2014-2015年山西省忻州一中等学校联考高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

2014-2015学年山西省忻州一中等学校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．42．（5分）一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为（）A．B．±C．D．±3．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．（5分）给出下列四个命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．106．（5分）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4上的点到点（﹣2，﹣2）的最小距离为（）A．9 B．7 C．5 D．37．（5分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部8．（5分）已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5 B．4 C．2 D．19．（5分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）A． B． C． D．10．（5分）如图程序框图的输出结果为6，那么判断框①表示的“条件”应该是（）A．i＞7？B．i＞6？C．i＞5？D．i＞4？11．（5分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．312．（5分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）将直y=3x绕原点逆时针旋转90°，则所得到的直线方程为．14．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积为cm2．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，且PA=AC，则二面角P﹣BC﹣A的大小为．16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）=（，x，y），且≥8恒成立，则正实数a的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且•=．（1）求角A的大小；（2）若a=，c=求△ABC的面积S．18．（12分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD垂直平面ABCD，AD=CD，DB平分角ADC，E为PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：AC⊥平面PBD．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，数列{a n+S n}是公差为2的等差数列．（1）设b n=a n﹣2，证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{nb n}的前n项和．21．（12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．22．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y+3+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．四．附加题（共2个小题，满分0分）23．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，求四棱锥C′﹣MENF的体积．24．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）当直线l与圆C相交时，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时直线l的方程．2014-2015学年山西省忻州一中等学校联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故选：D．2．（5分）一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为（）A．B．±C．D．±【解答】解：由sinα=（0≤α＜π），得cosα=±．所以k=tanα==±．故选：B．3．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：当x≤0时，由2x2+x=0得．都符合题意；当x＞0时，由﹣1+lnx=0得lnx=1，所以x=e．故函数的零点为．共三个．故选：A．4．（5分）给出下列四个命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于命题（1），平行于同一直线的两个平面有可能相交；故是假命题；对于命题（2）平行于同一平面的两条直线有相交、平行、异面三种可能；故是假命题；对于命题（3）垂直于同一直线的两条直线有相交、平行和异面三种可能；故是假命题；对于命题（4）垂直于同一平面的两条直线平行，根据线面垂直的性质可以判断两直线平行；故是真命题．故选：A．5．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选：B．6．（5分）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4上的点到点（﹣2，﹣2）的最小距离为（）A．9 B．7 C．5 D．3【解答】解：C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4上的点到点M（﹣2，﹣2）的距离的最小值=|CM|﹣R=﹣2=3．故选：D．7．（5分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部【解答】解：⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选：A．8．（5分）已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5 B．4 C．2 D．1【解答】解：∵直线l1与l2的斜率存在，且两直线垂直，∴a2b﹣（a2+1）=0，∴b=＞0，当a＞0时，|ab|=ab=a+≥2；当a＜0时，|ab|=﹣ab=﹣a﹣≥2，综上，|ab|的最小值为2．故选：C．9．（5分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）A． B． C． D．【解答】解：该三视图表示的容器是倒放的圆锥，下面细，上面粗，随时间的增加，可以得出高度增加的越来越慢．刚开始高度增加的相对快些．曲线越“竖直”，之后，高度增加的越来越慢，图形越平稳．故选：B．10．（5分）如图程序框图的输出结果为6，那么判断框①表示的“条件”应该是（）A．i＞7？B．i＞6？C．i＞5？D．i＞4？【解答】解：执行程序框图，有s=6，i=1第1次执行循环体，有m=4，s=10，i=2；不满足条件，第2次执行循环体，有m=2，s=12，i=3；不满足条件，第3次执行循环体，有m=0，s=12，i=4；不满足条件，第4次执行循环体，有m=﹣2，s=10，i=5；不满足条件，第5次执行循环体，有m=﹣4，s=6，i=6；此时，应该满足条件，退出执行循环体，输出s的值为6．故选：C．11．（5分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选：C．12．（5分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，∵连接BA1，BC1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，∴四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的底面积相等∴把直三棱柱ABC﹣A1B1C1分割为：B﹣APQC，B﹣C1QPA1，B﹣B1A1C1，∴三棱锥的B﹣B1A1C1为V，∴四棱锥B﹣APQC，B﹣C1QPA1的体积之和为：V﹣V=，∵四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的底面积，高相等．∴四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的体积相等，即为，∴棱锥B﹣APQC，B﹣C 1QPA1，B﹣B1A1C1的体积相等，为，∴平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2：1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）将直y=3x绕原点逆时针旋转90°，则所得到的直线方程为x+3y=0．