2017届中考数学一轮复习第14讲二次函数的图象及其性质专题精练
1 第14讲：二次函数的图像及其性质
一、夯实基础
1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
2．若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图1所示,则有( )
A. a>0,b>0 B. a>0,c>0 C. b>0,c>0 D. a、b、c都小于0
4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A.13 B.10 C.15 D.14
5.如图2所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为( )
A.6 B.4 C.3 D.1
6．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
7.二次函数y=4x2-mx+5,当x<-2时,y随x的增大而减少;当x>-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值为( )
A.-7 B.1 C.17 D.25 2 二、能力提升
8.在同一坐标系内,抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点,若点A 的坐标是(2,4),则点B的坐标是_________.
9.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.
10.若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是_____.
三、课外拓展
11.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(-2,3),且过A(-3,0), 则抛物线的关系式为___________.
12.当n=________,m=______时,函数y=(m+n)nx+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.
13.若抛物线y=ax2+bx+c经过(0,1)和(2,-3)两点,且开口向下,对称轴在y 轴左侧,则a的取值范围是_________.
四、中考链接
14．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．
（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？
15.有一条长7.2米的木料,做成如图所示的“日”字形的窗框, 问窗的高和宽各取多少米时,这个窗的面积最大?(不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积)
3 参考答案
一、夯实基础
1.A
2.A
3.C
4.B
5.C
6.C
7.D
二、能力提升
8.(0,0)
9.y=-4x2+16x-13
10.m>13
三、课外拓展
11.y=-3x2-12x-9
12.2;2
13.-1 四、中考链接 14．解：（1）画图如图所示： 依题意得：y=（x﹣1）2﹣2 =x2﹣2x+1﹣2 =x2﹣2x﹣1 ∴平移后图象的解析式为：x2﹣2x﹣1 （2）当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，即（x﹣1）2=2， ∴，即 ∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为（，0）和（，0） 由图可知，当x＜或x＞时， 二次函数y=（x﹣1）2﹣2的函数值大于0． 4 15.解:设窗框的宽为x米,则窗框的高为 7.232x米. 则窗的面积S=x·7.232x=231825xx. 当x=1853222ba=1.2(米)时,S有最大值. 此时,窗框的高为7.231.22 =1.8(米).
专题14二次函数的图象与性质(讲练)-2023年中考一轮复习(原卷版)
2023年中考数学总复习一轮讲练测（）
专题 14二次函数的图象与性质（讲练）
1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式；
2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质
1．二次函数的定义：
一般地，形如 (其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式： (a，b，c是常数，a≠0)．
(2)顶点式： (a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是 ． (3)交点式： (a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 ．
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口 ，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而 ；当x≥－b2a时，y随x的增大而 ；当x＝－b2a时，y有最
值 ．当a＜0时，抛物线开口 ，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而 ；当x≥－b2a时，y随x的增大而 ；当x＝－b2a时，y有最 值 ．该抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是
4．二次函数的图象的平移：
平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．
二次函数与x轴交点情况
5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
考点一、二次函数的定义
例1（2022秋•义乌市月考）若函数y＝是二次函数，即m的值是（ ）
2017年中考数学复习第3单元第14课时二次函数及其图象
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2017年中考数学复习第3单元第14课时二
次函数及其图象
第三单元函数及其图像
第14课时二次函数
教学目标
【考试目标】
1. 了解二次函数的意义，根据已知条件确定二次函数的 表达式，会用待定系数法求函数表达式
2. 会画二次函数的图象， 根据二次函数的图象和解析表 达式理解其性质，会用配方法确定二次函数图象的顶点、开
口方向和对称轴.
3. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 .
【教学重点】
1. 了解二次函数的概念， 以及二次函数解析式的三种形 式.
2. 掌握二次函数的图象与性质.
3. 掌握用待定系数法求二次函数的解析式 .
4. 掌握二次函数系数与图象的关系 .
5. 掌握二次函数图象的平移，了解二次函数图象的对 称，旋转.
6. 掌握二次函数与一元二次方程的关系
教学过程 ★精品文档★
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一、 体系图引入，弓I发思考
二、 引入真题，深化理解
【例11（2016年贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图 所示，
则一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标 系
内的图象大致为（B）
【解析1根据二次函数图象的性质可以看出 a>0,bv 0,
c v 0.所以一次函数y=ax+b图象经过一、三、四象限，反比 例函数经过二、四象限.只有B选项符合题意，故选择 B选
项.
【考点1此题考查了二次函数图象，反比例函数图象与 一次函数图象的关系，先根据二次图象的性质判断出各个系 数的符号，再利用一次函数图象、反比例函数图象的性质筛 选出满足题意的选项.
【例21 （2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c
（az 0）的图象与 x轴交于点 A （-1,0 ），与y轴的交点 B 在（0,-2 ）和（0,-1 ）之间（不包括这两点），对称轴为直 线x=1，下列结论：（D）
江苏省南京市中考数学一轮基础复习：专题十四 二次函数的图象和性质
第 1 页 共 14 页 江苏省南京市中考数学一轮基础复习：专题十四 二次函数的图象和性质
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、
单选题 (共15题；共30分)
1.
