上海高一下学期期中考试数学试卷有答案
上海市理工大学附属高一下学期期中考试数学试卷满分：100分 完成时间：90分钟一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．由02010sin ,02010cos <>可知，2010弧度的角为第______________象限的角. 2．若角α的终边经过点)3,(x P ，且1cos 2α=-，则=x ． 3．函数lg2xy x=-的定义域为 ． 4．设函数)1(1)(2>-=x x x f 的反函数为)(1x f-，则=--)2(1f________________．5．满足方程931=-x 的x 的值为_______________________．6．把ααsin 3cos +化为)20,0)(sin(πϕϕα<<>+A A 的形式即为_______________．7．已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为 ．8．函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为___________． 9．化简：()()()=--+--+⎪⎭⎫⎝⎛+ααπαπαπsin sin sin 2cos _______________． 10．若342sin ,cos ,,552a a aa παααπ--==<<++则a =____________________． 11．已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．12．已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有_______________个二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．“21cos =α”是“3πα=”的……………………………………………………（ ） (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件14．若把︒1000化成360(k Z,9090)k αα⋅︒+∈-︒<<︒的形式，则α的值等于…………（ ）（A ）︒8 （B ）︒-8 （C ）︒80 （D ）︒-8015．设02x π≤≤,且1sin 2sin cos x x x -=-,则………………………………（ ） A.0x π≤≤ B.744x ππ≤≤C.544x ππ≤≤D.322x ππ≤≤ 16．函数ln 1xy ex =--的图像大致是…………………………………………………( )三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17．（本题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+18．（本题满分8分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα-19．（本题满分10分，第(1)题5分，第(2)题5分） （1）已知tan 2α=-，求224sin3cos αα+的值.（2）已知,αβ为锐角，sin 5α=，cos 10β=，求αβ-的值.20．（本题满分12分，第(1)题2分，第(2)题4分，第（3）题6分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①︒︒-︒+︒17cos 13sin 17cos 13sin 22；②︒︒-︒+︒15cos 15sin 15cos 15sin 22；③︒︒-︒+︒12cos 18sin 12cos 18sin 22；④︒︒--︒+︒-48cos )18sin(48cos )18(sin 22；⑤︒︒--︒+︒-55cos )25sin(55cos )25(sin 22.(1) 利用计算器求出这个常数；(2) 根据(1)的计算结果，请你写出一个三角恒等式，使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况；（3）证明你写出的三角恒等式.21．（第一小题2分，第二小题4分，第三小题5分，第四小题3分，满分14分） 已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值； （2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.2013年第二学期期中考试高一数学试卷参考答案与评分意见一、填空题1．四； 2． 3．(0,2)； 4．3； 5．3-或3； 6．)6sin(2πα+；7．25a a+； 8．()2,1-； 9．2sin α； 10．8； 11．()1,3； 12 2． 二、选择题13．B ； 14．D ； 15．C ； 16．D ． 三、解答题17．（本题满分8分）解：954(32)xx-=-————————2分 ()234330x x -⋅+=———————2分313x x==或301x x ∴==或——————————2分 经检验0x =是增根，舍去—————1分 ∴原方程的解是1x =————————1分 18．（本题满分8分）解：由已知得1sin cos 5αα+=--------------------------------2分 两边平方得：242sin cos 25αα=-----------------------------2分3222ππαπαπ<<∴<<cos 0sin αα∴>>----------------------------------------------1分14sin cos sin 552432sin cos cos 255αααααα⎧⎧+=-=-⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩---------------------2分4tan(2)tan 3παα-=-=------------------------------------------1分（不同解法相应给分）19．（本题满分10分，第(1)题5分，第(2)题5分）解：（1）原式=22224sin 3cos 2sin cos αααα+--------+分 =224tan 32tan 1αα+--------+分 1915=---------分（2） 因为α为锐角，sin 5α=，所以cos α==，--------------- 1分由β为锐角，cos 10β=，又sin 10β==， --------------- 1分 所以sin()=sin cos cos sin αβαβαβ--=510510=-=2-，---------------2分 因为,αβ为锐角，所以22ππαβ-<-<，所以4παβ-=-. ---------------1分20．（本题满分12分，第(1)题2分，第(2)题4分，第(3)题6分） 解：(1)43……………………………………2分 (2)43)30cos(sin )30(cos sin 22=-︒--︒+αααα. ……………………………………4分 （3）证明:)30cos(sin )30(cos sin 22αααα-︒--︒+22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒ ……2分2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++--……2分22333sin cos 444αα=+=．………………………………………………………………2分 21．（第一小题2分，第二小题4分，第三小题5分，第四小题3分，满分14分）解：（1）222111()()log log log 0111aa a mx mx m x f x f x x x x +---+=+==--------------1分 对定义域内的任意x 恒成立 ()2222211,101m x m x x-∴=-=-即 解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------1分（2）111log 111y ya y x x a y a x x x a +++=⇒=⇒=---()0y ≠-------------------------2分 11()(0,0,1)1x xa f x x a a a -+∴=≠>≠-----------------------------------------2分 （3）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞--------------------1分设12121(),111x g x x x x x x +=<<-<<-任取或2112122()()()0(1)(1)x x g x g x x x --=>--12()()g x g x ∴>所以，函数()()1(),11,1x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------2分 所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------2分 （其他方法证明适当给分） （4）123x a a <<-∴>()()1,2f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------1分21(2)1,log 1,410,22a a f a a a a a -∴-==-+=∴=+-即化简得分。
上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案
上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. arccos()arctan(2-+= 2. 已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为 3. 已知函数sin(2)y x ϕ=+（22ππϕ-<<）的图像关于直线3x π=对称，则ϕ的值为4. 已知tan 7α=，则tan2α=5. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=6. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2555a S =+，则数列{}n a 的公差为7. 若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+，则数列{}n a 的通项公式是n a = 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC的面积为2，且A 、B 、C 成等差数列，则ac 的最小值为9. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2016201810a a ->；③2016T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为 10. 已知正项数列{}n a 中，若存在正实数p ，使得对数列{}n a 中任意一项k a ，kpa 也是数列 {}n a 中的一项，称数列{}n a 为“倒置数列”，p 是它的“倒置系数”；若等比数列的{}n a项数是m ，数列{}n a 所有项之积是T ，则T = （用m 和p 表示） 二. 选择题11. 已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋅⋅⋅+（k *∈N ），则（ ）A. (1)()22f k f k k +-=+B. (1)()33f k f k k +-=+C. (1)()42f k f k k +-=+D. (1)()43f k f k k +-=+ 12. 下列等式中正确的是（ ） A. cos(arccos )33ππ=B. 1arccos()1202-=C. arcsin(sin)33ππ=D. 2arctan24π= 13. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图像如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 函数的图像关于点(,0)3π-对称B. 函数图像关于直线6x π=-对称C. 函数(2)f x 的最小正周期为πD. 当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图像与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 14. 已知||0x y >>；将四个数x ，x y -，x y +，22x y -按照一定顺序排列成一个数列，则（ ） A. 当0x >时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等比数列 B. 当0x >时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等差数列 C. 当0x <时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等比数列 D. 当0x <时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等差数列三. 解答题15. 已知函数2()sin cos 3cos f x x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.16. 已知数列{}n a 是等差数列，110a =-，公差0d ≠，且2a 、4a 、5a 是等比数列. （1）求n a ；（2）求数列{||}n a 的前n 项和n T .17. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，331b a =+，557b a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）n S 为数列2{}na 前n 项和，对于任意n *∈N ，有123n b n S t +=⋅，求实数t 的值； （3）求数列{}n n a b 的前n 项和n A .18. 已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，12(1)n n S n a +=-，n *∈N . （1）求2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数，n 有1211174n S S S ++⋅⋅⋅+<.四. 附加题19. 已知函数()sin()cos()g x x x ππ=-，()f x =1544x ≤≤）. （1）试讨论并直接写出()g x 的单调性； （2）试求()f x 的最小值.20. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =⋅⋅⋅.（1）令1(1)n n b a n n =++，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）求n S .参考答案一. 填空题 1.2π2. 12-3. 6π-4. 724-5. 16. 1-7. 1(2)n --8. 49. ①③ 10. 2mT p =二. 选择题11. B 12. C 13. D 14. D三. 解答题15.（1）T π=；（2）最大值1+. 16.（1）212n a n =-；（2）当6n ≤，211n T n n =-；当6n ≥，21160n T n n =-+.17.（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）23t =；（3）2(23)3n n -+. 18.（1）23a =，35a =；（2）21n a n =-；（3）证明略.四. 附加题 19.（1）增区间，13[2,2]44k k -++；减区间，37[2,2]44k k ++，k ∈Z ；（2）min 5()()4f x f ==. 20.（1）证明略；（2）1112n n S n =-+.。
