2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(文科)
江苏省启东中学高二数学下学期期中试题(文)
江苏省启东中学2013-2014学年高二数学下学期期中试题（文）一．填空题：1．命题{}:2135p A x a x a =+<<-非空集合，命题{}:(3)(22)0q B x x x =--≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围 ▲ 。
2．已知(1)5z z i =-+，则复数z = ▲ 。
3．对于任意的()12,0,x x ∈+∞，若函数()lg f x x =，满足1212()()()22f x f x x xf ++≤，运用类比的思想方法，当12,,2x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，试比较12cos cos 2x x +与12cos 2x x +的大小关系 ▲ 。
4．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是 ▲ 。
5．执行如图所示的程序框图,若输入10,n S ==则输出的 ▲6．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形第4题图 第5题图的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是▲．7．某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟．8．某单位有职工52人，现将所有职工按l 、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ▲9．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，利用组中值计算200辆汽车的平均时速为 ▲ km/h ．10．设数列{}n a 满足：44=a ，0)2()2(11=-⋅--++n n n n a a a a )(*N n ∈，则1a 的值小于4的概率为 ▲ ． 11．观察下列等式：①cos 2α＝2cos 2α－1； ②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；第6题图 第9题图第7题图⑤cos 10α＝m cos 10α－1280cos 8α＋1120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝___▲_____.12．已知扇形的圆心角为2α（定值）， 半径为R （定值），分别按图一、二 作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan 2R α， 则按图二作出的矩形面积的最大值为 ▲ .13.（1）给出下列四个命题：①设123,,z z z C ∈，若221223()()0z z z z -+-=，则13z z =； ②两个复数不能比较大小；③若,z C ∈则z z -是纯虚数； ④设12,z z C ∈，则 “12z z R +∈”是“1z 与2z 互为共轭复数”的必要不充分条件． 其中，真命题的序号为 ▲ ．14．△ABC 内有任意三点都不共线的2 014个点，加上A 、B 、C 三个顶点，共2 017个点，把这2 017个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为 ▲ ．二．解答题15. （14分）已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围。
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一(下)期中数学试卷
.
，且
，求实数 的取值范围；
，且 ，求实数 的取值范围.
３
天才出自勤奋。
18.
已知Sn是数列{an}的前n项和，bn=
．
（1）已知{an}是等比数列，a2=1，b3= ，求{an}的通项公式； （2）已知{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，若{bn}也是等差数列，求
的值．
19. 如图，有一壁画，最高点 距离地面 为 米，最低点 距离地面 为 米.
∴an=16+（n-1）×（- ）= （67-3n），
由an＞0，得67-3n＞0，解得n＜22 ，
∴a22= ＞0，a23=- ＜0， ∴由ak•ak+1＜0，得k=22． 故答案为：22．
7解析： ， ，，， ，，
成等比数列，
根据等比数列的通项得：
，
.
故答案为： .
8解析：
如图，由已知可得，
在
中，
１２
天才出自勤奋。
2017-2018学年江苏省南通市启 东中学高一（下）期中数学试卷
１
天才出自勤奋。
1. 在
中，若
，则 ＿＿＿.
2. 设直线 的方程为 值为＿＿＿.
，当直线 垂直于 轴时， 的
3. 在等差数列{an}中，a7=6，则S13═______． 4. 在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状为______三角形．
13解析：α 为锐角，则ta nα ＞0，
（
）
2tanα+
=2ta nα +
=
+
≥2
=，
当且仅当tanα= 即α= 时取得等号，
则2ta nα +
江苏省启东中学2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 理
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考高二理科数学试卷数学I 2018.06(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 是 ▲ . 2.函数)2lg(1x y -=的定义域是 ▲ .3.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是 ▲ .4.曲线y ＝sin xsin x ＋cos x +1在点)23,4π(M 处的切线的斜率是 ▲ .5.已知命题p ：若函数2()||f x x x a =+-是偶函数,则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.下列命题为真命题的是 ▲ .(填序号）①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝6.若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝ ▲ .7.已知x x g 21)(-=,)0(1)]([22≠-=x xx x g f ,则)21(f = ▲ . 8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示是 ▲ .9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 ▲ .10.“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 ▲ 条件。
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 11.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当02≤<-x 时， a x f x +=2)(，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-213f ▲ . 12.已知函数f (x )＝x 2(x －a )．若若存在(2,3),∈t s ， 且t s ≠，使得)()(t f s f ≠成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()'f x f x <，且()()31f x f x ⋅+=-， 若ef 1)2018(-=，则不等式1)(+<x e x f 的解集是 ▲ .14. 定义域为R 的函数f (x )满足f (x+2)=3f (x )，当[0,2]x ∈时，x x x f 2)(2-=， 若[4,2]x ∈--时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥t t x f 3181)(恒成立，则实数t 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数x a x f )62()(-=在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围．16．（本小题满分14分）已知函数,R (11lg )(∈--=k x kx x f 且k >0)． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 若函数)(x f 在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围．17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（本小题满分16分）已知函数().ln xxxf=（1）求函数()x f的极值点；（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线()x fy=相切，求直线l的方程；（3）设函数()()()1--=xaxfxg，其中Ra∈，求函数()x g在[]e,1上的最小值.（其中e为自然对数的底数）数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y＝ln xx2＋1； (2)y＝ln(2x－5)．2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值．4.（本小题满分10分）设(1+x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值．江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考理数学I一、填空题：1.{0,2,4}；2.)2,1()1,(⋃-∞；3. (0,1]；4. 21；5.①④；6. ±1；7. 15；8.()()5,05,-+∞；9. (－∞，2]；10.充分必要；11. 424-；12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92 ； 13.),2(+∞- ；14.10t -≤<或3t ≥二、解答题： 15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围． 解：由p 真得0<2a －6<1，即3<a <72； ……………4分由q 真得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4（2a 2＋1）≥0，3a2>3，9－9a ＋2a 2＋1>0，解得a >52；……………8分若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52.解集为∅； ……………10分若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a≥72，a>52，解得52<a ≤3或a ≥72. ……12分综上所述52<a ≤3或a ≥72. ……………14分16．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R ，且k >0)．(1) 求函数f (x )的定义域；(2) 若函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围． 解：(1) 由kx －1x －1>0，k >0，得x －1k x －1>0，当0<k <1时，得x <1或x >1k；当k ＝1时，得x ∈R 且x ≠1；当k >1时，得x <1k或x >1.综上，当0<k <1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ；当k ≥1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1. …………… 7分(2) 由函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，知10k －110－1>0，∴ k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1，由题意，对任意的x 1、x 2，当10≤x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1，得k －1x 1－1<k －1x 2－1(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)<0. ∵ x 1<x 2，∴ 1x 1－1>1x 2－1，∴ k －1<0，即k <1.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1. ……………14分 17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. ……………5分(2)f (x )为偶函数． ……………7分 证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． ……………10分 (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. ……………15分 18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．