2020年高中数学原创试题(7)

2020年数学原创试题（7）

函数创新题“SHOW ”

1.已知函数)2(log )()1(+=+n n f n (n 为正整数),若存在正整数k 满足:

k n f f f =???)()2()1(Λ,那么我们将k 叫做关于n 的“对整数”.当]2010,1[∈n 时,则“对整数”的个数为个.

解析:∵)2(log )()1(+=+n n f n , ∴)2(log )

1lg()2lg(3lg 4lg 2lg 3lg )()2()1(2+=++???=???=n n n n f f f k ΛΛ ∴1024,512,256,128,64,32,16,8,42=+n 满足要求,∴当]2010,1[∈n 时,则“对整数”的个数为9个.

2.给出定义:若函数)(x f 在D 上可导,即)('x f 存在,且导数)('x f 在D 上也可导,则称)(x f 在D 上存在二阶导函数,记))'('()(''x f x f =,若0)(''

①x x x f cos sin )(+=;②x x x f 2ln )(-=;③12)(3-+-=x x x f ;④x

e x x

f ?=)(. 其中)(x f 在)2,0(π

上是凸函数的序号为 .

解析:由凸函数的定义可得该题即判断)(x f 的二阶导函数)(''x f 的符号.对于① x x x f sin cos )('-=,x x x f cos sin )(''--=,在)2

,0(π∈x 上,恒有0)(''

x f x x f -=-=,在)2,0(π∈x 上,恒有0)(''

x x f 6)(''-=,在)2

,0(π∈x 上,恒有0)(''

,0(π∈x 上,恒有0)(''>x f ,故填①②③. 3.设函数)(x f 的定义域为R ,若存在常数0>k ,使2010

|||)(|x k x f ≤对一切实数x 均成立,则称)(x f 为“海宝”函数.给出下列函数:

①2)(x x f =;②x x x f cos sin )(+=;③1

)(2++=x x x x f ;④13)(+=x x f . 其中)(x f 是“海宝”函数的序号为 .

解析:对于①,假设存在常数0>k ,则0)2010

|(|||2010||||2≤-?≤k x x x k x .若0≠x ,则||2010x k ≥对一切实数x 均成立,k 不存在. 对于②2010

|||)4sin(2||cos sin |x k x x x ≤+=+π,即2||≥x k 对一切实数x 均成立,k 不存在. 对于③2010||3||4|4

3)21(||||1|22x k x x x x x x ≤≤++=++,若0≠x ,则2680≥k .k 存在.

对于④2010||2010

||1|13|≤?≥>+x k x k x 对一切实数x 均成立,k 不存在. 故填③.

4.设函数)(x f 定义域为D ,若满足①)(x f 在D 内是单调函数;②存在D b a ?],[使)(x f 在

],[b a 上的值域为],[b a ,那么就称)(x f y =为“成功函数”.

(1)若函数)(log )(2t a x g x a +=)1,0(≠>a a 是定义域为R 的“成功函数”,则t 的取值范围

为 .

(2)若a

a a x f x ln 3)(-+=)1,0(≠>a a 是定义域为R 的“成功函数”,则a 的取值范围为 .

(3)若函数2)(++=x k x f 是“成功函数”,则实数k 的取值范围为 .

解析:(1)依题意,函数)(log )(2t a x g x a +=)1,0(≠>a a 在定义域R 为单调递增函数,且

0≥t ,而0=t 时,x x g 2)(=不满足条件②,∴0>t ,设存在],[n m ,使得)(x g 在],[n m 上的

值域为],[n m ,∴?????=+=+??????=+=+n n m m n a m a a t a a t a n

t a m t a 2222)(log )(log ,∴n m ,是方程0)(2=+-t a a x x 的两个不等实根,∴041>-=?t ,解得4

10<

a a x f x =-+=?ln 3)(有两个不等实根.即03ln =-+-a a x a x 有两个不等实根.令3ln )(++-=a a x a x g x ,∴a a a a a x g x x ln )1(ln ln )('-=-=,

令00)('=?=x x g .

