学生数学符号感的培养

２００６年第３期　中学教研（数学）　－９－　般材敷法探讨－－教材敷法探讨－－教材鼓法探讨・・教材敷法探讨・－教材敷法探讨・・教材敷法探讨－－教材教法探坩・・般材教ｊ击探讨－・教材敷法探讨・．般材敷法探讨　中　盏　

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学生数学符号感　的培养　

●陈美娟　（浙江温岭市第六中学３１７５０２）　

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教材敷法探讨‘‘教材敷法探讨＋，教材教法探讨－－教材敷法探讨－－教材敷法探讨・・般材敷击探讨・・教材教法探讨－・教材敷法探讨”教材敷法撵对－－教材敷法探讨　

数学的世界是一个符号化的世界，数学符号在　很大程度上决定了数学发展的进程，符号化思想方　法也是数学中最基本的、最原始、最重要和最根本的　思想方法之一＋符号是交流与传播数学思想的媒介．　一般来说，符号是人们约定用来指称一定对象的标　志物，是用以表达和交换思想的工具．可以说没有数　学符号就没有今天的数学＋　符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推　理、交流的工具．新课程标准强调发展学生的符号　感，并指出：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽　象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符　号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的　转换；能选择适当的程序和方法，解决用符号所表示　的问题．”所以，培养学生的符号感，使用符号的意识　是数学老师义不容辞的责任．在这里，笔者谈一谈在　培养学生符号感方面的认识与实践．　１张扬个性。体验数学符号　符号感虽然是一个新的概念，但实际上，学生在　已有的生活经验中就潜藏着“符号意识”，他们对某　些内容的个性化表示，尽管缺少常规表示的精确性　和普遍性，但这种表示对学生个人是有意义的．它们　提供了一个能使学生对本质表示进行认识的经验基　础，同时，也给教师提出了一个考查学生思考数学的　方式的机会．如在《对分数的初步认识》一课中，在明　１　确了“一半”的含义后．我并没有直接让学生用“÷”　表示出“一半”来，而是提出问题：我们用怎样的符号　来表示“一半”呢？　学生充分发挥自己的才智，有的表示为ｅ；有的　表示　有的表示为　；还有的学生用自己的名字　中的某个字的一半来表示……　笔者并没有急于对这些表示进行评价．而是在　’　介绍了数学的表示法　Ｉ后，询问学生是否愿意接受　１　｛这一个表示方法．一些学生仍然觉得自己的方法　比较好而拒绝新的表示方法，因为它确实很形象．于　是，笔者就鼓励他们运用自已的方法表示“一百分之　＇　一”

，这时候，所有的学生都认识到“｛”的简捷和普　

遍性，心悦诫服地接受了这个“新朋友”．　发展符号感，首先就要承认学生经验中的“符号　世界”。给学生提供“从具体事物——学生个性化的　符号表示——学会数学的表示”这一逐步符号化、形　式化的过程，并促使学生在表示过程中交流心得、分　享体会，体验丰富的符号世界．　２借助“互译”。理解数学符号　数学符号比文字语言更简洁、更概括，它的丰富　内涵没有由符号本身明示，而要另用文字语言叙述。　因此，我们要经常引导学生进行由具体现象概括为　符号表示，又从形式符号回到具体内容的练习＋　如在学习垂径定理及其逆定理的过程中，学生　对垂径定理的几何符号表示“因　为ＣＤ是直径，ＣＤ＿ｌ－Ａ７３，所以　、，　、　ＡＥ＝ＢＥ，ＡＤ＝ＢＤ”仍然感到陌　

生，运用起来往往缩手缩脚，心存　疑虑．究其原因，是对此定理的符　号表示缺乏深刻的理解，要进行　几何语言与文字语言的互译练　习．用几何语言表示即为：“垂直　

Ｃ　①　

Ｄ　图１　于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的　弧．”更进～步地明确：“ＣＤ＿ＬＡ．Ｂ”。即指直径垂直于　，　、，　、　弦；“ＡＤ＝ＢＤ”即指直径平分弦所对的弧．通过上面　

的“语言”互译练习，学生对定理的理解与掌握更加　深刻而有效，也进一步理解了诸如＿Ｌ、＝等符号的准　确涵义．　又如，理解命题“两数和与两数差的积等于这两　数的平方差”时，若引导学生写出符号表示：（ｎ＋６）　

