精品 中考数学一轮综合复习 第04 课 方程与不等式(一元一次不等式、不等式组)
中考数学一轮复习第04课方程与不等式（一元一次不等式、不等式组）知识点：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<>>>>⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧不等式组的解集。
的公共部分，作为整个利用数轴求出这些解集个不等式的解集；分别求出不等式组中每解不等式组步骤：。
；；；）（法：不等式组解集的确定方式组的解集。
叫做这个一元一次不等几个不等式解集的组中解集：一元一次不等式。
叫做一元一次不等式组不等式组的几个不等式所组成的定义：含有相同未知数一元一次不等式组解法步骤：定义：一元一次不等式那么，公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质那么，公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质，那么公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质不等式的性质。
，小向大向圆圈；再确定方向：则是原点；不好喊边界点，若解集包含边界点，是界点。
体表示方法是先确定边上直观的表示出来，具以在注意：不等式的解集可解集。
的全体，叫做不等式的有未知数的不等式的解不等式的解集：一个含，叫做不等式的解。
成立的不等式的解：使不等式等式，常见的不等号有连接起来的式子叫做不不等式定义：用不等式)2()1()4()3()2(1,,,,0.3,0.2.1c b a c b a b a 同步练习：1.根据下图甲、乙所示，对a，b,c 三种物体的重量判断不正确的是()A.a<cB.a<bC.a>cD.b<c2.如果关于x 的不等式1)1(+>+a x a 的解集为1<x ,那么a 的取值范围是()A.a>0B.a<0C.a>-1D.a<-13.已知方程组21321x y mx y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +<，则()A.m >-1B.m >1C.m <-lD.m <14.已知关于x 的不等式52->+m x 的解集如图所示，则m 的值为（）A.1B.0C.-1D.-25.不等式组⎩⎨⎧-<++≤14242x x xx 的正整数解有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知a，b，c 均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是()A.a＋c＞b＋cB.c－a＜c－bC.a c 2＞bc2D.a 2＞ab＞b27.已知关于x，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 343，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①⎩⎨⎧-==15y x 是方程组的解；②当a=-2时,x,y 的值互为相反数；③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a 的解；④若x≤1,则1≤y≤4．其中正确的是（）A.①②B.②③C.②③④D.①③④8.函数31x y x +=+的自变量x 的取值范围是_____________9.若y x y y x y x >-->+,，那么（1）x＋y>0;（2）y－x<0;（3）xy≤0;（4）yx<0中，正确结论的序号为________。
10.当x________时，代数式61523--+x x 的值是非负数.11.若关于x 的一元二次方程220x x a ++=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为____________12.已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x ，则x 的取值范围是__________13.若m>5，试用m 表示出不等式(5－m)x＞1－m 的解集______14.已知1公顷生长茂盛的树林每天大约可以吸收二氧化碳1吨，每人每小时平均呼出二氧化碳38克，如果要吸收掉一万人一天呼出的二氧化碳,那么，至少需要_______公顷的树林(一天按24小时计算；结果精确到0.01)15.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收0.8万元，若要使总收入不低于15．6万元，则至多只能安排_______人种甲种蔬菜.16.某种肥皂零售价每块2元，对于购买两块以上(含两块)，商场推出两种优惠销售办法；第一种为一块按原价，其余按原价的七折优惠；第二种为全部按原价的八折优惠。
在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠得多，最少需要购买肥皂________块．17.解下列不等式组：(1)110334(1)1x x +⎧-⎪⎨⎪--<⎩≥(2)12(1)1,1.23x x x -->⎧⎪⎨-≥⎪⎩18.求不等式组122165x--≤+≤的非负整数解．19.解不等式组253(1)742x x x x -≤-⎧⎪⎨+>⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．20.已知关于x 的方程16325+-=-m x m x 的解满足23≤<-x ，求m 的整数值．21.已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，求a的取值范围．22.求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x、y 都是正数的m 的取值范围．23.若关于x 的不等式组41320x xx a +⎧≥+⎪⎨⎪+≤⎩的解集为x ≤2，试求a 的取值范围．24.关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围．25.若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围．26.某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人,如果给每个老人分5盒,则剩下38盒,如果给每个老人分6盒,则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．（1）设敬老院有名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含的代数式表示）．（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？27.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召,某小区计划购进A，B两种树苗共17棵,已知A种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元．(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1220元,问购进A，B两种树苗各多少棵？(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省．．．．的方案,并求出该方案所需费用．28.为了防控甲型H1N1流感,某校积极进行校园环境消毒,购买了甲、乙两种消毒液共100瓶,其中甲种6元/瓶,乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元,求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍,且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？29.某商店欲购进甲、乙两种商品,已知甲的进价是乙的进价的一半,进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元,该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．（1）求这两种商品的进价．（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？30.某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品,若用380元购进A种纪念品7件,B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件,B种纪念品6件.(1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少？(2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元,每销售1件B种纪念品可获利7元,该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件,且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元,问应该怎样进货,才能使总获利最大,最大为多少？31.已知服装厂有甲、乙两种面料,甲种面料70米,乙种面料52米.现计划用这这两种面料生产A、B两种型号的服装共80套,已知做一套A型服装须用甲种面料0.6米,乙种面料0.9米,可获利润45元,做一套B型服装需用甲种面料1.1米,乙种面料0.4米,可获利润50元,当B型号的服装为多少套时,所获利润最大？最大利润是多少？32.服装现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种布料生产M,N两种服装共80套.已知做一套M型号的服装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米,可获利润50元;做一套Ｎ型号服装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米,可获利润45元,设生产M型号的服装套数为x,用这批布料生产两种型号的服装所获利润为y元.(1)请写出y（元）与x（套）之间的函数表达式;(2)写出x应满足的不等式;(3)哪几种符合题意的生产方案，请你帮助设计出来.第04课方程与不等式（一元一次不等式、不等式组）测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.在平面直角坐标系中,点A（4m -，12m -）在第三象限,则m 的取值范围是()A.12m >B.4m < C.142m << D.4m >2.与2x<6不同解的不等式是（）A.2x+1<7B.4x<12C.