高考平面解析几何专题突破
第一部分 考试要求 直线和圆的方程 (1) 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。 (2) 掌握两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 (3) 了解二元一次不等式表示平面区域。 (4) 了解线性规划的意义.并会简单的应用。 (5) 了解解析几何的基本思想，了解坐标法。 (6) 掌握圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念。理解圆的参数方程。
圆锥曲线方程 (1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。 (2) 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 (3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 (4) 了解圆锥曲线的初步应用。
（一）直线与圆知识要点 １．直线的倾斜角与斜率k=tgα（ ），直线的倾斜角α一定存在，范围是[0,π），但斜率不一定存在。 斜率的求法： 依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标
２．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。 ３．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合） ４．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。 ５．点到直线的距离公式。 ６．会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。 ７．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。 ８． 圆的标准方程：(x－a)2+(y－b)2=r2 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。
圆的参数方程： 掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。
(二)圆锥曲线 1．椭圆及其标准方程： ２．双曲线及其标准方程： ３．抛物线及其标准方程： 4．直线与圆锥曲线： 注意点： （1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
（2）要学会变形使用两点间距离公式 ，
当已知直线 的斜率 时，公式变形为 或 ； 当已知直线的倾斜角 时，还可以得到 或 （3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算。 （4）会在任何条件下求出直线方程。 （5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质
解析几何中的一些常用结论： 1.直线的倾斜角α的范围是[０，π)
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系： 当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大。 当α是钝角时，k与α同增减。
3.截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 4.两直线：L1: A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2 A1A2+B1B2=0
5.两直线的到角公式：L1到L2的角为θ，tanθ= 夹角为θ，tanθ=| | 注意夹角和到角的区别 6.点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。 7.有关对称的一些结论 点（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是 （ａ，－ｂ），（－ａ，ｂ），（－ａ，－ｂ），（ｂ，ａ） 如何求点（ａ，ｂ）关于直线Ax+By+C=0的对称点 直线Ax+By+C=0关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点（ａ，ｂ）对称的直线方程又是什么？ 如何处理与光的入射与反射问题？
８．曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为： （１）点(a.b) （２）ｘ轴 （３）ｙ轴 （４）原点 （５）直线y=x （６）直线y=－x （７）直线x＝ａ
９．点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。 点P(x0,y0),圆的方程：(x－a)2+(y－b)2=r2. 如果(x0－a)2+(y0－b)2>r2点P(x0,y0)在圆外； 如果 (x0－a)2+(y0－b)2如果 (x0－a)2+(y0－b)2=r2点P(x0,y0)在圆上。
10．圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上，那么过点P的切线方程为：x0x+y0y=r2. 11.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与ｘ轴垂直的直线。 12.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。ｄ>r相离 d=r相切 d
13．圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r,R d>r+R两圆相离 d＝r+R两圆相外切 |R－r|d＝|R－r|两圆相内切 d<|R－r|两圆内含 d=0，两圆同心。
14. 两圆相交弦所在直线方程的求法： 圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0. 圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
15. 圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。
16. 焦半径公式：在椭圆 ＝１中，F１、F２分别左右焦点，P(x0,y0)是椭圆是一点，则： (1) |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 (2) 三角形PF１F２的面积如何计算
17．圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
18．直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)则弦长P1P2= 19. 双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。 20. 抛物线中与焦点有关的一些结论：（要记忆） 解题思路与方法： 高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题： （1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。
（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)。 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。
（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。
（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。
（7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。
第二部分 解析几何中的范围问题（研究性学习之二）
在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。
一、“题设条件中的不等式关系”之运用 事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.
例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上 ，点M（m，0）到直线AP的距离为1.
（1）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围； （2）当 时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程. 分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于（2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.
解： （1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0 ∵点M到直线AP的距离为1
∴ ① ∵ ∴ ， 解得 或 ∴所求m的取值范围为 .
