高中数学必修二 专题3.1 随机事件的概率(1)
第三章 概率
3.1 随机事件的概率
1．简单随机抽样
（1）随机事件
一般地,我们把在条件S下,______________的事件,叫做相对于条件S的必然事件,简称必然事件.
在条件S下,______________的事件,叫做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.
______________与______________统称为相对于条件S的确定事件,简称确定事件.
在条件S下______________的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机事件.
确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母ABC，，表示.
（2）频率和概率
对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据.要获得随机事件发生的概率,最直接的方法就是进行试验（观察）.
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数An为事件A出现的频数,称事件A出现的比例______________为事件A出现的频率.
一般地，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.这个常数越接近于1,表明事件A发生的频率越大，频数就越多，也就是它发生的可能性越大；反过来，事件发生的可能性越小，频数就越小，这个常数也就越小.因此，我们可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小.
对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率()nfA随着试验次数的______________稳定于概率()PA，因此可以用()nfA来估计概率()PA.
注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.
2．概率的意义
（1）概率的正确理解：随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性. （2）决策中的概率思想：如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计学中重要的统计思想方法之一.学科-网
3．概率的基本性质
（1）事件的关系与运算
①对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作BA(或AB).与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件.
②如果__________，且__________，那么称事件B与事件A相等,记作AB.
③若某事件发生当且仅当__________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作AB（或AB）.与两个集合的并集类比,可用下图表示：
④若某事件发生当且仅当__________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作AB（或AB）.与两个集合的交集类比,可用下图表示：
⑤若AB为_____________，即AB，那么称事件A与事件B互斥.其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生，可用下图表示：
⑥若AB为_____________，AB为_____________，那么称事件A与事件B互为对立事件.其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，可用下图表示：
（2）概率的几个基本性质 ①由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即__________________.
②在每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为1，从而必然事件的概率为________.
③在每次试验中，不可能事件一定不出现，因此它的频率为0，从而不可能事件的概率为________.
④当事件A与事件B互斥时,AB发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和,从而AB的频率()()()nnnfABfAfB.则概率的加法公式为：如果事件A与事件B互斥，则_____________.
⑤若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件,1()PAB.再由加法公式得_____________.
K知识参考答案：
1．（1）一定会发生 一定不会发生 必然事件 不可能事件
可能发生也可能不发生
（2）()AnnfAn 增加
3．（1）②BA AB ③事件A发生或事件B发生 ④事件A发生且事件B发生 ⑤不可能事件
⑥不可能事件 必然事件 （2）①0()1PA ②1 ③0 ④()()()PABPAPB
⑤1PAPB
K—重点 频率与概率的区别与联系，事件间的关系，概率的加法公式
K—难点 频率与概率的区别与联系，互斥事件与对立事件的区别与联系
K—易错 在应用概率的加法公式时，不要忽略应用的前提是涉及的事件必须是互斥事件
1．事件类型的判断
判断一个事件的类型，即判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，先看条件，再看在该条件下所研究的事件是一定发生（必然事件）、不一定发生（随机事件），还是一定不发生（不可能事件），即可得到事件的类型. 【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；
（2）某人给其朋友打电话,却忘记他朋友的电话号码的最后一个数字,就随意在键盘上按了一个数字,恰巧是他朋友的电话号码；
（3）同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和为13；
（4）同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和不小于2.
【解析】（1）（2）可能发生也可能不发生,是随机事件；
同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和的范围是[2,12],因此“向上一面的两个点数之和为13”不可能发生,因此（3）是不可能事件；
“向上一面的两个点数之和不小于2”一定发生,因此（4）是必然事件.
2．考查互斥事件、对立事件的概念
互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生,但不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件同时不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立；反之两个事件对立,它们一定互斥.
【例2】某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购.记事件A为“只买甲产品”，事件B为“至少买一种产品”，事件C为“至多买一种产品”，事件D为“不买甲产品”，事件E为“一种产品也不买”.判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.
【解析】利用互斥事件和对立事件的概念进行判断.
（1）由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件.
（2）事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件.
（3）事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件.
（4）若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件.
（5）若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足，所以二者不是互斥事件. 3．由频率估计随机事件的概率
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.
【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） x 30 25 y
10
结算时间（分钟/人） 1
1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率）
【解析】（1）由已知得251055,35,15,20yxyxy，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计，其估计值为1151.5302252.5203101.9100(分钟).
