考向33 一类与圆有关的最值与范围问题(七大经典题型)(原卷版)
考向33 一类与圆有关的最值与范围问题经典题型一：斜率型 经典题型二：直线截距型 经典题型三：两点距离型 经典题型四：周长、面积型 经典题型五：数量积型 经典题型六：坐标与角度型 经典题型七：弦长型（多选题）（2021·全国·高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略： （1）数形结合 （2）多与圆心联系 （3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题经典题型一：斜率型1．（2022·全国·高三专题练习）曲线211y x =-()21y k x -=-有两个交点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．11,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦2．（2022·浙江·模拟预测）已知圆22:(3)(2)1O x y ++-=，过点(1,0)A -与圆上一点的直线的斜率范围是_______；若点A 恰好为过其所在的直线中对圆O 张角最大的点（张角是指这个点到圆所作两条切线的夹角），则此直线的表达式为_______________．3．（2022·上海市光明中学模拟预测）设有直线30l kx y l +-=：，的倾斜角为α．若在直线l 上存在点A 满足2OA =，且tan 0α<，则k 的取值范围是____________．4．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知点P 是圆221x y +=上任意一点，则2yx -的取值范围为________．经典题型二：直线截距型5．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（ ） A ．52B ．52C ．6D ．56．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(2A ，则y x -的最大值与最小值之和为（ ） A ．4B ．26C ．4-D ．26-7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（ ） A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+= B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是32,32⎡-⎣8．（多选题）（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知11(,)A x y ，22(,)B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．若1AB =，则3AOB π∠=B ．若点O 到直线AB 的距离为12，则3AB =C ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为22D ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为4经典题型三：两点距离型9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知向量,a b 满足1a = ，2b = ，0a b ⋅= ，若向量c 满足21a b c +-= ，则c 的取值范围是（ ） A ．51⎡⎤⎣⎦B ．3131⎡-+⎢⎣⎦C ．5151-+⎣⎦D ．5152⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 10．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且222||||||PA PB PC +=，求||PD 的取值范围．11．（2022·全国·高三专题练习）已知22:(3)(4)1C x y -+-=，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P 是圆上的动点，求22||||d PA PB =+的最大值、最小值及对应的P 点坐标．12．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,0)2)-⋃ B ．(22,22)- C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-13．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知单位向量a 与向量()0,2b =垂直，若向量c 满足1a b c ++=，则c 的取值范围为（ ） A ．51⎡⎤⎣⎦B ．3131⎡-+⎢⎣⎦C ．551⎡⎤⎣⎦D ．31⎡⎤+⎢⎥⎣⎦14．（2022·全国·高三专题练习）已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:310(R)l mx y m m --+=∈与直线2:310(R)l x my m m +--=∈相交于点P ，则||PM 的取值范围是（ ）A ．31,231⎡⎤⎣⎦B ．21,321⎡⎤⎣⎦C ．21,221⎤⎦D ．21,331⎡⎤⎣⎦经典题型四：周长、面积型15．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）过圆O ：222x y r +=()0r >外一点()22,0引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，直线l 的斜率为2则r =______．16．（2022·湖北·高三开学考试）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，过点(3,3)P 作不过圆心的直线交圆C 于,A B 两点，则ABC 面积的取值范围是___________.17．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知圆M 上的三个点分别为()0,1A -，()1,2B -，()4,1C ，直线l 的方程为()2120mx m y +-+=，则下列说法正确的是（ ） A ．圆M 的方程为2230x y x y +-+=B ．过C 作直线l '与线段AB 相交，则直线l '的斜率的取值范围为[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．若直线l 被圆M 截得的弦长为2，则l 的方程为12520x y -+=或2y =-D ．当点M 到直线l 的距离最大时，过l 上的点R 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，则四边形RPMQ 面积的最小值为21018．（2022·北京·高三开学考试）已知直线l ：110ax y a+-=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，则下面结论中正确的是（ ） A ．