解：（1）当1-=a ，32ln )(++-=x x x f )0(>x ，'1()2f x x -=+， …2分∴ ()f x 的单调递减区间为（0，21）,单调递增区间为（21,)∞+ ………4分111() ln 23ln 2 4.222f x f =-+⨯+=+的极小值是（）. …………7分（2）23)21(31)(x m x x x g ++-+=,1)24()(2'-++=∴x m x x g , 1)0(31)('-=g x g ）上不是单调函数，且，在区间（ , ………………9分⎪⎩⎪⎨⎧><∴0)3(0)1(''g g ⎩⎨⎧>+<+∴0620024m m 即：2310-<<-m . …………………12分m 的取值范围10(,2)3-- . ………14分19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. ……………8分(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104； ……………10分 ②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，……12分所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元．…………16分 20．（本小题满分16分） 已知函数().ln x x x f = （1）求函数()x f 的极值点；（2）若直线l 过点（0，—1），并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；（3）设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）解：（1）()x x x f ,1ln +='＞0. 而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e上单调递增. 所以e x 1=是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在.…………………5分（2）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-………………7分又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y …………………10分（3）()()1ln --=x a x x x g ，则().1ln a x x g -+='()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e上单调递减，在()+∞-,1a e上单调递增.①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ……12分②当1＜1-a e ＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[)1,1-a e上单调递减，在(]e ea ,1-上单调递增.()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g ……14分 ③当,1-≤a e e 即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上，当1≤a 时，()x g 的最小值为0；当1＜a ＜2时，()x g 的最小值为1--a e a ；当2≥a 时，()x g 的最小值为.ae e a -+ ………………16分数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx 2＋1； (2)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝xx 2＋－ln x x 2＋x 2＋2＝1xx 2＋－2x ln xx 2＋2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋2.(2)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，(2)由V (Y )＝a 2V (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又E (Y )＝aE (X )＋b ， 所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.4.（本小题满分10分）设(1+x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值． 解：(1)因为a k ＝C kn ，当n ＝11时，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111 ＝12(C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1 024. (2)左边=21111111111111[(1)]n n n n n kk k k k nn n n n k k k k k k C knC n kC n C k C --------========+-∑∑∑∑∑． 1212122222[2(1)][2(1)]2(1)2n n n k n k n n n n k k n n Cn n C n n n --------===+-=+-=+-∑∑ 2(1)2n n n -=+证法二求导积分赋值法：1121(1)2n n n n n n n x C C x nC x --+=++⋅⋅⋅+ 两边同时乘以x 1122(1)2n n n n n n nx x C x C x nC x -+=++⋅⋅⋅+两边再对x 求导可得2112221(1)(1)(1)2n n n n n n n n n x n x C C x n C x ----+++=++⋅⋅⋅+令1x =可得22212223212()2123(1)n n n n n n n n n n C C C n C n C --+=++++-+L。
江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (1)
【题文】（本小题满分16分） 已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈. (1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．【答案】 解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f (1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', …………………………2分 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.…………………………4分(2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a…………………………7分 )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-=21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x 设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x x x x F ， 所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F 即2ln 223)()(21-≥-x f x f . …………………………10分(3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=,所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ， 所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，………………………12分 令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立， aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，k a a h --=⇒='210)( ①2210<--<k 即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在k a --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ， 所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.………………………16分【解析】【标题】江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题【结束】。
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试卷与解析
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：∀x∈R，sinx≤1的否定为．2．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为．3．（5分）已知复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=1+i（i为虚数单位），则复数z的模是．4．（5分）已知p：x＞2，q：x≥1，则p是q的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．（5分）已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），则△ABC的外接圆的方程为．7．（5分）设A，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，AF的延长线交椭圆右准线于点B，若=λ，则λ的值为．8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．（5分）已知点P是直线y=x上一个动点，过点P作圆（x+2）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．（5分）“求1+q+q2+q3+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+q3+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x=”，用类比的方法可以求得：的值为．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是．二、解答题（本题共70分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）用合适的方法证明下面两个问题：（1）已知n∈N*，求证：﹣1≥﹣；（2），，不能构成等差数列．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF1⊥BF 2，求直线l的斜率．19．（16分）已知方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆（m∈R）．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，求m的值；（3）已知点A（﹣2，0），B（4，0），P是与圆C上任意一点，若为定值，求m的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点P的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）若直线AB过椭圆的右焦点F，线段FO上一点D满足AB=4FD，求证：以FD为直径的圆恰好经过点M．【附加题】21．（12分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，且n＞1）．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．（1）若P是线段A 1B的中点，求直线MP与直线AC所成的角的大小；（2）是否存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．23．（16分）已知抛物线C：y2=4x，过直线l：x=﹣2上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T，且点S在x轴上方）．（1）求证：直线ST过定点，并求出该定点；（2）抛物线C上是否存在点B，使得BS⊥BT．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：∀x∈R，sinx≤1的否定为∃x0∈R，使得sinx0＞1．【解答】解：∵命题：∀x∈R，sinx≤1，∴命题的否定为：∃x0∈R，使得sinx0＞1，故答案为：∃x0∈R，使得sinx0＞12．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为y=﹣．