【名师点睛】本题考查概率、统计的基础知识，考查运算能力、分析问题的能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知251010055%,35,yxy从而解得,xy，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.
4．概率加法公式的应用
概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．学=科网
求复杂事件的概率通常有两种方法：（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
【例4】如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;学科=网
（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.
【名师点睛】（1）先得出空气质量优良的天数,因为这个人哪一天到达该市的机会均等,故可用概率的加法公式求解；（2）先得出此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的天数即可求出此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.
5．利用概率知识解决实际生活中的问题
利用概率知识解决生活中的问题，只要是考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力，可用样本的频率近似估计总体的概率，或由此列出方程求解.
【例5】某水产试验场实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化8513尾鱼苗，根据概率的定义解答下列问题：
（1）这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
【专题】必修3 专题3.1.1 随机事件的概率及概率的意义-高一数学人教版(解析版)
第三章 概率
3.1.1、3.1.2 随机事件的概率及概率的意义
一、选择题
1．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，以下理解正确的是
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市明天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定淋雨
D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
【答案】D
【解析】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，则本市明天降雨的可能性比较大．因此，明天出行不带雨具淋雨的可能性很大．故选D．
2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则
A．m>n B．m
【答案】D
【解析】用随机模拟方法求得的事件的概率是估计值，是不精确的，所以m是n的近似值，故选D．
3．从6个男生，2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是
A．3个都是男生 B．至少有1个男生
C．3个都是女生 D．至少有1个女生
【答案】D
【解析】由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1个男生参选．
4．下列现象是随机现象的个数为
①某路在单位时间内发生交通事故的次数；
②冰水混合物的温度是0°C；
③三角形的内角和为180°；
④一个射击运动员每次射击的命中环数；
⑤n边形的内角和为（n–2）•180°．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】①某路中单位时间内发生交通事故的次数不定，是随机事件；②冰水混合物的温度是0°C，是必然事件；③三角形的内角和为180°，是必然事件；④一个射击运动员每次射击的命中环数，是随机事件；⑤n边形的内角和为（n–2）•180°，是必然事件；所以①④是随机事件．故选A．
5．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
【答案】B
6．下面四个事件：
①明天天晴；
②常温下，锡条能够熔化；
③自由落下的物体作匀加速直线运动；
【专题】必修3 专题3.1.1 随机事件的概率及概率的意义-高一数学人教版(原卷版)
第三章 概率
3.1.1、3.1.2 随机事件的概率及概率的意义
一、选择题
1．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，以下理解正确的是
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市明天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定淋雨
D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则
A．m>n B．m
3．从6个男生，2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是
A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生
4．下列现象是随机现象的个数为
①某路在单位时间内发生交通事故的次数；
②冰水混合物的温度是0°C；
③三角形的内角和为180°；
④一个射击运动员每次射击的命中环数；
⑤n边形的内角和为（n–2）•180°．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
6．下面四个事件：
①明天天晴；
②常温下，锡条能够熔化；
③自由落下的物体作匀加速直线运动；
④函数y=ax（a>0，且a≠1）在定义域上为增函数．
其中随机事件的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列事件中，不可能发生的事件是
