高考数学专题复习极坐标与参数方程不等式选讲
画双绝对值函数图象 绝对值不等式恒成立
解双绝对值不等式（二次）
2017
绝对值不等式恒成立
不等式的证明
解双绝对值不等式 绝对值不等式能成立
画双绝对值不等式函数图象
2016
解双绝对值不等式
解双绝对值不等式 不等式的证明
解单绝对值不等式 绝对值不等式恒成立
一.选做题部分高考情况分析
2.题型分布统计—— 2016-2019年全国卷坐标系与参数方程考查内容分析
2019 方程、椭圆上点到直线 与直线极坐标方程、求轨迹 点与极坐标方程及点的极坐
的最小距离
的极坐标方程
标
极坐标方程化为普通方 椭圆与直线参数方程化为普 圆参数方程、直线与圆位置
2018 程、折线（绝对值）与 通方程、椭圆弦中点求直线 关系定直线倾斜角范围、圆
圆位置关系定参数
斜率
的弦中点轨迹
2017
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一.选做题部分高考情况分析
（能力立意）
从考察知识的角度 （核心知识）
近几年 高考情况
综述
（素养导向）
从考察能力的角度 （关键能力）
从考察思想的角度 （学科思想）
从学生问题的角度
3.对参数几何意义的理解（t, ρ, θ）；
4.极点的多值性.
点
直角坐标(x,y) 极坐标坐标(ρ,θ)
空间坐标 平面坐标
坐标
形 曲线
坐标系 参数 方程 数
直角方程
普通方程 f(x,y)=0
参数方程 x=f(t),y=g(t)
极坐标方程f (ρ,θ)=0
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二.选考题部分备考建议
（一）复习建议——从教学设计的视角 案例一：与 t 对话
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二.选考题部分备考建议
（一）复习建议——从教学设计的视角
参数几何意义模型 距离公式模型 双绝对值模型 多元不等式模型 ......
提炼模型
固化模型
以微专题的形式固化模型， 从而达到破难点、强重点、避错点
忆模 研模 用模
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■主要考点：极坐标方程、参数方程与普通方程互化是热点，直线与圆、椭圆是常见载体. 主要是解析几何中的常规基础问题，如交点坐标、圆弦长、圆切线、直线与曲线位置关 系、曲线上动点到定点（或定直线）距离最值.
■易错点：
1.消参的技巧(①代入②加减③三角④齐次化),其关键之处是代数式的结构;
2.方程互化的等价性(注意范围)；
√
柯西不 向量形式 √ 等式 一般形式 √
均值柯 西不等 式求最
值
柯西不等式 数学归纳法 不等式求最值 不等式证明
√ √
√ √
比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法
一.选做题部分高考情况分析
2.题型分布统计
2016-2019年全国卷坐标系与参数方程题型分布统计
全国Ⅰ卷
全国Ⅱ卷
全国Ⅲ卷
椭圆参数方程化为普通 圆极坐标方程求点的极坐标 圆极坐标方程（注意范围）
心 素
•数形结合思想
养
•转化与化归思想
的
•函数与方程思想
具
•分类与整合思想
体 体
•基本概念不清晰、基本方法不熟练 现
•运算能力、作图能力、表达能力等欠缺
•目标意识、规范意识薄弱
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一.选做题部分高考情况分析
2.题型分布统计
2016-2019年全国卷不等式选讲题型分布统计
全国Ⅰ卷
全国Ⅱ卷
全国Ⅲ卷
2019
不等式证明（“1”代换、 均值、柯西不等式）
解双绝对值不等式与恒
不等式证明
成立（注意特殊值效应） （均值、柯西不等式）
解双绝对值不等式
2018
绝对值不等式恒成立
解双绝对值不等式 绝对值不等式恒成立
一.选做题部分高考情况分析
1.考纲与考试说明分析与解读
坐标系与参数方程
要求层次
知识内容
了解 理解 掌握
坐标系作用
√
坐 伸缩变换 √
标 极坐标系
√
系 柱坐标系 √
球坐标系 √
参 直线参数
√
数
圆
√
方 圆锥曲线 √
程
摆线
√
不等式选讲 知识内容
要求层次
备注
了解 理解 掌握
绝对值 三角不等式
√
不等式 解不等式
函数
不等式
函数与方程思想
图象与性质
绝对值函数 （一元函数）
绝对值不等式
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多元函数
多元不等式
单绝对值不等式 双绝对值不等式
零点讨论
（分类+方程思想）
三角不等式
均值、柯西不等式 最值、证明
一.选做题部分高考情况分析
2.题型分布统计——2016-2019年全国卷不等式选讲考查内容分析 ■主要考点：考查对象为一元函数与多元函数，一元函数主要是双绝对值和单绝对值函 数，主要考查双绝对值函数为主，多元函数主要是求最值或证明不等式.第一问主要是解 双绝对值不等式或画双绝对值函数的图象，第二问则为双绝对值不等式恒成立、双绝对 值不等式能成立或不等式证明等. ■易错点： 1.等价转化； 2.取等条件； 3.分类讨论的规范性.