线段AB 长度的最小值为1 B ．线段AB 长度的最大值为2 C ．OAB 的面积最小值为4D ．OAB 的面积最大值为1219．（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）若直线:0()l kx y k k +-=∈R 与圆22:4230C x y x y +---=交于A ，B 两点，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．23D ．43经典题型五：数量积型20．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且满足2PB PA =，则点P 横坐标0x 的取值范围是___________．21．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的取值范围为（ ） A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞--D ．4(7,)1)30(,---22．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 与圆O ：229x y +=相交于不同两点P ，Q ，点M 为线段PQ 的中点，若平面上一动点C 满足()0CP CQ λλ=>，则OC OM ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,3 B ．(0,32C ．[)0,9D ．(0,6223．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知圆M ：22(4)(5)12x y -+-=，直线l ：230mx y m --+=，直线l 与圆M 交于A ，C 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点(2,3)B ．||AC 的最小值为4C ．MA MC ⋅的取值范围为[12,4]-D ．当AMC ∠最小时，其余弦值为1224．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（ ） A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，22OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()77⎡-∞+∞⎣，，D ．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4225．（多选题）（2022·湖北·襄阳五中二模）已知点()2,4P ，若过点()4,0Q 的直线l 交圆C ：()2269x y -+=于A ，B 两点，R 是圆C 上一动点，则（ ）A ．AB 的最小值为5B ．P 到l 的距离的最大值为5C ．PQ PR ⋅的最小值为245-D ．PR 的最大值为42326．（2022·全国·高三专题练习）已知(4,0)A ，(0,6)B -，点P 在曲线211y x =-则PA PB ⋅的最小值为___________.经典题型六：坐标与角度型27．（2022·山东泰安·二模）已知以C 为圆心的圆222440x y x y +--+=．若直线220ax by +-=（a ，b 为正实数）平分圆C ，则21a b+的最小值是______；设点()0,3M x ，若在圆C 上存在点N ，使得∠CMN ＝45°，则0x 的取值范围是______． 故答案为：322+[]0,2.28．（2022·全国·高三专题练习）已知实数x ，y 满足()()22121x y -+-=，则22z x y =+的取值范围是___________.29．（2022·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．-7C ．1或-1D ．2或-730．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 为圆22:2220C x y x y +---=上一点，点()23,4M m m --，()23,4N n n --，m n ≠，若对任意的点A ，总存在点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则m n -的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[]1,2C ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,5⎛⎤⎥⎝⎦31．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆229:4O x y +=，圆22:()(1)1M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得π3APB ∠=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[15,15]- B ．[3,3]-C ．[3,15]D ．[15,3][3,15]-32．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））设(2,0),(2,0)A B -，O 为坐标原点，点P 满足22||||16PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得π4PQO ∠=，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1414⎡⎢⎣⎦B ．1414,,2⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭C ．55,,2⎛⎡⎤-∞+∞ ⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．55⎡⎢⎣⎦33．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知直线l ：10x my ++=与圆O ：2234x y +=相交于不同的两点A ，B ，若∠AOB 为锐角，则m 的取值范围为（ ） A ．153315⎛⋃ ⎝⎭⎝⎭B ．1515⎛ ⎝⎭C ．1515,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．153⎛ ⎝⎭经典题型七：弦长型34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 l 过点()1,2A ，则直线 l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（ ） A ．3B ．6C ．33D ．6335．（2022·广东·高三阶段练习）若圆22:1024880C x y x y +-++=关于直线260ax by ++=对称，则过点(,)a b 作圆C 的切线，切线长的最小值是________．