衡水中学2022年高考数学复习分项汇编 专题06 三角函数【理科】(原卷版+解析版)

专题06 三角函数一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．34C ．43 D ．43-2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()f x x ω=和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移1个单位D ．向右平移2π个单位3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()33ππ+=-f x f xB ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +≥恒成立4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为A ．2013B ．1C ．0D ．20146. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，BC AC =根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ．C ．D ．7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若12()()4f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数f (x )的最小值为－22. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4πC ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为三、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc取得最小值时，a b c +的值为___________.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.3. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________. 四、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =AC .（1）求BD ；（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求sin sin αβ的值. 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos sin b c a B B +=.（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积的最大值.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC 的形状.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 222CC -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B =2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠； （2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积． 6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处． (1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC③BDC 的周长为5. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,1BD AC BC ===． （1）求CBD ∠的大小； （2）求ADE 的面积．专题06 三角函数一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．34C ．43 D ．43-【答案】B 【解析】由题可得22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===++，解得3tan 4α=±. ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan 4α∴=-，因此，sin sin 3tan 3cos 4sin 2αααπαα==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：B.2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()f x x ω=和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移2π个单位【答案】A 【解析】如图所示：()()f x x g x x ωω===，故tan 1x ω=，,4k x k Z ππωω=+∈. 取靠近原点的三个交点，3,14A πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,14B πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,14C πω⎛⎫- ⎪⎝⎭， ABC ∆为等腰直角三角形，故532444πππωωω+==，故2πω=，故()2f x x π=，()222g x x x πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 故为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象向左平移1个单位 . 故选：A .3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()33ππ+=-f x f xB ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +≥恒成立【答案】D 【解析】因为()3sin 2sin 21sin 22121326f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以51136f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3f π⎛⎫⎪⎝⎭既不是最大值也不是最小值，所以直线3x π=不是其图象的对称轴，故A 错误；因为图象整体向上平移了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，且01112f π⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，所以点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭是其对称中心，故B 错误；任取方程()1f x =得到的两个根，即为方程sin 206π⎛⎫+= ⎪⎝⎭x 的任意两根，它们之间相差为2T 的整数倍，且22T ππ==，所以它们彼此之间相差的是2π的整数倍，故C 错误；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时()f x 1+1，所以对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()12321f x f x f x +>≥恒成立，故D 正确.故选：D.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论：①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】解:()()(){}sin cos ,cos 0,min ,sin cos ,cos 0,x x x h x f x g x x x x +≤⎧==⎨->⎩3,22,422,22,422x k x k x k x k ππππππππππ⎛⎫++≤≤+ ⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<<+ ⎪⎪⎝⎭⎩()k Z ∈.因为()(),f x g x 都是周期为2π的函数，所以()h x 的周期为2π，①错误； 如下图所示（一个周期内图象）：()h x 的对称轴方程为：2122k x k πππ+=+=，k Z ∈，②正确； 由图直接得知③正确；当3,(,)35,,()44442x x x f x ππππππ⎛⎛⎫++∈ ⎪⎫∈=⎝⎭ ⎪⎝⎭，()f x ∴在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，④正确. 故选：D.5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为A ．2013B ．1C ．0D ．2014【答案】A【解析】 ∵a 2+b 2=2014c 2，∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosB sinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013． 故答案为：A6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，BC AC =根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）AB．C．D．