直线与椭圆参数方程求 交点坐标、椭圆上点到 直线的最大距离
极（坐圆标上系点轨到迹直与线面的积最最大值距离）直极（线坐双参标曲数方线方程）程的交化直点为线的普与极通轨径方迹程、
2016
圆参数方程化为极坐标 方程、圆的公共弦
圆直线普参通数方方程程化与为圆极的坐弦标长方程、椭方的圆程点化与参为圆数普上方通的程方点，程的直，距线椭离极圆最坐上大标
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•基本公与概念
•三方程的互化
•圆与椭圆的参数方程
•直线、圆、椭圆中参数的几何意义
•常见不等式（绝对值、均值、柯西） 数
•运算求解能力
学
•推理论证能力
核
•数学语言（图象、符号）表达能力
专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲(理科专用)(讲)(解析版)
（2）由（1）可设C的参数方程为
x
y
cos , 2sin
（
为参数，
π
π
）．
C上的点到 l 的距离为 | 2 cos 2
3
sin
11 |
4 cos
π 3
11
．
7
7
当
2π 3
时， 4 cos
π 3
11取得最小值7，故C上的点到
l
距离的最小值为
7．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值
直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P．
（1）当
0
=
3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
【答案】（1） 0 2
3
，l
的极坐标方程为
cos
3
2
；（2）
4
cos ,
4
,
2
．
【解析】（1）因为
【答案】（1） x2 y2 1(x 1) ； l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ；（2） 7 ． 4
【解析】（1）因为
1
1 1
t t
2 2
1，且 x2
y 2
2
1 1
t2 t2
2
4t2 1 t2
2
1，
所以C的直角坐标方程为 x2 y2 1(x 1) ． l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ．
a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca 1 1 1 ．所以 1 1 1 a2 b2 c2 ．
高三二轮复习之选修极坐标参数方程、不等式
高三二轮复习之选修极坐标参数方程、不等式第1讲 坐标系与参数方程 考点一 极坐标方程[核心提炼]1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程． (1)当圆心位于极点，半径为r 时：ρ＝r ； (2)当圆心为M (a,0)，半径为a 时：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心为M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a 时：ρ＝2a sin θ 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . [例1] (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点，当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2， 所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.[方法归纳]1．求曲线的极坐标方程的一般思路求曲线的极坐标方程问题通常用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解题的关键．2．解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．[对点训练](2018·厦门质检二)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 24＋y 2＝1，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ)(φ为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0)，若l 分别与C 1，C 2交于异于极点的A ，B 两点，求|OB |OA的最大值． 解 (1)C 1：x 2＋4y 2＝4，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 故C 1的极坐标方程：ρ2 (3sin 2θ＋1)＝4. C 2的直角坐标方程：(x －2)2＋y 2＝4，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，故C 2的极坐标方程：ρ＝4cos θ.(2)直线l 分别与曲线C 1，C 2联立，得到⎩⎪⎨⎪⎧ρ2 (3sin 2 θ＋1)＝4θ＝α，则|OA |2＝43sin 2α＋1，⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4cos θθ＝α，则|OB |2＝16cos 2 α， ∴|OB |2|OA |2 ＝4cos 2 α(3sin 2 α＋1)＝(4－4sin 2 α)(3sin 2 α＋1)，令t ＝sin 2α，则|OB |2|OA |2 ＝(4－4t )(3t ＋1)＝－12t 2＋8t ＋4， 所以t ＝13，即sin α＝±33时，|OB ||OA |有最大值433.考点二 参数方程[核心提炼]几种常见的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心为(0,0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.其中t 是参数．[例2] (2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标系方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2 α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.[方法归纳]参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．[对点训练](2018·成都一模)己知过点P (－1,0)的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝22 cos φ，y ＝33 sin φ(φ为参数)交于不同的A ，B 两点，(1)写出曲线C 的直角坐标方程； (2)求|P A |·|PB |的取值范围． 解析 (1)曲线C 的直角坐标方程为 x 212＋y 213＝1，即2x 2＋3y 2＝1. (2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，代入2x 2＋3y 2＝1，得：(2cos 2 α＋3sin 2 α)t 2－4t cos α＋1＝0，设A 、B 对应得参数分别是t 1 、t 2， 由Δ＞0 ，得0＜tan 2 α＜23，|P A |·|PB |＝12cos 2α＋3sin 2α＝sin 2α＋cos 2α2cos 2α＋3sin 2α＝1＋tan 2α2＋3tan 2α＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13tan 2α＋23， 所以，|P A |·|PB |的取值范围是⎝⎛⎭⎫512，12.考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用[例3] (2018·潍坊三模)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝ 3 a cos θ＋a sin θ(a ＞0)，将曲线C 1绕极点逆时针旋转π3后得到曲线C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋12 ty ＝32t(t 为参数)，直线l 与曲线C 2相交于M ，N 两点，已知P (－1,0)，若|PM |·|PN |＝|MN |2，求a 的值．解 (1)设C 2上任意一点的极坐标为(ρ，θ)，则⎝⎛⎭⎫ρ，θ－π3在C 1上，∴ρ＝ 3 a cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋a sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3，化简得C 2的极坐标方程：ρ＝2a sin θ. (2)C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，将直线l 的参数方程代入C 2的直角坐标方程得⎝⎛⎭⎫－1＋12 t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －a 2＝a 2，化简得t 2－(1＋3a )t ＋1＝0，Δ＝(1＋3a )2－4＞0，t 1＋t 2＝1＋3a ，t 1t 2＝1，|PM |·|PN |＝t 1 t 2＝1，∴|MN |2＝1，|MN |2＝(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1 t 2，∴1＝(1＋3a )2－4，∴3a 2＋23a －4＝0，∵a ＞0，∴a ＝15－33，满足Δ>0，∴a ＝15－33.[方法归纳]解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)在对于参数方程或极坐标方程的应用不够熟练的情况下，我们可以先化成普通方程(直角坐标方程)，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[对点训练](2018·安徽江南十校二模)已知曲线M 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝cos α－3sin αy ＝2sin 2α－23sin αcos α(α为参数)，曲线N 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝m . (1)求曲线M 的普通方程与曲线N 的直角坐标方程； (2)曲线M 与曲线N 有两个公共点，求m 的取值范围．解 (1)在曲线M 中x 2＝cos 2α＋3sin 2α－23sin αcos α＝1＋2sin 2α－23sin αcos α＝1＋y ，∴曲线M 的普通方程为y ＝x 2－1，x ∈[－2,2]．