
3．对于实数,[]xx表示不超过x的最大整数.已知正项数列na满足112nnnSaa，*nN，其中nS为数列na的前n项和，则1240SSSL（ ）
高考数学压轴专题专题备战高考《数列》全集汇编含答案解析
【高中数学】数学高考《数列》试题含答案
一、选择题
1．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( )
A．3 971 B．3 972 C．3 973 D．3 974
【答案】D
【解析】
【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n组有n个数且最后一个数为n2，则前n组共1+2+3+…+n12nn个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…
则第n组有n个数且最后一个数为n2，
则前n组共1+2+3+…+n12nn个数，
设第2019个数在第n组中，
则120192120192nnnn＜，
解得n＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，
故选：D．
【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n项和公式，属中档题．
2．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn，则该数列第2019项是（ ）
A．1019892 B．1020192 C．1119892 D．1120192
【答案】C 【解析】
【分析】
由观察可得22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn项数为21,1,2,4,8,...,2,...k，注意到101110242201922048，第2019项是第12个括号里的第995项.
高考压轴专题—数列、函数大题压轴汇编解析
数列、函数大题压轴汇编
1、对于定义域为D的函数yfx，如果存在区间,mnD，其中mn，同时满足：①fx在,mn内是单调函数；②当定义域是,mn时，fx的值域也是,mn.
则称函数fx是区间,mn上的“保值函数”，区间[,]mn称为“保值区间”.
（1）求证：函数22gxxx不是定义域0,1上的“保值函数”；
（2）若函数2112,0fxaRaaax是区间,mn上的“保值函数”，求a的取值范围；
（3）对（2）中函数()fx，若不等式2()2afxx£对1x³恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）函数xxxg2)(2在]1,0[x时的值域为]0,1[，……………2分
不满足“保值函数”的定义，
因此函数xxxg2)(2不是定义域]1,0[上的“保值函数”． ………………4分
（2）因为函数xaaxf2112)(在],[nm内是单调增函数，
因此nnfmmf)(,)(， …………………………………………6分
因此nm,是方程xxaa2112的两个不相等的实根，
等价于方程01)2(222xaaxa有两个不相等的实根 …………………8分
由04)2(222aaa解得23a或21a． …………………………10分
（3）xaaxfa12)(22，22212()|()|2222aaafxxafxxxx，
即为,212,12222xxaaxxaa对1x恒成立．…………………………………………12分
令xxxh12)(，易证)(xh在),1[单调递增，同理xxxg21)(在),1[单调递减．
因此，1)1()(,3)1()(maxmingxghxh．…………………………………14分
【强烈推荐】数列压轴题训练50道(精华,含答案)
第 1 页 共 32 页 数列大题训练50题
1 ．数列{na}的前n项和为nS，且满足11a，2(1)nnSna.
（1）求{na}的通项公式； （2）求和Tn =1211123(1)naana.
2 ．已知数列}{na，a1=1，点*))(2,(1NnaaPnn在直线0121yx上.
（1）求数列}{na的通项公式；
（2）函数)2*,(1111)(321nNnanananannfn且，求函数)(nf最小值.
3 ．已知函数xabxf)( (a，b为常数)的图象经过点P（1，81）和Q（4，8）
(1) 求函数)(xf的解析式；
(2) 记an=log2)(nf,n是正整数，nS是数列{an}的前n项和，求nS的最小值。
4 ．已知y＝f(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8)＝15．
求nS＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的表达式．
5 ．设数列na的前n项和为nS，且1nnScca，其中c是不等于1和0的实常数.
（1）求证: na为等比数列；
（2）设数列na的公比qfc，数列nb满足111,,23nnbbfbnNn，试写出1nb 的通项公式，并求12231nnbbbbbb的结果.
6 ．在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*)，满足向量1nnAA与向量nnCB共线，且点Bn(n,bn) (n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上.