上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么x 等于 .2.2lg 3lg 91lg 27lg8lg 1000lg 0.3lg1.2-+-= .3.若21a b a >>>，则log ,log ,log bb a ba b a的大小顺序是 . 4.函数()212log 617y x x =-+的值域是 . 5．函数223y x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是 .6.若方程()22log 222ax x -+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则实数a 的取值范围是 .7.已知一个扇形的周长为6，该扇形的中心角为1弧度，则该扇形的面积是 . 8.已知点()sin cos ,tan P θθθ-在第一象限，则在[]0,2π内θ的取值范围是 . 9.已知()1sin 34πθ+=，求()()()()()()cos cos 2cos 2cos cos cos cos 1πθθπθππθθθπθ+-+=+++-+-⎡⎤⎣⎦ .10.已知tan 1tan 1αα=--，则sin 3cos sin cos αααα-=+ .11.求值：4466sin cos 1sin cos 1αααα+-=+- . 12.函数()f x 满足()()1cos 02f x x x π=≤≤，则4sin3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 13.若()()54cos ,sin ,,,0,13522ππαβααβπ⎛⎫-==-∈-∈ ⎪⎝⎭，则cos β= . 14.若sin sin sin 0,cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，则()cos αβ-= .二、选择题：15．已知221,0,0x y x y +=>>，且()1log 1,log 1a ax m n x+==-，则log a y 等于 A. m n + B. m n - C. ()12m n + D.()12m n -16．函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象关于 A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D.直线y x =对称 17．已知()()log 10,1a g x x a a =+>≠，在()1,0-上有()0g x >，则()1x f x a+=在A.(),0-∞上递增B.(),0-∞上递减C.(),1-∞-上递增D. (),1-∞-上递减 18=，则α的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限 19．锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为 A. 3π- B. 3π- C. 32π- D.3220．如果θ是第一象限角，那么恒有 A. sin02θ> B. tan12θ< C. sincos22θθ> D.sincos22θθ<三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.已知1sin cos 3αα+=，其值：（1）sin cos αα； （2）33sin cos αα+ （3）55sin cos αα+.22.已知()()2121x x a f x a R ⋅-=∈+是R 上的奇函数.（1）求a 的值； （2）求()f x 的反函数；（3）对任意()0,k ∈+∞的解不等式()121log xf x k-+>.23.已知α是锐角.（1）如果()tan cot 3log sin 4ααα-=-，求tan log cos αβ的值；（2）如果7sin sin 8αβ=，且1tan tan 4αβ=，求csc α的值.22.已知函数()()()log 30,1a f x x a a a =->≠，当点(),P x y 是函数图象上的点时，点()2,Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.上海市高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 半径为2，圆心角为300°的圆弧长为2. 函数|tan |y x =的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin 2θ=4. 求函数()sin(2)3f x x π=-+的单调递减区间5. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β= 6. 已知函数2()lg(tan 1)9f x x x =--()f x 的定义域是7. 若长度为24x +、4x 、26x +的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x 的取值范围是8. 若函数()2sin f x x ω=（01ω<<）在区间[0,]3π2，则ω=9. 如图所示，在塔底B 处测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高20AB =米， 则山高DC = 米 10. 函数sin cos 1sin cos x xy x x+=+的值域为11. 已知333()sin cos 4f x a x x x =++（,a b R ∈）， 且(sin10)5f ︒=，则(cos100)f ︒=12. 设a 、b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=二. 选择题13. 若MP 和OM 分别是角76π的正弦线和余弦线，则（ ） A. 0MP OM << B. 0OM MP >>C. 0OM MP <<D. 0MP OM >>14. 已知,(0,)2παβ∈，则下列不等式一定成立的是（ ）A. sin()sin sin αβαβ+<+B. sin()sin sin αβαβ+>+C. cos()sin sin αβαβ+<+D. cos()cos cos αβαβ+>+ 15. 把函数sin 2y x =的图像沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标 不变）后得到函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =有以下四个判断：① 该函数的解析式为2sin(2)6y x π=+；② 该函数图像关于点(,0)3π对称；③ 该函数在[0,]6π上是增函数；④ 若函数()y f x a =+在[0,]2πa =其中正确的判断有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 定义在区间[3,3]ππ-上的函数sin |2|y x =与cos y x =的图像的交点个数为（ ） A. 12个 B. 14个 C. 16个 D. 18个三. 简答题17. 已知7cos(23)25θπ-=，且θ是第四象限角； （1）求cos θ和sin θ的值；（2）求3cos()sin()22tan [cos()1]tan()cos()ππθθθπθπθθ--++---的值；18. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =++； （1）若1tan 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；19. 设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，且满足1cos 2a C cb +=；（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围；20. 函数()y f x =满足(3)(1)f x f x +=-，且对于12,(2,)x x ∈+∞，有1212()()f x f x x x ->-成立，若222(cos 22)(sin 32)f m f m m θθ++<+--对R θ∈恒成立； （1）判断()y f x =的单调性和对称性； （2）求m 的取值范围；21. 已知函数()f x 、()g x 满足关系()()()2g x f x f x π=⋅+；（1）设()cos sin f x x x =+，求()g x 的解析式；（2）当()|sin |cos f x x x =+时，存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，求12||x x -的最小值；参考答案一. 填空题 1. 103π 2. ,2k x k Z π=∈ 3. 35 4. 5[,],1212k k k Z ππππ-+∈5.3365 6. 3(,)(,)4242ππππ--U 7. 1(2 8. 349. 30+[1,1]- `11. 3 12. 4二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B三. 简答题17.（1）3cos 5θ=，4sin 5θ=-；（2）94；18.（1）1710；（2）最小正周期T π=，单调增区间：3[,],88k k k Z ππππ-+∈； 19.（1）3π；（2）(2,3]l ∈； 20.（1）对称轴2x =，单调减区间(,2)-∞，单调增区间(2,)+∞；（2）m ∈； 21.（1）()cos 2g x x =； （2）2π；上海市高一第二学期期中考试数学卷一. 填空题1. 弧度数为3的角的终边落在第 象限2. 2233cos sin 88ππ-= 3. 若函数()sin 3cos f x a x x =+的最大值为5，则常数a =4. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若18a =，460a a +=，则8S =5. 在ABC ∆中，23A π∠=，3a c =，则ab= 6.函数sin 3y x x =-的图像可由函数3cos y x x =+的图像至少向右平移 个单位长度得到7. 方程3sin 1cos2x x =+的解集为8. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=-，则tan()4πθ-=9. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成， n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n N ∈，{1,3}n S ∈，则k 的最大值为10. 在锐角ABC ∆中，若sin 3sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是二. 选择题 11. 已知10sin 10α=，5sin()5αβ-=-，,(0,)2παβ∈，则β=（ ） A.512π B. 3π C. 4π D. 6π12. 函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则（ ）A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(2)6y x π=+D. 2sin(2)3y x π=+13. “sin 0α<”是“α为第三、四象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ≤），4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =的图像的对称轴，且()f x 在5(,)836ππ单调，则ω的最大值为（ ）A. 11B. 9C. 7D. 5三. 简答题15. 在ABC ∆中，222a c b +=； （1）求B ∠的大小；（2）求cos A C +的最大值；16. 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S （*n N ∈），且123112a a a -=，663S =； （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n n b -的前2n 项和；17.已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]44ππ-上的单调性与最值；18. 已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值；参考答案一. 填空题1. 二2. 2-3. 4±4. 8 6. 2π 7. {|(1)},6k x x k k Z ππ=+-⋅∈ 8. 43 9.4 10. 12二. 选择题11. C 12. A 13. B 14. B三. 简答题 15.（1）4π； （2）1； 16.（1）1*2()n n a n N -=∈； （2）222n T n =； 17.（1）定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，T π=；（2）单调递增：[,]124ππ-，单调递减：[,]412ππ--，最大值为1，最小值为2-； 18.（1）π或3π； （2）[arctan； （3）19；高一年级下学期期中考试数学试卷二、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）3. 若函数()231,3log ,3x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()()9f f = .4. 函数()()log 230,1a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点_________. 3.若3cos α=，则2tan α= . 4.135o的圆心角所对的弧长为3π，则圆的半径是 . 5．已知11sin ,sin 32αβ==，则()()sin sin αβαβ+⋅-= . 6.已知5sin 13θ=-，且θ是第三象限角，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .7.已知角α的终边在13y x =上，则sin α= . 8.已知1sin cos 2αα+=-，则22tan co t αα+= .9.若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 . 10.若tan 2α=，则222sin sin cos cos αααα-+= . 11.设函数()y f x =存在反函数()1y fx -=，且函数()y x f x =-的图象经过点()2,5，则函数()13y f x -=+的图象一定过点 .12.已知()sin 21,,22f x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，那么()cos10f = . 13.函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为 .14.设,αβ为锐角，且满足()22sinsin sin αβαβ+=+，则αβ+= .15.已知225sin sin 3sin αβα-+=，则函数22sin sin y αβ=+的最小值为 .16．下列4个命题中：（1）存在()0,x ∈+∞，使不等式23xx<成立；（2）不存在()0,1x ∈，使不等式23log log x x <；（3）任意的()0,x ∈+∞，使不等式2log 2x x <成立；（4）任意的()0,x ∈+∞，使不等式21log x x<成立.其中正确的命题个数是（ ） A. （1）（3）B. （1）（4）C. （2）（3）D.（2）（4）17．角α的终边在第三象限，那么3α的终边不可能在的象限是第（ ）象限 A. 一B. 二C. 三D. 四18．tan ,tan αβ是一元二次方程240x ++=的两根，,,02παβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，那么()cos αβ+等于（ ）B. -C. 12- D.1219．若定义在()(),11,-∞+∞U 上的函数()y f x =满足()()11f x f x +=-，且当()1,x ∈+∞时，()231x f x x -=-则下列结论中正确的是（ ） A.存在t R ∈，使()2f x ≥在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 B. 存在t R ∈，使()02f x ≤≤在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 C. 存在t R ∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 D. 存在t R +∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 20．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()1122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A. ()3,-+∞ B. (]3,3- C. [)3,3- D. (),3-∞21.已知()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求β的值.22.已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两根322πθπ<<，求角θ.23.扇形AOB 的中心角为2,0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？24. 设函数()()0,1x x f x ka a a a -=->≠是奇函数. （1）求常k 数的值； （2）若()813f =，且函数()()222x xg x a a mf x -=+-在区间[)1,+∞上的最小值为-2，求实数m 的值.25.