高一上学期期末数学试卷
第 1 页 共 1 页
高一上学期期末数学试卷
一、填空题（本题共16小题，每题5分，共80分）
1．函数)12tan(xy的最小正周期为 ▲ 。
2．600sin＝ ▲ .
3．已知BA,是圆O上两点,2AOB弧度,2OA,则劣弧AB长度是__▲____
4．已知135cos，且是第四象限角，tan的值为 。
6．已知2tanx,则xxxxcossin4cos4sin3______▲___
7．已知}1)1(log|{},32|{22xxBxxxA，则BA ▲ 。
8．把函数xysin的图象上所有点的横坐标缩小到原来的21(纵坐标不变),再将图象上所有点向
右平移3个单位,所得函数图像所对应的解析式为 ▲ 。
9．已知1sincos(0)5，则tanα＝ ▲ .
10．函数)24sin(xy的单调增区间为__________▲________．
11．设)(xf是定义域为Ｒ，且最小正周期为25的函数，并且
)0(cos)0(sin)(xx
xx
xf
则)411(f=_______▲_________.
二、解答题（本题共6题，共80分）
19．（12分）（1）已知2tan，求)sin()tan()23sin()2cos()sin(的值
河南省信阳市2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3]D.[)3,+∞2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A .第一象限角B.第二象限角C .第三象限角D.第四象限角3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,14.函数()e ex xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C.D.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b>> B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.2C.2D.227.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年B.2023年C.2026年D.2025年8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A .[0,)+∞ B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()e xf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()ff x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.16.已知()1e xf x x=-的零点为0x ，若000e ln 2xx x m +>，则整数m 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.已知幂函数()()26mf x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.22.已知定义域为R 的函数()122xx b f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3] D.[)3,+∞【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，求出函数的定义域化简集合B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】由29x ≤，得33x -≤≤，则[3,3]A =-，函数2log y x =有意义，得0x >，则(0,)B =+∞，所以(0,3]A B = .故选：C2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得sin 0,cos 0αα<>，再求出角α所在象限.【详解】由sin tan 0αα>，cos tan 0αα<，得2sin 0cos αα>，sin 0α<，因此sin 0,cos 0αα<>，所以角α是第四象限角.故选：D3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,1【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理和单调性即可求解.【详解】函数()()1lg11210,2lg222lg20f f =+-=-=+-=.又()f x 为单调增函数，所以()f x 有唯一零点，且在区间()1,2内.故选：C.4.函数()e e x xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.【详解】由于()e e x x x f x -=+，x R ∈，()()e ex xxf x f x ---==-+，故()f x 为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B 和C ；又因为11(1)1e e f -=<+，故排除D 项，故选：A.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b >>B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数0.3x y =的单调性，可以判断,b c 的大小；根据作商法可得1>ab,可得答案.【详解】0.3x y = 是减函数，0.30.40.30.3∴>，即0b c >>，而0.30.30.44(()10.33a b ==>，即a b >，a b c ∴>>，故选：B6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.【详解】因为0,0x y <<，所以242221x y x y +=+≥==，当且仅当222x y =，即21x y ==-时，等号成立，故选：A ．7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年 B.2023年 C.2026年 D.2025年【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数模型列不等式求解．【详解】依题意，第n ()N n *∈时投入资金为()12019%n⨯+亿元，设2020年后第n ()Nn *∈年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，则()12019%200n⨯+>,得51.093n>，两边同取常用对数，得lg5lg31lg2lg310.30100.47715.9973lg1.09lg1.090.037n ----->==≈，所以6n ≥，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C ．8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A.[0,)+∞B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞【答案】B 【解析】【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.【详解】不等式1212122211)())02]()2[(2]([g x x g x g x g x x x x x x ++-->-⇔>--，令22222()()2)2(22)log (2log log xxxxf xg x a x a -=⋅++=+=+，则1212()()0f x f x x x ->-，依题意，1212,(1,2),x x x x ∀∈<，1212()()0f x f x x x ->-，因此函数22()(22)log x x f x a =⋅+在(1,2)上单调递增，令222x x u a =⋅+，而2log y u =在(0,)+∞上单调递增，则函数222x x u a =⋅+在(1,2)上单调递增，且恒有2220x x a ⋅+>令2(2,4)x t =∈，显然函数2x t =在(2,4)上单调递增，因此2v at t =+在(2,4)上单调递增，且(2,4)t ∀∈，20at t +>，当0a >时，2v at t =+在(2,4)上单调递增，当0a =时，v t =在(2,4)上单调递增，且20at t +>恒成立，因此0a ≥；当a<0时，由2v at t =+在(2,4)上单调递增，得142a -≥，解得108a -≤<，由(2,4)t ∀∈，20at t +>，得420a +≥，解得12a ≥-，因此108a -≤<，所以实数a 的取值范围是1[,)8-+∞.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()exf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】A ：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B ：令10x -=，由此确定出所过定点坐标；C ：通过修改量词否定结论可得结果；D ：根据0x >与3x >的互相推出情况进行判断.【详解】对于A ：设()exf x -=-上任意一点()00,P x y ，其关于原点的对称点为(),Q x y ，所以00x x y y=-⎧⎨=-⎩，所以()e x y ---=-，所以e x y =，即Q 为e x y =图象上任意一点，故A 正确；对于B ：令10x -=，所以1x =，此时()011f a ==，所以()f x 过定点()1,1，故B 错误；对于C ：修改量词否定结论可得2:0,10p x x x ⌝∀>-+≥，故C 正确；对于D ：0x >不能推出3x >，但3x >一定能推出0x >，所以0x >是3x >的必要不充分条件，故D 错误；故选：AC .10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=【答案】ABC 【解析】【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得.【详解】对于A ，sin(2024π)sin()sin ααα-=-=-，A 正确；对于B ，tan(2025π)tan(π)tan ααα-=+=，B 正确；对于C ，11πππsin()sin[6π()]sin()cos 222αααα+=--=--=-，C 正确；对于D ，7πππcos()cos[4π()]cos()sin 222αααα-=-+=+=-，D 错误.故选：ABC11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-【答案】ABC 【解析】【分析】把选项中的a 值分别代入函数()f x ，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A ，若1a =-，131,0(),0x x f x x x --+≤⎧=⎨>⎩，()f x 在(0,)+∞上单调递减，故A 正确；对于B ，若0a =，21,0,()1,0,x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，当0x ≤时，()21f x x =-+，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=，则()f x 有最小值1,故B 正确；对于C ，若12a =，1231,0,2(),0,x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩，当0x ≤时，3()12=-+f x x ，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=；当0x >时，12()f x x =，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，()(0)0f x f >=，则()f x 的值域为(0,)+∞，故C 正确；对于D ，若3a =，31,0,(),0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩当0(1,)x ∈+∞时，()3001=>f x x ；当()020,1-∈x 时，()()()300220,1-=-∈f x x ；当(]002,-∈-∞x 时，()(]003,21-=-∞∈-f x x ，即当(]02,0x ∞-∈-时，()(]012,-∈-∞f x ，所以不存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-，故D 错误.故选：ABC12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()f f x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增【答案】AC【解析】【分析】根据奇偶性定义可判断AB ；根据复合函数单调性可判断CD.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()()ff x f f x -=，()()()()()()fg x f g x f g x -=-=，所以()()f f x 和()()f g x 均为偶函数，A 正确，B 错误；又因为()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，()g x 在R 上单调递减，所以，由复合函数的单调性可知，在[)0,∞+上()()g g x 单调递增，()()g f x 单调递减，故C 正确，D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．【答案】4π43+【解析】【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解.【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为,,l r S ，由题意411π2322S lr l ===⨯⨯，解得4π3l =，所以扇形的周长为442π22π433C l r =+=+⨯=+.故答案为：4π43+.14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.【答案】1a ≤【解析】【分析】函数|1|()2x f x -=是由指数2x y =变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得|1|()2x f x -=的单调性，从而解出答案.【详解】因为1112,1()21,12x x x x f x x ---⎧>⎪==⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得()f x 在()1,+∞单调递增，在(],1-∞单调递减.因为函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减所以1a ≤.故答案为：1a ≤.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质可知，(3)(3)f f -=【详解】因为()y f x =是偶函数，所以()()23(3)39333f a a f -=--=-==，解得2a =.故答案为：216.已知()1e x f x x=-的零点为0x ，若000e ln 2x x x m +>，则整数m 的最大值是______.【答案】0【解析】【分析】根据题意分析()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，得到()02000000011e ln x x x x x x x x +=+⋅-=-，通过判断()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的范围即可得到答案.【详解】函数()1e x f x x=-的定义域为()(),00,∞-+∞U ，当0x <时，()0f x >恒成立，不存在零点；当0x >时，()f x单调递增，且1202f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 10f =->，所以()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，即001e x x =，两边同时取对数，即00ln x x =-，即00ln x x =-，所以()020********e ln xx x x x x x x +=+⋅-=-，所以200112m x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，记()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，显然，()h x 单调递减，所以()()112h h x h ⎛⎫<<⎪⎝⎭，所以()708h x <<，所以整数m 的最大值是0.故答案为：0【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断()1e xf x x =-的零点0x 的范围，并通过001e x x =和00ln x x =-代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）17（2）2【解析】【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.（2）运用诱导公式直接化简求值即可.【小问1详解】原式5lg lg 42239lg102212172=+++++=+++=；【小问2详解】原式ππ3113sincos tan πtan π2634224⎛⎫=++-=+-= ⎪⎝⎭.18.已知幂函数()()26m f x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．【答案】（1）()12f x x=（2）{|24}a a <≤【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；（2）利用()f x 的单调性与定义域即可得解.【小问1详解】因为()()26m f x m m x =-是幂函数，所以261m m -=，解得12m =或13m =-，又()f x 在()0,∞+上是增函数，故0m >，12m ∴=，则()12f x x =.【小问2详解】由（1）知()12f x x =在()0,∞+上是增函数，又()()822f a f a -<+，()12f x x =的定义域为[)0,∞+，82282020a a a a -<+⎧⎪∴-≥⎨⎪+≥⎩，解得24a <≤，a ∴的取值范围是{|24}a a <≤．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）换元令2log x t =，结合二次函数的性质求值域；（2）换元令2log x t =，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，根据存在性问题分析求解.【小问1详解】因为()()()2222log log log 2log 142==--x x f x x x ，由对数函数单调性可知，当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈，令2log x t =，[]1,3t ∈，即可得()()()22132=--=-+g t t t t t ，[]1,3t ∈，可知()232g t t t =-+的开口向上，对称轴为32t =，由二次函数性质可知当32t =时，()min 14=-g t ，当3t =时，()max 2=g t ，所以可得当[]2,8x ∈时，函数()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当[]4,16x ∈时，可得[]2log 2,4x ∈，令2log x t =，[]2,4t ∈，可得()()22132--=-+≥t t t t mt ，即232t t mt -+≥在[]2,4t ∈上有解，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，因为函数()23=+-h t t t 在[]2,4t ∈上单调递增，当4t =时，()max 32=h t 所以m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.