在曲线中：由{x ＝ρcos θ，y ＝ρ·sin θ可得y ＝x －2m ， ∴曲线的直角坐标方程为y ＝x －2m ；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2my ＝x 2－1⇒x 2－x ＋2m －1＝0，x ∈[－2,2]有两解，令g (x )＝x 2－x ＋2m －1，在[－2,2]上有两解，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4(2m －1)＞012∈[－2，2]g (2)＝1＋2m ≥0g (－2)＝5＋2m ≥0，∴m ∈⎣⎡⎭⎫－22，528. 解得－22≤m ＜528课时作业(二十二)1．(2018·咸阳5月信息专递)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝a ＋4sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2 θ＝4sin θ.(Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 1和曲线C 2有三个公共点，求以这三个点为顶点的三角形的面积．解 (Ⅰ)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝a ＋4sin α(α为参数)，消去参数α，得曲线C 1的普通方程为：x 2＋(y －a )2＝16，曲线C 2：ρcos 2 θ＝4sin θ ，即ρ2 cos 2 θ＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＝4y . (Ⅱ)因为曲线C 1和曲线C 2都是关于y 轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点的它们其中的一个公共点，将原点O (0,0)代入x 2＋(y －a )2＝16中得：a ＝4(舍去a ＝－4)，此时，曲线C 1方程为x 2＋(y －4)2＝16，曲线C 1和曲线C 2的三个交点坐标为(0,0)，(4,4)，(－4,4)，易得这三个点为顶点的三角形的面积为16.2．(2018·郑州外国语第十五次调研)在平面直角坐标系的xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－3＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解 (1)曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为x 24＋y 23＝1，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以l 的直角坐标方程为x －y －3＝0.(2)直线l 的倾斜角为π4，过点(3，0)，所以直线l 化成参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cosπ4y ＝t sin π4 ，即⎩⎨⎧x ＝3＋22 t ，y ＝22 t(t 为参数)代入x 24＋y 23＝1得7t 2＋66t －6＝0，Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝384＞0，设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－667，t 1t 2＝－67，所以AB ＝|t 1－t 2 |＝((t 1＋t 2)2－4t 1 t 2＝3847＝867. 3．(2018·四川三联)在极坐标系中．曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴．建立平面直角坐标系，(1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．若|P A |＝2|PB |，求|AB |的值． 解 (1)ρ＝6sin θ，即ρ2＝6ρsin θ.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.有x 2＋y 2＝6y . ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9. P 点的直角坐标为(1,1)，(2)设直线l 的参数方程时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝1＋t sin θ (t 为参数)，将其代入x 2＋y 2－6y ＝0. 可得t 2＋2(cos θ－2sin θ)t －4＝0. 记t 1，t 2为方程的两根， 由Δ＞0. 得θ∈[0，π]，∴t 1t 2＝－4. ∵|P A |＝2|PB |.∴t 1＝－2t 2或t 2＝－2t 1.当t 1＝－2t 2时，t 1＝22，t 2＝－2或t 1＝－2 2.t 2＝ 2. ∴|AB |＝|t 1－t 2 |＝3 2.当t 2＝－2t 1时，同理|AB |＝3 2. ∴|AB |＝3 2.4．(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当a ≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －2，l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.第2讲 不等式选讲 考点一 绝对值不等式的解法[核心提炼]含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．[例1] (1)(2018·成都一模)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪x －1a (a ＞0)． (1)求证：f (x )≥2恒成立；(2) a ＝1，求不等式f (x )≤4的解集．解 (1)∵a ＞0，∴f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪x －1a ≥⎪⎪⎪⎪(x ＋a )－⎝⎛⎭⎫x －1a ＝a ＋1a ≥2， ∴f (x )≥2.(2)由于|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x (x ≤－1)2(－1＜x ＜1)，2x (x ≥1)所以所求的解集为{x |－2≤x ≤2}．[方法归纳]用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点．(2)划区间、去绝对值符号． (3)分别解去掉绝对值符号的不等式．(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．[对点训练](2018·湘潭四模)已知函数f (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＋a . (1)求不等式f (x )＞a 的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )＜0，求a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＞a ，得|3x －1|＞|2x ＋1|，不等式两边同时平方，得9x 2－6x ＋1>4x 2＋4x ＋1， 即5x 2＞10x ，解得x ＜0或x ＞2，所以不等式f (x )＞a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)设g (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤－12，－5x ，－12＜x ＜13，x －2，x ≥13.作出g (x )的图象，如图所示，因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)＜g (4)＝2＜g (－1)＝3，又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＜0，f (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＜02＋a ≥0，故a 的取值范围为[－2,1)． 考点二 绝对值不等式的证明[核心提炼]1．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.2．算术－几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术－几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． [例2] (2018·潍坊三模)已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集M .(1)求M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (2a )－f (－2b )．解 (1)将f (x )＝|x ＋4|代入不等式整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8①当x ≤－4，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8，解得x <－103，所以此时x ≤－4， ②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8，解得x <－2，所以此时－4<x <－2，③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8，解得x >2，所以此时x >2，综上M ＝{x |x <－2或x >2}．(2)证明：因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |，所以要证f (ab )＞f (2a )－f (－2b )，只需证|ab ＋4|＞|2a ＋2b |，即证(ab ＋4)2＞(2a ＋2b )2，即证a 2b 2＋8ab ＋16＞4a 2＋8ab ＋4b 2，即证a 2b 2－4a 2－4b 2＋16＞0，即证(a 2－4)(b 2－4)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞4，b 2＞4，所以(a 2－4)(b 2－4)＞0成立，所以原不等式成立．[方法归纳]不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．[对点训练](2018·烟台二模)已知函数f (x )＝|x －m |＋|x ＋1|(m ∈R )的最小值为4.(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＋3c ＝m ，求证：1a ＋12b ＋13c≥3. 解 (1)f (x )＝|x －m |＋|x ＋1|≥|(x －m )－(x ＋1)|＝|m ＋1|，所以|m ＋1|＝4，解得m ＝－5或m ＝3.(2)由题意，a ＋2b ＋3c ＝3.