（2分） (2016九上·永嘉月考)
下列函数是二次函数的是（
）
A . y=
B . y=2x-3
C . y=3x2+
D . y=8x2+1
2. （2分） 如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图像，那么下列结论错误的是 （ ）
A . 当y＜0时，x＞0
B . 当-3＜x＜0时，y＞0
C . 当x＜时，y随x的增大而增大
D . 抛物线可由抛物线y=-x2平移得到
3. （2分） (2019九上·龙湾期中) 如图，抛物线 的对称轴是直线 ，则下列结论正确的是
A .
B .
C .
D .
4. （2分） 如图，一次函数与二次函数的图象相交于A(-1，5)、B(9，2)两点，则关于的不等式的解集为（ ） 第 2 页 共 14 页
A .
B .
C .
D . 或
5. （2分） (2017八下·福州期中) 关于的一次函数y＝kx＋k2＋1的图象可能是（ ）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（ ）
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
7. （2分） 已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（0.5，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
中考数学复习专题14 二次函数的图象和性质
第6页 共8页 专题14 二次函数的图象和性质
☞解读考点
知 识 点 名师点晴
二次函数概念、图象和性质 1.二次函数的概念 会判断一个函数是否为二次函数．
2.二次函数的图象 知道二次函数的图象是一条抛物线．
3.二次函数的性质 会按在对称轴左右判断增减性．
4.二次函数的解析式确定 能用待定系数法确定函数解析式．
二次函数与二次方程的关系 5.判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系． 会用数形结合思想解决此类问题．
能根据图象信息，解决相应的问题．
☞2年中考
【2015年题组】
1．（2015乐山）二次函数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C．
考点：1．二次函数的最值；2．最值问题．
2．（2015南宁）如图，已知经过原点的抛物线的对称轴是直线，下列结论中：☞
☞，☞，☞当．
正确的个数是（ ）
第6页 共8页
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D．
考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．综合题．
3．（2015柳州）如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
【答案】B．
【解析】
试题分析：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选B．
考点：抛物线与x轴的交点．
4．（2015河池）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A． B． C．
第6页 共8页 D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：☞将抛物线向上平移3个单位再向右平移2个单位，☞平移后的抛物线的解析式为：．故选B．
考点：二次函数图象与几何变换．
2025届新高考数学一轮复习精讲精练：幂函数与二次函数(知识+真题+15类高频考点) ( 精讲)
幂函数与二次函数
目录
第一部分：基础知识.................................................2
第二部分：高考真题回顾.............................................3
第三部分：高频考点一遍过...........................................3
高频考点一：幂函数的定义........................................3
角度1：求幂函数的值..........................................3
角度2：求幂函数的解析式......................................4
角度3：由幂函数求参数........................................4
高频考点二：幂函数的值域........................................6
高频考点三：幂函数图象..........................................8
角度1：判断幂函数图象........................................8
角度2：幂函数图象过定点问题.................................10
高频考点四：幂函数单调性.......................................13
角度1：判断幂函数的单调性...................................13
角度2：由幂函数单调性求参数.................................14
角度3：由幂函数单调性解不等式...............................15
高频考点五：幂函数的奇偶性.....................................18
考点11 二次函数的图象性质及相关考点-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(原卷版)
考点11 二次函数的图象性质及其相关考点
二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最
重要的考点。而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与
方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也
时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
一、二次函数的表达式
二、二次函数的图象特征与最值
三、二次函数图象与系数的关系
四、二次函数与方程、不等式（组）
五、二次函数图象上点的坐标特征
考向一、二次函数的表达式
1.二次函数的3
种表达式及其性质作用名称通式适用范围
一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达
式
顶点式y＝a（x-m）2+h（a≠0）当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式求其表
达式
交点式y＝a（x-x
1）(x-x
2)（a≠0）其中，（x
1，0）(x
2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，故知道抛
物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式
相互联系二次函数表达式间的转化，一般式往顶点式转化，常用配方法进行；
2.二次函数平移的方法：
①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），
②“左加右减（x），上加下减（y）”；
1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项 ，一次项系数为 ，常数项
为 ．
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6
3．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经
过这两次平移后所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣3）2+3B．y＝2（x+3）2+3
C．y＝2（x﹣3）2+1D．y
第14讲 函数的零点、隐零点、极值点偏移问题(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习(天津专用)
1第14讲函数的零点、隐零点、极值点偏移问题
（6类核心考点精讲精练）
1.5年真题考点分布5年考情
考题示例考点分析2024年天津卷，第20题,16
分利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲
线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)2023年天津卷，第20题,16
分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式利用导数研究
不等式恒成立问题2022年天津卷，第20题,16
分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题利
用导数研究函数的零2021年天津卷，第20题,16
分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)
利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析2020年天津卷，第20题,16
分利用导数证明不等式
2.命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握函数零点与方程的关系
2.能掌握函数零点的求解方法
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像的交点解决函数的零点问题
4.会解隐零点与极值点偏移问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式解决函数的零点相关问题。
2知识讲解
知识点一.函数零点个数问题
用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断;另一方面，也可将零
点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决，对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或
最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围，从图象的最高点、最低点、分析函数的最值、极值;从
图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等。但需注意探求与论
证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
知识点二.零点存在性赋值理论1.确定零点是否存在或函数有几个零点，作为客观题常转化为图象交点问题，作为解答题一般不提倡利用图
象求解，而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点，赋值之所以“热”，是因
2015中考数学复习第13讲_二次函数的图象和性质
- 1 - 第13讲 二次函数的图象和性质
考点1 二次函数的概念
一般地，形如① (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
考点2 二次函数的图象和性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
a a＞0 a＜0
图象
开口方向 抛物线开口向② ，并向上无限延伸 抛物线开口向③ ，并向下无限延伸
对称轴 直线x=-2ba 直线x=-2ba
顶点坐标
(-2ba，244acab) (-2ba，244acab)
最值 抛物线有最低点，当x=-2ba时，y有最小值，y最小值=244acab 抛物线有最高点，当x=-2ba时，y有最大值，y最值=244acab
增减性 在对称轴的左侧，即当x＜-2ba时，y随x的增大而④ ；在对称轴的右侧，即当x＞-2ba a时，y随x的增大而⑤ ，简记左减右增 在对称轴的左侧，即当x＜-2ba时，y随x的增大⑥ ；在对称轴的右侧，即当x＞-2ba时随x的增大而⑦ ，简记左增右减
【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.