【解答】解：将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°可得直线方程设为y=kx，则3k=﹣1，解得k=﹣，因此得到直线方程为y=﹣x．即x+3y=0．故答案为：x+3y=0．14．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积为7πcm2．【解答】解：该几何体为圆锥与圆柱组合而成，其圆柱的部分的表面积S=π×12+2×π×2=5π，圆锥部分的表面积S=2×1×π=2π；则该几何体的表面积S=7π，故答案为：7π．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，且PA=AC，则二面角P﹣BC﹣A的大小为45°．【解答】解：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC∴PA⊥BC，而∠ACB=90°，∴BC⊥面PAC，从而BC⊥PC且PA=AC，∴∠PCA为二面角P﹣BC﹣A的平面角∴二面角P﹣BC﹣A的大小为45°故答案为：45°；16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）=（，x，y），且≥8恒成立，则正实数a的最小值为1．【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．=××3×2×1=1=+x+y∴V P﹣ABC即x+y=则2x+2y=1=（）（2x+2y）=2+2a++≥2+2a+4≥8解得a≥1∴正实数a的最小值为1故答案为：1三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且•=．（1）求角A的大小；（2）若a=，c=求△ABC的面积S．【解答】解：（1）∵=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且•=，∴cos2A=．∵0＜A＜，∴0＜2A＜π，∴2A=，则A=；（2）∵a=，c=，cosA=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：7=b2+3﹣3b，解得：b=﹣1（舍去）或b=4，则S=bcsinA=．18．（12分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．因为，所以圆心C到直线l的距离是，即=解得：b=﹣1．所以直线l的方程是：y=x﹣1．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD垂直平面ABCD，AD=CD，DB平分角ADC，E为PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：AC⊥平面PBD．【解答】（1）证明：设AC∩BD=H，连结EH．在△ADC中，∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA．又EH⊆平面BDE，且PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．…（6分）（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD，∴PD⊥AC．由（1）可得，DB⊥AC．又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．…（12分）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，数列{a n+S n}是公差为2的等差数列．（1）设b n=a n﹣2，证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{nb n}的前n项和．【解答】（1）证明：∵数列{a n+S n}是公差为2的等差数列，由题意得a1﹣2=﹣1，∴（a n+1+S n+1）﹣（a n+S n）=2，即a n+1=．又∵==，∴{b n}是首项为﹣1，公比为的等比数列．…（6分）（2）解：由（2）得b n=﹣（）n﹣1，∴nb n=﹣n•（）n﹣1，设T n=1+2•+3•（）2+…+n•（）n﹣1，①∴T n=+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，②①﹣②得T n=1++（）2+…+（）n﹣1﹣n•（）n，∴T n=﹣n•（）n，∴T n=4﹣（n+2）•（）n﹣1，∴数列{nb n}的前n项和为﹣（n+2）•（）n﹣1+4．…（12分）21．（12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．【解答】解：（1）由直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人），所以该班成绩良好的人数为27人、（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，设为为x，y，z；成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，设为A、B、C、D．若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz共3种情况；若m，n∈[17，18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；若m，n分别在[13，14）和[17，18]内时，有12种情况、所以，基本事件总数为3+6+12=21种，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种、∴（12分）22．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y+3+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，依题意得，a=1，b=﹣2；∴该圆的半径为r==3，∴该圆的方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9；…（4分）（2）设存在满足题意的直线，且此直线方程为y=x+m，直线与圆C相交于A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由OA⊥OB，得k OA•k OB=﹣1，即•=﹣1，x1x2+y1y2=0；…（7分）由，即；消去y得，2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，∴x1+x2=﹣（m+1），x1x2=；…（9分）又∵x1x2+y1y2=0，y1=x1+m，y2=x2+m；∴x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，即2x1x2+m（x1+x2）+m2=0；∴m2+4m﹣4﹣m（m+1）+m2=0，解得m1=﹣4，m2=1；．经检验m1=﹣4，m2=1均使△＞0，都符合题意，∴存在满足题意的直线为y=x﹣4或y=x+1．…（12分）四．附加题（共2个小题，满分0分）23．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，求四棱锥C′﹣MENF的体积．【解答】解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，所求体积转化为两个三棱锥的体积，V=2V C′﹣MNF=2V N﹣MFC′=2×S△MFC′×1=××=．24．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）当直线l与圆C相交时，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时直线l的方程．【解答】解：（1）∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，∴，解得，∴直线l过定点P（3，1），且P与圆心C（1，2）的距离|PC|=＜5，∴直线l一定过圆内定点P，∴直线l与圆C一定相交．…（5分）（2）由平面几何知识可知，当直线l过定点P且与PC垂直时，直线l被圆C所截得的弦长最短，而k PC=﹣，∴此时直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3）．故弦长最短时，直线l的方程为2x﹣y﹣5=0．最短弦长为d=2=4．…（10分）说明：各题如有其它解法可参照给分．。