-4x>-12D.-2x<-63.已知ax<2a(a≠0)是关于x 的不等式,那么它的解集是()A.x<2B.x>-2C.当a>0时,x<2D.当a>0时,x<2;当a<0时,x>24.不等式组201x x -<⎧⎨≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是()5.在数轴上,点A 表示的实数为3,点B 表示的实数为a,A 半径为2.下列说法不正确．．．的是（）A.当5a <时，点B 在A 内B.当15a <<时，点B 在A 内C.当1a <时，点B 在A 外D.当5a >时，点B 在A 外6.不等式110320.x x ⎧+>⎪⎨⎪-⎩，≥的解集是（）A.-31＜x≤2 B.-3＜x≤2C.x≥2D.x＜-37.下列各式一定成立的是（）A.75a a> B.10a a < C.a a >- D.74a a +>-8.不等式3(x－2)≤x+4的非负整数解有几个（）A.4 B.5 C.6 D.无数个9.不等式411414+<-x x 的最大的整数解为（）A.1B.0C.-1D.不存在10.小明用100元钱去购买三角板和圆规共30件,已知三角板每副2元,每个圆规5元,那么小明最多能买圆规()A.12个B.13个C.14个D.15个11.采石块工人进行爆破时,为了确保安全,点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移,到400m 以外的安全区域;导火线燃烧逮度是1cm/s,人离开的速度是5m/s,导火线的长度至少需要()A.70cmB.75cmC.79cmD.80cm12.在下列各题的横线上填入适当的不等号：（1）若a-b>0，则a______b；（2）若a-b<0，则a______b；（3）若a>b，c______0时，ac<bc；（4）若a<b，c______0时，c a <cb ；（5）当a<b,且a<0,b<0时，|a|_____|b|．13.关于x 的某个不等式组的解集在数轴上可表示如下图所示,则原不等式组的解集是________14.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为15.如果不等式b x a <-)3(的解集是3-<a b x ，那么a 的取值范围是________16.某种品牌的电脑的进价为5000元,按物价局定价的9折销售时,利润不低于700元,则此电脑的定价最少为_________元.17.解不等式：(1)2132x x-≤-(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-->+++<-413833236212x x x x 18.三角形三边长分别为3、12a -、8，求a 的取值范围.19.某班学生完成一项工作,原计划每人做4只,但由于其中10人另有任务未能参加这项工作,其余学生每人做6只,结果仍没能完成此工作,若以该班人数为未知数x,请列出不等式方程,求此不等式解集。
中考数学第一轮复习(第二章《方程与不等式》第4节《一元一次不等式》)
第四节 一元一次不等式（组）的解法及其应用课标呈现 指引方向1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质．2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集：会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集．3．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题． 考点梳理，夯实基础 1．不等式的有关概念（1）不等式：用符号“>”，“≥”，“<”，“≤”，“≠”表示大小关系的式子，叫做不等式． （2）不等式的解集：一个含有未如数的不等式的所有 ，组成这个不等式的解集． （3）解不等式：求不等式的 的过程叫做解不等式． 2．不等式的基本性质：（1）若a <b ，则a ＋c b ＋c （或a －c _ _a －c ）． （2）若a >b ，c >0则ac bc （或_ _）．（3）若a >b ，c ＜0则ac bc （或_ _）．3．一元一次不等式（组）的解法（1） －元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 的不等式叫一元一次不等式．（2）解一元一次不等式的基本步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1． （3）一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组．（4）一元一次不等式组的解集：几个不等式解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集．（5）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a <b ）的解集是 ，即“同小取小”； acb c acb c x ax b ⎧⎨⎩＜＜的解集是 ，即“同大取大”； 的解集是 ，即“大小小大中间找”； 的解集是 ，即“大大小小取不了”． 4．不等式（组）的应用（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，第一课时考点精析 专项突破 专题一 不等式的基本性质【例1】（1）若m >n ，下列不等式不一定成立的是（ ）A .m ＋2＞n ＋2B .－2m ＞－2nC .> D . > （2）（2016大庆）当0<x <l 时，、、的大小顺序是（ ） A ．<<B ． <<C ． <<D ．<<考点二 不等式（组）的解【例2】（1）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是（ ）x ax b⎧⎨⎩＞＞x ax b ⎧⎨⎩＞＜x ax b ⎧⎨⎩＜＞2m 2n 2m 2n 2x x 1x2x x 1x 1x x 2x 1x 2x x x 2x 1xA ．B ．C ．D ．（2）求不等式组（3）求不等式组的正整数解.考点三 含参不等式（组）【例3】（1）（2016聊城）不等式组的解集是x >l ，则m 的取值范围是 （ ）A ．m ≥lB ．m ≤1C ．m ≥0D ．m ≤0 （2）若关于x 的不等式的整数解共有4个，则m 的取值范围是 （ ）．A .6<m <7B .6≤m <7C .6≤m ≤7D .6<m ≤7 课堂训练 当堂检测1．a 、b 都是实数，且a <b ，则下列不等式的变形正确的是（ ） A ．a ＋x >b ＋x B ．－a ＋1<－b ＋1 C ．3a <3b D ．> 2．一元一次不等式x -1≥0的解集在数轴上表示正确的是 ( )3．不等式>3-m 的解集为x >1，则m 的值4．解不等式组(1)(2016咸宁)(2) (2016云南)解不等式组(1)(2016云南)A 组 基础训练一、选择题1．直线y =x +l 与y = -2x +a 的交点在第一象限，则a 的取值可以是 ( )． A ．-1 B ．0 C ．1 D ．223x x ≥-⎧⎨⎩＞23x x -⎧⎨≤⎩＜23x x -⎧⎨≥⎩＜23x x -⎧⎨≥⎩＞()223(1)134x x x x -≤-⎧⎪⎨+⎪⎩①＜②()4+134523x x x x +⎧⎪⎨--≤⎪⎩＞①②5511x x x m ++⎧⎨-⎩＜＞0721x m x -⎧⎨-≤⎩＜2a 2b)(m x -31⎪⎩⎪⎨⎧->+->)()(23221532x x xx ⎩⎨⎧>+>+)()()(21211032x x x2．若不等式ax -2>0的解集为x <-2，则关于y 的方程ay +2 =0的解为 ( ) A .y =—1 B .y =1 C .y =—2 D .y =2 3．不等式组(1)(2016咸宁)的整数解共有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．某商品的标价比成本价高m %，根据市场需要该商品需降价n %出售，为了不亏本，n 应满足( )A ．B ．C ．D ．二、填空题5.(2016新疆)对一个实数x 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x ”到“结果是否大于88?”为一次操作，如果操作只进行一次就停止，则戈的取值范围是 答案：x >49．6．不等式组2≤3x -7<8的解集为 7．（2016烟台）已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则的值为三、解答题8．（2016十堰）x 取哪些整数值时，不等式5x +2>3(x -l )和都成立． 9．已知方程组满足x +y <0，求m 的取值范围，B 组提高练习10．（2016泰安）当1≤x ≤4时，mx -4<0，则m 的取值范围是 ( ) A ．m >1 B ．m <1 C ．m >4 D ．m <411．（2016凉山州）已知关于x 的不等式组仅有5个整数解，则a 的取值范围⎩⎨⎧<≥593x x m n ≤m m n +≤100100mmn +≤100m m n -≤100100⎩⎨⎧-≥---≥)()(211bx a x a b-23221x x -≤⎩⎨⎧-=++=+)()(2121312my x m y x ⎩⎨⎧+->+>+5232324)()(x x a x x12．（2016大庆）关于x 的两个不等式<1①与1-3x >0②． (1)若两个不等式的解集相同，求a 的值；(2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．第二课时考点解析考点四 方程与不等式应用题 【例4]（2016襄阳）“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施T 工15天，才能完成该项丁程．(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?解题点拨：本题考查了分式方程、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式．考点五 函数与不等式应用题【例5】某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y 1（元/台）与采购数量x 1（台）满足y 1= -20 x 1+1500（0< x 1≤20，x 1为整数）；冰箱的采购单价y 2（元/台）与采购数量x 2（台）满足y 2= -10x 2：+1300(0< x 2≤20，x 2为整数)．(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．解题点拨：在近年的中考试题中，不等式的应用题一般与一次函数，方程（组），二次函数一并出现，一般难度不大，方程求出基本量，不等式得出取值范围，利用函数解决最值问题，方案等问题．课堂训练1．（2016大连）不等式组的解集为 ( )A ．