考点3 二次函数的图象与字母系数的关系
字母或代数式 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向⑧ |a|越大开口越⑩
a＜0 开口向⑨
b b=0 对称轴为⑪ 轴 - 2 - ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴⑫ 侧
ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴⑬ 侧
c c=0 经过⑭
c＞0 与y轴⑮ 半轴相交
c＜0 与y轴⑯ 半轴相交
2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解
1
2024年中考数学真题汇编
专题14 二次函数的图象与性质+答案详解
（试题部分）
一、单选题
1
．（2024·
内蒙古包头·
中考真题）将抛物线2
2yxx=+向下平移2
个单位后，所得新抛物线的顶点式为（
）
A
．()2
13yx=+− B
．()
=+−2
yx12 C
．()2
13yx=−− D
．()2
12yx=−−
2
．（2024·
广东广州·
中考真题）函数2
1yaxbxc=++与
2k
y
x=
的图象如图所示，当（
）时，
1y
，
2y
均随
着x
的增大而减小．
A
．1x− B
．10x− C
．02x D
．1x
3
．（2024·
四川凉山·中考真题）抛物线()22
1
3yxc=−+
经过()()
1235
20
2yyy
−
，，，，，
三点，则
123yyy，，
的
大小关系正确的是（
）
A
．
123yyy
B
．
231yyy
C
．
312yyy
D
．
132yyy
4
．（2024·
四川达州·
中考真题）抛物线2
yxbxc=−++与x
轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1
，另
一个交点的横坐标小于1
，则下列结论正确的是（
）
A
．1bc+ B
．2b= C
．2
40bc+ D
．0c
5
．（2024·
四川泸州·
中考真题）已知二次函数()
2
231yaxaxa=+−+−
（x
是自变量）的图象经过第一、二、
四象限，则实数a
的取值范围为（
）
A．9
1
8a
B．3
0
2a
C．9
0
8a
D．3
1
2a
6
．（2024·
陕西·
中考真题）已知一个二次函数2
yaxbxc=++的自变量x
与函数y
的几组对应值如下表，
x
… 4−
2− 0 3 5 … 2
y … 24−
8−
0 3−
15− …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（
）
A
．图象的开口向上 B
．当0x时，y
的值随x
的值增大而增大
C
．图象经过第二、三、四象限 D
．图象的对称轴是直线1x=
7
．（2024·
湖北·
中考真题）抛物线2
yaxbxc=++的顶点为()
中考一轮复习教案之二次函数图象和性质
y
x
O 第11课时 二次函数图象和性质
【知识梳理】
1. 二次函数2()yaxhk的图像和性质
a＞0 a＜0
图 象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值 当x＝ 时，y有最 值 当x＝ 时，y有最
值
增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而 y 随x的增大而
在对称轴右侧 y随x的增大而 y随x的增大而
2. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成khxay2的形式，其中
h＝ ， k＝ .
3. 二次函数2()yaxhk的图像和2axy图像的关系.
4. 二次函数cbxaxy2中cba,,的符号的确定.
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例1、已知二次函数24yxx，
(1) 用配方法把该函数化为2()yaxhk
(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画
出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称
轴和顶点坐标.
(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.
例2、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)； (2)；
(3)； (4). 思考与收获 OyxBA例3、m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？
例4、已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大.求(1)求k的值；(2)求顶点坐标和对称轴.
例5、如图，直线mxy和抛物线
cbxxy2都经过点A(1，0)，B(3，2)．
⑴ 求m的值和抛物线的解析式；
⑵ 求不等式mxcbxx2的解集．(直接写出答案)
【当堂检测】
一、选择题
1、如图所示，二次函数y=-x2的图象的规范画法是( )
2、下列各点在二次函数y=x2的图象上的有( )