【答案】（1）1a =（22（31【分析】（1）根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得a .（2）利用诱导公式以及（1）的结论来求得正确答案.（3）利用同角三角函数的基本关系式以及（1）的结论来求得正确答案.【小问1详解】sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根，所以sin cos sin cos a aθθθθ+=⎧⎨=⎩，()2440,0a a a a a ∆=-=-≥≤或4a ≥，由sin cos a θθ+=两边平方得212sin cos 12a a θθ+=+=，2210a a --=，解得a =（舍）或1a =所以1a =【小问2详解】3333cos sin sin cos 22θθθθππ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22sin cos sin sin cos cos θθθθθθ=+-+()(112a a =-=-⨯=.【小问3详解】()11tan tan tan tan θθθθπ--=--22sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθ+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭11a =-=-=.22.已知定义域为R 的函数()122x xb f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）2a =，1b =（2）4(,)3-∞【解析】【分析】（1）根据题意可得()00f =，()()11f f -=-求解即可；（2）由函数单调性可得()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，再将问题转化为2(3)(1)320x x k -+->对任意1x ≥恒成立，再设3x t =，根据二次不等式恒成立问题列式即可.【小问1详解】()f x 在R 上为奇函数，故()00f =，即102b a -=+，解得1b =，故()1122x x f x a+-=+.又()()11f f -=-，∴1112214a a--=-++；解得2a =.故2a =，1b =.【小问2详解】112(21)211()222(21)221x x x x x f x +--++===-++++；x 增大时，21x +增大，121x +减小，()f x 减小；()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递减；()f x 为奇函数，∴由(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>得，(3)(932)x x x f k f ⋅>--；又()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；3932x x x k ∴⋅<--，该不等式对于任意1x ≥恒成立；2(3)(1)320x x k ∴-+->对任意1x ≥恒成立；设3x t =，则2(1)20t k t -+->对于任意3t ≥恒成立；设2()(1)2g t t k t =-+-，△2(1)80k =++>；k ∴应满足：132(3)430k g k +⎧<⎪⎨⎪=->⎩；解得43k <；k ∴的取值范围为4(,3-∞．。
2023-2024学年山东省青岛市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）＝log 2（3﹣x ）的定义域为（ ） A ．（0，3） B ．（﹣∞，2） C ．（﹣∞，3） D ．（﹣∞，3]2．cos210°＝（ ）A ．12B ．−12 C ．√32D ．−√323．已知x ，y 为正实数，则2y x +xy 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√24．人类已进入大数据时代，数据量已从EB （1EB ＝10242TB ）级别跃升到ZB （1ZB ＝1024EB ）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y （单位：EB ）与时间x （单位：年）的关系符合函数y ＝k •a x﹣2021，其中a ＞0，a ≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB ，2023年该地区产生的数据边为1EB ，则2024年该地区产生的数据量为（ ） A ．1.5EBB ．1.75EBC ．2EBD ．2.25EB5．“x ＞4”是“log 3x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件6．当x ∈（0，2π）时，函数f （x ）＝sin x 与g （x ）＝|cos x |的图象所有交点横坐标之和为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．定义在[﹣2，2]上的函数f （x ）＝3|x |﹣1，若f （1﹣x ）＜f （x ），则x 的取值范围为（ ） A ．(−∞，12)B ．(12，+∞)C ．[−1，12)D ．(12，2]8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab10．已知函数f(x)=sin(3x+π)，则（）3，0)是f（x）图象的一个对称中心A．点(−π9B．直线x=π是f（x）图象的一条对称轴18C．f（x）在[0，π9]上单调递增D．f(x+π)=f(x)311．已知函数f(x)=a(1)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）3A．a+b＝0B．f(x)=(1)|x|−13C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{1，2，3}． （1）写出A ∩B 的所有子集；（2）若关于x 的不等式x 2+bx +c ＜0的解集为C ，A ∪C ＝[﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]，求b +c 的值． 18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ．（1）若注射1mL药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL药品，12小时之后又注射amL药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a的最小值．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1，a＞0．x−1（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）＝log2（3﹣x）的定义域为（）A．（0，3）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]解：f（x）＝log2（3﹣x），则3﹣x＞0，解得x＜3，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，3）．故选：C．2．cos210°＝（）A．12B．−12C．√32D．−√32解：cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°=−√32．故选：D．3．已知x，y为正实数，则2yx+xy的最小值为（）A．1B．√2C．2D．2√2解：因为x，y为正实数，所以2yx+xy≥2√2yx⋅xy=2√2，当且仅当2yx=xy，即x=√2y时，2yx+xy的最小值为2√2．故选：D．4．人类已进入大数据时代，数据量已从EB（1EB＝10242TB）级别跃升到ZB（1ZB＝1024EB）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y（单位：EB）与时间x（单位：年）的关系符合函数y＝k•a x﹣2021，其中a＞0，a≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB，2023年该地区产生的数据边为1EB，则2024年该地区产生的数据量为（）A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB解：由题意可得，{0.5=k⋅a 2022−20211=k⋅a2023−2021，解得{a=2k=14，∴y=14×2x−2021，∴当x＝2024时，y=14×22024−2021=14×23=2，即2024年该地区产生的数据量为2EB．故选：C．5．“x＞4”是“log3x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解：∵不等式log3x＞1⇔x＞3，∴当x＞4时，有log3x＞1，充分性成立；当“log3x＞1”时，有x＞3，不能推出“x＞4”，必要性不成立，因此，“x＞4”是“log3x＞1”的充分不必要条件．故选：A．6．当x∈（0，2π）时，函数f（x）＝sin x与g（x）＝|cos x|的图象所有交点横坐标之和为（）A．πB．2πC．3πD．4π解：由f（x）＝g（x），可得sin x＝|cos x|，显然π2，π，3π2不是图象的交点的横坐标，当0＜x＜π2时，由题意得sin x＝cos x，则x=π4，当π2＜x＜π时，sin x＞0，cos x＜0，由题意得sin x＝cos x，x=3π4，当π＜x＜3π2时，由题意得sin x＝﹣cos x，x不存在，当3π2＜x＜2π时，由题意得sin x＝cos x，此时x不存在，故π4+3π4=π．故选：A．7．定义在[﹣2，2]上的函数f（x）＝3|x|﹣1，若f（1﹣x）＜f（x），则x的取值范围为（）A．(−∞，12)B．(12，+∞)C．[−1，12)D．(12，2]解：根据题意，函数f（x）＝3|x|﹣1，其定义域为[﹣2，2]，有f（﹣x）＝3|﹣x|﹣1＝3|x|﹣1＝f（x），f（x）为偶函数，在区间[0，2]上，f（x）＝3x﹣1，易得f（x）在[0，2]上为增函数，若f（1﹣x）＜f（x），则有|1﹣x|＜|x|≤2，解可得：12＜x≤2，即x 的取值范围为（12，2]．故选：D ．8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17解：根据题意，若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则其否定“∀x ∈（0，m ），都有x ≤5lg303lg0.5“”为真命题，则有m ≤5lg303lg0.5，由于m ＞0，且5lg303lg0.5＞0，两边同时取对数可得：lgm ≤lg 5lg303lg0.5=lg 5lg 30﹣lg 3lg 0.5＝lg 30lg 5﹣lg 0.5lg 3＝lg 30lg 5+lg 2lg 3＝（lg 3+1）（1﹣lg 2）+lg 2lg 3＝lg 15，即lgm ≤lg 15，必有m ≤15，即m 的最大值为15． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab解：对于A ，当c ＜0时，ac ＞0，bc ＜0，故A 错误； a ＜b ，﹣c ＝﹣c ，故a ﹣c ＜b ﹣c ，故B 正确； a ＜0，b ＞0，则1a ＜0，1b＞0，故C 错误；a ＜0，b ＞0，则a ﹣b ＜0，a 2﹣ab ＝a （a ﹣b ）＞0，即a 2＞ab ，故D 正确． 故选：BD ．10．已知函数f(x)=sin(3x +π3)，则（ ）A ．点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心B ．直线x =π18是f （x ）图象的一条对称轴 C ．f （x ）在[0，π9]上单调递增D ．f(x +π3)=f(x)解：对于函数f(x)=sin(3x +π3)，令x =−π9，求得f （x ）＝0，可得点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心，故A正确．令x=π18，求得f（x）＝1，为最大值，可得直线x=π18是f（x）图象的一条对称轴，故B正确．在[0，π9]上，3x+π3∈[π3，2π3]，函数f（x）不单调，故C错误．由于f（x+π3）＝sin（3x+π+π3）＝﹣sin（3x+π3）＝﹣f（x），故D错误．故选：AB．11．已知函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）A．a+b＝0B．f(x)=(13)|x|−1C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增解：因为函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，所以a(13)0+b=0⇒a+b=0，A项正确；又因为f（x）图象无限接近直线y＝1，所以b＝1，从而a＝﹣1，所以f(x)=−(13)|x|+1，B项错误；C项，f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，正确；D项，x＞0，f(x)=−(13)x+1在[0，+∞）上单调递增，偶函数的图象关于y轴对称，则在（﹣∞，0]上单调递减，错误．故选：AC．12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，设f（x）＝sin（2πx）+x，满足f（x﹣1）＜f（x），但f（x）在R上不是增函数，A错误；对于B，当x1＝﹣x2＝m时，有|f（m）﹣f（﹣m）|≤|cos m﹣cos（﹣m）|＝0，必有f（m）＝f（﹣m），故f（x）为偶函数，B正确；对于C，当x1＝x2+2π时，有|f（x2+2π）﹣f（x2）|＝|cos（x2+2π）﹣cos x2|＝0，必有f（x2+2π）＝f（x2），故f（x）是周期为2π的周期函数；对于D，∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，设x1＜x2，则cos x1＞cos x2，则有|f（x1）﹣f（x2）|＜cos x1﹣cos x2，即cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2）＜cos x1﹣cos x2，对于cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2），变形可得f（x1）+cos x1＞f（x2）+cos x2，故函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．解：因为y＝a x恒过定点（0，1），而y＝a x+1是由y＝a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式f（x）＝lgx；（答案不唯一）．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．解：当f（x）＝lgx时，对于①：因为x＞0，所以f（x）的定义域为（0，+∞），满足①；对于②：对∀x1，x2∈（0，+∞），有f（x1x2）＝lgx1x2＝lgx1+lgx2＝f（x1）+f（x2），满足②；对于③：当x∈（1，+∞）时，由函数f（x）＝lgx在x∈（0，+∞）上单调递增，可得lgx＞lg1＝0，即f（x）＞0成立．满足③．故答案为：lgx（答案不唯一）．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为3π8．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=π2，AC＝1，∴∠ABC＝∠C'BA'=π4，AB=√2，∴∠ABC'=π2，∴∠CBC′=π4+π2=3π4，∠A'BA=π4+π2=3π4，∴图中阴影部分的面积S＝S△ABC+S扇形BAA'﹣S扇形BCC'﹣S△A'BC'＝S扇形BAA'﹣S扇形BCC'=12×3π4×AB2−1 2×3π4×BC2=3π8×2−3π8=3π8．故答案为：3π8．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为π．解：因为f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6，又因为f(x)=sinx+√3且﹣1≤sin x≤1，所以√3−1≤f（x）≤√3+1，所以√3+1≤f（x1）+2≤√3+3，√3−3≤f（x2）﹣2≤√3−1，显然f（x1）+2＞0，f（x2）﹣2＜0，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]∈[（√3−3）（√3+3），（√3−1）（√3+1）]，即f（x1）f（x2）∈[﹣6，2]，当且仅当f（x1）+2=√3+3，f（x2）﹣2=√3−3时，[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6成立，所以sin x1＝1，sin x2＝﹣1，所以x1＝2k1π+π2，k1∈Z，x2＝2k2π−π2，k2∈Z，所以|x1﹣x2|＝|2（k1﹣k2）π+π|，k1∈Z，k2∈Z，当且仅当k1﹣k2＝1或k1＝k2时（k1∈Z，k2∈Z），|x1﹣x2|有最小值，且|x1﹣x2|min＝π，故答案为：π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{1，2，3}．（1）写出A∩B的所有子集；（2）若关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为C，A∪C＝[﹣1，3），A∩C＝（1，2]，求b+c的值．解：（1）因为x2﹣x﹣2≤0，所以（x+1）（x﹣2）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以A＝[﹣1，2]，所以A∩B＝{1，2}．所以A ∩B 的所有子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}； （2）因为A ∪C ＝（﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]， 所以C ＝（1，3），由题意得1和3是方程x 2+bx +c ＝0的两根， 所以1+3＝﹣b ，1×3＝c ， 所以b +c ＝﹣1．18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．解：（1）角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)，且由图象可得t =45，则由三角函数的定义知：cosα=35，sinα=45，tanα=43．（2）∵sin(π−α)=sinα=45，sin(π2−α)=cosα=35，cos(π2+α)=−sinα=−45，∴sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)=45+35−45=−74．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．解：（1）由题知T =2πω=2，所以ω＝π． 又因为f(16)=sin(π6+φ)=0，所以{φ=kπ−π6，k ∈Z −π2＜φ＜π2，解得φ=−π6，所以f(x)=sin(πx −π6)．（2）因为f(x)=sin(πx −π6)，x ∈[0，m ]，令t =πx −π6∈[−π6，πm −π6]，因为y ＝sin t 在[−π6，πm −π6]上的最小值为−12，所以πm −π6≤7π6，解得m ≤43， 所以m 的取值范围是(0，43]．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．解：（1）（i ）由题知：f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝2（sin x +cos x ）， 所以g 2(x)4−1=(sinx +cosx)2−1=sin 2x +cos 2x +2sinxcosx −1=2sin x cos x ＝2f （x ）．