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x2=2y，其开口向上，且p=1，则抛物线的准线方程y=﹣，故答案为：y=﹣．3．（5分）已知复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=1+i（i为虚数单位），则复数z的模是．【解答】解：由（z﹣2）（1﹣i）=1+i，得z﹣2=，∴z=2+i，则|z|=．故答案为：．4．（5分）已知p：x＞2，q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【解答】解：∵p：x＞2，q：x≥1，∴p⇒q，反之不成立．则p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF 2|=10；故答案为：10．6．（5分）已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），则△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0．【解答】解：已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有，求得，∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0，故答案为：x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0．7．（5分）设A，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，AF的延长线交椭圆右准线于点B，若=λ，则λ的值为．【解答】解：如图，由题意+=1，得A（0，），c=，则F（1，0），右准线方程为x=．直线AF的方程为，取x=4，得B（4，﹣），，，由=λ，得，即．故答案为：．8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．（5分）已知点P是直线y=x上一个动点，过点P作圆（x+2）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为．【解答】解：圆心坐标C（﹣2，2），半径R=1，则切线长|PT|=，则要使PT最小，则只需要PC最小即可，此时CP垂直直线y=x，则C到直线x﹣y=0的距离d===2，此时|PT|===，故答案为：．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．（5分）“求1+q+q2+q3+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+q3+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x=”，用类比的方法可以求得：的值为．【解答】解：令=x（x＞0）则有x=∴x2=1+x∴x2﹣x﹣1=0解得x=或x=∵x＞0，∴舍去．故答案为：．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是a＞或a＜﹣．【解答】解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（﹣2，0），N（0，2），所以中点A（﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，所以（a+1）2+12＞（2）2，解得a＞或a＜﹣；所以a的取值范围是a＞或a＜﹣；故答案为：a＞或a＜﹣．二、解答题（本题共70分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．（14分）用合适的方法证明下面两个问题：（1）已知n∈N*，求证：﹣1≥﹣；（2），，不能构成等差数列．【解答】解：（1）要证：﹣1≥﹣，只要+≥+1，只要证（+）2≥（+1）2，只要证n+2+2≥n+2+2，只要证≥，只要证2n≥n+1，只要证n≥1，显然对于n∈N*，成立，故﹣1≥﹣；（2）假设，，能构成等差数列，则2=+，即（2）2=（+）2，即12=7+2，即5=2，显然不成立，故假设不成立，故，，不能构成等差数列17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知F 1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF1⊥BF2，求直线l的斜率．【解答】解：（1）∵椭圆E经过点A（2，0）和（1，3e），∴，解得a=2，b=，c=1．∴椭圆方程为；（2）由（1）知，F1（﹣1，0），F2（1，0）．设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．联立，可得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，解得x=2，或x=，点B坐标为（，）．由OM=MA知，点M在OA的中垂线x=1上，又点M在直线l上，∴点M的坐标为（1，﹣k）．从而=（2，k），=（，）．∵MF1⊥BF2，∴，∴，解得k=±，故直线l的斜率是±．19．（16分）已知方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆（m∈R）．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，求m的值；（3）已知点A（﹣2，0），B（4，0），P是与圆C上任意一点，若为定值，求m的值．【解答】解：（1）若方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆，必有82﹣4（﹣m+1）＞0，解可得：m＞﹣15；即m的取值范围是（﹣15，+∞）；（2）圆C的方程为x2+y2+8x﹣m+1=0，变形可得（x+4）2+y2=15+m，圆心为（﹣4，0），半径r=，圆心C到直线x+y+1=0的距离d==，又由圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线的距离d=r，则有=×，解可得m=﹣11；（3）根据题意，如图，连接PC，设圆C的半径为r，则PC=r，设∠PCA=θ，则有CA=2，CB=8，由余弦定理可得：PA=，PB=，若为定值，则设=，则有=即=k，变形可得：r2+4﹣4rcosθ=k（r2+64﹣16rcosθ），分析可得：k=，r2=16，又由圆的标准方程为：（x+4）2+y2=15+m，则有15+m=16，解可得m=1；则m=1．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点P的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）若直线AB过椭圆的右焦点F，线段FO上一点D满足AB=4FD，求证：以FD为直径的圆恰好经过点M．【解答】（1）解：由题意，，解得a=2，b=，∴椭圆方程为；（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得：，即=﹣，∵k1=，k=，∴k1k=﹣；（3）证明：由（2）知，AB所在直线的斜率为，又直线AB过点F（1，0），则AB：y=，联立，得（3+4k2）x2﹣6x+3﹣16k2=0．则，．=．∴M（）．|AB|===．则|FD|==，设D（n，0），则1﹣n=，得n=．∴D（，0），而=，∴，∴以FD为直径的圆恰好经过点M．【附加题】21．（12分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，且n＞1）．【解答】证明：（1）当n=2时，显然1++=＜2，不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即1+++…+＜k，则当n=k+1时，1+++…++++…+＜k++…+＜k+++…=k+1，∴当n=k+1时，不等式成立，综上，对于n∈N*，n＞1，1+++…+＜n．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．（1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成的角的大小；（2）是否存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，P是线段A1B的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），M（1，1，0），A1（0，0，2），P（1，0，1），=（0，﹣1，1），=（0，2，0），设直线MP与直线AC所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=，∴直线MP与直线AC所成的角为．（2）假设存在点P（a，b，c），，（0≤λ≤1），使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，则（a﹣2，b，c）=（﹣2λ，0，2λ），解得P（2﹣2λ，0，2λ），=（1﹣2λ，﹣1，2λ），平面ABC的法向量=（0，0，1），∵直线MP与平面ABC所成角的大小为，∴sin==，由0≤λ≤1，解得．∴BP=×=．∴存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，线段BP的长度为．23．（16分）已知抛物线C：y2=4x，过直线l：x=﹣2上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T，且点S在x轴上方）．（1）求证：直线ST过定点，并求出该定点；（2）抛物线C上是否存在点B，使得BS⊥BT．：y﹣t=k（x+2），【解答】解：（1）方法一：（1）设A（﹣2，t），过点A的切线：l切联立，整理得：ky2﹣4y+4（t+2k）=0，由，则得2k2+tk﹣1=0，即k（2k+t）=1，则k+2t=，则k1k2=﹣，且有ky2﹣4y+=0，即（ky﹣2）2=0，得y=，因此S（，），T（，），l ST：y﹣=（x﹣）=（x ﹣）=﹣x﹣，∴y=﹣x+=﹣（x﹣2），即有l ST：y=﹣（x﹣2），∴直线ST过定点P（2，0）；方法二：设S（x1，y1），T（x2，y2），由y2=4x，根据复合函数求导法则2yy′=4，则y′=，则直线AS的斜率k=，方程为：y﹣y1=（x﹣x1），由y12=4x1，整理得：yy1=2（x+x1），同理可得：直线AT：yy2=2（x+x2），设A（﹣2，y A），则y A y1=2（x1﹣2），y A y2=2（x2﹣2），即y A y1﹣2x1+4=0，y A y2﹣2x2+4=0，∴S（x1，y1），T（x2，y2）是方程y A y﹣2（x﹣2）=0解，则直线ST：y A y﹣2（x﹣2）=0∴直线ST恒过点（2，0）；（2）假设存在点B，使得BS⊥BT，设B（m，n），由直线ST：y A y﹣2（x﹣2）=0，∴，整理得：y2﹣2y A y﹣8=0，则y1+y2=2y A，y1y2=﹣8，则x1+x2=y A2+4，x1x2=×（y1y2）2=4，由BS⊥BT，则•=0，即（x1﹣m，y1﹣n）•（x2﹣m，y2﹣n）=0，整理得：x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2﹣n（y1+y2）+n2=0，∴4﹣my A2﹣4m+m2﹣8﹣2ny A+n2=0，my A2+2ny A+4m+4﹣m2﹣n2=0，由4m=n2，代入整理得：y A2+2ny A+4﹣=0，令4﹣=0，即n2=8，当n=2则y A2+2y A=0，解得：y A=0或y A=﹣2，当n=﹣2则y A2﹣2y A=0，解得：y A=0（舍去）或y A=2，∴当B（2，2）或（2，﹣2）时，A（﹣2，±2）时，BS⊥BT．。
2017年江苏省南通市启东中学高二下学期期中数学试卷与解析答案(理科)