于是1a ＋12b ＋13c ＝13(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝13⎝⎛⎭⎫3＋2b a ＋a 2b ＋3c a ＋a 3c ＋3c 2b ＋2b 3c≥13⎝⎛⎭⎫3＋22b a ·a 2b ＋23c a ·a 3c ＋23c 2b ·2b 3c ＝3， 当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立，即a ＝1，b ＝12，c ＝13时等号成立． 考点三 含绝对值不等式的恒成立问题[核心提炼]1．f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .2．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．[例3] (2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．[方法归纳]解决含参数的绝对值不等式问题常用的两种方法(1)对参数分类讨论，将其转化为分段函数问题解决；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f (x )的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．[对点训练](2018·安徽江南十校二模)已知f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式：f (x )≤x ＋3；(2)不等式|m |·f (x )≥|m ＋2|－|3m －2|对任意m ∈R 恒成立，求x 的范围．解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，2x －3≤x ＋3⇒2≤x ≤6， ②⎩⎪⎨⎪⎧ 1＜x ＜2，x －1＋2－x ≤x ＋3⇒1＜x ＜2， ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ≤x ＋3⇒0≤x ≤1，由①②③可得x ∈[0,6]； (2)①当m ＝0时，0≥0，∴x ∈R ；②当m ≠0时，即f (x )≥⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3对m 恒成立， ⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2m ＋1－⎝⎛⎭⎫2m －3＝4，当且仅当2m ≥3，即0＜m ≤23时取等号， ∴f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥4，解得x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞. 课时作业(二十三)1．(2018·全国Ⅰ卷)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜2a ， 所以2a≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．已知函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |(a ＞－2)，不等式f (x )≥7的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)．(1)求a 的值；(2)若f (x )≥x ＋m ，求m 的取值范围．解 (1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a －2，x ≤－2，a ＋2，－2＜x ＜a ，2x －a ＋2，x ≥a ，作出函数y ＝f (x )的草图(如图)，又不等式f (x )≥7的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝4＋a ＝7，f (4)＝10－a ＝7，所以a ＝3. (2)由(1)得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x ≤－2，5，－2＜x ＜3，2x －1，x ≥3，如图所示，当直线y ＝x ＋m 过图中的点A (3,5)时，m 的最大值为2， 由图象可知，当m ≤2时，f (x )≥x ＋m 恒成立，所以m 的取值范围为(－∞，2]．3．(2018·三明5月质检)已知函数f (x )＝|x －a 2 |＋|x －2a ＋3|，g (x )＝x 2＋ax ＋4，a ∈R .(1)当a ＝1时，解关于x 的不等式f (x )≤4；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得不等式f (x 1 )＞g (x 2 )成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ＜1，2x ，x ≥1.当x ＜－1时，由f (x )≤4得，－2x ≤4，解得－2≤x ＜－1;当－1≤x ＜1时，f (x )≤4恒成立；当x ≥1时，由f (x )≤4得，2x ≤4，解得1≤x ≤2.所以f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤2 }.(2)因为对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得不等式f (x 1 )＞g (x 2 )成立， 所以f (x )min ＞g (x )min .因为a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，所以a 2＞2a －3，且|x －a 2 |＋|x －2a ＋3|≥|(x －a 2 )－(x －2a ＋3)|＝|a 2－2a ＋3|＝a 2－2a ＋3，…① 当2a －3≤x ≤a 2时，①式等号成立，即f (x )min ＝a 2－2a ＋3.又因为x 2＋ax ＋4＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋4－a 24≥4－a 24，…② 当x ＝－a 2时，②式等号成立，即g (x )min ＝4－a 24. 所以a 2－2a ＋3＞4－a 24，整理得，5a 2－8a －4＞0, 解得a ＜－25或a ＞2， 即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－25∪(2，＋∞)． 4．(2018·重庆三调)已知函数f (x )＝|x |(x ∈R )．(Ⅰ)求不等式f (x －1)＋f (x ＋1)≤4的解集M ；(Ⅱ)若a ，b ∈M ，证明：2f (a ＋b )≤f (ab )＋4.解析 (Ⅰ)|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ＜－12，－1≤x ≤1，2x ，x ＞1故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1－2x ≤4或⎩⎨⎧ －1≤x ≤12≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12x ≤4 ，故不等式的解为[－2,2]． (Ⅱ)法1：要证2|a ＋b |≤|ab |＋4，只需证4(a ＋b )2≤(|ab |＋4)2，即证4a 2＋8ab ＋4b 2≤(ab )2＋8|ab |＋16(*)． 因为8ab ≤8|ab |，又由(Ⅰ)知|a |≤2，|b |≤2，则(a 2－4)(b 2－4)≥0，即4a 2＋4b 2≤(ab )2＋16， 所以(*)式显然成立，故原命题得证．法2：因为|a |＋|b |≥|a ＋b |，故要证2|a ＋b |≤|ab |＋4， 只需证2|a |＋2|b |≤|ab |＋4 ，即证(|a |－2)(|b |－2)≥0. 由(Ⅰ)|a |≤2，|b |≤2上式显然成立，故原命题得证．。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。
高考专题复习--极坐标与参数方程(极品课件系列)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
其中参数旳几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
旳参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程 旳互化
1. 求 直 线
x
1
4 5
t
y
1
3 5
t
（
t为参数
）被曲线
2 cos( ) 所截的弦长.
4
考点二：了解参数方程和参数旳意义．
例 12．（淮安、徐州、宿迁、连云港四市 2008—2009） 已知在直角坐标系 x0y 内，直线 l 的参数方程为
x 2 2t,
y
1
4t,
(t 为参数)．以 Ox 为极轴建立极坐标系，
圆 C 的极坐标方程为 2 2 sin( ) .
4
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.
L
的参数方程为
x＝t＋3 y＝3－t
，（参数
t
R
），
圆
Ｃ
的
参
数
方
程
为
x＝2cos y＝2sin＋2
（
参
数
0，2 ），则圆Ｃ的圆心坐标为
，圆心
到直线 L 的距离为
。
例 9．（2008 江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y) 是 椭 圆 x2 y2 1 上 的 一 个 动 点 ， 求
x y
t t
1, t 1 t
(t为参数)
相交于
A、B
两点．求线段
AB
的
高考总复习数学(文)：18.2 极坐标与参数方程 精品优选公开课件
【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不
仅仅是把其中的参数消去，还要注意 x，y 的取值范围，也即在 消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. ①题很容易忽略参数范围 0≤θ≤ π ，②题很容易忽略参数方程
2 中 0≤sin2θ≤1 而出错.
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
φ， φ
转换
成普通方程为 y＝x－a 和x92＋y42＝1，直线与 x 轴的交点为(a,0)
就是椭圆的右顶点(3,0)，所以 a＝3.
答案：3
【方法与技巧】常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参 数方程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、 椭圆的参数方程)等.经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲 线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围， 确保普通方程与参数方程等价.