（ii ）由（sin x +cos x ）2﹣1＝2sin x cos x ≤sin 2x +cos 2x ＝1，当且仅当sin x ＝cos x 时，即x =π4时取等号，所以sin x +cos x ≤√2，即g （x ）的最大值为2√2；（2）因为S AMNW ＝BE •DF ＝（a ﹣cos x ）（a ﹣sin x ）＝a 2﹣a （sin x +cos x ）+sin x cos x ， 令t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），因为0＜x ＜π4，所以π4＜x +π4＜π2，所以√22＜sin(x +π4)＜1，所以t =sinx +cosx ∈(1，√2]， 所以sinxcosx =(sinx+cosx)2−12=t 2−12，令S AMNW=ℎ(t)=a 2−at +t 2−12=t 22−at +a 2−12，若1＜a ＜√2，则h （t ）在（1，a ）上单调递减，在(a ，√2)上单调递增， 所以ℎ(t)≥ℎ(a)=a 2−12． 若a ≥√2，则h （t ）在(1，√2]上单调递减，所以ℎ(t)≥ℎ(√2)=a 2−√2a +12，综上，当1＜a ＜√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−12；当a ≥√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−√2a +12．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ． （1）若注射1mL 药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL 药品，12小时之后又注射amL 药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a 的最小值．解：（1）注射1ml 该药品，其浓度为y ={168−x −2，0≤x ≤69−x2，6＜x ≤18， 当0≤x ≤6时，由2≤168−x−2可得，4≤x ≤6， 当6＜x ≤18时，由2≤9−x2可得，6＜x ≤14，所以一次注射1ml 该药品，则药物有效时间可达14﹣4＝10小时； （2）设从第一次注射起，经x （12≤x ≤18）小时后，其浓度g(x)=9−x 2+a[168−(x−12)−2]=20−x 2+16a20−x−2a −1，因为20﹣x ∈[2，8]，a ＞0， 当a ∈[18，2]时，因为20−x 2+16a 20−x−2a −1≥2√(20−x)2⋅16a (20−x)−2a −1=4√2a −2a −1，当20−x 2=16a 20−x时，即x =20−4√2a ∈[12，18]时，等号成立，所以{4√2a−2a−1≥218≤a≤2，解得0.5≤a≤2，当a=18时，g(x)=20−x2+220−x−54，g(18)=34＜2，所以a∈(0，18)不能保证持续有效，综上所述，a的取值范围为[0.5，2]，即要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1x−1，a＞0．（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．解：（1）由f(x)=alnx−x+1x−1可知，f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．∵f(x)=alnx−x+1x−1=alnx−x−1+2x−1=alnx−2x−1−1，∴f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增．对∀x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∵f(x1)−f(x2)=a(lnx1−lnx2)+(2x2−1−2x1−1)=a(lnx1−lnx2)+2(x1−x2)(x2−1)(x1−1)．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（0，1）上单调递增，同理对∀x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增．（2）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(1e)=aln1e−1e+11e−1=−alne−e+1e1−ee=−(alne−e+1e−1)=−f(e)=0．∴不等式的解集为(1e，1)∪(e，+∞)．（3）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(e 1a)=−2e1a−1＜0，且e1a∈(1，+∞)，取p满足{p＞e2ap＞3，则f(p)=alnp−1−2p−1＞aln(e2a)−1−23−1=0，∴f（x）在（1，+∞）上有唯一零点n，又∵f(e−1a)=21−e−1a−2＞0，且e−1a∈(0，1)，取q满足{q＜e−2aq＜13，则f(q)=alnq−1+21−q＜aln(e−2a)−1+21−13=0，∴f（x）在（0，1）上有唯一零点m．∵f（m）＝0，又f(1m)=aln1m−1m+11m−1=−(alnm−m+1m−1)=−f(m)=0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，且1m，n∈（1，+∞）．∴1m=n，∴mn＝1，∴m+n＞2√mn=2．。
2023-2024学年北京市通州区高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市通州区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |﹣2＜x ≤1}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≤﹣2或x ＞1}D ．{x |x ＜﹣2或x ≥1}2．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y =√x +1B ．y ＝（x ﹣1）2C ．y ＝2﹣xD ．f （x ）＝﹣lnx3．若a ，b ，c ∈R 且a ＞b ，则（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．(12)a ＞(12)bC ．a 3＞b 3D ．|a |＞|b |4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数f （x ）＝e lnx 的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lne xC ．y =√x 2D ．y =1√x5．已知a ＝20.3，b ＝log 0.32，c ＝0.50.3，则（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b6．已知函数f （x ）＝log 2x +2x ﹣3，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7．若函数f （x ）＝cos （2x +φ）是奇函数，则φ可取一个值为（ ） A ．﹣πB ．−π2C ．π4D ．2π8．设x ∈R ，则“cos x ＝0”是“sin x ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣标准对数视力表发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分．图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15…．已知标准4.0对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝K +lgV （K 为常数）．某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（ ）（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）A ．4.8B ．4.9C ．5.0D ．5.110．设函数f （x ）＝2x ，g （x ）＝x 2，m （x ）＝log a x （a ＞1），n （x ）＝kx （k ＞0），则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）和g （x ）的图象有且只有两个公共点B ．∃x 0∈R ，当x ＞x 0时，使得f （x ）＜g （x ）恒成立C ．∃x 0∈（0，+∞），使得f （x 0）＜m （x 0）成立D ．当ak ≤1时，方程m （x ）＝n （x ）有解 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
贵州省铜仁市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学含答案
铜仁市2023-2024学年第一学期期末质量监测试卷高一数学（答案在最后）本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}1,1,0,1A x x B =>-=-，则A B = （）A.[]0,1 B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.()1,-+∞2.cos300︒=（）A.12B.32C.12-D.3.命题[]2:1,4,340p x x x ∀∈---≤，则p ⌝为（）A.[]21,4,340x x x ∀∈---> B.[]21,4,340x x x ∃∈---≤C.[]21,4,340x x x ∃∈---> D.()()2,14,,340x x x ∀∈-∞-+∞--> 4.已知0.5333,log 0.5,log 0.9a b c ===，则它们的大小关系为（）A.a c b<< B.b a c<< C.a b c<< D.b<c<a5.已知幂函数()y f x =的图象过点2,2⎛⎫⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()f x =B.()f x 的定义域是(),-∞+∞C.()f x 在()0,∞+上为减函数D.()f x 为奇函数6.设函数()21ln f x x x=-，则使得()()23f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A.()3,-+∞ B.()(),31,-∞-⋃+∞ C.()3,1- D.(),3-∞-7.设函数()sin f x x ω=，若函数()()1g x f x =-在[]0,π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是（）A.913,22⎛⎫⎪⎝⎭B.913,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1317,22⎛⎫⎪⎝⎭ D.1317,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.当()1,1x ∈-时，不等式23208kx kx --<恒成立，则k 的取值范围是（）A.()3,0- B.[)3,0- C.13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,8⎛⎤- ⎥⎝⎦二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列函数为偶函数的是（）A.()4cos f x x x=+ B.()5sin f x x a x=+C.()21f x x x =+ D.()22f x x x =++10.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.14ab ≤B.22log log 2a b +≤-C.221a b +≥ D.22a b +≥11.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数()cos (0,0,π)y A x b A ωϕωϕ=++>><，则（）A.π8ω= B.20A =C.π4ϕ=D.这段曲线的解析式是ππ20cos 1084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭12.已知函数()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩设()f x k =的实数解个数为t ，则（）A.当1t =时，(],4k ∈-∞-B.当2t =时，()3,k ∞∈-+C.当3t =时，(]43k ,∈-- D.函数()f x 的值域为R三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()4cos 455α-︒=，则()sin 45α︒+=________．14.函数2(0)24xy x x x =>-+的最大值为________．15.将函数π2cos(2)3y x =+的图象向右平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式是________．16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，函数32()6f x x x =-图象的对称中心为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}15A x x =≤≤，集合{}12B x m x m =+≤≤-．（1）若1m =-，求R A B ⋃ð；（2）若集合,A B 满足条件：①A B B ⋃=；②A B A = ；③x A ∈是x B ∈的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数m 的取值范围．18.（1）计算132ln372log e 9-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为3%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）．19.（1）计算)tan 70cos10201︒︒︒-．（2）已知()111cos ,cos 714ααβ=+=-，且π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求β的值．20.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值．21.已知()22xxf x b -=+⋅是奇函数，()()lne1xg x ax =+-是偶函数．（1）求,a b 的值；（2）若不等式()()()f g x f m x >-恒成立，求[)0,x ∈+∞时实数m 的取值范围．22.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()112,22f x y f x y f x f y f ⎛⎫++-== ⎪⎝⎭（1）求()0f 的值，并证明函数()f x 是偶函数；（2）判断函数()f x 是否为周期函数并说明理由，求出()()20242024f f -+的值铜仁市2023-2024学年第一学期期末质量监测试卷高一数学本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}1,1,0,1A x x B =>-=-，则A B = （）A.[]0,1 B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合{}{}1,1,0,1A x x B =>-=-，所以{}0,1A B = ，故选：B.2.cos300︒=（）A.12B.32C.12-D.【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.【详解】1cos300cos(36060)cos 602︒=︒-︒=︒=.故选：A3.命题[]2:1,4,340p x x x ∀∈---≤，则p ⌝为（）A.[]21,4,340x x x ∀∈---> B.[]21,4,340x x x ∃∈---≤C.[]21,4,340x x x ∃∈---> D.()()2,14,,340x x x ∀∈-∞-+∞--> 【答案】C 【解析】【分析】根据含有一个量词的否定即可得到答案.【详解】因为命题[]2:1,4,340p x x x ∀∈---≤，所以根据含有一个量词的否定可知[]2:1,4,340p x x x ⌝∃∈--->，故选：C.4.已知0.5333,log 0.5,log 0.9a b c ===，则它们的大小关系为（）A.a c b <<B.b a c <<C.a b c<< D.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及指数、对数运算判定大小即可.【详解】易知3log y x =在定义域()0,∞+上单调递增，故b c <，又3x y =也在定义域R 单调递增，所以0.5033331log 3log 0.9a c =>==>=，所以<<b c a .故选：D5.已知幂函数()y f x =的图象过点22,2⎛⎫⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()f x =B.()f x 的定义域是(),-∞+∞C.()f x 在()0,∞+上为减函数D.()f x 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质.【详解】设幂函数()f x x α=，由()2222f α==，解得12α=-，由()12f x x-==A 选项错误；()f x 的定义域是()0,∞+，B 选项错误；()f x 在()0,∞+上为减函数，C 选项正确；由定义域可知，函数()f x 为非奇非偶，D 选项错误.故选：C6.设函数()21ln f x x x=-，则使得()()23f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A.()3,-+∞ B.()(),31,-∞-⋃+∞ C.()3,1- D.(),3-∞-【答案】B 【解析】【分析】分析函数性质，得()f x 为偶函数且在()0,∞+上单调递增，不等式等价于23x x >-，解出即可.【详解】函数()21ln f x x x =-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()()2211ln ln f x x x f x xx -=--=-=-，函数为偶函数，当0x >时，()21ln f x x x =-，由函数ln y x =和21y x =-在()0,∞+上都单调递增，得()f x 在()0,∞+上单调递增，则()f x 在(),0∞-上单调递减，由()()23f x f x >-，得23x x >-，即()()2223x x >-，解得3x <-或1x >，所以x 的取值范围是()(),31,-∞-⋃+∞.故选：B7.设函数()sin f x x ω=，若函数()()1g x f x =-在[]0,π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是（）A.913,22⎛⎫⎪⎝⎭B.913,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1317,22⎛⎫⎪⎝⎭D.1317,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用正弦函数的图象与性质计算即可.【详解】由题意可知()()10g x f x =-=，即sin 1x ω=在[]0,π上恰有3个解，因为[][]0,π0,πx x ωω∈⇒∈，所以由正弦函数的图象与性质可知：9π13π913π,,2222ωω⎡⎫⎡⎫∈⇒∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：B8.当()1,1x ∈-时，不等式23208kx kx --<恒成立，则k 的取值范围是（）A.()3,0- B.[)3,0- C.13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,8⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【详解】当()1,1x ∈-时，不等式23208kx kx --<恒成立，当0k =时，满足不等式恒成立；当0k ≠时，令()2328f x kx kx =--，则()0f x <在()1,1-上恒成立，函数()f x 的图像抛物线对称轴为14x =，0k >时，()f x 在11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则有()()3120831208f k k f k k ⎧-=+-≤⎪⎪⎨⎪=--≤⎪⎩，解得108k <≤；0k <时，()f x 在11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则有123041648k k f ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得30k -<<.