①当1>a 时,0>x 时,0)('>x g ;0

②当10<x 时,0)('>x g ;0

∴031)0()(min >-+==a g x g ,∴10<

综上:)2,1()1,0(?∈a . (3)∵2)(++=x k x f 是增函数,若2)(++=x k x f 是成功函数,则存在实数

)2(,b a b a <≤-,使?????++=++=????==2

2)()(b k b a k a b b f a a f ,∴b a ,为方程2=+=x k x 的两个实数根,从而方程2+-=x x k 有两不等实根.令t x =+2,则)0(22≥--=t t t k .

当0=t 时,2-=k ;当2

1=t 时,49-=k .当249-≤<-k 时.直线k y =与曲线 )0(22≥--=t t t y 有两个不同交点,即方程)0(22≥--=t t t k 有两个不等实根,故实数k 的取值范围是]2,4

9(--. 5.已知)(x f 是定义在R 上的函数,10)1(=f ,且对于任意R x ∈都有

20)()20(+≥+x f x f ,1)()1(+≤+x f x f ,若x x f x g -+=1)()(,则=)10(g . 解析:由x x f x g -+=1)()(知1)()(-+=x x g x f ,从而有1)20()20(-+++x x g )()20(1)(x g x g x x g ≥+?-+≥.11)(1)1()1(+-+≤-+++x x g x x g

)()1(x g x g ≥+?,则由)1()19()20()(+≤≤+≤+≤x g x g x g x g Λ.

得)1()(+=x g x g ,即)(x g 是周期为1的函数,1011)1()1(=-+=f g ,10)10(=g .

6.若定义在]2010,2010[-上的函数)(x f 满足:对于任意]2010,2010[,21-∈x x ,

有2009)()()(2121-+=+x f x f x x f .设)(x f 的最大值、最小值分别为N M ,,则N M +的值为 .

解析:令021==x x ,则2009)0(2009)0(2)0(=?-=f f f ,

令x x x x -==21,,则20092)()(2009)()()(?=-+?--+=-x f x f x f x f x x f ,

∴)2009)((2009)(--=--x f x f ,∴2009)(-x f 为奇函数,∴函数2009)(-x f 关于原点)0,0(对称,函数)(x f 关于点)2009,0(对称.又设2010201021≤<≤-x x ,不妨设 )0(12>+=h h x x ,2009)(>h f ,则)(2009)()()(112x f h f x f x f >-+=,∴)(x f 在

]2010,2010[-上单调递增,故401822009)2010()2010(=?=-+=+f f N M .

7.设函数1

)(+=x x

a a x f )1,0(≠>a a ,][m 表示不超过实数m 的最大整数,则函数 ]2

1)([]21)([--+-x f x f 的值域是 . 解析:

)]1121([]1121[]2

111[]21111[]21)([]21)([+--++-=-++-+-=--+-x x x x a a a a x f x f ∵)1,0(11∈+x a ,则)21,21(2111-∈-+x a ,∴当)0,21(2

111-∈-+x a 时,0]1121[=+-x a , 1]2111[-=-+x a ,当02111=-+x a 时,=+-]1121[x a 0]2

111[=-+x a , 当)21,0(2111∈-+x a 时,1]1121[-=+-x a ,0]2

111[=-+x a , ∴]2

1)([]21)([--+-x f x f 的值域是}0,1{-. 8.记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ,}4,3,2,1,|777{432213=∈++?+?=i T a a a a a M i ,将M

中的元素按从大到小的顺序排列,则第2020个数是( )

解析:用p k a a a ][21Λ表示k 位p 进制,则集合 }4,3,2,1,|]{[}4,3,2,1,|777{74321432213=∈==∈++?+?=i T a a a a a i T a a a a a M i i , M 中的最大数为107]2400[]6666[=,在十进制中,从2400起从大到小顺序排列的第2020个数

字是39120092400=-,而710]1066[]391[=,则M 中的数为67670723+?+?+.故选A.

9.已知集合}777|{332210?+?+?+==a a a a x x A ,其中}6,5,4,3,2,1,0{∈i a ,

,3,2,1,0=i 且03≠a .若正整数A n m ∈,,且2010=+n m ,n m >,则符合条件的正整数m 有个.

