高考数学文化素养型题

数学题----文化素养型

1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在省江陵县家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积

V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227 B.258 C.15750 D. 355113

解析：由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L

2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·? ??

??L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258，故选B. 【答案】B

2.如图，正方形ABCD 的图形来自中国古代的太极图.正方形切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A ．14

B ．π8

C ．12

D ．π4

【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1 则正方形的面积为224?=，圆的面积为2π1π?=，图中黑色部分的概率为

π2 则此点取自黑色部分的概率为π

π248

=

故选B

【答案】B

4.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE、DF、BD、BE.

(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；

(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π

3

，求

DC

BC的值.

解析：法一(1)证明因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，

所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD，所以BC⊥DE.

又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.

而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC，

所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三

角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .

(2)解 如图，在面PBC ，延长BC 与FE 交于点G ，则DG

是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知，PB ⊥平面DEF ，

所以PB ⊥DG .

又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥DG ，而PD ∩PB ＝P ，所以DG ⊥平面PBD . 故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，

设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD ＝1＋λ2， 在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DPF ＝∠FDB ＝π3

， 则tan π3＝tan ∠DPF ＝BD PD

＝1＋λ2＝3，解得λ＝ 2. 所以DC BC ＝1λ＝22

. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC

＝22

. 法二 (1)证明 如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP

分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD ＝

DC ＝1，BC ＝λ，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，B (λ，1，0)，C (0，1，0)，

PB →＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，所以E ? ????0，12，12，DE →＝? ??

??0，12，12， 于是PB

→·DE →＝0，即PB ⊥DE . 又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .

因PC

→＝(0，1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ， 所以DE ⊥平面PBC .

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

(2)解由PD⊥平面ABCD，所以DP→＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量；由(1)知，PB⊥平面DEF，所以BP→＝(－λ，－1，1)是平面DEF的一个法向量.

若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，

则cos π

3

＝

?

?

?

?

?

?

BP

→·DP→

|BP→|·|DP→|

＝

?

?

?

?

?

?

1

λ2＋2＝

1

2

，

解得λ＝ 2.所以DC

BC＝

1

λ＝

2

2

.

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π

3

时，

DC

BC＝

2

2

.

5.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题，“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子(每层三角形边菱草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层三束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数)，则本问题中三角垛底层菱草总束数为________.

解析：由题意，第n层菱草数为1＋2＋…＋n＝n（n＋1）

2

，

∴1＋3＋6＋…＋n（n＋1）

2

＝680，

即为12??????16n （n ＋1）（2n ＋1）＋12n （n ＋1）＝16

n (n ＋1)(n ＋2)＝680， 即有n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，

∴n ＝15，∴n （n ＋1）

2＝120.

【答案】120

6.九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为( )

A.35

B.20

C.18

D.9

i ＝2时，得v ＝4；当i ＝1时，得v ＝2×4＋1＝9；当i ＝0时，得v ＝2×9＋0＝18；当i ＝－1时，直接输出v ＝18，即输出的v 值为18，故选C.

【答案】C

7.《九章算术》是我国古代容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋墙角处堆放米(如图1-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )

图1-1

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

[解析] 由题意，题中图形为四分之一圆锥，设圆锥的底面半径为R ，则由πR 2

＝8得R ＝16π，所以V 米＝14V 圆锥＝14×13×π×? ??

??16π2×5＝3203π≈3209(立方尺)，所以3209÷1.62≈21.95≈22(斛)．

【答案】B

8.如图1-3所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )

图1-3

A ．0

B ．2

C ．4

D ．14

[解析] 逐一写出循环：a ＝14，b ＝18→a ＝14，b ＝4→a ＝10，b ＝4→a ＝6，b ＝4→a ＝2，b ＝4→a ＝2，b ＝2，结束循环．故选B. 【答案】B

9.鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一。大约在1500年前 ，《子算经》中就记鸡兔同笼载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数有35个头；从下面数有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？下列程序框图是计算鸡兔同笼的的算法，则判断框①处可填入的是 （ ）

【解析】根据程序框图结合鸡兔同笼的提问，n 表示鸡的个数，m

表示兔的个数，鸡从1

故选C.

【答案】C

10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足，

M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M

，N ）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割（M ，N ）,下列选项中，不可能成立的是（ ）

A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素

B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素

C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素

D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素

【解析】因为M 与N 满足

，

M 为(－∞

的子集,N 为∞)的子集，或M 为(－∞

的子集,N 为∞)的子集,此时M 没有最大值,N 没有最小值，若分界点为1，M 为(－∞,1]的子集,N 为(1,+ ∞)的子集时M 有