2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，2，3，a}，集合M={﹣1，3}．若∁U M={2，5}，则实数a的值为．2．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为．3．（5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（＜X＜）的值为．4．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．5．（5分）我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日到30日，评委会把各校上传的文章按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为180．那么本次活动收到的文章数是．6．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角为．7．（5分）已知命题p：∃x∈[0，1]，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是．8．（5分）下列有关命题的说法中正确的是．（填序号）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1＜0”；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．9．（5分）在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．则组成的三位数中是3的倍数的有个．10．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有种．11．（5分）已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有种．12．（5分）2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．13．（5分）已知，则的值是．14．（5分）=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）4名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？（1）男生甲必须站在两端；（2）两名女生乙和丙不相邻；（3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间．16．（15分）记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求①A∩B；②（∁R A）∪B；（2）若C={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}，C⊆B，求实数m的取值范围．17．（15分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．p：f（x）=m+2x为定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”；q：曲线g（x）=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．18．（15分）某房屋开发公司根据市场调查，计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适用房”三类商品房，每类房型中均有舒适和标准两种型号．某年产量如表：若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测，则必须抽取“特大套”套房10套，“大套”15套．（1）求x，y的值；（2）在年终促销活动中，奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房，该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者．求至少有一套是舒适型套房的概率；（3）今从“大套”类套房中抽取6套，进行各项指标综合评价，并打分如下：9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取，规定抽到数9.6或9.7，抽取工作即停止．记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是a1=3．20．（15分）设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，2，3，a}，集合M={﹣1，3}．若∁U M={2，5}，则实数a的值为5．【解答】解：∵集合M={﹣1，3}，∴∁U M={2，5}={2，a}，故a=5，故答案为：5．2．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为482．【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣7=25，则样本容量为=20，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故答案为：482．3．（5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（＜X＜）的值为．【解答】解：∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，∴=1，∴c=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；4．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52=10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件：1，2；1，5；2，4，共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故答案为：5．（5分）我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日到30日，评委会把各校上传的文章按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为180．那么本次活动收到的文章数是1200．【解答】解：∵频率分布直方图中，从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，且二组的频数为180，∴本次活动收到的文章数是180÷=1200．故答案为：1200．6．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角为45°．【解答】解：y′=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．7．（5分）已知命题p：∃x∈[0，1]，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是＜a≤e．【解答】解∵命题p：∃x∈[0，1]，a≤e x∴若p为真，那么a≤（e x）max∴a≤e又∵命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，∴若q为真，那么△=1﹣4a＜0∴∵命题p∧q是真命题∴p真，q真综上，实数a的取值范围是：＜a≤e故答案为：＜a≤e8．（5分）下列有关命题的说法中正确的是④．（填序号）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1＜0”；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；故①错误，②由x2﹣5x﹣6=0得x=﹣1或x=6，则“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件；故②错误③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1≠0”；故③错误，④命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题．，则命题的逆否命题为真命题．故④正确，故答案为：④．9．（5分）在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．则组成的三位数中是3的倍数的有228个．【解答】解：要想组成的三位数能被3整除，把0，1，2，3，…，9这十个自然数中分为三组：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．若每组中各取一个数，含0，共有C31C31C21A22=36种；若每组中各取一个数不含0，共有C31C31C31A33=162种；若从每组中各取三个数，共有3A33+C32A22A22=30种．所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种．故答案为：228．10．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有30种．【解答】解：根据题意，由于4科的专题讲座每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个专题讲座中任选2个看作整体，然后与其他2个讲座全排列，共C42A33=36种情况，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，将数学、理综看成一个整体，然后与其他2个讲座全排列，共A33=6种情况，故总的方法种数为：36﹣6=30；故答案为：3011．（5分）已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有18种．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、对于A、B、C区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同，将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，有A33=6种情况，②、对于D、E区域，分2种情况讨论：若A，E种的植物相同，则D有2种种法，若A，E种的植物不同，则E有1种情况，D也有1种种法，则D、E区域共有2+1=3种不同情况，则不同的种法共有6×3=18种；故答案为：18．12．（5分）2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：；故答案为：．13．（5分）已知，则的值是（）2018．【解答】解：∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018，∴令x=﹣2，得a0=0再令x=﹣，得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018，∴=，故答案为：（）2018，14．（5分）=．【解答】解：C n m﹣1===C n+1m，则1=C n+11，Cn1=Cn+12，…，Cnn=Cn+1n+1，则=[（﹣1）0C n+11+（﹣1）1C n+11+（﹣1）2C n+13+…+（﹣1）n C n+1n+1]=﹣[（﹣1）1C n+11+（﹣1）2C n+12+（﹣1）3C n+13+…+（﹣1）n+1C n+1n+1]=﹣[（1﹣1）n﹣1]=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）4名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？（1）男生甲必须站在两端；（2）两名女生乙和丙不相邻；（3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间．【解答】解：（1）男生甲必须站在两端，其余的进行全排列即可，故有=1440种．（2）利用插空法，先排除乙丙之外的另外5人，然后在这5人形成的6个间隔中插入乙和丙即可，故有=3600种．（3）分两类，若乙在正中间，则有=720种，若乙不站在正中间，乙不站在两端，则乙从另外4个位置任选一个，丙从另外5个位置选一个，其他任意排，故有=2400种，根据分类计数原理得共有720+2400=3120种．16．（15分）记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求①A∩B；②（∁R A）∪B；（2）若C={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}，C⊆B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）依题意，得A={x|x2﹣x﹣2＞0}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B={x||3﹣x|x|≥0}=[﹣3，3]，①A∩B=[﹣3，﹣1）∪（2，3]②（∁R A）∪B=[﹣3，3]，（2）∵（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0，∴[x﹣（m﹣1）][x﹣（2m+1）]＜0①当m﹣1=2m+1，即m=﹣2时，C=∅，满足C⊆B②当m﹣1＜2m+1，即m＞﹣2时，C=（m﹣1，2m+1），要使C⊆B，只要得﹣2＜m≤1③当2m+1＜m﹣1，即m＜﹣2时，C=（2m+1，m﹣1），要使C⊆B，只要得m∈∅综上，m 的取值范围是[﹣2，1]17．（15分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．p：f（x）=m+2x为定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”；q：曲线g（x）=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵p：f（x）=m+2x为定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”，∴∃x∈[﹣1，2]，使得m+2﹣x=﹣（m+2x），化为：m=﹣（2x+2﹣x）∈．q：曲线g（x）=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点，则（5m+1）2﹣4＞0，解得或；∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p或q一真一假．p真q假，则，得无交集；若p假q真，则，得或或．综上知m的取值范围为：或或．18．（15分）某房屋开发公司根据市场调查，计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适用房”三类商品房，每类房型中均有舒适和标准两种型号．某年产量如表：若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测，则必须抽取“特大套”套房10套，“大套”15套．