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2016年高中数学导数高考真题

高中数学导数高考真题

一(选择题(共7小题)

||2x1(函数y=2x,e在[,2，2]的图象大致为( ) A( B(

C( D(

22(函数y=sinx的图象是( )

A( B( C(

D(

3(若函数f(x)=x,sin2x+asinx在(,?，+?)单调递增，则a的取值范围

是( )

A([,1，1] B([,1，] C([,，] D([,1，,]

34(已知a为函数f(x)=x,12x的极小值点，则a=( ) A(,4 B(,2 C(4 D(2 5(若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相第1页(共37页)

垂直，则称y=f(x)具有T性质(下列函数中具有T性质的是( )

x3A(y=sinx B(y=lnx C(y=e D(y=x

6(函数f(x)=的图象如图所示，则下列结论成立的是( )

A(a,0，b,0，c,0 B(a,0，b,0，c,0 C(a,0，b,0，c,0 D(a,0，b,0，c,0 7(设函数f′(x)是奇函数f(x)(x?R)的导函数，f(,1)=0，当x,0时，

xf′(x),f(x),0，则使得f(x),0成立的x的取值范围是( ) A((,?，,1)?(0，1) B((,1，0)?(1，+?) C((,?，,1)?(,1，0) D((0，1)?(1，+?)

二(填空题(共8小题)

x8(已知函数f(x)=(2x+1)e，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为 (

9(函数f(x)=(x?2)的最大值为 (

,,x110(已知f(x)为偶函数，当x?0时，f(x)=e,x，则曲线y=f(x)在点(1，2)处的切线方程是 (

11(已知f(x)为偶函数，当x,0时，f(x)=ln(,x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1，,3)处的切线方程是 (

12(若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= (

x13(函数y=xe在其极值点处的切线方程为 (

214(曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (

315(已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，

第2页(共37页)

则a= (

三(解答题(共15小题)

16(已知函数f(x)=(x+1)lnx,a(x,1)(

(I)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程; (II)若当x?(1，+?)时，f(x),0，求a的取值范围(

,ax17(设函数f(x)=xe+bx，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y= (e,1)x+4，

(?)求a，b的值;

(?)求f(x)的单调区间(

218(设f(x)=xlnx,ax+(2a,1)x，a?R(

(?)令g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间;

(?)已知f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围(

2,a,lnx，g(x)=,，其中a?R，e=2.718…为自然19(设函数f(x)=ax

对数的底数(

(?)讨论f(x)的单调性;

(?)证明:当x,1时，g(x),0;

(?)确定a的所有可能取值，使得f(x),g(x)在区间(1，+?)内恒成立(

20(设函数f(x)=lnx,x+1(

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明当x?(1，+?)时，1,,x;

x(3)设c,1，证明当x?(0，1)时，1+(c,1)x,c(

x221(已知函数f(x)=(x,2)e+a(x,1)(

(?)讨论f(x)的单调性;

(?)若f(x)有两个零点，求a的取值范围(

322(设函数f(x)=(x,1),ax,b，x?R，其中a，b?R( (1)求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)存在极值点x，且f(x)=f(x)，其中x?x，求证:x+2x=3; 0101010(3)设a,0，函数g(x)=|f(x)|，求证:g(x)在区间[0，2]上的最大值不第3页(共37页)

小于(

23(设函数f(x)=acos2x+(a,1)(cosx+1)，其中a,0，记|f(x)|的最大值为A( (?)求f′(x);

(?)求A;

(?)证明:|f′(x)|?2A(

xx24((?)讨论函数f(x)=e的单调性，并证明当x,0时，(x,2)e+x+2,0;

(?)证明:当a?[0，1)时，函数g(x)=(x,0)有最小值(设g(x)的最小值为

h(a)，求函数h(a)的值域(

325(设函数f(x)=x,ax,b，x?R，其中a，b?R(

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)存在极值点x，且f(x)=f(x)，其中x?x，求证:x+2x=0; 0101010(3)设a,0，函数g(x)=|f(x)|，求证:g(x)在区间[,1，1]上的最大值不小于(

x226(已知函数f(x)=(x,2)e+a(x,1)有两个零点( (?)求a的取值范围;

(?)设x，x是f(x)的两个零点，证明:x+x,2( 1212

27(已知f(x)=a(x,lnx)+，a?R(

(I)讨论f(x)的单调性;