若函数()f x 的定义域为R,满足对任意12,x x R ∈，有()()()1212f x x f x f x +≤+,则称()f x 为“V 形函数”.若函数()g x 定义域为R ，恒大于0，且对任意12,x x R ∈，恒有()()()1212lg lg lg f x x f x f x +≤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则称()g x 为“对数V 形函数”.（1）当()2f x x =时，判断()f x 是否是“V 形函数”并说明理由；（2）当时()52xg x =+判断()g x 是否是“对数V 形函数”，并说明理由；（3）若函数()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x R ∈都有()2f x ≥，问()f x 是否是“对数V 形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由.参考答案一、填空题1、52、(3,3)3、24、45、536-6、7、 8、469 9、13 10、75 11、()3,5- 12、217π- 13、27 14、2π 15、0二、选择题16. A 17. B 18. C 19. C 20. B 三、解答题21、3π22、53π23、sin θ为13时，圆2O 的面积最大，最大值是64π 24、（1）1k =；（2）2512m =25、（1）不是，理由略；（2）是，理由略；（3）是，理由略高一年级第二学期数学学科期中考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若43a =，则7S =__________. 2．若34π的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为 ． 3．方程2cos 10x +=的解集是__________．4. 设1cos 9θ=，则sin 2θ的值为__________．5．函数sin y x =233x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的值域为___________．6．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()cos f x x =，则当0x <时，()f x 的解析式为_______________.7．若等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r =⋅+，则r =___________． 8. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶角是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππα，.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B .若点A 的横坐标为31，则点B 的横坐标为________. 9．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图像向左平移a ()0a π<<个单位，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合是__________________．10.已知数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n N +==∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =____________．11．已知数列{}n a 满足511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是 ．12．已知函数()74sin 20,66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像与直线y m =的三个交点的横坐标分别为()123123,,x x x x x x <<，那么1232x x x ++的值是__________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242++=n n S n ，则345a a a ++= （ ） A. 10 B ．11 C ．33 D ．3414．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的 ( ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件15．有下列四个命题：①只有在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，正弦函数()sin f x x =才有反函数；②()()sin arcsin f x x =与()()sin sin g x arc x =是同一函数；③若函数()1tan 3y ax =的最小正周期为π，则1a =；④函数()sin cos 1f x x x =-的最小正周期为π. 其中正确的命题个数为 （ ） A. 0 B ．1 C ．2 D ．316．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ ） A ．2323140 B ．5241280 C ．2603140 D ．5171280三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)设1tan 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知等比数列{}n a 满足：公比()0,1q ∈，且1524257,116a a a a +=⋅=. 三、求数列{}n a 的通项公式；（2）设点(),n n a b 在函数()()2log 01f x x a a =>≠且的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值，并求出此时的n .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 5. 求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 如图，公路AM AN 、围成的是一块角形耕地，其中顶角A 满足tan 2A =-.在该土地中有一点P ，经测量它到公路AM AN 、的距离分别为3km .现要过点修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业区． （1）用sin ,sin B C 来表示BC ；（2）为尽量减少耕地占用，问AB 等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j >表示第i 行第j 个数(),i j N ∈，使得1i ij a a i ==，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第()*n n N ∈行中的各数之和为n b .（1）已知()*1n n b pb q n N +=+∈，求23,,,b b p q 的值；（2）令2n n c b =+，证明：{}n c 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（3）数列{}n b 中是否存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出,,p q r 的关系，若不存在，说明理由.122343477451114115 ......第二学期高一年级数学学科期中考试参考答案 （考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若43a =，则7S =__________.4 2．若34π的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为 ． 21 3．方程2cos 10x +=的解集是__________．22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭4. 设1cos 9θ=，则sin 2θ的值为__________．23±5．函数sin y x =233x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的值域为___________． 32⎛⎤- ⎥ ⎝⎦6．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()cos f x x =，则当0x <时，()f x 的解析式为_______________.()()cos 0f x x x =-<7．若等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r =⋅+，则r =___________．2- 8. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶角是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππα，.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B .若点A 的横坐标为31，则点B 的横坐标为________.1266- 9．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图像向左平移a ()0a π<<个单位，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合是________．2,36ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭10.已知数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n N +==∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =____________．1009323⨯-11．已知数列{}n a 满足511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是 ．17,212⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数()74sin 20,66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像与直线y m =的三个交点的横坐标分别为()123123,,x x x x x x <<，那么1232x x x ++的值是__________.53π二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242++=n n S n ，则345a a a ++= （ C ） A. 10 B ．11 C ．33 D ．3414．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的 ( A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．有下列四个命题：①只有在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，正弦函数()sin f x x =才有反函数；②()()sin arcsin f x x =与()()sin sin g x arc x =是同一函数；③若函数()1tan 3y ax =的最小正周期为π，则1a =；④函数()sin cos 1f x x x =-的最小正周期为π. 其中正确的命题个数为 （ A ） A. 0 B ．1 C ．2 D ．316．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ B ） A ．2323140 B ．5241280 C ．2603140 D ．5171280三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)设1tan 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.解：1tan 1tan tan 241tan 3παααα+⎛⎫+==-⇒=- ⎪-⎝⎭Q . 2222tan 41tan 3sin 2,cos 1tan 51tan 5αααααα-∴==-==-++1sin 22sin 232πααα⎛⎫∴-=-=⎪⎝⎭18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知等比数列{}n a 满足：公比()0,1q ∈，且1524257,116a a a a +=⋅=. 四、求数列{}n a 的通项公式；（2）设点(),n n a b 在函数()()2log 01f x x a a =>≠且的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值，并求出此时的n .解：（1）由11511551552425712571161616111116a a a a a a a a a a a a =⎧⎧⎧⎧+==+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⋅==⋅=⎩⎩⎩⎩或 又()110,1,16,4q a q ∈∴==Q ()1*1164n n a n N -⎛⎫∴=⋅∈ ⎪⎝⎭（2）由题意，()()()162*2221log log 16log 2624n n n n b a n n N --⎡⎤⎛⎫==⋅==-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦{}n b ∴是等差数列，且()()22*4625255224n n n T n n n n N ⋅+-⎛⎫==-+=--+∈ ⎪⎝⎭()23max 6n T T T ∴===.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.解：（1）化简得：()2sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x Q 为偶函数，62k ππϕπ∴-=+又0ϕπ<<Q ，23πϕ∴=又函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π，2,222T T πππωω∴=∴==⇒=()2cos2f x x ∴=，因此2cos 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由题意得()2cos 23x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令2223x k k ππππ≤-≤+，即()g x 的单调递减区间为284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 如图，公路AM AN 、围成的是一块角形耕地，其中顶角A 满足tan 2A =-.在该土地中有一点P ，经测量它到公路AM AN 、的距离分别为3km .现要过点修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业区． （1）用sin ,sin B C 来表示BC ；（2）为尽量减少耕地占用，问AB 等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.解：（1）35,sin sin BP CP B C ==∴， 35sin sin BC BP CP B C=+=+∴. （2）由正弦定理sin sin sin BC AB ACA C B==，得3sin 53sin 5,sin sin sin sin C B C B AB AC B A C A +== ()23sin 5113sin 5sin 3sin 5sin sin sin 222sin sin sin C B C B C BS AB AC A A B C A++∴=⋅⋅==229sin 5sin 65sin 59sin 5sin 651524sin sin 2sin sin 5C B B C C B B C B C ++⎫==+≥⎪⎝⎭ 当且仅当9sin 5sin sin sin C BB C=，即sin 5sin 3C B =时等号成立. 解得5AB =. 答：当5AB =时，该工业区的面积最小值为15.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j >表示第i 行第j 个数(),i j N ∈，使得1i ij a a i ==，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第()*n n N ∈行中的各数之和为n b .（4）已知()*1n n b pb q n N +=+∈，求23,,,b b p q 的值；（5）令2n n c b =+，证明：{}n c 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（6）数列{}n b 中是否存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出,,p q r 的关系，若不存在，说明理由.122343477451114115 ......解：（1）234,10,2b b p q ====. （2）证明：()112222222n n n n n n b c b c b b +++++===++（常数） 又112123c b =+=+={}n c ∴是以3为首项，2为公比的等比数列. 故()1*32n n c n N -=⋅∈ ()1*2322n n n b c n N -∴=-=⋅-∈.（3）不妨设数列{}n b 中存在不同的三项()*,,,,,p q r b b b p q r p q r N >>∈其中恰好成等差数列. 即2q p r b b b =+()()()1112322322322q p r ---∴⨯⋅-=⋅-+⋅- 化简得：()22211,2q r p r q r p r --⨯=--≥-≥其中显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立. 故数列{}n b 中不存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列.。