x >-2B ．x <1C ．—1<x <2D ．-2<x <12．在等腰△ABC 中，AB =AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是 ( ) A .1cm <AB <4cm B .5cm <AB <10cm C . 4cm <AB <8cm D .4cm <AB <10cm3．已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：则当y <5时，x 的取值范围是23ax +31911⎩⎨⎧+<>+2322x x xx4．某商店进了100台彩电，每台进价为2000元，进货后市场情况较好，每台以2200元的零售价销售，用了不长时间就销售了40台，后来出现滞销的情况．年底将至，商场为了减少库存加快流通，决定对剩下的60台打折促销．问在零售价2200元的基础上最低打几折（折扣取整数），商场才能使全部彩电（100台）的销售总利润不低于2%．A 组 基础训练一、选择题1．不等式组的解集是 ( )A ．x >3B ．x <3C ．x <2D ．x >22．（2016长春）不等式组的解集在数轴上表示正确的是 ( )3．（2016烟台）反比例函数的图象与直线y =x +2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．4．如图，a 、b 、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是( )A .a >c >bB .b >a >cC .a >b >cD .c >a >b 二、填空题5．关于戈的不等式组的解集为一3<x <3，则a = ，b = __．6．已知关于x 的方程的解，适合不等式和x —2≤0．则a = 7．已知关于x 的不等式（2a -b ）x +a —5b >0的解集是x <，则ax +b <0的解集 三、解答题8．某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总剩润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．⎩⎨⎧-<+>-14811x x x ⎩⎨⎧≤->+06202xx xty 61-=61<t 61>t 61≤t 61≥t ⎩⎨⎧≤+>+b a x ab x 22ax a x =+--125121-≤-x 61-710(1)求每个篮球和每个排球的销售利润；(2)已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．9．某物流公司承接4、日两种货物运输业务，已知5月份4货物运费单价为50元/吨，日货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：4货物70元/吨，日货物40元/吨：该物流公司6月承接的4种货物和B 种货物数量与5月份相同．6月份共收取运费13000元．(1)该物流公司5月运输两种货物各多少吨？(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且4货物的数量不大于B 货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？B 组提高练习10．（2016呼和浩特）已知关于x 的不等式组有四个整数解，则实数a 的取值范是 ( )A ．a <-2B ．a ≥—3C ．—3<a ≤-2D ．—3≤a <-2 11．（2016衢州）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料总长度为48m ．则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m 212．（2016达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同． (1)求表中a 的值；(2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ (3)由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照(2)中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比(2)中的最大利润少了2250元，请问本次成套的销售量为多少？⎪⎩⎪⎨⎧+-≤->+)()()(22238211325ax x xx。
北师大数学中考一轮综合复习 方程(组)与不等式(组)
北师大数学中考一轮综合复习 方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么bc2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a【典例】例1（2021秋•营口期末）解下列方程：（1）；（2）．例2（2020秋•潮阳区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=−m−22的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．（1）求第二个方程的解；（2）求m的值．例3（2020秋•蓬江区校级月考）已知关于x的方程3x﹣6（x−b3）＝4x和3x+b4−1−5x8=1有相同的解，求这个解．例4（2021春•绿园区期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．解方程：|x﹣5|＝2．解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程无解，则m的取值范围是；②若方程只有一个解，则m的值为；③若方程有两个解，则m的取值范围是．例5（2021秋•佳木斯期末）第五中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件，且单独加工这批服装甲工厂比乙工厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲工厂每天费用80元，需付乙工厂每天费用120元． （1）求这批校服共有多少件；（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两个工厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天；（3）经学校研究制定如下方案，方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问的方式完成．请你通过计算帮学校选择一种省钱的加工方案．例6（2020秋•道里区期末）为满足防控新冠疫情的需要，某医务物品供应商欲购买一批疫情防护套装．现有甲、乙两个医用物品生产厂家，均标价每套防护套装80元．甲的优惠方案：购买物品一律九折；乙的优惠方案：如果超出600套，则超出的部分打八折． （1）购进多少套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样？（2）第一次购进了1000套，第二次购进的数量比第一次购进数量的2倍多100套，求医务用品供应商两次购进防护套装最少花多少钱？【随堂练习】1．（2020秋•金安区校级期中）如果关于x 的方程x−43=8−x+22的解与方程4x ﹣（3a +1）＝6x +2a ﹣1的解相同，求a 的值．2．（2020秋•建湖县校级月考）已知关于x 的一元一次方程1−x−mx3=0． （1）若该方程的解为x ＝1，求m 的值；（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m 的值．3．（2021秋•鱼台县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：|x ﹣3|＝2．解：当x ﹣3≥0时，原方程可化为x ﹣3＝2，解得x ＝5； 当x ﹣3＜0时，原方程可化为x ﹣3＝﹣2，解得x ＝1． 所以原方程的解是x ＝5或x ＝1． （1）解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0． （2）解关于x 的方程：|x ﹣2|＝b ．4．（2021秋•牡丹江期末）某体育用品商店销售足球和篮球，其中篮球的单价比足球多30元，已知购买4个足球和3个篮球的费用相等． （1）求购买每个足球、篮球的单价分别是多少元？（2）由于“双十二”的来临，商店决定对所售商品进行促销．现有两种促销方案可供选择：方案一：买5个篮球赠一个足球． 方案二：所购买的商品均打9折．当购买6个篮球和多少个足球时，两种促销方案所花费用一致？（3）在（2）条件下，购买10个篮球和5个足球最少费用为 元．5．（2020秋•讷河市期末）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案． 方案一：所有人按全票价的90%购票；方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票； （1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？ （2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. （3）<0一元二次方程没有实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠21,240)x b ac =-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1（2020秋•合肥期末）用适当的方法解方程 （1）2（x +2）2﹣8＝0 （1）2x 2+x −12=0．例2（2021秋•潍坊期中）解下列关于x 的方程： （1）3x 2﹣54＝0；（2）（x ﹣1）（x +2）＝2（x +2）； （3）（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）＝8．例3 （2020秋•兰州期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求下列方程： （1）（2x +5）2﹣（2x +5）﹣2＝0； （2）32x ﹣4×3x +3＝0．例4（2021秋•金乡县期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4，当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得：x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得：x ＝5，所以原方程的解：x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求方程（2x +5）2﹣7（2x +5）+12＝0的解．