(II)当a=1时，证明f(x),f′(x)+对于任意的x?[1，2]成立(

3228(设函数f(x)=x+ax+bx+c(

(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程;

(2)设a=b=4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围;

2(3)求证:a,3b,0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件(

xx29(已知函数f(x)=a+b(a,0，b,0，a?1，b?1)(

第4页(共37页)

(1)设a=2，b=(

?求方程f(x)=2的根;

?若对于任意x?R，不等式f(2x)?mf(x),6恒成立，求实数m的最大值; (2)若0,a,1，b,1，函数g(x)=f(x),2有且只有1个零点，求ab的值(

330(设函数f(x)=x+，x?[0，1]，证明:

2(?)f(x)?1,x+x

(?),f(x)?(

第5页(共37页)

高中数学导数高考真题

参考答案与试题解析

一(选择题(共7小题)

||2x1((2016?新课标?)函数y=2x,e在[,2，2]的图象大致为( )

A( B(

C( D( 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用

排除法，可得答案(

||2x【解答】解:?f(x)=y=2x,e，

|,|||2x2x?f(,x)=2(,x),e=2x,e，

故函数为偶函数，

2当x=?2时，y=8,e?(0，1)，故排除A，B;

2x当x?[0，2]时，f(x)=y=2x,e，

x?f′(x)=4x,e=0有解，

||2x故函数y=2x,e在[0，2]不是单调的，故排除C，故选:D

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除

法解答(

22((2016?浙江)函数y=sinx的图象是( )

第6页(共37页)

A( B( C(

D(

【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可( 22【解答】解:?sin(,x)=sinx，

2?函数y=sinx是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C;

2由y=sinx=0，

2则x=kπ，k?0，

则x=?，k?0，

故函数有无穷多个零点，排除B，

故选:D

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键(比较基础(

3((2016?新课标?)若函数f(x)=x,sin2x+asinx在(,?，+?)单调递增，则a的取值范围是( )

A([,1，1] B([,1，] C([,，] D([,1，,] 【分析】求出f(x)的导数，由题意可得f′(x)?0恒成立，设t=cosx(,1

2?t?1)，即有5,4t+3at?0，对t讨论，分t=0，0,t?1，,1?t,0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围( 【解答】解:函数

f(x)=x,sin2x+asinx的导数为f′(x)=1,cos2x+acosx，由题意可得f′(x)?0恒成立，

即为1,cos2x+acosx?0，

第7页(共37页)

2即有,cosx+acosx?0，

2设t=cosx(,1?t?1)，即有5,4t+3at?0，

当t=0时，不等式显然成立;

当0,t?1时，3a?4t,，

由4t,在(0，1]递增，可得t=1时，取得最大值,1，

可得3a?,1，即a?,;

当,1?t,0时，3a?4t,，

由4t,在[,1，0)递增，可得t=,1时，取得最小值1，可得3a?1，即a?(

综上可得a的范围是[,，](

故选:C(

【点评】本题考查导数的运用:求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题( 34((2016?四川)已知a为函数f(x)=x,12x的极小值点，则a=( ) A(,4 B(,2 C(4 D(2

2【分析】可求导数得到f′(x)=3x,12，可通过判断导数符号从而得出f(x)的极小值点，从而得出a的值(

2【解答】解:f′(x)=3x,12;

?x,,2时，f′(x),0，,2,x,2时，f′(x),0，x,2时，f′(x),0; ?x=2是f(x)的极小值点;

又a为f(x)的极小值点;

?a=2(

故选D(

【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象(

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5((2016?山东)若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质(下列函数中具有T性质的是( ) x3A(y=sinx B(y=lnx C(y=e D(y=x

【分析】若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f(x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为,1，进而可得答案(

【解答】解:函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，

则函数y=f(x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为,1，当y=sinx 时，y′=cosx，满足条件;

当y=lnx时，y′=,0恒成立，不满足条件;

xx当y=e时，y′=e,0恒成立，不满足条件;

32当y=x时，y′=3x,0恒成立，不满足条件;

故选:A

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档(

6((2015?安徽)函数(fx)=的图象如图所示，则下列结论成立的是( )