（2）根据已知条件设双曲线方程为 当 时，点M的坐标为（ ）. ∵A(1,0)， ，
专题5.2+解析几何与平面向量相结合问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品
一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势。
平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】【2018河南郑州一模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ）A ．335-．15-+．31- 【答案】B【指点迷津】本题在考查椭圆的离心率的同时，充分利用向量的垂直等价条件，通过构造函数，利用函数极值点为零点的要求，建立关于c b a ,,的关系式，思考量较大，需要比较扎实的计算功底和计算能力.【举一反三】【2017届四川省资阳市高三期末】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥u u u r u u u r，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 321,4⎛ ⎝⎦C ． 32,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 【答案】B【解析】由题意得，()(),0,2,0A a F a ，设00,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP FP ⊥u u u r u u u r ，得2220020320c AP PF x ax a a⋅=⇒-+=u u u r u u u r ，因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即222222299420988c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤，又因为E 为双曲线，则1e <≤，故选B ．【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥u u u r u u u r系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键． 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】【广西桂林市桂林中学2016-2017期中考试】过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M ．直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=u u u r u u u r u u u u r（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．2． 12C ．． 1+ 【答案】B()()2224244c c a a c a --+=+，变形可得22c a ac -=，两边同除以2a ，有210e e --=，所以15e +=（负值已经舍去），故选B ．【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值．本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值．【举一反三】【东北三省三校2017年第二次联考】已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1 【答案】B【指点迷津】本题主要考查了双曲线的有关计算，涉及到的知识点有平面向量中线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等，属于中档题． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值．类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】【湖南省衡阳市2017届下学期第三次联考】已知对任意平面向量(),AB x y =u u u r ，把AB u u u r 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+u u u r，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点的轨迹是曲线222x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）A ． 1xy =-B ． 1xy =C ． 222y x -= D ． 221y x -= 【答案】A【解析】设平面内曲线C 上的点(),P x y ，则其绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点()()22'22P x y x y ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，，∵点'P 在曲线222x y -=上，∴))22222x y x y ⎫⎫--+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得1xy =- ．故选A ．【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P 的轨迹方程．【举一反三】【江西省抚州市临川区一中4月模拟】已知B 、C 为单位圆上不重合的两个定点，A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r，则点P 的轨迹为（ ）A ． 椭圆B ． 双曲线C ． 抛物线D ． 圆 【答案】D类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化【例4】【江西省抚州市临川区一中2018届上学期质检】已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=u u u v u u u v u u u u v，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ． 32y x =± B ． 3y x = C ． 62y x =± D ． 6y x = 【答案】C【解析】12ON PF OM +=u u u v u u u v Q u u u u v ，故1ON OM OM PF -=-u u u v u u u u v u u u u v u u u v ，即1MN FM =u u u u v u u u u v，故点M 为线段1F N 的中点，连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且1,2aOM OM F N =⊥，故22NF OM a ==，且2112,2F N F N NF NF a ⊥-=Q ，故点N 在双曲线C 的右支上，13NF a ∴=，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得， 2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得221012c b a a==+，故62b a =，故双曲线C 的渐近线方程为62y x =±，故选C ． 【指点迷津】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． 本题中，利用双曲线的定义与几何性质，以及222c a b =+构造,a b 的齐次式，从而可求出渐近线的斜率，进而求出渐近线方程的．【举一反三】【四川省雅安中学2017-2018期中考试】如图，已知梯形ABCD 中， 2AB CD =， E 在线段AC 上，且满足AE EC λ=u u u v u u u v ，双曲线过C D E 、、 三点，且以A 、B 为焦点．当2334λ≤≤时，双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ． [710，]B ． (710，)C ． (12，] D ． 2,6⎡⎤⎣⎦【答案】A【指点迷津】求双曲线的离心率或离心率的取值范围问题是高考常见问题，求离心率只需寻求一个关于,,a b c 的等量关系，求离心率的取值范围只需列出一个关于,,a b c 的不等关系，进而求出离心率的值或离心率的取值范围，求范围时还要注意曲线的离心率的范围，如双曲线的离心率的范围要大于1. 类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例5】【四川省绵阳市南山中学2016-2017期中考试】已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． (1,12D ． ()2,+∞【答案】D【指点迷津】求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b a c =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用．求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查． 【举一反三】【川省成都市新津中学2018届11月月考】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,12⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ B ． 520,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】如图所示， 12B PB ∠为22A B u u u u u v 与21F B u u u u v的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ,,a b c ，()()2221,,,A B a b F B c b =-=--u u u u u v u u u u v， Q 向量的夹角为钝角时， 222210,0A B F B ac b ⋅<∴<<u u u u u v u u u u v ，又22222,0b a c a ac c =-∴-->，两边除以2a 得210e e -->，即210e e +-<，解集155122e ---<<，又5101,02e e -<<∴<<Q ，故选C ． 