_______________________________.
(2)柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式：
①柱坐标化为直角坐标公式： xy＝ ＝ρρcsionsθθ，， z＝z；
____________________.
x＝rsinφcosθ，
②球坐标化为直角坐标公式：
y＝rsinφsinθ， z＝rcosφ
C．x2＋y－122＝14
D.x－122＋y2＝14
3．若直线的参数方程为xy＝ ＝12＋ －23tt， (t 为参数)，则直线的
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.设函数(m＞0)(1)证明：f(x)≥4；(2)若f(2)＞5，求m的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)(0，1)∪(，＋∞)【解析】(1)利用绝对值基本性质：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|及基本不等式可得；(2)分类写出f(2)关于m的解析式，解相关分式不等式即可试题解析：(Ⅰ)由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． 4分(Ⅱ)f(2)＝|2－|＋|2＋m|．当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． 10分考点:绝对值不等式2.设，且满足：，，求证：.【答案】详见解析【解析】根据题中所给条件：，，结合柯西不等式可得出：，由此可推出：，即可得出三者的关系：，问题即可求解．，，，又，，. 10分【考点】不等式的证明3.已知关于x的不等式（其中），若不等式有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵设故，即的最小值为，所以有解，则解得，即的取值范围是，选C.4.对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2)C．[－2,2]D．[0，＋∞)【答案】A【解析】由题意a|x|≥－x2－1，∴a≥＝(x≠0)．∵≤－2，∴a≥－2.当x＝0时，a∈R，综上，a≥－2，选A5.设函数,其中。
（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求a的值。
【答案】（1）或（2）【解析】（1）当时，可化为。
由此可得或。
故不等式的解集为或。
（2）由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故6.不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【答案】C【解析】不等式x2﹣4x+a＜0可化为：x2﹣4x＜﹣a，设y=x2﹣4x，y=﹣a，分别画出这两个函数的图象，如图，由图可知，不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则有：﹣a＞﹣3．故a＜3．故选C．7.已知，，，．求证．【答案】详见解析【解析】利用分析法或作差法证明不等式. 即，而显然成立，【证明】因为，，所以，所以要证，即证．即证， 5分即证，而显然成立，故． 10分【考点】不等式相关知识8.若不等式的解集为，则的取值范围为________;【答案】【解析】令，则；若不等式的解集为，则的取值范围为.【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题.9.已知，且，求的最小值．【答案】1.【解析】观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.试题解析：, ,,，当且仅当，或时的最小值是1.【考点】柯西不等式.10.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(填上正确的序号).①<;②a2>b2;③>;④a|c|>b|c|.【答案】③【解析】①,当a是正数,b是负数时,不等式<不成立,②当a=-1,b=-2时,a>b成立,a2>b2不成立;当a=1,b=-2时,a>b成立,a2>b2也不成立,当a,b是负数时,不等式a2>b2不成立.③在a>b两边同时除以c2+1,不等号的方向不变,故③正确,④当c=0时,不等式a|c|>b|c|不成立.综上可知③正确.11.已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.【答案】-<2a+3b<【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得所以2a+3b=(a+b)-(a-b).因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<.12.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A．10B．6C．4D．18【答案】D【解析】选D.3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立.13.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是()A．P>Q B．P<QC．P=Q D．无法确定【答案】A【解析】选A.由等比知识,得Q==,而P=,且a3>0,a9>0,q≠1,a 3≠a9,所以>,即P>Q.14.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.15.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.16.当0≤x≤时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()A．B．C．D．无最大值【答案】C【解析】选C.y=x2(1-5x)=x2=x·x·.因为0≤x≤,所以-2x≥0,所以y≤=,=.当且仅当x=-2x,即x=时,ymax17.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A．|a+b|+|a-b|>2B．|a+b|+|a-b|<2C．|a+b|+|a-b|=2D．不能比较大小【答案】B【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.18.若关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,则实数a的取值范围为()A．(-∞,1]B．(-∞,1)C．(-∞,5]D．(-∞,5)【答案】C【解析】选C.因为|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5,又关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,所以a≤5.19.已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【答案】见解析【解析】证明：|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).20.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，求实数a的取值范围．【答案】(－∞，8]【解析】因为不等式|x－5|＋|x＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则a≤8，即实数a的取值范围是(－∞，8]．21.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.22.若关于x的不等式的解集为(-1,4)，则实数a的值为_________.【答案】【解析】由已知得，，，当时，不等式解集为，故，无解；当时，不等式解集为，故，解得．【考点】绝对值不等式解法．23.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.24.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:++≥5.(2)求+的最小值.【答案】(1)见解析 (2) 18【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)2,当且仅当==,即x=,y=,z=时取等号.因为5x+4y+3z=10,所以++≥=5.(2)根据平均值不等式,得+≥2=2·,当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,当且仅当==时,等号成立.综上,+≥2·32=18.当且仅当x=1,y=,z=时,等号成立.所以+的最小值为18.25.设n∈N*,求证:++…+<.【答案】见解析【解析】证明：由=<=(-)可知<(1-),<(-),…,<(-),从而得++…+<(1-)<.26.设0< a,b,c <1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于.【答案】见解析【解析】证明：假设(1-a)b >,(1-b)c >,(1-c)a>,则三式相乘:(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>①.又∵0< a,b,c <1,∴0<(1-a)a≤[]2=.同理:(1-b)b≤,(1-c)c≤,以上三式相乘:(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤,与①矛盾,∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于.27.设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)．若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪(3，＋∞)，则a的值为________．【答案】a＝2【解析】由题意知，f(－2)＝f(3)＝5，即1＋|2＋a|＝4＋|3－a|＝5，解得a＝2.28.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.29.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥30.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【答案】2【解析】由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥＝mn(a＋b)2＝2.31.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A．B．C．5D．6【答案】C【解析】∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy，得＝5.∴5(3x＋4y)＝(3x＋4y) ＝13＋≥13＋2＝25.因此3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时等号成立．∴当x＝1，y＝时，3x＋4y的最小值为5.32.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】（Ⅱ）【解析】解：将直线2ρcosθ=1化为普通方程为：2x=1．∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1．∴直线与圆相交的弦长=解：∵函数f（x）=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|，∵f（x）的最小值为3，∴|a-4|=3，∴a=1或7，∵a＞1，∴a=7，∴f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，①若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；②若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；③若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；综上3≤x≤8，故答案为：3≤x≤8．【考点】坐标系与参数方程，不等式选讲点评：主要是考查了不等式选讲以及坐标系与参数方程的运用，属于基础题。
