[考研类试卷]考研数学二(二重积分)模拟试卷4.doc
2023年考研数学(二)真题(试卷+答案)
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码：302）（考试时间：上午8:30-11:30）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B 铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的． （1）函数1ln(e )1y x x =+-的渐近线为（ ） （A ）e y x =+. （B ）1e y x =+. （C ）y x =.（D ）1ey x =-.（2）0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）（A）),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩（B）)1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨+->⎪⎩（C）),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩（D）)1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩（3）设数列{}n x ，{}n y 满足1112x y ==，1sin n n x x +=，21n n y y +=，当n →∞时（ ） （A ）n x 是n y 的高阶无穷小 （B ）n y 是n x 的高阶无穷小 （C ）n x 是n y 的等价无穷小 （D ）n x 是n y 的同阶但非等价无穷小（4）微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞有界，则,a b 的取值范围为（ ） （A ）0,0a b <> （B ）0,0a b >>（C ）0,0a b => （D ）0,0a b =<（5）由确定，则（ ）（A ）()f x 连续，()0f '不存在（B ）()0f '存在，()f x '在0x =处不连续 （C ）()f x '连续，()0f ''不存在 （D ）()0f ''存在，()f x ''在0x =处连续 （6）若函数()121()ln f dx x x +∞+=⎰αα在若0=αα处取得最大值，则0α是( )（A ）1ln ln 2-（B ）lnln2- （C ）1ln 2（D ）ln2（7）设函数2()()x f x x a e =+.若()f x 无极值点，但有拐点，则a 的取值范围为( )（A ）[0,1) （B ）[1,)+∞ （C ）[1,2) （D ）[2,)+∞（8）已知A ，B 都为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*⎛⎫⎪⎝⎭A E OB 为( )（A ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A B B A OB A（B ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A B A B OB A （C ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B A B A OA B（D ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B A A B OA B（9）设二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--，则该二次型的规范形为（ ）（A ）2212y y + （B ）2212y y - （C ）2221234y y y +-（D ）222123y y y +-（10）设121221,31αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、122150,91ββγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、既可由12αα、线性表示，也可由12ββ、线性表示，则γ为（ ） （A ）33,4R k k ⎛⎫⎪⎪⎝⎭∈⎪（B ）35,10R k k ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭∈（C ）-11,2R k k ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭∈（D ）15,8R k k ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭∈⎪二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分． （11）设22()ln(1),()cos x f x ax bx x g x e x =+++=-，且()f x 与()g x 为等价无穷小，则ab = . （12）设()y x =⎰，则此曲线的弧长为 .（13）已知(,),2zz z x y e xz x y =+=-，求22z x∂=∂ .（14）23532x y y =+确定()y y x =，则()y y x =在1x =处的法线斜率为 . （15） 函数)(x f 满足⎰==-+200)(,)()2(dx x f x x f x f ，则⎰=31)(dx x f .（16）方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，已知0111412a a a =，则 11120a a a b = .三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本题目满分10分） 设曲线)(:x y y L =)(e x >经过点)0,(2e ，L 上任一点),(y x P 到y 轴距离等于该点处的切线在y 轴上的截距. （1）求)(x y ;（2）在L 上求一点使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小并求此最小面积.（18）（本题满分12分） 求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值.（19）（本题满分12分）已知平面区域{(,)|01}D x y y x =≤≤≥（1）求平面区域D 的面积; （2）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积.（20） (本题满分12分)设平面有界区域D位于第一象限，曲线22221,2,,x y xy x y xy y +-=+-==0y =围成，求221.3Ddxdy x y +⎰⎰ （21） (本题满分12分)函数()f x 在[,]a a -上具有二阶连续导数. 证明： （1）若(0)0f =, 则存在(,)a a ξ∈-使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-. （2）若()f x 在(,)a a -取极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a a η''+-.（22）(本题满分12分)已知112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对所有x 均成立.（1）求矩阵A ;（2）求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得1P AP -=Λ.参考答案一、选择题二、填空题 （11）【答案】2-（12）【答案】43π（13）【答案】32-. （14）【答案】 119-（15）【答案】12（16）【答案】8 三、解答题（17）【答案】（1）x x x x y 2ln )(+-=，（2）)21,(2323e e ，3min e S =（18）【答案】极小值为2(,2)2e f e k π-=-.（19）【答案】（1）ln(1（2）(1)4ππ-（20）. （21）【答案】（Ⅰ）泰勒公式在0=x 处展开； （Ⅱ）泰勒公式在极值点处展开.（22）【答案】（1）111211011A⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭;（2）410301121P⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭，212⎛⎫⎪Λ=-⎪⎪-⎝⎭.。