综上可知，k 的取值范围是13,8⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：D.【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列函数为偶函数的是（）A.()4cos f x x x=+ B.()5sin f x x a x=+C.()21f x x x=+ D.()22f x x x =++【答案】AD 【解析】【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可.【详解】对于A 选项，()4cos f x x x =+定义域为R ，关于原点对称，()()()44cos cos f x x x x x -=-+-=+，所以()f x 为偶函数，故A 正确；对于B 选项，()5sin f x x a x =+定义域为R ，关于原点对称，()()()()55sin sin f x x a x x a x f x -=-+-=--=-，所以()f x 为奇函数，故B 错误；对于C 选项，()21f x x x =+定义域为()(),00,∞∞-⋃+，关于原点对称，()()()2211f x x x x x -=+-=--，所以()f x 为非奇非偶函数，故C 错误；对于D 选项，()22f x x x =++定义域为R ，关于原点对称，()()()2222f x x x x x f x -=-+-+=++=，所以()f x 为偶函数，故D 正确，故选：AD.10.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.14ab ≤B.22log log 2a b +≤-C.221a b +≥D.22a b +≥【答案】ABD 【解析】【分析】由基本不等式求各选项是否正确.【详解】已知0,0a b >>，且1a b +=，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==等号成立，A 选项正确；22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==等号成立，B 选项正确；()()22222122a b a b ab a b =+=++≤+，2212a b +≥，当且仅当12a b ==等号成立，C 选项错误；22ab+≥=22a b=，即12a b ==等号成立，D 选项正确；故选：ABD11.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数()cos (0,0,π)y A x b A ωϕωϕ=++>><，则（）A.π8ω= B.20A =C.π4ϕ=D.这段曲线的解析式是ππ20cos 1084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】由最值求出,A b ，由周期求出ω，由曲线上的点求出ϕ，验证各选项即可.【详解】依题意有3010A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得10,20A b ==，B 选项错误；函数最小正周期()2π214616T ω=-==，得π8ω=，A 选项正确；6x =时，π10cos 620108ϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，则3πcos 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得()3ππ2πZ 4k k ϕ+=+∈，由π<ϕ，得π4ϕ=，C 选项正确；所以这段曲线的解析式是ππ10cos 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC12.已知函数()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩设()f x k =的实数解个数为t ，则（）A.当1t =时，(],4k ∈-∞-B.当2t =时，()3,k ∞∈-+C.当3t =时，(]43k ,∈--D.函数()f x 的值域为R【答案】CD 【解析】【分析】利用函数图像，得到函数值域，由()f x k =实数解的个数，判断k 的取值范围.【详解】利用二次函数和对数函数的图像和性质，作出()f x 的函数图像，如图所示，()14f -=-，()03f =-，由函数图像可知，当1t =时，(),4k ∈-∞-，A 选项错误；当2t =时，(){}3,4k ∞∈-+- ，B 选项错误；当3t =时，(]43k ,∈--，C 选项正确；函数()f x 的值域为R ，D 选项正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：方程的根或函数零点个数的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()4cos 455α-︒=，则()sin 45α︒+=________．【答案】45##0.8【解析】【分析】根据()()454590αα︒+--︒=︒，()()()sin 45sin 9045cos 45ααα⎡⎤︒+=︒+-︒=-︒⎣⎦求解即可.【详解】因为()4cos 455α-︒=，()()454590αα︒+--︒=︒，所以()()()4sin 45sin 9045cos 455ααα⎡⎤︒+=︒+-︒=-︒=⎣⎦，故答案为：45.14.函数2(0)24xy x x x =>-+的最大值为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用基本不等式，求出0x >时，224x x x-+的最小值，可得函数2(0)24x y x x x =>-+的最大值.【详解】0x >时，2244222x x x x x -+=-+≥-+=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，则有21242x x x ≤-+，所以当2x =时，函数2(0)24x y x x x =>-+的最大值为12.故答案为：1215.将函数π2cos(2)3y x =+的图象向右平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式是________．【答案】π()2cos(6g x x =-（答案不唯一，如()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭）【解析】【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式.【详解】将函数π2cos(2)3y x =+的图象向右平移π4个单位，得函数πππ2cos[2(]2cos(2)436y x x =-+=-的图象，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得π2cos()6y x =-的图象，所以函数()g x 的解析式是π()2cos()6g x x =-.故答案为：π()2cos()6g x x =-16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，函数32()6f x x x =-图象的对称中心为______.【答案】()2,16-【解析】【分析】首先设32()6f x x x =-的对称中心为(,)a b ，根据函数()y f x a b =+-为奇函数可得()()f x a b f x a b -+-=-++，构造方程组即可解得2,16a b ==-.【详解】根据题意，设32()6f x x x =-的对称中心为(,)a b ，则由函数()y f x a b =+-为奇函数可得()()f x a b f x a b -+-=-++，变形可得()()2f x a f x a b -+++=，即()()()()3232662x a x a x a x a b -+--+++-+=；整理可得()2326122122a x a a b -+-=，所以3261202122a a a b -=⎧⎨-=⎩；解得2,16a b ==-，所以其对称中心为()2,16-.故答案为：()2,16-四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}15A x x =≤≤，集合{}12B x m x m =+≤≤-．（1）若1m =-，求R A B ⋃ð；（2）若集合,A B 满足条件：①A B B ⋃=；②A B A = ；③x A ∈是x B ∈的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{R 0A B x x ⋃=<ð或}1x ≥（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由补集和并集的定义直接求解；（2）由所选条件，得两个集合的包含关系，列不等式求实数m 的取值范围．【小问1详解】由1m =-，得{}03B x x =≤≤，则{R 0B x x =<ð或}3x >，所以{R 0A B x x ⋃=<ð或}1x ≥．【小问2详解】选择①因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，则有1125m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，所以实数m 的取值范围为(],3-∞-.选择②因为A B A = ，所以A B ⊆，则有1125m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，所以实数m 的取值范围为(],3-∞-.选择③因为x A ∈是x B ∈的必要条件，所以B A ⊆，当B =∅时，有12m m +>-，解得12m >，此时符合B A ⊆；当B ≠∅时，由B A ⊆，有1125m m ≤+≤-≤，解得102m ≤≤所以实数m 的取值范围为[)0,∞+18.（1）计算132ln372log e 9-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为3%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）．【答案】（1）245；（2）9【解析】【分析】（1）由指数式和对数式的运算规则化简计算．（2）由题意列指数不等式，利用两边取对数的方法，结合对数式的运算规则求解.【详解】（1）11311322ln3ln3332725511242log e 5log 2e 3993535--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭.（2）设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则32110031000n ⎛⎫⨯≤⎪⎝⎭，即21330n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以2lglg303n ≤-，即()()lg2lg31lg3n -≤-+，即1lg3 1.4778.4lg3lg20.176n +≥≈≈-，所以使产品达到市场要求的过滤的最少次数为9次．19.（1）计算)tan 70cos10201︒︒︒-．（2）已知()111cos ,cos 714ααβ=+=-，且π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求β的值．【答案】（1）1-；（2）π3【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系和辅助角公式化简求值；（2）()βαβα=+-，利用同角三角函数的关系和两角差的余弦公式求值.【详解】（1）)sin 7020tan 70cos10tan 201cos101cos 70cos 20⎛⎫︒︒︒︒︒-=⨯︒- ⎪ ⎪︒︒⎝⎭sin 7020cos 20cos10cos 70cos 20⎛⎫︒︒-︒=⨯︒ ⎪ ⎪︒︒⎝⎭1220cos 202cos 20cos10sin 20cos 20⎛⎫⎫︒-︒ ⎪⎪︒ ⎪⎝⎭=⨯︒ ⎪︒ ⎪ ⎪⎝⎭2cos10sin101sin 20︒︒=-=-︒；（2）因为()π111,0,,cos ,cos 2714αβααβ⎡⎤∈=+=-⎢⎥⎣⎦，所以π,π2αβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以43sin 7α==，()sin 14αβ+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦11111471472⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，又因为π0,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3β=．20.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值．【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）最大值是12，最小值是1-【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由公式计算最小正周期及单调递减区间；（2）由函数定义区间，利用正弦函数的图像和性质，求出值域.【小问1详解】()21πsin cos sin2sin 22223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==．由()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z ，得：()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．【小问2详解】由ππ44x -≤≤，得5πππ2636x -≤-≤，则π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是12，最小值是1-．21.已知()22xxf x b -=+⋅是奇函数，()()ln e 1xg x ax =+-是偶函数．（1）求,a b 的值；（2）若不等式()()()f g x f m x >-恒成立，求[)0,x ∈+∞时实数m 的取值范围．【答案】（1）12a =，1b =-（2）(),ln2-∞【解析】【分析】（1）由函数的奇偶性，求,a b 的值；（2）利用函数的单调性解不等式.【小问1详解】因为()22xxf x b -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x =--，()2222x x x x b b --+⋅=-+⋅，()()1220x x b -++=，所以1b =-．因为()()ln e 1xg x ax =+-是偶函数，所以()()g x g x =-，即：()()ln e 1ln e 1xxax ax -+-=++，得()e 1ln e 1ln 2e x xxax ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以lne 2x ax =，得2x ax =，解得12a =.【小问2详解】由（1）知()22xxf x -=-，因为2x y =为增函数，2xy -=为减函数，所以()f x 在R 上单调递增，不等式()()()f g x f m x >-恒成立，只需()g x m x >-，即：()1ln e 12xx m x +->-，所以()1ln e 12xm x <++，因为函数1e 1,ln ,2xy y x y x =+==在定义域内都单调递增，所以()1ln e 12xy x =++在[)0,∞+上单调递增，所以()1ln e 1ln22xx ++≥，所以ln2m <，即实数m 的取值范围为(),ln2∞-．【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中，函数不等式问题，运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用，对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.22.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()112,22f x y f x y f x f y f ⎛⎫++-== ⎪⎝⎭（1）求()0f 的值，并证明函数()f x 是偶函数；（2）判断函数()f x 是否为周期函数并说明理由，求出()()20242024f f -+的值【答案】（1）1，证明见解析（2）()f x 是周期函数，理由见解析，()()202420241f f -+=-【解析】【分析】（1）令1,02x y ==，可求()0f 的值；令0x =，得()()f y f y =-可证明函数()f x 是偶函数；（2）令12y =，有()1122f x f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过代换，有()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，可证明周期并求值.【小问1详解】令1,02x y ==，则()11120222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()01f =．令0x =，则()()()()20f y f y f f y +-=，因为()01f =，所以()()f y f y =-，即：()()=f x f x -，所以函数()f x 是偶函数．【小问2详解】()f x 是周期函数，理由如下．令12y =，则()1112222f x f x ff x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：()1122f x f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()112f x f x f x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，所以()112f x f x ⎛⎫+=--⎪⎝⎭，所以()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+=⎪⎝⎭，所以函数()f x 是周期为3的周期函数．所以()()()()20246743221f f f f =⨯+==-，因为()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，令12x y ==，得()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()112f =-，因为()f x 为偶函数，所以()()()()()202420242202421211f f f f f -+==-==-．【点睛】方法点睛：探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联，寻找并运用函数的周期性与奇偶性单调性，还有数形结合，先猜后证等等.。
2024年广东省深圳市高级中学高一上学期期末数学试题及答案