上海市复旦大学附属中学高一下学期期中考试试卷含答案
复旦大学附属中学第二学期 高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟满分150分所有答案均写在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．函数()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为__________．2．α为第三象限角，且coscos22αα=-，则2α在第_______象限． 3．已知扇形的周长为20cm ，面积为216cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为_________．4．函数2()log (tan f x x =的定义域为_________． 5．方程1sin 3x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的解为x =_________（用反三角函数表示） 6．已知奇函数()f x 的一个周期为2，当(0,1)x ∈时，()cos 3xf x π=，则(7.5)f =_______．7．已知角α满足1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 8．函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为_________． 9．函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤⎥⎝⎦上的值域是_______． 10．已知()4sin 3cos ,()f x x x f x =+向右平移(0)ααπ<<个单位后为奇函数，则tan α=_______．11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数()f x 在区间[,]()a b a b <上的取值范围与在区间[,]b a --上的取值范围是相同的；②周期函数()f x 在一个周期内的取值范围也就是()f x 在定义域上的值域，由此可求函数()|sin |cos |g x x x =的值域为_________．12．已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()sin F x f x x π=-，在区间[2,]m -上有2021个零点，则m 的取值范围是___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．13．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2πϕ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 14．在ABC 中，2sin 22A c bc-=，则ABC 的形状为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 15．设定义在R 上的函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．则()f x （ ） A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 16．设函数()2sin()1(0)f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．816,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．164,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．820,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的始边为x 轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P ． （1）若点P 的横坐标为35-，求cos 3sin 3sin cos θθθθ+-的值．（2）若将射线OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α，若1tan 3α=，求tan θ的值． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()(),0,64h x f x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求()h x 的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图某公园有一块直角三角形ABC 的空地，其中,,26ACB ABC AC ππ∠=∠=长a 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF 建文化景观区，其中D E F 、、分别在BC AC AB 、、上．设DEC θ∠=．（1）若3πθ=，求DEF 的边长；（2）当θ多大时，DEF 的边长最小？并求出最小值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知数2()32sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域． （3）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的根从小到依次为12,,n x x x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题第（ⅰ）问满分6分，第2小题第（ⅱ）问满分8分） 在非直角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若2a c b +=，且3B π=，判断三角形ABC 的形状；（2）若(1)a c mb m +=>，（ⅰ）证明：1tantan 221A C m m -=+； （可能运用的公式有sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=）（ⅱ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos cos ()()cos cos A C m m A Cϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由．复旦大学附属中学第二学期 高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟 满分150分 所有答案均写在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．【答案】：π【解析】：函数()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期22T ππ==． 2．【解析】：因为α以为第三象限角，所以322,2k k k Z πππαπ+<<+∈，所以3,224k k k Z παπππ+<<+∈又因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α<，所以在第二象限．3．【答案】：12【解析】：设扇形半径为r ，弧长为l ，所以2201162l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得162l r =⎧⎨=⎩或48l r =⎧⎨=⎩，所以8l r α==（舍）或12l r α==所以扇形的圆心角α的弧度数为124．【答案】：,32xk x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z【解析】：根据题意得，tan 0x ->，即tan x >22,32k x k k Z ππππ+<<+∈所以函数2()log (tan f x x =的定义域,32x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z5．【答案】：1arcsin3π- 6．【答案】：2-【解析】：根据题意得，(7.5)(0.58)(0.5)(0.5)cos 6f f f f π=-+=-=-=-=7．【答案】：79【解析】：227sin 2cos 2cos 212sin 16263699πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．【答案】：,,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z【解析】：()cos 2cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以单调递增区间为,,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z9．【解析】：222()cos sin 21sin sin 1sin sin 2f x x x x x x x =++=-++=-++ 令7sin ,,46t x x ππ⎛⎤=∈⎥⎝⎦，则1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2()2f t t t =-++ 所以22minmin 115119()2,()2224224f t f t ⎛⎫⎛⎫=---+==-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以59(),44f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以59(),44f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的值域是59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．【答案】：34【解析】：由根据题意可得，函数()4sin 3cos 5sin()f x x x x ϕ=+=+，其中3tan 4ϕ= 因为()f x 向右平移α个单位后，可得()5sin[()]5sin()g x x x αϕαϕ=-+=-+，又由()5sin()g x x αϕ=-+为奇函数，所以,k k Z ϕαπ-=∈，即,k k Z αϕπ=-∈， 又因为0απ<<，所以αϕ=，所以3tan tan 4αϕ==．11．【答案】：[1,2]【解析】：()|sin |cos |g x x x =是偶函数，周期为π．当[0,]x π∈时，sin ,0,2()|sin ||cos |sin ,,2x x x g x x x x x x πππ⎧⎛⎫⎡⎤+∈⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎡⎤⎪-∈ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎩所以2sin 0,32()2sin ,32x x g x x x πππππ⎧⎛⎫⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎩，所以()g x 值域为[1,2]12．【解析】：由题意，函数()f x 为R 上奇函数，所以(0)0f =，且()()f x f x -=-， 又(2)()0f x f x -+=，可得(2)()f x f x -=-，可得函数()f x 的图像关于点(1,0)对称， 联立可得(2)()f x f x -=-，所以()f x 是以2为周期的周期函数， 又由函数sin y x π=的周期为2，且关于点(,0)()k k Z ∈对称， 因为当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，由图像可知，函数2()log f x x =-和sin y x π=的图像在[1,1)-上存在1234111,,0,22x x x x =-=-==四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数()()sin F x f x x π=-，在区间[2,]m -上有2021个零点，其中1234312,,1,22x x x x =-=-=-=-都是函数的零点，即函数()()sin F x f x x π=-在[0,]m 上有2017个零点，如果m 是第207个零点，则20171210084m -=⨯=，如果m 是第2018个零点，则12017100822m =+=，即20171008,2m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．13．【答案】：A 【解析】：①当2πϕ=时，()2sin 22cos22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∵()2cos(2)2cos2()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数， ②当()f x 为偶函数时，,Z 2k k πϕπ=+∈，综上所述，2πϕ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件，故选：A14．【答案】：B【解析】：21cos sin 222A c b A c --==，即cos b A c =，所以sin cos sin BA C=，所以cos cos sin A C B =cos sin sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，所以cos 0C =，所以cos 0C =是直角数学卷，故选B 15．【答案】：4【解析】：|sin |y x =图像如图，可知|sin |y x =的周期为π，严格单调递增区间是,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的严格单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，令1k =，易知A 正确16．【答案】：B【解析】：令()0f x =，则1sin()2x ωϕ+=，令t x ωϕ=+，则1sin 2t = 则问题转化为sin y t =在区间3,44ππωϕωϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上至少有两个，至多有三个t ，使得1sin 2t =， 作出sin y t =和12y =的图像，观察交点个数，可知使得1sin 2t =的最短区间长度为2π，最长长度为223ππ+， 由题意列不等式的：3222443πππωϕωϕππ⎛⎫⎛⎫≤+-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：1643ω≤<，故选B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．【答案】：见解析【解析】：（1）因为P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35-，可求得纵坐标为45，所以4tan 3θ=-， 所以cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--．（2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则11tan 113tan tan 141tan 213παθαα--⎛⎫=-===- ⎪+⎝⎭+18．