类型六 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】【2016届广西来宾高中5月模拟】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________．【答案】6【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．【举一反三】【2015届河南省师范大学附属中学12月月考】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足(1)AP OA λ=-u u u r u u u r ()R λ∈，且72OA OP ⋅=u u u r u u u r ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ． 【答案】15三．强化训练1．【湖北省部分重点中学2017-2018上学期期中考试】已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B两点，若OA OB OP +=u u u v u u u v u u u v，则点P 的轨迹方程是（ ）A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=【答案】B【解析】设()P x y ，，()()1122A x y B x y ，，，过点()0,1的直线为1y kx =+，由OA OB OP +=u u u v u u u v u u u v 得()()1212x y x x y y =++，，，直线1y kx =+代入224x y +=得()221230k xkx ++-= 则12221k x x k +=-+， 12221y y k +=+即221k x k =-+，221y k=+，所以()2211x y +-=，故选B 2．【辽宁省大连渤海高级中学2017-2018期中考试】已知12,F F 是椭圆的两个焦点，满足12·0MF MF =u u u u vu u u u v的点M 总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ． ()0,1B ． 10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ． 0,2⎛ ⎝⎭D ． 2⎫⎪⎪⎣⎭ 【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c 。
二轮专题突破：同构法在解析几何中的运用
同构法在解析几何中的应用【方法简述】同构法是处理解析几何对称问题的有力武器．同构思想的介入，使得解析几何中对称问题、切线问题、平行线截线段成比例问题等，结构相同或相似问题的求解过程变得简单明了． 【典例精析】一、同构法解决平行线截线段成比例问题例1.【2022‧湖北省部分重点中学高三第一次联考‧22】如图所示，已知抛物线24x y =的角度为F ，过F 的直线交抛物线与,A B 两点，A 在y 轴左侧且AB 的斜率大于0.(1)当直线AB 斜率为1时，求弦AB 的长；(2)已知(1,0)P 为x 轴上一点，弦AB 过抛物线的焦点F ，且斜率0k >,若直线,PA PB 分别交抛物线与,C D 两点，问是否存在实数λ使得AB CD λ=，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.设2212123344(,),(,),(,),(,)44x x A x B x C x y B x y ， 直线AB 的方程为1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x +==-，若AB CD λ=则||AB CD ，且AB CD λ=，于是PA ABPC CDλ==，从而PA PC λ=， 即21133(1,)(1,)4x x x y λ-=-，132131(1)4x x x y λλ-=-⎧⎪⎨=⎪⎩，于是1321314x x x y λλλ+-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即2111(,)4x x C λλλ+-，同理2221(,)4x x D λλλ+- 将C 坐标代入24x y =整理得2211(1)x x λλ+-=，2211(1)2(1)(1)0x x λλλ-----=yxDC BAPO1λ≠211210x x λ∴-+-=，同理222210x x λ-+-=于是12,x x 是方程2210x x λ-+-=的两根，121x x λ∴=-，故14λ-=-，5λ=.【点评】同构思想是处理对称问题的有力武器；本题同构思想的介入，使得过程简洁明了，运算简单直接，是很好的解题方法．二、同构法解决双斜率问题：同构+齐次化处理 例2.【2022‧新高考1卷‧21】已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率；（2）若tan 22PAQ ∠=，求PAQ △的面积． 【答案】（1）1- （2）1629【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 双曲线可化为22[(2)2][(1)1]12x y -+--+=即22(2)2(1)4[(2)(1)]0x y x y ---+---= 设直线PQ 的方程为(2)(1)1a x b y -+-=联立22(2)2(1)4[(2)(1)]0(2)(1)1x y x y a x b y ⎧---+---=⎨-+-=⎩可得22(2)24[(2)(1)][(2)(1)]0x y x y a x b y --+----+-= 即22(41)(2)4()(2)(1)(42)(1)0a x b a x y b y +-+----+-= 两边同除2(2)x -整理得211(42)()4()(41)022y y b a b a x x --++--+=-- 其中12y x --表示直线AP 与BP 的斜率,AP AQ k k 由于4()024AP AQ a b k k b-+=-=+所以a b =，直线PQ 的斜率为1ak b=-=-.(2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，设其倾斜角为θ 由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或 而tan 22PAQ ∠=tan 222θ=± 即22tan 221tan θθ=±-tan 2θ=±或2tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为22±，故舍去2tan 2θ=±因为tan 0θ>，故舍去tan 2θ=tan 2θ=故2,2AP AQ k k ==-直线AP 的方程为12(2)y x -=-，直线AP 的方程为12(2)y x -=-，221212(2)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y 得223(4216)2(12)20x x ++-+= 方程的两根为点,A P 的横坐标，所以164223P x -+=，1023P x -= 221212(2)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y 得223(4216)2(122)20x x -+++= 方程的两根为点,A Q 的横坐标，所以164223Q x ++=，1023Q x +=于是||32|(21)3P AP x =-=，||32|(21)3Q AQ x =-= 而由tan 22PAQ ∠=22sin PAQ ∠=所以1162||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】本题直线,AP AQ 的斜率具有相同的结构，即12y x --的形式，于是可考虑构造关于1y -与2x -的二次齐次方程．齐次化在解决圆锥曲线同构问题上往往有奇效．直接将直线PQ 的方程设为(2)(1)1a x b y -+-=，进行“１代换”，为齐次化带来了方便．本解法思路奇巧，运算简洁明了．但需要考生平时付出大量训练才能掌握此方法的精髓和技巧！三、同构法解决圆双切线问题例3.【2022‧荆门市东宝中学高二上期中检测试题‧22】如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．【答案】（1）5(,0)2Q （2）【解析】（1）由题意可知PAB ∆外接圆即以CP 为直径的圆，而(4,),(2,0)P t C ， 故所求方程为(4)(2)()0x x y t y --+-=，即22680x y x ty +--+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅① 圆22:(2)1C x y -+=即22430x y x +-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②，-②①得：250x ty +-=，即直线AB 的方程，所以直线AB 恒过定点5(,0)2Q . （2）设直线与的斜率分别为，与圆，即．所以，22:(2)1C x y -+=P :4l x =P C ,A B yxl4OCNMPBAAB Q ,PA PB y ,M N QMN 33AP BP 12,k k (4)y t k x -=-C 211k=+223410k tk t -+-=2121241,33-+=⋅=t t k k k k而，， 故 . 【点评】本题圆的两条切线,PA PB 的斜率12,k k 都满足211k =+，即，这是同构方程.韦达化使问题轻松得以解决. 【强化练习】1.已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(4,)P m ，点P 到抛物线C 焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离之比为32. (1)求抛物线C 的方程；(2)直线y kx =与直线4y =-的交点为Q ，过Q 点作两条相异直线1l 和2l ，其中1l 与抛物线C 交于A B 、两点，2l 与抛物线C 交于,M N 两点，且点A 和M 分别是,QB QN 的中点，记12,l l 的斜率为1k 和2k ，试问：12111()k k k +是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.2.