[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1.doc
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（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
8 (1998年试题，二)设数列xn满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )．
（A）若xn发散，则yn必发散
（B）若xn无界，则yn必有界
（C）若xn有界，则yn必为无穷小
（D）若 为无穷小，则yn必为无穷小
[考研类试卷]考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“ ”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )。
（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数
（B）F(x)是奇函数 (x)是偶函数
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）非充分也非必要条件
6 (2003年试题，二)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且 =∞，则必有( )。
（A）ann对任意n成立
（B）bnn对任意n成立
（C）极限 ancn不存在
（D）极限 bncn不存在
7 (1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．
35 (2002年试题，一)
36 (1999年试题，十)设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明数列{an}的极限存在．
9 (2002年试题，二)设y=y(x)是二阶常系数微分方程yn+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数 的极限( )．
考研数学二(解答题)模拟试卷204(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷204(题后含答案及解析)题型有：1.1．正确答案：令f(χ)＝arctanχ，由微分中值定理得涉及知识点：函数、极限、连续2．设(2E—C—1B)AT=C—1，其中E是4阶单位矩阵，AT是4阶矩阵A 的转置矩阵，且求矩阵A。
正确答案：题设矩阵等式两边左乘矩阵C，得C(2E—C—1B)AT=CC—1，即(2C—B)AT=E。
因2C—B=，｜2C—B｜=1≠0，故矩阵2C—B可逆，于是A=[(2C—B)—1]T=[(2C—B)T]—1 涉及知识点：矩阵3．已知函数y=e2x+(x+1)ex是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=cex 的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．正确答案：a=一3，b=2,c=一1．y=C1e2x+C2ex+xex 涉及知识点：常微分方程4．设f(x)连续，且∫01f(tx)dt=+1，求f(x)．正确答案：f(x)=Cx+2．涉及知识点：常微分方程5．求．正确答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿－莱布尼兹公式得涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用6．设F(χ)＝，试求：(Ⅰ)F(χ)的极值；(Ⅱ)曲线y＝F(χ)的拐点的横坐标；(Ⅲ)∫-23χ2F′(χ)dχ．正确答案：(Ⅰ)由F′(χ)＝，即知F(χ)在χ＝0处取极小值0，且无其他极值．(Ⅱ)F〞(χ)＝2(1－4χ4)，注意到仅当χ＝±时F〞(χ)＝0，且在χ＝±两侧F〞(χ)变号即知χ＝±为曲线y＝F(χ)的拐点的横坐标．(Ⅲ)注意到χF2′(χ)为奇函数，因此涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用7．设求A和A－1+E的特征值．正确答案：A的特征多项式得到A的特征值为1(二重)和－5．A－1的特征值为1(二重)和－1／5．A－1+E的特征值为2(二重)和4／5．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化8．设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中φ(x)=在(-∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．正确答案：当x＜1时，y’-2y=2的通解为y=C1e2x-1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x-1；当x＞1时，y’-2y=0的通解为y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1，解得C2=1-e-2，y=(1-e-2)e2x，补充定义y(1)=e2-1，则得在(-∞，+∞)内连续且满足微分方程的函数涉及知识点：高等数学9．∫(arccosx)2dx正确答案：涉及知识点：高等数学部分10．求二重积分(x一y)dxdy，其中D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2，y ≥x}。
考研数学二(解答题)模拟试卷89(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷89(题后含答案及解析) 题型有：1.1．求常数m，n，使得正确答案：由得m+2=6，解得m=4，n=-5．涉及知识点：函数、极限、连续2．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，证明：存在ξ∈(0，1)，使得[f(1)一f(0)]=(1+ξ2)f’(ξ)．正确答案：令F(x)=arctanx，F’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(0，1)，涉及知识点：高等数学3．已知函数y=e2x+(x+1)ex是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=cex 的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．正确答案：a=一3，b=2,c=一1．y=C1e2x+C2ex+xex 涉及知识点：常微分方程4．求下列不定积分：正确答案：(Ⅰ)令，则再用上面的三角形示意图，则得(Ⅱ)令x=，于是dx=asec2tdt，=asect，则再利用上面的三角形示意图，则有其中C1=C－lna．