【答案】：见解析 【解析】：（1）由图可得37341264A T πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，∴T π=， ∴22πωπ==，则())f x x ϕ=+，又7721212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,3k k Z πϕπ=+∈， ∵02ϕπ<<，∴3πϕ=，∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）()()226363h x f x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦233sin 2sin 23sin 2cos cos2sin sin 2sin 22cos233322x x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3333sin 4cos4sin 4444264x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． ∵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则当462x ππ-=时，()h x 取得最小值为0， 当462x ππ-=时，()h x 取得最大值为94，()h x 的取值范围为90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．【答案】：见解析【解析】：（1）设DEF 的边长为x 千米 由3πθ=，得11,22CE x AE a x ==-．在AEF 中，,333FEA A ππππθ∠=--=∠=，∴AEF 为等边三角，得12AE x a x ==-，解得23x a =．所以DEF 的边长等于23a 千米．（2）设DEF 的边长为x 千米．则cos CE x θ=，cos AE a x θ=- 在AEF 中，2,,33FEA A EFA ππθθ∠=-∠=∠=，∴cos sin sin 3x a x θπθ-=，解得x ===，当2πθ+=，arctan 2πθ=-min 7ax ==所以当2πθ=-时，DEF的边长取得最小值为7千米 20．【答案】：见解析【解析】：（1）由题意，函数2())2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭因为函数()f x 图像的相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，可得2w =．（2）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，可得2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像． 再把橫坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin 43y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图像．当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x()g x的值域[-．（3）由方程4()3g x =，即42sin 433x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2sin 433x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设43x πθ=-，其中,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=， 结合正弦函数sin y θ=的图像，可得方程2sin 3θ=在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =， 其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=， 即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-= 解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+= 所以()()()()1234512233445202223x x x x x x x x x x x x x π+++++=+++++++=． 21．【答案】：见解析 【解析】：（1）由余弦定理得222b ac ac =+-，将2a cb +=代入得到ac =，所以ABC 为等边三角形． （2）（ⅰ）由a c mb +=及正弦定理sin sin sin a b c A B C==得sin sin sin A C m B +=， 所以2sin cos 2sin cos 2222A C A C B B m +-=，因为222A C B π+=-， 所以()2sin cos 2sin cos 2sin cos 22222222B A C A C B A C B m m πππ--++⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有cos cos 22A C A C m -+=，由两角和、差的余弦公式可得 cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 222222222222A C A C A C A C A C A C m m m ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，整理得(1)sinsin (1)cos cos 2222A C A C m m +=-， 故1tan tan 221A C m m -=+． （ⅱ）由1tan tan 221A C m m -=+及半角正切公式1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+可得 21cos sin 1cos sin 1cos 1cos tan tan 22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos A C A A C C A C A A C C A C ----⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅ ⎪++++⎝⎭22(1)(1)m m -=+， 展开整理得()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-， 即()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C-++=-， 即222cos cos 21cos cos 1mA C m m A C m +-+=+， 即222cos cos 112cos cos 1m A C m m A C m +-+=--+，与原三角式作比较可知()m ϕ存在且22()1m m m ϕ=-+．。
上海市杨浦区2022年高一《数学》下学期期中试卷与参考答案
上海市杨浦区2022年高一《数学》下学期期中试卷与参考答案一、填空题共10小题，每小题4分，满分40分。
1．已知向量，则＝ ．2．已知i为虚数单位，则复数2+i的虚部是 1 ．3．已知tan（x+）＝2，则tanx的值为 ．4．函数的严格减区间为 [2kπ﹣，2k]，k∈Z ．5．已知，则＝ ．6．将函数y＝f（x）图像上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数y＝f1（x）的图像，再将y＝f1（x）的图像向上平移1个单位后得到函数y＝sinx的图像，则y＝f （x）的函数表达式是y＝ sin2x﹣1 ．7．设平行四边形ABCD中，△BCD的重心为H，，则μ3λ＝ ．8．已知i为虚数单位，|z|＝1，则＝ 9 ．9．设函数y＝f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，且，则ω的最小值为 ．10．设锐角△ABC的外心为O，且，则tanA+cotA＝ 8 ．二、选择题共4小题，每小题5分，满分20分。
11．①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线AB与直线CD平行．上面说法中正确的有（ ）个A．0B．1C．2D．3答案：B．12．在△ABC中，下列说法中错误的是（ ）A．sinA＞0B．cosA+cosB＞0C．sinA+sinB＞sinCD．cos2A+cos2B﹣cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形答案：D．13．设函数y＝f（x）＝tan3x+x﹣3π，则f（x）在[﹣π，7π]上所有零点的和为（ ）A．36πB．39πC．72πD．75π答案：D．14．有下面两个命题：①若y＝f（x）是周期函数，则y＝f（f（x））是周期函数；②若y＝f（f（x））是周期函数，则y＝f（x）是周期函数，则下列说法中正确的是（ ）A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误答案：B．三、解答题共4小题，满分60分。
15．已知向量．（1）若，求实数m的值；（2）若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围．答案：（1）由已知可得2m﹣4﹣m2+m+2＝0，解得m＝1或2．（2）因为可以构成平面上的一个基底，所以不平行，所以m﹣2≠﹣2m2+2m+4，所以m≠2且，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，2）∪（2，+∞）．16．设m是实数，关于x的方程x2﹣（m+2）x+m2+3m+1＝0有两根x1，x2．（1）若，求m的取值范围；（2）若|x1﹣x2|＝2，求m的取值范围．答案：（1）∵，∴方程有两实根或一对虚根，∴Δ≤0，即（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m≤0，解得．（2）①若有两个不等实根，由Δ＞0，∴﹣＜m＜0，∵|x1﹣x2|＝2，∴﹣4x1•x2＝4，则（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m＝4，∴3m2+8m+4＝0，于是或﹣2，②若是两个虚根，则两根为，于是，得到3m2+8m﹣4＝0，于是．∴m的取值范围为{﹣，﹣2，}．17．在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件△ABC．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品△ABC，其中，求sinB，sinC的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且AD＝1，并要求小宋加工的工件△ABC的BC边经过点D，则：①用角B表示工件△ABC的面积S；②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．答案：（1）因为，所以且B为三角形内角，所以或B＝，所以或C＝．所以或sinB＝，．（2）①在△ABD和△ACD中由正弦定理，得＝，＝，所以，于是；②利用二倍角公式和积化和差公式可得：由题意可得．所以当即时，S取到最小值．18．已知函数y＝f（x），x∈D．若存在a＞0使得g（x）＝f（x）+ax是严格增函数，那么称f（x）为缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时，sinx＜x．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①y＝﹣2x﹣10②y＝﹣x3（无需写出理由）；（2）求证：y＝g（x）＝cosx是“缓降函数”；（3）已知m≥0，求证：是“缓降函数”的充要条件是m＞0．答案：（1）①是“缓降函数”，②不是“缓降函数”．（2）证明：当时，由题意得，所以再结合所给事实可得：当x∈（0，+∞）时，sinx＜x．令g（x）＝cosx+ax，再取a≥1，x2＞x1，于是g（x2）﹣g（x1）＝cosx2﹣cosx1+a（x2﹣x1）＝这说明y＝cosx是“缓降函数”．（3）证明：令充分性：已知m＞0，取，则，于是是严格增函数，所以是缓降函数．必要性：用反证法，当m＝0时，若存在a＞0使g（x）＝f（x）+ax是严格增函数，令k＝[a]+1，这里[a]代表不大于a的最大整数，取．此时我们知道，这说明g（x2）﹣g（x1）＜0与严格增函数矛盾．此即说明不是缓降函数。
上海市高一下学期数学期中考试试卷
上海市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 11 题；共 22 分)1. （2 分） 已知集合 A={1，2，3}，B={1，4}，那么集合（）A . {1}B . {4}C . {2，3}D . {1，2，3，4}2. （2 分） (2016 高一下·郑州期中) 下列说法中正确的是（ ）A . 数据 4、6、6、7、9、4 的众数是 4B . 一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C . 数据 3，5，7，9 的标准差是数据 6、10、14、18 的标准差的一半D . 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数3. （2 分） 为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的 6 次数学测试的分数进行统计，甲乙 两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是 ， ， 则下列说法正确的是（ ）A.， 乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B.， 甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C.， 甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛第 1 页 共 18 页D.， 乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛4. （2 分） 与向量 =（ ， 1）， =（1， ）的夹角相等且模为 的向量为（）A.B.C.D.,5. （2 分） (2018·永州模拟) 若复数 是纯虚数，且 （）A.B.C.1D.2（， 是虚数单位），则6. （2 分） (2020 高二下·大庆月考) 已知 i 是虚数单位，若为虚数单位， 是 的共轭复数，则的值为（ ）A.，复数，B.C. D.7. （2 分） (2019·黄山模拟) 已知向 ， 满足| |=2，| |=第 2 页 共 18 页，且 ⊥（ +2 ），则在 方向上的投影为（ ） A.1B.-C. D . -1 8. （2 分） (2016 高一下·滑县期末) 下列向量与向量 =（﹣4，3）垂直，且是单位向量的为（ ） A . （﹣4，3） B . （﹣3，﹣4）C . （﹣ ， ）D . （﹣ ，﹣ ）9. （2 分） (2019 高一上·利辛月考) 的取值范围是（ ）为钝角三角形，，，， 为钝角，则A.B.C.D.10. （2 分） (2018·山东模拟) 已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，若动点 P 满足A . 内心 B . 外心 C . 重心则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）第 3 页 共 18 页D . 垂心11. （2 分） (2018·郑州模拟) 设向量，（），且，若，则实数A.B.C.1D.2二、 填空题 (共 9 题；共 9 分)12. （1 分） (2020 高二下·成都期末) 已知一组数据方差为 2，则，，，，为________.，，，，，，， ，，，的 这组数据的方差13. （1 分） (2020·江苏模拟) 已知复数 满足（ 为虚数单位），则复数 z 的实部为________.14. （1 分） (2018 高一上·桂林期中) 已知球的表面积为,则该球的体积为________.15. （1 分） (2019 高二上·怀仁月考) 如下图所示,梯形图(斜二测画法),若,,,________.是水平放置的平面图形的直观,则四边形的面积是16. （1 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 与向量垂直的单位向量为________．17. （1 分） 已知向量 ， 满足，| |=1，| |= ，| ﹣2 |= ，则| + |=________．18.