36．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）直线210x y --=与直线20x y +-=相交于点A ，则点A 坐标为_______，过A 的直线与曲线226440x y x y +--+=交于M ，N ，则||MN 的取值范围是________．37．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆2242200x y x y +-+-=相交于A ，C ，B ，D 四点，M 为弦AB 的中点，有下列结论：①弦AC 长度的最小值为45； ②线段BO 长度的最大值为105-； ③点M 的轨迹是一个圆；④四边形ABCD 面积的取值范围为205,45⎡⎤⎣⎦．其中所有正确结论的序号为______．1．（2021·北京·高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B ．2±C ．3D ．2±2．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4B ．5C ．6D ．73．（2020·全国·高考真题（文））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．44．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=5．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 6．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =7．（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．。
2024中考压轴题05 圆的综合(5题型+解题模板+技巧精讲)(原卷版)
压轴题05圆的综合目录题型一切线的判定题型二圆中求线段长度题型三圆中的最值问题题型四圆中的阴影部分面积题型五圆中的比值（相似）问题下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的题型一切线的判定解题模板：技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，AB 为O 的直径，如果圆上的点D 恰使ADC B ∠=∠，求证：直线CD 与O 相切．【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，CE 平分ACB ∠交O 于点E ，过点E 作EF AB ∥，交CA 的延长线于点F ．求证：EF 与O 相切；【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF与O相切；(2)若41sin5BF AFE=∠=，，求BC的长．【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD AE⊥，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．(1)求证：CD是O的切线；题型二圆中求线段长度解题模板：【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知AB为O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交O于点E，垂足为点D，AC平分BAD∠．(1)求证：CD 是O 的切线； (2)若8AC =，6BC =，求DE 的长．【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，点C 是AE 的中点，连接BC ，过点C 的直线垂直于BE 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点P ．(1)求证：PC 为⊙O 的切线；(2)若PC =，10PB =，求BE 的长．【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在O 中，AB 为O 的直径，点C 为O 上一点，AD 为CAB ∠的平分线交O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG AF ∥交AB 于点G ．若AD =4DE =，求DG 的长．【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，连接CO 交O 于点E ，O 与AC 相切于点D ．(1)求证：BC是O的切线；(2)延长CO交O于点G，连接AG交O于点F，若AC FG的长．题型三圆中的最值问题解题模板：技巧精讲：1、辅助圆模型【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在O 中，AB 为直径，C 是O 上一点，3,4AC BC ==.过O 分别作OH BC ⊥于点H ，OD AC ⊥于点D ，点E 、F 分别在线段BC AC 、上运动（不含端点），且保持90EOF ∠=︒．(1)OC =______；四边形CDOH 是______（填矩形/菱形/正方形）； CDOH S =四边形______； (2)当F 和D 不重合时，求证：OFD OEH ∽；(3)⊙在图1中，P 是CEO 的外接圆，设P 面积为S ，求S 的最小值，并说明理由；⊙如图2：若Q 是线段AB 上一动点，且1QAQB n =∶∶，90EQF ∠=︒，M 是四边形CEQF 的外接圆，则当n 为何值时，M 的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径4AB =，弦CD AB ∥，连接,,,AC BD AD BC ．(1)求证：ADC BCD △≌△；(2)当ACD 的面积最大时，求CAD ∠的度数．【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段AB ，AC ，线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转，连接BC ，以BC 为边在BC 上方作Rt BDC ，且30DBC ∠=︒．(1)若=90BDC ∠︒，以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △，且90AEB ∠=︒，30EBA ∠=︒，连接DE ，用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是 ；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE AB ⊥，4AB =，2AC =，求BC 的长；(3)如图3，若90BCD ∠=︒，4AB =，2AC =，当AD 的值最大时，求此时tan CBA ∠的值．