A(a,0，b,0，c,0 B(a,0，b,0，c,0 C(a,0，b,0，c,0 D(a,0，b,0，c,0 【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值进行判断即可( 【解答】解:函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以,c,0，得c,0，第9页(共37页)

f(0)=，?b,0，

由f(x)=0得ax+b=0，即x=,，

即函数的零点x=,,0，

?a,0，

综上a,0，b,0，c,0，

故选:C

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f(0)的符号是解决本题的关键(

7((2015?新课标?)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x?R)的导函数，f(,1)=0，当x,0时，xf′(x),f(x),0，则使得f(x),0成立的x的取值范围是( )

A((,?，,1)?(0，1) B((,1，0)?(1，+?) C((,?，,1)?(,1，0) D((0，1)?(1，+?)

【分析】由已知当x,0时总有xf′(x),f(x),0成立，可判断函数g(x)=为减函数，由已知f(x)是定义在R上的奇函数，可证明g(x)为(,?，0)?(0，+?)上的偶函数，根据函数g(x)在(0，+?)上的单调性和奇偶性，模拟g(x)的图象，而不等式f(x),0等价于x?g(x),0，数形结合解不等式组即可(

【解答】解:设g(x)=，则g(x)的导数为:g′(x)=， ?当x,0时总有

xf′(x),f(x)成立，

即当x,0时，g′(x)恒小于0，

?当x,0时，函数g(x)=为减函数，

又?g(,x)====g(x)，

?函数g(x)为定义域上的偶函数

又?g(,1)==0，

第10页(共37页)

?函数g(x)的图象性质类似如图:

数形结合可得，不等式f(x),0?x?g(x),0

?或，

?0,x,1或x,,1(

故选:A(

【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题(

二(填空题(共8小题)

x8((2016?天津)已知函数f(x)=(2x+1)e，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为 3 (

【分析】先求导，再带值计算(

x【解答】解:?f(x)=(2x+1)e，

xx?f′(x)=2e+(2x+1)e，

00?f′(0)=2e+(2×0+1)e=2+1=3(

故答案为:3(

【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题(

9((2016?北京)函数f(x)=(x?2)的最大值为 2 ( 【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该

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函数在[2，+?)上为减函数，从而x=2时f(x)取最大值，并可求出该最大值( 【解答】解:;

?f(x)在[2，+?)上单调递减;

?x=2时，f(x)取最大值2(

故答案为:2(

【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法(

,,x110((2016?新课标?)已知f(x)为偶函数，当x?0时，f(x)=e,x，则曲线

y=f(x)在点(1，2)处的切线方程是 y=2x (

【分析】由已知函数的奇偶性结合x?0时的解析式求出x,0时的解析式，求出导函数，得到f′(1)，然后代入直线方程的点斜式得答案(

,,x1【解答】解:已知f(x)为偶函数，当x?0时，f(x)=e,x，设x,0，

则,x,0，

,x1?f(x)=f(,x)=e+x，

,x1则f′(x)=e+1，

0f′(1)=e+1=2(

?曲线y=f(x)在点(1，2)处的切线方程是y,2=2(x,1)( 即y=2x(

故答案为:y=2x(

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题(

11((2016?新课标?)已知f(x)为偶函数，当x,0时，f(x)=ln(,x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1，,3)处的切线方程是 2x+y+1=0 ( 【分析】由偶函数的定义，可得

f(,x)=f(x)，即有x,0时，f(x)=lnx,3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式

方程可得切线的方程( 【解答】解:f(x)为偶函数，可得f(,x)=f(x)，当x,0时，f(x)=ln(,x)+3x，即有

第12页(共37页)

x,0时，f(x)=lnx,3x，f′(x)=,3，

可得f(1)=ln1,3=,3，f′(1)=1,3=,2，

则曲线y=f(x)在点(1，,3)处的切线方程为y,(,3)=,2(x,1)，即为2x+y+1=0( 故答案为:2x+y+1=0(

【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义

和运用，考查运算能力，属于中档题(

12((2016?新课标?)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= 1,ln2 (

【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数

值，综合联立求解即可

【解答】解:设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x，kx+b)、(x，112kx+b); 2

由导数的几何意义可得k==，得x=x+1 12

再由切点也在各自的曲线上，可得

联立上述式子解得;