A．三角形的内角和为180° B．三角形中大边对的角也较大
C．锐角三角形中两个锐角的和小于90° D．三角形中任意两边之和大于第三边
8．下列试验能构成事件的是
A．掷一次硬币 B．射击一次
C．标准大气压下，水烧至100°C D．摸彩票中头奖
9．随机事件A发生的概率的范围是
A．P（A）>0 B．P（A）<1 C．0
10．某人将一枚均匀的骰子连抛了10次，其中2点朝上出现了6次，若用A表示“两点朝上”这一事件，则事件A的
A．概率为35 B．频率为35 C．频率为6 D．概率接近于0.6
人教A版高中数学必修3《第三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.1.2 概率的意义》_1
概率的意义
一、教材内容分析
本节为人教版必修3第三章3.1随机事件的概率中的第二小节3.1.2概率的意义，通过本节的学习，学生能正确理解概率。本节在内容和结构上起着承上启下的作用，乘上：通过了解概率的意义，明白概率与第二章统计的联系；启下：通过了解概率的重要性，引出后两节概率的计算。
二、教学目标
1.知概念识与技能：正确理解概率的意义；
了解概率在实际问题中的应用，增强学习兴趣；
进一步理解概率统计中随机性与规律性的关系。
2.过程与方法：通过对生活中实际问题的提出，学生掌握用概率的知识解释分析问题，着重培养学生观察、比较、概括、归纳等思维能力，并进一步培养将实际问题转化为数学问题的数学建模思想。
3.情感态度与价值观：鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，激发学生的学习兴趣。
三、学情分析
学生已经学习了3.1随机事件的概率再加上初中对概率的了解，所以学生的认知起点较高，理解本节内容不难。作为新授课，学生对于概率在实际问题中的应用具有较高的学习兴趣，但是用概率的知识解释问题的能力仍需进一步提高。教师在本节讲授需要注意理论联系实际，同时注意培养学生的科学素养。
四、教学重难点
重点：概率的正确理解及在实际中的应用
难点：实际问题中体现随机性与规律性之间的联系，如何用概率解释这些具体问题。
五、教学策略
1.教学方法：讲授法，讨论法，引导探究法
2.教学手段：多媒体教学工具
六、教学过程
教学环节 教学内容（师生活动） 设计意图
①温故知新 教师检查候课情况，学生一起回答：
1.随机事件的概率的定义；
2.概率和频率的关系. 复习上节内容，加身对概率概念的理解，为本节的学习做好铺垫.
②情景引入—有趣的概率 教师——提出问题1.假设每个人的生日在365天内都是随机的，那么两个人，生日在同一天的概率是多少？
学生——思考回答.
教师——收集展示全班同学的生日.
高中数学第十章概率之随机事件与概率(精讲)(必修第二册)(教师版含解析)
10.1 随机事件与概率(精讲)
思维导图
考法一 有限样本空间与随机事件
【例1-1】(2021·全国高一)给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天天津市要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；
对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；
对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；
对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.故选：C．
【例1-2】(2020·全国高一)袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.
(1)若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间；
(2)若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】m表示第一次摸出球的编号，用n表示第二次摸出球的编号，则样本点可用,mn，,1,2,3,4mn表示.
(1)若第一次摸出的球不放回，则mn，此时的样本空间可表示为
1,2,1,3,1,4,2,1,,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3，共有12个样本点.
(2)若第一次摸出的球放回，则m，n可以相同.此时试验的样本空间可表示为,,1,2,3,4mnmn，常见考法
人教版高中数学必修三 3.1.1《随机事件的概率》要点梳理+跟踪检测
人教版高中数学必修三 第三章 统计
3.1.1《随机事件的概率》要点梳理
【学习目标】
在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
【要点梳理·夯实知识基础】
1．事件的概念及分类
事
件
确定
事件
不可
能事
件 在条件S下，______________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
必然
事件
在条件S下，________的事件，叫做相对于条件S的必然事件
随机
事件 在条件S下______________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件
[答案]一定不会发生 一定会发生 可能发生也可能不发生
2.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A出现的频率．
[答案]事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝nAn
3．概率
(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.
(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．
[答案](1)可能性 (2)概率P(A) 频率fn(A)
【考点探究·突破重点难点】
考点一：事件类型的判断
1.下列事件:①明天下雨;②3>2;③航天飞机发射成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某艘商船遭遇索马里海盗;⑥任给x0∈R,x0+2=0.