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为63，并与直线2y x =+相切 (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过圆22:4D x y +=上任一点P 作椭圆C 的两条切线,m n .求证m n ⊥.3.如图，已知抛物线2:4C y x =，过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 与抛物线交于,C D 两点，且CD AB ，设,AB CD 的中点分别为,M N .14M y t k =-24N y t k =-()2212121241283||444+=-=+-=≥⋅t MN k k k k k k ()min183510322MNQ S∆==103223410k tk t -+-=(1)求证MN x 轴；(2)若32PC CA =，求PAB ∆面积的最小值.4.如图所示，已知抛物线24x y =的焦点F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，A 在y 轴的左侧且AB 的斜率大于0.(1)当AB 的斜率为1时，求弦长||AB 的值；(2)点0(,0)P x 在x 正半轴上，连接,PA PB 与抛物线交于,C D 两点，若CD AB ，且||3||AB CD =，求0x 的值.5. 如图，已知抛物线24x y =，直线1y kx =+与抛物线交于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 与抛物线交于,C D 两点，且CD AB .(1)若1k =，求点P 的轨迹方程；(2)若2PC CA =，且PA x 轴，求PAB ∆的面积.6.已知实数0p >，且过的2(0,)M p -的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点. (1)设O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率为12,k k ，若121k k =，求p 的值；(2)设直线12,MT MT 与曲线分别C 相切于点12,T T ，点N 为直线12T T 与弦AB 的交点，且,MA MN MB MN λμ==，证明11λμ+为定值.yxPDCBAO【答案与解析】1.【答案】(1) 28y x = (2)-2 【解析】(1)设点(4,)P m 到y 轴的距离为d ，则32PF d =，即43242p+=，解得4p =， 所以抛物线方程为28y x =.(2)由题意可知(4,4)Q k --，设2222(,),(,),(,),(,),8888N A B M A B M N y y y y A y B y M y N y 则 122888A B A B A B A BA B y y y y k y y x x y y --===-+-,同理28M N k y y =+, 故121188M NA B y y y y k k +++=+， 因为点A 和M 分别是,QB QN 的中点，所以422Q BBA x x x x +-+==, 即221418822BQ B A y x x y -++==，即2211448A B y y =-+， 又422Q BBA y y k y y +-+==，所以24B A y y k =+， 从而22114(24)48A A y y k =-++，整理得2288160A A y ky k ++-=， 同理可得2288160M M y ky k ++-=，所以,A M y y 是方程2288160y ky k ++-=的两根， 故8A M y y k +=-， 所以1224241188883()8248288M N A B A A M M A M y y y y y y k y y k k k y y k k kk+++++++=+=+++-+===-所以12111()2k k k +=-,为定值.2.【答案】(1) 2213x y += 【解析】(I)由63e =知223a b =，椭圆方程可设为222213x y b b+=.又直线2y x =+与椭圆相切，代入整理后方程224121230x x b ++-=满足0=△.由此得21b =.故椭圆方程为2213x y +=.(II)设00(,)P x y .当03x =±时，有一条切线斜率不存在，此时01y =±，于是另一条切线平行于x 轴，故两切线,m n 满足m n ⊥.当03x ≠±时，两条切线,m n 的斜率都存在.设直线m 的斜率为k ，则其方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+.代入2213x y +=并整理得2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=.由0=△得2220000(3)210x k x y k y -++-=.注意到直线n 的斜率也适合上述关系，所以,m n 的斜率12,k k 就是上述方程的两根，由韦达定理可得2012213y k k x -=-. 由于点P 在圆224x y +=上，所以22003(1)x y -=--，于是121k k =-，故m n ⊥. 终上所述，过圆22:4D x y +=上任一点P 作椭圆C 的两条切线,m n ，总有m n ⊥.3.【答案】(2)165【解析】(1)抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设11223444(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y 设直线AB 的方程为1x my =+，代入24y x =整理得2440y my --=， 于是12124,4y y m y y +==-，1222M y y y m +==， 因为CD AB ，所以434322434343411144CDAB y y y y k k x x y y t y y --=====-+-，于是3422N y y y m +==， 由知MN x 轴.(2)由(1)可知12124,4y y m y y +==-，22212122128M x x y y x t ++===+， 设00(,)P x y ，由32PC CA =，得0101332323,55x x y y x y ++==， 代入抛物线24y x =，得到2210100362020y y y x y -+-=， 同理由32PD DA =，可得2220200362020y y y x y -+-=， 所以12,y y 为方程22000362020y y y x y -+-=的两根， 故12024y y y m +==，所以02y m =，于是,,P M N 三点共线，又2001220243x y y y -==-，所以22006231055y t x --==， 又212||41y y t -=+23012116||||(1)25PAB M S x x y y t ∆=-⋅-=+， 当0t =时，PAB ∆面积的最小值为165. 4.【答案】(1)8 (2)02x =【解析】设1122(,),(,),(,),C C A x y B x y C x y(1)由题意知，点F 的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为10x y --=，联立2104x y x y --=⎧⎨=⎩，得2610y y -+=，12126,||28y y AB y y ∴+==++=.(2)设22(2,),(2,)A t t B s sAB CD 且||3||AB CD =，得||3||,3AP CP AP CP ==,213C y t ∴=且0023()C x t x x -=-，得0223C t x x +=， 又因为点C 在抛物线24x y =上，220224()33t x t +∴=，整理得2200220t x t x --=，同理2200220s x s x --=，,s t ∴是关于x 的方程2200220x x x x --=的两根，200,2x s t x st +==-， 设直线AB 的方程为1y kx =+，与抛物线方程24x y =联立得2440x kx --=，则2,2s t 是此方程的两根，故224s t ⋅=-，2001,1,22x st x ∴=-∴-=-=.5.【答案】(1) 2(11)x y =-<< (2)72011121【解析】 (1)因为CD AB ，设,PC CA PD DB λλ==, 设112200(,),(,),(,),A x y B x y P x y联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=，12124,4x x k x x ∴+==-. 设(,)C C C x y 由PC CA λ=即0011(,)(,)C C C C x x y y x x y y λ--=--，得01210141C C x x x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩， 代入抛物线方程得2102014()411x y x x λλλλ++=⨯++，整理得221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理可得222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=， 故12,x x 是关于x 的方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 所以12002442x x x k x +===⇒=，2000124(1)4(1)44y x y x x λλλλ+-+-===-， 于是0121(0)11y λλλλ-==-+>++，故0(1,1)y ∈-， 所以点P 的轨迹是2(11)x y =-<<.