《可化为一元一次方程的分式方程》精品课件4 华东师大版八年级下

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例题讲解与练习
100 30 例2 解方程 x x7
解：方程两边同乘以x（x-7），约去分母，得
100（x-7）=30x
解这个整式方程，得 x=10
检验：把 x =10代入 x（x-7），得 10×（10-7）≠0 所以， x=10是原方程的解.
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例题讲解与练习
5（x-2）=7x
解：方程两边同乘以x（x-2），约去分
母，得
解这个整式方程，得 x=-5
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Байду номын сангаас
探究分式方程的解法
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解 . 所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
请你动手做一做：
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2 3 x(x－3) x(x－3) x 3 x
检
验
作答
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例2 解分式方程 x 3 1 x 1 ( x 1)(x 2)
解 : 方程两边同乘以(x －1)(x ＋2),得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3 化简,得 x＋2 ＝ 3 解得 x＝1 检验:当x ＝ 1 时，(x＋2)(x－1)=0， x ＝1不是原方程的根. ∴ 原分式方程无解 .
1.代入原方程进行检验 2.代入最简公分母进行检验
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例1 解分式方程 2 3 x 3 x
解 : 方程两边同乘以x(x－3),得
分式方程转化整式方程解整式方程
2x ＝ 3（x － 3）解得 x＝9 检验:当x ＝9时 x(x－3)≠0 ∴x ＝ 9是原分式方程的解 .
为了解决这个问题，请同学们先思考并回答以下问题： 1）、回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）、有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？
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如何解分式方程？
80 60 x 3 x3
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，若把分式方程转化为整式方程就能解了。能否将分式方程化为整式方程呢？分式方程的分母中含有未知数，因此解分式方程最关键的问题在于 “去分母”。
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（顺流航行80千米所需的时间=逆流航行60千米所需的时间）
想一想
80 60 x 3 x3
这个方程有何特点？
特征：方程两边的代数式是分式。
或者说未知数在分母上的方程。
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分式方程的概念
80 60 方程中含有分式，并且 x 3 x3
分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式
•学以致用 •数学来源于生活
•生活离不开数学
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复习提问 1、什么是一元一次方程？什么是方程的解？ 2、解一元一次方程的基本方法和步骤是什么？ 3、分式有意义的条件是什么？
4、分式的基本性质是怎样的？
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引入问题
课前热身
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度. 分析：设轮船在静水中的速度为x千米/ 时，根据题意，得 80 60 x 3 x3
x 4 x 4 16 x 4 x 4
2 2
(x 2) 16 ( x 2)
2
2
解这个整式方程，得x=-2 检验：把x=-2代入 x2-4得x2-4=0
∴x=-2是增根，从而原方程无解.
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式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根！
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探究分式方程的增根原因
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验. 那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
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探究分式方程的增根原因
做一做
判断：
x 1 2 1方程 2 1的解是 x 2； x x x 1 2 方程的解是 x 1； x 1 x 1 x 1 3 把分式方程 2 化为整式方程得 x 2 1； x 2 2x
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课堂小结
1、什么是分式方程？举例说明 2、解分式方程的一般步骤： a 、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程． b、解这个整式方程． c 、验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去． 3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？
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课堂小结
验根的方法有：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. (1)代入原方程检验，看方程左，右两边的值是否相等，如果值相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根。 (2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根。
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探究分式方程的解法
80 60 试动手解一解方程： x 3 x3
解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约
去分母，得
80（x-3）=60(x+3) 解这个整式方程，得 x=21 所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
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解方程：
5 7 x x2
对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求 . 如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根.
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x 3 3x 4 x 3 (1) 0 (4) 2 x 4 9 x 14 x 1 x 3 x2 x 1 (2) 4x (5) 2 1 x 2 x (3) 2 3 0 (6) 1 x 1 y
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探究分式方程的解法
思考：怎样解分式方程呢？
2 3 解方程： x 3 x
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例题讲解与练习
1 2 2 例1 解方程： x 1 x 1
解：方程两边同乘以(x+1)(x-1),约去分母，得 x+1=2 解这个整式方程，得 x =1 事实上，当 x=1 时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－ 1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此， x=1 不是原分式方程的根，应当舍去. 所以原分式方程无解.
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课堂小结
解分式方程的注意点：
（1）去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；（2）去分母时，不要漏乘不含分母的项；（3）最后不要忘记验根。
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学习小结
1、你学到了哪些知识？要注意什么问题？ 2、在学习的过程中你有什么体会？
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•分式方程的主要特征：
方程.
（1）含有分式；（2）分母中含有未知数。
你还能举出一个分式方程的吗？
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判断下列各式哪个是分式方程．
(1) (1)、(2)是整式方程. (2) (3) (3)是分式.
(4)
(5)
(4)(5)是分式方程．
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下列方程哪些是分式方程：
x 5 1 例3 解方程： (1)1 x4 x4
解：方程两边同乘以x-4，得
x 4 x 5 1
解这个整式方程得 x = 5 检验：把 x = 5 代入 x -4，得x-4≠0
∴x = 5是原方程的解.
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例题讲解与练习
x2 16 x2 2 例3 解方程：(2) x2 x 4 x2 解：方程两边同乘以（x-2)(x+2），得注意：分
探究分式方程的验根方法
验根的方法解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零 . 有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零 . 如果为零，即为增根.如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知
x=1是原分式方程的增根.
做一做
解下列分式方程： x x 4 1 1 0 2 1 2 x x 1 x 1 x 1 2 x 5 5x 4 1 3 3x 6 2 x 4 2 3 2 6 4 2 2 2 x x x x x 1
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1 1 5 ( x 2)(x 3) ( x 4)(x 5)