2023-2024学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ={x|0≤x ≤6,x ∈N}，A ={2,3,6}，B ={2,4,5}，则A ∩(∁U B)=( )A. {2,3,4,5,6}B. {3,6}C. {2}D. {4,5}2.“a <1”是“∃x ∈R ，x 2−x +a <0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知sin (α−π12)=14，则cos (2α+5π6)=( )A. 158 B. − 158 C. 78 D. −784.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的1.013650.99365≈1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过天.(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010)( )A. 9B. 15C. 25D. 355.设函数f(x)=2(x−1)2x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =( )A. 0B. 1C. 2D. 46.将函数y =sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到f(x)的图象，若函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增，且f(x)的最大负零点在区间(−5π12,−π6)上，则φ的取值范围是( )A. (π6,π4]B. (π12,π4]C. (π6,π2)D. (π12,π2)7.设a =log 0.20.3，b =log 23，c =log 34，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. c >b >aC. b >a >cD. b >c >a8.定义域为R 的函数f(x)=lg |x−2|,x ≠21,x =2，若关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c =0恰有5个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则f(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)等于( )A. 1B. 2lg2C. 3lg2D. 0二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023-2024学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．1146．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tan θ+2sin θcos θ的值为（ ） A ．−3310B ．−185C ．−95D ．1257．已知a ＞1，b ＞0，且a +1b =2，则4a−1+b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．已知函数f(x)=√x +2+1ax+1(a ∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x 都有f （x ）＞0，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 ．（写出一个即可）15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 ．16．已知下列五个函数：y ＝x ，y =1x，y ＝x 2，y ＝lnx ，y ＝e x ，从中选出两个函数分别记为f （x ）和g （x ），若F （x ）＝f （x ）+g （x ）的图象如图所示，则F （x ）＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A ={x|y =√−2x 2+x +1}，集合B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． （1）当a ＝1时，求∁R （A ∪B ）； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的值．18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值；（2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)．（Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x −5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ．（1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2mb]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅解：集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}＝{x ∈Z |0＜x ＜3}＝{1，2}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝{2}． 故选：A ．2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当ab ＞2时，可能a 、b 都小于−√2，不能推出“a ＞√2且b ＞√2”，充分性不成立； 当a ＞√2且b ＞√2时，必定可以得到ab ＞2，充要性成立． 故选：B ． 3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）解：由函数f(x)=lnx +1x−1，可得x ＞0，且x ≠1， 故函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}，即（0，1）∪（1，+∞）． 故选：C ．4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解：将函数y ＝2sin （2x +1）的图象向右平移12个单位，可得y ＝2sin2x 的图象，故选：D ．5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．114解：当x ＜0时，f （﹣x ）＞0，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，故f（x）＝3﹣2﹣x，所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．故选：B．6．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tanθ+2sinθcosθ的值为（）A．−3310B．−185C．−95D．125解：由sinθ+cosθ=√105（0＜θ＜π），可得θ为钝角，且|sinθ|＞cosθ，故tanθ＜﹣1，把条件平方可得sinθcosθ=−3 10，∴sinθcosθsin2θ+cos2θ=−310，tanθtan2θ+1=−310，即得tanθ＝﹣3，所有tanθ+2sinθcosθ＝﹣3−35=−185．故选：B．7．已知a＞1，b＞0，且a+1b =2，则4a−1+b的最小值为（）A．4B．6C．8D．9解：由a+1b=2，得(a−1)+1b=1，其中a﹣1＞0，b＞0．所以4a−1+b=[(a−1)+1b](4a−1+b)=5+4b(a−1)+b(a−1)≥5+2√4=9，当且仅当b（a﹣1）＝2，即a=53，b=3时，等号成立．综上所述，4a−1+b的最小值为9．故选：D．8．已知函数f(x)=√x+2+1ax+1(a∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（）A．0B．12C．1D．2解：若a＝0，则f（x）=√x+2+1＞0恒成立，符合题意；若a＞0，①当1a=−2，即a=12时，f（x）=√2+x+2x+2，定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；②当−1a ＜−2，即0＜a ＜12时，定义域为[﹣2，+∞），则ax +1≥﹣2a +1＞0，此时f （x ）＞0恒成立，符合题意； ③当−1a ＞−2，即a ＞12时，定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，则取x ＝﹣t −1a ，则f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at，令0＜t ≤2−1a ，当t →0时，−1at →﹣∞，f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at 可以取得负值，不符合题意；若a ＜0，则函数定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，令x =−1a +t ，则f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at，当t ＞0且t →0时，1at→﹣∞，f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at 可以取得负值，不符合题意，综上，0＜a ≤12，即a 的最大值为12．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°解：对于A ：sin(−930°)=−sin(720°+210°)=sin30°=12，故A 正确；对于B ：2sinπ12sin 5π12=2sin π12sin(π2−π12)=2sin π12cos π12=sin π6=12，故B 正确； 对于C ：cos33°cos27°+sin33°sin27°＝cos （33°﹣27°）＝cos6°，故C 错误； 对于D ：tan22.5°1−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，故D 正确． 故选：ABD ．10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =0解：根据幂函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）＝（x ﹣1）3在R 上单调递增且f （x ）的值域为R ，A 符合题意；根据指数函数的性质可知，f （x ）＝2023x 的值域为（0，+∞），不符合题意；根据对数函数的性质可知，f （x ）＝log 2023x 在（0，+∞）上单调递增且值域为R ，符合题意； f （x ）={−1x ，x ≠00，x =0在R 上不单调，不符合题意．故选：AC ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}解：根据题意，依次分析选项：对于A ，[cos π4]＝[√22]＝0，A 正确；对于B ，当x ＝k π+π2，k ∈Z 时，cos x ＝0时，有cos x ﹣[cos x ]＝0，即x ＝k π+π2，k ∈Z 是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点，同理：x ＝k π，k ∈Z 也是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点， 故函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点有无数个，B 错误；对于C ，在区间[0，2π）上，y ＝[cos x ]={ 1，x =00，0＜x ≤π2−1，π2＜x ＜3π20，32≤x ＜2π，易得y ＝[cos x ]的最小正周期为2π，C 正确； 对于D ，由C 的结论，y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，故有T 2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A 正确；若φ=−π6，由于ωx +φ∈（ωπ6−π6，2ωπ3−π6），则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈（0，1]，故B 正确； 由于π6+2π32=5π12∈(π6，2π3)，故当f(5π12)＞0时，f(π6)+f(2π3)＞0，C 错误；令y =f(x)−√32=0，得f （x ）=√32，设y ＝f （x ）与y =√32距离最近的两交点的横坐标分别为x 1，x 2，依题意，得[|ωx 1+φ﹣（ωx 2+φ）|]min =2π3−π3=π3，即ω|x 1﹣x 2|min =π3， 因为函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，即|x 1﹣x 2|min =π6， 所以ω＝2，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为10 ．解：原式＝lo g 1319+23＝2+8＝10．故答案为：10．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是R 上的奇函数， 又因为f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0， 所以f （x +1）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，所以f （x ）的解析式可以是f （x ）＝sin （πx ）． 故答案为：f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一）．15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 −17√250．解：由于0＜α＜π，故α+π4∈(π4，5π4)，由于sin π4=√22＞sin(α+π4)=35，故α+π4∈(3π4，π)，所以α的终边不可能在第一象限内，只能在第二象限内，故cos(α+π4)=−45，所以sinα＝sin[（α+π4）−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=35×√22+45×√22=7√210，由于α的终边在第二象限内，故cosα=−√1−sin2α=−√210，所以cos(2α+π4)=cos[α+(α+π4)]=cosαcos(α+π4)−sinαsin(α+π4)=√210×45−35×7√210=−17√250．故答案为：−17√2 50．16．已知下列五个函数：y＝x，y=1x，y＝x2，y＝lnx，y＝e x，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝x2+1x．解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y=1 x ，设f（x）=1 x ，当g（x）＝x时，F（x）＝x+1x，F（x）为奇函数，不符合题意，当g（x）＝e x时，F（x）＝e x+1x，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+1x，当x＜﹣1时，F（x）=x3+1x＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；故F（x）＝x2+1 x ．故答案为：x2+1 x ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|y=√−2x2+x+1}，集合B＝{x|（x+a﹣1）（x﹣2a）≥0，a∈R}．（1）当a＝1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的值．解：（1）由﹣2x2+x+1≥0，可得−12≤x≤1，故A＝{x|−12≤x≤1}，当a＝1时，B＝{x|x≥2或x≤0}，故A ∪B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，所以∁R （A ∪B ）＝{x |1＜x ＜2}；（2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为A ＝{x |−12≤x ≤1}，B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． 当2a ＝1﹣a ，即a =13时，B ＝R ，符合题意， 当2a ＞1﹣a ，即a ＞13时，B ＝{x |x ≥2a 或x ≤1﹣a }， 则{a ＞132a ≤−12或{a ＞131−a ≥1，此时a 不存在； 当2a ＜1﹣a ，即a ＜13时，B ＝{x |x ≥1﹣a 或x ≤2a }， 则{a ＜131−a ≤−12或2a ≥1，此时a 不存在，所以a =13． 18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值； （2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．解：（1）∵A 的横坐标为35，又|OA |＝1，且A 在第一象限， ∴A 的纵坐标为45， ∴cos α=35，sin α=45，∴tan α=sinαcosα=43， ∴cos(2α−π2)sin 2α+cos2α=sin2αsin 2α+cos 2α−sin 2α =2sinαcosαcos 2α=2tan α=83；（2）∵cos ∠AOC =−6365， ∴由图可知sin ∠AOC =√1−cos 2∠AOC =√1−(6365)2=1665， 根据题意可得OC 为α﹣∠AOC 的终边，又点C 与点B 关于x 轴对称，OB 为β的终边，∴cos β＝cos （α﹣∠AOC ）＝cos αcos ∠AOC +sin αsin ∠AOC =35×(−6365)+45×1665=−513． 19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即a −1−1a −1+a−1=−a−12a−1， 即1a −11a +a−1=−a−12a−1，1−a a 2−a+1=−a−12a−1， 所以a 2﹣a +1＝2a ﹣1，解得a ＝1（舍）或a ＝2，所以a ＝2．当a ＝2时，f （x ）=2x−12x +1，定义域为R ， f （﹣x ）=2−x −12−x +1=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x −12x +1=−f （x ）， 所以函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，故a ＝2；（Ⅱ）因为f （x ）=2x−12x +1=1−22x +1， 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以y ＝f （x ）在R 上单调递增，又因为关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，即关于t 方程f （t 2﹣2t ）＝﹣f （4﹣kt ）＝f （kt ﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，t 2﹣2t ＝kt ﹣4在[1，3]有且仅有一个根，易得t ＝0不满足；当t ≠0时，k ＝t +4t−2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 令h （t ）＝t +4t−2，t ∈[1，3]， 由对勾函数的性质可知y ＝h （t ）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以h （t ）min ＝h （2）＝2，又h （1）＝3，h （3）=73， 如图所示：由此可得当k ＝2或73＜k ≤3时，满足k ＝t +4t −2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 所以实数k 的取值范围为（73，3]∪{2}． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)． （Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）令x −π3=k π，k ∈Z ，则x =π3+kπ，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（k π+π3，0），k ∈Z ； （Ⅱ）g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)=4sin （x −π2）sin （x −π6）＝﹣4cos x （√32sin x −12cos x ） ＝﹣2√3sin x cos x +2cos 2x=−√3sin2x +cos2x +1＝2cos （2x +π3）+1， 若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，即cos （2x +π3）在[0，m ]上取得最小值﹣1，令2x +π3=π，可得x =π3， 故m 的最小值为π3． 