（1 分）(2019 高一下·浙江期中) 已知 , 是不共线的两个单位向量，,,第 4 页 共 18 页若,则________；若对任意的, 与 都不可能垂直，则 在 上的投影为________19. （1 分） (2020·泰安模拟) 一个房间的地面是由 12 个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即 地面的方法有________种.或，则用 6 块瓷砖铺满房间20.（1 分）(2017 高二上·河南月考) 在中，角所对的边分别为，若，的面积等于 ，则 的取值范围是 ________.三、 解答题 (共 4 题；共 45 分)21. （10 分） (2016 高一下·广州期中) 已知： 、 、 是同一平面上的三个向量，其中 =（1，2）．（1） 若| |=2 ，且 ∥ ，求 的坐标．（2） 若| |= ，且 +2 与 2 ﹣ 垂直，求 与 的夹角 θ 22. （15 分） 移动公司在国庆期间推出 4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选 择套餐一的客户可获得优惠 200 元，选择套餐二的客户可获得优惠 500 元，选择套餐三的客户可获得优惠 300 元．国 庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人，再从该 6 人中随机选出两人，求这两人获得相等 优惠金额的概率．第 5 页 共 18 页23. （5 分） (2019 高二上·滁州月考) 在接圆半径为 6，，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积的最大值．24. （15 分） (2020 高一下·绍兴期末) 在． （1） 求角 B 的大小；中，内角 、 、 所对的边分别为中，内角的对边分别为（2） 设点 D 是 的中点，若，求的取值范围．，其外第 6 页 共 18 页一、 单选题 (共 11 题；共 22 分)答案：1-1、 考点： 解析： 答案：2-1、 考点：参考答案解析： 答案：3-1、 考点： 解析：答案：4-1、 考点：第 7 页 共 18 页解析：答案：5-1、 考点： 解析： 答案：6-1、 考点：第 8 页 共 18 页解析： 答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点：解析： 答案：9-1、第 9 页 共 18 页考点： 解析：答案：10-1、 考点： 解析：答案：11-1、 考点：第 10 页 共 18 页解析：二、填空题 (共9题；共9分)答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共45分)答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：。
上海市嘉定区高一下学期期中考试(数学含答案)
上海市嘉定区第二学期期中考试高一数学试卷满分：100分 完成时间：90分钟一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．由02010sin ,02010cos <>可知，2010弧度的角为第______________象限的角. 2．若角α的终边经过点)3,(x P ，且21cos =α，则=x ． 3．函数2lg-=x xy 的定义域为 ． 4．已知m =2lg ，则用m 表示5lg 的值为______________________． 5．设函数)1(1)(2>-=x xx f 的反函数为)(1x f-，则=--)2(1f________________．6．1)2lg(=+x 的解为__________________． 7．满足方程931=-x 的x 的值为_______________________．8．把ααsin 3cos +化为)20,0)(sin(πϕϕα<<>+A A 的形式即为_______________．9．若一个扇形的圆心角为3π，弧长为π，则这个扇形面积为_______________． 10．化简：()()()=--+--+⎪⎭⎫⎝⎛+ααπαπαπsin sin sin 2cos _______________． 11．已知⎪⎭⎫⎝⎛<<∈-=παπαα2,41cos ，则=α2sin ________________． 12．某汽车厂生产的汽车数，从今年起每年比上一年平均增长%15，则至少经过___________年，该汽车厂生产的汽车数可以增长到原来的3倍（精确到1年）.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）13．“21c o s =α”是“3πα=”的……………………………………………………（ ） (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件14．若把︒1000化成)9090(360︒<<︒-+︒⋅ααk 的形式，则α的值等于…………（ ） （A ）︒8 （B ）︒-8 （C ）︒80 （D ）︒-8015．函数()0lg )(>=x xx f 的大致图像为…………………………………………（ ）16．函数)(log )(k x x f a -=的图像经过点)0,2(，而它的反函数)(1x f-的图像经过点)6,1(，则函数)(log )(k x x f a -=在定义域内为…………………………………（ ） (A) 增函数 (B) 减函数 (C) 奇函数 (D) 偶函数 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17．（本题满分8分） 已知3sin 5α=，4cos 5β=-，α、(,)2πβπ∈，求cos()αβ+的值． 解：(A)18．（本题满分10分，第(1)题7分，第(2)题3分） 已知tan 2α=，1tan 7β=，α、(0,)2πβ∈． 求：(1) tan(2)αβ+的值；(2) βα+2的值． 解：19．（本题满分10分，第(1)题5分，第(2)题5分） 解下列方程：（1）)2lg()2lg()1lg(+=-+-x x x ；（2）01log )(log 2323=--⋅x x .解：20．（本题满分10分，第(1)题4分，第(2)题6分） 设函数)1(),1(log )(2->+=x x x f . (1)求其反函数)(1x f -； (2)解方程74)(1-=-x x f.解：21．（本题满分14分，第(1)题3分，第(2)题5分,第(3)题6分） 已知函数)1,0(22log )(≠>-+=a a xxx f a. （1）求()f x 的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；（3）当01a <<时，求使()0f x >成立时x 的取值范围.。
2021-2022学年上海市格致中学高一下学期数学期中考试试卷含详解
上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1.已知向量(3,1)a =-与(,2)b x = 共线，则x =_______．2.已知θ是=_______．3.已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.4.已知(1,2),(2,2)a b =-=- ，则a b - 的单位向量的坐标为_______．5.若函数2sin 4=+y x x 的最小值为1，则实数=a __________.6.若关于x 的方程12cos 2ax ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，则a 的取值范围是_____．7.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC =__________．8.已知AB AC ⊥，1AB t = ，AC t =,若点P 是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于________.9.若1122l log sin si 2n og αβ+=，且()cos cos 1279βα=，求()cos 22αβ+=____________.10.将函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(ω>0)的图像向左平移3ωπ个单位，得到函数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为________．11.设a b c 、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅= ，则a b ⋅ 的值为_______.12.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1,2,3)n n n n A A A A n +++⋅== ，112||||21(1,2,3)n n n n A A A A n n +++⋅=-=，则15||A A 的最小值为______．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅> ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.函数π3tan 34y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个对称中心是（）A.π,03⎛⎫⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫-⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭15.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A.πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭16.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈ (),AD AB R μμ=∈ 且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”,则下面说法正确的是A.M 可能是线段AB 的中点B.,M N 可能同时在线段BA 延长线上C.,M N 可能同时在线段AB 上D.,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上三、解答题（本大题共4题，满分56分）17.已知25cos()5αβ+=，1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值；（2）求2αβ+的值．18.已知向量()cos ,1m x =-r，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r．（1）求函数()f x 的最小正周期T ，以及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，1a =，c =(A)f 恰是()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC 的面积．19.如图，梯形ABCD ，2DA = ，π3CDA ∠=，2=DA CB ，E 为AB 中点，(0)DP DC λλ=≠ ．（1）当13λ=时，用向量,DC DA 表示的向量PE ；（2）若||(= DC t t 为大于零的常数），求||PE 的最小值，并指出相应的实数λ的值．20.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x23π-π31x 2x 10π3x ωϕ+0π2π32π2πsin()x ωϕ+0101-0()f x 032y 0（1）请利用上表中的数据，写出1x 、2y 的值，并求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若|()|2g x m -<在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若23()()()13=+⋅-F x g x g x 在(0,2019π)x ∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1.已知向量(3,1)a =-与(,2)b x = 共线，则x =_______．【答案】6-【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量(3,1)a =-与(,2)b x =共线，所以()3210x ⨯--=，故6x =-．故答案为：6-.2.已知θ=_______．【答案】cos θ【分析】根据同角的平方关系即可化简得到结果.cos θ==，且θ是第四象限角，则cos 0θ>，即cos cos θθ=cos θ=故答案为:cos θ3.已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【答案】3π【分析】先结合212S r α=求出r ，再由l r α=求解即可【详解】由2162S r r α=⇒==，则6183l r ππα==⨯=故答案为：3π【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题4.已知(1,2),(2,2)a b =-=- ，则a b - 的单位向量的坐标为_______．【答案】34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】先由向量的线性运算求得(3,4)a b -=-，再由模的坐标表示求得5a b -= ，从而求得所求.【详解】因为(1,2),(2,2)a b =-=-，所以(3,4)a b -=-，故5a b -== ，则a b - 的单位向量的坐标为34,55a b a b ⎛⎫- ⎪⎝-=⎭-．故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭.5.若函数2sin 4=+y x x 的最小值为1，则实数=a __________.【答案】5【分析】由辅助角公式得2sin x x +的最小值为，由此可求得a 值．【详解】2sin 4)4y x x x ϕ=++=++，其中tan 2ϕ=，且ϕ终边过点．所以min 41y ==，解得5a =．故答案为：5．【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，掌握辅助角公式对解题关键．设()sin cos f x a x b x =+，则())f x x ϕ=+，其中tan b aϕ=，ϕ角终边过点(,)a b ．由此易求得函数的最值，易研究函数的其他性质．6.若关于x 的方程12cos 2ax ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，则a 的取值范围是_____．【答案】(),1-∞-【分析】先由三角函数的值域得到[]2cos 2,2y x =∈-，再由方程12cos 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解得到212a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭或212a⎛⎫⎪⎝<-⎭，解之即可.【详解】因为[]2cos 2,2y x =∈-，所以由方程12cos 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解可得212a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭或212a⎛⎫⎪⎝<-⎭，因为指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且102xy ⎛⎫=> ⎪⎝⎭恒成立，所以由111222a->=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1a <-，由212a⎛⎫⎪⎝<-⎭可知a ∈∅，综上：1a <-，则(),1a ∞∈--.故答案为：(),1-∞-.7.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．【答案】1【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-=====考点：正余弦定理解三角形8.已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t = ,若点P 是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于________.