解析:用p k k a a a ][01Λ-表示k 位p 进制,则集合}777|{332210?+?+?+==a a a a x x A

}3,2,1,0,|]{[70123=∈=i T a a a a a i ,A 中的最大数为107]2400[]6666[=,且03≠a ,则最小

值为34373=,∴}2400,,344,343{Λ=A ,若正整数A n m ∈,,且2010=+n m ,n m >, 则343=n 时,1667=m ,则1004≤n ,∴符合条件的正整数m 有6623421004=-个.

10.如果对任意一个三角形,只要它的三边长c b a ,,都在函数)(x f 的定义域内,就有)(a f , )(),(c f b f 也是某个三角形的三边长,则)(x f 均为“V 型函数”.则下列函数:①x x f =)(;②),0(,sin )(π∈=x x x g ;③),2[,ln )(+∞∈=x x x h ,其中是“V 型函数”

的序号为 .

解析:设0>>>c b a ,且c b a +<,则(1)c b a >>, ∵02)()(22>-++=-+a bc c b a c b ,∴c b a +<,选①;

(2)bc c b c b a ln ln ln ,ln ln ln =+>>,bc c b a c b a ln )ln(ln <+

∴c b a ln ln ln <<,∴选③. (3)1211,65,2πππ===c b a ,∴c b a ,,能构成三角形的三边,2

1sin ,21sin ,1sin <==c b a , c b a sin sin sin +>,∴c b a sin ,sin ,sin 不能构成三角形的三边,∴不选②.

11.已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ,当10≤≤x 时,3|)('|≤x f ,试求a 的最大值.

解析:c bx ax x f ++=23)('2,由???????++=++==c

b a f

c b a f c f 23)1('43)2

1(')0(',得)21('4)1('2)0('23f f f a -+=. ∴24|)2

('4||)1('2||)0('2||)21('4)1('2)0('2|||3≤++≤-+=f f f f f f a ,∴8≤a . 又已知当m m x x x x f (2468)(23+--=为常数)满足题设条件,∴a 的最大值为8.

12.对给定的整数m ,符号)(m ?表示}3,2,1{中使)(m ?中m 能被3整除的唯一值,

那么=-+-+-)32()22()12

(201020102010??? . 解析:由二项式定理知,13)13(42100510052010+=+==p ,即20102被3除余1, ∴2)32(,1)22(,3)12

(201020102010=-=-=-???, 故6)32()22()12(201020102010=-+-+-???.

13.设)(x f 的定义域为R ,若存在常数0>M ,|||)(|x M x f ≤对一切实数都成立,则称)(x f 为“倍约束函数”,给出下列函数: ①42)(2++=x x x x f ;②???>-≤?=0

),1(0,2)(x x f x x x f x ;③2)(x x f =;④)(x f 是定义在R 上的奇函数,且满足对一切实数21,x x ,均有||2|)()(|2121x x x f x f -≤-成立.

其中为“倍约束函数”的有个.

解析:①当0=x 时, |||)(|x M x f ≤对于任意的0>M 恒成立;当0≠x 时,

|||4

|)(|2x M x x x x f ≤++=,∴31≥M ,故①为“倍约束函数”;②当0=x 时, |||)(|x M x f ≤对于任意的0>M 恒成立;当0

对任意的1≥M 均成立;当10<

x ≤?--|2)11(|1,实数M 不存在,故②不是“倍约束函数”;③当0=x 时, |||)(|x M x f ≤恒成立;当0≠x 时,||2x M x ≤,∴||x M ≥,不存在满足题意的M ,故③不是“倍约束函数”;④当02=x 时,∵)(x f 为R 上的奇函数,∴0)0(=f ,

∴||2|)(|11x x f ≤,∴2=M ,故④是“倍约束函数”.故填2.