从而kx+b=lnx+2得出b=1,ln2( 11

【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题

x13((2015?陕西)函数y=xe在其极值点处的切线方程为 y=, ( 【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程(

xx【解答】解:依题解:依题意得y′=e+xe，

令y′=0，可得x=,1，

第13页(共37页)

?y=,(

x因此函数y=xe在其极值点处的切线方程为y=,(

故答案为:y=,(

【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力(属于基础题(

214((2015?天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 ( 【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可( 【解答】解:先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0

212直线y=x与曲线y=x所围图形的面积S=?(x,x)dx 0

211而?(x,x)dx=()|=,= 00

?曲边梯形的面积是(

故答案为:(

【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数( 315((2015?新课标?)已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a= 1 (

【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可(

第14页(共37页)

32【解答】解:函数f(x)=ax+x+1的导数为:f′(x)=3ax+1，f′(1)=3a+1，而f(1)=a+2，

切线方程为:y,a,2=(3a+1)(x,1)，因为切线方程经过(2，7)，所以

7,a,2=(3a+1)(2,1)，

解得a=1(

故答案为:1(

【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力( 三(解答题(共15小题)

16((2016?新课标?)已知函数f(x)=(x+1)lnx,a(x,1)( (I)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程; (II)若当x?(1，+?)时，f(x),0，求a的取值范围( 【分析】(I)当a=4时，求出曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率，即可求出切线方程;

(II)先求出f′(x),f′(1)=2,a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围(

【解答】解:(I)当a=4时，f(x)=(x+1)lnx,4(x,1)( f(1)=0，即点为(1，0)，

函数的导数f′(x)=lnx+(x+1)?,4，

则f′(1)=ln1+2,4=2,4=,2，

即函数的切线斜率k=f′(1)=,2，

则曲线y=f(x)在(1，0)处的切线方程为y=,2(x,1)=,2x+2;

(II)?f(x)=(x+1)lnx,a(x,1)，

?f′(x)=1++lnx,a，

?f″(x)=，

?x,1，?f″(x),0，

?f′(x)在(1，+?)上单调递增，

?f′(x),f′(1)=2,a(

第15页(共37页)

?a?2，f′(x),f′(1)?0，

?f(x)在(1，+?)上单调递增，

?f(x),f(1)=0，满足题意;

?a,2，存在x?(1，+?)，f′(x)=0，函数f(x)在(1，x)上单调递减，000

在(x，+?)上单调递增， 0

由f(1)=0，可得存在x?(1，+?)，f(x),0，不合题意( 00

综上所述，a?2(

【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度(

,ax17((2016?北京)设函数f(x)=xe+bx，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线

方程为y=(e,1)x+4，

(?)求a，b的值;

(?)求f(x)的单调区间(

【分析】(?)求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及

f(2)，建立方程组关系即可求a，b的值;

(?)求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f(x)的单调区间( 【解答】解:(?)?y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y=(e,1)x+4， ?当x=2时，y=2(e,1)+4=2e+2，即f(2)=2e+2，

同时f′(2)=e,1，

,ax?f(x)=xe+bx，

,,axax?f′(x)=e,xe+b，

则，

即a=2，b=e;

(?)?a=2，b=e;

,2x?f(x)=xe+ex，

,,,2x2x2x?f′(x)=e,xe+e=(1,x)e+e，

第16页(共37页)

,,,2x2x2xf″(x)=,e,(1,x)e=(x,2)e，

由f″(x),0得x,2，由f″(x),0得x,2，

,22即当x=2时，f′(x)取得极小值f′(2)=(1,2)e+e=e,1,0，?f′(x),0恒成立，

即函数f(x)是增函数，

即f(x)的单调区间是(,?，+?)(

【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键(综合性较强( 218((2016?山东)设f(x)=xlnx,ax+(2a,1)x，a?R(

(?)令g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间;

(?)已知f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围( 【分析】(?)先求出g(x)=f′(x)的解析式，然后求函数的导数g′(x)，利用函数单调性和导数之间的关系即可求g(x)的单调区间; (?)分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论(

2【解答】解:(?)?f(x)=xlnx,ax+(2a,1)x，

?g(x)=f′(x)=lnx,2ax+2a，x,0，

g′(x)=,2a=，

当a?0，g′(x),0恒成立，即可g(x)的单调增区间是(0，+?); 当a,0，当x,时，g′(x),0，函数为减函数，