(Ⅲ) 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用5．已知f(x)=，求f’(1)．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学6．设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得＝ξf′(ξ)．正确答案：令φ(χ)＝f(b)lnχ－f(χ)lnχ＋f(χ)lna，φ(a)＝φ(b)＝f(b)lna．由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝－f′(χ)lnχ＋f′(χ)lna，所以[f(b)－f(ξ)]－f′(ξ)(lnξ－lna)＝0，即＝ξf′(ξ)．涉及知识点：中值定理与一元函数微分学的应用7．设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f”(ξ)=3．正确答案：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+，取x0=0，x=1代入，f(1)=f(0)+f”(0)(1—0)2+f’”(η1)(1—0)3，η1∈(0，1)．①取x0=0，x=一1代入，f(一1)=f(0)+f”(0)(-1一0)2+f”‘(η2)(一1—0)3，η2∈(一1，0)．②①一②:f(1)一f(一1)=[f”‘(η1)+f”‘(η2)]=1—0．③因为f”‘(x)存[一1．1]上连续．刚存存m和M．使得m≤f”‘(η1)≤M，m≤f”‘(η2)≤M ③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，∈[-1，1]，使得f”‘(ξ)=3．涉及知识点：一元函数微分学8．设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．正确答案：因为BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B，所以B为n阶实对称矩阵．对于任意的实n维列向量x，有xTBx=xT(λE+ATA)x=λxT+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)．当x≠0时，xTx＞0，(Ax)T(Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意实n维列向量x≠0，都有xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)＞0．即B为正定矩阵．解析：本题主要考查正定矩阵的判定方法．只要证明B为对称矩阵，且对任意的实n维列向量x，都有xTBx＞0即可．知识模块：二次型9．设D由抛物线y=x2，y=4x2及直线y=1所围成．用先x后y的顺序，将I=化成累次积分．正确答案：区域D如图8．18所示，将D分成x≥0与x≤0两部分才是先积x后积y的类型，于是用分块积分法即得涉及知识点：二重积分10．变换二次积分的积分次序：正确答案：如图1．5—5，则涉及知识点：二重积分11．在椭圆x2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y一6=0的距离最短．正确答案：涉及知识点：高等数学12．An×n(α1，α2，…，αn)，Bn×n=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)，当r(A)=n时，方程组BX=0是否有非零解?正确答案：方法一B=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)=(α1，α2，…，αn)由r(A)=n可知｜A｜≠0，而｜B｜=｜A｜=｜A｜[1+(-1)n+1]，当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解；当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解．方法二BX=0x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0 (x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，因为α1，α2，…，αn线性无关，所以=1+(-1)n+1，当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解；当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解．涉及知识点：线性方程组13．设A＝，α＝为A的特征向量．(1)求a，b及A的所有特征值与特征向量．(2)A可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．正确答案：(1)由Aα＝λα得解得a＝1，b＝1，λ＝3．由｜λE －A｜＝＝λ(λ－2)(λ－3)＝0得λ1＝0，λ2＝2，λ3＝3．(2)因为A的特征值都是单值，所以A可相似对角化．将λ1＝0代入(λE－A)X＝0得λ1＝0对应的线性无关特征向量为α1＝；将λ2＝2代入(λE－A)X＝0得λ2＝2对应的线性无关特征向量为α2＝；将λ3＝3代入(λE－A)X＝0得λ3＝3对应的线性无关特征向量为α3＝；令P＝，则P-1AP＝涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量14．已知问λ取何值时，(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表达式唯一；(2)β可由α1，α2，α3线性表出，但表达式不唯一；(3)β不能由α1，α2，α3线性表出．正确答案：(1)λ≠0且λ≠一3，β可由α1，α2，α3线性表出，且表出法唯一；(2)λ=0时，β可由α1，α2，α3线性表出，且表达式不唯一；(3)λ=一3时，β不能由α1，α2，α3线性表出．涉及知识点：线性代数15．求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续16．设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f”(ξ)=0．正确答案：由罗尔定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=φ(x0)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f”(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f”(ξ)=0．涉及知识点：高等数学部分设S(x)=17．证明：当nπ≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；正确答案：当nπ≤x 涉及知识点：一元函数积分学18．求正确答案：由nπ≤x 涉及知识点：一元函数积分学19．计算积分正确答案：涉及知识点：一元函数积分学20．分别就a＝2，a＝1／2，a＝－2讨论y＝lg(a－sinx)是不是复合函数.如果是复合函数，求其定义域．正确答案：。
考研数学模拟试题数学二
1
1 y2
（ B ） 2 dy 0
1 y2 f ( x, y )dx
1
1 y2
（ D） 2 dy
f ( x, y)dx
0
0
f ( x, y)dxdy
x2 y2 1
2
f ( x, y)dxdy
x2 y 2 1, y 0
1
2 dy 0
1 y2
1 y2 f (x, y)dx .