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、已知等差数列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：

高中数学原创试题(8)

2011年数学原创试题（8） 1．（本题满分12分）设函数],0[,2 sin 2)6sin()(2ππ∈++ =x x x x f （Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记A ?BC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a c b B f c b a 求若,3,1,1)(,,,===的值。【解析】（I ）x x x x x x f cos 1cos 2 1sin 232sin 2)6sin()(2-++=++=π 1)6 sin(1cos 21sin 23+-=+-=πx x x ………………3分 ]65,6[6],,0[ππππ-∈-∴∈x x ]2,21[)(∈∴x f ………………6分（II ）由6,0)6sin(,1)(ππ==-=B B B f 故得 ………………7分解法一：由余弦定理,cos 2222B a c a b -+= 得21,0222 或解得==+-a a a ………………12分解法二：由正弦定理 323,23sin ,sin sin ππ或得===C C C c B b 当2,2,322=+===c b a A C 从而ππ ………………9分当1,6,6,32=====b a B A C 从而又时πππ ………………11分故a 的值为1或2 ………………12分 2．（本题满分12分）国庆前夕，我国具有自主知识产权的“人甲型H1N1流感病毒核酸检测试剂盒”（简称试剂盒）在上海进行批量生产，这种“试剂盒”不仅成本低操作简单，而且可以准确诊断出“甲流感”病情，为甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障、某医院在得到“试剂盒”的第一时间，特别选择了知道诊断结论的5位发热病人（其中“甲流感”患者只占少数），对病情做了一次验证性检测、已知如果任意抽检2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率为 52。（1）求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数；（2）若用“试剂盒”逐个检测这5位发热病人，直到能确定“甲流感”患者为止，设ξ 表示检测次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ。【解析】（1）设有x 人患“甲流感”，则由题意有5225151=?-C C C x x ， ……………3分解得 x =1或x =4（舍）、

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一一试（考试时间：80分钟满分100分）一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数是。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最小值为。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值；（2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二试（考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。求证：直线PA 与BC 垂直。二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。。 O 2

如何进行原创或改编试题(数学)(1)

如何进行数学试题的改编和原创试题改编的一般方法试题改编是对原有试题进行改造，使之从形式上、考查功能上发生改变而成为新题。改编试题的具体方法有：设置新的问题情境、不同题型之间的转换、重新整合、转变考查目标等。 1、设置新的问题情境一道常规的纯粹数学问题，当把它放置在一个新的问题情境中时，由于知识载体发生了改变，这道试题就变为一道新题，这可以反映出数学知识应用的灵活性。 2、不同题型之间的转换在高考数学试卷中，出现了较多的通过改造题型来获取新试题的形式。例如：许多压轴解答题的命题材料很好，从考查内容和考查功能上来看往往是很经典的试题，但由于第二、三问的难度过大，所以常常会使考生因感到畏惧而放弃解答该题。其实，第一问可能非常简单，也很容易上手，此时，就将第一问压缩、升华或从其它角度设问，再辅以选项的巧妙设计，从而将第一问变为一道新颖的选择题或填空题。当然，也可通过深入发掘内涵或扩充运用范围的方式，把经典的选择题、填空题改造成解答题的形式。 ①解答题改编为选择题或填空题改编模式：保持原型的考查内容不变，将问题的设问形式加以改造，同时添加适当的问题情境，省去对具体解题过程的考查，而构造出的新问题。 ②解答题各种呈现方式的转变改编模式：保持原型的考查内容不变，对问题的结构、问题的设问形式、问题的表述方式等加以改造，可以构造出一系列的新问题。 3、不同内容、不同素材之间的重组整合单纯考查代数内容（或者几何内容、或者概率统计）单一知识点的试题，往往只占高考试卷的较小部分的分值，高考试题命制教师更多地考虑的是，如何在同一学习领域（如代数、几何或概率统计）知识点的交汇处命制试题，或者在不同学习领域知识点的融合处设计问题，或者把各种题型组合起来命制试题。重组整合的常见方法是根据考查目标、考查内容确定命题材料的重组方式，然后设问。 ①考查内容形式的整合改编模式：在保留原题内核不变的前提下，考虑添加一定的特殊符号或文字信息、图表信息或图形信息，或者新的定义，然后以新的表达方式呈现出来。其改编的一般模式如下：一般的问题载体；添加新的定义或采取新的表述方式。 ②考查方式和技能的重组 ③不同知识点的重新组合改编模式：将彼此联系紧密的一些知识点，借助一定的素材，串联或并联起来，可以构造出一系列的问题。 ④各种题型的自然融合改编模式：原型中本来也包含了多种题型（如作图题、计算题等），将原来的题面以不同的形式呈现或将原来的条件重新组合，就可以构造出一系列的问题。 4、转变考查目标一道常规的数学问题，当把它的条件的一部分、或结论的一部分转换一种表述方式时，考查的侧重点就可能发生较大的改变。例如，可以把对某一概念的侧重于文字表达能力的考