・（ｎ一６）＝口２—６２．或更形象地表示为（一十口）（■　

一口）；一　一口　，（▲＋△）（▲一ｍ）＝▲２一△　，　（★＋☆）（★一☆）＝★　一☆０，学生对平方差公式的一　

维普资讯 http://www.cqvip.com ・　１０－　中学教研（数学）　２００６年第３期　理解更加清晰，同时，也更深刻地理解了符号的内　涵．　３通过转化。掌握数学符号　生活中，符号的转换是丰富多彩的，这里所说的　转化主要是指表示变量之间关系的表格法、关系式　法、图像法之间的转换．　用多种形式描述和显现数学对象是一种有效地　获得对概念本身或问题背景深入理解的方法，因此　多种表示方法，不仅可以加强对概念的理解，也是解　决问题的重要策略，并且通过相互的转化，更有助于　学生从不同角度来把握相关数学符号．　如某烤鸭店在确定烤鸭时间，主要是依据下面　表格中的数据：　鸭的睫量　．．克ｌ０．５　１　１．５　２　２．５　３　３．５　４　烤制时间（分）　４０　６０　８０　１００　１２０　１４０　１６０　１８０　ｒ　利用表格我们可以直接地看到鸭的质量和需要　烤制的时间，但是。如果我们恰好需要烤制成品２．８　千克的鸭，需要多少时间呢？这就要把表格法转化　为关系式法表示．　用关系式表示，设鸭　的质量为叫千克，烤制的　时间为ｔ分钟。从表中可　以看出。质量每增加０．５　千克时间增加２０分，从　而，得到关系式：ｔ＝４０ｗ　＋２０．　图２　于是，也就可以得到　烤制成品２．８千克鸭所需的时间．当然，我们也可画　出图像，如图２．　上例以求２．８千克的鸭为线索，在表格法、关系　式法、图像法之间进行各种符号类型的转换．从不同　的独特角度理解符号，进而为掌握符号奠定基础．　４运用比较，鉴赏数学符号　数学符号具有准确、规范、概括、简明的特点，如　运用恰当，还能展现数学符号的威力，而通过数学符　号的用与不用的效果比较，学生欣赏到运用符号的　种种好处。从而更坚定了学好、用好数学符号的信心　和决心．　在“字母表示数“一课的引入中，笔者给学生出　了一道这样的猜年龄的题目：只要你把自己的年龄　加上７后再乘以３。并把所得的积减去２１的结果告　诉我，我就能在３秒钟之内知道你的年龄．学生进行　了各种提问并感到惊异，不知如何解释这种现象．而　实际上，只要把年龄设为ａ，则有３（ａ＋７）一２１＝３ａ　的结果．通过字母ａ出现的前后比较，学生立即感觉　到数学符号概括与精炼的特点．　又如，当矩形的一边长增加１０％，而另一边减少　１０％时，那么这个矩形的面积如何变化，学生经过思　考，有了各种各样的答案．　Ａ同学说：没有变化（一多一少。正好抵消）；　Ｂ同学说：面积变化与哪边增加，哪边减少有　关；　Ｃ同学说：我用几个特殊值代入发现，面积都在　减少；　Ｄ同学说：准确的讲是减少了１％，但又找不到　有力的证据．　

。甲　）ｏ　Ｔ　７函　

图３　而事实上，如图３，若设原矩形的两边长分别为　ａ，ｂ则原来矩形的面积为　，变化后的矩形面积为　［（１＋１０％）ａ　Ｘ（１—１０％）ｂ］或者［（１＋１０）ｂ×（１—　１０９６）ａ］。而不管是哪一种。化简后结果均为：　０．９９ａｂ。也就是说，面积总是减少了１％．　至此，学生对题目的理解豁然开朗，及时地运用　符号表示，对问题的认识起了决定性的作用．另外，　通过字母ａ，ｂ运用前后的比较，学生观赏到了使用　数学符号的美感、优雅感与效率感，从而对符号的学　习更有兴趣了．　５解决问题。活用数学符号　在解决实际问题的过程中，灵活运用数学符号，　是发展学生符号感的必不可少的重要一环，借助实　际应用问题，可以锻炼学生根据不同的。隋形，灵活、　恰当运用数学符号能力，下面以一道应用题来说明　这个问题．　例叶克刚用完身上的现款，于是到银行兑换　

