人教版八年级上册数学第十三章 《轴对称》全章教学设计

人教版八年级上册数学第十三章《轴对称》全章教学设计13.1.1 轴对称在本节中，我们将研究轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念。

我们需要了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴和对应点，以及线段垂直平分线的概念。

此外，我们还将理解和掌握轴对称的性质。

在作品展示环节，我们可以让部分学生展示课前的剪纸作品，并进行小组活动，讨论窗花制作过程中的剪纸方法和窗花图案的共同特点。

在概念形成环节中，我们首先提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”。

然后，我们结合教材图13.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置。

学生可以举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子。

在概念形成环节的第二部分，我们观察教材中的图13.1-3，思考每对图形共同的特点，并给出两个图形成轴对称的定义。

我们可以举例，讨论轴对称图形和两个图形成轴对称的区别。

在概念形成环节的第三部分，我们观察教材中图13.1-4，引导学生发现线段AA′与直线MN的位置关系，并总结出对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段的规律。

在这个基础上，我们给出线段的垂直平分线的概念，并把上述规律概括成图形轴对称的性质。

此外，我们还讨论了类似的，轴对称图形的对称轴是任何一个对应点所连线段的垂直平分线。

你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出。

因此，我们需要找出原命题的条件和结论，然后将其写成“如果…那么…”的形式。

我们鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是：“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是：“这个点与这条线段两个端点的距离相等”。

此时，逆命题就很容易写出来。

“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。

”写出逆命题后，我们需要判断它的真假。

如果它是真命题，我们需要证明它；如果它是假命题，我们需要用反例说明。

学生给出了四种证法。

证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，因为PA＝PB，PC＝PC，所以Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），因此AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上。

证法二：取AB的中点C，过P，C作直线。

因为PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，所以△APC≌△BPC（SSS）。

因此，∠PCA＝∠PCB（全等三角形的对应角相等）。

又因为∠PCA＋∠PCB＝180°，所以∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，因此P点在AB的垂直平分线上。

证法三：过P点作∠APB的平分线。

因为PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，所以△APC≌△BPC（SAS）。

因此，AC＝BC，∠PCA＝∠PCB（全等三角形的对应边相等，对应角相等）。

又因为∠PCA＋∠PCB＝180°，所以∠PCA＝∠PCB＝90°，因此P点在AB的垂直平分线上。

证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC。

因为AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，所以P在AB的垂直平分线上。

四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂。

”师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB。

这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的。

从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定。

我们已经学过，如果一个图形和一条直线关于对称轴对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。

因此，我们只需要找到两个对称的点，然后画出它们的连线的垂直平分线，就可以得到对称轴。

那么如何画出线段的垂直平分线呢？例如，在例1中，已知点A和点B关于某条直线成轴对称。

我们只需要连接点A和点B，然后作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴。

具体的作法是：以点A和点B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于C和D两点，然后连接CD即可得到线段AB的垂直平分线，也就是所求的对称轴。

在作法中，为什么有CA＝CB，DA＝DB呢？因为圆的性质告诉我们，以圆心为端点的弧所对应的两条弦的长度相等。

因此，由于CA和CB都是以A和B为圆心的弧所对应的弦，它们的长度相等。

同理，DA和DB也是相等的。

可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？当然可以。

如果要找到线段的中点，只需要以线段的两个端点为圆心，以线段长度的一半为半径作弧，两弧相交于中点，然后连接中点和线段的任意一端即可。

如果要找到线段的四等分点，只需要以线段的两个端点为圆心，以线段长度的四分之一为半径作弧，两弧相交于四等分点，然后连接四等分点和线段的任意一端即可。

在例2中，我们需要画出△ABC和△A′B′C′的对称轴。

可以发现，点A和点A′是对称的，因此只需要画出它们的连线的垂直平分线，就可以得到对称轴。

同理，在例3中，我们需要画出五角星的对称轴。

可以发现，五角星有五个对称轴，因此需要先确定哪些点可以成对应点，然后画出它们的连线的垂直平分线，得到对称轴。

最后，在本节课的巩固练中，让学生自己独立完成画轴对称图形的对称轴，通过尺规作图，巩固所学知识。

活动：在一张半透明纸的左边画一只左脚印，对折后得到右脚印。

这时右脚印和左脚印成轴对称，对称轴是折痕所在的直线，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

类似地，请尝试对一个图形进行操作，看是否能得到同样的结论。

观察左脚印和右脚印的关系，它们成轴对称。

对称轴是折痕所在的直线l，它与线段PP'垂直平分。

如何画一个点的对称图形？例如，画出点A关于直线l的对称点A'。

方法是：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；(2)延长AB到A'，使得BA'=AB，点A'就是点A关于直线l的对称点。

如果要画一条直线的对称图形，例如已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段。

方法是：(1)画出点A关于直线l的对称点A'；(2)画出点B关于直线l的对称点B'；(3)连接点A'和点B'成线段A'B'，线段A'B'即为所求。

如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形？例如，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形。

方法是：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点；(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'；(3)连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求。

对于几何图形，我们可以将其看作由点组成，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形。

对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

在直角坐标系中，我们可以画出点关于坐标轴的对称点，并表示点关于坐标轴对称的点的坐标，以及关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标。

问题导入：教材图13.2-3展示了老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的。

如果以天安门为原点，以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，那么你能根据___所示的东直门的坐标说出西直门的坐标吗？探究新知：探究1：1.在直角坐标系中画出已知点A(2,-3)，B(-1,2)，C(-6,-5)，D(3,5)，E(4,0)，F(0,-3)。

2.画出这些点分别关于x轴和y轴对称的点，并填写表格。

3.观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？4.想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的。

已知点关于x轴的对称点关于y轴的对称点A(2,-3) A'(2,3) A''(-2,-3)B(-1,2) B'(-1,-2) B''(1,2)C(-6,-5) C'(-6,5) C''(6,-5)D(3,5) D'(3,-5) D''(-3,5)E(4,0) E'(4,0) E''(-4,0)F(0,-3) F'(0,3) F''(0,3)归纳：关于x轴对称的点的坐标规律是：横坐标相同，纵坐标互为相反数。

关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数。

探究2：在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？归纳：关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数。

探究3：按以上规律，说出点P(x,y)关于x轴的对称点P'的坐标，再说出P'关于y轴的对称点P''坐标。

观察点P经过两次轴对称所得点P''的坐标有什么规律？归纳：一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。

在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称。

举例分析：例1：已知A(2,a)，B(-b,4)，分别根据下列条件求a，b的值。

1.A，B关于y轴对称；2.A，B关于x轴对称；3.A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称。

解析：1.A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a=4，b=2；2.A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a=-4，b=-2；3.A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B 经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a=-4，b=2.例2：如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)，B(-2,1)，C(-2,5)，D(-5,4)，分别画出与四边形ABCD 关于y轴和x轴对称的图形。

无需改写）四、课堂巩固1.在平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在哪个象限？A。

第二象限 B。

第三象限 C。

第四象限 D。

第一象限2.已知点P(－2，3)关于y轴对称点为Q(a，b)，则a＋b 的值为多少？A。

1 B。

－1 C。

5 D。

－53.点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为什么？A。

(a，b) B。

(a，－b) C。