（1）求x，y的值；（2）在年终促销活动中，奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房，该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者．求至少有一套是舒适型套房的概率；（3）今从“大套”类套房中抽取6套，进行各项指标综合评价，并打分如下：9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取，规定抽到数9.6或9.7，抽取工作即停止．记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由题设知==，解得y=450，x=400；（2）设至少有一套舒适型套房记为事件A，事件A发生的个数为：，基本事件的总和为，故所求的概率为；（3）根据题意，ξ可能的取值为1，2，3，4，5，则，，，，；所以ξ的分布列为：数学期望为E（ξ）=1×+2×+3×+4×+5×=．19．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是a1=3．【解答】证明：∵数列是公比为2的等比数列，∴．即．∵，∴显然当n≥2时=4．①充分性：当a1=3时，，∴对n∈N*，都有，即数列{a n}是等比数列．②必要性：∵{a n}是等比数列，∴，即，解得a1=3．20．（15分）设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．【解答】解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，∴T3=•12•=；②f（6，y）=的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••26﹣r•m2r﹣6•，且f（6，y）=a0++…+，∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12，解得m=2；∴f（6，y）==的通项公式为T r+1=（﹣1）r••2r•，∴a r=（﹣1）r••2r ，r=0，1，2， (6)∴=﹣•2+•22﹣•23+…+•26=﹣•2+•22﹣•23+…+•26﹣=（1﹣2）6﹣1=0；（2）∵=﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•，∴设f（x）=（1﹣x）n=C n0﹣C n1x+C n2x2﹣C n3x3+…+（﹣1）n•C n n x n…①，①式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣C n1+2C n2x﹣3C n3x2+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n•（﹣1）n x n﹣1…②，n•Cn②的两边同乘x得：﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xC n1+2C n2x2﹣3C n3x3+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣1+n•（﹣1）n•C n n x n…③，③式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣C n1+22C n2x﹣32C n3x2+…+（n﹣1）2•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n2•（﹣1）n•C n n x n﹣1…④，④中令x=1，得﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•=0，即=0．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (3)
【题文】
（本小题满分16分）
已知函数()f x ＝13
x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ． （1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围；
（2）求()f x 在区间[－1,4]上的最值；
（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
【答案】
解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，…………2分
即过曲线C 上任意一点切线倾斜角的取值范围是3,0,42πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢
⎢⎣⎭⎣⎭ …………4分 （2）()f x 的最大值为4(1)(4)3f f ==；()f x 的最小值为16(1)3
f -=- …………………………9分
（3）设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， 111k k
≥-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩…………………………12分 解得－1≤k ＜0或k ≥1，
故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－
4x ＋3≥1，
得x ∈(－∞
，2]∪(1,3)∪[2，＋∞)． …………………………16分
【解析】
【标题】江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题
【结束】。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二(上)期初数学试卷(含解析)
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期初数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是 ．2．已知数列{a n}满足：a=a+3，且a1=2，若a n＞0，则a n= ．3．等比数列x，3x+3，6x+6，…的前四项和等于 ．4．已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是 ．5．已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l 2的距离为 ．6．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是 ①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，且满足bcos C=（4a﹣c）cos B．则sinB= ．8．在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足=3，则•= ．9．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函数，则θ的值为 ．10．设g（x）=则g= ．11．下列命题：①x=2是x2﹣4x+4=0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α=sinβ是α=β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是 ．（填序号）．12．已知两点A（﹣2，0），B（0，1），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最大值是 ．13．已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为 ．14．设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a+a+…+a）（a+a+…+a）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则p 是q的 条件．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是 ．18．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若实数a使得a＞S n+对任意n∈N*恒成立，求a的取值范围．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．20．已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，．（Ⅰ）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解？2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是 “若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0” ．【考点】21：四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．故答案为：“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．2．已知数列{a n}满足：a=a+3，且a1=2，若a n＞0，则a n= ．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：由a=a+3，即a﹣a=3，∴数列为等差数列，公差为3，首项为4．∴=4+3（n﹣1）=3n+1．∵a n＞0，则a n=．故答案为：．3．等比数列x，3x+3，6x+6，…的前四项和等于 ﹣45 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：（3x+3）2=x（6x+6），化为：x2+4x+3=0，解得x=﹣1或﹣3．当x=﹣1时，3x+3=0，舍去．∴首项为﹣3，公比为： =2．∴前四项和==﹣45．故答案为：﹣45．4．已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是 [﹣1，2] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=•，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=•，∵A（﹣2，1），M（x，y），∴z=•=﹣2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当y=2x+z，经过点A（1，1）时，直线截距最小，此时z最小为z=﹣2+1=﹣1．经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大．此时z=2，即﹣1≤z≤2，故答案为：[﹣1，2]5．已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为 ．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】首先使直线l1方程中x，y的系数与直线l2方程的系数统一，再根据两条平行线间的距离公式可得答案．【解答】解：由题意可得：直线l1的方程为6x+8y﹣14=0，因为直线l2的方程为6x+8y+1=0，所以根据两条平行线间的距离公式可得：直线l1与l2的距离为=．故答案为．6．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是 ③ ①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用平面平行的判定定理即可得出．【解答】解：设直线l，m，平面α，β，①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；l与m不相交时不能得出α∥β．②l⊂α，m⊂β且l∥m；α与β可能相交．③l⊥α，m⊥β，且l∥m；能得出α∥β．④l∥α，m∥β，且l∥m．可能得出α与β相交．故答案为：③．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，且满足bcos C=（4a﹣c）cos B．则sinB= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式可求cosB的值，进而利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵bcosC=（4a﹣c）cos B，∴由正弦定理，得：（4sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，即4sin Acos B=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sin A．在△ABC中，0＜A＜π，sin A＞0，所以cosB=．又因为0＜B＜π，故sinB==．故答案为：．8．在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足=3，则•= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把用表示，代入•得答案．【解答】解：如图，∵=3，CA=CB=3，∴=．∴•=．故答案为：．9．