一张面额在１００元以下的支票，兑换时银行职员不　慎把支票上元与分的数字看倒置了（如把１７．３８看　成３８，ｌ７），并按看错的数字面额支付给叶克，待他花　掉了３，５０元之后，他发现身上的现款恰为支票所写　面额的２倍，问支票上所写的面额是多少？　

维普资讯 http://www.cqvip.com ２００６年第３期　中学教研（数学）　同学们都意识到应该运用数学符号来解决问　题，有同学用　来表示支票面额，则解决问题十分困　难；又有同学用４个字母分别表示面额上的４个数　字，解起来又过于复杂．经过交流讨论，大家认为较　恰当的方法是用　，Ｙ分别表示支票上所写的面额　整数与面额小数，则可列出程：　＋　２（　十０．Ｏｌｙ）：Ｙ十０，０１ｘ一３．５０，其中０≤　，Ｙ　＜１００，　，ｙＥＺ　从而，解得　：１４，Ｙ；３２，从而，求得支票的真　实面额是ｌ４．３２元．　上例说明，我们不但要会用数学符号，更进一步　地，我们应具有恰当的、灵活的选择符号的意识，具　有对符号选择合理性的预感，而这种感觉只有在实　际应用中才能逐步加以培养与发展．　符号是数学的语盲，数学语言系统是一个符号　化的系统，现代数学如果没有精确化的符号是难以　想象的．伟大的德国数学家莱布尼茨说过：“符号的　巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使　思考工作得到节约……，它以惊人的形式节省了思　维．”用符号表达数学的方法和内容是数学的一大特　色．正因为如此，数学语言的系统，不同于一般的语　言系统．如汉语、英语、德语……数学语言才更有可　能成为一个国际化的语言．因此，培养学生的符号　感，对学生体会数学语言的简洁美、概括美，增强他　们的学习数学的兴趣，提高他们学习数学的积极性　是很有必要的．　

参考文献　１王林全，林田泰．中学数学思想方法概论．广州：　暨南大学出版社，２０００　２中华人民共和国教育部：全日制义务教育数学课　程标准（实验稿）．北京：北京师范大学出版社，　２００１　

教材敖穗探讨‘　教材敖穗探讨‘‘般轲敖浩探讨。。教材般穗探讨‘　幢材敖穗探讨’’教材般告探讨。。教材敖岳探讨。。教材敖穗探讨。‘教材敖告探讨。‘教材教穗探讨　舞　改编课本习题　挖掘教学功’能　奏　

塞　・李昌　（江苏灌云县杨集中学２２２２２１）　褰　材敖法探讨．．牲材敖诸探讨．．毂材敖法探讨．．教材敖法探讨．．毂材毂法探讨．．教材教法搽讨．．教材敖法探讨．．教材敖穗探讨．．教材敖穗探讨．．教材教穗探　前苏联数学教育家奥加涅相说过“必须重视，很　多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和　教育功能的可能性…”课本习题不仅是教师施教、学　生学习的主要材料，也是高考命题的重要依据．认真　钻研教材，活化课本习题，拓展其教学功能，是教师　组织学生进行数学探究的重要素材，也是高考复习　的有效途径之一．　下面两题分别是全日制普通高级中学教科书　（必修）数学第二册（上）第９６页练习第４题、第１０８　页习题８．３第１题．　题１△ＡＢＣ的两个顶点Ａ，Ｂ的坐标分别为　（一６，０），（６，０），边ＡＣ，１３（７所在直线的斜率之积为　一　，求顶点ｃ的轨迹方程．　题２　ＡＡ．ＢＣ的两个顶点Ｂ，Ｃ的坐标分别为　（０，一６），（ｏ，６），另两边所在直线的斜率之积为舌，　求顶点Ａ的轨迹方程．　这两题难度不大，但揭示了椭圆、双曲线的性　质，是让学生体验“数学化，再创造”的良好题材；可　以扩展和完善学生知识体系，为学生进行数学探究　活动留下空间和创造契机；还蕴涵着重要的思想方　法，也是锤炼数学思维的范例．为此，笔者做如下改　编，旨在抛砖引玉．　改编１　ＡＡＢＣ的两个顶点Ａ，Ｂ的坐标分别　为（一６，０），（６，０），边ＡＣ，１３（７所在直线的斜率之积　为　（　∈Ｒ），求顶点Ｃ的轨迹方程，并就　的不同　取值讨论轨迹类型．