【答案】13【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB PC ⋅ 为1174t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ,1,0B t⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,C t,4AB AC AP AB AC=+()1,4P ∴,11,4PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--11PB PC t ⎛⎫∴⋅=-- ⎪⎝⎭ ()144174t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1713≤-=,当且仅当14t t =，即12t =时，取等号PB PC ∴⋅的最大值为13,故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.9.若1122l log sin si 2n og αβ+=，且()cos cos 1279βα=，求()cos 22αβ+=____________.【答案】4972【分析】将等式化简可得1sin sin 4αβ=,2cos cos 3αβ-=,可得()11cos 12αβ+=,进而利用二倍角公式求解即可【详解】由题,()111222log log sin sin l g s 2o in sin ααββ+==,即211sin sin 24αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()cos cos 1279βα=,则3cos cos 233αβ-=,即2cos cos 3αβ-=,则()2111cos cos cos sin sin 3412αβαβαβ+=-=--=-,所以()()()221149cos 22cos 22cos 1211272αβαβαβ⎛⎫+=+=+-=⨯--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭故答案为4972【点睛】本题考查对数、指数的计算法则,考查和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查运算能力10.将函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(ω>0)的图像向左平移3ωπ个单位，得到函数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为________．【答案】2【详解】试题分析：根据“左加右减”原则，向左平移3πω个单位，可知()2sin 2sin 33g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，y ＝g(x)在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，可知周期44T π≥，所以1244ππω⋅≥，即2ω≤，ω的最大值为2．考点：三角函数的性质与图像的平移．11.设a b c、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，则a b ⋅的值为_______.【答案】132-【分析】利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=可设a b k ⋅= ，设,a b 的夹角为θ，则,b c 的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅，建立θ方程关系求解即可.【详解】():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，设a b k ⋅= ，则,2b c k a c k ⋅=⋅= ，a b c、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b 的夹角为θ，则,b c的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=，22cos 2cos 10θθ--=，解得13cos 2θ=，或13cos 2θ=（舍去）.所以13cos 2a b θ-⋅==.故答案为：132-．【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题.12.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1,2,3)n n n n A A A A n +++⋅== ，112||||21(1,2,3)n n n n A A A A n n +++⋅=-= ，则15||A A的最小值为______．【答案】263【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出15||A A，再用基本不等式求解出最值即可.【详解】由题意设12||A A x = ，则23||1A A x = ，3445||3,||35A A x A A x== ，设1(0,0)A ，如图，因为求15||A A的最小值，则2(,0)A x ，31(,)A x x ，41(2,)A x x -，52(2,)3A x x--，所以215224||9843A A x x =+≥ ，当且仅当22449x x =，即13x =时取等号，所以15||A A 的最小值为263．故答案为：263.【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到212254||94x A A x=+，再利用基本不等式即可求出最值.二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据共线定理定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，存在正数λ，使得λ= m n ，所以m ，n同向，所以||||cos ,0m n m n m n ⋅=⋅⋅> ，即充分性是成立的，反之，当非零向量,a b 夹角为锐角时，满足0m n ⋅>，而λ= m n 不成立，即必要性不成立，所以“存在正数λ，使得λ= m n ”是“0m n ⋅>”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查了以共线向量和向量的数量积为背景的充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14.函数π3tan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个对称中心是（）A.π,03⎛⎫⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫-⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【分析】求解出对称中心为ππ,0,Z 612k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对k 赋值则可判断.【详解】令ππ3,Z 42k x k -=∈，解得ππ,Z 612k x k =+∈，所以函数π3tan 34y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的对称中心是ππ,0,Z 612k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令2k =-,得函数π3tan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：C.15.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A.πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】依题意可得，7ππ3π2π,Z 1262k k ωω⨯+=+∈，从而可求得ω，结合平移后的函数图象可确定ω的取值范围，继而可得ω的值，最后得函数的解析式．【详解】解： 函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，为ππsin sin 66y x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴由图象得：7ππ3π2π,Z 1262k k ωω⨯+=+∈①，解得：82,Z 3k k ω=+∈，又有图可知，最小正周期2πT ω=满足12π7π21232π7π412ωω⎧⋅<⎪⎪⎨⎪⋅>⎪⎩，即121877ω<<②结合①②得：2ω=∴平移后的图象所对应的函数的解析式为：πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：C ．16.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈ (),AD AB R μμ=∈ 且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”,则下面说法正确的是A.M 可能是线段AB 的中点B.,M N 可能同时在线段BA 延长线上C.,M N 可能同时在线段AB 上D.,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【详解】试题分析：解：若M 是线段AB 的中点，则12λ=,从而1120λμ=⇒=这是不可能的，所以选项A 不正确.若,M N 同时在线段BA 延长线上，则有1,1λμ<-<-，与112λμ+=矛盾，所以选项B 不正确.若,M N 同时在线段AB 上，则有01,01λμ<<<<，所以112λμ+>与112λμ+=矛盾，所以选项C 不正确.若,M N 同时在线段AB 的延长线上，则有1,1λμ>>，所以1102λμ<+<与112λμ+=矛盾，所以选项D 正确.故选：D考点：数乘向量的概念与性质.三、解答题（本大题共4题，满分56分）17.已知cos()5αβ+=，1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值；（2）求2αβ+的值．【答案】（1）2725（2）π4【分析】（1）利用22sin cos 1ββ+=将所求式子转化为齐次分式，从而利用sin tan cos βββ=即可得解；（2）先由cos()5αβ+=及π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得5sin()5αβ+=，从而得到1tan()2αβ+=，再利用正切的和差公式求得1tan 3α=，进而得解.【小问1详解】因为1tan 7β=，所以222222cos 2sin sin cos cos 2sin sin cos sin cos ββββββββββ-+-+=+2212tan tan 27tan 125βββ-+==+．【小问2详解】因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0παβ<+<，又因为25cos()5αβ+=，所以π02αβ<+<，sin()5αβ+==，所以1tan()2αβ+=，又1tan 7β=，所以由tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-，解得1tan 3α=，所以11tan()tan 23tan(2)tan[()]111tan()tan 16αβααβαβααβα++++=++===-+-，又π02αβ<+<，π02α<<，故02παβ<+<，所以π24αβ+=．18.已知向量()cos ,1m x =-r ，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r．（1）求函数()f x 的最小正周期T ，以及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，1a=，c =(A)f 恰是()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC 的面积．【答案】（1）()f x 的最小正周期πT =.()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减.（2）32或34.【分析】（1）先求出()πsin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出最小正周期和单调区间；（2）先求出角A ，再利用正弦定理求出角C ，即可求出B ，进而求出ABC 的面积．【小问1详解】因为向量()cos ,1m x =-r，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r，所以()()f x m n m=+⋅r r r()3cos ,cos ,12x x x ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭23cos cos2x x x =++1cos 2222x x =++πsin 226x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.令π26t x =+，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π7π,66t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为sin y t =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减.【小问2详解】由题意及（1）中的单调性，可得：π6A =.在ABC 中，1a =，c =sin sin a c A C =得：13πsin sin 6C =，解得：3sin 2C =.所以π3C =或2π3C =.当π3C =时，π2B =,所以ABC 的面积11sin 11222ABC S ac B ==创;当2π3C =时，π6B =,所以ABC 的面积111sin 12224ABC S ac B ==⨯= .故ABC 的面积为32或34.19.如图，梯形ABCD ，2DA = ，π3CDA ∠=，2= DA CB ，E 为AB 中点，(0)DP DC λλ=≠ ．（1）当13λ=时，用向量,DC DA 表示的向量PE ；（2）若||(= DC t t 为大于零的常数），求||PE 的最小值，并指出相应的实数λ的值．【答案】（1）3146PE DA DC=+ （2）334；1324λ=+t 【分析】（1）结合图形，先证得四边形ABCF 是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.（2）结合（1）中的结论，得到PE关于λ的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到2PE关于λ的二次表达式，从而可求得||PE 的最小值及相应的λ值.【小问1详解】过C 作//CF AB 交AD 于F ，如图，因为2=DA CB ，所以//DA BC ，2DA BC =，则四边形ABCF 是平行四边形，故22DA BC AF ==，即F 是AD 的中点，所以111111222242===-=-BE BA CF DF DC DA DC ，当13λ=时，23=PC DC ，所以211131324246=++=++-=+PE PC CB BE DC DA DA DC DA DC ．.【小问2详解】因为DP DC λ=，所以(1)λ=- PC DC ，所以111(1)242PE PC CB BE DC DA DC λ=++=-++- 1324DC DA λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2cos60DC DA t t ⋅=︒= ，22= DC t ，24=DA ，所以22221931132724222416PE t t t λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以当1324t λ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1324λ=+t 时，2PE 取得最小值2716．所以PE的最小值为4，此时1324λ=+t ．20.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：（1）请利用上表中的数据，写出1x 、2y 的值，并求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若|()|2g x m -<在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若23()()()13=+⋅-F x g x g x 在(0,2019π)x∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．【答案】（1）14π3x =，2y =()f x 的解析式为1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）62,22⎫-+⎪⎪⎭；（3）2a =,()F x 在(0,2019π)共有3029个不同的零点.