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函数，则θ的值为 ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意可得f（﹣x）=f（x），利用出公式可得：sin（x+θ+）=0，上式对于任意实数x∈R都成立，可得cosθ=0，即可得出．【解答】解：∵函数函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=2sin（x+θ+）是偶函数，∴，．∴θ=．故答案为：．10．设g（x）=则g= ．【考点】3T：函数的值．【分析】利用自变量的范围首先求得的值，然后求解所要求解的函数的值即可．【解答】解：由函数的解析式可得：，则．故答案为：．11．下列命题：①x=2是x2﹣4x+4=0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α=sinβ是α=β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是 ②④ ．（填序号）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充要条件的判定方法及其有关知识即可得出命题的真假．【解答】解：①x=2是x2﹣4x+4=0的充要条件，因此是假命题；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件，是真命题；③sin α=sinβ是α=β的必要不充分条件，是假命题；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件，是真命题．其中为真命题的是②④．故答案为：②④．12．已知两点A（﹣2，0），B（0，1），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最大值是 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出BA的直线方程和|AB|的长度，点P到直线AB的距离最大值时，可得△PAB面积的最大值．【解答】解：两点A（﹣2，0），B（0，1），∴BA的直线方程为：x﹣2y+2=0，|AB|=．点P到直线AB的距离最大值为圆心到直线的距离d+r，圆（x﹣1）2+y2=1，其圆心为（1，0）d==．∴点P到直线AB的距离最大值为：．△PAB面积的最大值S=|AB|•=．故答案为：．13．已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用题意结合代数式的特点构造均值不等式，然后利用均值不等式的结论求解最值即可．【解答】解：由题意可得：===．当且仅当时等号成立．即代数式的最小值为．故答案为：．14．设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a+a+…+a）（a+a+…+a）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则p 是q的 充分不必要 条件．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．由柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间[0，]上的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x=cos2xcos﹣sin2xsin +cos2x+1=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，故函数的最小正周期为T==π，令2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π，求得kπ+≤x≤kπ+，求得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos[2（x﹣）+]+1=cos（2x﹣+）+1=cos（2x﹣）+1的图象，由x∈[0，]，可得：2x﹣∈[﹣，]，可得：cos（2x﹣）∈[﹣，1]，解得：g（x）=cos（2x﹣）+1∈[，2]．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17．设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是 （﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3） ．【考点】25：四种命题间的逆否关系；57：函数与方程的综合运用．【分析】由使p∨q为真，P∧q为假，则p，q中必然一真一假，故我们可以根据p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．求出各种情况下，m的取值范围，综合分析后，即可得到使p∨q为真，P∧q为假的实数m的取值范围．【解答】解：∵p∨q为真，P∧q为假∴p与q一个为真，一个为假由p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根当P为真时，m＜﹣1，则p为假时，m≥﹣1由q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根当q为真时，﹣2＜m＜3，则q为假时，m≤﹣2，或m≥3当p真q假时，m≤﹣2当p假q真时，﹣1≤m＜3故使p∨q为真，P∧q为假的实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）18．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若实数a使得a＞S n+对任意n∈N*恒成立，求a的取值范围．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；（2）由（1）得S n=1﹣（﹣）n=，当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1=；当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以1＞S n≥S2=求出S n+的最大值即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得：2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，即有4a5=a3，即为q2=，解得q=±，由等比数列{a n}不是递减数列，可得q=﹣，即a n=．（2）由（1）得S n=1﹣（﹣）n=当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1=S n+．当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以1＞S n≥S2=S n+∴实数a使得a＞S n+对任意n∈N*恒成立，则a的取值范围为（，+∞） 19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．【解答】解：（1）由方程x2+y2+2x﹣4y+3=0知（x+1）2+（y﹣2）2=2，所以圆心为（﹣1，2），半径为．当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则=，所以k=2±，即切线方程为y=（2±）x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则=，所以a=﹣1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．综上知，切线方程为y=（2±）x或x+y+1=0或x+y﹣3=0；（2）因为|PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣，）．20．已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，．（Ⅰ）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解？【考点】3N：奇偶性与单调性的综合；3L：函数奇偶性的性质；3Q：函数的周期性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（I）由f（x）是x∈R上的奇函数，得f（0）=0．再由最小正周期为2，得到（1）和f（﹣1）的值．然后求（﹣1，0）上的解析式，通过在（﹣1，0）上取变量，转化到（0，1）上，应用其解析式求解．（II）用定义，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．（III）根据题意，求得f（x）在（﹣1，1）上的值域即可．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函数，∴f（0）=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），==﹣f（x）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：设0＜x1＜x2＜1，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵0＜x1＜x2＜1，∴，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x）在（0，1）上为减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上为减函数，∴f（1）＜f（x）＜f（0）即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理，f（x）在（﹣1，0）上时，f（x）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又f（0）=0当或或λ=0时方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一(下)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）在△ABC中，若b2﹣bc=a2﹣c2，则A=．2．（5分）设直线l的方程为mx+（m+1）y+3=0，当直线l垂直于x轴时，m的值为．3．（5分）在等差数列{a n}中，a7=6，则S13═．4．（5分）在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状为三角形．5．（5分）已知直线上一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线的斜率k=6．（5分）已知数列{a n}满足a1=16，且4a n+1=4a n﹣3．若a k•a k+1＜0，则正整数k=．7．（5分）在1和512中插入5个数，使这7个数成等比数列，则公比q为．8．（5分）小华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是km．9．（5分）已知P（m，n）是直线2x+5y=20在第一象限部分上的一点，则lg5m+lg2n 的最大值为10．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a72+a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11=．11．（5分）△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．12．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则关于x 的不等式ax++b＜0的解集为13．（5分）已知α为锐角，则2tanα+的最小值为．14．（5分）已知数列{a n}满足：a n=，若S2018=3027，则a1=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（﹣3，4）；（2）斜率为．16．（14分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．17．（14分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}．（1）若集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，求实数t的取值范围；（2）若集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，且A∩B={x|2≤x≤3}，求实数a的取值范围．18．（16分）已知S n是数列{a n}的前n项和，b n=．（1）已知{a n}是等比数列，a2=1，b3=，求{a n}的通项公式；（2）已知{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，若{b n}也是等差数列，求的值．19．（16分）如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果（视角∠ACB=θ越大，效果越好），现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．（1）按照方案①，设CF为h米（2＜h＜4），当h为何值时，视角θ最大？（2）按照方案②，设EF为x米（x＜4），当x为何值时，视角θ最大？20．