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16.3 可化为一元一次方程的分式方程课件-华师版数学八年级下册

x x－4
x＋2 x－6
解：方程两边都乘以(x－4)(x－6)，
得x ( x－6)= ( x+2) ( x－4)，解得x=2.
当x=2 时， ( x－4) ( x－6)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=2.
知2－练
感悟新知
(2)
2－x x－3
1 3－x
－2
知2－练
解：方程两边都乘以(x－3)，得2－x=－1－2(x－3)，解得x=3. 当x=3时，x－3=0， ∴ x=3 不是原分式方程的解. ∴原分式方程无解.
∴原分式方程的解为 x＝－32.
感悟新知
(2)
2 3
＋
3x
x －
1=
9x
1 －
3.
知2－练
解：方程两边都乘以 3(3x－1)，
得 2(3x－1)＋3x＝1.解得 x＝13.
当 x＝13时，3(3x－1)＝0，∴原分式方程无解．
感悟新知
知2－练
2-4.是否存在实数
x，使得式子xx
－＋
2－ 2
16 x2 －
感悟新知
4. 检验方程根的方法：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程知的2－讲
解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： (1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. (2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确 .
的速度行驶了12 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20 km/h，到达奶奶家时共用了 5 h，求小强家到他奶奶家的距离是多少千米 .

华师大版八下《可化为一元一次方程的分式方程》ppt

明确检验增根的方法,完善分式方程的解法. 特别强调: 解分式方程和整式的最大区别是分式方程必须验根是否是增根.

教师具体操作如何验根.给出具体的方法. 知识的强化提炼和升华.

我思,我进步
１．解分式方程

3 5 x 1 x 3
1 1 x 3 x2 2 x

80 60 x 3 x 3
教师提出问题,学生观察后相互讨论,得出结论.在小组合作探究结果的过程中，完善了学生对分式方程解法的总结，大大提高了学习效率；更为重要的是在这一过程中，让学生体悟到学习方式的转变．不但完成了学习任务，而且还学会了与人交流沟通的本领．真正体现了新课程理念中“以人为本，促进学生终身发展” 的教学理念．

探索新知.概括定义. 抓住分式方程主要特征 1.方程中含有分式 2.分母中含有未知数特别提醒: 分式方程和整式方程的根本区别是分母中是否含有未知数.

学生观察根据以往的知识尝试概括定义.教师补充明确并强化.学生做一道选择题加以巩固定义.

实践探究交流新知你能解这个方程吗?

分层留作业,体现人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展.

由上题引出增根的定义和增根产生的原因原因:在去分母的过程中方程两边同乘一个含有未知数的整式,根据等式的性质,这个整式不能为零,而我们在没解出未知数之前不知道这个整式是否为零. 特别强调:增根是化为整式方程的根,不是分式方程的根.

启发学生思考和讨论逐步找到原因和解决问题的办法. 培养学生发现问题,提出问题,分析问题以及解决问题的能力.在能力培养方面得到提高和锻炼.