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____8 、已知等差数列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

高二数学理科试题及答案

高二数学理科试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.(原创)在复平面内，复数)21(i i z -=的共轭复数为 A ．i --2 B.i -2 C.i +-2 D. i +2 2.(原创)若2017201722102017)21(x a x a x a a x ++++=-Λ，则=+++2017321a a a a Λ A ．2 B. 1 C.1- D. 2- 3.用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0（R b a ∈,）”,假设的内容是 A.b a ,至少有一个不为0 B.b a ,至少有一个为0 C.b a ,全不为0 D.b a ,中只有一个为0 4.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是循环小数”是假命题，推理错误的原因是 A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”，但推理形式错误 D.使用了“三段论”，但小前提错误 5.(原创)已知随机变量ξ服从正态分布),3(2σN ,68.0)4(=≤ξP ,则)2(≥ξP = A.84.0 B.68.0 C.32.0 D.1 6.0 6.(原创)已知函数2ln )(+=x a x f ，2)('=e f ，则a 的值为 A ．1- B.1 C.e 2 D.2e 7.观察下列各式：1=+b a ，322=+b a ，433=+b a ，744=+b a ，1155=+b a ，…，则=+1010b a A ．28 B.76 C.123 D.199 8.从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则)|(A B P 等于

高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》

【2012四川】设M 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的动点，则MO MF 的最大值是 (A) 3 (B) 3 (C) 43 (D) 答案：B 【2013黑龙江】设12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使() 220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r ，O 为原点，且12PF =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率是 (A) (B) 1 (C) (D) 答案：B 【2012江西】椭圆22 22153 x y +=的内接正方形面积是答案 45017 . 【2011江西】以抛物线2y x =上的一点M （1,1）为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 和△MCD ，则线段AB 与CD 的交点E 坐标是答案(1,2)-. 【2013全国】点A ，B 在抛物线2 4y x =上满足4OA OB ?=-u u u r u u u r ， O 为坐标原点，F 为焦点，则OFA OFB S S ???= 答案2.

【2013辽宁】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，斜率为1且过点M （b ，0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，若125 OA OB ?=-u u u r u u u r ，则该椭圆的方程是答案22 1164 x y +=. 【2013吉林】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点A,B,C,D 若菱形ABCD 的内切圆半径等于椭圆焦距的6 ，则椭圆的离心率是答案 2 【2011新疆】已知O,F 分别为抛物线的顶点和焦点，PQ 为过焦点F 的弦， |OF|=a,|PQ|=b ，求△OPQ 的面积. 答案略【2013山东】椭圆22 143 x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值. 答案略【2012辽宁】设不过原点O 的直线l 与椭圆2 214 x y +=交于,P Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 答案略

2020-2021学年江西省高考原创押题卷(1)数学(文)试卷及答案解析

高考原创押题卷（一）数学(文科) 时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{(x ，y)|y 2

位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．上述判断中错误的个数为( ) 图1-1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝π 2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，若P 是DC 的中点，则|PA →＋2PB → |＝( ) A. 82 2 B ．2 5 C ．4 D ．5 6．某几何体的三视图如图1-2所示，若该几何体的体积为2π 3 ，则a 的值为( )