(2) 由12,x x 是关于x 的方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 可得12024x x x k +==，所以02x k =，200124(1)4y x x x λλ+-==-， 2PC CA =则2λ=，于是有2023k y -=， 因为AC x 轴且,A C 在抛物线上，所以,A C 关于y 轴对称， 因为01112213C x x k x x x λλ++===-+，得125k x =-，故222(,)53k k A --， 代入抛物线方程得2222()453k k --=⨯，解得22511k =，设AB 的中点为M 则222212121211()[()2]212448M x x y x x x x k =+=+-=+， 所以22201022125720112|||||2||21|||(1)5353121PAB PAM M k k S S x x y y k k k k ∆∆-==--=++-=⨯+=. 6.【答案】(1)2p = (2)2【解析】(1)设直线AB 的方程为2y kx p =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立222y kx p x py⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 可得23220(*)x pkx p -+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 所以312122,2x x pk x x p +==，2244121212()y y k x x kp x x p p =-++=，直线,OA OB 的斜率为12,k k ，且121k k =，即12121y y x x =，即4312p p =，解得2p =. (2)对于方程(*)，当232(2)8022pk p k p k p ∆=-=⇒=⇒=± 当2k p p =122x x pk p p ===2T 的横坐标为2p p ， 在22x py =中令2x p p =2y p =，所以22(2,)T p p p ，直线12T T 的方程为2y p =，在2y kx p =-中令2y p =得22p x k =，即点N 的横坐标22N p x k =， 由,MA MN MB MN λμ==可得：12,N N x x x x λμ==， 所以2123121212111122()22N N N N x x x x pk p x x x x x x x x p k λμ++=+=+==⋅=.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》技巧及练习题附答案解析
【最新】数学《平面解析几何》专题解析(1)一、选择题1．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为13． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB yy y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.3．在矩形ABCD 中，已知3AB =，4=AD ，E 是边BC 上的点，1EC =，EF CD ∥，将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．抛物线【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥被平面截的轨迹特点求解 【详解】由题将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，则平面α⊥平面ABEF ,，又直线AB 绕AE 旋转一周，则AB 直线轨迹为以AE 为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF 始终与面EFDC 垂直，即圆锥母线AF ⊥平面EFDC 则 则与平面α相交形成的点的轨迹是抛物线 故选：D【点睛】本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题4．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：渐近线的方程为，而，因此渐近线的方程为，选D.考点：双曲线渐近线5．已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)aC ．(,)b aD ．(,)c a【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点 ∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2||∵在椭圆中，设P 点坐标为（x 0，y 0）则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，∴|x 0|∈（0，a]，又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．6．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）A ．13B ．15C ．23D ．25【答案】C 【解析】由221:13y C x -=知2c =，1124F A F F ==∵122F A F A -= ∴22F A =∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+=∴23,3c a e a === 故选C7．过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B，两点，OAB ∆的面积为3，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离心率公式计算可得所求值． 【详解】右焦点设为F ，其坐标为(),0c令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±=±OAB V 的面积为2122b c a ⋅⋅= b a ⇒=可得c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．8．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3C ．2D ．2或6【答案】B 【解析】4AF BF +=1212442422p px x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中因为线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，所以121132px p p -=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．9．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.10．已知0mn ≠，则方程是221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是 ( ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】方程20mx ny +=即2my x n=-，表示抛物线，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆或双曲线，当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆，无符合条件的选项，当m 和n 异号时，抛物线2my x n=-开口向右，方程221mx ny +=表示双曲线，故选A.11．已知椭圆22198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ） A ．12 B ．642+C ．8D ．6【答案】A 【解析】 【分析】画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案. 【详解】画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .【点睛】本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A ．3y x = B ．33y x =±C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得:3b a =Q 双曲线渐近线方程为:b y x a=±则双曲线渐近线方程为: y = 故选:A. 【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.13．已知12F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上一点，2PF 与x 轴垂直，1230PF F ∠=︒，且焦距为 ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】B 【解析】 【分析】先求出c 的值，再求出点P 的坐标，可得22bPF a=，再由已知求得1PF ，然后根据双曲线的定义可得ba的值，则答案可求． 【详解】解：由题意，2c =解得c =，∵()2,0F c ，设(),P c y ，∴22221x y a b-=，解得2b y a =±，∴22b PF a=，∵1230PF F ∠=︒，∴21222b PF PF a==，由双曲线定义可得：2122b PF PF a a-==，则222a b =，即ba=∴双曲线的渐近线方程为y =． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到,,a b c 中任意两个量的倍数关系进行求解.14．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为3M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解. 【详解】由直线的斜率为tan 603k ︒==3y x b =+. 圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =， 则由弦长公式得：圆心(0,2)到直线3y x b =+的距离为2222232122r d l ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎪⎝， 即|2|12b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为3y x =或34y x =+. 直线3y x =过坐标轴上的点(0,0)，直线34y x =+过坐标轴上的点()0,4与43⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故点M 的个数为3.