【分析】（1）利用“五点法”列方程求出1x 、2y 的值，进而求出解析式；（2）先利用图像变换求出()g x x =，列不等式组即可求出实数m 的取值范围；（3）令sin t x =,考虑方程2310t at +-=的根的情况，[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-，分类讨论：①1211t t -<<<，②[]12(1,1),1,1t t ∈-∉-和[]21(1,1),1,1t t ∈-∉-，③21t =，④11t =-,分别求解.【小问1详解】由“五点法”及表格数据分析可得：A =所以2y =由2π03ππ32ωϕωϕ⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得：12π3ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由11ππ23x +=，解得：14π3x =.综上所述：14π3x =，2y =()f x 的解析式为1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）知1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，得到ππ)2332x x y =-+=，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，所以()g x x =.当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2t g x x ==∈⎣.因为|()|2g x m -<在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以||2t m -<在62t ∈⎣上恒成立，所以||2m t -<在62t ∈⎣上恒成立，所以22t m t -<<+在62t ∈⎣上恒成立，6222m -<<+.即实数m的取值范围为2,22⎫+⎪⎪⎭.【小问3详解】由（2）可知：2()3sin sin 1F x x a x =+-，()F x 周期为2πT =.当(]0,2πx ∈时,令sin t x =,考虑方程2310t at +-=的根的情况：因为2120a ∆=+>，所以方程2310t at +-=在R 上必有两个不同的实数根1212,,t t t t t t ==<.因为()F x 在(0,2019π)有奇数个零点,所以[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-.①若1211t t -<<<，则方程12sin ,sin t x t x ==在(]0,2π共有4个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.所以()0F x =在(0,2019π)有20191440362-⨯=个根或201914240382-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去；②若[]12(1,1),1,1t t ∈-∉-，则1sin t x =在在(]0,2π共有2个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.所以()0F x =在(0,2019π)有20191220182-⨯=个根或201912220202-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去.同理：[]21(1,1),1,1t t ∈-∉-也不符合题意，舍去.所以11t =-或21t =③若21t =,则2a =-,方程2310t at +-=的根121,13t t =-=.方程1sin ,1sin 3x x -==在(]0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin 3x -=无解，1sin x =有一个不同的根,,所以()0F x =在(0,2019π)在201913130282-⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去.④若11t =-,则2a =,此时2310t at +-=的根为211,13t t ==-.方程1sin ,1sin 3x x =-=在(]0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin 3x =有两个不同的根,1sin x -=无解,所以()0F x =在(0,2019π)在201913230292-⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭个根，符合题意.综上所述：2a =,()F x 在(0,2019π)共有3029个不同的零点.。
上海市行知中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
8．设 a > 0 且 a ¹ 1，若 loga (sin x - cos x) = 0 ，则 sin8 x + cos8 x = ______．
9．若函数
f
(
x)
=
ìïx + 3a - 3,( x íïîax ,( x > 0)
£
0)
在
x
Î(-¥, +¥)
上为严格增函数，则实数
a
的取值
范围是__．
②存在常数 b ，对任意的实数 a Î R ，使得 cos (a - b ) 的值是一个常数.
下列说法正确的是（ ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立
三、解答题
17．设 z 为关于 x 的方程 x2 + mx + n = 0(m, n Î R) 的虚根， i 为虚数单位.
则 sin4 x + cos4 x = 1
( ) ( ) 所以 sin8 x + cos8 x = sin4 x + cos4 x 2 - 2sin4 x cos4 x = sin4 x + cos4 x 2 = 1
故答案为 1． 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系的化简求值问题，其中解答中合理利用三角 函数的基本关系式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题.
答案第41 页，共22 页
9．
æçè1,
4 3
ù úû
【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数 a 的不等式组，解之即可求得实数 a 的取值范围.
【详解】函数
f
(x)
=
ìïx + 3a -
上海市高一数学第二学期我期中考试试卷含答案
上海市高一下学期期中考试数学试卷一.填空题1.一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】12设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：122.计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________ 【答案】12利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案； 【详解】原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302=︒︒-︒︒=︒=， 故答案为：12. 3.函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________ 【答案】56π点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解.【详解】因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π4.在△ABC中，若a=1b=，60A=︒，则B=________【答案】6π直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案；【详解】11sinsin sin sin2 a bBA B B=⇒=⇒=，a b>，∴A B>，∴6Bπ=，故答案为：6π.5.已知等比数列{}n a中，24a=，68a=，则10a=________【答案】16将等比数列的通项公式代入24a=，68a=中，可得4q，再求10a的值。
上海高一下学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______ 4、若要将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。
其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分） 解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知7174tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值（2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分）已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π（1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里 （1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= . 3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= . 8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 . 10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2xf x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cos C. 2cos - D.21cos - 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使xa 、xb 、xc 不能构成一个三角形的三条边 ②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若()1()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a ba b=--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x=2. 35± 3.2:3 4. 二 5. 12- 6. 39. 3π 10.34π11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==--18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP (2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874tt t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数”（2）1()()02xg x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥（3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->， ∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ，∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换， ∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 已知角θ的终边在射线2y x =(0)x ≤上，则sin cos θθ+=2. 若32ππα<<1111cos22222α++= 3. 函数2cos(3)5y x π=+的最小正周期为4. 在△ABC 中，若sin sin()1cos()cos 22A B B A ππ-=--，则△ABC 为 三角形 （填“锐角”、“直角”或“钝角”）5. 若3cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=，则tan tan αβ= 6. 已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x = （用反正弦表示） 7. 函数22sin 3sin 1y x x =-+，5[,]66x ππ∈的值域为8. 将函数cos2sin 2y x x =-的图像向左平移m 个单位后，所得图像关于原点对称，则实数m 的最小值为9. 若函数sin3cos3y x a x =+的图像关于9x π=-对称，则a =10. 若函数()sin f x x =和()cos()3g x x π=-定义域均是[,]ππ-，则它们的图像上存在个点关于y 轴对称11. 已知k 是正整数，且12017k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin k ︒︒︒++⋅⋅⋅+=sin1sin 2sin k ︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个12. 已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，且0A >，0ω>，||2πϕ<，写出满足(1)2f =，1(2)2f =，(3)1f =-，(4)2f =的一个函数()f x = （写出一个即可）二. 选择题13. 已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)π上单调递增的是（ ）A. tan ||y x =B. cos()y x =-C. sin()2y x π=- D. 3cos()2y x π=+ 15. 将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '，若 点P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A. 12t =，s 的最小值为6π B. 2t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3π D. t =，s 的最小值为3π 16. 若α、[,]22ππβ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论中正确的是（ ） A. αβ> B. 0αβ+> C. αβ< D. 22αβ>三. 简答题17.求证：sin(2)sin2cos()sin sinαββαβαα+-+=.18.已知tan2θ=-(,)42ππθ∈. （1）求tanθ的值；（2）求22cos sin12sin()4θθπθ--+的值.19.写出函数222sin cosy x x x x=+的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称点坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图像.20. 已知集合{()|()(2)(1)}A f x f x f x f x =++=+，()sin()3xg x π=.（1）求证：()g x A ∈；（2）()g x 是周期函数，据此猜想A 中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）()g x 是奇函数，据此猜想A 中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.21. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的最小正周期为π，其图像的一个对称 中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再 将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点.参考答案一. 填空题1. 5-2. sin 2α 3. 23π 4. 直角 5. 176. 2arcsin5π+ 7. 1[,0]8- 8. 8π 9. 10. 2 11. 11 12. 21()3sin()332f x x ππ=-+ 二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. D三. 简答题17. 略.18.（1）2； （2）3.19. 值域：[2,2]-；递增区间：5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈；对称轴：526k x ππ=+，k Z ∈； 对称中心：(,0)23k ππ+，k Z ∈；作图：略. 20.（1）略； （2）是； （3）不是，反例：()cos()3f x x π=.21.（1）()cos2f x x =，()sin g x x =； （2）1a =，1345n =.。