高考数学高频考点原创与改编试题

2016年高考数学高频考点原创与改编试题一、选择题与填空题创新题原创题或改编题1：已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，都有 2016)()2(-=?+x f x f ，且当(]2,0∈x 时，12)(+=x x f ，则 =+-)2016()2015(f f （） A 51344 B 5 1344- C 672 D 672- 解：0>x Θ时，.2016)()2(-=+x f x f ) (2016 )2(x f x f - =+∴ )() 2(2016 )4(x f x f x f =+- =+∴ 52016 1 22016)2(2016)4()2016(2-=+-=- ==∴f f f ()()()()6721 22016 120163201520151=+== -=-=-f f f f ()()5 1344 20162015= +-∴f f 原创题或改编题2：已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且0 2160=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则2 11 e e 取最大值时，2 1,e e 的值分别是（） A 26,22 B 25,21 C 6,33 D 3,4 2 解法一：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。设 .||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。 2211212,2a r r a r r =-=+∴ 212211,a a r a a r -=+=

在21PF F ?中：()()()()()0 21212 212 212 60cos 22a a a a a a a a c -+--++= 2 221234a a c +=∴ ()2 12 212 2 2 1 2 22 113 23 2 11114e e e e e e a c a c =≥+ = ??? ? ??+ ??? ? ??= ∴ （当且仅当 2131e e =时，取=）由,3 3 21,32112==e e e e 得26,2221==e e 。 ∴选A 解法二：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。设 .||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。 2211212,2a r r a r r =-=+∴ 22 2212212141 c r r c a a e e -==∴ 在21PF F ?中，,60,60,600 120 210 21αα-=∠+=∠∴=∠P F F P F F PF F () 00 600 <<α由正弦定理： ()() 020160sin 260sin 60sin c r r =-=+αα， () () αα-= += ∴020160sin 3 4,60sin 3 4c r c r ()()() ααα2sin 3 3 260sin 60sin 341020221=--+=∴ e e ∴当045=α时， 33 2|1max 21= e e 此时,3 26426341c c r +=+?= c r 3 262-= ，22211= ∴=∴e c a ，2 6 2=e 。∴选A 原创题或改编题3：已知ABC ?的重心为G ，内C B A ,,角的对边分别为c b a ,,，若03 3 22=+ +GC b GB a GA c ，则ABC ?为（） A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》一、知识清单 1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简). 2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式. 3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。 5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200| |B A C By Ax d +++=。 6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆的参数方程为?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 【2010黑龙江】与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (A) 3条 (A) 4条 (A) 6条答案：选C 【2010浙江】设P 是圆22 36x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 答案：()22109x y -+=. 【2010黑龙江】已知22 1a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是 (A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞ 答案：选B 【2012河北】已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .

全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)

2012各省数学竞赛汇集 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r 则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为___12 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB = ===,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________. 8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.

高中数学竞赛试题及解题答案

浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（....） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（.....） A. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（） A.22z i =+ B. 22z i =-- . C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（）。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 012 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（） A. 20 B. 22 ... C. 24 . D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（）个。 A.4 B. 6 ... C. 7 .D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（）。 A. . .. 9. 设函数234()(1)(2)( f x x x x x =--()f x = A.0x = B. 1x = . C. 2x =10. 已知(),(),()f x g x h x 正视图：上下两个 2

2020届江苏省新高考原创精准模拟考试(一)数学试卷

2020届江苏省新高考原创精准模拟考试（一）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、考试范围：高考范围。 2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。 6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1.已知集合A＝，B＝{2，3，4，5}，则A B＝_______．【答案】【解析】【分析】先求出集合，再求出集合即可得到答案．【详解】由题意得， ∴．故答案为：．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．