20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例5（2020秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．例6（2021秋•长安区校级期末）某公司自主研发一款健康的产品﹣﹣燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．（1）求该饮品的售价；（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．【随堂练习】1．（2021秋•江油市期末）解下列一元二次方程：（1）x2+10x+16＝0；（2）x（x+4）＝8x+12．2．（2021秋•博兴县月考）解方程：（1）2x2﹣12x+5＝0．（2）2x2﹣5x+1＝0（用配方法）．3．（2021秋•呼和浩特期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22＝k2+2k，求出k的值．4．（2021秋•振兴区校级月考）华美科技大厦一商户销售一种电子产品，每件进价为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？5．（2020秋•法库县期末）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．例2（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mxx2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为．（2）在（1）的条件下，求出m的值，例3（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．解得y1＝3，y2＝﹣1．当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±．当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣．我们将上述解方程的方法叫做换元法，请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．例4 （2020秋•河南期末）随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.4元．（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？例5（2020秋•连山区期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？【随堂练习】1．（2021秋•黔西南州期末）解方程：（1）；（2）．2．（2021秋•攸县期中）已知关于x的方程无解，求m的值．3．（2021秋•庆阳期末）庆阳香包又称“绌绌”，是甘肃庆阳的一种民俗物品．某商店准备用3000元购进A、B两种香包共150个，已知购买A种香包与购买B种香包的费用相同，且A种香包的单价是B种香包单价的2倍．（1）求A、B两种香包的单价各是多少元；（2）若计划用4500元的资金再次购进A、B两种香包共200个，已知A、B两种香包的单价不变，求A，B两种香包各购进多少个．4．（2021秋•铁西区期末）元旦将至，天猫某电商用4400元购入一批玩具盲盒，然后以每个60元的价格出售，很快售完．电商又以9600元的价格再次购入该商品．数量是第一次购入数量的1.6倍，售价每个上调了16元，进价每个也上调了16元．（1）该电商第一次购入的玩具盲盒每个进价是多少元？（2）该电商既要尽快售完第二次购入的玩具盲盒，又要使在这两次销售中获得的总利润不低于4000元．打算将第二次购入的部分盲盒按每个九折出售，最多可将多少个盲盒打折出售？知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1（2021秋•甘州区校级期末）解方程组：（1）；（2）例2（2021•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．例3（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，求实数x，y，m的值．例4（2020秋•太原期末）某景点的门票价格如下表：（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？例5（2020•越秀区校级二模）今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？【随堂练习】1．（2021秋•芗城区校级期中）解下列方程组：（1）；（2）．2．（2021春•沈丘县期末）已知方程组与有相同的解，求m，n的值．3．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）当方程组的解为时，求a的值．（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．4．（2021秋•宝山区校级月考）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？5．（2021•济宁模拟）某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数的2倍比乙商品件数的3倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（利润＝售价﹣进价）：甲 乙 进价（元/件） 20 28 售价（元/件）2640（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖出后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变．甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多560元，则第二次乙商品是按原价打几折销售的？知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜； （2）若＞，＞0则＞ （或＞ ）； a b a c c b a b c ac bc c a cb（3）若＞，＜0则 ＜ （或＜ ）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1（2020秋•肇源县期末）若0＜m ＜1，m 、m 2、1m的大小关系是（ ）A ．m ＜m 2＜1mB ．m 2＜m ＜1mC ．1m＜m ＜m 2D ．1m＜m 2＜m例2（2020秋•嵊州市期中）解不等式（组）并把解表示在数轴上 （1）3x +2＞14； （2）1+x 2−2x+13≤1．例3（2020春•海珠区校级月考）解下列不等式： （1）2x ﹣1＜﹣6； （2）x−12＜4x−53；（3）解不等式组：{x −3(x −2)≥41+2x 3＞x −1，并在数轴上表示它的解集．例4（2020秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元． （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？【随堂练习】1．（2020秋•萧山区期中）解下列不等式 （1）3x ﹣4≤4+2（x ﹣2）；（2）2+x 3＞2x−15+12．（2020秋•江干区校级期中）求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来． {5x −2＞3(x +1)x−12≤1−1−x 33．（2020春•沙河口区期末）为了让居民早日用上天然气，市燃气公司要给某小区用户改装天然气．现有360户申请了但还未改装的用户，此外每天还有新的申请．已知燃气公司每个小组每天改装的数量相同，且每天新申请的户数也相同，若安排2个小组同时做，则30天可以改装完所有新、旧申请；若再增加3个小组同时做，则可以减少20天就改装完所有新、旧申请．（1）求该小区7天内有多少需要改装的新、旧申请用户？（2）如果要求在7天内改装完所有新、旧申请，但前3天只能安排4个小组改装，那么最后几天至少需要增加多少个小组，才能完成任务？4．（2020•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？综合运用1．（2020秋•常熟市期中）若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x ＝2（3﹣x ）的解互为倒数，求m 的值．2．（2020秋•武都区期末）解方程： （1）x−12=4x 3；（2）5x+13−2x−16=1．3．（2020秋•武汉月考）解不等式组{3−2(x −1)＜3x 1−x−13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．4．（2020秋•白云区期中）已知方程x 2﹣（k +1）x +k ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．5．（2020秋•朝阳县期末）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元． （1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？6．（2020秋•鞍山期末）假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km 的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度． （2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？7．（2020秋•本溪期末）某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．8．（2020秋•长沙月考）我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？。
2020年九年级数学中考一轮复习 方程(组)与不等式(组) 讲义(无答案)
方程（组）与不等式（组）教学目标1、掌握方程（组）与不等式（组）的相关概念2、掌握方程（组）与不等式（组）性质以及相关的应用。
3、掌握方程（组）与不等式（组）的相关的应用。