极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题12极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题题型/考向一：极坐标与参数方程题型/考向二：不等式选讲○热○点○题○型一极坐标与参数方程1.极坐标系：极径OM =ρ,即M 点与极点O 间的距离极角=θ∠XOM ，即以极轴OX 为始边，OM 为终边的角2．极坐标与直角坐标的互化例如()1-3-,，则()()33=3-1-=2=1-+3-=22θρtan ,又()1-3-, 在第三象限，所以πθ34=，⎪⎭⎫⎝⎛342∴π,3．常见曲线的极坐标方程4．常见曲线的参数方程①圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是：cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数②椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数③过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数5：直线的标准参数方程中t的几何意义过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数00(,)P x y 点所对应的参数为0t =0，记直线l 与任意曲线相交于,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则①线段AB 的中点O 所对应的参数为t =2+21t t ，如果线段AB 的中点恰好是P ,则有0=+21t t ②12AB t t =-=，③1212121212,0t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-=⋅<⎪⎩，④1212121212,00t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅<⎪-=-=⎨-=⋅>⎪⎩⑤1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅注：①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于t 的二次方程，则由韦达定理得出：abt t -=+21、ac t t =216、直线一般式：过定点00(,)P x y 斜率αtan =k =ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)①若1=+22b a ,即为标准式，此时参数t 具备几何意义②若1≠+22b a ，参数t 不具备标准式中t 的几何意义.标准式与一般式的联系与互化：直线的普通参数方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向向量化为直线的单位向量，即是化为参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=220220t b a b y y t b a a x x (t 为参数)7、经过极点或原点的三种直线方程：①普通方程：②极坐标方程：③参数方程：1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），抛物线C的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．(1)求直线l 和抛物线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 被抛物线C 截得的弦长.2．在平面直角标系xOy 中，曲M 的参数方程为2sin y α⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线M 的普通方程；(2)若D 为曲线M 上一动点，求D 到l 距离的取值范围．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为y α=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线l 与x 轴相交于点P ，求PA PB ⋅的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin y ϕ⎨=+⎩（其中ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l πcos 44θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上的一动点，求PAB 面积的最大值．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0M ，且倾斜角为π4，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程是为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ参数）．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)已知曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点，则AB 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||2||22OP OA ∴≤=,22(323)22x x ∴+-≤,两边平方得解得353522x -+≤≤,3⎡-2240x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 于两点A ，B ，求AOB ∠的大小.直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1sin y ϕ⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．(1)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)直线l ：()6πθρ=∈R 与曲线1C ，2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为2C 上的动点，求△PMN 面积的最大值．y =⎪⎩极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值；(2)若点P 是椭圆上任意一点，求PAB 的面积最大值.83○热○点○题○型二不等式选讲【考点1】基本不等式基本不等式的常见结论：（1）222a b ab +≥（,a b R ∈），当且仅当a b =时，等号成立；（2）2a b ab +≥（,0a b >），当且仅当a b =时，等号成立；（3）33a b c abc ++≥a b c ==时，等号成立（4）2b a a b+≥（,a b 同号，a b =时取等号。
高考复习数学B版考点考法讲解：坐标系与参数方程
{
ｘ ＝ ２＋２ｃｏｓ θ，
（θ 为
ｙ ＝ ３＋２ｓｉｎ θ
参数） 的对称中心，则直线 ｌ 的方程是
ｘ ＝ －１＋２ｔ，
（２） 若直 线
（ ｔ 为 参 数） 与 曲 线
ｙ ＝ ３－２ｔ
为参数，ａ＞０） 有且只有一个公共点，则 ａ ＝
{
{
解析 （ １） 由曲线的参数方程
如图，ＡＢ 即为直线 ｙ－ｘ ＝ １ 被圆 ｘ ２ ＋ｙ ２ ＝ １ 截得的线段，且 ＡＢ
１ ２ ＋１ ２ ＝ ２ ．
答案 （１） Ｄ （２） Ｂ
１－１ （２０１６ 北京西城一模，２） 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，
{
ｘ ＝ ２＋ ２ ｃｏｓ θ，
ｙ ＝ ２ ｓｉｎ θ
Ａ．关于 ｘ 轴对称的图形
Ａ．
１
２
Ｂ．
２
２
Ｃ．１
（ ）
Ｄ． ２
（２） ☉Ｃ １ ：（ ｘ－１） ２ ＋ｙ ２ ＝ １，☉Ｃ ２ ：ｘ ２ ＋（ ｙ－１） ２ ＝ １，
如图，易得交点为（０，０） ，（１，１） ，则 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ２ ．
（ ２） （２０１６ 北京海淀一模，６） 在极坐标系中，圆 Ｃ １ ：ρ ＝ ２ｃｏｓ θ
４ｘ＋３ｙ ＝ １０，
所 以
２ｘ－４ｙ ＝ ５，
(
１－
５
２
{
) ＋２ ＝ ２５ ．
２
２
５
，
２ 即 Ｂ
ｙ ＝ ０，
ｘ＝
( ５２ ，０ ) ， 所 以 ｜
ＡＢ ｜ ＝
曲线 Ｃ 的参数方程为
（ θ 为参数） ，则曲线 Ｃ 是
（ ）
Ｂ．关于 ｙ 轴对称的图形
高考数学课件——专题八 坐标系与参数方程、不等式选讲
x2+(y-2)2=4.以平面直角
坐标系的原点 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,射线 l 的极坐标方程
为θ=α(0<α<π).
(1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程;
︱高中总复习︱二轮·文数
解:(1)由曲线
C1
的参数方程
x y
cos t , 1 sin
t,
(t
为参数)消去参数
,
(t 为参数),以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C 与直线 l 的极坐标方程(极径用ρ表示,极角用θ表示);
解:(1)由题意,易得曲线C:(x-2)2+y2=4, 即x2+y2=4x. 即ρ2=4ρcos θ,即ρ=0或ρ=4cos θ, 由于曲线ρ=4cos θ过极点, 所以曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,
解:(2)联立
, 2sin
,
得
A(2sin
α,α),所以|OA|=2sin
α,
联立
, 4sin
,
得
B(4sin
α,α),
所以|OB|=4sin α.