【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】如图1，在ABC 中，120A ∠=︒，AB AC =，BC =ABC 的外接圆的半径值为______； 【问题解决】如图2，点P 为正方形ABCD 内一点，且90BPC ∠=︒，若4AB =，求AP 的最小值； 【问题解决】如图3，正方形ABCD 是一个边长为的书展区域设计图，CE 为大门，点E 在边BC 上，CE =，点P 是正方形ABCD 内设立的一个活动治安点，到B 、E 的张角为120︒，即120BPE ∠=︒，点A 、D 为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点Q ，使得Q 到A 、D 、P 三个治安点的距离和最小，试求QA QD QP ++的最小值．（结果精确到0.1m 1.7≈，214.3205≈）题型四 圆中的阴影部分面积【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线； (2)若6AB =，求阴影部分的面积【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ．(1)若P 是CD 上的动点，连接BP ，FP ，求BPF ∠的度数；(2)已知ADF △的面积为O 的面积．【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90,ACB O ∠=︒为AC 边上一点，连结OB ．以OC 为半径的半圆与AB 边相切于点D ，交AC 边于点E ．(1)求证：BC BD =．(2)若,2OB OA AE ==．⊙求半圆O 的半径．⊙求图中阴影部分的面积．【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【变式4-4】（2023-山东枣庄-中考真题）如图，AB 为O 的直径，点C 是AD 的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．(1)求证：CE 是O 切线；(2)若34BE AB ==，，求BC 的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．题型五 圆中的比值（相似）问题 技巧精讲：【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，AB 为O 的直径， 点 D 为O 上一点， 过点 B 作O 切线交AD 延长线于点 C ，CE 平分ACB ∠，CE BD ，交于F ．(1)求证：BE BF =；(2)若O 半径为2，3sin 5A =，求DF 的长度． 【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，AD 平分CAB ∠，交BC 于点E ，连接BD ．(1)求证：BED ABD △△．(2)当3tan 4ABC ∠=，且10AB =时，求线段BD 的长．(3)点G 为线段AE 上一点，且BG 平分ABC ∠，若GE =，3BG =，求CE 的长．【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径CD 与O 相切于点C ，与BA 的延长线交于点D ，连接BC ，点E 在线段OB 上，过点E 作BD 的垂线交DC 的延长线于点F ，交BC 于点G ．(1)求证：FC FG =；(2)若220AO AD ==，点E 为OB 的中点，求GE 的长．【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与,A B 不重合），CD AB ⊥且CD AB =，连接CB ，与O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使EF 与O 相切．(1)求证：EF EC =；(2)若D 是OA 的中点，4AB =，求BF 的长．一、解答题1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 是O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，F 为CE 的中点，连接BD ，DF ，BD 与AC 交于点P ．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若45DPC ∠=︒，228PD PB +=，求AC 的长．2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图，PO 平分APD ∠，PA 与⊙O 相切于点A ，延长AO 交PD 于点C ，过点O 作OB PD ⊥，垂足为B ．(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为4，5OC =，求PA 的长．3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l 与O 相离，OA l ⊥于点A ，交O 于点 P ，点 B 是O 上一点，连接BP 并延长，交直线l 于点 C ，使得AB AC =．(1)判断直线AB 与O 的位置关系并说明理由；(2)4PC OA ==，求线段 PB 的长．4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP 与O 相切于点A ，弦AB CD ⊥于点F ，过D 点作DE AP ⊥于点E ．(1)求证：∠∠EAD FAD =；(2)若4PA =，2PD =，求O 的半径和DE 的长．5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30A ∠=︒，3DF =，求CE 长．6．（2024-山东泰安-一模）如图，AB CD ，是O 的两条直径，过点C 的O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC BD ，．(1)求证：ABD CAB ∠=∠；(2)若B 是OE 的中点，12AC =，求O 的半径．7．（2024-福建南平-一模）如图1，点D 是ABC 的边AB 上一点．AD AC =，CAB α∠=，O 是BCD △的外接圆，点E 在DBC 上（不与点C ，点D 重合），且90CED α∠=︒-．(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)如图2，若CE 是⊙O 的直径，且2CE =，折线ADF 是由折线ACE 绕点A 顺时针旋转α得到． ⊙当30α=︒时，求CDE 的面积；⊙求证：点C ，D ，F 三点共线．8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在Rt ABC △中，=90ABC ∠︒，以BC 为直径的O 交AC 边于点D ，过点C 作O 的切线，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：=DCE DBC ∠∠；(2)若=2AB ，=3CE ，求O 的半径．