【答案】C 【解析】由题意可得：72ACB ∠=︒，且12cos BCACB AC ∠=所以22cos1442cos 72121︒=︒-=⨯-=⎝⎭所以()()sin1674sin 2344360sin 234sin 14490cos144︒=︒+⨯︒=︒=︒+︒=︒= 故选：C7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-【答案】B 【解析】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅ B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅【答案】C 【解析】连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅， 故选项A 不正确；在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==， 故选项D 不正确；211||(||)(||)(1cos2)sin 222dNC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，故选项B 不正确；因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =， 所以||DC DM =.又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥， 所以Rt DNC Rt ADC ∽， 所以||||||||DC NC AC DC =，所以2||||||(||)2d DC AC NC d AB =⋅=⋅-， 故选项C 正确. 故选：C9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<【答案】C 【解析】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若12()()4f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数f (x )的最小值为－2 【答案】BCD 【解析】 解：由题意可得：32cos (2,2)2cos sin cos 44()sin cos sin cos 2sin sin cos 52sin [2,2]44xx k k x x x f x x x x x x x x xx k k ππππππππ⎧∈-+⎪<⎧⎪=++-==⎨⎨⎩⎪∈++⎪⎩，函数图象如下所示故对称轴为4x k ππ=+，()k Z ∈，故A 正确；显然函数在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减，故B 错误；当524x k ππ=+，()k Z ∈时函数取得最小值()min f x =D 错误； 要使12()()4f x f x +=，则12()()2f x f x ==，则112πx k 或1122x k ππ=+，222x k π=或2222x k ππ=+，()12,k k Z ∈所以2122x x k ππ+=+或21x x k π+=， ()k Z ∈，故C 错误．故选：BCD ．2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】AD 【解析】解: 因为π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π4sin 55α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，32ππsin 2πsin 2π2sin cos 5555αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以324sin 2π525α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭．故选: AD3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4πC ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为【答案】ABC【解析】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y =2cos ,2x再将得到的图象向左平移π个单位长度，得()2cos 2sin 22x x g x π+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()()2sin 2sin 22x x g x g x ⎛⎫⎛⎫-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 为奇函数，故A 正确；由周期公式2412T ππ==，所以()g x 的周期为4π，故B 正确； 又()g x 在x π=时取得最小值2-，所以()g x 的图象关于直线x π=对称，故C 正确；令322222x k k ππππ++，解得43k x πππ++4,,k k Z π∈ 所以()g x 在区间[]4,34(k k k ππππ++∈Z )上单调递增，取0,k =得[],3,ππ 所以()g x 在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以最小值为()2g π=-，故D 错误.故选：ABC. 三、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc取得最小值时，a b c +的值为___________.【解析】由正弦定理将3cos 3cos 5sin b C c B a A +=变形可得 23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=， 由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =， 而A 是锐角，所以4cos 5A =， 则由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则222228855b c bc a b c bc bc bc +-+==-28255bc bc -=≥，当且仅当b c =时，2a bc取得最小值25，故2225ab =，故a ，所以a b c +.故答案为:2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.【答案】2 【解析】∵1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A ∈（0，π）∴2A+6π=56π，可得A =3π∵b=1，△ABC∴S =12112c sinA ⨯⨯⨯=c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123cos π⨯=3∴a根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=asinA3sin故答案为23. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.【答案】5 【解析】由3sin(2)sin 2αββ+=，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以tan()5tan αβα+=.故答案为：5.4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.【答案】[0, 【解析】由22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数52sin 2cos ,2,2,44()sin cos 52cos 2sin ,2,22,2244x x x k k f x x x x x x k k k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=*=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈+⋃++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理可得：()2sin cos |sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∣∣ 由[]sin 1,14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，得[]|sin 0,14x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∣，即sin 0,4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭∣ 所以()f x的值域为[0,.故答案为：[0,5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________.【解析】在ABC中，易求sin B =.又6,4BC AB ==， 由余弦定理可得2222212cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2sin AC r B ==，所以r =.四、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =，连接AC .（1）求BD ；（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求sin sin αβ的值. 