故选：C. 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.15．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs （已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）A ．903211,7⎛± ⎝⎭B ．135322,7⎛ ⎝⎭C ．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D ．(45,162±【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求出点P 所在的双曲线的标准方程()2211522564x y x -=>，将方程与()222713664x y --=联立，求解即可. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，因为船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs ，则船P 到B 台和到A 台的距离差为185.20.32301.852a PB PA ⨯===-海里，故15a =，又=17c ，故8b =，故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135,7P ⎛⎝⎭， 故选：B . 【点睛】本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ） A ．18 B ．30C ．32D ．36【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由抛物线性质可知：112AF BF p +=，又111AF BF+=，∴2p =， 即24y x =设直线AB 的斜率为k （k≠0），则直线CD 的斜率为1k-． 直线AB 的方程为y=k （x ﹣1）， 联立214y k x y x=⎧⎨=⎩（﹣），消去y 得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0， 从而242A B x x k+=+，A B x x =1 由弦长公式得|AB|=244k +， 以1k-换k 得|CD|=4+4k 2， 故所求面积为()22221141AB CD 4448222k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥32（当k 2=1时取等号），即面积的最小值为32． 故选C17．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ） A ．3 B ．22C ．2 D ．6 【答案】B 【解析】 【分析】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得AN AT =，11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-222(3)a F M a c =-=--，则26a =，即3a =，又1b =，所以2222c a b =-=， 因此椭圆的离心率为22c e a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.18．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．22a 【答案】D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.19．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2C ．2D ．【答案】D 【解析】()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>，所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－ab为切线的斜率， 切点为(1，－1a b+)， 所以切线方程为y ＋1a b +＝－ab(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0.因为切线与圆相切，所以22a b+＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ， 所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．20．已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线):32l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v，则λ的值等于（ ）A ．3B ．3C ．2D 3【答案】C 【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.由)2232195y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，解得34x =-或218x =-．设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321,48x x =-=-． ∵11AF F Bλ=u u u v u u u v ， ∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+, ∴122(2)x x λ--=+． ∴3212()(2)48λ---=-+， 解得2λ=．选C。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》技巧及练习题附解析
【最新】数学《平面解析几何》专题解析一、选择题1．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，11PF PQ FQ ∴+==，Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ． 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】 根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.3．如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是( )A ．27B ．52C ．7 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得222214962c a a a =+-⨯，2247c a =，所以双曲线的离心率为：72e =． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．4．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.5．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ） A ．23B ．12C ．23D ．22【答案】B 【解析】 【分析】由2(3)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->，得213k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >，由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->， 所以213k <，129x x =①.因为1112p FA x x =+=+，2212pFB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②. 由①②及20x >得21x =， 所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+，得12k =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22525:()416C x y +-='于,A B 两点，且AB =C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线2x =-的距离为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．9【答案】B 【解析】 【分析】易得圆C '过原点，抛物线22y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】圆:22525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭'即为2252x y y +=,可得圆经过原点.抛物线22y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >. 由5AB =可得225m n +=， 又2252m n n +=联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人22y px =，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-. 如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离11(|)422EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.7．已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r=( )A ．12-B ．2-C ．0D ．4【答案】C 【解析】 由题知，故，∴12(23,1)(23,1)3410PF PF ⋅=-±⋅±=-+=u u u r u u u u r，故选择C ．8．