华东师大版八年级数学下册1可化为一元一次方程的分式方程课件

输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
解：设乙每分钟能输入x个数据，
则甲否
是原分式方程的解，②还
要检验是否符合题意.
解得：x＝11.
经检验，x＝11是原方程的解.
当x＝11时，2x＝2×11＝22，符合题意.
答：甲每分钟能输入22个数据，乙每分钟能输入11个数据.
∴ x=10是原方程的解.
哪种检验方法比较方便呢？
代入最简公分母，
判断最简公分母
是否为0.
探究新知
分式方程验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否
使原分式方程中的分式的分母为零.
为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，
看它的值是否为零.如果为零,即为增根.
验根方法一：代入原方程进行检验；
这节课，我们将学习列分式方程解应用题。
探究新知
用计算机处理数据,为了防止数据输入出错,某研究室安排两位
程序操作员各输入一遍,比较两人的输入是否一致. 两人各输入2640
个数据,已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问
这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
分析：
(1)请你找出题中所蕴含的等量关系？
牛刀小试
A市与甲、乙两地距离分别为400千米和350千米,从A市
开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15
千米/时,结果从A市到甲、乙两地所需时间相同,求从A市
开往甲、乙两地列车的速度.
解:设从A市开往甲地列车的速度是x千米/时,
则从A市开往乙地列车的速度是(x－15)千米/时,
依题意得:
检验:把x=2代入(x－2),
得:(－10+1)×(－ 5－1)≠0,

16.3 可化为一元一次方程的分式方程(第2课时)(课件)八年级数学下册(华东师大版)

30 x3
2 3
D. 30 30 2
x3 x 3
当堂检测
2.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的
__b __a__倍.
ba
当堂检测
3.某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新
技术，使每天加工的效率是原来的2倍，结果共用了7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？
解得x=20. 经检验，x=20是原方程的根，且符合题意. 答：他骑“共享助力车”从家到单位上班需要20 min.
当堂检测
6、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
②第一年出租的房屋数=第二年出租的房屋数 ⑵根据这一情境你能提出哪些问题?
①每年有多少间房屋出租? ②这两年每间房屋的租金各是多少?
讲授新课
①每年有多少间房屋出租?
解: ① 设每年有x 间房屋出租.
根据题意,得
102000 96000 500
x
x
解得 x=12
经检验: x=12 是原方程的解,也符合提意.
解：设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天，依题意得
2 3 1 x x2
化为整式方程得x2-3x-4=0 解得x=-1或x=4．
讲授新课
检验：当x=4和x=-1时，x(x+2)≠0，x=4和 x=-1都是原分式方程的解．但x=-1不符合实际意义，故x=-1舍去； ∴乙单独完成任务需要x+2=6（天）．答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要 4天、6天．

华东师大版数学八年级下册16.分式方程及其解法课件(共22张)

视察这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？
新课推动
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析设轮船在静水中的速度为x千米/时，
根据题意，得
80 60 x3 x3
（*）
概括方程（*）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
概括
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
思考：x=1是不是原分式方程的解（或根）呢？
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
概括在解分式方程时，产生不合适原分式方
程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程的根呢？分式方程如何检验呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.
例2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.

华师大版八下《可化为一元一次方程的分式方程》ppt(精选)17页文档

华师大版八下《可化为一元一次方程的分式方程》ppt（精选）
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非

可化为一元一次方程的分式方程_图文

= 补贴后11万元购买的台数.
解设该款空调补贴前的售价为每台x元，由上述等量关系可得如下方程：
即
方程两边同乘最简公分母x(x-200)，
得
1.1(x-200)= x.
解得
x = 2200.
检验：把x=2200代入x(x-200)中，它的值不等于0，
因此x=2200是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台2200元.
例1 解方程：
解方程两边同乘最简公分母x(x-2)，
得 5x -3(x-2)= 0 .
解得
x = -3.
检验：把x=-3代入原方程，得
左边 =
= 右边
因此x=-3是原方程的解.
分式方程的解也叫作分式方程的根.
例2 解方程：
解方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-2)，得 x+2=4. 解得 x=2.
练习
1. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，
那么180天就可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的 . 现若由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？
解设由二队单独施工需x天完成任务，则
答：由二队单独施工，则需225天才能盖成.
2. 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km
中考试题
例2
解分式方程
方程的解为（ D ）
，可知
A. x=2 C. x=3
B. x=4 D. 无解
解析在方程两边同乘以(x-2)，约去分母，得 1-x+2(x-2)=-1，1-x+2x-4=-1，x=2. 检验，当x=2时，x-2=2-2=0，所以x=2是增根. 原方程无解.