21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x−5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）W （x ）＝0.2×1000×x ﹣R （x ）﹣100＝200x ﹣R （x ）﹣100，当0＜x ＜50时，W （x ）＝200x ﹣（2x 2+80x +200）﹣100＝﹣2x 2+120x ﹣300，当x ≥50时，W(x)=200x −(201x +6400x −5200)−100=−(x +6400x)+5100， 故W （x ）={−2x 2+120x −300(0＜x ＜50)−(x +6400x)+5100(x ≥50)； （2）若0＜x ＜50，W （x ）＝﹣2x 2+120x ﹣300＝﹣2（x ﹣30）2+1500，当x ＝30时，W （x ）max ＝1500，若x ≥50，W(x)=−(x +6400x)+5100≤−2√6400+5100=4940，当且仅当x ＝80时，等号成立， 所以当x ＝80时，W （x ）max ＝4940，故2024年的年产量为80千部时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ． （1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2m b]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．证明：（1）因为函数f(x)=|x −3x+2|+m 有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 所以方程f(x)=|x −3x+2|+m =0有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 于是方程x −3x +2+m =0，−(x −3x+2)+m =0都各有两个不同的解， 即方程x 2+（2+m ）x ﹣3＝0，x 2+（2﹣m ）x ﹣3＝0各有两个实数根，于是x 1x 2x 3x 4＝9；解：（2）f(x)=|x −3x +2|+m ={x −3x +2+m ，x ≥1−x +3x−2+m ，0＜x ＜1， 所以y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ①若函数f （x ）在[a ，b ]上不单调，则有0＜a ≤1＜b ，且f(1)=m =2m a ， 由于m ≠0，所以a ＝2，与假设矛盾；②当1≤a ＜b 时，有{f(a)=2m a f(b)=2m b ，即{a −3a +2+m =2m a b −3b +2+m =2m b ， 所以{a 2+(m +2)a −3−2m =0b 2+(m +2)b −3−2m =0， 所以a ，b 是一元二次方程x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ＝0的两个不相等的实数根， 记g （x ）＝x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ，有{Δ=(m +2)2+4(2m +3)＞0−m+22≥11+(m +2)−3−2m ＞0，所以m ＜−6−2√5， ③当0＜a ＜b ≤1时，应有{f(a)=2m b f(b)=2m a ，即{−a +3a −2+m =2m b −b +3b −2+m =2m a， 两式相减得到ab +3＝﹣2m ∈（3，4），所以m ∈(−2，−32)， 两式相加得：a +b =(2m+3)(m−2)3， 又ab ＝﹣（2m +3），∴1a +1b =a+b ab =2−m 3∈(2，+∞)， ∴m ＜﹣4，与m ∈(−2，−32)矛盾， 此时满足条件的实数m 不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m 的取值范围是(−∞，−6−2√5)．。
贵州省贵阳市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 含答案
贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U ={0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N = {3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）u`C.{3}A.{l,2,3,4,5}B.{4,5}D.02命题“3xE R, x2 + x+1 � 0”的否定是（）2A.3x e R, x2 + x +l之0B.3x E R, x2 + x+l< 0D.Vx茫R,x·+x+l< 0C.VxER,x2 +x+ l < 0 23对任意角a和fJ."sina = sin/J“是“a=fJ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件24已知函数f(x)= �+log。
,(2-x)，则f(x)的定义域为（）4x-3A （扣） B.（扣］C.(-oo,2) D （三）u(扣）5设函数f(x)=2·'+x的零点为X o'则X o所在的区间是（）A.(-1,0) C.(1,2)B.(-2,-1) D.(0,1)6设a=(½/,b= 2(c = log2¾，则a,b,c的大小关系为（A. c<a<bB. c < b < aC. a<b<cD.a<c<bII冗7下列选项中，与sin(－飞－）的值不相等的是（）A.2sin l5°sin 75°B.cosl8° cos42° -sinl8° sin42°C.2cos2l5°-lD.tan22.5° l-tan2 22.5°8.某池塘野生水葫芦的援盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（y/m2l 6t--－-－-－－－－－－-－-－ ,,，81--－－－－－-－－t'一气， ，， ，， ，A此指数函数的底数为2B在第5个月时，野生水葫芦的稷盖面积会超过30m2C野生水葫芦从4m2荽延到12m2只需1.5个月D设野生水葫芦蔓延至2m2,3m2,6m2所需的时间分别为x1,x2,x3,则有X1+x2 = X3二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．）9已知a,b,c eR,则下列命题正确的是（）I IA若－＞一，则a<ba bB若ac2> bc2,则（1>bC.若a<b,c <d,则a-c<b-dD若a>b > O,c > 0,则a a+c一＞b b+cIO下列说法中，正确的是()IA函数y=－在定义域上是减函数e x -1B.函数y=——一是奇函数e x +lC函数y= f(x+a)-b为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形D函数f(x)为定义在(-x,,O)U(O冲心）上的奇函数，且f(3) = I.对千任意x,,x2E (0，长't:)),x1:;cx2,汀(x,)－x2f(x2) 3都有1>0成立，则.f(x)三一的解集为（－OCJ,-3] u(0,3]X1 -x2''X三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．）11若幕函数f(x)＝(11i2-2m-2)义”在(0,+～)上单调递增，则实数m=12函数y= sinx+ cosx的最大值是s13 已知圆和四边形（四个角均为直角）的周长相等，而积分别为S I'鸟，则_]_的最小值为s214已知函数f(x) = 2sin(cv x+(p)(co> O,I例<:)的部分图像如图所示，则f行）＝X-2.一一一一-壹15已知函数f(X) = 2kx2 -kx -i (0 ::; X ::;; 2, k E R)，若k=I，则该函数的零占为若对沁XE[0,2],不等式f(x) < -2k恒成立，则实数K的取值范围为四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16已知角0的终边过点(-3,4)，求角0的三个三角函数值．17.(I)已知芦＋a令＝3,求a＋矿的值：(2)已知log2[ l og3 (log4X)] =0'求X的值18 已知函数f(x)=x-�IX(I)判断函数f(x)的奇偶性：1(2)根据定义证明函数f(x)=x-－在区间(0,＋幻）上单调递增X冗19将函数f(x) =c o s(x+ �)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的上，纵坐标不变，得到函数g(x的（） 图象(I)求函数g(x)的单调递增区间和对称中心：(2)若关于X的方程2sin2x-m c o s x-4= 0在XE（吟）上有实数解，求实数m的取值范围五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分解答应写出文字说明，条理清晰．）20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的瓜要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的篮要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（I)整体观察：（2)整体设元；（3)整体代入：（4)整体求和等l l例如，ab=I,求证：一＋－＝l.I+a I+b证明：原式ab I b I+—=—+—=I. ab+a I+b b+I l+b阅读材料二：解决多元变掀问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究a+b例如，正实数a,b满足ab=L求(l+a)b解：由ab=I,得b＝一，的最小值1 a+b a+--;; _ a 2+1_ (a+l }2-2(a+l)+2＝ ＝ ＝ ..(I+a)b I a+la+I (l+a )� a 2 2 =(a+l)＋二－2�2✓(a+l)二－2=2✓2-2,当且仅当a+I =✓2，即a=✓2-1,b = ✓2 +1时，等号成立a+b.. (l+a)b的最小值为2J5-2波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个腮菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征结合阅读材料解答下列问题：(I)已知ab=I,求＋——了的值；l+a 2. l +bI I(2)若正实数a,b 满足ab=I,求M =--=--+ 的最小值I+a I+3b贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U = {0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N={3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（u`A.{l,2,3,4,5}【答案】B【解析】B.{4,5}【分析】求出M n N,得到阴影部分表示的渠合C.{3}［详解】图中阴影部分表示的渠合为N中元素去掉M n N的元素后的梊合，MnN = {0,1,2,3们{3,4,5}=｛习，故图中阴影部分表示的集合为{4,5}故选：B2.命题“3xER,x2+x+l2:0”的否定是（）A.3x ie R, x2 + x+l ;;:: 0B.3x E R, x2 + x+I <0C.VxER,x2+x+l<0 2D.Vx茫R,X4+x+l< 0【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定即可求解D.0【详解】命题“:3x E R, x 2+ x + 1 2:: 0”的否定是“"ix E R,x 2+x+ 1< 0",故选：C3对任意角a 和/3,"sin a = s in/3“是“a=/3”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件【答案）B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解【详解】由sina=s in/3可得a=/J+2朊或者a+/3＝冗＋2幻，kEZ,故sina=s in/3不能得到a=/3，但a=/3，则sina= s in/3，故“sina=sin/3“是“a=/3”的必要不充分条件，故选：B2 4已知函数f(x) =�+log 。
2023-2024学年北京市顺义区高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合M ＝{x |﹣2≤x ＜2}，N ＝{x |x +1≥0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜2}B ．{x |﹣1＜x ＜2}C ．{x |﹣2≤x ≤﹣1}D ．{x |1≤x ＜2}2．函数y =log 12(2x +1)的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．[−12，+∞)C ．(−12，+∞)D ．(−∞，−12)3．命题“∃x ∈R ，使得|x ﹣2|≤3”的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，|x ﹣2|≥3 B ．∀x ∈R ，都有|x ﹣2|≥3 C ．∃x ∈R ，|x ﹣2|＞3D ．∀x ∈R ，都有|x ﹣2|＞34．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x ﹣2B ．y ＝﹣lnxC ．y =12x D ．y ＝e |x |5．已知a ＝2﹣π，b ＝log 0.32，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a6．已知a ，b ，c 是任意实数，且a ＞b ＞c ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．c a ＜cbB ．a +b ＞2cC ．a |c |＜b |c |D ．a +b ＞c7．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1，则“a ＜0”是“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现两岁燕子的飞行速度v （单位：m /s ）可以表示为v =5log 2Q10，其中Q 表示燕子耗氧量的单位数．某只两岁燕子耗氧量的单位数为Q 1时的飞行速度为v 1，耗氧量的单位数为Q 2时的飞行速度为v 2，若v 2﹣v 1＝7.5（m /s ），则Q 2Q 1的值为（ ）A ．√2B ．√43C ．2√2D ．√249．已知函数f(x)={2x ，x ≤1log 2x ，x ＞1，若方程f （x ）＝﹣x +k 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（1，+∞）D ．（1，2]10．悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为y =c 2(e x c +e −x c )，其中c 为参数，当c ＝1时，该方程就是双曲余弦函数f(x)=e x +e −x 2，类似的我们有双曲正弦函数g(x)=e x −e −x2，下列说法错误的是（ ） A ．[f （x ）]2﹣[g （x ）]2＝1 B ．函数y =g(x)f(x)的值域（﹣1，1）C ．∀x ∈R ，f （x ）＞x 2恒成立D ．方程g(x)f(x)=−x +1有且只有一个实根二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11．已知幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点(2，√2)，那么f （4）＝ ． 12．若圆心角为2π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 ．13．已知函数f(x)=1−x −2x (x ＞0)，则当x ＝ 时，函数f （x ）取到最大值且最大值为 ．14．若点A （cos α，sin α）关于x 轴的对称点为B(cos(α−π3)，sin(α−π3))，则角α的一个取值为 ．15．如图，函数f （x ）的图象为折线ACB ，函数g （x ）是定义域为R 的奇函数，满足g （4﹣x ）+g （x ）＝0，且当x ∈（0，2]时，g （x ）＝f （x ），给出下列四个结论： ①g （0）＝0；②函数g （x ）在（﹣4，8）内有且仅有3个零点； ③g(−72)＞g(2024)＞g(3)；④不等式f （x ）≤|log 2（x +1）|的解集(−1，−12]∪[1，2]．其中正确结论的序号是 ．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（13分）已知不等式x 2﹣x ﹣6≤0的解集为A ，非空集合B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}． （1）求集合A ；（2）当m ＝2时，求A ∪B ；（3）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点P(−√55，−2√55)．（1）求sin α﹣cos α的值；（2）若角α的终边绕原点O 按逆时针方向旋转π2，与单位圆交于点Q ，求点Q 的坐标．18．（14分）已知cosα=−513且α的范围是_____． 从①(0，π2)，②(π2，π)，③(π，3π2)，④(3π2，2π)，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （Ⅰ）求sin α，tan α的值； （Ⅱ）化简求值：sin(−α)cos(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)．19．（15分）已知函数f(x)=x+ax 2+4是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数f （x ）在区间[2，+∞）上的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）若g （x ）＝f （x ）﹣k （k ∈R ）有两个零点，请写出k 的范围（直接写出结论即可）．20．（14分）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产B 芯片的毛收入y （亿元）与投入的资金x （亿元）的函数关系为y ＝kx a （x ＞0），其图象如图所示． （1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （亿元）与投入资金x （亿元）的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入40亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 亿元生产B 芯片，用f （x ）表示公司所获净利润，当x 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A 芯片毛收入+B 芯片毛收入﹣研发耗费资金）21．（15分）对于定义域为I 的函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]⊆I ，使得f （x ）在区间[m ，n ]上是单调函数，且函数y ＝f （x ），x ∈[m ，n ]的值域是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]是函数f （x ）的一个“优美区间”． （Ⅰ）判断函数y ＝x 2（x ∈R ）和函数y =3−4x(x ＞0)是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（Ⅱ）如果函数f （x ）＝x 2+a 在R 上存在“优美区间”，求实数a 的取值范围．2023-2024学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合M＝{x|﹣2≤x＜2}，N＝{x|x+1≥0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣2≤x≤﹣1}D．{x|1≤x＜2}解：集合M＝{x|﹣2≤x＜2}，N＝{x|x+1≥0}＝{x|x≥﹣1}，则M∩N＝{x|﹣1≤x＜2}．故选：A．2．函数y=log12(2x+1)的定义域为（）A．（0，+∞）B．[−12，+∞)C．(−12，+∞)D．(−∞，−12)解：函数y=log12(2x+1)，则2x+1＞0，解得x＞−12，故函数y的定义域为（−12，+∞）．故选：C．3．命题“∃x∈R，使得|x﹣2|≤3”的否定为（）A．∃x∈R，|x﹣2|≥3B．∀x∈R，都有|x﹣2|≥3C．∃x∈R，|x﹣2|＞3D．∀x∈R，都有|x﹣2|＞3解：“∃x∈R，使得|x﹣2|≤3”的否定为：∀x∈R，都有|x﹣2|＞3．