教学一、方程（组）（一）一元一次方程及其应用1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑴ 性质：⑴ 如果b a =，那么=±c a ；⑴ 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑴ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤：⑴去 ；⑴去 ；⑴移 ；⑴合并 ；⑴系数化为1. 典型例题1、若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____．2、关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为________________.3、某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为x 元，则得到方程( )A.15025%x =⨯B. 25%150x ⋅=C.%25150=-xxD. 15025%x -=（二）二元一次方程组及其应用1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程. 2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤：二元一次方程组 方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 6．易错知识辨析：（1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；（2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号. 典型例题1、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+my x my x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m =（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-22、若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩⎨⎧==______________b a ．3、“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12％，玉米超产10％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？消元转化（三）一元二次方程及其应用1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：⑴化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；⑴移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，⑴配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，⑴化原方程为2()x m n +=的形式，⑴如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)x b ac =-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：⑴将方程的右边化为 ；⑴将方程的左边化成两个一次因式的乘积；⑴令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 4. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.5． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .典型例题1、一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x 2＋1化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)后a,b,c 的值为（ ）A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，42、一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ）A. －1B. 1C. －2D. 23、从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，第一年度投入资金800万元，第二年度比第一年度减少13，第三年度比第二年度减少12．第一年度当地旅游业收入估计为400万元，要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少？（以1414 3.606．，计算结果精确到百分位）．4、（本题满分8分）据某城市的统计资料显示，到2003年末该城市堆积的垃圾已达50万吨，不但侵占了大量土地，而且已成为一个重要的污染源，从2004年起，该城市采取有力措施严格控制垃圾的产生量，但根据预测，每年仍将产生3万吨的新垃圾，垃圾处理已成为该城市建设中的一个重要问题。
九年级数学中考第一轮复习—方程和不等式北师大版知识精讲
九年级数学中考第一轮复习—方程和不等式北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：复习三：方程和不等式1. 整式方程和分式方程．2. 二元一次方程组．3. 一元一次不等式（组）．4. 方程与不等式的应用问题．二、知识要点：1. 等式及其性质表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个等式，所得的结果仍是等式；②等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式．2. 不等式和不等式的基本性质用不等号连接起来的式子叫做不等式．不等式的基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3. 一元一次方程（1）在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．ax＋b＝0（a≠0）是一元一次方程的标准形式．（2）解一元一次方程的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．4. 一元一次不等式（组）的解法解不等式和解方程的步骤基本一样，相同点是：去分母，移项，合并同类项．不同点是：当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，要注意改变不等号的方向；在数轴上表示不等式的解集时，要注意包括的点用实点，不包括的点用虚点．解不等式组的步骤：（1）分别求出各个不等式的解集；（2）借助数轴确定不等式的公共解集．5. 二元一次方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．任何一个二元一次方程都有无数个解．二元一次方程组的常用解法是：代入消元法和加减消元法．6. 分式方程的解法解分式方程去分母时，方程两边要同时乘各分母的最简公分母，确定最简公分母时，如果分母能够因式分解的要先分解，这样才能确保公分母为最简；去分母时要注意防止漏乘不含分母的项．解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可，若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根；否则，该解是原方程的解．7. 一元二次方程（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程就是一元二次方程，其一般形式为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．（2）解法：①直接开平方法：其理论依据是平方根的定义，这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程，即形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程．②配方法：其理论依据是完全平方公式．一般步骤是：（a ）二次项系数化为1，也就是在方程左右两边同除以二次项系数；（b ）移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；（c ）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成（x ＋m ）2＝n 的形式；（d ）开方，若n ≥0，则用直接开平方法求解；若n ＜0，则原方程无解．③公式法：该方法由配方法推导而来，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式为x ＝－b ±b 2－4ac2a．当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．④分解因式法：其理论依据是几个数的积为0，那么这几个数中至少有一个为0．一般步骤是：（a ）将方程右边化为0；（b ）将方程左边分解成两个因式的积；（c ）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；（d ）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．三、重、难点：解方程或不等式是本讲的重点，运用方程思想与不等式（组）解决实际问题是本讲的难点．四、考点分析：本讲内容一直是中考的热点和重点，以方程和不等式的概念、解法为基本考点，多以填空题、选择题的形式出现；而考查方程和不等式的应用时多以解答题的形式出现，且与一次函数、二次函数等知识紧密结合，难度较大．今后几年中考仍会延续这一趋势．【典型例题】例1. 选择题：（1）关于x 的方程ax 2＋5x ＋b ＝0一定是（ ） A ．一定是一元二次方程B ．一定是一元一次方程 C ．一定是整式方程 D ．也可能是分式方程分析：当a ≠0时，方程ax 2＋5x ＋b ＝0是一元二次方程；当a ＝0时，方程ax 2＋5x ＋b ＝0是一元一次方程，因为一元一次方程和一元二次方程都是整式方程，所以原方程一定是整式方程．故选C ．（2）已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m ，则m 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．27D ．－27解析：由方程的解的定义知，把x ＝m 代入方程4x －3m ＝2中，得4m －3m ＝2，所以m ＝2．故选A（3）已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4ax ＋by ＝2 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1 ，则2a －3b 的值为（ ）A ．4B ．6C ．－6D ．