原创试题设计

原创试题设计试题是知识的一种形式，是能力要求的载体，复习迎考必须在训练、解题的氛围下操作。当下，各种旧题、陈题、错题仍然活跃在中学课堂，“乱窜"于各种试卷，高质量试题的缺乏已成为．阻碍学生应试水平提高的重大问题。负责任才能立于天地间。在繁忙的工作之余，潜下心来，精雕细琢了如下几组试题，希望这些试题能给各位同学带来惊喜和启迪。试题基本上是原创，仅有极少量试题采自基层教师给我提供的外地试卷，我也作了力所能及的修改。对于提供的每一道试题，希望各位同仁认真体会其意图，参研其设计的巧妙之处，并恳请大家多提宝贵意见。中国古代史一、选择题：在每小题所列的四个选项中，只有一项是正确的。 1.《诗经〃商颂〃殷武》中谈到：?昔有成汤，自彼氐羌，莫敢不来享，莫敢不来王，曰商是常。?这说明商朝 A．建立了完善的分封制度 B．以血缘关系为纽带形成国家政治结构 C．稳定了与周边民族的联盟关系 D．最高执政集团实现了对权力的高度集中 2.年字从禾从人，为人负禾而归的象形字。甲骨卜辞中有关?受年?的卜辞共597次，可分类统计于下：(见周自强主编：《中国经济通史〃先秦经济卷》) 商朝人频繁进行?受年"占卜旨在祈盼 A．人寿年丰 B．国泰民安 C．农业丰收 D．人民幸福 3.商代甲骨卜辞中，有大量?受禾?、?受年"、?有足雨?的记载，这反映了当时 A．农业在王朝经济生活中具有重要地位 B．农业收成与祭祀活动关系密切 C．占卜者是农业生产的重要组织者 D．自然环境恶化严重影响农业生产 4.商代妇好墓出土贝6800多枚。一些中小型墓，虽然没有青铜器随葬，却有贝随葬，有的墓随葬贝达数百枚。这说明商朝时 A．出现了专事买卖的商人群体 B．贝有可能是流通货币或个人财富的象征C．海产品在商朝消费量较大 D．贝是当时体现社会等级差别的象征 5.?诸侯有王，王有巡守?(《左传〃庄公二十三年》)，?巡狩者，巡所守也?(《孟子〃梁惠王下》)，西周天子加强巡狩的真实目的在于 A．加强王权 B．了解下情 C．巩固分封 D．考察臣僚 6.商周时期的文献记载有?天子七庙、诸侯五庙，大夫三，士一(《礼记〃王制》、《礼器》)?的庙祧制度。这一制度的建设有利于 A．保证宗族的蕃衍 B．巩固宗法等级观念 C．完善祭祀仪式 D．消除贵族之间争斗 7.《四民月令》记载：在举行祖祢祭祀时?乃室家尊卑，无大无小，以次列于祖之前。子妇孙曾，各上椒酒于其家长，称觞举寿。欣欣如也。"材料表明中国古代①有尊祖敬宗的传统②封建迷信思想盛行③宗法观念影响深远④盛行饮酒祝寿的古风‘ A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 8.有学者认为：不能为了强调伦理型文化的优越，而去美化宗族的?温馨?、?和谐?。这是因为宗法制度①实质：是阶级统治的工具②目的：保证各级贵族在政治上的垄断和特权地位③特点：建立的是大宗支配小宗的运行机制④影响：形成了家国一体的政治观念

北京高中数学知识应用竞赛试题及参考标准答案

第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案试题 1、（满分20分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要接着向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B两辆汽车发生交通事故。事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系：假如仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？ 2.（满分20分）北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在那个节目中曾经有如此一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是多少（选择答案：20g,25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。 3. （满分20分）受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时刻与水深关系表：时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米） 0:00 5.0 8:00 3.1 16:00 7.4 1:00 6.2 9:00 2.5 17:00 6.9 2:00 7.1 10:00 2.4 18:00 5.9 3:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.4 4:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.3 5:00 6.5 13:00 5.6 21:00 2.5 6:00 5.3 14:00 6.7 22:00 2.7 7:00 4.1 15:00 7.2 23:00 3.8 (1)请在坐标纸上，依照表中的数据，用连续曲线描出时刻与水深关系的函数图像；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时刻必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 4．（满分20分）2000年末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，

2017全国高中数学联赛模拟试题(原创精选-完全doc版)

2017年全国高中数学联赛考前模拟训练(原创精选) 姓名 ____________ 班级 ____________ 学号 _______________ 作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师一.填空题 1.已知一 —

2010年高中数学联赛预赛试题汇编

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．设集合? ?? ? ?? -∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 15 ． 2．已知函数4 6)(2++= x b x x f 的最大值为49，则实数=b 5 ． 3．若1|lg |