9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图，AB 为O 的直径，DA 和O 相交于点F ，AC 平分DAB ∠，点C 在O 上，且CD DA ⊥，AC 交BF 于点P ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：2AC PC BC ⋅=；(3)已知23BC FP DC =⋅，求AF AB的值．10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．(2)若10BE =，2sin 3BDC ∠=，求O 的半径．11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D ，E 在以AC 为直径的O 上，ADC ∠的平分线交O 于点B ，连接BA ，EC ，EA ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于点F ．(1)求证：2AE AF AD =⋅；(2)若sin 5ABD AB ∠==，求AD 的长． 12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点（点C 不与点A ，B 重合），连接AC 、BC ，点D 是AB 上的一点，AC AD =，BE 交CD 的延长线于点E ，且BE BC =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若O 的半径为5，1tan 2E =，则BE 的长为______ ．13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上的一点，CD AD ⊥于点D ，AD 交O 于点F ，连接AC ，若AC 平分DAB ∠，过点F 作FG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，延长AB ，DC 交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：AF AC AE AH ⋅=⋅；(3)若4sin 5DEA ∠=，求AH FH的值．14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD ，DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2DE =，1tan 2BAC ∠=，求AD 的长；(3)在（2）的条件下，点P 是O 上一动点，求PA PB +的最大值．15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，以BC 为直径作O 与AC 交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，交CB 延长线于点F ，垂足为点E ．(1)求证：DF 为O 的切线；(2)若3BE =，4cos 5C =，求BF 的长．。
【高考】二轮复习与圆相关的范围与最值问题ppt课件
(x 2)2 y2 25, P是圆M上的动点，PE • PF的最小值 可转化为与PC范围相关的问题
变式：
圆C的方程为(x 2)2 y2 4,圆M的方程为
(x 2 5 cos )2 ( y 5sin )2 1( R).过圆M上
则x 2 y 5 5 cos 2 5 sin 5cos( ) （5 其中 cos 5 ,sin 2 5 ）
5
5
所以当 cos( ) 1时，(x 2 y)max 5 5 0,故x 2 y的最大值为 0
总结：
在处理与圆有关的范围和最值问题中，应把握两个“思想”：
几何 与圆相关的范围与最值问题 思想和代数思想。
解：(1)过圆心C作CM EF,CN GH, M , N为垂足
ab 2
设 CM d1, CN d2
a2 b2 2
则EF GH 2(
4 d12
4
d
2 2
),又d12
d22
CA2
1
由： 4 d12
4
d
2 2
8 - (d12 d22 )
81
14
2
2
22
(当且仅当 d1 d2
即
利
用圆
的
参数方
程
（
三角换元）, 将所要
求
的
与圆相关的范围与最值问题
范围(最值)问 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
题转化
到
三
角函数
求范围(最值)的问题,
与圆相关的范围与最值问题
同时，由于 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
有关圆的最值问题几种类型及方法
圆的最值问题一圆心到定直线的距离的最值问题例1 设P 是直线043:=-y x l 上的动点，PA,PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 的最小值是_____________.变式:已知）（y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA,PB 是圆：0222=-+y y x 的两条切线，A,B 是切点，若四边形PACB 最小面积是2，则k=_____________。
二圆上动点到定直线的距离的最值问题例2 圆012222=+--+y x y x上的点到直线2=-y x 距离的最大值是_______________。
变式：已知P 是圆122=+y x上的一点，Q 是直线052:=-+y x l 上的一点，求PQ 最小值。
三圆的切线长最值问题例3 从点P(m,3)向圆C:()()12222=+++y x 引切线，则切线长的最小值为_____________。
变式：由直线2+=x y 上的点向圆()()12y 422=++-x 引切线，怎切线的最小值为____________。
四与圆的弦长有关的最值问题例4 在圆06222=--+y x y x 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________。
变式：已知圆O 的方程是01028y 22=+--+y x x，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是_____。
五圆中“斜率”最值问题例3 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158y 22=+-+x x 。
若直线2y -=kx 上至少存在一点，使得以改点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则k 的最大值是_________________。
变式：如果实数x,y 满足等式(),1222=+-y x 那么13y -+x 的取值范围________________。
满分之路,专题突破： 圆中的范围与最值问题