－4解析：将方程组的解代入方程组中转化为关于a 、b 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝42a ＋b ＝2 ，再求出a 、b ．选B ．（4）不等式－x －5≤0的解集在数轴上的表示正确的是（ ）ABCD解析：解不等式－x －5≤0，得x ≥－5，故选B（5）已知关于x 的一元二次方程（m －2）2x 2＋（2m ＋1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值X 围是（ ）．A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠2解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0．即（2m ＋1）2－4（m －2）2×1＞0．解得m ＞34．又∵二次项的系数（m －2）2≠0，∴m ≠2．∴m 的取值X 围是m ＞34且m ≠2．故选C ．例2. 填空题：（1）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ≥1x －a ＜0无解，则a 的取值X 围是__________．解析：由不等式3＋2x ≥1，得x ≥－1，由不等式x －a ＜0，得x ＜a ，依据不等式组解集的确定法则，可知a ≤－1．解不等式组要熟记其确定法则（大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小取不了）．（2）已知方程14－x 2＋2＝kx －2有增根，则k ＝__________． 解析：∵方程14－x 2＋2＝kx －2有增根，∴由4－x 2＝0或x －2＝0得其增根可能为x 1＝2，x 2＝－2，分别将x 1＝2，x 2＝－2代入1＋8－2x 2＝－k （x ＋2）中，知当x ＝－2时，等式不成立．∴x ＝－2不是增根，∴方程的增根是x ＝2．∴k ＝－14．（3）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，由甲队单独完成此项工程需__________天，乙队单独完成需__________天．解析：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙队单独完成此项工程需45x 天，根据题意得10x ＋1245x ＝1．解这个方程得x ＝25．经检验：x ＝25是所列方程的根．当x ＝25时，45x＝20．所以甲、乙两队单独完成此项工程分别需要25天和20天．例3. 若0是关于x 的方程（m －2）x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，某某数m 的值，并讨论此方程解的情况．解：由题意知，（m －2）·02＋3×0＋m 2＋2m －8＝0， ∴m 2＋2m －8＝0，即（m ＋4）（m －2）＝0． ∴m 1＝－4，m 2＝2，当m ＝2时，原方程为3x ＝0，此时方程只有一个解，为0； 当m ＝－4时，原方程为－6x 2＋3x ＝0． 即3x （－2x ＋1）＝0．∴x 1＝0，x 2＝12，即此时方程有两个解，分别为0，12．评析：这是一道易错题，既确定选定系数m ，又讨论方程解的情况，不要一看到方程解的情况，就考虑b 2－4ac ，而应审明题意，当已知方程的一个解时，往往以把解代入原方程作为切入点．例4. 已知m 、n 为两圆的半径（m ≠n ），d 是两圆的圆心距，且方程x 2－2mx ＋n 2＝d （n －m ）有两个相等的实数根，求证：这两个圆相外切．证明：∵方程x 2－2mx ＋n 2＝d （n －m ）有两个相等的实数根， 该方程整理，得x 2－2mx ＋n 2＋（m －n ）d ＝0，∴b 2－4ac ＝（－2m ）2－4×1×[n 2＋（m －n ）d ]＝4m 2－4n 2－4（m －n ）d ＝0， 即4（m －n ）（m ＋n －d ）＝0． 又∵m ≠n ，即m －n ≠0， ∴m ＋n －d ＝0，即d ＝m ＋n ， ∴两圆相外切．评析：证明两个圆相外切，就是证明两圆圆心距等于两圆半径之和，即d ＝m ＋n ，根据题意可由b 2－4ac ＝0来证明d ＝m ＋n ．例5. 晓跃汽车销售公司到某汽车制造厂选购A 、B 两种型号的轿车，用300万元可购进A 型号轿车10辆，B 型号轿车15辆；用300万元也可以购进A 型轿车8辆，B 型轿车18辆．（1）求A 、B 两种型号轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A 型号轿车可获利8000元，销售1辆B 型号轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A 、B 两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？分析：本题中的问题（1）应用方程组解答．（2）中应根据条件，用不等式组的整数解来解答．解：（1）设A 型号的轿车每辆为x 万元，B 型号的轿车每辆为y 万元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋15y ＝3008x ＋18y ＝300 ．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15y ＝10 ．所以A 、B 两种型号的轿车每辆分别为15万元、10万元．（2）设购进A 种型号轿车a 辆，则购进B 种型号轿车（30－a ）辆．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧15a ＋10(30－a )≤400a ＋0.5（30－a ）≥．解此不等式组得18≤a ≤20，∵a 为整数，∴a ＝18、19、20，∴有三种购车方案．方案一：购进A 型号轿车18辆，购进B 型号轿车12辆； 方案二：购进A 型号轿车19辆，购进B 型号轿车11辆； 方案三：购进A 型号轿车20辆，购进B 型号轿车10辆． 汽车销售公司将这些轿车全部售出后：方案一获利18×0.8＋12×0.5＝20.4（万元）；方案二获利19×0.8＋11×0.5＝20.7（万元）； 方案三获利20×0.8＋10×0.5＝21（万元）．答：有三种购车方案，在这三种购车方案中，汽车销售公司将这些轿车全部售出后获利分别为20.4万元、20.7万元、21万元．例6.2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009~2011年）》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%． （1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？ （2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009~2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009~2011年的年增长率．分析：本题为列方程（组）解应用题，解题关键是审题，弄清已知量与未知量之间的数量关系，列出方程，并求解．解：（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是：6000－1250＝4750（万元）． （2）设市政府2008年投入“需方”x 万元，投入“供方”y 万元，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4750（1＋30%）x ＋（1＋20%）y ＝6000 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3000y ＝1750 ．∴2009年投入“需方”资金为（1＋30%）x ×3000＝3900（万元），2009年投入“供方”资金为（1＋20%）y ×1750＝2100（万元）．答：该市政府2009年投入“需方”3900万元，投入“供方”2100万元． （3）设年增长率为x ，由题意得6000（1＋x ）2＝7260， 解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1（不合实际，舍去）． 答：从2009~2011年的年增长率是10%．【方法总结】1. 本讲主要的数学思想方法有两个：一个是解方程和方程组时要注意消元和降次的思想；另一个是解决方程和不等式实际问题时的建模思想．2. 本讲有几个问题要格外注意：①方程变形时，两边尽量不要同除以一个含有未知数的式子；②不等式两边都乘以或除以一个负数时，注意不等号的方向要改变；③分式方程的验根．【预习导学案】（复习四：函数）一、预习前知1. 什么叫平面直角坐标系？2. 什么叫常量、变量、函数？3. 若两个变量x 、y 之间的关系为__________（k 、b 为常数，k ≠0），我们称y 是x 的一次函数．当b ＝0时，我们称y 是x 的__________函数．4. 若两个变量x 、y 之间的关系可以表示成__________（k 为常数，k ≠0）的形式，我们称y 是x 的反比例函数．5. 形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数）的函数中，若a __________，则其为二次函数．二、预习导学1. 分四种情况讨论一次函数的图像所经过的象限与k 、b 的符号的关系？2. 反比例函数图像的两个分支在平面直角坐标系中的分布情况与k 的符号有何关系？3. 写出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值． 反思：（1）平面直角坐标系中各象限内以及坐标轴上点的坐标有何特征？体会坐标平面内的点和有序实数对的一一对应关系．（2）如何用函数的观点看方程（组）和不等式（组）？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如果5x －7与4x ＋9互为相反数，则x 等于（ ）A. 92B. －92C. 29D. －292. 已知y ＝1是方程2－（13m －y ）＝2y 的解，那么关于x 的方程m （x －3）－2＝m （2x－5）的解是（ ）A. x ＝10B. x ＝0C. x ＝43D. 以上答案都不对3. 方程x （x ＋3）＝x ＋3的解是（ ） A. x ＝1 B. x 1＝0，x 2＝－3 C. x 1＝0，x 2＝3 D. x 1＝1，x 2＝－34. 当x ＝2时，式子ax 3＋bx ＋1的值为6，那么当x ＝－2时，ax 3＋bx ＋1的值为（ ） A. 6 B. 5 C. －4 D. 15. 如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值X 围在数轴上表示正确的是（ ）50kgABDC6. 关于x 的方程x 2－kx ＋k －2＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定*7. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A. 8B. 7C. 6D. 58. 一副三角板按如图所示方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x °，∠2＝y °，则可得到的方程组为（ ）A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝180B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝180C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝90D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝9012*9. 如图所示，两个天平平衡，则3个球体的重量等于（ ）个正方体的重量． A. 2B. 3C. 4D. 5**10. 已知1－a a 2＝1－aa，则a 的取值X 围是（ ） A. a ≤0B. a ＜0C. 0＜a ≤1D. a ＞0二、填空题1. 将方程54x －14x 变形为5x －1＝6x 的依据是__________，把方程两边都__________．2. 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________（写出二次项系数不同的两个方程）．3. 如果x ＝1是方程ax －b ＋1＝－c 的根，则（a －b ＋c ）2009的值为__________，a －bc ＋1的值为__________．*4. 阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－ b a ，x 1·x 2＝ca．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为__________．5. 若ax 2－2x －3＝0是一元二次方程，不等式2a ＋4＞0的解集是__________．*6. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm ，此时木桶中水的深度是__________cm ．**7. 已知关于x 的方程2x ＋mx －2＝3的解是正数，则m 的取值X 围为__________．**8. 如果2x ＋3y ＋z ＝130，3x ＋5y ＋z ＝180，迅速求出x ＋2yx ＋y ＋z 的值是__________．三、解答题1. 解下列各题．（1）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2）x －1＜23x ； （2）解分式方程：x 3x －2＋1＝22－3x ；（3）解方程：3x 2－5x ＋1＝0．2. 已知方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且b ＝a －2＋2－a －3，求方程14y 2－c ＝0的根．3. 若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay －7＝02x ＋y －5b ＝0 和二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋ay －13＝0x －2y ＋5＝0 的解相同，求a 、b 的值．4. 在课程改革实验中，重视学生能力的培养，初一阶段就有48人次在高级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在高级以上得奖，求这两年中得奖的平均增长率．5. 跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元．则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【试题答案】一、选择题1. D2. C3. D4. C 【当x ＝2时，式子ax 3＋bx ＋1的值为6，∴ax 3＋bx ＝5．当x ＝－2时，ax 3＋bx ＝－5】5. C6. A7. A 【设计划用x 天完成，则2x ＋2×x －2－3x ＝1，解得x ＝8】8. D9. D 【设球体、柱体、正方体的重量分别为x 、y 、z ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y3y ＝2z ，整理得3x ＝5z ，即3个球体的重量等于5个正方体的重量}10. C 【由1－aa 2知a ≤1且a ≠0，又1－a a 2＝1－aa，∴a ＞0．∴0<a ≤1】二、填空题1. 等式的性质2，乘以42. x 2＋2x －3＝0；2x 2－2＝0，答案不唯一3. －1 －14. 10【根据题意x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3．∴x 2x 1＋x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－6）2－2×33＝10】5. a ＞－2且a ≠06. 20【设两木棒长度分别为x 和y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55（1－13）x ＝（1－15）y，解得x ＝30，∴水深为23x ＝20（cm ）}7. m ≥－6且m ≠－4【解原分式方程x ＝m ＋6，∴m ＋6＞0，即m ＞－6．分式方程分母不能为0，x ≠2，得m ≠－4，∴m ＞－6且m ≠－4】8. 58【由2x ＋3y ＋z ＝130①，3x ＋5y ＋z ＝180②，令②－①得x ＋2y ＝50③，把①变形为x ＋（x ＋2y ）＋y ＋z ＝130，将③代入得x ＋y ＋z ＝80，∴原式＝58】三、解答题1. （1）－1≤x ＜3；（2）x ＝0；（3）x ＝5±136．2. ∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，∴a ＋b ＋c ＝0．由b ＝a －2＋2－a －3，得a＝2，b ＝－3．∴c ＝1．∴方程14y 2－c ＝0的根是y ＝±2．3. a ＝1，b ＝2．提示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay －7＝03x ＋ay －13＝0 解得x ＝3，代入x －2y ＋5＝0中，得y ＝4，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4代入任意一个方程组中即可求得a 、b 的值． 4. 设这两年中得奖的平均增长率为x ，则48＋48（1＋x ）＋48（1＋x ）2＝183，整理得16（x 2＋3x ）＝13，解得x ＝－134（舍去）或x ＝14＝25%．5.（1）设每个乙种零件进价为x 元，则每个甲种零件进价为（x －2）元．由题意得80x －2＝100x，解得x ＝10．检验：当x ＝10时，x （x －2）≠0．∴x ＝10是原分式方程的解，10－2＝8（元）．答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．（2）设购进乙种零件y 个，则购进甲种零件（3y －5）个，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧3y －5＋y ≤95（12－8）（3y －5）＋（15－10）y ＞371 ． 解得23＜y ≤25．∵y 是整数，∴y ＝24或25．∴共有2种方案．分别是：方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．。
中考数学一轮复习 第二章 方程与不等式 第四节 一元一次不等式(组)课件
No 出规范结果，并。表示在数轴上如D选项所示．故选D.。求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小。取较小，小大大小中间找，大大小小(dà dà xiǎo xiǎo)解不了．。一商场抓住商机，从厂家购进了A， B两种型号家用净水器。运用不等式解决实际问题时，关键是分析问题中的数量关。答：最多购买B型学习 用品800件．
2．一元一次不等式组的解法
(1)解一元一次不等式组的一般步骤(bùzhòu)：先求出这个不等式组
中每个一元一次不等式的解集，然后求出不等式解集的公共 部分，得出不等式组的解集．
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(2)常见(chánɡ jiàn)的几种不等式组解集的表示(其中a>b)：
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(2)设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号
家用净水器的毛利润是2a元， 由题意(tíyì)得100a＋60×2a≥11 000，解得a≥50， 150＋50＝200(元)．
答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．
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(2)设可以购买(gòumǎi)B型学习用品a件，则A型学习用品
(1 000－a)件， 由题意得20(1 000－a)＋30a≤28 000，
解得a≤800.
答：最多购买B型学习用品800件．
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内容(nèiróng)总结
中考数学复习专题二_方程与不等式《4一元一次不等式(组)》课件
点击中考 1.基础训练:
例1
解不等式 2x 1 10x 1 5 x 5 ，
同学）
4(2x 1) 2(10x 1) 15x 5 8x 4 20x 2 15x 15
注:(1)去分母时不要漏乘分母为1的项;
8x 4 20x 2 15x 5
27x 13
x a 0 1 x 0
整数解共有3个，则a的取值
范围是 -3≤a<-2 .
1. (2013•厦门)某采石场爆破时, 点燃导火线的 甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区 域. 甲工人在转移过程中, 前40米只能步行, 之 后骑自行车.已知导火线燃烧的速度为0.01米/ 秒, 步行的速度为1米/秒, 骑车的速度为4米/ 秒. 为了确保甲工人的安全, 则导火线的长要
6.(2012•西宁) 某饮料瓶上有这样的字样： Eatable Date 18 months. 如果用x(单位: 月)表示Eatable Date(保质期), 那么该饮 料的保质期可以用不等式表示为 __0_＜__x_≤_1_8______.