4.微分方程 y 2 y x e2x 的特解 y* 形式为（） .
mg kv2， dv dt
kv 2
g
，
m
记 a2
g,b2
k dv
，
m
积分得
1
bv arctan
t
ab
a
a2
b2 v2 ，
dv a 2 b2 v2
C ， t 0 时， v v0 ，故 C
dt ，
1 arctan bv0 ，
ab
a
1
bv
arctan
ab
a
t 1 arctan bv0 ，
ab
a
令 v 0 ，得上升到最高点的时间为 t1 1 arctan bv0
.
zy
解 答案为 xf3 x 2 yf32 x 2 yzf33 . u xyf 3 z 2u z y xf3 xy( f 32 x f33 xz) xf3
x2 yf32
x 2 yzf33
yx
x
11.设微分方程 y
( ) 的通解为 y
，则 ( x)
.
x
y
ln Cx
解 答案为
1
x
x2 . 将 y
代入微分方程，得
[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编4.doc
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7 (15年)设函数f(u，v)满足 依次是
8 (15年)设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x， 围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续．则 f(x，y)dxdy=
9 (16年)已知函数f(x，）I1＞0．
（B）I2＞0．
（C）I3＞0．
（D）I4＞0．
6 (14年)设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足
（A）u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．
（B）u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得．
（C）u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得．
二、填空题
12 (12年)设 其中函数f(u)可微，则
13 (14年)设z=z(x,y)是由方程e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则
14 (15年)若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz|(0,0)=______．
15 (17年)设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且df(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_____．
[考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (11年)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是
（B）fx'+fy'=0．
[考研类试卷]考研数学二(二次型)模拟试卷1.doc
[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷1一、填空题1 二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数为____________.2 已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py 可化成标准形f=6y12，则a=_______．3 设二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为_________．4 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。
的秩为_________.5 求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3为标准形．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3—2x2x3．6 求二次型f的矩阵的所有特征值；7 若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．7 已知，二次型f(x1，x2，x3)=x T(A T A)x的秩为2．8 求实数n的值；9 求正交变换x=Qy将f化为标准形．9 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x2-3x3+4x1x2-4x1x3+8x2x3．10 写出二次型f的矩阵表达式；11 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．11 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x22+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．12 求n的值；13 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；14 求方程f(x1，x2，x3)=0的解．14 设二次型 f(x1，x2，x3)=x T AX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3 (6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．15 求a，b的值．16 利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．。