所以|AB|=|OB|-|OA|=2sin α,
因为 0<α<π,所以当α= π 时,|AB|有最大值 2. 2
3
3
3
所以 l 的极坐标方程为ρcos(θ- π )=2. 3
︱高中总复习︱二轮·文数
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
解:(2)设 P(ρ,θ),在 Rt△OAP 中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ, 即ρ=4cos θ. 因为 P 在线段 OM 上,且 AP⊥OM,故θ的取值范围是[ π , π ],
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专 不等式选考系列 坐标系与参数方程讲义教案
第1讲 坐标系与参数方程[例1] (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A(4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. [解] (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. [解题方略]1.直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可. (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.[跟踪训练](2019·安徽省考试试题)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积.解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，ρ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ρ2，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×()1＋22×sin π4＝1＋324.[例2] (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值. [解] (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π).C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7. [解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：①t ·1t＝1；②⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1.[跟踪训练](2019·南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程；(2)设点M (2，1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值.解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α得普通方程(x －4)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－6ρsin θ＋21＝0.(2)设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)代入(x －4)2＋(y －3)2＝4，得t 2－()3＋1t ＋1＝0，所以t 1t 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12（2t ），y ＝1＋32（2t ），所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4.[例3] (2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.[解] (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1).(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫841，－341.所以|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫841－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－44412＝5541.[解题方略]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解. (2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.[跟踪训练]1.(2019·东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcosθ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q两点，求|AP |·|AQ |的值.解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos30°，y ＝1＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数).设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ·3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0).(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t 2＋t －3＝0，Δ＝13＞0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2.(2019·贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42消去t 得y ＝x ＋42， 由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝2cos θ－2sin θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，即C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22为圆心，1为半径的圆，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5＞1，所以直线l 与曲线C 相离.(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数)，则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又由θ∈R 可得－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，则－2≤x ＋y ≤2，所以x ＋y 的取值范围为[－2，2]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求半圆C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标.解：(1)半圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)， 则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，0≤t ≤π).(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6， 即(2＋3，1).2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标.解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数，α为l 的倾斜角)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋π3，θ＝β－π3(ρ∈R )与曲线E 分别交于不同于极点O 的三点A ，B ，C .(1)若π3＜β＜2π3，求证：|OB |＋|OC |＝|OA |；(2)当β＝5π6时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值.解：(1)证明：依题意，|OA |＝|4sin β|，|OB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3，|OC |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， ∵π3＜β＜2π3， ∴|OB |＋|OC |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝4sin β＝|OA |.(2)当β＝5π6时，直线θ＝β＋π3与曲线E 的交点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线θ＝β－π3与曲线E 的交点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，从而，B ，C 两点的直角坐标分别为B (3，1)，C (0，4)， ∴直线l 的方程为y ＝－3x ＋4， ∴y 0＝1，α＝2π3.4.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上.(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积.解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6，则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2·sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.5.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值.解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M (－2，－4)，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数).因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，所以ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .(2)把直线的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t 1，t 2为方程t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0的两根，则t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线参数方程的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40， 故α＝π4或α＝3π4，又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α＞0，所以α＝π4.6.(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋2(t是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)过直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 解：(1)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2－x ＋y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12.(2)设l 上任意一点P (t ，t ＋2)，过P 向圆C 引切线，切点为Q ，连接PC ，CQ ， ∵圆C 的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径r ＝22，∴|PQ |＝|PC |2－|CQ |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2（t ＋1）2＋4≥2， 即切线长的最小值为2.7.(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0＜r ＜2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围. 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)＞0，结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)＞0结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1＞0，t 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 8.(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)设曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C 3，M (x ，y )是曲线C 3上任意一点，求点M 到曲线C 1的距离的最大值.解：(1)根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t 消参可得曲线C 1的普通方程为x －2y －5＝0，∵ρ2＝41＋3sin 2θ，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入可得：x 2＋4y 2＝4. 故曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.(2)曲线C 2：x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C 3的方程为x ′216＋y ′2＝1，∴曲线C 3的方程为x 216＋y 2＝1.设M (4cos α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得 点M 到曲线C 1的距离d ＝|4cos α－2sin α－5|12＋（－2）2＝|2sin α－4cos α＋5|5＝|25sin （α－φ）＋5|5≤25＋55＝2＋5(其中tan φ＝2)，∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2＋ 5.第2讲 不等式选讲[例1] (2019·福建省质量检查)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|ax －3|(a >0). (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，求a 的值. [解] (1)当a ＝2时，不等式f (x )>1即|x ＋1|－|2x －3|>1.当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＋2x －3>1，解得x >5，因为x ≤－1，所以此时原不等式无解；当－1<x ≤32时，原不等式可化为x ＋1＋2x －3>1，解得x >1，所以1<x ≤32；当x >32时，原不等式可化为x ＋1－2x ＋3>1，解得x <3，所以32<x <3.综上，原不等式的解集为{x |1<x <3}. (2)因为a >0，所以3a>0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －4，x ≤－1，（a ＋1）x －2，－1<x ≤3a ，（1－a ）x ＋4，x >3a. 若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形， 则(a －1)(a ＋1)＝－1或(a ＋1)(1－a )＝－1， 解得a ＝0(舍去)或a ＝2或a ＝－2(舍去). 经检验，a ＝2符合题意， 所以所求a 的值为 2.[解题方略] 绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a ＞0，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号.(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.[跟踪训练]1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a ). (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1). 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0； 当x ≥1时，f (x )≥0，所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1). (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞).2.(2019·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≤5－f (x －3)的解集；(2)已知关于x 的不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4在[－1，1]上有解，求实数a 的取值范围.解：(1)不等式f (x )≤5－f (x －3)，即|x ＋1|＋|x －2|≤5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ＋1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋1＋x －2≤5， 解得－2≤x ≤3，所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤3}.