华东师大版八年级下册数学1可化为一元一次方程的分式方程课件

的单价各是多少元？
实际问题
总价
篮球
3200
实际问题
排球
2000
单价
篮球单价排球单价
数量
篮球数量排球数量
已知量
未知量
总价
单价
数量
篮球
3200
+60
3200
+ 60
排球
2000

2000

已知量
未知量
等量关系
总价=单价×数量
问题：求篮球和排球的单价各是多少元？设排球的单价为x元
用2000元购买的排球和用3200元购买的篮球个数相等
则x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
练习3：农机厂职工到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了
40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两
车的速度.
行程问题
汽车
自行车
15
路程
15
速度
V汽车
V自行车
时间
t汽车
t自行车
（3）销售问题：总价=单价×数量
P 16
第3、4题
自测练习
16.3,2
分式方程无解；最简公分母值不为0，整式方程的根即为原分式方程的解。
4、列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
三量构建数学模型
数学建模
数学符号
代数式
解决
实际问题
数量关系
条件——已知量（数字）
问题——未知量（未知数）
列
构建
代数式
（整式、分式）
方程
（等量关系）
例3: 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输

数学八年级下华东师大版17.3 可化为一元一次方程的分式方程课件

2013-7-23八年级数学元为民可化为一元一次方程的分式方程一、复习提问2、解一元一次方程的基本方法和步骤是什么？3、分式有意义的条件是什么？4、分式的基本性质是怎样的？轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.分析：设轮船在静水中的速度为x 千米/时6080=+x 课前热身引入问题根据：顺水速度＝船速+水速逆水速度＝船速-水速由等量关系：t 顺水＝t 逆水有想一想探讨：上述方程有何特点？特征：1）分母中含有末知数2）是有理方程360380-=+x x•分式方程的主要特征：（1）是等式；（2）分母中含有未知数；（3) 是有理方程。

，等式两边都是有理式，并且分母中含有未知数。

像这样：分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程.中在方程360380-=+x x 分式方程的概念分析：根据定义可得：(2)、(3)是整式方程，(1)是分式，(4)(5)是分式方程．辨析：判断下列各式哪个是分式方程．122)6039)5252)4,951472)3,0)5(21)2,1)122-=-=--=--=+=+x x x x x x x x x1、思考：怎样解分式方程呢？请同学们先思考并回答以下问题：1）、回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的？2）怎样才可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，80（x-3）=60(x+3).即：80x －60x=240+180解得：x=21所以轮船在静水中的速度为21千米/时.)3)(3(360)3)(3(380-+-=-++x x x x x x2、概括解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.12112-=-x x 解方程：请你做一做：思考：解分式方程的基本思想是什么？三、例题讲解与练习例1解方程：12112-=-x x 分析：解此方程的关键是将方程转化为整式方程，所以要在方程两边同乘以（x 2-1）,约去分母。

华东师大版八年级数学下册课件：16.3可化为一元一次方程的分式方程(共15张PPT)

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做一做
2.解下列分式方程：
1 4 1 0
x x 1
2
1 x x 1
x x2 1
3 2x 5 5x 4 1
3x 6 2x 4 2
4
x
2
3
x
2 x2
x
6 x2 1
5
1
1
(x 2)( x 3) (x 4)( x 5)
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做一做
3.解下列分式方程：
得x2-4=0。
∴x=-2是增根，从而原方程无解。.
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例3.当a为何值时,方程
x x
2 3
2
有3增a x根?
解:去分母,方程两边同乘以 (x 3),
得 x 2 2(x 3) a
解这个整式方程,得 x 4 a
因为方程有增根,所以 x 3 0,即x 3. 所以 3 4 a, a 1. 所以当 a 1时,原方程产生增根.
x 2 16 x 2 (2) x 2 x2 4 x 2
解：方程两边同乘以(x 2)(x 2),
得，(x 2)2 16 (x 2)2,
x2 4x 4 16 x2 4x 4,
x 2. 检验：把x=-2代入 x2-4，
注意：分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根！
1 3 1 2
2x 5 x 2
1 x 1
2 x 1
4 x2 1
3
x
x
2
2x 3 x
1 x2 x2 5x
6
4 x3 1 x3 1 2
x 1 x 1
(5) 1 1 1 1 . x8 x9 x5 x6

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