(1)试用a1,b1与n来表示an;
(2)设a1=a,b1=-a,且12
7 ．已知数列{}na的前三项与数列{}nb的前三项对应相同，且212322aaa…12nna8n对任意的nN*都成立，数列1{}nnbb是等差数列．
（1）求数列{}na与{}nb的通项公式；
压轴题02 数列压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题02数列压轴题
题型/考向一：多选、填空综合
题型/考向二：数列通项公式与数列求和题型/考向三：数列与其他知识综合
一、等差数列、等比数列的基本公式
1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
3.等差数列的求和公式：
Sn＝n（a1＋an）
2＝na1＋n（n－1）
2d；
4.等比数列的求和公式：
Sn
＝a1（1－qn）
1－q＝a1－anq
1－q，q≠1，
na1，q＝1.
二、等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am
＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a2k.
2.前n项和的性质(m，n∈N*)：对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，
S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).
三、数列求和的常用方法
热点一分组求和与并项求和
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn
＝an，n为奇数，
bn，n为偶数，且{an}，{bn}为等
差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.
热点二裂项相消法求和
裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1
（2n－1）（2n＋1）
＝1
21
2n－1－12n＋1；
1
n（n＋k
）＝1
k1
n－1
n＋k.
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
2n
（2n－1）（2n＋1－1）＝1
2n－1－1
2n＋1－1；
n＋1
n2（n
＋2）2＝1
41
n
2－1
（n＋2）2.
(3)分母含无理式1
n＋n
＋1＝n＋1－n.热点三错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，
可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；
(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出
新高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编及答案
新高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编及答案
一、数列多选题
1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第*nnN次得到数列1，123,,,,kxxxx，2；…记1212nkaxxx，数列na的前n项为nS，则（ ）
A．12nk B．133nnaa C．2332nann D．133234nnSn
【答案】ABD
【分析】
根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.
【详解】
由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k
第n次得到数列1，123,,,,kxxxx，2 此时21nk
所以12nk，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得： 123433339339273392781aaaa
123333(*)nnanN
用等比数列求和可得33132nna
则 121331333322nnna23322n
又 3313333392nna22393332222nn
所以 133nnaa，故B项正确； 由B项分析可知331333122nnna
即2332nann，故C项错误.
123nnSaaaa
23133332222nn231331322nn
高考数学压轴专题专题备战高考《数列》难题汇编附答案解析
高中数学《数列》期末考知识点
一、选择题
1．等比数列na的前n项和为nS，若32S，618S，则106SS等于（ ）
A．-3 B．5 C．-31 D．33
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解106SS的值，得到答案.
【详解】
由题意，等比数列na中32S，618S，
可得313366316(1)1121(1)11181aqSqqaqSqqq，解得2q=，
所以101105105516(1)11133(1)11aqSqqqaqSqq.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
2．数列{}na：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21nnnaaa.记该数列{}na的前n项和为nS，则下列结论正确的是（ ）
A．201920202Sa B．201920212Sa
C．201920201Sa D．201920211Sa
【答案】D
【解析】
【分析】
根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果.
【详解】 因为
1233243546521()()()()()nnnnSaaaaaaaaaaaaaaLL
2221nnaaa，
所以201920211Sa，选D.
【点睛】
本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.
3．数列na满足12a，对于任意的*nN，111nnaa，则2018a（ ）
高考数学压轴专题新备战高考《数列》难题汇编含答案解析
《数列》知识点汇总
一、选择题
1．在等差数列na中，3a，15a是方程2650xx的根，则17S的值是（ ）
A．41 B．51 C．61 D．68
【答案】B
【解析】
【分析】
由韦达定理得3156aa，由等差数列的性质得117315aaaa，再根据等差数列的前n项和公式求17S.
【详解】
在等差数列na中，3a，15a是方程2650xx的根，
3156aa.
11731517171717651222aaaaS.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n项和公式，属于基础题.
2．数列na满足12a，对于任意的*nN，111nnaa，则2018a（ ）
A．-1 B．12 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过递推公式111nnaa，找出此周期数列的周期，再计算2018a的值.