已知O 为平面直角坐标系的原点，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，E 为2OF 的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C ，D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 BCD【答案】B 【解析】 【分析】由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，求出圆心O 到BC 的距离d ，由四边形ACBD 的内切圆经过点E ，可得212d OF =，化简得出双曲线的离心率. 【详解】由已知可设()0A a -，，()0B a ，，AC b k a =， 有直线点斜式方程可得直线AC 方程为()by x a a=+，令0x =，可得()0C b ，， 由直线的截距式方程可得直线BC 方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=， 由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，设内切圆的半径为r ， 圆心O 到BC的距离为abd r c===， 又∵四边形ACBD 的内切圆经过点E ， ∴2122ab cOF r c ===, ∴22ab c =， ∴()22244aca c -=，同除以4a 得，42440e e -+=，∴()2220e -=，∴22e =，∴e =(舍)，∴e =故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，通过对称的性质得出相关的等量关系，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题.9．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A．4B．2CD．【答案】B 【解析】 【分析】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,C m B m ，则123242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩B. 【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.10．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A．3- B．2-CD1【答案】D 【解析】由已知，(01)(01)F Q ，，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQPQα===，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P ．设204x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得(21)P ，±，所以2PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴1a =，1c =，∴1ce a==，故选D ．11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．3 B ．12C ．2 D ．6 【答案】D 【解析】 【分析】设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2b 与2c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-， 所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为222633c c e a a ==== D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.12．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.13．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a +===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322n m mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B .【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225*********n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝.当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.15．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：()()22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】 先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值.【详解】由已知()2,0A ，()0,2B -则AB ==，又点M=所以最大面积为1102⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.16．过双曲线22134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1B．2 C．1+D ．2【答案】B【解析】【分析】根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论．【详解】由图象可得()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=()(22211112322322PF PF OF OT -+-=⋅-+= 故选：B.【点睛】 本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．17．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线32p y x =-与C 交于A ，B 两点，若43||AH =||AF =（ ） A ．3B ．83C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】 注意到直线32p y x =-过点H ，利用||||AM AH =tan 3,AHM ∠=3||3AH =，可得||2AM =，再利用抛物线的定义即可得到答案.【详解】连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直 线32p y x =-过点H ，tan 3,3AHM AHM π∠=∠=，则||3||AM AH =又3||3AH =， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.18．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ）A 2B ．2C ．4D ．22【答案】B【解析】【分析】 由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值.【详解】∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ， ∴22||(cos cos )(sin sin )PQ αβαβ=-+-2222cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαβαβαβ=+-++-()()()2222cos sin cos sin 2cos cos sin sin ααββαβαβ=+++-+22cos()αβ=--∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈.故选B .【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PFPA 的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．2【答案】C【解析】由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PFPMPAM PA PA ==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PF PA最小．设切点)P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==. ∴1a =，则(2,1)P .∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA ∠== 故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.20．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ）A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM1FA AB 2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为13． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.。
2020高考专题复习解析几何的万能套路
高考解析几何的万能解题套路一个套路，几乎解决所有高考解析几何问题！在教学中，一直有一个难以解决的悖论：“题海战术”广遭诟病，但似乎要取得好成绩，除了“题海战术”又别无良策。
这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是——通过平时的“题海战术”，也许可以穷尽问题的各种可能。
显然如果我们要穷尽问题的各种可能，是不现实的。
为了让学生能真正从题海战术中走出来，事实上，我们可以将以往大量的、零碎的、彼此之间也看似没有多少联系性的某些数学问题，却能通过高度一致的方法获得解决，本文以解析几何为例的一套与高考解析几何演绎体系相对应的“万能解题套路”，几乎把近几年贵州省高考解析几何问题基本上统一了起来！希望对同学有所启发。
一、解析几何万能解题套路解析几何是法国数学家笛卡儿（1596 年～1650 年）创立的。
笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。
正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。
以高考解析几何为例：1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构成的图形的问题；2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。
有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作：1、几何问题代数化。
2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。
至此，整理了近几年来贵州省高考解析几何试题后总结出一套统一的解题套路：二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则步骤一：（一化）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来；口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。
1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化；步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。
高考总复习二轮文科数学精品课件 专题5 解析几何 高考小题突破7 直线与圆
PD 的方
25 2
y,整理得16x -9x+11=0,则
144
44
3
44
117
44 117
x1+4= ,x1= ,y1=- × +6= ,C( , ).由
25
25
4
25
25
25 25
=
3
,
4
消去 y,整理得
2 + 2 = 25,
117+3
25 2
4
25
x
=25,则
x
=
.
2=-4,y2=-3,D(-4,-3),所以 kCD= 44
点G就是圆弧CD的中点,所以OG⊥CD.设直线CD的斜率是kCD,直线OG的
斜率是 kOG,则
1
1
kCD=- =- 3
-4
=
4
.
3
(方法四 应用极限的思想)由于点E,F是在y轴上运动,当E,F两点向它们的
中点靠拢时,C,D两点也在圆弧上向圆弧的中点靠拢,即弦CD的长度变小,
当E,F两点重合时,弦CD就变成了圆弧CD的中点,直线CD的斜率就等于圆
(3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.
对点训练1
(1)(2023陕西安康二模)已知直线l1:(a-2)x+ay+1=0,l2:(a-2)x+y+2=0,则“a=1”
是“l1∥l2”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当a=1时,l1:-x+y+1=0,l2:-x+y+2=0,所以l1∥l2.当l1∥l2时,a=1或a=2,故
高考数学中的平面解析几何与向量综合运算技巧
高考数学中的平面解析几何与向量综合运算技巧在高考数学中，平面解析几何和向量是重要的考点之一。
掌握平面解析几何与向量的综合运算技巧对于解题非常有帮助。
本文将介绍一些平面解析几何与向量综合运算的技巧，帮助同学们在高考中取得好成绩。
一、平面解析几何相关概念回顾在开始介绍平面解析几何与向量综合运算技巧之前，让我们先回顾一些相关的概念。
1. 坐标表示法平面解析几何中，我们通常使用坐标表示法来表示点、直线和图形。
一个二维平面上的点可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x代表横坐标，y代表纵坐标。
2. 向量的表示与运算向量是有大小和方向的量，在平面解析几何中，我们常用箭头表示，如→AB表示从点A指向点B的向量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法等。
3. 直线的方程直线可以用一般式方程、点斜式方程和两点式方程来表示。
对于一般式方程：Ax + By + C = 0，A、B和C是常数，表示一个一般的直线。
二、平面解析几何与向量综合运算技巧1. 平面解析几何技巧在解题中，对于平面上的点、直线和图形，我们可以运用平面解析几何的技巧来简化问题的解答过程。
（1）对称性技巧利用平面上的对称性，可以简化运算过程。
比如，如果点A关于坐标原点O对称的点为A'，那么向量→OA与→OA'的大小和方向相同。
（2）平行和垂直关系技巧在解题过程中，经常会涉及到直线的平行和垂直关系。
我们可以利用向量的特性来判断直线的关系。
两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量的内积为0。
（3）点到直线的距离公式对于平面上的一点P和一条直线l，我们可以利用点到直线的距离公式来求解P到l的距离。
距离公式为：d = |Ax + By + C| / √(A^2 +B^2)，其中A、B和C为直线的一般式方程参数。
2. 向量综合运算技巧向量的综合运算是高考数学中的重要考点。
掌握向量的运算技巧能够在解题过程中简化计算。
广东高考数学平面解析几何复习方法
广东高考数学平面解析几何复习方法广东高考数学平面解析几何复习方法突破第一点，夯实基础知识。
对于基础知识，不仅一个知识点都要熟稔于心，还要有能力将这些零散的知识点串联起来。
只有这样，才能形成属于自己的知识框架，才能更从容的应对考试。
(一)对于直线及其方程部分，首先我们要从总体上把握住两突破点：①明确基本的概念。
在直线部分，最主要的概念就是直线的斜率、倾斜角以及斜率和倾斜角之间的关系。
倾斜角α的取值范围是突破[0，π)，当倾斜角不等于90°的时候，斜率k=tanα;当倾斜角=90°的时候，斜率不存在。
②直线的方程有不同的形式，同学们应该从不同的角度去归类总结。
角度一：以直线的斜率是否存在进行归类，可以将直线的方程分为两类。
角度二：从倾斜角α分别在[0，π/2)、α=π/2和(π/2，π)的范围内，认识直线的特点。
以此为基础突破，将直线方程的五种不同的形式套入其中。
直线方程的不同形式突破需要满足的条件以及局限性是不同的，我们也要加以总结。
(二)对于线性规划部分，首先我们要看得懂线性规划方程组所表示的区域。
在这里我们可以采用原点法，如果满足条件，那么区域包含原点;如果原点带入不满足条件，那么代表的区域不包含原点。
(三)对于圆及其方程，我们要熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。
对于圆部分的学习，我们要拓展初中学过的一切与圆有关的知识，包括三角形的内切圆、外切圆、圆周角、圆心角等概念以及点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆的内切正多边形的特征等。
只有这样，才能更加完整的掌握与圆有关的所有的知识。
(四)对于椭圆、抛物线、双曲线，我们要分别从其两个定义出发，明白焦点的来源、准线方程以及相关的焦距、顶点、突破离心率、通径的概念。
每种圆锥曲线存在焦点在X轴和Y轴上的情况，要分别进行掌握。
突破第二点，学习基本解题思想。
对于平面几何部分的学习，最基本的解题思想就是数形结合，还包括函数思想、方程思想、转化思想等。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何初步 本章总结提升
【例1】 (2022重庆十八中高二月考)在△ABC中,已知M(1,6)是BC边上一点,
边AB,AC所在直线的方程分别为2x-y+7=0,x-y+6=0.
(1)若AM⊥BC,求直线BC的方程;
(2)若|BM|=|CM|,求直线BC在x轴上的截距.
即中线 AD 所在直线的一般式方程为 x+4y+3=0.
(2)设圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
9-3 + = 0,
将 A(-3,0),B(2,0),C(0,-2)三点的坐标分别代入方程得 4 + 2 + = 0,解
4-2 + = 0,
= 1,
又过A(4,3),则AB所在直线方程为y-3=-1(x-4),整理得x+y-7=0.因为BD所在
直线方程为3x+y-7=0,
3 + -7 = 0,
联立,解方程组
+ -7 = 0,
= 0,
解得
即 B(0,7).
= 7,
+4 +3
(2)设 C(m,n),又 A(4,3),D 为 AC 中点,则 D(
所以圆C的标准方程为(x+4)2+y2=4.
(2)由题可得直线 l 斜率存在,设 l 方程为 y=kx-5,代入圆方程并整理得
2
10-8
2
37
(1+k )x +(8-10k)x+37=0,则 x1+x2= 1+ 2 ,x1x2=1+ 2 .
高考总复习二轮数学精品课件 专题5 解析几何 高考小题突破6 直线与圆
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x+1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x-1)2+(y+1)2=2
解析 因为圆心在直线 y=-x 上,所以设圆心坐标为(a,-a).
因为圆 C 与直线 y=x 及 x-y-4=0
|+|
都相切,所以
2
=
|+-4|
(-∞,- 3]∪[1,+∞)
斜率的取值范围为____________________.
解析 设 PA 与 PB 的倾斜角分别为 α,β,直线 PA 的斜率 kAP=1,直线 PB 的斜
率 kBP=- 3.如图,当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时,它的倾斜角
由 α 增至 90°,斜率的取值范围为[1,+∞).
2
2
(或(x-2) +(y-1) =5
4 2
7 2 65
8 2
2 169
或(x-3) +(y-3) = 9 或(x-5) +(y-1) = 25 )
解析 (方法一)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则设圆心为(a1,b1),半径为 r1,
12 + 12 = 12 ,
1 = 2,
当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时,它的倾斜角由 90°增至 β,斜率的变化
范围是(-∞,- 3].
故斜率的取值范围是(-∞,- 3]∪[1,+∞).
延伸探究1
若本例(3)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.