【答案】（1）2；（2【解析】解：（1）在BCD △中，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠222224=+-⨯⨯， 所以2BD =；（2）由题意可得360150ADC ABC BAD BCD ∠=︒-∠-∠-∠=︒， 在ACD △中，由正弦定理sin sin AC CDADC β=∠，在ABC 中，由正弦定理sin sin AC BCABC α=∠，两式相除可得：sin sin sin sin CD ABCBC ADCαβ∠⋅=∠，所以sin sin 2sin sin ABC BC ADC CD αβ∠=⋅∠所以sin sin αβ 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos sin b c a B B +=.（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin cos sin B C A B A B +=A B C π++=∴sin sin()C A B =+sin sin()sin cos sin B A B A B A B ++=化简得sin cos 1)0B A A --=sin 0B >，cos 1A A -=，可得：1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0A x <<∴3A π=（2）由已知a =1），根据余弦定理得2212cos 2b c A bc+-=， 即2211222b c bc+-=， ∴2212bc b c =+-222b c bc +≥，12bc ≤（当且仅当b c =时取号）∴111sin 12222ABC S bc A bc ==⋅=△b c =时取号）3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)(2)直角三角形【解析】(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒. (2)∵1cos 2A =，∴222122b c a bc +-=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c +，若2b c =，则a =， ∴)2222224a c c c b +=+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 222CC -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B 2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .【答案】选择见解析；π6C =，1S =【解析】选①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=， 因为sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，所以由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B A A B C A B +=，即2sin sin 4sin sin sin B A C A B =，所以1sin 2C =， 因为()0,πC ∈，所以π6C =或5π6C =. 若5π6C =，由sin sin A B = 而π6A <，π6B <，从而1sin sin 4A B <，矛盾，舍去.故π6C =， 接下来求△ABC 的面积S .法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R B B ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==，111sin 4(11222ABCSab C ∴==⨯⨯=. 法二：由（1）得cos C =，即cos cos sin sin A B A B -=sin sin A B，cos cos A B ∴=1cos()cos cos sin sin 2A B A B A B ∴-=+=， 5π5π(,)66A B -∈-，π3A B ∴-=或π3B A -=， 当π3A B -=时，又5π6A B +=，7π12A ∴=，π4B =，由正弦定理得π2sinsin 4πsin sin6c B b C ===117π1sin 2sin 122122ABC S bc A ∴==⨯==△当π3B A -=时，同理可得1ABCS =故△ABC的面积为1选②2cos 222CC -=，因为2cos 222C C -=，所以22cos 1cos )20C C --=，即22cos 30C C -=，(2cos 0C C +=，所以cos C =或cos C =， 因为()0,πC ∈，所以π6C =. 以下同解法同①，选③()sin sin sin a A b B c C +=，由()sin sin sin a A b B c C +=及正弦定理得()22a abc +=，即222a b c +-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==0πC <<，π6C ∴=， 以下解法同①.5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠； （2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1；（2． 【解析】（1）在ABC 中，π3ABC ∠=，3AB =，1BC =， 由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠ 2213123172=+-⨯⨯⨯=，所以AC = 由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，sin sin BC ABC BAC AC ⋅∠∠=== 在AOB 中，由正弦定理得sin sin OB OA BAC ABD=∠∠， 即sin sin OB ABD OA BAC ⋅∠=⋅∠，同理，在AOD △中，sin sin OD ADB OA DAC ⋅∠=⋅∠．又因为sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，所以sin sin OA BAC OA DAC ⋅∠=⋅∠．所以sin sin DAC BAC ∠=∠= （2）在ADC 中，由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC=∠∠，=，所以1CD =． 又由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅， 即211722AD AD+--=，解得2AD =． S 四边形ABCD 11sin sin 22△△=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯∠ADC ABC S S AD AC DAC AB AC BAC ()1sin 2AC DAC AD AB =⨯∠⨯+=． 6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？【答案】（1）2【解析】(1)在Rt △PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1，∴AB在Rt △PAC 中，∠APC ＝30°，∴AC 在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°，∴BC1060(千米/时)． (2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin ∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin ∠ACBsin ∠CDA ＝sin(∠ACB －30°)＝sin ∠ACB·cos30°－cos ∠ACB·sin30°由正弦定理得AD 7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC③BDC 的周长为5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；CD =【解析】解：因为cos23cos 1B B +=，所以22cos 3cos 20B B +-= 解得1cos 2B =或cos 2(B =-舍去)，所以在ABC 中,3B π=. 因为23sin sin sin ,4A CB ==所以2.b ac = 所以由余弦定理得22222cos b a c ac B a =+-=+2c ac -又2,b ac =所以2220,a c ac +-=即a c =，所以ABC 为等边三角形. 因为1,3AD AB = 所以在ADC 中，由余弦定理得CD== 选择条件①：由ABC 的外接圆面积为3,π得2R =所以sin 3aπ=所以 3.a =故CD =选择条件②：由ADC得ABC2=解得 3.a =故CD =选择条件③：由BDC的周长为5，得253a a += 所以 3.a =故CD =8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,1BD AC BC ===．（1）求CBD ∠的大小；（2）求ADE 的面积．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）在ABC 中，2,1AB AC BC ===，由余弦定理得2221cos 22AB BC AC ABC AB BC +-∠===-⨯． 因为0ABC π<∠<，所以23ABC π∠=，从而233CBD ABD ππ∠=-∠=． （2）由3CBD ADB π∠==∠知，//BC AD ，所以BCE DAE ∽， 所以12BC BE AD DE ==，所以2DE BE =．因为2BD =，所以43DE =．所以114sin 2sin 2233ADE S AD DE ADE π=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=．。