【详解】
111nnaaQ，2111111111nnnnaaaa，
32111111nnnnaaaa，故有3nnaa，
则20183672221111aaaa 故选：A
【点睛】
本题考查根据数列递推公式求数列各项的值，属于中档题.
3．函数fx对任意正整数,ab满足条件fabfafb，且12f，(2)(4)(6)(2018)(1)(3)(5)(2017)ffffffffL的值是（ ）
A．1008 B．1009 C．2016 D．2018
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合fabfafb求解24620181352017ffffffffL 的值即可.
【详解】
在等式fabfafb中，令1b可得：112fafaffa，
高考数学高考数学压轴题 数列多选题专项训练分类精编及答案(1)
一、数列多选题
1．已知数列na满足0na，121nnnanaan(Nn)，数列na的前n项和为nS，则（ ）
A．11a B．121aa
C．201920202019Sa D．201920202019Sa
答案：BC
【分析】
根据递推公式，得到，令，得到，可判断A错，B正确；根据求和公式，得到，求出，可得C正确，D错.
【详解】
由可知，即，
当时，则，即得到，故选项B正确；无法计算，故A错；
，所以，则
解析：BC
【分析】
根据递推公式，得到11nnnnnaaa，令1n，得到121aa，可判断A错，B正确；根据求和公式，得到1nnnSa，求出201920202019Sa，可得C正确，D错.
【详解】
由121nnnanaan可知2111nnnnnannnaaaa，即11nnnnnaaa，
当1n时，则121aa，即得到121aa，故选项B正确；1a无法计算，故A错；
1221321111102110nnnnnnnnnnSaaaaaaaaaaaa，所以1nnSan，则201920202019Sa，故选项C正确，选项D错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：
由递推公式求通项公式的常用方法：
（1）累加法，形如1nnaafn的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如1nnafna的数列，求通项时，常用累乘法求解；
（3）构造法，形如1nnapaq（0p且1p，0q，n+N）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；
（4）已知na与nS的关系求通项时，一般可根据11,2,1nnnSSnaan求解.
2．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)．再将扇形面积设为bn (n∈N*)，则（ ）
推荐序(张金良)我和北大学生的解题笔记
推荐序
数列是高中数学的重要内容，又是高等数学学习的必备基础.数列在高考中有着重要的地位，高考对数列的考查比较全面，一方面考查等差、等比数列的基础知识和基本技能，另一方面常和函数、不等式、方程、解析几何等相关知识交汇在一起，并结合导数和向量等内容进行综合考查.不仅如此，在高校的三位一体、自主招生测试以及各级各类竞赛考试中，数列也有着举足轻重的地位.比如数列与数论相结合，数列构造与数列创新题等等，都让数列成为了有着极大区分度的一类题型.
前不久，我在调研过程中得知苏卫军与他的学生合作完成了一本书，内容与数列和数列压轴题有关.这本书给我留下了美好的印象. 虽然市面上关于数列的书籍比较多，但能够把数列压轴题分解为22个专题，并能写得比较透彻的书还是很少见的.这本书中的内容很充实，不但有例题的分析、解析，还有题后的反思和拓展等.书中的内容立足高考，又不拘泥于高考，能站在系统的高度看待问题的本质，相信本书能给优秀的同学以非常大的启发和帮助.
苏卫军是我工作室的学科带头人.我工作室成立于2015年，并招收了一批学科带头人.经过了两年多时间的培养，这批学科带头人都取得了长足的进步,苏卫军就是其中比较杰出的一位.他在今年初被评为了优秀学科带头人,同时还被评为了浙江省教坛新秀、省青年岗位能手等.苏老师有着扎实的专业功底和过硬的教学能力，教学成效显著：在2017年刚毕业的这一届，他任教的班级有5人被北大录取，1人被清华录取；同时有多人在全国高中数学联赛中获浙江赛区一、二等奖. 这本书是苏老师写作的第一本书，其实也是他加入我工作室两年多来研究成果的一个缩影.希望将来能看到苏老师写作出更多、更好的书.
张金良
于 2017年9月