圆中的范围与最值问题题型一：斜率型题型三：距离型题型七：长度型题型一：斜率型例1．（2022·福建南平·三模）已知(),P m n 为圆C ：()()22111x y -+-=上任意一点，则11n m -+的最大值为___________．由于111(1)n n m m --=+--，故11n m -+表示当MP 与圆相切时，11n m -+取得最大值，设此时:1(1)MP y k x -=+，即kx -例2．（多选题）（2022·山东泰安·三模）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A ．y x 的最大值为43B ．y x的最小值为0C ．22x y +1D ．x y ＋的最大值为3例3．（2022·全国·高三专题练习（理））在正三角形ABC中，M为BC中点，P为三角形内一动点，且满足2PA PM=，则PAPB最小值为（）A．1B．4C．2D．2不妨设正三角形ABC的边长为设(),P x y，则(22PA x y=+-2PA PM=，224PA PM∴=，()2222344x y x y∴+-=+，即P∴点轨迹为：223x y⎛⎫++=⎪例4．（2022·河南·模拟预测（文））已知点(),P x y 在圆()()22113x y -+-=上运动，则43yx --的最大值为（）A ．6-B ．6C ．6-D ．6题型二：直线型例5．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（）A ．5B ．5C ．6D ．5例6．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(A ，则y x -的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．C ．4-D ．--例7．（2022·全国·高三专题练习）点最大值是________．【答案】26【解析】由22()2(+≤+x y x y号成立，∴x y+的最大值是26．题型三：距离型例8．（2022·上海虹口·二模）设R a ∈，R k ∈，三条直线1l ：250ax y a --+=，2l ：340x ay a +--=，3l ：y kx =，则1l 与2l 的交点M 到3l 的距离的最大值为_________．例9．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足||PA PB =222PA PB+的最大值为______．例10．（2022·全国·高三专题练习）若A ，B 是O ：224x y +=上两个动点，且2OA OB ⋅=-，A ，B 到直线l 40y +-=的距离分别为1d ，2d ，则12d d +的最大值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6例11．（2022·陕西安康·二模（文））已知直线l 与圆22:4O x y +=交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且2AB =，则112244x y x y +++++的最大值为___________．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知实数1212,,,x x y y 满足：22111x y +=，22221x y +=，12120x x y y +=的最大值为______．P到直线20x y++=的距离的最大值为（）B．2C D．4A．例14．（2022·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线和y轴分别交于A，B两点，22AB=，若CA CB⊥，则当k，m变化时，点C到点()1,1的距离的最大值为（）A．42B．32C．22D例15．（2022·浙江·高三专题练习）已知点()1,0P -，圆()2219x y -+=上的两个不同的点()11,A x y 、()22,B x y 满足()R AP PB λλ=∈ ，则112243254325x y x y +-++-的最大值为（）A ．12B ．18C ．60D ．272的最大值为（）A B．C．1D1A By轴上，P的距离的最大值为（）AB=，点C满足AC BC2⊥，则点C到点)C．5D．4A．3B．72【答案】D【解析】由题意可知点C在以线段AB为直径的圆上，，则22-+-最小值为（）()(ln)x a x bA．B．9C．9-D．1例19．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知平面向量a →，b →，c →，满足R,x ∀∈14a x b a b →→→→-≥-，2,4a a b →→→=⋅=，26a c b c →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a c →→-的最小值为（）A ．1BC ．3D例20．（2022·河南河南·三模（理）点，且4MN =，点P 在直线l ：30x y -+=上，则PM PN +uuur uuu r的最小值为（）A ．2B ．C ．2D ．例21．（2022·全国·高三专题练习）若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB 12（|PA |2＋|PB |2）的最大值为（）AB CD ∴2222||||(1)(1)22PA PB x y x ++++-=其中x 2＋y 2可以看作圆（x －2）2方，∴x 2＋y 2的最大值为（2＋3）2＝7＋4∴x 2＋y 2＋1的最大值为8＋4，即是直线10x y --=上的一点，则PQ 的最小值为（）A ．322B 1-C 1-D ．2【答案】D，如图所示，显然当P 运动到坐标原点时，PQ 1圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上的动点，P 为直线50x y ++=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12易得圆1C 圆心为()6,5-半径为为1，(,)a b 与()2,1关于直线x +最小，两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，若PA ⊥PB ，则点P 到直线:50l x y +-=的距离的最小值为（）A ．1BC D题型四：周长面积型例25．（2022·全国·高三专题练习）已知点A（2，0），B（0，﹣1），点P是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则PAB△面积最大值为（）A．2B．4C．12++D．22直线:80l x y-+=上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小值为（）C．D．2+A．8B．例27．（2022·全国·高三专题练习）已知圆:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（）A ．22(7)(1)4-+-=x yB ．22(1)(7)4-+-=x yC ．22(7)(1)2-+-=x yD ．22(1)(7)2-+-=x y 【答案】D【解析】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心22|268|221(1)d -+==，外切，且与直线40x +=相切，则圆C 的面积的最小值为（）A ．