故选：D．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x﹣2B．y＝﹣lnx C．y=12xD．y＝e|x|解：y＝x﹣2，y＝﹣lnx，y=12x在（0，+∞）上单调递减，故ABC错误；y＝e|x|在区间（0，+∞）上单调递增，故D正确．故选：D．5．已知a＝2﹣π，b＝log0.32，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a 解：a＝2﹣π∈（0，1），b＝log0.32＜0，c＝log23＞1，故c＞a＞b．故选：A．6．已知a，b，c是任意实数，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．ca＜cbB．a+b＞2c C．a|c|＜b|c|D．a+b＞c解：当c＝0时，AC均不成立，a＞b＞c，则a＞c，b＞c，故a+b＞c+c＝2c，故B正确；a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3，满足a ＞b ＞c ，但a +b ＝c ，故D 错误． 故选：B ．7．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1，则“a ＜0”是“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：f （x ）＝x 2﹣2ax +1＝（x ﹣a ）2﹣a 2+1开口向上，对称轴为x ＝a ， 函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，则a ≤0，“a ＜0”能推出“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”，但“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”不能推出a ＜0，a 有可能等于0， 故“a ＜0”是“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A ．8．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现两岁燕子的飞行速度v （单位：m /s ）可以表示为v =5log 2Q10，其中Q 表示燕子耗氧量的单位数．某只两岁燕子耗氧量的单位数为Q 1时的飞行速度为v 1，耗氧量的单位数为Q 2时的飞行速度为v 2，若v 2﹣v 1＝7.5（m /s ），则Q 2Q 1的值为（ ）A ．√2B ．√43C ．2√2D ．√24解：∵v =5log 2Q 10，∴v 2﹣v 1=5log 2Q 110−5log 2Q 210=5log 2(Q110Q 210)=5log 2Q 1Q 2=7.5，∴log 2Q 1Q 2=32，∴Q 1Q 2=232=2√2．故选：C ．9．已知函数f(x)={2x ，x ≤1log 2x ，x ＞1，若方程f （x ）＝﹣x +k 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（1，+∞）D ．（1，2]解：方程f （x ）＝﹣x +k 有两个不相等的实数根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝﹣x +k 的图象有两个交点， 作出y ＝f （x ）的图象及直线y ＝﹣x +k ，如图所示： 直线y ＝﹣x +k 斜率为﹣1，在y 轴上的截距为k ， 要使直线与曲线有两个交点，则1＜k ≤3． 故选：B ．10．悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为y =c 2(e xc +e −x c )，其中c 为参数，当c ＝1时，该方程就是双曲余弦函数f(x)=e x +e −x 2，类似的我们有双曲正弦函数g(x)=e x −e −x2，下列说法错误的是（ ） A ．[f （x ）]2﹣[g （x ）]2＝1 B ．函数y =g(x)f(x)的值域（﹣1，1）C ．∀x ∈R ，f （x ）＞x 2恒成立D ．方程g(x)f(x)=−x +1有且只有一个实根解：对于A ，[f （x ）]2﹣[g （x ）]2=e 2x +2+e −2x 4−e 2x −2+e −2x4=1，故A 正确；对于B ，y =g(x)f(x)=e x −e −x e x +e −x =e x +e −x −2e −x e x +e −x =1−2e −x e x +e −x =1−2e 2x +1， 因为e 2x ＞0，所以e 2x +1＞1，所以0＜2e 2x +1＜2，所以﹣1＜1−2e 2x +1＜1， 所以函数y =g(x)f(x)的值域（﹣1，1），故B 正确； 对于C ，因为e 2+e −22＜2．82+12．722=7.84+17.292＜7.84+16.252=4＝22，即f （x ）＜22，故C 错误；对于D ，y =g(x)f(x)=1−2e 2x +1， 令u ＝e 2x +1，函数u ＝e 2x +1为增函数，且u ＝e 2x +1＞1， 而函数y ＝1−1u在u ∈（1，+∞）上为增函数，所以函数y =g(x)f(x)=1−2e 2x +1是增函数， 令F （x ）=g(x)f(x)+x ﹣1， 因为函数y =g(x)f(x)，y ＝x ﹣1都是增函数， 所以函数F （x ）=g(x)f(x)+x ﹣1是增函数， 又F （0）＝﹣1＜0，F （1）＝1−2e 2+1＞0，所以函数F （x ）=g(x)f(x)+x ﹣1有唯一零点，且在（0，1）上， 即方程g(x)f(x)=−x +1有且只有一个实根，故D 正确．故选：C ．二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上. 11．已知幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点(2，√2)，那么f （4）＝ 2 ．解：因为幂函数f （x ）＝x a 的图象过点(2，√2)，所以2a =√2，解得a =12，所以f （4）=412=2．故答案为：2． 12．若圆心角为2π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π4．解：扇形的圆心角为2π3，弧长为π，则扇形的半径为r =l α=π2π3=32， 所以该扇形的面积为S =12lr =12×π×32=3π4．故答案为：3π4．13．已知函数f(x)=1−x −2x(x ＞0)，则当x ＝ √2 时，函数f （x ）取到最大值且最大值为 1−2√2 ．解：f （x ）=1−x −2x =1−(x +2x )≤1−2√x ⋅2x =1−2√2，当且仅当x =2x，即x =√2时，等号成立， 故当x =√2时，函数f （x ）取到最大值且最大值为1−2√2． 故答案为：√2，1−2√2．14．若点A （cos α，sin α）关于x 轴的对称点为B(cos(α−π3)，sin(α−π3))，则角α的一个取值为 π6（答案不唯一，只要符合α=π6+k π，k ∈Z 均可） ． 解：∵点A （cos α，sin α）关于x 轴的对称点为B(cos(α−π3)，sin(α−π3))，∴cos α＝cos （α−π3），sin α＝﹣sin （α−π3），∴α+α−π3=2k π，k ∈Z ，解得α=π6+k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得α=π6，∴角α的一个取值为π6．故答案为：π6（答案不唯一，只要符合α=π6+k π，k ∈Z 均可）．15．如图，函数f （x ）的图象为折线ACB ，函数g （x ）是定义域为R 的奇函数，满足g （4﹣x ）+g （x ）＝0，且当x ∈（0，2]时，g （x ）＝f （x ），给出下列四个结论：①g （0）＝0；②函数g （x ）在（﹣4，8）内有且仅有3个零点； ③g(−72)＞g(2024)＞g(3)；④不等式f （x ）≤|log 2（x +1）|的解集(−1，−12]∪[1，2]．其中正确结论的序号是 ①③④ ．解：因为函数g （x ）是定义域为R 的奇函数，所以g （﹣x ）＝﹣g （x ），故g （﹣0）＝﹣g （0），即g （0）＝0，故①正确； 又g （4﹣x ）+g （x ）＝0，所以g （4+x ）+g （﹣x ）＝0，所以g （4+x ）﹣g （x ）＝0， 即g （4+x ）＝g （x ），所以函数周期为T ＝4，由图象可知g （2）＝0，所以g （﹣2）＝0，由周期知g （4）＝0，g （6）＝0， 故函数g （x ）在（﹣4，8）内有﹣2，0，2，4，6共5个零点，故②错误； 因为g(−72)=g(4−72)=g(12)，g(2024)=g(0)=0，g(3)=g(3−4)=−g(1)，由图象可知，g(12)＞0，−g(1)＜0，又g （0）＝0，所以g(−72)＞g(2024)＞g(3)，故③正确；由图象，利用待定系数法可知f(x)={2x +2，−1≤x ≤0−x +2，0＜x ≤2，在同一坐标系下，作出y ＝f （x ），y ＝|log 2（x +1）|的图象如下，由图易知x 1=−12，x 2=1，所以结合图象知不等式f （x ）≤|log 2（x +1）|的解集(−1，−12]∪[1，2]，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（13分）已知不等式x 2﹣x ﹣6≤0的解集为A ，非空集合B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}． （1）求集合A ；（2）当m ＝2时，求A ∪B ；（3）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：（1）不等式x 2﹣x ﹣6≤0，即（x +2）（x ﹣3）≤0，解得﹣2≤x ≤3， 所以集合A ＝{x |﹣2≤x ≤3}＝[﹣2，3]；（2）当m ＝2时，集合B ＝{x |1＜x ＜5}＝（1，5）， 结合A ＝[﹣2，3]，得A ∪B ＝[﹣2，5）；（3）根据题意，非空集合B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}，可得m ﹣1＜2m +1，解得m ＞﹣2． 若B ⊆A ，则{m −1≥−22m +1≤3，解得﹣1≤m ≤1，即实数m 的取值范围是[﹣1，1]．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点P(−√55，−2√55)． （1）求sin α﹣cos α的值；（2）若角α的终边绕原点O 按逆时针方向旋转π2，与单位圆交于点Q ，求点Q 的坐标．解：（1）∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点P(−√55，−2√55)，∴sin α=−2√55，cos α=−√55， ∴sin α﹣cos α=−2√55+√55=−√55； （2）设角α的终边绕原点O 按逆时针方向旋转π2所对的角为β，则β=α+π2，∴sin β＝sin （α+π2）＝cos α=−√55，cos β＝cos （α+π2）＝﹣sin α=2√55，∴点Q （2√55，−√55）．18．（14分）已知cosα=−513且α的范围是_____． 从①(0，π2)，②(π2，π)，③(π，3π2)，④(3π2，2π)，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （Ⅰ）求sin α，tan α的值；（Ⅱ）化简求值：sin(−α)cos(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)．解：cosα=−513＜0，则②③符合，①④不符合，若选②，（Ⅰ）cosα=−513且x∈(π2，π)，则sinα=√1−cos2α=1213，tanα=sinαcosα=−125；（Ⅱ）sin(−α)cos(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)=−sinα⋅(−cosα)sinα⋅(−tanα)=−cosαtanα=−−513−125=−25156．若选③，（Ⅰ）cosα=−513且x∈(π，3π2)，则sinα=−√1−cos2α=−1213，tanα=sinαcosα=125；（Ⅱ）sin(−α)cos(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)=−sinα⋅(−cosα)sinα⋅(−tanα)=−cosαtanα=−−513125=25156．19．（15分）已知函数f(x)=x+ax2+4是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间[2，+∞）上的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）若g（x）＝f（x）﹣k（k∈R）有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）．解：（Ⅰ）根据题意，函数f(x)=x+ax2+4是定义在R上的奇函数，则有f（0）=a4=0，解可得a＝0，当a＝0时，f（x）=xx2+4，定义域为R，有f（﹣x）=−xx2+4=−f（x），f（x）为奇函数，符合题意，故a＝0；（Ⅱ）根据题意，f（x）在[2，+∞）上的单调递减；证明：由（Ⅰ）的结论，f（x）=xx2+4，设2≤x1＜x2，有f（x1）﹣f（x2）=x1x12+4−x2x22+4=x1(x22+4)−x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x2−4)(x2−x1)(x12+4)(x22+4)，又由2≤x1＜x2，则x1x2﹣4＞0，x2﹣x1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在[2，+∞）上的单调递减；（Ⅲ）根据题意，设0≤x1＜x2＜2，有f（x1）﹣f（x2）=x1x12+4−x2x22+4=x1(x22+4)−x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x2−4)(x2−x1)(x12+4)(x22+4)，又由0≤x1＜x2＜2，则x1x2﹣4＜0，x2﹣x1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在[0，2）上的单调递增，在区间（0，+∞）上，f （x ）的最大值为f （2）=14，且f （x ）＞0恒成立； 又由f （x ）为定义在R 上的奇函数，则在区间（﹣∞，0）上，f （x ）的最小值为f （﹣2）=−14，且f （x ）＜0恒成立；f （x ）的图象大致如图：f （x ）的最大值为14，最小值为−14， 若g （x ）＝f （x ）﹣k （k ∈R ）有两个零点，即函数y ＝f （x ）与直线y ＝k 有两个不同的交点， 必有﹣1＜k ＜0或0＜k ＜1，即k 的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1）．20．（14分）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产B 芯片的毛收入y （亿元）与投入的资金x （亿元）的函数关系为y ＝kx a （x ＞0），其图象如图所示．（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （亿元）与投入资金x （亿元）的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入40亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 亿元生产B 芯片，用f （x ）表示公司所获净利润，当x 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A 芯片毛收入+B 芯片毛收入﹣研发耗费资金）解：（1）设投入资金x 亿元，则生产A 芯片的毛收入y =x 4(x ＞0)， 将（1，1），（4，2）代入y ＝kx α，得{k =1kx α=2，解得{k =1α=12，∴生产B 芯片的毛收入y =√x(x ＞0)； （2）由x 4＞√x ，得x ＞16；由x 4=√x ，得x ＝16；由x 4＜√x ，得0＜x ＜16， ∴当投入资金大于16亿元时，生产A 芯片的毛收入更大；当投入资金等于16亿元时，生产A ，B 芯片的毛收入相等；当投入资金小于16亿元时，生产B 芯片的毛收入更大．（3）由题意知投入x亿元生产B芯片，则投入（40﹣x）亿元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)=40−x4+√x−2，令√x=t，则t2＝x，∴f(x)=40−t24+t−2=−14(t−2)2+9，故当t＝2，即x＝4亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元．21．（15分）对于定义域为I的函数f（x），如果存在区间[m，n]⊆I，使得f（x）在区间[m，n]上是单调函数，且函数y＝f（x），x∈[m，n]的值域是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的一个“优美区间”．（Ⅰ）判断函数y＝x2（x∈R）和函数y=3−4x(x＞0)是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（Ⅱ）如果函数f（x）＝x2+a在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）存在区间[0，1]，使得y＝x2在区间[0，1]上单调递增，且值域为[0，1]，所以函数y＝x2（x∈R）存在“优美区间”；函数y=3−4x(x＞0)不存在“优美区间”，由y=3−4x(x＞0)为（0，+∞）上的增函数，则有f（m）＝m，f（n）＝n，也就是说方程3−4x=x有两个不同的解m，n，即方程x2﹣3x+4＝0有两个不同的实数解，而Δ＝9﹣16＝﹣7＜0，可知该方程无实数解，所以y=3−4x(x＞0)不存在“优美区间”．（Ⅱ）函数g（x）＝x2+a在（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，如果函数g（x）＝x2+a在R上存在“优美区间”[m，n]，则有以下两种情况：①当[m，n]⊆[0，+∞）时，则{f(m)=m f(n)=n，即m、n是方程x2﹣x+a＝0的两个不相等的非负实根，可得Δ＝1﹣4a＞0且a≥0，解得0≤a＜1 4；②当[m，n]⊆（﹣∞，0]时，则{f(m)=m2+a=nf(n)=n2+a=m，两式相减并化简，可得m+n＝﹣1，则m2+a＝﹣1﹣m，n2+a＝﹣1﹣n，所以m，n是方程x2+x+a+1＝0的两个不相等的非正实数根，则Δ＝1﹣4（a+1）＞0且a+1≥0，解得−1≤a＜−34．综上所述，如果函数g（x）＝x2+a在R上存在“优美区间”，则实数a的取值范围是[−1，−34)∪[0，14)．。
高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心为
C. 的值域为
D. 图象的一条对称轴方程为
12.定义：实数 满足 则称 比 远离 .已知函数 的定义域为 任取 等于 和 中远离0的那个值则（）
高一数学试卷
试卷120分钟满分：150分
一选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中周期为 的是（）
A. B.
C. D.
2.函数 的单调递增区间为（）
A. B.
C. D.
3.函数 的部分图象如图所示则 可能是（）
A B.
C. D.
4.已知角 的终边在射线 上则 的值为（）
17.已知复数 .
（1）若 是实数求 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第三象限且 求实数 的取值范围.
18 已知 .
（1）若 三点共线求 满足的等量关系；
（2）在（1）条件下求 的最小值.
19.问题：在 中内角A 所对的边分别为a .
（1）求A；
（2）若 的面积为 ________求 .
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个补充在上面的横线上并完成解答.
20.某网红景区拟开辟一个平面示意图如图 五边形 观光步行道 为景点电瓶车专用道 .
（1）求 的长；
（2）请设计一个方案使得折线步行道 最长（即 最大）.
21.如图所示在 中 与 相交于点 . 的延长线与边 交于点 .
（1）试用 表示 ；
（2）设 求 的值.
22.已知 的内角 所对的边分别为 向量 .