7.(09厦门市)已知ab=2. (1)若-3≤b≤-1，则 a的取值范围是_____-2_≤_a_≤_-___.2
(2)若甲种货车每辆需付燃油费1500元; 乙种货车 每辆需付燃油费1200元, 应选(1)中的哪种方案, 才 能使所付的费用最少? 最少费用是多少元?
解:(1)设租用甲种货车x辆，则甲种货车为 （16-x）辆，由题意得：
18x 16(16 x) 266 (1) 10x 11(16 x) 169 (2)
解: (1)设该校的大寝室每间住x人, 小寝室每间住y 答:该校的大寝室每间住8人, 小寝室每间住6人;
由题意得：
,解得:
2018年中考数学一轮复习第二章方程与不等式第四节一元一次不等式(组)课件20180412278
c
c
知识点二 一元一次不等式及其解法 1．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式． 2．一元一次不等式的解法 (1)解一元一次不等式的一般步骤：去分母， _去__括__号__，移 项， _合__并__同__类__项__，系数化为1.
(2)一元一次不等式的解集在数轴上的表示如下：
运用不等式解决实际问题时，关键是分析问题中的数量关 系，要注意抓住问题中的关键字，如“至少”“不低于” “不超过”“不少于”等，找出不等关系，从而列出不等 式求解．
5．某公路维护站欲购置甲、乙两种型号清雪车共20台， 甲型每台30万元，乙型每台15万元，若在购款不超过 360万元，甲型、乙型都购买的情况下，甲型清雪车最 多可购买 _4_台．
第四节 一元一次不等式(组)
知识点一 不等式的概念及其性质 1．不等式的概念：一般地，用符号“<”(或“≤”)， “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式． 2．不等式的解：能使不等式成立的 _未__知__数__的值，叫做不 等式的解．
3．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组 成这个不等式的解集． 4．不等式的基本性质 (1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整 式，不等号的方向 _不__变__．即若a>b，则a±c __>__ b±c.
【分析】 先根据不等式的性质求出不等式的解集，然后在 数轴上表示出来即可． 【自主解答】 由1＋x＜0，解得x＜－1，
表示在数轴上如D选项所示．故选D.
讲：
解一元一次不等式的易错点
解一元一次不等式并用数轴表示解集时，最易出错的有
以下三点：(1)去分母时常数项漏乘；(2)两边同乘负数时，
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
中考数学复习4：一次方程及不等式
中考数学复习4：一次方程及不等式知识集结知识元一元一次方程知识讲解方程及其解的认识与应用1.方程：含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.3.方程解的检验：要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解.一元一次方程及其解的认识与应用1．一元一次方程的定义（1）一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的形式：标准形式：a x+b=0（其中a≠0，a，b是已知数）.最简形式：a x=b（其中a≠0，a，b是已知数）.注:一元一次方程的标准(首先化简为标准形式或最简形式)①只含有一个未知数(系数不为零).②未知数的最高次数是1.③方程是整式方程.2.一元一次方程的解：使一元一次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做该一元一次方程的解.一元一次方程的解法1.等式的基本性质等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得的结果仍是等式.若，则.等式的基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数或同一个式子（除数不能是0），所得的结果仍是等式.若，则.2.解一元一次方程的一般步骤3.含绝对值的方程：形如的方程一般步骤注意点（1）去分母方程的每一项都要乘以最简公分母（2）去括号去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不变（3）移项移项要变号（4）合并同类项只要把系数合并，字母和它的指数不变.（5）方程两边同除以未知数的系数相除时系数不等于0.若为0，则方程可能无解或有无穷多解.解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．例如：解方程|x|=2解：去掉绝对值符号x=2或-x=2方程的解为x1=2或x2=-2．4.同解方程如果方程①的解都是方程②的解，并且方程②的解都是方程①的解，那么这两个方程是同解方程.一元一次方程的应用1.列方程解应用题的步骤（1）审：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设：设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解：解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）验：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际．（6）答：写出答案（注意带上单位）．2.一元一次方程应用常见的分类（1）行程问题；（2）工程问题；（3）销售问题；（4）其他问题.例题精讲一元一次方程小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？'例2.'方程：-=1．'例3.一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为____元．例4.已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x 人，则（）A．2x+3（72-x）=30B．3x+2（72-x）=30C．2x+3（30-x）=72D．3x+2（30-x）=72例5.关于x的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（）A．9B．8C．5D．4例6.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x=34685B．x+2x+3x=34685C．x+2x+2x=34685D．x+x+x=34685代数式与代数式3-2x的和为4，则x=____。
中考数学一轮复习-数-方程与不等式
第二讲——方程与不等式一、知识结构框架二、概念复习1、方程 （1）定义① 方程：含有未知数的等式叫做方程.② 方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. ③ 等式的性质：1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. 2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. （2）一元一次方程① 概念：一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x 的系数，b 是常数项.② 一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解). ③ 列一元一次方程解应用题：1）步骤：审题——设未知数——找等量关系——列方程——解方程——答. 2)常用公式：1°行程问题： 距离=速度×时间 时间距离速度= 速度距离时间=； 2°工程问题： 工作量=工效×工时 工时工作量工效=工效工作量工时=； 3°比率问题： 部分=全体×比率 全体部分比率= 比率部分全体=；4°顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 5°商品价格问题： 售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；6°周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.（3）一元二次方程① 概念：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为 )0(02≠=++a c bx ax ，其中，a 叫做二次项系数；b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.② 一元二次方程的解法1）直接开平方法：适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.2）配方法：其理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.3）公式法：利用求根公式求解，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：4）因式分解法：利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法. ③ 一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做方程的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.④ 一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么abx x -=+21，a c x x =21.（4）分式方程① 定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程. ② 解分式方程的一般方法：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是： 1）去分母，方程两边都乘以最简公分母； 2）解所得的整式方程；3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.③ 分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.如：21,240)x b ac =-≥，，注意点：解分式方程时，求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值围，可能产生增根.（5）二元一次方程（组） ① 概念1）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b ≠0).2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3）二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解. ② 二元一次方程组的解法 1）代入消元法；2）加减消元法. ③ 解三元一次方程（组） 同解二元一次方程（组） ④ 消元思想将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想，这是中学非常重要的数学思想，如题：已知 a ，b 满足 ab =1,求 1a 2+1+1b 2+1=2、不等式（组） （1）不等式① 不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.② 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式. ③ 不等式基本性质1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；015)1(2)1(2=----x x x x 1)1(3)1(222=+-+x x x x 031)1(21122=-+++++x x x x2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. （2）一元一次不等式 ① 一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.② 一元一次不等式的解法：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.（3）一元一次不等式组① 一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集. ② 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集. ③ 一元一次不等式组的解法1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集. （4）解简单的一元二次不等式运用“同号得正，异号得负”的乘积性质求解。