(2)当x ∈[－1，1]时，不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4，即|x ＋a |≤2－x ， 所以|x ＋a |≤2－x 在[－1，1]上有解，即－2≤a ≤2－2x 在[－1，1]上有解，所以－2≤a ≤4，即实数a 的取值范围是[－2，4].[例2] (2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立.所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立. 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[解题方略] 证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等. (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法.(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的.(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法.用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾.[跟踪训练]1.已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b ). 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}.(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.2.已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.证明：法一：(放缩法)因为a ＋b ＝1，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋2）＋（b ＋2）22＝12[(a ＋b )＋4]2＝252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋2＝b ＋2，即a ＝b ＝12时，等号成立. 法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2<252，则a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8<252.因为a ＋b ＝1，则b ＝1－a ，所以a 2＋(1－a )2＋12<252.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122<0，这与⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≥0矛盾，故假设不成立.所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.[例3] 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .(1)若不等式f (x )＋|x －1|≥2对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为a －1，求实数a 的值. [解] (1)f (x )＋|x －1|≥2可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≥1， ∴a ≤0或a ≥4，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞).(2)当a <2时，易知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点分别为a 2和1，且a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1，x <a2，x －a ＋1，a 2≤x ≤1，3x －a －1，x >1，易知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝a －1，解得a ＝43，又43<2，∴a ＝43.[解题方略]解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略[跟踪训练]1.在本例条件下，若f (x )≤|x ＋1|的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，求a 的取值范围. 解：由题意可知f (x )≤|x ＋1|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上恒成立， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时， f (x )＝|2x －a |＋|x －1|＝|2x －a |＋x －1≤|x ＋1|＝x ＋1， ∴|2x －a |≤2，即2x －2≤a ≤2x ＋2， ∵(2x －2)max ＝4， (2x ＋2)min ＝5，因此a 的取值范围为[4，5].2.在本例中函数f (x )不变的条件下，若存在实数x ，使不等式f (x )－3|x －1|≥2能成立，求实数a 的取值范围.解：∵f (x )－3|x －1|＝|2x －a |－2|x －1| ＝|2x －a |－|2x －2|≤|a －2|. ∴|a －2|≥2. ∴a ≤0或a ≥4.∴实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞). 3.已知函数f (x )＝|x |＋|x ＋1|.(1)若任意x ∈R ，恒有f (x )≥λ成立，求实数λ的取值范围. (2)若存在m ∈R ，使得m 2＋2m ＋f (t )＝0成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)由f (x )＝|x |＋|x ＋1|≥|x －(x ＋1)|＝1知，f (x )min ＝1，欲使任意x ∈R ，恒有f (x )≥λ成立， 则需满足λ≤f (x )min ，所以实数λ的取值范围为(－∞，1].(2)由题意得f (t )＝|t |＋|t ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t －1，t <－1，1，－1≤t ≤0，2t ＋1，t >0，存在m ∈R ，使得m 2＋2m ＋f (t )＝0成立， 即有Δ＝4－4f (t )≥0， 所以f (t )≤1，又f (t )≤1可等价转化为⎩⎪⎨⎪⎧t <－1，－2t －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤0，1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，2t ＋1≤1， 所以实数t 的取值范围为[－1，0]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.(2019·昆明市质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4；(2)当x ≠0，x ∈R 时，证明：f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x≥4.解：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4等价于|2x －1|＋|2x ＋1|≥4， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－4x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，4x ≥4， 解得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)证明：当x ≠0，x ∈R 时，f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|－2x －1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－1，因为|－2x －1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋2x ＝2|x |＋2|x |≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1≥0，2|x |＝2|x |，即x ＝±1时等号成立，所以f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x≥4. 2.(2019·沈阳市质量监测(一))设a >b >0，且ab ＝2，记a 2＋b 2a －b的最小值为M .(1)求M 的值，并写出此时a ，b 的值； (2)解关于x 的不等式：|3x ＋3|＋|x －2|>M . 解：(1)因为a >b >0，所以a －b >0，4a －b>0， 根据基本不等式有a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋4a －b ＝a －b ＋4a －b≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，ab ＝2，即⎩⎨⎧a ＝3＋1，b ＝3－1时取等号，所以M 的值为4，此时a ＝3＋1，b ＝3－1.(2)当x ≤－1时，原不等式等价于－(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得x <－54；当－1<x <2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得－12<x <2；当x ≥2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(x －2)>4，解得x ≥2. 综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 3.已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5.(2)若|a |>1，且f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a，证明：|b |>2.解：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5等价于|x －2|＋|x －1|≥5， 当x >2时，(x －2)＋(x －1)≥5，x ≥4；当1≤x ≤2时，(2－x )＋(x －1)≥5，1≥5，无解； 当x <1时，(2－x )＋(1－x )≥5，x ≤－1. 综上，不等式的解集为{x |x ≥4或x ≤－1}. (2)证明：f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a⇔|ab －2|>|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a－2⇔|ab －2|>|b －2a | ⇔(ab －2)2>(b －2a )2⇔a 2b 2＋4－b 2－4a 2>0⇔(a 2－1)(b 2－4)>0.因为|a |>1，所以a 2－1>0， 所以b 2－4>0，|b |>2.4.已知a ，b ∈(0，＋∞)，且2a 4b＝2. (1)求2a ＋1b的最小值；(2)若存在a ，b ∈(0，＋∞)，使得不等式|x －1|＋|2x －3|≥2a ＋1b成立，求实数x 的取值范围.解：(1)由2a 4b＝2可知a ＋2b ＝1， 又因为2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝4b a ＋ab＋4，由a ，b ∈(0，＋∞)可知4b a ＋ab＋4≥24b a ·ab＋4＝8，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以2a ＋1b的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x －1|＋|2x －3|≥8，①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋（3－2x ）≥8，所以x ≤－43.②⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32，x －1＋3－2x ≥8，无解， ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，x －1＋2x －3≥8，所以x ≥4. 综上，实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪[4，＋∞). 5.(2019·济南市模拟考试)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集为空集，求实数a 的取值范围.解：(1)法一：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3≤3，解得x ≥0，即0≤x ≤12，当12<x <2时，f (x )＝x ＋1≤3，解得x ≤2，即12<x <2， 当x ≥2时，f (x )＝3x －3≤3，解得x ≤2，即x ＝2. 综上所述，原不等式的解集为[0，2].法二：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，作出f (x )的图象如图所示，注意到当x ＝0或x ＝2时，f (x )＝3， 结合图象，不等式的解集为[0，2].(2)由(1)可知，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )>ax 对任意x ∈R 恒成立， 即函数y ＝ax 的图象始终在函数y ＝f (x )的图象的下方，当直线y ＝ax 过点A (2，3)以及与直线y ＝－3x ＋3平行时为临界情况， 所以－3≤a <32，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32. 6.(2019·广州市调研测试)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R ).(1)当a ＝2时，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≥1； (2)设不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12⊆M ，求实数a 的取值范围. 解：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3，①当x ≤13时，1－3x ＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，不等式的解集为{}x |x ≤0或x ≥1.(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ， 依题意不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上恒成立， 所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.7.(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立.所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立.所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23.由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.8.(2019·江西省五校协作体试题)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|3x ＋a |，若f (x )的最小值为1.(1)求实数a 的值；(2)若a ＞0，m ，n 均为正实数，且满足m ＋n ＝a2，求m 2＋n 2的最小值.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|3x ＋a |，①当a ＞3，即－1＞－a3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1－a ，x ≤－a3，2x ＋a －1，－a 3＜x ＜－1，4x ＋a ＋1，x ≥－1，∵f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝()－3＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a3－1＝2（a －3）3＞0， ∴f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3， 则当x ＝－a3时，f (x )min ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－1－a ＝1，∴a ＝6.②当a ＜3，即－1＜－a3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1－a ，x ≤－1，－2x －a ＋1，－1＜x ＜－a 3，4x ＋a ＋1，x ≥－a3， ∵f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝(3－a )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＝2（3－a ）3＞0，∴f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，则当x ＝－a3时，f (x )min ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＋a ＝1，∴a ＝0.③当a ＝3，即－1＝－a3时，f (x )＝4|x ＋1|，当x ＝－1时，f (x )min ＝0不满足题意.综上，a ＝0或a ＝6.(2)由题意知，m ＋n ＝3.∵m ＞0，n ＞0，∴(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤(m 2＋n 2)＋(m 2＋n 2)＝2(m 2＋n 2)， 即m 2＋n 2≥12(m ＋n )2，当且仅当m ＝n ＝32时取“＝”.∵m 2＋n 2≥92，∴m 2＋n 2的最小值为92.。