2023-2024学年广东省中山市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y是实数，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．将√43⋅√2化成分数指数幂的形式是（）A．276B．2176C．213D．2563．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则（）A．2∈A，2∉B B．3∈A，3∈B C．4∈A，4∉B D．5∉A，5∉B4．已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]，则n﹣m的最大值是（）A．3B．6C．4D．85．函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，2]6．已知数f(x)=a1−e x−2是奇函数，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．4D．﹣47．已知a＞b＞c＞d，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ae c＞be dC．e a•e c＞e b•e d D．aln（c﹣d）＞bln（c﹣d）8．如图，在半径为1m的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（0＜α＜β＜π），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（）cm．A ．125π B ．157π C ．154π D ．13π6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝x |x |C ．y ＝x 3D ．y ＝x 210．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则（ ） A ．√xy 的最大值为1B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．2x +1y 的最小值为32+√211．给定函数f(x)=2xx 2+1（）A ．f （x ）的图像关于原点对称B ．f （x ）的值域是[﹣1，1]C ．f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数D ．f （x ）有三个零点12．设偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f （2）＝0，对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，都有x 22n f(x 1)−x 12n f(x 2)x 2−x 1＜0(n ∈N)成立，则（ ）A ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，−12)∪(−12，0) B ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，12)C ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算：lg 52+23lg 8＝ ．14．已知函数f （x ），给出三个性质： ①f （x ）定义域为（﹣∞，+∞）； ②f （x ）是奇函数；③f （x ）在（0，+∞）上是减函数．写出一个同时满足性质①．性质②和性质③的函数解析式，f （x ）＝ ．15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是 元． 16．（3分）已知函数f(x)=x +16x−10，x ∈(0，+∞)，则f （x ）的零点之和为 ；若方程|f （x ）|＝m （m ＞0）有四个不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4＝ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知tanα=13，求下列各式的值．（1）sinα−2cosα2sinα−cosα；（2）sin αcos α+2．18．（12分）若集合A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0}． （1）若m ＝0，写出A ∪B 的子集个数； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知f(x)=14−x 2． （1）研究并证明函数y ＝f （x ）的性质；（2）根据函数y ＝f （x ）的性质，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝f（x），则称f（x）为“局部偶函数”．（1）已知函数f（x）＝x3+x+1，试判断f（x）是否为“局部偶函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝x[4x+（2m﹣1）•2x+3]为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），且对任意m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）f（n）．φ(x)=f(x)−1f(x)+1．（1）求f（0）的值，并证明φ（x）为奇函数．（2）若x＞0，f（x）＞1，且f（3）＝4，证明f（x）为R上的增函数，并解不等式φ(x)＞15 17．22．（12分）已知函数g(x)=sin2x−cosx+a，x∈(π2，π)有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：x1+x2＜3π2．2023-2024学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y是实数，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若x＝0，y＝﹣1，满足x＞y，但x2＞y2不成立．若x＝﹣1，y＝0，满足x2＞y2，但x＞y不成立，∴“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分不必要条件．故选：D．2．将√43⋅√2化成分数指数幂的形式是（）A．276B．2176C．213D．256解：√43⋅√2=413×212=(22)13×212=223+12=276．故选：A．3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则（）A．2∈A，2∉B B．3∈A，3∈B C．4∈A，4∉B D．5∉A，5∉B解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则2∈A，2∈B，故A错，3∉A∩B，故B错，4∈A∩B，则C错误，5∉A∩B，故D正确，故选：D．4．已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]，则n﹣m的最大值是（）A．3B．6C．4D．8解：f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，因为值域为[1，10]，所以要取到最小值1，必须取到对称轴，又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，令f（x）＝10，得x＝﹣1或x＝5，所以当n＝5，m＝﹣1时（n﹣m）max＝6．故选：B．5．函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，2]解：根据题意，对于f（x）＝log2（x2﹣4x+3），设t＝x2﹣4x+3，则y＝log2t，必有t＝x2﹣4x+3＞0，解可得t＞3或t＜1，即函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），在区间（﹣∞，1）上，t＝x2﹣4x+3为减函数，y＝log2t为增函数，则f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在区间（3，+∞）上，t＝x2﹣4x+3为增函数，y＝log2t为增函数，则f（x）在（3，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（3，+∞）．故选：C．6．已知数f(x)=a1−e x−2是奇函数，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．4D．﹣4解：因为f(x)=a1−e x−2是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即a1−e−x−2＝2−a1−e x，整理得，ae x﹣a＝4e x﹣4，即a＝4．故选：C．7．已知a＞b＞c＞d，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ae c＞be dC．e a•e c＞e b•e d D．aln（c﹣d）＞bln（c﹣d）解：对于选项A：不妨令a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，此时a＞b＞c＞d，但ac＝﹣4＜﹣3＝bd，故选项A错误；对于选项B：因为c＞d，所以e c＞e d，不妨令a＝﹣e d，b＝﹣e c，此时a＞b，但ae c＝﹣e c+d＝﹣be d，故选项B错误；对于选项C：由a＞b＞c＞d，所以e a＞e b＞e c＞e d＞0，则e a•e c＞e b•e d，选项C正确；对于选项D：若a＞b，不妨令c＝2，d＝1，此时c＞d，而aln（c﹣d）＝0＝bln（c﹣d），故选项D错误．故选：C．8．如图，在半径为1m的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（0＜α＜β＜π），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（）cm．A ．125π B ．157π C ．154π D ．13π6解：（1）由已知得12π＜2α＜2β＜π，所以14π＜α＜β＜12π①，15α＝2k π，k ∈N *②．15β＝2n π，n ∈N * ③，且k ＜n ， 结合①②③式得14π＜2k 15π＜2n 15π＜12π，k ，n ∈N *，且k ＜n ，解得k ＝2，n ＝3，解得α=415π，β=615π， 它们从点A 出发后第二次相遇时，用的时间为t 秒， 所以（α+β）t ＝2×2π，即(415π+615π)t =2×2π．解得t ＝6， 则黑蚂蚁爬过的距离为l =615π×6×1=125π(cm)． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝x |x |C ．y ＝x 3D ．y ＝x 2解：对于A ，y ＝x ﹣1不是奇函数，不符合题意，对于B ，y ＝x |x |={x 2，x ≥0−x 2，x ＜0既是奇函数，又是R 上的增函数，符合题意，对于C ，y ＝x 3是幂函数，既是奇函数，又是R 上的增函数，符合题意， 对于D ，y ＝x 2，是二次函数，是偶函数，不符合题意， 故选：BC ．10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则（ ） A ．√xy 的最大值为1B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．2x +1y 的最小值为32+√2解：正数x ，y 满足x +y ＝2， 可得A 中，由基本不等式可得√xy ≤x+y2=1，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以可得√xy 的最大值为1，A 正确；B 中，因为x 2+y 2≥(x+y)22=2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x 2+y 2的最小值为2，所以B 不正确；C 中，因为2＝x +y ≥(√x+√y)22，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以√x +√y 的最大值为2，所以C 不正确；D 中，2x +1y =（2x +1y ）•12•（x +y ）=12（2+1+2y x +x y ）≥12（3+2√2y x ⋅x y ）=12（3+2√3）=√3+32，当且仅当2y x =xy，即x ＝4﹣2√2，y ＝2√2−2时取等号，所以D 正确．故选：AD ． 11．给定函数f(x)=2xx 2+1（ ） A ．f （x ）的图像关于原点对称 B ．f （x ）的值域是[﹣1，1] C ．f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数 D ．f （x ）有三个零点解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，函数f(x)=2x x 2+1，其定义域为R ，有f （﹣x ）=−2xx 2+1=−f （x ），则函数f （x ）为奇函数，其图形关于原点对称，A 正确； 对于B ，f （x ）=2xx 2+1，由基本不等式x 2+1≥2|x |，则有|f （x ）|≤1，即f （x ）的值域是[﹣1，1]，B 正确；对于C ，f （1）＝1，f （2）=45，f （x ）在区间[1，+∞）上一定不是增函数，C 错误；对于D ，f （x ）=2xx 2+1=0，解可得x ＝0，函数f （x ）只有一个零点，D 错误； 故选：AB ．12．设偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f （2）＝0，对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，都有x 22n f(x 1)−x 12n f(x 2)x 2−x 1＜0(n ∈N)成立，则（ ）A ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，−12)∪(−12，0) B ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，12)C ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）解：当 n ＝0时，即f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，∴y ＝f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∵偶函数f （x ） 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∴y ＝f （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，当x ＞0时，f(2x+1)x＞0，∴x ＞0时，有2x +1＞2，解得x ＞12，当x ＜0时，f(2x+1)x ＞0，得f （2x +1）＜0＝f （﹣2），∴0＞2x +1＞﹣2或0＜2x +1＜2，解得−32＜x ＜−12或−12＜x ＜0∴B 错误，A 正确； 令g （x ）=f(x)x 2024， 则g(x 1)−g(x 2)x 2−x 1=f(x 1)x 12024−f(x 2)x 22024x 1−x 2=x 22024f(x 1)−x 12024f(x 2)(x 1x 2)2024(x 1−x 2)＞0，∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∵f （﹣x ）＝f （x ）， ∴g （﹣x ）=f(−x)(−x)2024=f(x)x 2024=g （x ）， 即g （x ）为偶函数，g （2）＝0， 由g （x ）=f(x)x 2024＞0可得|x |＞2，解得x ＞2或x ＜﹣2，C 正确，D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算：lg 52+23lg 8＝ 2 ．解：原式＝2lg 5+23×3lg 2＝2lg 5+2lg 2＝2（lg 5+lg 2）＝2，故答案为：2．14．已知函数f （x ），给出三个性质： ①f （x ）定义域为（﹣∞，+∞）； ②f （x ）是奇函数；③f （x ）在（0，+∞）上是减函数．写出一个同时满足性质①．性质②和性质③的函数解析式，f （x ）＝ ﹣x 3（答案不唯一） ． 解：令f （x ）＝﹣x 3，则f（x）定义域为（﹣∞，+∞），满足①；又f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，满足②；又f（x）＝﹣x3在（0，+∞）上是减函数，满足③，故答案为：﹣x3（答案不唯一）．15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是5712元．解：专项扣除总额为：249600×（8%+2%+1%+9%）＝49920元，应纳税所得额为：249600﹣60000﹣52800﹣4560﹣49920＝82320元，个税税额为：82320×10%﹣2520＝5712元，故答案为：5712．16．（3分）已知函数f(x)=x+16x−10，x∈(0，+∞)，则f（x）的零点之和为10；若方程|f（x）|＝m（m＞0）有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝20．解：由题意可知，令f（x）＝x+16x−10＝0，即x2﹣10x+16＝0，解得x＝2或x＝8，故函数在（0，+∞）内的零点为2和8，所以f （x ）的零点之和为10．方程|f （x ）|＝m （m ＞0）有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，即为y ＝|f （x ）|，x ∈（0，+∞）与y ＝m 的四个交点的横坐标，方程|f （x ）|＝m （m ＞0）即|x +16x−10|＝m ，x ∈（0，+∞），即|x 2﹣10x +16|＝mx ， 当f （x ）≥0即x 2﹣10x +16≥0时，方程可转化为x 2﹣10x +16＝mx 即x 2﹣（10+m ）x +16＝0； 当x 2﹣10x +16＜0 时，方程可转化为x 2﹣10x +16＝﹣mx 即x 2﹣（10﹣m ）x +16＝0；故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根，不妨设x 1，x 4为x 2﹣（10+m ）x +16＝0的两根，则x 1+x 4＝1＝10+m ，则x 2，x 3为x 2﹣（10﹣m ）x +16＝0的两根，则x 2+x 3＝10﹣m ，则x 1+x 2+x 3+x 4＝10+m +10﹣m ＝20；故答案为：10；20．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知tanα=13，求下列各式的值． （1）sinα−2cosα2sinα−cosα； （2）sin αcos α+2．解：tanα=13， （1）sinα−2cosα2sinα−cosα=tanα−22tanα−1=13−22×13−1=5； （2）sin αcos α+2=sinαcosαsin 2α+cos 2α+2=tanαtan 2α+1+2=13109+2=2310． 18．（12分）若集合A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0}．（1）若m ＝0，写出A ∪B 的子集个数；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝0时，B ＝{1，﹣3}，∵A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}＝{﹣6，1}，∴A ∪B ＝{﹣6，﹣3，1}，集合元素个数为3个，故A ∪B 的子集个数为23＝8．（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，Δ＝4（m +1）2﹣4（m 2﹣3）＝8m +16，当Δ＜0，即m ＜﹣2时，B ＝∅，符合题意，当Δ＝0，即m ＝﹣2时，B ＝{1}，符合题意，当Δ＞0，即m ＞﹣2时，若B ⊆A ，则B ＝{﹣6，1}，即{−2(m +1)=−5m 2−3=−6，方程组无解， 综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知f(x)=14−x 2． （1）研究并证明函数y ＝f （x ）的性质；（2）根据函数y ＝f （x ）的性质，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．解：（1）函数f （x ）的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）∪（2，+∞），函数的值域为（﹣∞，0）∪[14，+∞）函数f （x ）为偶函数， 函数f （x ）在区间[0，2），（2，+∞）上上为增函数，在区间（﹣∞，﹣2），（﹣2，0]上为减函数， 由方程f （x ）＝0无解，所以函数无零点；（2）由（1）中函数的性质，可得y ＝f （x ）的图象如图所示：20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝f（x），则称f（x）为“局部偶函数”．（1）已知函数f（x）＝x3+x+1，试判断f（x）是否为“局部偶函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝x[4x+（2m﹣1）•2x+3]为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围．解：（1）f（﹣x）＝﹣x3﹣x+1，令f（﹣x）＝f（x），得x3+x＝0，解得x＝0，∴存在x＝0满足f（﹣x）＝f（x），故f（x）是“局部偶函数”；（2）由f（﹣x）＝f（x），得4x+4﹣x+（2m﹣1）（2x+2﹣x）+6＝0，令t＝2x+2﹣x（t＞2），得t2+（2m﹣1）t+4＝0，则1−2m=t+4t在t∈（2，+∞）上有解，∴1﹣2m＞4，即m＜−3 2，故m的取值范围为(−∞，−32 )．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），且对任意m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）f（n）．φ(x)=f(x)−1f(x)+1．（1）求f（0）的值，并证明φ（x）为奇函数．（2）若x＞0，f（x）＞1，且f（3）＝4，证明f（x）为R上的增函数，并解不等式φ(x)＞15 17．解：（1）令m＝n＝0，得f（0）＝f（0）f（0），又函数f（x）的值域为（0，+∞），∴f（0）＝1．证明：∵f（0）＝f（﹣x+x）＝f（﹣x）f（x），∴f(−x)=1f(x)，∴φ(−x)=f(−x)−1f(−x)+1=1f(x)−11f(x)+1=1−f(x)1+f(x)=−φ(x)，∴φ（x）为奇函数．（2）证明：任取x1＜x2，x1，x2∈R，f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（x2﹣x1+x1）＝f（x1）﹣f（x2﹣x1）f（x1）＝f（x1）[1﹣f（x2﹣x1）]．∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1，∴1﹣f（x2﹣x1）＜0．又函数f（x）的值域为（0，+∞），∴f（x1）[1﹣f（x2﹣x1）]＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）为R上的增函数．由φ(x)=1517，即f(x)−1f(x)+1＞1517，化简得f（x）＞16．∵f（3）＝4，∴16＝f（3）f（3）＝f（6），∴f（x）＞f（6）．又f（x）为R上的增函数，∴x＞6，故φ(x)＞1517的解集为{x|x＞6}．22．（12分）已知函数g(x)=sin2x−cosx+a，x∈(π2，π)有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：x1+x2＜3π2．解：（1）已知g（x）＝sin2x﹣cos x+a＝﹣cos2x﹣cos x+a+1，函数定义域为（π2，π），令g（x）＝0，可得cos2x+cos x＝a+1，不妨令t＝cos x，﹣1＜t＜0，所以−14≤cos2x+cos x＝t2+t＜0，当a+1≥0，即a≥﹣1时，方程t2+t＝a+1无解；当a+1＜−14，即a＜−54时，方程t2+t＝a+1无解；当a+1=−14，即a=−54时，方程t2+t＝a+1有且仅有一个解t=−12；当−14＜a+1＜0，即−54＜a＜﹣1时，方程t2+t＝a+1有两个解，分别为t1=−12+√a+54，t2=−12−√a+54，所以cos x=−12±√a+54各有一解，此时函数g（x）有两个零点，综上，要使函数g（x）有两个零点，此时实数a的取值范围为（−54，﹣1）；（2）证明：当f（x）有两个零点时，不妨令t1＝cos x1，t2＝cos x2，由（1）知t1，t2为t2+t＝a+1两解，则t1+t2＝﹣1，所以cos x1+cos x2＝﹣1，对等式两边同时平方得cos2x1+2cosx1cosx2+cos2x2=1，因为x1，x2∈(π2，π)，所以cos x1＜0，cos x2＜0，可得2cos x1cos x2＞0，所以cos2x1+cos2x2＜1，则cos2x1＜sin2x2=cos2(3π2−x2)，又π2＜x2＜π，所以π2＜3π2−x2＜π，此时cos(3π2−x2)＜0，所以cosx1＞cos(3π2−x2)，易知y＝cos x在(π2，π)上单调递减，则x1＜3π2−x2，故x1+x2＜3π2．。