（16分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），其前n项和为S n满足：S n=a2S n﹣1+a （n≥2，n∈N*）．（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{a}的前n项和，是否存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，若存在求出t的最小值，若不存在说明理由．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）在△ABC中，若b2﹣bc=a2﹣c2，则A=．【分析】利用余弦定理求得cosA的值，再根据特殊角的三角函数值求出A．【解答】解：△ABC中，b2﹣bc=a2﹣c2，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A∈（0，π），∴A=．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．2．（5分）设直线l的方程为mx+（m+1）y+3=0，当直线l垂直于x轴时，m的值为﹣1．【分析】由直线l的方程为mx+（m+1）y+3=0，直线l垂直于x轴，得m+1=0，由此能求出m的值．【解答】解：∵直线l的方程为mx+（m+1）y+3=0，直线l垂直于x轴，∴m+1=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）在等差数列{a n}中，a7=6，则S13═78．【分析】由等差数列的性质得：S13═=13a7，由此能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a7=6，∴S13═=13a7=13×6=78．故答案为：78．【点评】本题考查等差数列的前13项的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状为等腰三角形．【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．所以三角形是等腰三角形．故答案为：等腰．【点评】本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力，属于基础题．5．（5分）已知直线上一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线的斜率k=﹣2【分析】根据题意，设该点的坐标为（a，b），分析可得平移后的点的坐标，由直线的斜率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设该点的坐标为（a，b），将该点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，则平移之后的坐标为（a+2，b﹣4），则直线的斜率k==﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查直线的斜率计算，关键是掌握直线的斜率计算公式．6．（5分）已知数列{a n}满足a1=16，且4a n+1=4a n﹣3．若a k•a k+1＜0，则正整数k=22．【分析】推导出{a n}是首项为16，公差为﹣的等差数列，从而a n=（67﹣3n），由此利用a k•a k+1＜0，能求出k．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=16，且4a n+1=4a n﹣3．﹣a n=﹣，∴a n+1∴{a n}是首项为16，公差为﹣的等差数列，∴a n=16+（n﹣1）×（﹣）=（67﹣3n），由a n＞0，得67﹣3n＞0，解得n＜22，∴a22=＞0，a23=﹣＜0，∴由a k•a k+1＜0，得k=22．故答案为：22．【点评】本题考查正整值k的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．（5分）在1和512中插入5个数，使这7个数成等比数列，则公比q为．【分析】根据等比数列的通项得：512=1×q6，从而可求出q．【解答】解：∵1，a，b，c，d，e，512成等比数列，∴根据等比数列的通项得：512=1×q6，∴q=．故答案为：．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，熟练掌握等比数列通项公式是解本题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．8．（5分）小华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是km．【分析】在△ABS中，可得∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°则∠ASB=45°，由正弦定理可得BS=．【解答】解：如图，由已知可得，AB=24×=6在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°∠ASB=45°由正弦定理可得BS==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题．进而利用数学基本知识进行求解．9．（5分）已知P（m，n）是直线2x+5y=20在第一象限部分上的一点，则lg5m+lg2n 的最大值为2【分析】由题意可得2m+5n=20，由基本不等式可得mn的最大值，再由对数的运算性质可得所求最大值．【解答】解：P（m，n）是直线2x+5y=20在第一象限部分上的一点，可得2m+5n=20，即有2m+5n≥2，即有mn≤10，则lg5m+lg2n=lg（10mn）≤lg100=2，可得m=5，n=2上式取得等号，则lg5m+lg2n的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查对数的运算性质，属于基础题．10．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a72+a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11=8．【分析】由等差数列中项的性质可得a6+a8=2a7，即有a7=2（0舍去），再由等比数列的通项公式，计算即可得到所求值．【解答】解：各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a+a8=0，由a6+a8=2a7，可得2a7=a72，即有a7=2（0舍去），数列{b n}是公比为q的等比数列，且b7=a7=2，则b2•b8•b11=b1q•b1q7•b1q10=b13q18=（b1q6）3=b73=23=8．故答案是：8．【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．11．（5分）△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．【分析】求出sinB，利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出b的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．【解答】解：△ABC中，∵tanB=﹣，∴sinB=，cosB=﹣．又S==2c=8，∴c=4，∴b==．∴==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理的应用，等比性质的应用．12．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则关于x 的不等式ax++b＜0的解集为{x|﹣2﹣}【分析】由关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求出，从而关于x的不等式ax++b＜0转化为：x2+2x﹣2＞0，由此能求出关于x的不等式ax++b＜0的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，∴，∴，∴，∴关于x的不等式ax++b＜0转化为：x2+2x﹣2＞0，解得﹣2﹣．∴关于x的不等式ax++b＜0的解集为{x|﹣2﹣}．故答案为：{x|﹣2﹣}．【点评】本题考查一元二次不等的求法，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13．（5分）已知α为锐角，则2tanα+的最小值为．【分析】α为锐角，则tanα＞0，运用二倍角的正切公式，化简代数式，再由基本不等式可得最小值．【解答】解：α为锐角，则tanα＞0，2tanα+=2tanα+=+≥2=，当且仅当tanα=即α=时取得等号，则2tanα+的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的运用，同时考查二倍角的正切公式的运用，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）已知数列{a n}满足：a n=，若S2018=3027，则a1=．【分析】讨论n为偶数时，两两结合，再由等比数列的求和公式，可得所求和，即可求出．【解答】解：∵数列{a n}满足a n=，当n为奇数时，a n=a n﹣1+1，即a n﹣2=（a n﹣1﹣2），∴数列{a n﹣2}为公比为的等比数列，∴a n﹣2=a1（）n﹣1，∴a n=2+a1（）n﹣1，当n=2时，a2=2a1，当n为偶数时，a n=2a n﹣1，可得偶数项成首项为2a2，公比为2的等比数列，且为a n=a1×2n，∴S2018=2×1009++=2018+a1（2﹣）+a1（21010﹣2）=3027，∴a1=故答案为：【点评】本题考查数列的通项公式和数列的求和，注意运用分类讨论的思想方法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（﹣3，4）；（2）斜率为．【分析】（1）设直线的斜率为k，利用点斜式写出直线方程，求出直线l与x轴、y轴上的截距，由直线l与两坐标轴围成的三角形面积列方程求出k，再写出直线方程；（2）设直线l在y轴上的截距为b，利用斜截式写出直线方程，求出直线与x轴的截距，由直线l与两坐标轴围成的三角形的面积列方程求出b，再写出直线方程．【解答】解：（1）设直线l的方程为y﹣4=k（x+3），它在x轴、y轴上的截距分别是﹣﹣3，3k+4，由已知得•|（3k+4）（﹣﹣3）|=3，可得（3k+4）（﹣﹣3）=6或﹣6，解得k=﹣或k=﹣；所以直线l的方程为：2x+3y﹣6=0或8x+3y+12=0；（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y=x+b，它在x轴上的截距是﹣6b，由已知得|﹣6b•b|=6，解得b=±1；∴直线l的方程为x﹣6y+6=0或x﹣6y﹣6=0．【点评】本题考查了直线方程与三角形面积的应用问题，是基础题．16．（14分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．17．（14分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}．（1）若集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，求实数t的取值范围；（2）若集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，且A∩B={x|2≤x≤3}，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据并集的定义即可求出t的范围，（2）由题意可得3是方程x2﹣ax+b=0的一个根，再求出另一个根，即可求出a 的范围．【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}，∵集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，∴t≥2，（2）∵集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，令x2﹣ax+b=0，∵A∩B={x|2≤x≤3}，∴3是方程x2﹣ax+b=0的一个根，且△=a2﹣4b＞0∴9﹣3a+b=0，∴b=3a﹣9，∴a2﹣4（3a﹣9）=a2﹣12a+36=（a﹣6）2＞0，解得a≠6∵方程的另一个根为x+3=a，即x=a﹣3，∵A∩B={x|2≤x≤3}，∴1＜a﹣3≤2，解得4＜a≤5故a的取值范围为（4，5]【点评】本题考查了集合的运算和不等式的解法，属于中档题．18．（16分）已知S n是数列{a n}的前n项和，b n=．（1）已知{a n}是等比数列，a2=1，b3=，求{a n}的通项公式；（2）已知{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，若{b n}也是等差数列，求的值．【分析】（1）设{a n}是公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项；（2）运用等差数列的通项公式，求得b1，b2，b3，由2b2=b1+b3，化简整理可得所求值．【解答】解：（1）S n是数列{a n}的前n项和，b n=，设{a n}是公比为q的等比数列，a2=1，b3=，可得a1q=1，=，解得a1=，q=3或a1=3，q=，则a n=3n﹣2；或a n=（）n﹣2；（2）{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，若{b n}也是等差数列，可得b1=，b2=，b3=，由2b2=b1+b3，可得a1=d，则=．