考研数学二(二重积分)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学二（二重积分）模拟试卷13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．其中D={(x，y)|x2+y2≤1)，则( )A．c＞b＞aB．a＞b＞cC．b＞a＞cD．c＞a＞b正确答案：A解析：由于D={(x，y)|x2+y2≤1)，所以由cosx在上单调减少可得因此有c＞b＞a．知识模块：二重积分2．设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若则I1，I2，I3的大小顺序为( )A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2＜I1C．I1＜I3＜I2D．I3＜I1＜I2正确答案：C解析：在D内，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是知识模块：二重积分3．设平面区域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若比较的大小，则有( ) A．I1=I2B．I1＞I2C．I1＜I2D．不能比较正确答案：C解析：由二重积分的比较性质，只需比较D上(x+y)2与(x+y)3的大小，即x+y与1的大小．从几何的角度也就是考查圆域D与直线x+y=1的位置关系．因积分区域D的圆心(2，1)到直线x+y=1的距离(1为圆的半径)，故闭区域D在直线x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，从而在D上(x+y)2＜(x+y)3，则I1＜I2．知识模块：二重积分4．二次积分写成另一种次序的积分是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：改变积分次序的步骤是：①由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域D的联立不等式，并作出D的草图，原积分变成二重积分②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式．由已知积分的上、下限，可知积分区域的不等式表示为D：如图1．5—1所示．则知识模块：二重积分5．已知则I= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：如图1．5—2所示，积分区域由两部分组成设将D=D1∪D2视为y 型区域，则从而故应选(A)．知识模块：二重积分填空题6．由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为_________，其值等于__________．正确答案：解析：由得交点A(e，1)．所求平面图形的面积为知识模块：二重积分7．二重积分的符号为____________．正确答案：负号解析：二重积分的积符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定．积分区域D：|x|+|y|≤1．因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故知识模块：二重积分8．设D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2)，则二重积分正确答案：解析：被积函数含有x2+y2的形式，且积分区域是以原点为中心的圆环区域，选用极坐标计算较方便．故知识模块：二重积分9．设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则正确答案：0解析：因积分区域D关于y轴对称，被积函数xf(y2)关于变量x是奇函数，故知识模块：二重积分10．设交换积分次序后，I=_________．正确答案：解析：积分区域D为：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲线y=e2x，y=ex与直线x=1的交点分别为(1，e2)与(1，e)．故知识模块：二重积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(填空题)模拟试卷127(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷127(题后含答案及解析)题型有：1.1．已知＝0，求a＝_______，b＝_______．正确答案：a＝－1，b＝涉及知识点：函数、极限、连续2．=_______正确答案：1／2解析：知识模块：高等数学部分3．设f(χ)连续，且f(1＋χ)－3f(1－χ)＝8χ(1＋｜χ｜)，则f′(1)＝_______．正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学4．设f(x)可导且在x=0处连续，则a=_______正确答案：3解析：因为g(x)在x=0处连续，所以a=3．知识模块：高等数学部分5．对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为_______．正确答案：解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为. 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．设＝_______。
正确答案：；涉及知识点：一元函数积分学7．曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为_______．正确答案：y=x-1解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx 上点(x0，y0)=(x0，lnx0)(x0＞0)处的切线方程是y=lnx0+(x-x0)=x0+lnx0-1，从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是x0=1，即该切线为y=x-1．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算8．设函数，则y=f(x)的反函数x=f1(y)在y=0处的导数=__________.正确答案：解析：由反函数的求导法则可知知识模块：一元函数微分学9．＝_______．正确答案：ln(1＋)解析：因(χeχ)′＝eχ(χ＋1)，令χeχ＝t，则dt＝eχ(χ＋1)dχ，于是知识模块：一元函数积分概念、计算及应用10．已知f(χ)＝则∫01χf(χ)dχ＝_______．正确答案：(e-1－1)解析：用分部积分法．由于f′(χ)＝，故知识模块：一元函数积分概念、计算及应用11．=_________。
[考研类试卷]考研数学二(二重积分)模拟试卷9.doc