其中随机事件的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:D
2.下列说法正确的是( )
A.某人购买福利彩票一注,中奖500万元,是不可能事件 B.三角形的两边之和大于第三边,是随机事件
C.没有空气和水,人类可以生存下去,是不可能事件
D.科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现,是必然事件
高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率2.随机事件的概率计算
高中数学讲义
1 思维的发掘 能力的飞跃
版块一：事件及样本空间
1．必然现象与随机现象
必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；
随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．
2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．
一次试验是指事件的条件实现一次．
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；
在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；
在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．
通常用大写英文字母ABC，，，来表示随机事件，简称为事件．
3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用表示．
版块二：随机事件的概率计算
1．如果事件AB，同时发生，我们记作AB，简记为AB；
2．一般地，对于两个事件AB，，如果有()()()PABPAPB，就称事件A与B相互独立，简称A与B独立．当事件A与B独立时，事件A与B，A与B，A与B都是相互独立的．
3．概率的统计定义
一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率mn，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为()PA．
从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()PA满足：0()1PA≤≤．
当A是必然事件时，()1PA，当A是不可能事件时，()0PA．
4．互斥事件与事件的并
互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．
由事件A和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或AB，都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和），记作CAB．
若CAB，则若C发生，则A、B中至少有一个发生，事件AB是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合．
高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率1.事件及样本空间
B，简记为AB； 2．一般地，对于两个事件AB，，如果有()()()PABPAPB=，就称事件A与B相互独立，简称A与B独立．当事件A与B独立时，事件A与B，A与B，A=． 若CAB=，则若C发生，则A、B中至少有一个发生，事件A+ 若事件12nAAA，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()nnPAAAPAPAPA=+++． 事件“12nAAA”发生是指事件12nAAA，，，中至少有一个发生．中至少有一个发生． 6．互为对立事件
高中数学讲义
1 思维的发掘 能力的飞跃 版块一：事件及样本空间 1．必然现象与．必然现象与随机现象随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象． 2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．为试验的结果． 一次试验是指事件的条件实现一次．一次试验是指事件的条件实现一次． 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件随机事件． 通常用大写通常用大写英文英文字母ABC，，，来表示随机事件，简称为事件．来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．件．它包含所有可能发生的基本结果． 所有基本事件构成的集合称为所有基本事件构成的集合称为基本事件空间基本事件空间，常用W表示．表示． 版块二：随机事件的版块二：随机事件的概率概率计算 1．如果事件AB，同时发生，我们记作A与B都是相互独立的．都是相互独立的． 3．概率的．概率的统计统计定义定义 一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率mn，当n很大时，总是在某个很大时，总是在某个常数常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为()PA． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()PA满足：0()1PA≤≤． 当A是必然事件时，()1PA=，当A是不可能事件时，()0PA=． 4．互斥事件与事件的并．互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或AB，都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和），记作CABB是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合．件组成的集合． 5．互斥事件的概率．互斥事件的概率加法加法公式：公式： 若A、B是互斥事件，有()()()PABPAPB= 知识内容 板块一.事件及样本空间
高中数学必修2《概率》知识点讲义
第三章 概率
一．随机事件的概率
1、基本概念：
不可能事件确定事件事件必然事件随机事件
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示。
2、概率与频数、频率：
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)= Ann 为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值Ann，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。
二．概率的基本性质
1、各种事件的关系：
（1）并（和）事件
（2）交（积）事件
（3）互斥事件
（4）对立事件
2、概率的基本性质：
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
（2）P(E)=1(E为必然事件）；
（3）P(F)=0(F为必然事件）；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
（5）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率2.随机事件的概率计算 2
高中数学讲义
1 思维的发掘 能力的飞跃
版块一：事件及样本空间
1．必然现象与随机现象
必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；
随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．
2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．
一次试验是指事件的条件实现一次．
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；
在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；
在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．
通常用大写英文字母ABC，，，来表示随机事件，简称为事件．
3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用表示．
版块二：随机事件的概率计算
1．如果事件AB，同时发生，我们记作AB，简记为AB；
2．一般地，对于两个事件AB，，如果有()()()PABPAPB，就称事件A与B相互独立，简称A与B独立．当事件A与B独立时，事件A与B，A与B，A与B都是相互独立的．
3．概率的统计定义
一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率mn，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为()PA．
从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()PA满足：0()1PA≤≤．
当A是必然事件时，()1PA，当A是不可能事件时，()0PA．
4．互斥事件与事件的并
互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．
由事件A和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或AB，都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和），记作CAB．
若CAB，则若C发生，则A、B中至少有一个发生，事件AB是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合．
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作者：秦老师 特级教师（武汉新创教育内部资料）
作者：秦老师 特级教师（武汉新创教育内部资料）
1 概率-随机事件的概率
关键词： 概率 频率 随机事件 互斥事件 对立事件
学习目标：理解概率的意义，掌握概率的一些基本概念，会求古典概型。
知识点讲解
1．随机事件的概念
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；
（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2．随机事件的概率
事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。
由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3．事件间的关系
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；
4．事件间的运算
（1）并事件（和事件）
若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。
注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：
P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）；且有P（A+A）=P（A）+P（A）=1。
（2）交事件（积事件）
若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。
5．古典概型
（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A；
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n1。如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=nm。