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（16分）如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果（视角∠ACB=θ越大，效果越好），现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．（1）按照方案①，设CF为h米（2＜h＜4），当h为何值时，视角θ最大？（2）按照方案②，设EF为x米（x＜4），当x为何值时，视角θ最大？【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形求出tanθ的解析式，计算tanθ取得最大值时h的值；（2）根据题意画出图形，结合题意求出tanθ的解析式，计算tanθ取最大值时对应θ的值．【解答】解：（1）如图（1）所示，由题意知，tanα=，tanβ=，∴tanθ=tan（α+β）==，2＜h＜4；当h=3时tanθ取得最大值为；因为函数y=tanθ在上是增函数，所以当h=3时θ取得最大值；（2）如图（2）所示，由题意知，tanα=，tanβ=，∴tanθ=tan（β﹣α）==≤，x＞0，当且仅当时取“=”，所以x=时，视角θ取得最大值．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．20．（16分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），其前n项和为S n满足：S n=a2S n﹣1+a （n≥2，n∈N*）．（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{a}的前n项和，是否存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，若存在求出t的最小值，若不存在说明理由．【分析】（1）∵S n=a2S n﹣1+a（n≥2，n∈N*），S n+1=a2S n+a，相减可得：a n+1=a2a n，n=2时，a1+a2=a2a1+a，解得a2=a3，满足=a2．即可证明．（2）①a≠1，=a4n﹣2=•（a4）n，利用等比数列的求和公式即可得出T n，S n，S2n．假设存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，即可得出t．②a=1时，=1，T n=n，S n=n，S2n=2n．假设存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，解得t．【解答】（1）证明：∵S n=a2S n﹣1+a（n≥2，n∈N*），S n+1=a2S n+a，相减可得：a n+1=a2a n，n=2时，a1+a2=a2a1+a，解得a2=a3，满足=a2．∴数列{a n}为等比数列，首项为a（a＞0），公比为a2．∴a n=a•（a2）n﹣1=a2n﹣1．（2）解：①a≠1，=a4n﹣2=•（a4）n，∴T n=，S n=，可得：S2n=．假设存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，∴=t•，解得t==+a＞2．②a=1时，=1，T n=n，S n=n，S2n=2n．假设存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，则2n=t•n，解得t=2．综上可得：存在t的最小值为2．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
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第1页（共18页） 2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（文科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B= ． 2．（5分）函数f（x）=x•lnx的单调递减区间为 ． 3．（5分）已知命题p：x＞a．命题q：﹣2＜x≤1．若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 4．（5分）若函数f（x）=ex（sinx+cosx），则f′（x）= ． 5．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为 ． 6．（5分）设曲线f（x）=ax3+x在（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则实数a的值为 ． 7．（5分）函数y=1﹣值域为 ．
8．（5分）函数f（x）=x3﹣4x+的极大值为 ． 9．（5分）若函数是偶函数，则a﹣b的值为 ． 10．（5分）设函数e为自然对数的底数），则f（x）的极小值为 ． 11．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=5x3+2xf′（1），则f′（3）= 12．（5分）某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示） 13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0．当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（4，5）内满足方程的实数x的值为 ． 第2页（共18页）
14．（5分）若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx． （1）当b=﹣2时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围； （2）当处取得极值，求函数f（x）在[1，a]上的值域． 16．（14分）已知函数f（x）=2ex+m（x+1），（m∈R），e为自然对数的底数． （1）当m=1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调区间． 17．（14分）已知全集U=R，A={x|﹣x2+3x﹣2≥0}，B={x|≥1}． （1）求集合A∩B； （2）函数f（x）=xlnx﹣ax，，对一切x∈A，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围． 18．（16分）已知命题p：函数f（x﹣1）=mx2﹣（2m﹣4）x+m﹣4（m∈R）．命题q：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立． （1）若函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣1]，求m的值； （2）若函数f（x）在区间上为单调增函数，且命题p∧q为真命题，求m的取值范围． 19．（16分）为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C是半径OB
上一点（异于O、B两点），点D是圆弧上一点，且CD∥OA．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD及圆弧处每百米均 第3页（共18页）
为a元．设∠AOD=x弧度，广告位出租的总收入为y元． （1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．
20．（16分）定义可导函数y=f（x）的弹性函数为；在区间D上，若函数f（x）的弹性函数值大于1，则称f（x）在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作f（x）的弹性区间． （1）若r（x）=ex﹣x，求r（x）的弹性函数及弹性函数的零点； （2）对于函数f（x）=（x﹣1）ex+lnx（其中e为自然对数的底数），求f（x）的弹性区间D． 第4页（共18页）
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B= {x|0＜x＜1} ． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}， ∴A∩B={x|0＜x＜1}． 故答案为：{x|0＜x＜1}． 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）函数f（x）=x•lnx的单调递减区间为 （0，] ． 【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间． 【解答】解：函数的定义域为x＞0 ∵y′=lnx+1 令lnx+1≤0得0＜x≤，
∴函数y=xlnx的单调递减区间是（ 0，] 故答案为（0，]， 【点评】本题考查函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围为单调递减区间；注意单调区间是函数定义域的子集． 第5页（共18页）
3．（5分）已知命题p：x＞a．命题q：﹣2＜x≤1．若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 a≤﹣2 ． 【分析】由p是q的必要而不充分条件，结合不等式的意义即可得出． 【解答】解：命题p：x＞a．命题q：﹣2＜x≤1． 由p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是a≤﹣2． 故答案为：a≤﹣2． 【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）若函数f（x）=ex（sinx+cosx），则f′（x）= 2excosx ． 【分析】根据题意，由函数乘法的导数计算公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）=ex（sinx+cosx）， 则f′（x）=（ex）′（sinx+cosx）+ex（sinx+cosx）′=2excosx， 故答案为：2excosx 【点评】本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式．
5．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为 （1，2）∪（2，4] ． 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0且分式的分母不等于0，联立不等式组求解即可得答案．
【解答】解：由，解得1＜x≤4且x≠2． ∴函数的定义域为（1，2）∪（2，4]． 故答案为：（1，2）∪（2，4]． 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．
6．（5分）设曲线f（x）=ax3+x在（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则实数a的值为 ． 第6页（共18页）
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值． 【解答】解：f（x）=ax3+x的导数为f′（x）=3ax2+1， 可得f（x）=ax3+x在（1，f（1））处的切线斜率为1+3a， 切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，可得1+3a=2， 解得a=．
故答案为：． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．
7．（5分）函数y=1﹣值域为 （﹣∞，1）∪[2，+∞） ． 【分析】方法一：画出函数的图象，借助图象即可得到函数的值域， 方法二：利用函数的单调性即可求出函数的值域． 【解答】解：方法一：函数y=1﹣的图象如图所述，
由图象可得函数的值域：（﹣∞，1）∪[2，+∞） 方法二：∵y′=，
当0＜x＜1时函数单调递增， 当﹣1＜x＜1时函数单调递减． 故y在（﹣1，1）上的最小值为2， 当x＜﹣1时，函数单调递减，当x＞1时，函数单调递增， 故x→+∞时，y→1，故x→﹣∞时，y→1， 综上所述函数的值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，1）∪[2，+∞） 第7页（共18页）
【点评】本题考查了函数的值域的求法，属于基础题． 8．（5分）函数f（x）=x3﹣4x+的极大值为 ﹣5 ． 【分析】首先求出函数的导函数，使得导函数等于0，解出x的值，验证在x值两侧的导函数的符号，得到在x=2处，函数取到极大值． 【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣4x+， ∴f′（x）=x2﹣4=0 ∴x=﹣2，x=2， 在（﹣∞，﹣2）上，导函数大于0，函数递增， 在（﹣2，2）上，导函数小于0，函数递减， 在（2，+∞）上，导函数大于0，函数递增， ∴在x=2处，函数取到极大值﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属中档题．
9．（5分）若函数是偶函数，则a﹣b的值为 3 ． 【分析】根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，结合偶函数的定义以及函数的解析式可得ax2+bx=（﹣x）2+2（﹣x），即ax2+bx=x2﹣2x，分析可得a、b的值，计算即