[考研类试卷]考研数学二（二重积分）模拟试卷9一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设D是有界闭区域，下列命题中错误的是（A）若f(x，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有f(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．（B）若f(x，y)在D可积，f(x，y)≥0但不恒等于0 ((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．（C）若f(x，y)在D连续，f2(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0 ((x，y)∈D)．（D）若f(x，y)在D连续，f(x，y)＞0 ((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．二、填空题2 设D为两个圆：x2+y2≤1及(x－2)2+y2≤4的公共部分，则I=ydxdy=________．3 I==________．4 设，则这三个积分的大小顺序是________＜________＜________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 将f(x，y)dxdy化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．6 在极坐标变换下将f(x，y)dσ化为累次积分，其中D为：x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay 的公共部分(a＞0)．7 求I=，其中D为y=，y=x及x=0所围成区域．8 求I=[1+yf(x2+y2)]dxdy，D由y=x3，y=1，x=－1围成，f是连续函数．9 设D由抛物线y=x2，y=4x2及直线y=1所围成．用先x后y的顺序，将I=f(x，y)dxdy化成累次积分．10 交换累次积分的积分顺序：I=11 计算累次积分：I=∫01dx∫1x+1ydy+∫12dx∫x x+1ydy+∫23dx∫x3ydy．12 计算13 计算二重积分：｜｜x+y｜－2｜dxdy，其中D：0≤x≤2，－2≤y≤2．14 求下列二重积分：(Ⅰ)I=，其中D为正方形域：0≤x≤1，0≤y≤1；(Ⅱ)I=｜3x+4y｜ dxdy，其中D：x2+y2≤1；(Ⅲ)I=，其中D由直线x=－2，y=0，y=2及曲线x=所围成．15 (Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，(Ⅱ)证明：16 计算，其中D为曲线y=lnx与两直线y=0，y=(e+1)－x所围成的平面区域．17 计算，其中D：1≤x2+y2≤9，18 计算(x+y)2dxdy，，其中D：｜x｜+｜y｜≤1．19 设a＞0为常数，求积分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．20 设D={((x，y)｜x+y≥1，x2+y2≤1}，求I=(x2+y2)dσ．2122 极坐标系下的累次积分232425 设f(x)在[0，b]连续，且f(x)＞0，∫a b f(x)dx=A．D为正方形区域：a≤x≤b，a≤y≤b，求证：(Ⅰ)I=；(Ⅱ)I≥(b－a)(b－a+A)．。
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3设D：｜x｜+｜y｜≤1，则 (｜x｜+y)dxdy= ( )
（A）0
（B）
（C）
（D）1
4 化为极坐标系中的累次积分为( )
5设D由直线x=0，y=0，x+y=1围成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，则 f(x)dxdy= ( )
（A）2
（B）0
（C）
（D）1
二、填空题
12设函数f(x)在0，1]上连续，证明：∫01ef(x)dx∫01e一f(y)dy≥1．
13求V(t)= [(t一1)y+1]dxdy的最大值，其中Dt={(x，y)｜x2+y2≤1，一 ≤y≤1}，2≤t≤3。
14变换二次积分的积分次序： 。
15变换二次积分的积分次序： 。
16变换二次积分的积分次序： 。
10设f(x)为连续函数，a与m是常数且a＞0，将二次积分I=∫0ady∫0yem(a一x)f(x)dx化为定积分，则I=____________．
11设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则I= xf(y2)dσ=____________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学二（二重积分）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设m和n为正整数，a＞0，且为常数，则下列说法不正确的是( )
2 a= (x2+y2)2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则( )
（A）c＞b＞a
（B）a＞b＞c
（C）b＞a＞c
22计算 ，其中a，b＞0．
23计算 ln(1+x2+y2)dxdy,；其中D：x2+y2≤1．
24计算 所围成．
25计算 ．
26设f(x，y)= ，其中D为正方形域0≤x≤1，0≤y≤1．
27设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续且单调增，证明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)｜f(x)g(x)dx．
28计算∫一∞+∞∫一∞+∞min{x，y) dxdy．
17变换二次积分的积分次序： 。
18计算二重积分 ，其中D是第一象限中由直线y=x和曲线y=x3所围成的封闭区域．
19计算二重积分 ，其中D={(x，y)｜0≤y≤x，x2+y2≤2x}．
20求二重积分 ，直线y=2，y=x所围成的平面区域．
21求 min{x，y}dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤3，0≤y≤1}．
6设f(x，y)为连续函数，则I= =____________，其中D：x2+y2≤t2。
7 (x2+y2)dxdy=____________．
8交换二次积分次序：∫01dy f(x，y)dx=____________。
9交换二次积分次序：∫01dx f(x，y)dy+∫1edx∫lnx1f(x，y)dy=____________。