4πB ．πC ．9πD ．2π于两点,A B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为（）A ．1BC ．2D ．例30．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线10:()l mx y m R -=∈过定点A ，直线20:42l x my m ++-=过定点B ，1 l 与2l 的交点为C ，则ABC 面积的最大值为（）AB ．C ．5D ．10题型五：数量积型例31．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的最大值是________．的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则DB AP⋅A例32．（2022·辽宁大连·二模）已知(4,0)的最小值为___________．则PA PB⋅【答案】845P x y，由题意，点-【解析】设(,)即点P在以()0,1为圆心，半径为1的下半圆上，C ，且AB =AC BC ⋅的最小值为______．则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则故答案为：1例34．（多选题）（2022·福建龙岩·模拟预测）已知圆22:(5)(2)4P x y -+-=，直线:l y ax =，点(5,4)M ，则（）A ．当45a =时，直线l 与圆P 相切B ．若直线l 平分圆P 的周长，则25a =C ．若直线l 上存在点A ，使得90PAM ∠=︒，则a 的最大值为1524+D ．当2a =时，N 为直线l 上的一个动点，则M P N N ⋅的最小值为445直线l ：230mx y m --+=，直线l 与圆M 交于A ，C 两点，则下列说法正确的是（）A ．直线l 恒过定点(2,3)B ．||AC的最小值为4C ．MA MC ⋅的取值范围为[12,4]-D ．当AMC ∠最小时，其余弦值为1222:(4)(5)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则（）A ．AB 的最小值为B ．CA CB ⋅的最大值为7-C ．(OA OB O ⋅为坐标原点）的最大值为78D ．AC AB ⋅的最大值为18【答案】ABD【解析】由:440l mx y m -+-=，可得()44y m x -=-，故直线恒过定点()44D ,，又圆22:(4)(5)9C x y -+-=，圆心为()4,5C ，半径为3，此时1CD =，29142AB =-=，故A 正确；∵2222223318cos ,233182CA CB AB AB CA CB CA CB+-+--===⨯⨯⋅∴7cos ,3379CA CB CA CB CA CB ⎛⎫⋅=⋅≤⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故B 由()()22440459mx y m x y -+-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，可得()()2221828m x m m +-++设()()1122,,,A x y B x y ，则212122,8281611x x x m m m m x +==+++∴()()()(2121212444444y y mx m mx m m x x m m x =+-+-=+-()()2222221688828444411m m m m m m m m m m⎛⎫++++=⋅+-+-= ⎪++⎝⎭例37．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线213x -=的右焦点为F ，M ，直线MF 与y 轴交于点N ，点P 为双曲线上一动点，且p y <，直线MP 与以MN 为直径的圆交于点M ､Q ，则PM PQ ⋅的最大值为（）A ．48B ．49C ．50D ．42例38．（2022·全国·高三专题练习）已知点M 为椭圆2212726x y +=上任意一点，A ，B 是圆()2218x y -+=上两点，且AB =则MA MB ⋅的最大值与最小值的和是（）A ．20B ．C ．40D ．有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，,BEC ECD 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，AC CP ⋅达到最大值时点P 到地面的距离为（）A ．2B ．2C ．32D ．2题型六：坐标与角度型例40．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，y 满足2243x y y +=-最大值为（）A ．1B ．2CD【答案】C【解析】点(),A x y 在圆()2221x y +-=上，)B，cos 2cos OA OB OB AOB AOB OA ⋅==∠=∠，如图，当OA 与圆相切时，AOB ∠取得最小值6π，≤此时点32A ⎫⎪⎪⎝⎭．故选：C例41．（2022·福建泉州·模拟预测）若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（）A ．12B ．34C ．45D ．43)0b b -⋅=，b c = ，则a ca⋅r rr 的最大值是_________．()()0,0,A m B m -､，若圆C 上存在点P ，使得AP BP ⊥，则m 的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8例44．（多选题）（2022·河北·高三阶段练习）已知圆221:12C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭上两点A 、B 满足||AB ≥()0,0M x 满足：||||MA MB =，则下列结论中正确的是（）A ．当||AB =012x =B ．当00x =时，过M 点的圆C 的最短弦长是C ．线段AB 的中点纵坐标最小值是12D ．过M 点作图C 的切线且切点为A ，B，则0x 的取值范围是,22⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭例45．（2022·全国·高三专题练习）已知直线20kx y k -+=与直线20x ky +-=相交于点P ，点()4,0A ，O 为坐标原点，则tan OAP ∠的最大值为（）A ．2B ．3C ．1D 观察图形知，射线AP 绕点A 旋转时，OAP ∠最大，tan OAP ∠最大，因||4OA =，'AP 为切线，点P '为切点，故选：B例46．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知圆C ：()()()222220x y r r -+-=>和两点()1,0M -，()1,0N ，且圆C 上有且只有一个点P 满足90MPN ∠=︒，则r 的最大值为（）A ．1B ．3C ．1D ．5的横纵坐标之和的最大值为（）A ．1B ．2CD ．cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以,OA OB 为邻边作平行四边形AOBP ，()2,0Q -，则PQO∠的最大值为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π例49．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知3,4P -P 圆()()22:11C x a y a -+--=（a 为参数，且a ∈R ）的两条切线分别切圆C 于点A 、B ，则sin APB ∠的最大值为（）A ．1B ．12C ．2D例50．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知x，y满足2266x y y+=-，的最大值为（）A．1BC．13+D．13+例51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆＋4上的两点，若对线段MN上任意一点P，圆C上均存在两点A、B，使得cos ∠APB＝12，则线段MN长度的最大值为（）A．2B．4C D圆C：x2＋y2＝4的圆心到直线l：y＝x＋4的距离为：题型七：长度型例52．（2022·上海·高三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为____________33OM OP OP OS ==，MOP ∠=∠3PM PN PS PN SN ∴+=+≥()(min33PM PNSN ∴+==--故答案为：26．例53．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 是以点2,M 6,N -直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）AB ．4+C ．8+D如上图，坐标系中(4,0)D -则2OD AC CP OC ====∴12AC PC CP DC ==，即△APC △PCD ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中|||PD PB -∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为∴2||(14)126BD =++=．故选：A1()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PNPM-的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2(2121124PC PC PC PC C C ''-=-≤=-所以，()max549PN PM -=+=，故选：B ．例55．（2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）已知()2141x y -=--上两个不同的点，()0,1C ，则CA CB +的最大值与最小值的比值是（）A ．355B ．2C ．2D 【答案】A【解析】由()2141x y -=--，得(x 因为()21410x y -=--≥，所以x ≤-当1x ≤-时，()()22114x y ++-=；当x取得最小值，且最小值故选：A例56．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理）边三角形ABC的两个顶点A，B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段OC 长的最大值为（）A．3B．22C．3D．2【答案】D【解析】设圆心到直线AB的距离为d物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10例58．（2022·北京西城·一模）已知点A 为圆22:()(1)2C x m y m -+--=当m 变化时，线段AB 长度的最小值为（）A ．1B ．2CD ．PQ 为直线:40l x y -+=上的动点，过点P 作圆()22:38E x y -+=的切线，切点为A ，则PQ PA +的最小值为（）A1B．1-C．1D．22212x y +=截得的弦长的最小值为（）A ．3B ．6C ．D ．点，过C 的焦点F 作P ：()()221x m y n -+-=的切线，切点为A ，则线段FA 长度的最小值为（）A ．3B ．C ．D ． 【答案】B1()()222:459C x y -+-=，点,M N 分别是圆1C ､圆2C 上的动点，点P 为y x =-上的动点，则PM PN +的最小值是（）A ．4B4C 4D 8∴当23,,,,C N M P C 五点共线时，PM +()()(23min1341PM PNC C ∴+=-+=+故选：B ．例63．（2022·全国·模拟预测（理）－y ＋1－a ＝0与圆C 相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．22B ．23C ．3D ．52P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝120°，直线OP 与AB 相交于点Q ，点M，则|MQ |的最小值为（）AB ．2C ．2D ．3例65．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆C ：22(1)(2)25x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．B ．2C ．4D ．。
圆的最值问题
xx与圆有关的最值问题的求解策略类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故P Q P C r ≥-=变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 . 解：如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QAB Q Q S AB h =⋅===V图1 图2 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标． 类型二：利用圆与直线相切，求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．练习直线与圆中的最值问题一、直线与圆的交点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径之间的比较，或者是利用方程有解的问题。
例1、若直线430x y a -=+=与圆22100x y +=(1)相交(2)相切(3)相离分别求实数a 的取值范围二、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离例2、求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离练习：求圆C: 上的点与直线 的最大值和最小值.三、有些最值问题要注意向函数问题转化。